maqueta MAPA Herramienta Didáctica – 13

DOCUMENTO DE TRABAJO Nº.13
ASIGNATURA
CÓDIGO
REQUISITO(S)
OBLIGATORIA/LECTIVA
ANUAL/SEMESTRAL
DIURNA/VESPERTINA
TEÓRICO-PRÁCTICA/PRÁCTICA
CARÁCTER
PLAN DE ESTUDIO
HORAS SEMANALES
II. Aprendizajes Esperados:
Definición del Modelo de distribución normal
Calcular e interpretar el Valor esperado y varianza del modelo normal
Modelos de distribución de probabilidad: Normal, ejemplos.
Calculo del valor esperado y varianza del modelo normal, ejemplos.
III. Síntesis esquemática de Contenidos
IV. Actividades ( individuales o grupales)
Ejercicios
1) Sea Z una variable aleatoria normal estándar.
a) Hallar P(Z < 1,20)
b) Hallar P(Z >1,33)
c) Hallar P(Z < -1,70)
d) Hallar P(Z > -1,00)
e) Hallar P (1.20 < Z< 1,33)
f) Hallar P (-1,70 < Z < 1,20)
g) Hallar P(-1,70 < Z < -1,00)
2) Considerando N(0,1), determine el valor de a y de b, según sea el caso, asociada a la
probabilidad
a) P(Z < a) = 0,9951
a
Z
b) P(0.35 < Z < b ) = 0,2117
Z
3) La renta media de los habitantes de un país es de 4 millones de pesos/año, con una varianza
de 1,5. Se supone que se distribuye según una distribución normal. Calcular:
a) Porcentaje de la población con una renta inferior a 3 millones de pesos.
b) Renta a partir de la cual se sitúa el 10% de la población con mayores ingresos.
5) El consumo medio anual de cerveza de los habitantes de una país es de 59 litros, con
una varianza de 36. Se supone que se distribuye según una distribución normal.
a) Si usted presume de buen bebedor, ¿cuántos litros de cerveza tendría que beber al año
para pertenecer al 5% de la población que más bebe?.
b) Si usted bebe 45 litros de cerveza al año y su mujer le califica de borracho ¿qué
podría argumentar en su defensa?
6) Cierto tipo de batería dura un promedio de 3 años, con una desviación típica de 0,5 años.
Suponiendo que la duración de las baterías es una variable normal:
a) ¿Qué porcentaje de baterías se espera que duren entre 2 y 4 años?
b) Si una batería lleva funcionando 3 años. ¿ cuál es la probabilidad de que dure menos de 4,5
años?
7) La vida media de los habitantes de un país es de 68 años, con una varianza de 25. Se
hace un estudio en una pequeña ciudad de 10.000 habitantes:
a) ¿Cuántas personas superarán previsiblemente los 75 años?
b) ¿Cuántos vivirán menos de 60 años?
1. Un profesor de matemáticas ha observado que las notas obtenidas por sus alumnos en los
exámenes de Estadística siguen una distribución N (6; 2,5).
Se han presentado al último examen 32 alumnos, ¿cuántos sacaron al menos un 7?
Solución: 11 alumnos sacaron al menos un 7
2. Una empresa lleva a cabo una prueba para seleccionar nuevos empleados. Por la
experiencia de pruebas anteriores, se sabe que las puntuaciones siguen una distribución
normal de media 80 y desviación típica 25. ¿Qué porcentaje de candidatos obtendrá entre
75 y 100 puntos?
Solución: 36,74 %
3. El peso de los toros de una determinada ganadería se distribuye normalmente con una
media de 500 kg y 45 kg de desviación típica. Si la ganadería tiene 2000 toros, calcular:
• Cuántos pesarán más de 540 kg .
• Cuántos pesarán menos de 480 kg .
• Cuántos pesarán entre 490 y 510 kg .
Soluciones: a) 373 kg b) 660 kg c) 348 kg
4. Una de las pruebas de acceso a la Universidad para mayores de 25 años consiste en un
test con 100 preguntas, cada una de las cuales tiene 4 posibles respuestas y sólo una
correcta. Para superar esta prueba deben obtenerse, al menos, 30 respuestas correctas. Si
una persona contesta al azar, ¿cuál es el número esperado de respuestas correctas? ¿Qué
probabilidad tendrá de superar la prueba?
Ayuda: utiliza la aproximación de la binomial a través de la normal para la segunda
pregunta.
Soluciones: 25 respuestas correctas, p = 0,1492
5. Después de realizar varios sondeos sobre una población con escasa cultura, se ha
conseguido averiguar que únicamente el 15 % de la misma es favorable a los tratamientos
de psicoterapia. Elegida al azar una muestra de 50 personas de dicha población, se desea
saber:
• La probabilidad de que haya más de 5 personas favorables a dichos tratamientos.
• La probabilidad de que a lo sumo haya 6 personas favorables.
Soluciones: a) 0,7852 b) 0,3446
V. Evaluación de la actividades
VI. Síntesis de los contenidos :
Modelos de distribución de probabilidad Normal: Una variable aleatoria X que toma valores
reales, -  < X <  , tiene distribución normal si su función de densidad es de la forma:
f ( x) 
 ( x )2
1
2
2
e
( 2 3 )
tal que
 es la media      
2 es la varianza 2 > 0
Propiedades
1. La curva que describe la función es simétrica alrededor de , y sus ramas se alejan o se acercan
según la desviación estándar que posea la variable aleatoria.
2.  = P50 = Me = Mo es decir, es unimodal ya que sólo tiene un valor máximo en el que coincide la
media, mediana y la moda.
1. Su grafica corresponde a la campana de gauss
2. La notación usual para esta distribución es X ~ n ( , 2). Esto quiere decir que la variable
aleatoria X tiene una distribución Normal con media  y varianza 2.
3. Es simétrico con respecto a la media aritmética (valor máximo).
4. Se aproxima asintóticamente al eje de las abscisas.
5. El número de valores Xi que toma la variable aleatoria X es infinita.
6. Está determinada por 2 parámetros: la media y la desviación estándar.
7. El área total bajo la curva se considera igual a la unidad.
8. El 69.26% del área total bajo la curva normal se encuentra dentro del intervalo con centro en
la media aritmética y extremos localizados cada uno a una distancia de un ; el 95.44% de
dicha área se encuentra en el intervalo que comprende 2 desviaciones estándar a cada lado de
la media y el 99.74% del área comprendida bajo la misma curva se encuentra limitada por 3  a
cada lado de la media aritmética.
Para uso práctico los ejercicios de esta distribución se tabulan en una tabla para la
normal estándar. La distribución estándar tiene media 0 y varianza 1, se utiliza la letra z
para denotar esta variable cuya formula es
z
x

Se dice z v.a.c. distribuida normal estándar, esto es, z  N(0,1)
Ejemplos:
1) El tiempo promedio de exposición de un comercial es de 2.75 minutos con una desviación
estándar de 0.63 minutos.
a) ¿Cuál es la probabilidad que un comercial dure más de 3.5 minutos?.
P( x  350
. )  0500
.
 0.3830  0117
.
P( x  2 y 3)  0.3830  01517
.
 0.5347
2  2.75  0.75

 11904
.
0.63
0.63
3  2.75 0.25
Z

 0.3968
0.63
0.63
Z
b) Si seleccionamos un comercial alzar, cuál es la probabilidad que dure entre 2 y 3 minutos.
c) ¿Cuál es la probabilidad o proporción de comerciales que duran más de 1.75 minuto?.
P( x  175
. )  0.500  0.4429  0.9429
2) Una variable aleatoria X sigue el modelo de una distribución normal con media 10 y
varianza 4. Se pide Transformarla en una normal tipificada Y.
Como X N (10, 4), luego para transformarla en una normal tipificada se crea una nueva
variable (Y) que será igual a la anterior (X) menos su media y dividida por su desviación
típica (que es la raíz cuadrada de la varianza)
z
x

esto es Y 
x  10 x  10

2
4
Ahora Y esta nueva variable se distribuye como una normal tipificada, permitiéndonos, por
tanto, conocer la probabilidad acumulada en cada valor Y N (0, 1)
3) Queremos conocer, para la distribución normal estándar, la probabilidad acumulada en
el valor Z = 2,75.
Para esto buscamos en la columna de la izquierda el valor 2,7 y en la primera fila el valor
.05. La casilla en la que se intersectan es su probabilidad acumulada, correspondiente a
0,99702, es decir 99.7%. gráficamente.
Recordemos que la tabla nos da la probabilidad acumulada, es decir, la que va desde
el inicio de la curva por la izquierda hasta dicho valor. No nos da la probabilidad concreta
en ese punto. En una distribución continua en el que la variable puede tomar infinitos
valores, la probabilidad en un punto concreto es prácticamente despreciable.
4) La vida media de los habitantes de un país es de 68 años, con una varianza de 25. Se hace un
estudio en una pequeña ciudad de 10.000 habitantes:
a) ¿Cuántas personas superarán previsiblemente los 75 años?
b) ¿Cuántos vivirán menos de 60 años?
c) Personas que vivirán (previsiblemente) más de 75 años.
Calculamos el valor de la normal tipificada equivalente a 75 años
Por lo tanto P (X > 75) = (Y > 1,4) = 1 - P (Y < 1,4) = 1 - 0,9192 = 0,0808
Luego, el 8,08% de la población (808 habitantes) vivirán más de 75 años.
b) Personas que vivirán (previsiblemente) menos de 60 años.
Calculamos el valor de la normal tipificada equivalente a 60 años
Por lo tanto P (X < 60) = (Y < -1,6) = P (Y > 1,6) = 1 - P (Y < 1,6) = 0,0548
Luego, el 5,48% de la población (548 habitantes) no llegarán probablemente a esta edad.
VII. Glosario
Links de interés