Cap 7. Casco y estructura. Parte 10

CASCO Y ESTRUCTURAS
Parte 10
P. Sosa. © 05-2007
7.17.- Casco resistente. Conjunto forro - cuadernas
7.17.1.- Introducción
Es evidente que para conseguir estructuras cilíndricas resistentes a presiones exteriores
relativamente grandes no es suficiente la utilización de cilindros simples pues su presión
de inestabilidad o de abolladura es excesivamente baja, aunque por tensiones, su
resistencia pueda ser potencialmente mucho mayor.
Puesto que el colapso por inestabilidad es función, en líneas generales, de la inercia
transversal de la pared del cilindro o forro, es necesario aumentar esta inercia si se
quieren conseguir presiones mas elevadas.
Aumentar el espesor de forro, para combatir la inestabilidad, es un método inadecuado ya
que exige unos espesores de forro respetables, antieconómicos. Clásicamente, el sistema
de reforzado ha sido por medio de cuadernas regularmente distribuidas. Esto permitía
obtener una gran rigidez frente a la inestabilidad general, quedando el forro como un
elemento de recubrimiento y estanqueidad. En realidad, con las cuadernas rígidamente
unidas al forro, la inercia efectiva es una combinación de la inercia propia de las
cuadernas o refuerzos mas un cierto ancho de plancha de forro asociado a ellas, por lo
cual la inercia total que se obtiene es mucho mas grande. Por consiguiente el forro sigue
jugando un papel primordial en la resistencia del casco frente a la inestabilidad, aparte de
otras consideraciones.
Por otro lado, la adición de cuadernas crea un nuevo reparto de tensiones, que ya no son
constantes como ocurría en un forro simple sin refuerzos, sino variable a lo largo de las
claras al estar las cuadernas reaccionando contra el forro cuando se aplica la presión
exterior y no dejando que este ceda demasiado en donde estas están situadas. La
determinación aproximada de las tensiones que se producen ha sido objeto de,
numerosas investigaciones habiéndose obtenido ya soluciones muy aproximadas, casi
perfectas, en régimen elástico, por Von Sanden y Gunther en 1920.
Al mismo tiempo, al proyectista se le plantea la cuestión de obtener un reparto armónico
de estas tensiones con el fin de aprovechar el material lo más posible y así poder obtener
estructuras del un menor peso, para las mismas prestaciones. Las variables más
importantes que intervienen son el espesor de forro, su radio medio, la clara entre
cuadernas, el área de su sección recta, su inercia y la distancia entre mamparos.
El reforzado también se puede efectuar en sentido longitudinal del anillo, superpuesto al
transversal, intercostal, pero al no ser su uso muy poco frecuente se ha omitido en los
apartados que siguen. No cabe duda que el reforzado en los dos sentidos es el más
completo, teóricamente, ya que refuerza el forro de forma ortotrópica, pero por su
complejidad y dificultad de construcción, su utilización solo se recomienda para muy altas
presiones. Por ser muy pocas la unidades que se han construido de este modo, la
información disponible al respecto es muy escasa, sobre todo lo que afecta a pruebas y
experiencia operativa.
7.17.2.-Tensiones y deformaciones en cilindros reforzados por cuadernas
Considérese un cilindro circular de longitud muy grande o infinita, reforzado por cuadernas
regularmente espaciadas, de unas características determinadas, tales como radio medio
del anillo r, espesor de forro t, clara L, etc. En las zonas centrales de este cilindro
reforzado, la influencia de las condiciones de los extremos son muy reducidas o nulas ya
que, como es regla general, la influencia de un estado tensional o de deformación de un
borde solo afecta a una zona de una longitud aproximada de 5 ⋅ r ⋅ t , lo que equivale a
unas dos o tres claras del anillo, a partir del borde, por lo cual se puede considerar que
todas las cuadernas de la zona central del anillo, (si este es largo), están trabajando en
igualdad de condiciones así como el forro comprendido entre ellas. La disposición de un
anillo reforzado genérico se ilustra en la Fig. nº 55. Se supone que dicho anillo de casco
está sometido a una presión uniforme exterior lateral y axial. Por simetría de cargas y
formas, todos los puntos de una sección transversal situados en la misma fibra
201
circunferencial están sujetos a las mismas condiciones de deformación y tensión y, por
consiguiente, una sección meridiana del cilindro es suficiente para determinar las
principales características de deformación, tensión, momentos, etc.
A cada tramo de forro comprendido entre cuaderna y cuaderna, es decir a cada clara, se
le pueden aplicar las ecuaciones estudiadas, para cilindros simples, de los Apartados
anteriores. La teoría de base, por ser lineal, solo proporciona resultados aproximados
como consecuencia de haberse despreciado algunos términos del equilibrio de fuerzas y
momentos, concretamente la influencia de la fuerza axial sobre los momentos
longitudinales cuando la existe un flecha en las claras. La solución de la ec. (7-1),
siguiente, fue dada a conocer por primera vez, para su aplicación al cálculo de
submarinos, por los ingenieros alemanes Von Sanden y Gunther, ecs. (7-6), (sus
soluciones originales para las tensiones adolecían de un pequeño error en los signos
procedentes de los momentos, que posteriormente fue corregido). En 1930, F. Viterbo,
perfeccionó el planteamiento de las condiciones de borde aplicadas anteriormente en lo
que respecta a la fuerza transmitida por la franja de plancha de forro anexa a las
cuadernas, modificándose ligeramente el equilibrio de la fuerzas cortantes respecto a la
reacción de las cuadernas, bajo presión hidrostática.
En 1951, V. L. Salerno y J.G. Pulos, italo-americanos, presentaron la solución analítica de
la ecuación no-lineal desarrollada teniendo en cuenta el efecto de la fuerza axial sobre los
momentos y que se considera la solución definitiva para el régimen elástico. En la
actualidad estas últimas ecuaciones y su solución se consideran básicas (y clásicas) en
todos los cálculos relativos a los cilindros reforzados.
Estas soluciones de tensiones y deformaciones contienen ya términos que no son lineales
con la presión. Todas las ecuaciones presentadas posteriormente por diversos autores
son ligeras modificaciones de las de Salerno-Pulos. Estas ecuaciones y soluciones nolineales, a efectos prácticos, son muy aproximadas a la realidad (pruebas con modelos) y
las obtenidas utilizando la teoría lineal (soluciones similares a las de Von
Sanden-Gunther) quedan con una aproximación, por defecto, del 90-96%
aproximadamente, respecto a aquellas. Es decir que las soluciones lineales dan tensiones
y deformaciones que son del orden del 90-96% de las verdaderas.
Todas las soluciones se entienden válidas, cada una con su aproximación, para
estructuras que están sometidas a pequeñas deformaciones, (deformaciones en radio
inferiores a la mitad del espesor de forro) y con una relación radio / espesor superior a 20.
En general estas condiciones se cumplen en el dimensionamiento de los cascos de los
submarinos, por lo que su vigencia está asegurada.
En todos los planteamientos que siguen se considera que las cuadernas se mantienen
circulares durante todo el periodo de aplicación de las fuerzas exteriores (la presión). En
la realidad puede ocurrir que, por efecto de las imperfecciones, estas tiendan a ovalizarse
poco a poco, o de repente si existe inestabilidad. Otro posible modo de fallo sería la
inestabilidad del forro entre cuadernas, que habría que vigilar o descartar con un
202
dimensionamiento adecuado del forro. Estos son inconvenientes suplementarios que
deben estudiarse con cuidado, aunque las tensiones en el forro se ven poco afectadas por
la ovalización general progresiva, siendo las cuadernas las que absorben la casi totalidad
de los momentos transversales que se generan alrededor del anillo. El forro en contacto
con la cuaderna, evidentemente, actúa como ala de estas en una anchura determinada,
pero las tensiones originadas se consideran pequeñas por estar repartidas por un área
relativamente grande, (y el modulo resistente referido al forro es mucho mayor) y actuar
en una zona en que las tensiones circunferenciales son relativamente reducidas por ser
una zona directamente soportada por las cuadernas, o sea con una reducida deformación
o corrimiento radial.
Las zonas mas cargadas del forro son, indefectiblemente:
-
centro de las claras, por su parte exterior (tensión transversal)
la zona en contacto con la cuaderna, parte interior (tensión longitudinal)
Se estima que de estas dos posiciones de máxima tensión, la correspondiente al centro
de las claras es la mas sensible, por no estar apoyada en las cuadernas y la mas
influyente a efectos de la destrucción del anillo, bien sea por inestabilidad o por
plastificación.
Solución de Von Sanden y Gunter
La ecuación básica, de partida es la ec. (6-26a), lineal, relativa a placas cilíndricas
cargadas con presión lateral, con ka = 1, es decir p = q (presión uniforme exterior), que se
convierte en:
D⋅
d4 w E ⋅ t ⋅ w
⎛ ν⎞
+
= p ⋅ ⎜1 − ⎟
⎝ 2⎠
r0 2
d4 x
(7-1)
La solución de esta ecuación es, (ec. 6-28),
w = e βx ⋅ (C1 ⋅ cos(βx ) + C 2 ⋅ sen(βx ))
⋅ ⋅ ⋅ +e − βx ⋅ (C 3 ⋅ cos(βx ) + C 4 ⋅ sen(βx )) +
(7-2)
p ⋅ r0 2 ⎛
ν⎞
⋅ ⎜1 − ⎟
E⋅t ⎝
2⎠
Esta solución puede ser transformada, para su más fácil utilización en:
w = A ⋅ senh(β x ) ⋅ sen(β x ) + B ⋅ cosh(βx ) ⋅ cos(βx )
⋅ ⋅ ⋅ +C ⋅ senh(βx ) ⋅ cos(β x ) + D ⋅ cosh(βx ) ⋅ sen(βx ) +
siendo
β4 =
3 ⋅ (1 − ν 2 )
2
r0 ⋅ t
2
=>
β=4
p ⋅ r0 2 ⎛
ν⎞
⋅ ⎜1 − ⎟
E⋅t ⎝
2⎠
3 ⋅ (1 − ν 2 )
2
r0 ⋅ t
2
=
1,285
2r
0
⋅t
(7-3)
····(para ⋅ ν = 0,3)
y C1, C2, C3 y C4, constantes arbitrarias para ec. (7-2)
A, B, C y D, constantes arbitrarías para ec. (7-3)
Puesto que existen cuatro constantes a determinar, son necesarias cuatro condiciones de
borde. Si se asume que las cuadernas son todas iguales, el cilindro es de espesor
203
constante y la influencia de los mamparos es nula, por estar muy distantes de la zona en
consideración, todas las claras se deforman igual, las cuadernas se mantienen normales
al forro y la deformada del foro simétrica respecto al plano de las cuadernas.
Ver Fig. nº 39.
Por consiguiente, las deflexiones entre cuaderna y cuaderna serán simétricas respecto al
centro de las claras. Si se fija el origen de coordenadas en el centro de las claras, la
función del corrimiento radial debe ser simétrica y a causa de ello C = D = 0, en la ec. (73), quedando solo dos constantes, A y B por determinar.
Las condiciones de borde a aplicar son aquellas que reinan en el extremo de las claras,
que son dos:
1ª condición.- La pendiente de la elástica del forro en la unión de este con la cuaderna
debe ser cero. Es decir su tangente horizontal, por simetría. O sea, numéricamente:
∂w
= 0.......para ⋅ x = L / 2
∂x
204
2ª condición.- Cada cuaderna debe soportar las fuerzas cortantes que le transmite el forro
a cada lado de ella, mas la fuerza de presión del tramo de forro directamente unido a la
cuaderna (ancho anexo), de anchura b. La cuaderna responde cediendo (reduciendo su
radio) en una cantidad que vale wc y ejerciendo una reacción, por unidad de longitud, que
vale F1 = K · wc , siendo K el coeficiente de rigidez de la cuaderna, como ya vimos. El área
efectiva de las cuadernas se compone del área propia de su sección mas un área
asociada del forro que vale b. (La anchura b es la zona de plancha directamente unida a
la cuaderna por la soldadura, y no tiene nada que ver con el ancho asociado a efectos de
flexión, ver Apdo. 7-5-3).
La expresión utilizada para el coeficiente o constante de las cuadernas es el dado por ec.
(5-20b) que es,
⎛ A +b⋅t⎞
⎟⎟
K = E ∗ ⎜⎜ f
r
2
0
⎠
⎝
Igualando la reacción de la cuaderna a las fuerzas que ejerce el forro, por los dos
costados de la cuaderna, resulta:
2 ⋅D ⋅
d3 w
dx
3
+ p⋅b =
E ⋅ (A f + b ⋅ t)
r0 2
⋅ wc
(7-4)
por ser la fuerza cortante, a cada lado de la cuaderna,
Q = −D ⋅
d3 w
dx 3
.........siendo.....D =
E⋅ t 3
12⋅(1− ν2 )
El coeficiente D es el equivalente, en placas, al factor E·I. de rigidez de barras y perfiles.
Introduciendo la primera derivada de la ec. (7-3) en la primera condición y la tercera
derivada en la segunda condición, se puede obtener el valor de las constantes arbitrarias
A y B, que reintroducido en la solución, ec. (7-3) determina la forma de la elástica del forro
existente entre cuaderna y cuaderna, para la cuaderna tipo.
Las tensiones en cualquier punto del forro pueden ser obtenidas a partir de las
expresiones ecs. (6-25), una vez conocida w = f(x),
La tensión transversal total σθ puede ser expresada en función del momento longitudinal,
Mx, de la forma siguiente:
205
σθ = −
E ν ⋅ p ⋅ r0 6 ⋅ ν
−
±
⋅ Mx
r0
2⋅t
t2
(7-5a)
(signo + del grupo, cuando z es positivo= cara interior del forro)
La tensión longitudinal σx se puede expresar de la misma forma,
σx = −
p ⋅ r0
6
±
⋅ Mx
2 ⋅ t t2
(7-5b)
Efectuando las correspondientes derivaciones y desarrollos, las tensiones que se
obtienen son las mismas que las dadas a conocer por Von Sanden y Gunther,(Ref.nº 1), y
son las siguientes, para las zonas mas cargadas:
(σ θ )max
=−
(σ x )max
=−
p⋅r
0
t
p⋅r
t
0
⎡
⎛ Af
ν ⎞ P(2α ) ⎤
− ⎟⎟ ∗
⎢1 − 2 ⋅ ⎜⎜
⎥
⎢⎣
⎝ A f + b ⋅ t 2 ⎠ 1 + B α ⎥⎦
⎡1
3
⎢ +
⎢⎣ 2
1− ν2
⎛ Af
ν ⎞ X (2α ) ⎤
⋅ ⎜⎜
− ⎟⎟ ∗ 2
⎥
⎝ A f + b ⋅ t 2 ⎠ 1 + B α ⎥⎦
(7-6)
(7-6b)
Siendo:
(σθ)max = tensión transversal de la cara exterior del forro, en centro de las claras, lugar
donde son máximas, (eventualmente se podrían calcular las longitudinales).
(σx)max = tensión longitudinal en la cara interior del forro, junto a las cuadernas, lugar
donde son máximas.
p = presión exterior
r0 = radio medio del forro
t = espesor de forro
Af = área de la sección recta de las cuadernas
b = ancho anexo de plancha
2·α = β ⋅ L =
1,285
r0 ⋅ t
⋅L
( L = clara entre cuadernas)
……….
L⋅t
2⋅t
········= X 3 (2α )·
………… B α = X 3 (2α )·
α ⋅ (A f + b ⋅ t)
β ⋅ (A f + b ⋅ t)
(7-8)
(7-9)
X2(2α), P(2α) y X3(2α) son las siguientes funciones, representadas gráficamente en la Fig.
nº 58 en función de β·L=2·α.
X 2 ( 2α ) =
P(2α ) =
senh( 2α ) − sen( 2α )
senh( 2α ) + sen( 2α )
1,545·senh(α )·cos( α ) + 0,455 ⋅ cosh( α )sen(α )
senh(2α ) + sen( 2α )
X 3 ( 2α ) =
cosh( 2α ) − cos( 2α )
senh( 2α ) + sen( 2α )
La flecha del forro (la reducción del radio en el centro de las claras) es:
206
(7-10)
(7-11)
(7-12)
2
ν p ⋅ r0 ⎡
Q(2α ) ⎤
⋅ ⎢1 − 2 ⋅
f = ( w ) x = o = (1 − ) ⋅
⎥
1+ Bα ⎦
2
E⋅t ⎣
(7-13)
siendo,
Q(2α ) =
senh( α )·cos( α ) + cosh( α )sen(α )
senh(2α ) + sen( 2α )
(7-14)
La función Q interviene en la mayoría de la formulación que afecta a anillos.
Esta solución, de carácter lineal, ha sido utilizada ampliamente para el cálculo de la
cuaderna tipo de los cascos resistentes de submarinos, de forma manual, durante la
primera mitad del siglo XX. Mas tarde fue utilizada con programas numéricos que podrían
contemplar una serie de cuadernas entre dos mamparos, con condiciones en los limites
concatenadas, y ha sido superada en la actualidad con el advenimiento de los programas,
muy completos, de elementos finitos, mucho mas potentes, que presentan los resultados
de forma gráfica para todo un anillo, y para todo tipo de cargas. Se ha generalizado el uso
de las ecuaciones y resultados no lineales.
El aspecto de las funciones X2, X3 y P, en función de 2α =βL se presentan en la Fig. nº 58.
Hay que observar que la ec. (7-4) contiene una pequeña inexactitud descubierta por
Viterbo, que consiste en considerar p·b como la fuerza transmitida por la banda de forro
unida directamente a la cuaderna, en vez de su valor correcto que es p·b (1- ν/2), a causa
del efecto de Poisson (‫)ע‬, al existir compresión axial actuando sobre esta banda de forro.
La constante K de las cuadernas se ha calculado en el Apdo.7.5 sin hacer intervenir
ningún tipo de presión o fuerza actuando en el eje del cilindro (forro) al que está unida. Si
se considera la fuerza de compresión longitudinal que está actuando sobre el trozo de
forro anexo a ellas, la corrección a efectuar equivale a – p *b *·‫ ע‬/2, que es lo mismo, a
efectos de cálculo, que lo expuesto anteriormente. No obstante, al ser el ancho b
normalmente muy pequeño, en cuadernas de simple T, su influencia sobre los resultados
es casi despreciable. Asimismo se ha considerado que la excentricidad de la masa de las
cuadernas respecto a la fibra neutra del forro es cero, cuando en la realidad aquellas se
207
encuentran por dentro o por fuera de aquel. Se puede aumentar la exactitud de las
fórmulas sustituyendo el área real de las cuadernas, Af , por la expresión:
A' =
A f ⋅ r0 2
rg 2
(7-15)
siendo rg el radio del centro de gravedad de las cuadernas.
Esta deficiencia se puede también subsanar utilizando expresiones mas perfectas del
coeficiente K de las cuadernas, como son las ec.(5-18) y ec.(5-19). Incluyendo el efecto
de Viterbo en la segunda condición de borde se obtiene para las tensiones, con el
coeficiente de Poisson, v=0,3:
(σ θ )max
=−
p ⋅ r0 ⎡
⎛ Af
ν ⎞ P(2α ) ⎤
− (1 − ) ⎟⎟ ∗
⎢1 − 2 ⋅ ⎜⎜
⎥
t ⎣⎢
2 ⎠ 1 + B α ⎦⎥
⎝ Af + b⋅ t
(σ x )max
=−
p ⋅ r0
t
⎡1
3
⎢ +
1 − ν2
⎣⎢ 2
⎛ Af
ν ⎞ X (2α ) ⎤
⋅ ⎜⎜
(1 − ) ⎟⎟ ∗ 2
⎥
2 ⎠ 1 + B α ⎦⎥
⎝ Af + b ⋅ t
(7-6a)
(7-7b)
que son muy similares a las de Von Sanden-Gunther y solo varían en que se ha sustituido
la expresión:
⎛ Af
⎛ Af
ν⎞
ν ⎞
⎜⎜
− ⎟⎟ por la ⎜⎜
(1 − ) ⎟⎟
2 ⎠
⎝ Af + b ⋅ t 2 ⎠
⎝ Af + b ⋅ t
La flecha del forro en las zona de cuadernas, (reducción de su radio), que es la misma
que la del borde del alma de las cuadernas en contacto con el forro, efecto Viterbo
incluido es,
Af
⎡
⎤
2 ⎢
⋅
p
r
( A f + b ⋅ t ) ⎥⎥
ν
0
⋅ ⎢1 −
fcuad = ( w ) x = L / 2 = w c = (1 − ) ⋅
(7-16)
2
E⋅t ⎢
1+ Bα ⎥
⎢
⎥
⎣
⎦
La abscisa del punto longitudinal del forro en que el momento es cero se obtiene de la
condición:
tangh(βx)·tang(βx)= ─ M / N
siendo
(7-17)
M = senh(βL/2)·cos(βL/2) ─ cosh(βL/2)·sen(βL/2)
N= senh(βL/2)·cos(βL/2) + cosh(βL/2)·sen(βL/2)
La carga que soporta la cuaderna se puede obtener multiplicando su deflexión según ec.
(7-16) por la constante K de las cuadernas:
F1 = K c ⋅ w c ≅
p ⎛
ν⎞ ⎛
Af ⎞
⋅ ⎜1 − ⎟ ⋅ ⎜ A f + b ⋅ t −
⎟
t ⎝
2⎠ ⎝
1 + Bα ⎠
La carga circunferencial de la cuaderna, a cualquier radio, se puede calcular utilizando las
ecs. (5-4) y (5-5) de Lamé, pero se puede obtener aquí un resultado aproximado
asumiendo que la reducción en radio, en la platabanda, es similar a la reducción del radio
en la plancha de forro, en la posición de la cuaderna (wc), ya que la compresión radial es
relativamente pequeña. La tensión en la platabanda sería:
208
Af
⎤
⎡
⎢
w
1
ν p ⋅ r 0 ⎢ ( A f + b ⋅ t ) ⎥⎥
σ θp = E ∗ c = ∗ (1 − ) ⋅
⋅ 1−
⎢
rf
rf
2
t
1+ Bα ⎥
⎥
⎢
⎦
⎣
2
(7-18)
En conclusión, conociendo los valores de la deformada a lo largo de la clara, se pueden
calcular las tensiones en cualquier punto asi como loas tensiones, momentos, etc.
La formulación que presentan todas las Sociedades de Clasificación, en lo que respecta a
submarinos y recipientes a presión está basada en las fórmulas anteriores.
Solución de Salerno-Pulos
A mediados de siglo, V. L. Salerno y J.G. Pulos, Ref. nº 12, perfeccionaron la resolución
de este problema dentro del campo elástico mediante teorías no lineales que ya tenían en
cuenta el efecto de la fuerza axial en el incremento de las deformaciones y en los
momentos del forro. En el centro de las claras se producen unas flechas producida por la
presión lateral y como consecuencia la fuerza axial (a lo largo de los meridianos del
cilindro) actúa excéntricamente con relación al semiespesor del forro, al ir este haciendo
senos, entre cuaderna y cuaderna, creando unos momentos adicionales longitudinales
que no se tenían en cuenta en las teorías lineales previas pues estas solo establecían el
cálculo de tensiones en el estado no deformado. Es lo que se denomina, en inglés, el
efecto “beam-column”.
Esta no-linealidad está originada por el cambio de geometría de estructura, y no debe ser
confundida con la derivada de la variación de las características del material cuando la
tensión excede su límite de proporcionalidad.
Como consecuencia, las deformaciones y, por consiguiente, las tensiones, no son ya
proporcionales o lineales con la presión exterior aplicada. Si en la ec. (6-6) del Apdo. 7.12,
que expresa el equilibrio de momentos en el sentido meridional se introduce el término:
NΦ·RΦβ·Rθ·senΦ·dθΦd
209
se obtiene, a través de simplificaciones, la siguiente ecuación no lineal, de una placa:
D⋅
d4 w
dx 4
+
p ⋅ r0 d2 w E ⋅ t
ν⎞
⎛
⋅
+
⋅ w = p ⋅ ⎜1− ⎟
2
2
2
2⎠
⎝
dx
r0
(7-19)
E⋅ t 3
12⋅(1− ν 2 )
Como se puede observar, la expresión (7-19) es la misma que la utilizada anteriormente*
ec. (7-1), excepto en que aparece el término nuevo,
p ⋅ r0 d 2 w
⋅
2
dx 2
que tiene como origen el efecto de la fuerza axial. Esta expresión no es lineal.
El coeficiente D es, como siempre, la rigidez de la placa: D =
La solución de la ec. (7-19) es mucho más compleja, y es la siguiente:
7-20)
ν⎞ r 2
⎛
w = eux ⋅ [A ⋅ cos( vx ) + B ⋅ sen( vx )] + e −ux ⋅ [C ⋅ cos( vx ) + D ⋅ sen( vx )] + p ⋅ ⎜1 − ⎟ ⋅ 0
2⎠ E⋅t
⎝
siendo A, B, C y D constantes reales. Esta expresión procede de la solución-tipo de esta
clase de ecuaciones, que es:
w = A 1 ⋅ e s1x + A 2 ⋅ e s2x + A 3 ⋅e s3 x + A 4 ⋅ e s4x + Cte
siendo
s1 = u + iv
s2 = u ─ iv
s3 = ─ s1
(7-21)
s4 = ─ s 2
Esta solución, expresada en forma hiperbólica, (F1 = u, F 2 = v), es:
w = A ⋅ cosh(F1x ) ⋅ cos(F2 x ) + B ⋅ senh(F1x ) ⋅ sen(F2 x )
2
⎛ ν⎞ r
... + C ⋅ cosh(F1x ) ⋅ sen(F2 x ) + D ⋅ senh(F1x ) ⋅ cos(F2 x ) + p ⋅ ⎜1 − ⎟ ⋅ 0
⎝ 2⎠ E⋅t
siendo A, B, C y D, constantes arbitrarias y F1 , F2 unos parámetros que valen:
β4 =
F1 = β ⋅ (1 − β 2 γ 2 )
γ2 =
F2 = β ⋅ (1 + β 2 γ 2 )
3 ⋅ (1 − ν 2 )
r0 2 ⋅ t 2
(7-22)
(7-23)
p ⋅ r0 3
2 ⋅E ⋅ t
Las constantes A, B, C, y D se calculan con las condiciones de borde, como
anteriormente. En este caso, no es posible conseguir una forma analítica sencilla para la
solución de la ecuación y las tensiones no pueden expresarse por fórmulas comprimidas
de fácil aplicación. Como ya se sabe, por las fórmulas de Von Sanden-Gunther, las tensiones máximas se producen en el centro de las claras y en las zonas contiguas a las
cuadernas, que son las principales situaciones a comprobar.
Estas soluciones son de tipo teórico y son bastante exactas, de bastante precisión, al
menos, en el campo elástico del material, en que este se comporta siguiendo unas leyes
muy concretas.
La soldadura en ángulo de las cuadernas al forro, produce unas deformaciones
adicionales, iniciales, tensiones internas, que es necesario evaluar para poder determinar
210
con toda precisión el campo real de tensiones, pero ya se tiene un útil preciso para la
determinación general de las tensiones en una clara.
Al ir soldadas, las cuadernas, bien por el interior, bien por el exterior, la soldadura, al
enfriar, crea unas tensiones de contracción que afectan la foro entre cuadernas como ya
hemos dicho, creándose una excentricidad inicial de las fuerzas longitudinales a la que se
suma la creada por la presión lateral.
Las flechas iniciales producidas pueden ser superiores a los 2 mm, alterándose
sustancialmente la aplicación de la fuerza axial. Es necesario, para corregir en lo posible
este efecto efectuar unas secuencias de soldadura muy lentas y la aportación de poco
calor, o bien, su destensionamiento posterior, aunque esto podría alterar las
características mecánicas del metal base.
Para su cálculo teórico es necesario añadir a las deformaciones obtenidas por ec. (7-20)
un estado de predeformación determinado, obtenido por medios empíricos, a partir de
ensayos de taller. Por el carácter no lineal de las deformaciones, el método anterior de
sumar algebraicamente la deformaciones iniciales a las calculadas es solo aproximado
siendo necesario, para efectuar un cálculo conceptualmente mas perfecto, el
planteamiento de ecuaciones que incluyan un estado de predeformación y pretensión sin
fuerzas externas y añadir a continuación una presión externa. Las tensiones internas de
soldadura se deben considerar como muelles actuando unidos por un lado a las
cuadernas y por otro al forro contiguo. Las constantes de rigidez de estos muelles, muy
altas se pueden estimar a partir de las deformaciones que se observen con motivo de la
soldadura.
El criterio de rotura que conviene aplicar es el Von Mises-Hencky para las zonas
intermedias del forro pero en las zonas del forro cercanas a las cuadernas, en que las
tensiones internas son muy grandes, es necesario aplicar criterios basados en la
plastificación y fatiga si se quiere apurar el cálculo de espesores del forro. No obstante, el
fenómeno de las tensiones internas procedentes de la soldadura es tan complejo que
normalmente no se considera y se aplican criterios elásticos a las zonas afectadas.
Según el criterio de Von Mises-Hencky, (*) para una relación de tensiones principales de
2/1, la tensión equivalente es un 85 % de la máxima, lo que significa que la tensión
admisible puede ser hasta un 16 % mayor que la de fluencia en ensayo uniaxial, y por
consiguiente, las presiones exteriores aplicadas.
(*) Criterio de rotura de Von Mises-Hencky (biaxial): σ comb = σ x 2 − σx ⋅ σy + σ y 2 ≤ σ y
Para la obtención de las constantes A, B, C, y D de la ec. (7-22). se recurre a los mismos
argumentos aplicados en el apartado anterior, es decir las mismas condiciones en los
bordes y las condiciones de simetría.
Si se fija el origen de las abscisas en centro de las claras, la función del desplazamiento,
w debe de ser simétrica. Por consiguiente, C = D = 0, resultando una solución del tipo:
2
⎛ ν⎞ r
w = A ⋅ cosh(F1x ) ⋅ cos(F2 x ) + B ⋅ senh(F1x ) ⋅ sen(F2 x ) + p ⋅ ⎜1 − ⎟ ⋅ 0
⎝ 2⎠ E⋅t
El momento y la fuerza cortante, en cualquier punto del forro, son
⎛ d2 w ⎞
⎟
Mx = − ⋅ D ⋅ ⎜
⎜ dx 2 ⎟
⎠
⎝
⎛ d3 w ⎞ p ⋅ r0 ⎛ dw ⎞
⎟−
Qx = − ⋅ D ⋅ ⎜
⎜
⎟
⎜ dx 3 ⎟
2 ⎝ dx ⎠
⎠
⎝
Planteando, como anteriormente, las condiciones de borde, (extremo de clara) que son:
211
⎛ dw ⎞
⎜
⎟=0
⎝ dx ⎠
(tangente = horizontal = 0)
⎛ d3 w ⎞
⎟ = K ⋅ w − p ⋅ ⎛⎜1 − ν ⎞⎟ ⋅ b
2 ⋅D ⋅⎜
⎜ 3 ⎟
2⎠
⎝
⎝ dx ⎠
(fuerzas cortantes)
se pueden obtener los valores de las constantes A y B. Y de aquí obtener la función de
desplazamiento, w = f(x).
Se presentan dos ejemplos de la obtención de tensiones utilizando las ecuaciones
lineales (von Sanden-Gunther) y las no lineales de Salerno-Pulos, para presión uniforme
exterior.
En estos ejemplos se ha supuesto una distancia entre mamparos de 25 m y 30 m,
respectivamente, que son totalmente arbitrarias, pero suficientes para que no influyan en
el cálculo de la cuaderna tipo, muy alejada de los extremos.
Como se puede observar, en los Ejemplos nº 1 y 2, el efecto no lineal en las tensiones,
debida al afecto “beam column”, es moderado, aunque no despreciable. Puede
observarse que las tensiones longitudinales, junto a la cuaderna, por el método no lineal
son un poco más altas que las lineales. En estos casos, del orden del 6-7 %. Sin
embargo la carga en las cuadernas disminuye, aunque muy ligeramente.
La tensión en la platabanda de las cuadernas, en un caso típico, es orden del 65% de la
correspondiente al forro en los puntos más cargados y del orden del 85% de la existente
en el tramo de forro pegados ellas, a medio espesor, (ello deriva de que siendo la
deformación radial la misma, la plancha está sometida también a una fuerza de
compresión axial, con lo cual se genera un corrección por Poisson, que vale σ·ν/2).
La tensión en la platabanda es aún inferior en las cuadernas situadas por el exterior.
En todos los ejemplos el módulo de Young es E = 2,05 daN/cm2 y el de Poisson, ν = 0,3,
que son típicos de la mayoría de los aceros.
Como ya se ha señalado, las tensiones obtenidas solo son aplicables a las cuadernas y
forro no influenciadas por los mamparos, que en cilindros largos representa el 80% de su
eslora. Para el resto las tensiones serán menores, excepto para el forro que conforme se
va acercando la mamparo tiene que tomar unas deformaciones radiales cada vez mas
pequeñas hasta llegar a tener, justo en le mamparo, el radio original del anillo, sin carga.
En el primer ejemplo las tensiones son adecuadas pata una acero de 6900 bar de limite
de fluencia. En el segundo, para 660 m de cota, presión uniforme, la tensión máxima
(uniaxial, no lineal) es de 6906 bar y la combinada de 6441 bar, que son un poco
ajustadas (altas), para un acero HY100 de unos 6900 bar de tensión de fluencia, teniendo
en cuenta que hay que tener un margen para la tensiones inducidas por la carga
hidrostática triangular correspondiente a su diámetro, que va sumada a la uniforme. El
resultado está pidiendo aumentar el espesor de forro en unos 2 mm, para mas seguridad.
Ejemplos
NOMBRE DEL BUQUE
EJEMPLO 1
TIPO DE MATERIAL (1,2,3,4,5). = 2
INMERSION DE CALCULO IO = 650 METROS
DIAMETRO EXTERIOR DEL ANILLO, MM....
212
DE = 6400
ESPESOR DE FORRO MM..................
T = 30
CLARA DE LAS CUADERNAS MM............
CLA= 580
ALTURA DE LAS CUADERNAS MM...........
HCU= 250
ESPESOR DEL ALMA DE CUADERNAS MM....TW = 14
ANCHURA DE PLATABANDA DE CUAD. MM....DF = 140
ESPESOR DE PLATABANDA MM............
TF = 35
POSICION DE LAS CUADERNAS (INT,EXT)...
= INT
DISTANCIA ENTRE MAMPAROS MM........ LMM= 30000
COEF. ESTABILIDAD DE CUADERNA.....COFCU = 0.51
RELACION ALT/ESP ALMA = 15.35714 (MAX.= 16.85402 )
RELACION ANCH/ESP ALA = 4 (MAX.= 9.630868 )
TENSIONES EN BARES A LA INMERSION DE CALCULO = 650
LINEAL
NO-LINEAL
TENSION TRANSV. CENTRO.(EXT).= 5862
5839
TENSION LONGIT. CENTRO.(EXT). = 4794
5150
TENSION COMBIN. CENTRO.(EXT)========= 5527
TENSION TRANSV. EXTREM.(INT).= 5782
5704
TENSION LONGIT. EXTREM.(INT). = 6235
6699
TENSION COMBIN. EXTREM.(INT)========= 6261
TENSION EN PLATABANDA ...... .= 4241
4005
xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
NOMBRE DEL BUQUE
EJEMPLO 2
TIPO DE MATERIAL (1,2,3,4,5). = 2
INMERSION DE CALCULO IO = 660 METROS
DIAMETRO EXTERIOR DEL ANILLO, MM.... DE = 7800
ESPESOR DE FORRO MM..................
T = 36
CLARA DE LAS CUADERNAS MM............
CLA= 690
ALTURA DE LAS CUADERNAS MM...........
HCU= 320
ESPESOR DEL ALMA DE CUADERNAS MM....TW = 16
ANCHURA DE PLATABANDA DE CUAD. MM....DF = 170
ESPESOR DE PLATABANDA MM............
TF = 42
POSICION DE LAS CUADERNAS (INT,EXT)... = INT
DISTANCIA ENTRE MAMPAROS MM........ LMM= 30000
COEF. ESTABILIDAD DE CUADERNA.....COFCU = 0.48
RELACION ALT/ESP ALMA = 17.375 (MAX.= 16.85402 )
RELACION ANCH/ESP ALA = 4.047619 (MAX.= 9.630868 )
TENSIONES EN BARES A LA INMERSION DE CALCULO = 660
LINEAL
TENSION TRANSV. CENTRO.(EXT).= 5997
213
NO-LINEAL
5970
TENSION LONGIT. CENTRO.(EXT). = 4938
5317
TENSION COMBIN. CENTRO.(EXT)========= 5672
TENSION TRANSV. EXTREM.(INT).= 5930
5844
TENSION LONGIT. EXTREM.(INT). = 6409
6906
TENSION COMBIN. EXTREM.(INT)========= 6441
TENSION EN PLATABANDA ....... = 4364
4108
Otras soluciones
La resolución de la ecuación completa, ec.(7-19), puede efectuarse por numerosos
métodos aproximados, entre los cuales se encuentran los siguientes:
- Método de las series de Fourier:
Expresando w por una serie de Fourier, por ser w simétrica respecto al centro de las
claras, el desarrollo es mediante cosenos, que son funciones pares.
Los coeficientes de esta serie se calculan por medio de su transformada. La serie es
rápidamente convergente. Se puede introducir en la expresión de w una deformación
simétrica (de revolución) inicial que puede corresponder a la deformación debida a la
soldadura de las cuadernas.
- Método asintótico.
La ecuación diferencial puede ser resuelta expresando la deformación w como una serie
función de la presión, en forma de serie de potencias:
w = a1·p + a2·p + a3·p …..
El primer término de la serie, a1p corresponde a la solución lineal de Von Sanden y
Gunther.
Sustituyendo esta solución en la ec. (7-l9), se obtiene una serie de ecuaciones en a1, a2
a3, etc. que permite determinarlas.
El número de términos de este desarrollo no es necesario que sea muy grande ya que con
solo el primero la aproximación es ya aceptable. Si se emplean dos términos la solución
que se obtiene es no-lineal, equivalente a la de Salerno-Pulos.
En general, hasta ahora se han considerado cascos con las cuadernas regularmente
espaciadas, de sección constante, y espesores uniformes, por lo cual solo es necesario
establecer dos condiciones de borde para cada clara y al ser todas iguales, el problema
general queda resuelto. Cuando la distancia entre mamparos es relativamente pequeña,
cuando los espesores son variables o cuando las cuadernas no son iguales o están
irregularmente separadas, ya no es correcto establecer las hipótesis anteriores siendo
necesario establecer cuatro condiciones de borde por clara lo que conduce a un sistema
de ecuaciones que debe ser resuelto para la obtención de la solución general.
Si se expresan las condiciones de borde en función de las deformaciones y giros del forro
en las cuadernas (en n cuadernas), se obtiene un sistema de (2 x n) ecuaciones cuyos
términos son obtenidos planteando el equilibrio de momentos flectores y fuerzas cortantes
(radiales) en las cuadernas. A partir de las deformaciones y los giros en las cuadernas se
pueden determinar las deformadas de todas las claras y una vez conocido estas se
pueden hallar las tensiones en los puntos que interesen. Este método es muy útil porque
permite determinar las tensiones en anillos irregulares.
Puesto que las cuadernas también giran es necesario tener en cuenta al establecer el
equilibrio de momentos, el momento de reacción de estas, que suele ser relativamente
bajo por ser las cuadernas perfiles abiertos.
214
Si, las cuadernas llevan un ala ancha unida rígidamente al forro, esta zona del forro toma
escasas deflexiones radiales o curvaturas, pero puede girar respecto a su directriz,
permaneciendo con sus generatrices rectas, con lo cual la figura que toma será cilíndrica,
en las cuadernas centrales, o cónica. Si hay un giro, entonces las deformaciones w a
cada lado de ella no son iguales, debiéndose efectuar una corrección que es igual al
ancho anexo a la cuaderna por el giro de esta.
7.18.3.- Conclusiones interesantes de la solución de tensiones
Como se puede observar, en las expresiones de las tensiones, en las ecs. (7-6b) y ecs.
(7-7b) del Apdo. 17-17, tanto la tensión axial como la transversal están compuestas por
unos términos que son función de la presión, de la deformación y de la segunda derivada
de esta. En la tensión axial la deformación no interviene y la tensión se mantiene
constante, pero si ocurre a la inversa, la tensión axial puede hacer que las tensiones se
modifiquen, por el efecto de la compresión longitudinal sobre el forro, con flecha a mitad
de la clara.
En general, las expresiones de la tensión constan de unos términos que son
representativos de un cilindro sin refuerzos, es decir las tensiones básicas de membrana:
σx = −
p ⋅ r0
2⋅t
σy = −
p ⋅ r0
t
modificadas por factores complementarios que tienen en cuenta el efecto de las
cuadernas. En las tensiones transversales, o circunferenciales, el efecto de la inclusión de
las cuadernas es generalmente beneficioso al proporcionar términos que hacen disminuir
estas, (impiden que el forro se contraiga mucho radialmente, en sus cercanías) mientras
que en las tensiones axiales (longitudinales) el efecto es negativo, a causa de los
momentos longitudinales que provocan, si se tiene en cuenta la flecha diferencial que
toma el forro en medio de las claras (estudio no-lineal) respecto a puntos situados en las
cercanías o justo encima de las cuadernas y que se agrava por el efecto denominado
“beam-column”. Es decir, la fuerza axial colabora en aumentar estos momentos, que en la
teoría lineal no se incluye, al considerar que la deformación no influye en el efecto de las
cargas.
El efecto “beam column” se representa gráficamente en la Figura siguiente:
215
Observando la figura se puede deducir que la fuerzas de compresión, F, que inicialmente
empujaban sobre la fibra situada a medio espesor de la pancha, y por consiguiente esta
no estaba expuesta a momentos producidos por la fuerza axial (asunción de la teoría
lineal: no se consideran las deformaciones producidas por la carga en el reparto final de
tensiones). Si, por el contrario, se considera que esta toma una flecha (d) debido a la
presión lateral exterior, (hipótesis mas realista), la fuerzas F ya no empujan del mismo
modo que antes, ahora lo hacen de forma excéntrica respecto al punto medio del espesor
en la zona central de las claras, por lo que tienden a plegar (flexionar) la plancha, en el
sentido de incrementar aún mas la flecha que ya tiene. O sea, agravan la deformación, los
momentos, en el sentido longitudinal de las tiras longitudinales de plancha entre cuaderna
y cuaderna. Por este motivo, en las soluciones no-lineales, las tensiones longitudinales
resultantes son un poco mayores que las obtenidas mediante las ecuaciones lineales.
Según L. B. Wilson, Ref. nº 13, el efecto de la no-linealidad debido a la fuerza axial puede
ser despreciado. Expone, además, que los resultados teóricos obtenidos utilizando teorías
puramente plásticas dan como presiones de ruina valores que solo exceden el valor de la
presión (lineal) de plastificación inicial, ec. (7-25) en un % muy moderado.
Pero los resultados que tenemos, por otros conductos, son más negativos y la tensión
longitudinal puede ascender un 5-10% a causa del efecto “beam column”, sobre todo en
claras grandes. Si en vez de aplicar la teoría lineal para la determinación de la
deformación w0, se aplica la exacta, es decir la ec. (7-19), no lineal, el % de diferencia
puede oscilar entre un 5 y un 10 %, lo que puede ser substancial, según el caso.
Por consiguiente, la introducción de cuadernas, que se efectúa para reforzar el cilindro
frente a la inestabilidad del forro y el pandeo general, puede producir efectos
desfavorables en cuanto a las tensiones se refiere, al ser aquellas elementos que
producen una discontinuidad importante de la rigidez en el sentido longitudinal.
No obstante, como las tensiones longitudinales valen la mitad que las transversales,
aquellas disponen de un margen de crecimiento (a causa de los momentos) hasta llegar a
igualarse a las segundas.
En cualquier caso, la mejora o reducción en las tensiones nunca compensa el exceso de
peso que se introduce con la instalación de las cuadernas, aparte de la complejidad
constructiva que esto ocasiona, pero estas son imprescindibles para atajar los fenómenos
de inestabilidad estructural, como ya se ha mencionado.
216
En general, las conclusiones mas interesantes que se desprenden del análisis de las
diversas soluciones de tensiones que existen, dentro del campo elástico, son las
siguientes:
1) No interesan cuadernas demasiado rígidas o fuertes pues la tensión longitudinal
puede aumentar más de lo indispensable. El escantillón de las cuadernas deberá
estar ajustado al los requerimientos del pandeo general ya que evitar este es su
objetivo fundamental. En el caso de cuadernas que sean tan rígidas que
equivalgan a mamparos, la tensión longitudinal puede llegar a ser el doble de la
básica (cilindro sin refuerzos). Efectuado el cálculo para una zona contigua a un
mamparo, el forro tiene mayores tensiones longitudinales que las típicas, y se
pueden incrementar mucho al ser la rigidez de aquellos muy grande, en sentido
radial. Se suele reforzar el forro en las proximidades de estos, (fajas), lo mas
práctico, o bien situar las cuadernas contiguas mas juntas o de mayor sección.
Por ser zonas muy reducidas o solo tiras circulares en forma de bandas junto a los
mamparos, de una anchura inferior a dos claras de cuadernas, sus efectos sobre
la inestabilidad general son escasos. Ello ha podido ser comprobado en los
ensayos. En lo que se refiere al pandeo entre cuadernas, sin embargo, este ocurre
preferentemente en las claras adyacentes a los mamparos, precisamente por ser
zonas con tensiones medias altas. Algo similar ocurre en los ensayos de
plastificación. O sea, la rigidez de las cuadernas deberá determinarse atendiendo
a las necesidades de estabilidad, pero su sobre-dimensionamiento puede ser
perjudicial a efectos de tensiones y evidentemente, a efectos de pesos.
2) De un modo general, al aumentar la clara no se puede decir que aumente la
tensión longitudinal, sino que esta oscila alrededor de un valor constante. Esto se
entiende porque llega un momento en que el forro, en el centro de las claras, toma
la deflexión (constante) de un tubo simple y la influencia de las cuadernas se limita
a unas tiras circunferenciales de forro en la proximidad de estas.
3) La tensión transversal puede hacerse superior a la tensión base (de membrana)
para valores de α cercanos a 4, oscilando alrededor de p·r / t a partir de ese valor.
4) Aunque la solución lineal de tensiones de la ec.(7-6b), ec.(7-7b) o las no lineales
(geométricas) se limitan al campo elástico, es aceptado que, en aceros de baja
aleación o materiales que presenten un punto de fluencia acusado, el colapso por
tensiones se produce a una presión ligeramente superior a la que se obtiene para
la superación del límite elástico o la primera fluencia, respectivamente, usando
estas formulas. La primera fluencia es aquella en que solo algunas fibras
superficiales del anillo entran en plastificación por exceso de tensiones, lo cual no
impide que el resto tenga niveles mucho menores y evite el colapso inmediato.
Debido a la existencia de una fase inelástica seguida de una zona de fluencia, el
campo de resistencia del cilindro reforzado se prolonga muy poco (del 0 al 10 %)
sobre el fin de la zona inelástica, dependiendo de las características particulares
del acero empleado, de la disposición del forro y de las cuadernas. En materiales
que no presenten un límite elástico o de fluencia acusados será necesario efectuar
este cálculo por etapas o por aproximaciones sucesivas hasta alcanzar el límite
admisible de carga del material (límite de fluencia ficticio) variando en cada paso el
valor del módulo E y del módulo de Poisson. Debe señalarse que las tensiones
máximas se encuentran inicialmente localizadas en zonas muy reducidas y
superficiales del forro, por lo que es necesario que estas zonas se expandan para
que se pueda producir el mecanismo que conduzca a la ruina o colapso de la
estructura. Esta presión se puede determinar mediante la teoría lineal en régimen
elástico que, aunque conceptualmente no seria la adecuada, permite una rápida
obtención de unos resultados bastante aproximados.
Así, se tiene que, la flecha en el centro de las claras, incluyendo el efecto Viterbo es,
217
(w)x =0 =
p * r0 2 ⎛
Af
ν⎞ ⎡
Q( 2α ) ⎤
⋅
⎜1 − ⎟ ⋅ ⎢1 − 2 ∗·
⎥
E⋅t ⎝
2⎠ ⎣
A f + b ⋅ t 1+ Bα ⎦
(7-24)
La tensión en este punto para z = 0, (fibra neutra del forro), ec, (6-25), en sentido
transversal, centro de la clara, que es el de máxima deflexión, es:
σθ = −
E ∗ w ν ⋅ p ⋅ r0
−
r0
2⋅t
(7-25)
Introduciendo la ec. (7-24) en la ec. (7-25) se obtiene para la presión exterior que causa
fluencia (en sentido transversal, centro de clara):
p yc =
σ y ⋅ t / ro
(7-26)
1− γ ⋅ G
siendo,
γ=
A f ⋅ (1 − ν / 2)
A f +b ⋅ t + 2 ⋅ X 3 (2α ) ⋅ t / β
G=2·Q(2α)
β=
1,285
r0 ⋅ t
La presión de plastificación en el centro de las claras de la ec. (7-26) puede ser una
presión inalcanzable en un caso real, si hay otros puntos mas cargados en la clara (p.e.
los puntos de contacto entre forro y cuaderna o de extremo de clara) que hagan que el
cilindro entre ya en fluencia a una presión menor. No obstante es muy útil, a nivel teórico,
y muestra el potencial resistente del forro entre cuadernas con vistas al cálculo de la
inestabilidad entre cuadernas ya que es un índice de su estado de carga transversal
medio. Ver Apdo. 17.19.
A la presión que se obtiene cuando se alcanza la tensión de fluencia en las zonas
contiguas a los extremos de clara, normalmente las mas cargadas, se le denomina
“presión de primera fluencia”, mientras que la que produce la plastificación del centro de
las claras, un poco mayor, se le denomina “de segunda fluencia”. Si la primera no
consigue hacer colapsar el cilindro, por su carácter muy localizado, cuando se llega a esta
segunda presión, el colapso ocurre sin remedio. Por consiguiente la presión real de
colapso esta acotada entre estos dos valores, que suelen variar en no más de un 15 %,
pero se suele considerar que es la correspondiente a la de primera fluencia, en plan
conservador.
Con el fin de poder comparar diferentes geometrías, se ha definido un parámetro,
denominado factor de presión y que se expresa por:
ψ=
pc
σ y ⋅ t / r0
Este factor es el cociente de dividir la presión de colapso real (pc) (o la calculada,
supuesta esta muy próxima a la anterior) de la estructura, por la presión que produce la
plastificación transversal en un cilindro sin refuerzos, (p = σy· t / r). Esta presión es la que
produciría fluencia en un cilindro sin refuerzos bajo la hipótesis de Rankine, basada en la
tensión en la dirección transversal solamente, uniaxial, (formula de anillos), sin que
intervenga Poisson, ni Von Mises (criterio de tensión combinada).
Se ha ido mejorando este factor con el paso de los años debido a una mejor distribución
del material, posiblemente a causa de un mejor conocimiento de la distribución de
tensiones en la claras, y una reducción paulatina de la clara entre cuadernas. Puesto que
en este factor no interviene el área de la sección transversal de las cuadernas ni su
218
separación relativa, E. Wenk, del DTMB propuso la modificación de dicho factor en la que
se tomase como espesor de forro el valor de este mas la parte proporcional de las
cuadernas, (obteniéndose un espesor ficticio de forro, t’ ). Ello equivalía a considerar un
espesor medio uniforme de forro, incluyendo el área de las cuadernas. En la expresión de
ψ habría que sustituir t/r por t’/r, y el denominador de este factor modificado seria la
presión a la que se produce fluencia en sentido transversal para un cilindro simple de
espesor t’.
Este último factor se considera más adecuado e indicativo del papel de las cuadernas. No
obstante como no intervienen las presiones de inestabilidad y, a mayor cota es necesaria
una mayor área de la sección recta de cuadernas, (para tener mayor estabilidad y que
contribuye poco a la reducción de tensiones en el forro), este factor de presión disminuye.
Así, a partir de una época, no se han conseguido mejoras apreciables ya que, al ir
aumentando la cota de colapso paulatinamente, ha obligado a un aumento del escantillón
relativo de las cuadernas respecto al forro, con una separación mas pequeña, al utilizarse
cada vez aceros de mayor limite elástico.
Quizá con mejores proyectos o un dimensionamiento mas efectivo se puedan mejorar los
factores de presión pero se estima que, mientras se siga construyendo con cuadernas, el
límite máximo teórico del factor (= 1,16) obtenido por el criterio de rotura de Von
Mises-Hencky, para un cilindro simple, será dudosamente alcanzable, por razones obvias:
el área de las cuadernas colabora poco o nada en la resistencia del forro a la presión y
este no puede soportar mayores presiones o tensiones que el limite de fluencia del
material, en el caso de que la geometría fuese la ideal. Poco se puede hacer ahora para
mejorar estos factores.
Un grafico muy relevante y que ha servido de base para numerosos estudios es el
presentado por D. F. Windenburg y C. Trilling, en que se muestra la relación entre el
parámetro de esbeltez, λ y la factor de presión, ψ.
El parámetro de esbeltez o simplemente esbeltez, viene dado por la expresión:
Esbeltez según Windenburg -Trilling
λ=
4
(L /(2 ⋅ r0 ))2
( t /(2 ⋅ r0 ))3
∗
σy
E
(7-27)
Como puede observarse, al aumentar L, r0 o σy se incrementa la esbeltez.
En dicho gráfico, Fig. nº 61, se puede observar la relación existente entre la esbeltez y el
factor de presión para valores de aquella comprendidos entro 0,4 y 2,0. La curva marcada
por el trazo continuo es la representación de la función:
ψ=
1,30
λ2
(7-28)
que es la simplificación de Windenburg de las fórmulas de inestabilidad del forro entre
cuadernas.
Lo más llamativo, a efectos del colapso por tensiones, es que, para esbelteces λ inferiores
a 0,8, el colapso es generalmente por plastificación y se produce con factores de presión
superiores a 1. Como consecuencia, es deseable que el dimensionamiento de la
cuaderna-tipo conduzca a factores λ moderados o pequeños (preferentemente 0,7) ya que
así se consiguen altas presiones de colapso altas, en el modo inelástico.
Como puede observarse en la Fig. nº 61, para valores de la esbeltez mayores a λ = 1, el
factor de presión van disminuyendo debido a la existencia de inestabilidad elástica cada
vez mas acusada, entre cuaderna y cuaderna, que obliga a reducir la presión de servicio.
Para valores de la esbeltez inferiores a 1 la función ec. (7-28), de inestabilidad entre
cuadernas en régimen elástico, es optimista debiéndose tomar la que se marca con el
trazo rojo en la figura, que es una curva media aproximada del régimen inelástico.
219
Un fenómeno similar ocurre con las barras rectas sometidas a compresión que, cuando
son cortas, pandean en régimen inelástico, y ya no son aplicables las fórmulas de Euler,
que contemplan solamente el régimen elástico.
La conclusión más importante que se desprende de las figuras anteriores es que para
conseguir un factor de presión alto, del orden de 1,05 a 1,10, o sea, obtener un colapso
en el modo inelástico o plástico, y aprovechar el material al máximo, es necesario trabajar
con esbelteces pequeñas, del orden de λ = 0,7 a 0,8. Esto obliga a tener las cuadernas
bastante juntas lo cual, desde el punto de vista constructivo, es negativo. Con el fin de
reducir le número de cuadernas se tiende a tener claras mas grandes de las
recomendadas por las Figuras anteriores, que son las ideales para conseguir el colapso
en el modo francamente plástico y se suele ir a esbelteces λ un poco mas altas, del
orden de 0,9 a 1,05, que ya no son tan estables y esto exige que las construcciones
tengan unas tolerancias bastante ajustadas en los espesores de plancha, ya que las
variaciones del espesor influyen bastante, y en el alisado de las mismas. Todo por ahorrar
en el número de cuadernas a construir.
Las consideraciones anteriores nos permiten efectuar el dimensionamiento aproximado
de la cuaderna tipo del casco. Si se requiere una presión de colapso pc, con un radio dado
del anillo y un límite de fluencia σy del material, si queremos que el factor de presión sea
del orden de 1, o mayor, podemos obtener el espesor del forro a través de la siguiente
expresión (suponiendo un factor inicial-objetivo de 1,1):
t=
1 p c ⋅ r0
1 p c ⋅ r0
∗
≡
∗
ψ
σy
σy
1,10
Una vez conocido el espesor t, la clara necesaria se obtiene de la expresión de la
esbeltez, de forma que esta sea igual a 0,8 o 0.9 como máximo. Con ello se garantiza que
el colapso es por plastificación y además el factor de presión es alto. Bastan unas cuantas
iteraciones para ajustar la relación ψ - λ, para así obtener una idea general del espesor
necesario y la separación de cuadernas. El área de las cuadernas aún no está definida
220
pero esto se hará atendiendo a criterios de inestabilidad general. Evidentemente, una vez
hecho esto habrá que comprobar por separado, con la solución especifica de tensiones,
que las tensiones que se obtienen son admisibles, así como verificar la inestabilidad entre
cuadernas por otros métodos más precisos, y que se exponen mas adelante.
En la mayoría de los casos, este procedimiento conduce a resultados muy rápidos y
bastante próximos a los definitivos.
Cuando se entra en el campo de la inelasticidad o de la plastificación, el cálculo se
complica enormemente. Paul & Hodge, Ref. nº 15, ha elaborado una teoría sobre la
plastificación que, aplicada a cilindros simples sometidos a carga hidrostática uniforme,
radial y axial, ha dado unos resultados bastante aproximados. Esta teoría es aplicada al
forro comprendido entre dos cuadernas rígidas y permite determinar la carga máxima que
puede soportar, incluyendo la plastificación y el efecto “beam column”.
Los parámetros empleados son:
p = presión uniforme exterior
p * r0
σy ⋅ t
ψ = factor de presión →
ψ=
ω = parámetro de clara →
ω2 =
β = parámetro de clara → β 2 =
3 ⋅ ψ ⋅ σy
2 ⋅E
L2
2 ∗ r0 ⋅ t
2
2
3 ⋅ ψ ⋅ σy
⎛ r ⎞
⎛L⎞
4
(1 − ν 2 ) ∗ ⎜ ⎟
(1 − ν 2 ) ∗ ⎜
⎟ ∗ω =
2⋅E
⎝ 2 ⋅L ⎠
⎝t⎠
Resumiendo, resulta que el factor de presión de colapso, (ψEP), en régimen elasto-plástico
es:
β 2 ·cos β
ψ EP = 1 +
4 ⋅ ω 2 ⋅ (1 − cos β) + β 2 ⋅ cos β
Esta ecuación es del tipo implícito ya que β depende de ψ, que es función de p, por lo que
se debe calcular por iteración o por el método de prueba y error.
Así, para una clara típica de las siguientes dimensiones:
r0= radio medio del forro = (7300 -35) /2 = 3632,5 mm
t = espesor de forro = 35 mm
L = clara = 660 mm
σy = 6900 bar
E = 2,05 · 106
Ψ =1,08 asumido
ω2 = 1,7131
β2 = 1,7644 → β = 1,328
→
cos β = 0,2401155
pEP = 1+ 0,0753 = 1,0753
Este resultado se puede dar por bueno ya que se aproxima por arriba al valor asumido de
ψ y garantiza que el Ψ =1,08 asumido se va a satisfacer. Luego, la presión elasto-plástica
de colapso sería:
pcrEP = ψ · σy · t / r0 = 71,5 bar
Este resultado se refiere exclusivamente al comportamiento elasto-plástico del forro
(supuestas las cuadernas rígidas) y el autor sugiere aplicar un coeficiente reductor de
221
0,95, por lo cual la presión de fluencia sería de unos 68 bar, (que es lo mismo que
considerar un factor de presión efectivo de 0,95 · 1,0753 = 1,021 ~ 1,0).
Si calculamos la esbeltez λ de Windenburg, se obtendría el valor 0,9562 y en Fig. nº 61 se
tendría un factor de presión, en régimen inelástico, del orden de 1-01 a 1,03, lo que
coincide prácticamente con el resultado anterior.
Basados en los estudios anteriores, Paul & Hodge e insertando la parte correspondiente a
al campo elástico han obtenido el siguiente gráfico, la Fig. nº 62, para un forro de espesor
t, simplemente apoyado entre dos cuadernas rígidas separadas una distancia L,
incluyendo el efecto “beam-column”, en función de los siguientes parámetros:
Factor α
⎛r
α = 2 ⋅ (1 − ν ) ⋅ ⎜⎜ 0
⎝L
2
=>
Parámetro de clara ω2
Factor de presión ψ =>
=>
ω2 =
ψ=
2 σ
⎞
y
⎟⎟ ∗
E
⎠
(7-29)
L2
2 ⋅ r0 ⋅ t
(7-30)
p colapso
t
σy ⋅
r
(7-31)
El factor α es una esbeltez que equivale a la definida por Windenburg, λ al cuadrado,
dividida por ω3.
2
λ2 =
⋅ α ⋅ ω3
2
1− ν
El factor de presión es el mismo y el parámetro de clara equivale al valor clásico de (βL)2,
utilizado en la solución de la ecuación de placas cilíndricas simples, dividido por una
constante. Los valores mas corrientes del parámetro ω2 están en el entorno de 2. A partir
de la línea a color azul de la figura, que separa la zona de inestabilidad elástica de la zona
de fallo por plastificación, estas curvas de ω2 = Cte, toman otra configuración apartándose
de la hipérbola que representa la función de la ec. (7-28).
Así, para ω2 = 2, el cambio de régimen se produce con un factor de presión de 0,91
aproximadamente, que corresponde a un α = 0,3 y a una esbeltez λ = 1,36. A partir de
este punto de separación, el gráfico de la función pE= f (α) y para ω2= 2,0 es una recta.
Se puede comprobar que, para valores de α cercanos a 0,1 que es un valor corriente, se
obtienen valores del factor de presión que oscilan entre 1,08 y 1,2 y que corroboran los
resultados experimentales.
Si se llevan, sobre la Fig. nº 62, los valores de la función ψ, ec. (7-28), de Windenburg se
obtienen curvas que son paralelas a las de Hodge. Se han representado en la figura las
curvas de la función ψ de Windeburg para ω2 = 2 y ω2 = 2,4.
Hay que señalar que la Fig. nº 62 no corresponde exactamente con las condiciones reales
del conjunto forro-cuadernas, pero son un índice claro de lo que sucede, estimándose que
los resultados reales difieren poco de los previstos por dicha figura, de carácter totalmente
teórico.
Se puede comprobar que lo apuntado anteriormente de que por debajo de λ =1,0
empiezan a disminuir las probabilidades de que el colapso sea por inestabilidad o pandeo
(entre cuadernas), y que lo sea por plastificación en régimen inelástico, también se
verifica en la Fig. nº 62, elaborada con otros principios.
222
A titulo de ejemplo, veamos qué espesor de forro y clara de cuadernas se obtienen para
los siguientes datos, utilizando la esbeltez λ, de Windenburg:
pc= 650 m ≈ 65 bar (presión de colapso objetivo)
r0 = 3 m. = 3000 mm
σy = 65 hbar = 6500 bar, (≈ HY100)
E=2,05 ·106 bar
1 p ⋅r
1 p c ⋅ r0
t= ∗ c 0 ≡
∗
= 27,3 mm ≈ 28 mm
1,10
ψ
σy
σy
Para una esbeltez de λ= 0,9 y t = 28 mm,
4
λ = 0,6561 =
(L /(2 ⋅ r0 ))2 ⎛⎜ σ y ⎞⎟
⎟
⎜
( t /(2 ⋅ r0 )) ⎝ E ⎠
3
λ = 0,9 = 4
(L /(2 ⋅ r0 ))2
( t /( 2 ⋅ r0 ))
3
∗
σy
E
2
=> (L/2 r0)2 = 6,632/1000 => clara L= 489 mm
Para una esbeltez de λ= 0,95 =>
Para una esbeltez de λ= 1,0 =>
L= 544 mm
L= 603 mm
Si fijamos la clara en 550 mm, (con λ ~ 0,95) vamos a ver que ocurre entrando en la Fig.
nº 62.
223
⎛r
α = 2 ⋅ (1 − ν ) ⋅ ⎜⎜ 0
⎝L
2
2 σ
⎞
y
= 0,172
⎟⎟ ∗
E
⎠
=>
ω2 =
L2
=1,8
2 ⋅ r0 ⋅ t
Entrando en las curvas de la Fig. nº 62 con α = 0,172 y se sigue la curva ω2 =1,8
(interpolando entre ω2 = 1, 75 y 2), se obtiene un factor de presión de ψ = 1,07, inferior al
tomado inicialmente como objetivo, (ψ = 1,1), por lo cual habría que ir a una clara un poco
menor, o conformarse con este factor, que es bastante bueno. La presión de colapso será
ahora, teóricamente, de 635 m.
Esta claro que con este λ = 0,95, se produce colapso por plastificación y no por
inestabilidad elástica. Incluso podríamos haber seleccionado una clara mas alta, si nos
hubiese interesado que fuese mas grande.
Si, con el mismo espesor de t = 28 mm, optamos por una clara de 603 mm (la obtenida
para λ =1), los números serían los siguientes:
ω2 = 2,16
α = 0,1428
Entrando en la figura anterior con estos últimos valores de α y ω2, se obtiene un factor de
presión de 1,03, aproximadamente, que también podría ser aceptable, desde el punto de
vista de la inestabilidad entre cuadernas, aunque mas ajustado. La presión de colapso ha
bajado a 608 m pero también lo hace el peso de la estructura.
224
En la Fig. nº 61 también se obtendría un factor de presión semejante, para λ =1,03,
aunque con una cierta imprecisión, por la dispersión natural de estos puntos.
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