El modelo estándar y su fenomenología José Santiago

MÉTODOS Y TÉCNICAS AVANZADAS EN FÍSICA
El modelo estándar y su fenomenología
Parte 2: Cromodinámica Cuántica (QCD)
José Santiago
Física Teórica y del Cosmos
and CAFPE
Universidad de Granada
Programa
●
Teorías gauge no abelianas: Lagrangiano clásico
●
Cuantización mediante integral de camino
●
●
QCD a un loop
●
●
Regularización, renormalización, grupo de
renormalización y libertad asintótica
QCD a altas energías
●
●
Grados de libertad físicos vs ghosts
Factorización, modelo de partones
QCD a bajas energías: lagrangiano quiral
Bibliografía
●
●
Muchos libros de teoría cuántica de campos
introducen cuantización de teorías no abelianas y
fenomenología de QCD
Algunos de los que yo he usado son:
➢
Peskin, Schroeder, “An Introduction to Quantum Field Theory”
➢
Sterman, “An Introduction to Quantum Field Theory”
➢
Pokorski, “Gauge Field Theories”
➢
Ynduráin, “Quantum Chromodynamics. An Introduction to the
Theory of Quarks and Gluons”
Introducción
●
●
●
QCD es la teoría de interacciones fuertes,
responsables de mantener los núcleos atómicos
ligados.
Es una teoría con simetría gauge SU(3) y fermiones
(quarks) que transforman como la representación (3)
de SU(3).
Hasta el momento se conocen 6 quarks
Q = 2=3
Q = ¡1=3
mu ¼ 4 MeV
md ¼ 7 MeV
mc ¼ 1:5 GeV
ms ¼ 0:135 GeV
mt ¼ 170 GeV
mb ¼ 5 GeV
mp ¼ 1 GeV
Introducción
●
●
El experimento es compatible con que la simetría no
esté rota
Sin embargo, ni quarks ni gluones (bosones gauge de
QCD) aislados han sido observados
●
●
QCD es una teoría confinante: sólo singletes de SU(3)
pueden ser observados
Pero QCD también es asintóticamente libre: a altas
energías, se vuelve débilmente acoplada y una
expansión perturbativa en términos de quarks y
gluones es una buena aproximación.
QCD: Lagrangiano clásico
●
●
Vamos a estudiar el Lagrangiano de una teoría gauge
SU(Nc) con Nf quarks transformando en una
representación r de SU(Nc).
En QCD tenemos Nc=3, Nf=6
QCD: Lagrangiano clásico
●
●
El Lagrangiano clásico es:
1 a a ¹º
L = ¡ F¹º F
+ ùi (i 6 D ¡ mi )ª
4
2
a
=
1;
:
:
:
;
N
i = 1; : : : ; Nf
Donde
c ¡ 1;
a
F¹º
= @¹ Aaº ¡ @º Aa¹ + gf abc Ab¹ Acº
D¹ = @¹ ¡ igAa¹ tar
[tar ; tbr ] = if abc tcr
Vectorial: el término de masas de quarks es invariante gauge
QCD: Lagrangiano clásico
●
●
El Lagrangiano clásico es:
1 a a ¹º
L = ¡ F¹º F
+ ùi (i 6 D ¡ mi )ª
4
Bajo una transformación gauge infinitesimal:
à ! (1 + i®a tar )Ã
1
!
+ @¹ ®a + f abc Ab¹ ®c
g
D¹ Ã ! (1 + i®a tar )D¹ Ã
Aa¹
Aa¹
a a
a a
a a
¡igF¹º
t = [D¹ ; Dº ] ) F¹º
t ! (1 + i®b tb )F¹º
t (1 ¡ i®c tc )
a 2
a a 2
a 2
Tr(ta tb ) = C(r)± ab ) (F¹º
) / Tr[(F¹º
t ) ] ! (F¹º
)
QCD: Lagrangiano clásico
●
●
Acoplamientos
L = L0 + gAa¹ ùi ° ¹ tat Ãi ¡ g(@¹ Aaº )f abc Ab ¹ Ac º
g 2 abc ade b c d ¹ e º
¡ f f A¹ Aº A A
4
Con reglas de Feynman
ig° ¹ ta
gf abc [g ¹º (k ¡ p)½ + g º½ (p ¡ q)¹ + g ½¹ (q ¡ k)º ]
¡ig 2 [f abe f cde(g ¹½g º¾ ¡ g ¹¾ gº½ ) + f ace f bde (g ¹º g ½¾ ¡ g ¹¾ g º½ )
+f ade f bce (g ¹º g ½¾ ¡ g ¹½ g º¾ )]
QCD: cuantización
●
Campos gauge tienen 2 polarizaciones físicas (las
transversas). Al cuantizar podemos mantener sólo
grados de libertad físicos (rompiendo invariancia
Lorentz) o mantener invariancia Lorentz pero trabajar
con grados de libertad no físicos.
●
●
●
Recordad: invariancia gauge es una redundancia en la
descripción, tenemos que fijar el gauge para eliminar la
redundancia
Nosotros usaremos integral de camino y un gauge
covariante
Esto introducirá grados de libertad no físicos cuya
contribución cancelará en observables físicos
Integral de camino en QM
●
Hamiltoniano en forma normal ( p^ a la izq. de q^ )
¡ipq
e
^
hpjHjqi
= p H(p; q)
2¼
●
p^jpi = pjpi
q^jqi = qjqi
e¡ipq
hpjqi = p
2¼
Queremos calcular la amplitud de la partícula para
viajar de posición q' en tiempo t' a posición q” en tiempo
t”
Integral de camino en QM
●
Amplitud de la partícula para viajar de q' en t' a q” en t”
hq 00 je
^
¡i(t ¡t )H
00
= lim
N !1
e
0
^ N jq 0 i
jq 0 i = lim hq 00 j[1 ¡ (i¿ =N )H]
Z Y
N
¡ip1 q0
n=1
¿ ´ t00 ¡ t0
N !1
dpn
N
Y
n=2
^ N ihqN jpN ¡1 i
dqn hq 00 jpN ihpN j[1 ¡ (i¿ =N )H]jq
^ ]jq 0 i
: : : hp1 j[1 ¡ (i¿ =N )H
p
[1 ¡ (i¿ =N )H(p; q)] =
2¼
e
¡i[p1 q0 +H(p1 ;q 0 )¿ =N ]
p
2¼
(1 + O(1=N 2 ))
Integral de camino en QM
●
Amplitud de la partícula para viajar de q' en t' a q” en t”
hq 00 je
^
¡i(t ¡t )H
00
= lim
N !1
0
^ N jq 0 i
jq 0 i = lim hq 00 j[1 ¡ (i¿ =N )H]
Z Y
N
n=1
¿ ´ t00 ¡ t0
N !1
dpn
N
Y
n=2
^ N ihqN jpN ¡1 i
dqn hq 00 jpN ihpN j[1 ¡ (i¿ =N )H]jq
^ ]jq 0 i
: : : hp1 j[1 ¡ (i¿ =N )H
Z Y
N
N
dpn Y
= lim
dqn expfi[pN (q 00 ¡ qN ) + : : : + p1 (q2 ¡ q 0 )
N !1
2¼ n=2
n=1
¡
¿
(H(pN ; qN ) + : : : + H(p1 ; q 0 )]g
N
qn+1 ¡ qn
pn (qn+1 ¡ qn ) = pn
¿ =N ! p(t)q(t)dt
_
¿ =N
H(pn ; qn )¿ =N ! H(p(t); q(t))dt
Integral de camino en QM
●
Amplitud de la partícula para viajar de q' en t' a q” en t”
hq 00 je
^
¡i(t ¡t )H
00
0
= lim
N !1
^ N jq 0 i
jq 0 i = lim hq 00 j[1 ¡ (i¿ =N )H]
Z Y
N
n=1
N !1
dpn
N
Y
n=2
^ N ihqN jpN ¡1 i
dqn hq 00 jpN ihpN j[1 ¡ (i¿ =N )H]jq
^ ]jq 0 i
: : : hp1 j[1 ¡ (i¿ =N )H
Z Y
N
N
dpn Y
= lim
dqn expfi[pN (q 00 ¡ qN ) + : : : + p1 (q2 ¡ q 0 )
N !1
2¼ n=2
n=1
¡
=
Z
Dq(t)Dp(t) expfi
0
0
q(t ) = q
q(t00 ) = q 00
¿ ´ t00 ¡ t0
Z
¿
(H(pN ; qN ) + : : : + H(p1 ; q 0 )]g
N
t00
t0
dt[pq_ ¡ H(p; q)]g
Integral de camino en QM
●
Z
Simplifica si H = p2 =2m + V (q)
Dpe
i
R
p2
dt[pq¡
_ 2m ]
=
=
Z
Z
=e
00
hq je
^ 00 ¡t0 )
¡iH(t
i
0
Dpe
Dpe
R
dt
i
¡ 2m
i
¡ 2m
mq_ 2
2
jq i = F
Z
Z
R
R
2 2
dt[p2 ¡2mpq+m
_
q_ ¡m2 q_2 ]
dt[(p¡mq)
_ 2 ¡m2 q_2 ]
D~
pe
Dqe
i
i
¡ 2m
R
R
dt~
p2
=e
i
R
dt m2q_
dtL(q(t);q(t))
_
1
L = mq_2 ¡ V (q)
2
2
F
Integral de camino en QM
●
Hemos escrito la amplitud como una suma coherente
sobre todos los posibles caminos, pesados con la
acción
Z
R
^ 00 ¡t0 ) 0
00 ¡iH(t
i dtL(q(t);q(t))
_
hq je
jq i = F Dqe
t = t00
t = t0
q
Integral de camino en QM
●
Este formalismo generaliza a un número arbitrario de
grados de libertad:
00
hfq gje
●
^ 00 ¡t0 )
¡iH(t
0
jfq gi = F
Hemos definido
Z Y
k
Dq(t; k)e
i
R
dt
P
k
q(t; k) ´ qk (t)
X
L=
Lk (qk (t); q_k (t))
L(q(t;k);q(t;k))
_
Integral de camino en QFT
●
Este formalismo generaliza a un número arbitrario de
grados de libertad:
00
hfq gje
●
^ 00 ¡t0 )
¡iH(t
0
jfq gi = F
Z Y
k
Dq(t; k)e
i
R
dt
P
k
L(q(t;k);q(t;k))
_
q(t; k) ! Á(t; ~
x)
Y por tanto a teorías de campos
Z
R 4
00
0
^
hÁb (~
x)je¡iH(t ¡t ) jÁa (~x)i = F
DÁ(x)ei d xL(Á;@Á)
Á(t0 ; ~
x) = Áa (~x)
00
Á(t ; ~
x) = Áb (~
x)
Debe entenderse como el límite al continuo de un
producto de integrales (discretizando el espacio tiempo)
Integral de camino en QFT
hÁb (~
x)je
●
●
^ 00 ¡t0 )
¡iH(t
jÁa (~x)i = F
Z
i
DÁ(x)e
R
d4 xL(Á;@Á)
Á(t0 ; ~
x) = Áa (~x)
00
Á(t ; ~
x) = Áb (~
x)
Hemos cambiado operadores por integrales funcionales
de objetos clásicos (a la derecha sólo tenemos
funciones, no operadores)
También vamos a definir nuestras teorías a partír del
Lagrangiano en lugar del Hamiltoniano, esto facilita
enormemente la derivación de propiedades importantes
(ecuaciones de movimiento, comportamiento bajo
simetrías, etc.)
Funciones de correlación
●
Hasta ahora sólo hemos claculado el operador de
evolución. Lo que queremos calcular son correladores
de la forma
h­jT fÁH (x1 ) : : : ÁH (xn )gj­i
●
Veamos
que están relacionados con el objeto
Z
RT
i ¡T
d4 xL
DÁ(x)Á(x1 )Á(x2 )e
Á(¨T; ~x) = Áa;b (~
x)
●
Tendremos que ir de imagen de Schrödinger a imagen
de Heisenberg
e
^
itH
ÁS (~
x)e
^
¡itH
= ÁH (t; ~x)
Funciones de correlación
Z
DÁ(x)Á(x1 )Á(x2 )e
Á(¨T; ~x) = Áa;b (~
x)
=
Z
DÁ1 (~
x)
assume x01 < x02
=
£
i
Z
Z
Z
DÁ(x)ei
¡T
Á(¡T; ~x) = Áa (~
x)
Á(x01 ; ~x) = Á1 (~
x)
¡T
DÁ2 (~
x)
DÁ1 (~
x)Á1 (~x1 )
R x0
1
RT
4
d xL
Z
Z
Z
d4 xL
DÁ(x)Á1 (x1 )Á2 (x2 )e
Á(x01;2 ; ~x) = Á1;2 (~
x)
i
RT
¡T
d4 xL
Á(¨T; ~x) = Áa;b (~
x)
DÁ2 (~
x)Á2 (~
x2 )
i
DÁ(x)e
R x0
2
x0
1
Á(x01 ; ~x) = Á1 (~x)
Á(x02 ; ~x) = Á2 (~x)
4
d xL
Z
DÁ(x)e
i
RT
x0
2
Á(x02 ; ~x) = Á2 (~
x)
Á(T; ~
x) = Áb (~
x)
d4 xL
Funciones de correlación
Z
DÁ(x)Á(x1 )Á(x2 )e
Á(¨T; ~x) = Áa;b (~
x)
=
Z
DÁ1 (~
x)
assume x01 < x02
=
£
i
Z
Z
Z
DÁ(x)ei
¡T
Á(¡T; ~x) = Áa (~
x)
Á(x01 ; ~x) = Á1 (~
x)
¡T
DÁ2 (~
x)
DÁ1 (~
x)Á1 (~x1 )
R x0
1
RT
4
d xL
Z
Z
Z
d4 xL
DÁ(x)Á1 (x1 )Á2 (x2 )e
i
Á(x01;2 ; ~x) = Á1;2 (~
x)
RT
¡T
d4 xL
Á(¨T; ~x) = Áa;b (~
x)
DÁ2 (~
x)Á2 (~
x2 )
i
DÁ(x)e
R x0
2
x0
1
Á(x01 ; ~x) = Á1 (~x)
Á(x02 ; ~x) = Á2 (~x)
4
d xL
F hÁb je
Z
DÁ(x)e
i
^ ¡x0 )
¡iH(T
2
RT
x0
2
Á(x02 ; ~x) = Á2 (~
x)
Á(T; ~
x) = Áb (~
x)
d4 xL
jÁ2 i
Funciones de correlación
Z
DÁ(x)Á(x1 )Á(x2 )e
i
Á(¨T; ~x) = Áa;b (~
x)
=
Z
DÁ1 (~
x)
assume x01 < x02
=
Z
Z
¡T
DÁ2 (~
x)
DÁ1 (~
x)Á1 (~x1 )
^ ¡x0 )
¡iH(T
2
£N hÁb je
RT
Z
Z
d4 xL
DÁ(x)Á1 (x1 )Á2 (x2 )e
Á(x01;2 ; ~x) = Á1;2 (~
x)
i
RT
¡T
d4 xL
Á(¨T; ~x) = Áa;b (~
x)
DÁ2 (~
x)Á2 (~
x2 )
jÁ2 ihÁ2 je
^ 0 ¡x0 )
¡iH(x
2
1
We can now use the properties
ÁS (~
x1 )jÁ1 i = Á1 (~x1 )jÁ1 i
Z
jÁ1 ihÁ1 je
^ 0 ¡T )
¡iH(x
1
DÁjÁ1 ihÁ1 j = 1
jÁa i
Funciones de correlación
Z
DÁ(x)Á(x1 )Á(x2 )e
i
Á(¨T; ~x) = Áa;b (~
x)
=
Z
DÁ1 (~
x)
assume x01 < x02
=
Z
Z
^ ¡x0 )
¡iH(T
2
= hÁb je
^ ¡x0 )
¡iH(T
2
= hÁb je
^
¡iHT
¡T
DÁ2 (~
x)
DÁ1 (~
x)Á1 (~x1 )
£N hÁb je
RT
Z
Z
d4 xL
DÁ(x)Á1 (x1 )Á2 (x2 )e
Á(x01;2 ; ~x) = Á1;2 (~
x)
i
RT
¡T
d4 xL
Á(¨T; ~x) = Áa;b (~
x)
DÁ2 (~
x)Á2 (~
x2 )
jÁ2 ihÁ2 je
^ 0 ¡x0 )
¡iH(x
2
1
^ 0 ¡x0 )
¡iH(x
2
1
jÁ1 ihÁ1 je
^ 0 +T )
¡iH(x
1
Ás (~
x2 )e
Ás (~
x1 )e
^
¡iHT
ÁH (x2 )ÁH (x1 )e
jÁa i
^ 0 ¡T )
¡iH(x
1
jÁa i
jÁa i
Funciones de correlación
Z
DÁ(x)Á(x1 )Á(x2 )e
i
Á(¨T; ~x) = Áa;b (~
x)
= hÁb je
^
¡iHT
RT
¡T
d4 xL
^
¡iHT
ÁH (x2 )ÁH (x1 )e
assume x01 < x02
0
0 x
Si hubiésemos asumido x0
<
x
1
2
1;
aparecido en el orden inverso, por tanto
Z
DÁ(x)Á(x1 )Á(x2 )e
Á(¨T; ~x) = Áa;b (~
x)
= hÁb je
^
¡iHT
i
RT
¡T
jÁa i
y x02 habrían
d4 xL
T fÁH (x2 )ÁH (x1 )ge
^
¡iHT
jÁa i
Funciones de correlación
Para tener el vacío (estado de mínima energía) como
estado inicial y final, asumimos que nuestros estados
tienen cierto solapamiento con el vacío y tomamos el
siguiente límite: T ! 1(1 ¡ i²)
X
^
e¡iHT jÁa i =
e¡iEn T jnihnjÁa i » e¡iE0 1(1¡i²) j­ih­jÁa i
●
n
●
Los factores extra (incluida la normalización) se pueden
eliminar dividiendo por
hÁa je
^
¡2iHT
jÁb i
Funciones de correlación
●
Generalizando a un número arbitrario de campos:
h­jT ÁH (x1 ) : : : ÁH (xn )j­i =
T !1(1¡i²)
=
●
lim
R
R
i
RT
DÁÁ(x1 ) : : : Á(xn )e
RT
R
i ¡T
d4 xL
DÁe
DÁÁ(x1 ) : : : Á(xn )eiS
R
DÁeiS
¡T
d4 xL
En la segunda expresión hemos definido la acción
como la integral espacio-temporal del Lagrangiano, con
el límite en T sobreentendido
Generador funcional
●
●
●
Los correladores se pueden calcular de forma más
sencilla usando el generador funcional, definido a partir
de la integral de camino, incluyendo una fuente, J, para
cada campo
Z
Z
R 4
Z[J] = DÁei d x[L+J (x)Á(x)] = DÁeiSJ
El generador funcional es un funcional de las fuentes.
Los correladores se obtienen como derivadas
funcionales de Z[J]
¯
(¡i)n
±n
¯
h­jT Á(x1 ) : : : Á(xn )j­i =
Z[J]¯
Z[0] ±J(x1 ) : : : ±J(xn )
J=0
Generador funcional
●
La derivada funcional satisface
±
J(y) = ± (4) (x ¡ y)
±J(x)
●
De donde se deduce inmediatamente la forma de los
Z
correladores
R 4
Z[J] = DÁei d x[L+J (x)Á(x)]
n
n
(¡i)
±
Z[0] ±J(x1 ) : : : ±J(xn )
¯
¯
Z[J]¯
J=0
=
R
DÁÁ(x1 ) : : : Á(xn )eiS
R
DÁeiS
= h­jT Á(x1 ) : : : Á(xn )j­i
Generador funcional
●
●
●
Z[J] se puede calcular explícitamente para una teoría
libre
Z
1
4
SJ = d x[ Á(¡@ 2 ¡ m2 + i²)Á + JÁ]
2
El factor i² es necesario para convergencia de la
integral (se puede relacionar con el límite de T)
Hagamos un cambio de variables para completar el
Z
cuadrado 0
Á (x) = Á(x) ¡ i d4 y¢F (y ¡ x)J(y)
Donde
(¡@x2 ¡ m2 + i²)¢F (x ¡ y) = i± (4) (x ¡ y)
Generador funcional
●
●
Z[J] se puede calcular explícitamente para una teoría
Z
libre
1 0
4
SJ = d x[ Á (¡@ 2 ¡ m2 + i²)Á0 ]
2
Z
4
4 1
¡ d xd y[ J(x)(¡i¢F (x ¡ y))J(y)]
2
Cambiando de variable tenemos (DÁ0 = DÁ)
Z
R 4
R 4 4
0
1
Z[J] = DÁ0 ei d xL0 (Á ) e¡ 2 d xd yJ(x)¢F (x¡y)J(y)
¡ 12
= Z[0]e
R
d4 xd4 yJ(x)¢F (x¡y)J(y)
Generador funcional
●
Ejemplo: función de dos puntos
Z[J] = Z[0]e
¡ 12
R
d4 xd4 yJ(x)¢F (x¡y)J (y)
¯
R
¯
±
¡ 12 J(x)¢F (x¡y)J(y) ¯
h0jT Á(x)1 Á(x2 )j0i = ¡
e
¯
±J(x1 )±J(x2 )
J=0
2
1 ±
=
2 ±J(x1 )
¯
¾
Z[J] ¯¯
¢F (x2 ¡ y)J(y) + J (x)¢F (x ¡ x2 )
Z[0] ¯J =0
y
x
½Z
= ¢F (x2 ¡ x1 )
Z
Generador funcional
●
Igualmente: 4 puntos
h0jT Á(x)1 Á(x2 )Á(x3 )Á(x4 )j0i
= ¢F (x4 ¡ x3 )¢F (x2 ¡ x1 )
+¢F (x4 ¡ x2 )¢F (x3 ¡ x1 )
+¢F (x4 ¡ x1 )¢F (x3 ¡ x2 )
●
El resultado coincide con el teorema de Wick
Generador funcional
●
●
Expandiendo en teoría de perturbaciones para
acoplamientos pequeños, podemos escribir los
correladores de la teoría interactuante en términos de
correladores libres
Obtenemos las mismas reglas de Feynman que con
cuantización canónica
Otros generadores funcionales
●
El generador funcional de correladores conexos es:
E[J] = ilogZ[J]
h­jT Á(x1 ) : : : Á(xn )j­icon:
●
n
±
E[J]
n+1
= (¡i)
±J(x1 ) : : : ±J(xn )
El generador funcional de 1PI es la acción efectiva
¡[Ácl ] = ¡E[J] ¡
Z
4
d yJ(y)Ácl (y)
hÁ(x1 ) : : : Á(xn )i1P I
±E[J]
Ácl = ¡
±J(x)
± n ¡[Ácl ]
=i
±Ácl (x1 ) : : : ±Ácl (xn )
Cuantización QED
●
Vamos a cuantizar QED
1
S=
2
●
Z
d4 xAº [@ 2 g ¹º
Z[0] =
1
¹ º
¡ @ @ ]A¹ !
2
Z
Z
DAeiS[A]
d4 k
¹ º
2 ¹º
A
[k
k
¡
k
g ]A¹
º
4
(2¼)
Invariancia gauge implica integral infinita
S[A¹ = ®(k)k¹ ] = 0 ) Z[0] = 1
●
●
●
Equivalentemente, el término cinético no tiene inversa
~ º½ (k) = i±½¹ No tiene solución
[k ¹ kº ¡ k2 g¹º ]D
Tenemos que fijar el gauge G[A] = 0
Gauge covariante
G[A] = @ ¹ A¹
Cuantización QED
●
Introducimos 1 como
1=
●
●
Z
¯
¯
® ¯
¯
® ¯ ±G[A ] ¯
D®(x)±(G[A ]) ¯
±® ¯
A®
¹ (x)
1
= A¹ (x) + @¹ ®(x)
e
Consideramos un gauge covariante generalizado
1 ¹
®
¹ ®
¹
G[A ] = @ A¹ ¡ !(x) = @ A¹ + @ @¹ ® ¡ !
e
±G[A® ]
@ ¹ @¹
Independiente de ®
=
±®
e
Veamos qué implicaciones tiene esto para la integral de
camino
Cuantización QED
¯
¯
®
¯ ±G[A ] ¯
iS[A]
¯ ±(G[A® ])
Z[0] = DAe
D® ¯¯
±® ¯
¯
¯Z
Z
®
¯ ±G[A ] ¯
¯ D® DAeiS[A] ±(G[A® ])
= ¯¯
±® ¯
¯
¯Z
Z
®
¯ ±G[A ] ¯
® iS[A® ]
®
¯
¯
=¯
D®
DA
e
±(G[A
])
¯
±®
¯
¯ µZ
¶Z
®
¯ ±G[A ] ¯
iS[A]
¹
¯
= ¯¯
D®
DAe
±(@
A¹ (x) ¡ !(x))
¯
±®
Z
Z
Cuantización QED
●
●
El resultado es cierto para cualquier w(x), integremos
con un peso gausiano
Z
R 4 !2
D!e¡i d x 2» Z[0]
Z
Z
R 4 !2
= N D!e¡i d x 2»
DAeiS[A] ±(@ ¹ A¹ ¡ !)
Z
R 4 (@ ¹ A¹ )2
= N DAeiS[A] e¡i d x 2»
La normalización es irrelevante
1 ¹
L ! L ¡ (@ A¹ )2
2»
Cuantización QED
●
El resultado final es que sólo tenemos que añadir el
término de fijación de gauge al Lagrangiano
1 ¹º
1 ¹
¹
¹
L = ¡ F F¹º + Ã(i° D¹ ¡ m)à ¡ (@ A¹ )2
4
2»
●
El término cuadrático ahora tiene inverso
~ º½ (k) = i±½¹
[(1 ¡ » ¡1 )k ¹ kº ¡ k 2 g ¹º ]D
µ
¶
¹ º
¡i
k k
¹º
¹º
~
DF (k) = 2
g ¡ (1 ¡ ») 2
k + i²
k
Cuantización QED
●
El mismo razonamiento funciona si introducimos
cualquier operador invariante gauge
h­jT Oj­i =
●
lim
T !1(1¡i²)
R
i
RT
1
d4 x[L¡ 2»
(@ ¹ A¹ )2 ]
DAOe
RT
R
1
i ¡T d4 x[L¡ 2»
(@ ¹ A¹ )2 ]
DAe
¡T
Incluso si el operador es production (no invariante
gauge) de los campos, la ecuación todavía es válida
Cuantización QCD
●
●
Vamos a cuantizar ahora QCD, la parte relevante es
Z
R 4
a 2
a i d x[¡ 14 (F¹º
) ]
Z[0] = DA e
Insertamos de nuevo
1=
●
Z
¯
¯
® ¯
¯
® ¯ ±G[A ] ¯
D®(x)±(G[A ]) ¯
±® ¯
Mientras G[A] sea
Aa®
¹ (x)
¯
¯
®
¯ ±G[A ] ¯
lineal, ¯¯ ±® ¯¯
=
Aa¹ (x)
1
+ D¹ ®a (x)
g
es independiente de ®
Cuantización QCD
Z
●
¯
¯
®
¯
¯
iS
iS
® ¯ ±G[A ] ¯
DAe = DAe
D®±(G[A ]) ¯
±® ¯
¯
¯
Z
Z
®
¯
¯
® iS[A® ]
® ¯ ±G[A ] ¯
= D® DA e
±(G[A ]) ¯
¯
±®
¯
¯
µZ
¶Z
®
¯ ±G[A ] ¯
iS[A]
¯
=
D®
DAe
±(G[A]) ¯¯
±® ¯
Tomando un gauge covariante generalizado e
integrando con peso gausiano
G[A® ] = @ ¹ Aa¹ ® ¡ ! a(x)
Z
¡i! 2 =(2»)
D!(x)e
Z
Z
Cuantización QCD
Z
●
DAeiS = N
Z
DAei
R
¯
¯
®
2 ¯ ±G[A ] ¯
1
d4 x[L¡ 2»
(@ ¹ Aa
)
]¯
¯
¹
¯ ±® ¯
La diferencia con respecto al caso abeliano es que el
determinante no es independiente de A
±G[A® ]
1 ¹
= @ D¹
±®
g
●
El determinante se puede escribir explícitamente
usando integral gausiana sobre variables de
Grassmann
Números de Grassmann
●
Son variables que anticonmutan
µ´ = ¡´µ ) µ2 = ´ 2 = 0
Requiriendo que la integral sea invariante bajo adición
de una constante tenemos
Z
Z
Z
dµf (µ) = dµ(A + Bµ) = dµ((A + B´) + Bµ) = B
●
●
El valor de la integral se ha normalizado a B por
convención. También por convención elegimos
Z
Z
dµ d´´µ = +1
Números de Grassmann
●
●
Z
●
Conjugación compleja actúa intercambiando términos
(µ´)¤ = ´¤ µ¤ = ¡µ¤ ´ ¤
Definiendo
¹
¡µbµ
¹
dµdµe
=
Z
¹
¹
dµdµ(1
¡ µbµ)
=
Z
tenemos
¹
¹ =b
dµdµ(1
+ bµµ)
Usando que la integral es invariante bajo
transformaciones unitarias tenemos (B hermítica)
à Z
Y
i
●
µ1 + iµ2 ¹ µ1 ¡ iµ2
µ= p
;µ = p
;
2
2
dµ¹i dµi
!
e
¡µ¹i Bij µj
=
à Z
Y
i
dµ¹i dµi
!
e
¡
P ¹
i µi bi µj
=
Y
bi = detB
i
Con números ordinarios habríamos obtenido
(2¼)n =detB
Cuantización de QCD
●
●
●
Podemos usar este truco para escribir el determinante
de la transformación
¯
¯
Z
®
R 4
¯ ±G[A ] ¯
1
i d x¹
c(¡@ ¹ D¹ )c
¯
¯ = det( @ ¹ D¹ ) = DcD¹
ce
¯ ±® ¯
g
c(x); c¹(x) son escalares que anticonmutan (violan el
principio de espín estadística). Se conocen como los
fantasmas de Fadeev-Popov
Hemos escrito el determinante de manera que se puede
añadir directamente al Lagrangiano de QCD
Identidades de Ward
●
●
●
La integral de camino permite encontrar las identidades
de Ward-Takahashi de forma sencilla
Las identidades de W-T relacionan funciones de Green
con distinto número de campos.
El caso más sencillo es (para QED)
p+k
k¹ ¢
p+k
p
¹
¡
=e
k
p
p
p+k
Identidades de Ward
●
Definiendo el propagador S(p) = i=[6 p ¡ m ¡ §(p)] y
la función vértice por ¡¹ (p + k; p)
p+k
k¹ ¢
p+k
p
¹
¡
=e
k
p
p
p+k
S(p + k)[¡iek¹ ¡¹ (p + k; p)]S(p) = e[S(p) ¡ S(p + k)]
[¡iek¹ ¡¹ (p + k; p)] = e[S ¡1 (p + k) ¡ S ¡1 (p)]
●
La identidad de WT relaciona el vértice con
propagadores. Es consecuencia de invariancia gauge.
Identidades de Ward
●
Derivemosla ahora a partir de la integral de camino
1
¹ ¹ D¹ ¡ m)Ã
L = ¡ (F¹º )2 + Ã(i°
4
●
Hagamos el cambio de variables (sin cambio en A)
Ã(x) ! (1 ¡ ie®(x))Ã(x)
●
Z
La medida es invariante, por tanto tenemos
¹
¹
DÃDÃDAÃ(x
1 )Ã(x2 )e
=
Z
i
R
¹
L[Ã;Ã;A]
=
Z
¹
DÃDÃDAÃ
(x1 )Ã (x2 )e
¹
DÃDÃDA(1
+ ie®1 )Ã1 (1 ¡ ie®2 )ù2 e
¹ ¹Ã
j ¹ = eð
0
¹0
R
¹
¹
i (L[Ã;Ã;A]¡j
@¹ ®)
i
R
¹0 ;A]
L[Ã0 ;Ã
Identidades de Ward
Derivemosla ahora a partir de la integral de camino
●
1
¹ ¹ D¹ ¡ m)Ã
L = ¡ (F¹º )2 + Ã(i°
4
Hagamos el cambio de variables (sin cambio en A)
●
Ã(x) ! (1 ¡ ie®(x))Ã(x)
La medida es invariante, por tanto tenemos
●
Z
¹
¹
DÃDÃDAÃ(x
1 )Ã(x2 )e
=
0=
Z
Z
i
R
¹
L[Ã;Ã;A]
=
Z
¹
DÃDÃDAÃ
(x1 )Ã (x2 )e
¹
DÃDÃDA(1
+ ie®1 )Ã1 (1 ¡ ie®2 )ù2 e
0
¹0
R
¹
¹
i (L[Ã;Ã;A]¡j
@¹ ®)
i
R
¹0 ;A]
L[Ã0 ;Ã
½ Z
¾
iS
¹
DÃDÃDAe
¡i d4 x@¹ ®x (jx¹ Ã1 ù2 ) + (ie®1Ã1 ù2 ) + Ã1 (¡ie®2 ù2 )
Identidades de Ward
●
Para cualquier ®(x)
0=
0=
●
Z
Z
½ Z
¾
iS
¹
DÃDÃDAe
i d4 x®x [(@¹ jx¹ Ã1 ù2 ) + (eÃ1 ù2 )(±(x ¡ x1 ) ¡ ±(x ¡ x2 ))]
©
ª
iS
¹
¹
¹
¹
DÃDÃDAe
(@¹ jx Ã1 Ã2 ) + (eÃ1 Ã2 )(±(x ¡ x1 ) ¡ ±(x ¡ x2 ))
Dividiendo por Z[0] tenemos
¹ 2 )i = ¡ie±(x ¡ x1 )hT Ã(x1 )Ã(x
¹ 2 )i + ie±(x ¡ x2 )hT Ã(x1 )Ã(x
¹ 2 )i
i@¹ hT j ¹ (x)Ã(x1 )Ã(x
●
En espacio de momentos
Z
d4 xe¡ikx
Z
d4 x1 eiqx1
Z
d4 x2 e¡ipx2
¡ik¹ M¹ (k; p; q) = ¡ieM0 (p; q ¡ k) + ieM0 (p + k; q)
Lagrangiano de QCD
●
●
El Lagrangiano completo es
1 a 2
¹ ¹ D¹ ¡ m)Ã
L = ¡ (F¹º ) + Ã(i°
4
1 ¹ a 2
+ (@ A¹ ) + c¹a (¡@ 2 ± ac ¡ g@ ¹ f abc Ab¹ )cc
2»
Con reglas de Feynman (propagadores)
¹; a
º; b
µ
¶
¹ º
¡i
p p
¹º
ab
g
¡
(1
¡
»)
±
p2 + i²
p2
i
6 p ¡ m + i²
a
b
i± ab
p2
Lagrangiano de QCD
●
Con reglas de Feynman (interacciones)
b; ¹
a
¡gf
abc ¹
p
Loops de fermiones y fantasmas
tienen un factor (-1) extra
b
ig° ¹ ta
gf abc [g ¹º (k ¡ p)½ + g º½ (p ¡ q)¹ + g ½¹ (q ¡ k)º ]
¡ig 2 [f abe f cde(g ¹½g º¾ ¡ g ¹¾ g º½) + f ace f bde (g ¹º g ½¾ ¡ g ¹¾ g º½ )
+f ade f bce (g ¹º g ½¾ ¡ g ¹½ g º¾ )]
Lagrangiano de QCD
●
●
●
●
Hemos fijado un gauge covariante (que incluye
polarizaciones no físicas)
El Jacobiano de la transformación de gauge se puede
escribir como una integral sobre fantasmas (por su
dependencia en A, que no ocurre en teorías abelianas)
Todos los efectos se pueden escribir en términos de un
Lagrangiano que incluye el término de fijación de gauge
y el término de fantasmas y es explícitamente invariante
bajo transformaciones de Lorentz
Veremos que los fantasmas actúan como grados de
libertad negativos, cancelando las polarizaciones no
físicas.
Invariancia BRST
●
●
●
Al fijar el gauge nuestra teoría ya no es explícitamente
invariante gauge (realmente sí es invariante gauge y los
observables físicos no dependen del gauge elegido).
Existe un remanente de la simetría gauge, la simetría
(global) BRST que permite demostrar, usando el
lagrangiano con el gauge fijado, resultados que se
derivan de la invariancia gauge.
Reescribamos el Lagrangiano como (B escalar usual)
1 a 2
¹ ¹ D¹ ¡ m)Ã
L = ¡ (F¹º ) + Ã(i°
4
1
¡ (B a )2 + B a (@ ¹ Aa¹ ) + c¹a (¡@ 2 ± ac ¡ g@ ¹ f abc Ab¹ )cc
2»
Invariancia BRST
●
●
Ba es un campo auxiliar (sin término cinético)
¹ a
@
A¹
Introducido en el Lagrangiano nos
a
B =
lleva a nuestro Lagrangiano original
»
El resultado se obtiene completando el cuadrado en la
integral de camino y haciendo un cambio de variable en
la integral sobre B
1
L = ¡ (B a )2 + B a (@ ¹ Aa¹ ) + : : :
2»
¤
1 £ a 2
a ¹ a
2 ¹ a 2
2 ¹ a 2
=¡
(B ) ¡ 2»B (@ A¹ ) + » (@ A¹ ) ¡ » (@ A¹ ) + : : :
2»
~ a )2
1 a
» ¹ a 2
(B
»
¹ a 2
= ¡ [B ¡ (@ A¹ )] + (@ A¹ ) + : : : = ¡
+ (@ ¹ Aa¹ )2 + : : :
2»
2
2»
2
Invariancia BRST
●
El Lagrangiano es invariante bajo la transformación
1 a 2
¹ ¹ D¹ ¡ m)Ã
L = ¡ (F¹º ) + Ã(i°
4
1
¡ (B a )2 + B a (@ ¹ Aa¹ ) + c¹a (¡@ 2 ± ac ¡ g@ ¹ f abc Ab¹ )cc
2»
±Aa¹ = ²D¹ac cc
a a
±Ã = ig²c t Ã
g abc b c
a
±c = ¡ ²f c c
2
±¹
ca = ²Ba
±B a = 0
² parámetro infinitesimal
anticonmutante
Invariancia BRST
●
La carga BRST es nilpotente ±1 ±2 Á = 0
±Á = ²QÁ ) Q2 = 0
●
Q es la carga conservada asociada a la simetría BRST
[H; Q] = 0
●
El espacio de Hilbert de autoestados de H se separa en
tres subespacios
H1 = fjÃi; QjÃi 6= 0g
H2 = fjÃi; jÃi = QjÁi; jÁi ½ H1 g
H0 = fjÃi; QjÃi = 0; jÃi 6= QjÁig
hÁ2 jÃ2 i = 0
hÁ2 jÃ0 i = 0
Invariancia BRST
●
●
Se puede ver que los estados físicos (polarizaciones
transversas) están en H0 y los no físicos (polarización
escalar y longitudinal y fantasmas) están en H1 o H2
Queremos ver que si nos restringimos a estados
iniciales y finales físicos, la matríz S es todavía unitaria
jA; tri ½ H0
QSjA; tri = SQjA; tri = 0 ) SjA; tri ½ H0 © H2
hA; trjB; tri = hA; trjS y SjB; tri
=
X
y
hA; trjS jÃ0 ihÃ0 jSjB; tri +
jÃ0 i
=
X
X
jÃ2 i
hA; trjS y jÃ0 ihÃ0 jSjB; tri
jÃ0 i
hA; trjS y jÃ2 ihÃ2 jSjB; tri
Invariancia BRST
●
La matríz S, restringida a estados iniciales y finales
físicos (transversos) es también unitaria, lo que quiere
decir que podemos utilizar como estados externos
únicamente los estados físicos
X
hA; trjB; tri =
hA; trjS y jC; trihC; trjSjB; tri
C
Fantasmas y grados de libertad
físicos
●
●
●
Hemos visto que podemos usar sólo grados de libertad
físicos como estados externos, sin embargo, los
fantasmas son cruciales para mantener la teoría
unitaria (propagándose como estados intermedios)
Vamos a ver un ejemplo sencillo de la relación entre
fantasmas y grados de libertad no físicos
Calculemos el proceso qq¹ ! gg
Fantasmas y grados de libertad
físicos
●
Escribimos la amplitud como
¤
¤
iM = t¹º
²
(k
)²
³sicas
ab ¹ 1 º (k2 ); con ²¹ (k) polarizaciones f¶
●
Nota sobre polarizaciones, sea k un vector momento
tipo luz k2=0. Podemos escribir las cuatro polarizaciones
Ã
!
como
~k
k0
§
T
²¹ (k) =
●
Que satisfacen
²Ti ¢ ²Tj ¤ = ¡±ij ;
; §p
p
~
2jkj
2j~kj
;
²1;2 ¹ (k)
²+ ¢ ²Ti = ²¡ ¢ ²Ti (²+ )2 = (²¡ )2 = 0;
+¤
+ ¡¤
g¹º = ²¡
²
+
²
¹ º
¹ ²º ¡
X
i
²Ti¹ ²Tiº¤
²+ ¢ ²¡ = 1
Fantasmas y grados de libertad
físicos
●
El módulo al cuadrado de la amplitud, sumado sobre las
polarizaciones transversas es
X
X ¹º ½¾ ¤
jMj2 =
tab tab ²Ti¹¤ (k1 )²Tjº¤ (k2 )²Ti½ (k1 )²Tj¾ (k2 )
²T
X
i;j
i;j
²Ti¹¤ (k1 )²Ti½ (k1 )²Tjº¤ (k2 )²Tj¾ (k2 ) ´ P¹½ (k1 )Pº¾ (k2 )
+¤
+ ¡¤
¡ +¤
+ ¡¤
= [¡g¹½ + ²¡
²
+
²
²
][¡g
+
²
²
+
²
º¾
1¹ 1½
1¹ 1½
2º 2¾
2º ²2¾ ]
+¤
+ ¡¤
¡ +¤
+ ¡¤
= g¹½gº¾ ¡ g¹½[²¡
²
+
²
²
]
¡
g
[²
²
+
²
º¾ 1¹ 1½
2º 2¾
2º 2¾
1¹ ²1½ ]
+¤
+ ¡¤
¡ +¤
+ ¡¤
+[²¡
²
+
²
²
][²
²
+
²
1¹ 1½
1¹ 1½
2º 2¾
2º ²2¾ ]
Fantasmas y grados de libertad
físicos
●
Calculemos las amplitudes
p
p
b; k2º
p+
¹º
t¹º
+
t
1ab
2ab
a; k1¹
·
= (ig)2 v¹(p+ ) ° ¹ ta
p+
b; k2º
a; k1¹
¸
i
i
° º tb + ° º tb
° ¹ ta u(p)
6 p¡ 6 k2 ¡ m
6 k2 ¡ 6 p+ ¡ m
·
¸
i
i
= (ig)2 v¹(p+ ) ° ¹ ta
° º tb + ° º tb
° ¹ ta u(p)
6 k1 ¡ 6 p+ ¡ m
6 p¡ 6 k1 ¡ m
Fantasmas y grados de libertad
físicos
●
Calculemos las amplitudes
p
c; k3º
a; k1¹
p+
t¹º
3ab
b; k2º
¡i abc
= ig¹
v (p+ )°½ t u(p) 2 gf
k3
c
£[g ¹º (k2 ¡ k1 )½ + gº½ (k3 ¡ k2 )¹ + g ¹½(k1 ¡ k3 )º ]
Fantasmas y grados de libertad
físicos
●
Y su contracción con el momento externo
¹º
(t¹º
+
t
1ab
2ab )k2º
·
= k2º (ig)2 v¹(p+ ) ° ¹ ta
·
= ¡ig 2v¹(p+ ) ° ¹ ta
¸
i
i
° º tb + ° º tb
° ¹ ta u(p)
6 p¡ 6 k2 ¡ m
6 k2 ¡ 6 p + ¡ m
¸
6 k2
6
k
2
tb + tb
° ¹ ta u(p)
6 p¡ 6 k2 ¡ m
6 k2 ¡ 6 p+ ¡ m
·
¸
6 k2 ¡ 6 p + m b
6 k2 ¡ 6 p+ ¡ m ¹ a
= ¡ig 2v¹(p+ ) ° ¹ ta
t + tb
° t u(p)
6 p¡ 6 k2 ¡ m
6 k2 ¡ 6 p+ ¡ m
= ig 2v¹(p+ )° ¹ [ta ; tb ]u(p) = ¡g 2 f abc v¹(p+ )° ¹ tc u(p)
¹º
2
º a b
2 abc
º c
(t¹º
+
t
)k
=
¡ig
v
¹
(p
)°
[t
;
t
]u(p)
=
g
f
v
¹
(p
)°
t u(p)
1¹
+
+
1ab
2ab
Fantasmas y grados de libertad
físicos
●
Y su contracción con el momento externo
k2º [g ¹º (k2 ¡ k1 )½ + g º½ (k3 ¡ k2 )¹ + g¹½(k1 ¡ k3 )º ]
= k2¹ (k2 ¡ k1 )½ + k2½ (k3 ¡ k2 )¹ + g ¹½k2 ¢ (k1 ¡ k3 )
= k2¹ k1½ + k2½ k3¹ + g ¹½k2 ¢ (k1 ¡ k3 )
= (k1 +
¹ ½
k3 ) k1
¡ (k3 +
½ ¹
k1 ) k3
¡ g ¹½(k1 + k3 ) ¢ (k1 ¡ k3 )
= k1¹ k1½ ¡ k3½ k3¹ ¡ g ¹½ (k12 ¡ k32 ) = k1¹ k1½ ¡ k3½ k3¹ + g ¹½ k32
v¹(p+ ) 6 k3 u(p) = ¡¹
v (p+ )(6 k1 + 6 k2 )u(p) = ¡¹
v(p+ )(6 p+ 6 p+ )u(p) = ¡¹
v (p+ )(m ¡ m)u(p)
Fantasmas y grados de libertad
físicos
●
Y su contracción con el momento externo
k2º [g ¹º (k2 ¡ k1 )½ + g º½ (k3 ¡ k2 )¹ + g¹½(k1 ¡ k3 )º ]
= k1¹ k1½ ¡ k3½ k3¹ + g¹½k32
¹º
t3ab k2º
2 abc
=g f
=
¹º
t3ab k1¹
c
v¹(p+ )t
¹
f6 k1 k1 ¡
¹
6 k3 k3
¹
k1
2 abc
c
g f v¹(p+ )t 6 k1 u(p) 2
k3
+
1
¹ 2
° k3 gu(p) 2
k3
+ g 2 f abc v¹(p+ )tc ° ¹ u(p)
º
k
= ¡g 2 f abc v¹(p+ )tc 6 k2 u(p) 22 ¡ g 2 f abc v¹(p+ )tc ° º u(p)
k3
Fantasmas y grados de libertad
físicos
●
Poniendo todo junto tenemos
t¹º
ab k2º =
¹º
tab k1¹
●
p
¹
k1
2 abc
c
g f v¹(p+ )t 6 k1 u(p) 2
k3
º
k
= ¡g 2 f abc v¹(p+ )tc 6 k2 u(p) 22
k3
Estas contracciones se parecen mucho a la amplitud de
creación de un par fantasma-antifantasma
a; k1 ´ iMab (k1 ; k2 ) = ig¹v(p+ )° ¹ tc u(p) ¡i (¡gf abc k1¹ )
c; k3¹
gh
k32
= g 2 f abc v¹(p+ )tc 6 k1 u(p)
p+
b; k2
1
k32
Fantasmas y grados de libertad
físicos
●
Poniendo todo junto tenemos
t¹º
ab k2º =
¹º
tab k1¹
●
p
¹
k1
2 abc
c
g f v¹(p+ )t 6 k1 u(p) 2
k3
¹
= iMab
(k
;
k
)k
gh 1 2 1
º
k
º
= ¡g 2 f abc v¹(p+ )tc 6 k2 u(p) 22 = iMba
(k
;
k
)k
gh 2 1 2
k3
Estas contracciones se parecen mucho a la amplitud de
creación de un par fantasma-antifantasma
a; k1 ´ iMab (k1 ; k2 ) = ig¹v(p+ )° ¹ tc u(p) ¡i (¡gf abc k1¹ )
c; k3¹
gh
k32
= g 2 f abc v¹(p+ )tc 6 k1 u(p)
p+
b; k2
1
k32
Fantasmas y grados de libertad
físicos
●
Poniendo todo junto tenemos
t¹º
ab k2º =
¹º
tab k1¹
●
¹
k1
2 abc
c
g f v¹(p+ )t 6 k1 u(p) 2
k3
¹
= iMab
(k
;
k
)k
gh 1 2 1
º
k
º
= ¡g 2 f abc v¹(p+ )tc 6 k2 u(p) 22 = iMba
(k
;
k
)k
gh 2 1 2
k3
Aunque estas amplitudes no son cero, satisfacen
t¹º
ab k1¹ k2º = 0
T¤
ba
T¤
t¹º
k
²
(k
)
=
iM
(k
;
k
)k
¢
²
1¹
2
2
1
2
iº
gh
i (k2 ) = 0
ab
T¤
ab
T¤
t¹º
k
²
(k
)
=
iM
(k
;
k
)k
¢
²
1
2 1
gh 1
i (k1 ) = 0
ab 2º i¹
Fantasmas y grados de libertad
físicos
●
Poniendo todo junto tenemos
t¹º
ab k2º =
¹º
tab k1¹
●
¹
k1
2 abc
c
g f v¹(p+ )t 6 k1 u(p) 2
k3
¹
= iMab
(k
;
k
)k
gh 1 2 1
º
k
º
= ¡g 2 f abc v¹(p+ )tc 6 k2 u(p) 22 = iMba
(k
;
k
)k
gh 2 1 2
k3
+
²
Asumiendo que una polarización es , las únicas
amplitudes distintas de cero son
+¤
¡¤
t¹º
²
(k
)²
1
¹
º (k2 )
ab
¡¤
+¤
t¹º
ab ²¹ (k1 )²º (k2 )
0
~
1
j~k2 j
ba
º (k2 ; ¡k2 )º
ba
=p
iMgh (k2 ; k1 )k2 p
= iMgh (k2 ; k1 )
~
~
2jk1 j
2jk2 j
j~k1 j
=
~
jk1 j
iMab
(k
;
k
)
gh 1 2
j~k2 j
Fantasmas y grados de libertad
físicos
●
Poniendo todo junto tenemos
X
½¾ ¤
¡ +¤
+ ¡¤
jMj2 = t¹º
t
[¡g
+
²
²
+
²
¹½
1¹ 1½
1¹ ²1½ ]Pº¾ (k2 )
ab ab
²T
½¾ ¤
= t¹º
t
ab ab [¡g¹½ ]Pº¾ (k2 )
½¾ ¤
¡ +¤
+ ¡¤
= t¹º
t
[(¡g
)(¡g
)
¡
g
(²
²
+
²
¹½
º¾
¹½ 2º 2¾
2º ²2¾ )]
ab ab
½¾ ¤
+ ¡¤
t¹º
t
g
²
¹½ 2º ²2¾ = p
ab ab
¹
k1
2j~k2 j
½¾ ¤ ¡¤
iMab
(k
;
k
)t
gh 1 2 ab ²2¾ g¹½
²¡¤
ba
¤ ¾
= p 2¾ iMab
(k
;
k
)[iM
(k
;
k
)]
k2
2
1
gh 1
gh 2
2j~k2 j
ba
¤
= iMab
(k
;
k
)[iM
(k
;
k
)]
gh 1 2
gh 2 1
Fantasmas y grados de libertad
físicos
●
Poniendo todo junto tenemos
X
½¾ ¤
¡ +¤
+ ¡¤
jMj2 = t¹º
t
[¡g
+
²
²
+
²
¹½
1¹ 1½
1¹ ²1½ ]Pº¾ (k2 )
ab ab
²T
½¾ ¤
= t¹º
t
ab ab [¡g¹½ ]Pº¾ (k2 )
½¾ ¤
¡ +¤
+ ¡¤
= t¹º
t
[(¡g
)(¡g
)
¡
g
(²
²
+
²
¹½
º¾
¹½ 2º 2¾
2º ²2¾ )]
ab ab
¹º ½¾ ¤
¡¤
tab tab g¹½²+
²
2º 2¾
ba
¤
= iMab
(k
;
k
)[iM
(k
;
k
)]
2
gh 1
gh 2 1
¹º ½¾ ¤
+¤
tab tab g¹½²¡
²
2º 2¾
ab
¤
= iMba
(k
;
k
)[iM
(k
;
k
)]
1
gh 2
gh 1 2
Fantasmas y grados de libertad
físicos
●
Poniendo todo junto tenemos
X
½¾ ¤
¡ +¤
+ ¡¤
jMj2 = t¹º
t
[¡g
+
²
²
+
²
¹½
1¹ 1½
1¹ ²1½ ]Pº¾ (k2 )
ab ab
²T
½¾ ¤
= t¹º
t
ab ab [¡g¹½ ]Pº¾ (k2 )
½¾ ¤
¡ +¤
+ ¡¤
= t¹º
t
[(¡g
)(¡g
)
¡
g
(²
²
+
²
¹½
º¾
¹½ 2º 2¾
2º ²2¾ )]
ab ab
=
¹º ½¾¤
tab tab (¡g¹½)(¡gº¾ )
ba
¤
¡iMab
(k
;
k
)[iM
(k
;
k
)]
1
gh 1 2
gh 2
ab
¤
¡iMba
(k
;
k
)[iM
(k
;
k
)]
2
gh 2 1
gh 1
Fantasmas y grados de libertad
físicos
●
En QED podemos reemplazar las sumas sobre
polarizaciones transversas
P¹º (k) ! ¡g¹º
●
●
En teorías no abelianas también podemos hacerlo,
siempre que incluyamos la contribución de los
fantasmas (con un signo – relativo)
A nivel clásico podemos simplemente emplear estados
físicos externos, aunque en la práctica es más fácil
hacer el cambio de arriba y sumar sobre la contribución
de los fantasmas
Fantasmas y unitariedad
●
A nivel cuántico, no tenemos elección, en loops internos
no tenemos suma sobre polarizaciones sino factores de
la métrica, que podemos sustituir por
X
¡ +¤
+ ¡¤
g¹º = ²¹ ²º + ²¹ ²º ¡
²Ti¹ ²Tiº¤
i
●
Por tanto automáticamente estamos sumando sobre
polarizaciones no físicas. Esto genera problemas con
unitariedad, en la forma del teorema óptico.
Fantasmas y unitariedad
●
El teorema óptico es consecuencia de la unitariedad de
la matriz S y se puede representar gráficamente por
2 Im
=
●
Z
2
d¦
Parece que deberíamos producir polarizaciones no
físicas en el término de la derecha, pero cuando
añadimos la contribución de los fantasmas sólo quedan
polarizaciones transversas
+(¡1)
=
Z
2
d¦
²T
QCD a 1 loop
●
●
A continuación calcularemos algunas correcciones
relevantes a un loop en nuestra QCD generalizada
Usaremos la descomposición de Passarino-Veltman
i
¹
¹º
2
2
2
4¡D
fB
;
B
;
B
g(p
;
m
;
m
)
´
¹
0
0
1
16¼2
¯
¯
B0 ¯
div
¯
¯
B¹º ¯
= ¢²
div
¯
¯
B¹ ¯
div
Z
dD q
1; q ¹ ; q ¹ q º
(2¼)D (q 2 ¡ m20 )[(q + p)2 ¡ m21 ]
p¹
= ¡¢²
2
n g
o
p
p
¹º
¹ º
= ¢² ¡
(p2 ¡ 3m20 ¡ 3m21 ) +
12
3
2
¢² = ¡ ° + log 4¼
²
D =4¡²
QCD a 1 loop
●
q
Auto-energía del gluón
q+k
= (¡ig)2 (¡1)¹²
a; ¹
k
2
b; º
2
a b
= ¡g Tr(t t )¹
ab ²
= ¡4g C(r)± ¹
Z
²
Z
Z
·
¸
d k
i
i
¹ a
º b
Tr ° t
° t
(2¼)D
6k ¡ m
6 k+ 6 q ¡ m
D
dD k Tr[° ¹ (6 k + m)° º (6 k+ 6 q + m)]
(2¼)D (k 2 ¡ m2 )[(k + q)2 ¡ m2 ]
dD k k ¹ (k + q)º + k º (k + q)¹ ¡ g ¹º [k ¢ (k + q) ¡ m2 ]
(2¼)D
(k 2 ¡ m2 )[(k + q)2 ¡ m2 ]
n
o
i
= ¡4g 2 C(r)± ab
2B ¹º + q ¹ B º + q º B ¹ ¡ g ¹º (g½¾ B ½¾ + q½ B ½ ¡ m2 B0 )
2
16¼
n g ¹º
o
2 ¹ º
q2
2
ab i¢²
2
2
º ¹
¹º
2
2
= ¡4g C(r)±
(6m ¡ q ) + q q ¡ q q ¡ g (2m ¡
¡m ) +:::
16¼2 6
3
2
o
ig 2 C(r)± ab ¢² n ¹º 2
º ¹
=¡
g
q
¡
q
q + :::
12¼2
QCD a 1 loop
●
q
Auto-energía del gluón
q+k
b; º
a; ¹
k
1 ²
= ¹
2
Z
dD k ¡i ¡i
2 acd bcd ¹º
g
f f N
D
2
2
(2¼) k (k + q)
N ¹º = [g ¹½(q ¡ k)¾ + g ½¾ (2k + q)¹ ¡ g ¹¾ (k + 2q)½ ]
[±½º (k ¡ q)¾ ¡ g½¾ (2k + q)º + ±¾º (k + 2q)½ ]
= ¡g ¹º (2k2 + 5q 2 + 2k ¢ q) ¡ 10k ¹ kº ¡ 5(k¹ q º + kº q ¹ ) + 2q ¹ q º
ig 2 C2 (G)± ab ¹º
½¾
¾
2
¡
fg
(¡2g
B
¡
2q
B
¡
5q
B0 )
½¾
¾
32¼ 2
¡10B ¹º ¡ 5B ¹ q º ¡ 5B º q ¹ + 2q ¹ q º B0 g
½
¾
2
ab
ig C2 (G)± ¢²
19 ¹º 2 11 ¹ º
=¡
¡ g q + q q
2
32¼
6
3
QCD a 1 loop
●
Auto-energía del gluón
= 0 in dimensional regularization
QCD a 1 loop
Auto-energía del gluón
q+k
q
Z
●
a; ¹
b; º
k
D
d
k i
i
²
2 dac cbd
¹ º
= (¡1)¹
g
f
f
(k
+
q)
k
(2¼)D k 2 (k + q)2
Z
D
¹ º
¹ º
d
k
k
k
+
q
k
2
ab ²
= ¡g C2 (G)± ¹
(2¼)D k 2 (k + q)2
o
ig 2 C2 (G)± ab © ¹º
¹ º
=¡
B +q B
2
16¼
ig 2 C2 (G)± ab ¢² © q 2 ¹º q ¹ q º
q¹qº o
=¡
¡ g +
¡
+ :::
2
16¼
12
3
2
ig 2 C2 (G)± ab ¢² © q 2 ¹º q ¹ q º o
=¡
¡ g ¡
:::
2
16¼
12
6
QCD a 1 loop
●
Auto-energía del gluón
+
2
ab
ig C2 (G)± ¢²
=¡
32¼ 2
½
19 ¹º 2 11 ¹ º 1 ¹º 2 1 ¹ º
¡ g q + q q ¡ g q ¡ q q
6
3
6
3
ª
ig 2 C2 (G)± ab ¢² 10 © ¹º 2
¹ º
=
g q ¡q q
32¼2
3
Transverse as it should
(thanks to the ghosts!!)
¾
QCD a 1 loop
●
Auto-energía del gluón
+
+
·
¸
©
ª
ig ± ¢² ¹º 2
5
4
¹ º
=
g q ¡q q
C2 (G) ¡ Nf C(r)
16¼ 2
3
3
·
¸
2 ab
©
ª
ig ± ¢² ¹º 2
5
2
¹ º
=
g
q
¡
q
q
N
¡
Nf
c
2
16¼
3
3
·µ
¶
¸
2 ab
©
ª
ig ± ¢² ¹º 2
13
»
2
¹ º
=
g
q
¡
q
q
¡
N
¡
Nf
c
2
16¼
6
2
3
2 ab
QCD a 1 loop
●
Auto-energía de quarks
²
=¹
Z
= ¡g 2 C2 (r)¹²
dD k
2 ¹ a i(6 k+ 6 q + m)
a ¡i
(ig) ° t
°¹ t 2
D
2
2
(2¼)
(k + q) ¡ m
k
Z
dD k Dm ¡ (D ¡ 2)(6 k+ 6 q)
(2¼)D k 2 [(k + q)2 ¡ m2 ]
° ¹ °¹ = D
° ¹ ° º °¹ = ¡(D ¡ 2)° º
QCD a 1 loop
●
Auto-energía de quarks
²
=¹
Z
= ¡g 2 C2 (r)¹²
dD k
2 ¹ a i(6 k+ 6 q + m)
a ¡i
(ig) ° t
°¹ t 2
D
2
2
(2¼)
(k + q) ¡ m
k
Z
dD k Dm ¡ (D ¡ 2)(6 k+ 6 q)
(2¼)D k 2 [(k + q)2 ¡ m2 ]
o
ig 2 C2 (r) n
¹
=¡
DmB
¡
(D
¡
2)(°
B¹ + 6 qB0 )
0
2
16¼
o
ig 2 C2 (r)¢² n
=¡
4m ¡ 2 6 q(1 ¡ 1=2) + : : :
2
16¼
o
ig 2 C2 (r)¢² n
=
6 q ¡ 4m + : : :
2
16¼
QCD a 1 loop
●
Vértice gluón-quark-quark
i
fC0 ; C ¹ ; C ¹º g = ¹²
2
16¼
●
Z
dD q
1; q ¹ ; q ¹ q º
(2¼)D (q 2 ¡ m20 )[(q + p1 )2 ¡ m21 ][(q + p2 )2 ¡ m22 ]
La única divergente es
C ¹º
g ¹º ¢²
=
+ :::
4
QCD a 1 loop
●
Vértice gluón-quark-quark
g 3 tb ta tb ¹²
Z
1
3
= g [C2 (r) ¡ C2 (G)]ta ¹²
2
1
= g [C2 (r) ¡ C2 (G)]ta ¹²
2
3
dD p ° º [6 p+ 6 k 0 + m]° ¹ [6 p+ 6 k + m]°º
(2¼)D p2 [(p + k)2 ¡ m2 ][(p + k 0 )2 ¡ m2 ]
Z
Z
dD p
° º 6 p° ¹ 6 p°º + : : :
(2¼)D p2 [(p + k)2 ¡ m2 ][(p + k 0 )2 ¡ m2 ]
dD p
(2 ¡ D) 6 p° ¹ 6 p + : : :
(2¼)D p2 [(p + k)2 ¡ m2 ][(p + k 0 )2 ¡ m2 ]
° ¹ ° º ° ½ ° ¾ °¹ = ¡2° ¾ ° ½ ° º + (4 ¡ D)° º ° ½ ° ¾
QCD a 1 loop
●
Vértice gluón-quark-quark
g 3 tb ta tb ¹²
Z
1
3
= g [C2 (r) ¡ C2 (G)]ta ¹²
2
1
= g [C2 (r) ¡ C2 (G)]ta ¹²
2
3
dD p ° º [6 p+ 6 k 0 + m]° ¹ [6 p+ 6 k + m]°º
(2¼)D p2 [(p + k)2 ¡ m2 ][(p + k 0 )2 ¡ m2 ]
Z
Z
dD p
° º 6 p° ¹ 6 p°º + : : :
(2¼)D p2 [(p + k)2 ¡ m2 ][(p + k 0 )2 ¡ m2 ]
dD p
(2 ¡ D) 6 p° ¹ 6 p + : : :
(2¼)D p2 [(p + k)2 ¡ m2 ][(p + k 0 )2 ¡ m2 ]
ig 3 ¢²
1
1
a
½ ¹
=
[C
(r)
¡
C
(G)]t
(2
¡
D)°
°
°
2
2
½ + :::
2
16¼
2
4
(2 ¡ D)° ¹
QCD a 1 loop
●
Vértice gluón-quark-quark
g 3 tb ta tb ¹²
Z
1
3
= g [C2 (r) ¡ C2 (G)]ta ¹²
2
1
= g [C2 (r) ¡ C2 (G)]ta ¹²
2
3
dD p ° º [6 p+ 6 k 0 + m]° ¹ [6 p+ 6 k + m]°º
(2¼)D p2 [(p + k)2 ¡ m2 ][(p + k 0 )2 ¡ m2 ]
Z
Z
dD p
° º 6 p° ¹ 6 p°º + : : :
(2¼)D p2 [(p + k)2 ¡ m2 ][(p + k 0 )2 ¡ m2 ]
dD p
(2 ¡ D) 6 p° ¹ 6 p + : : :
(2¼)D p2 [(p + k)2 ¡ m2 ][(p + k 0 )2 ¡ m2 ]
ig 3 ¢²
1
1
a
½ ¹
=
[C
(r)
¡
C
(G)]t
(2
¡
D)°
°
°
2
2
½ + :::
2
16¼
2
4
ig 3 ¢²
1
¹ a
=
[C
(r)
¡
C
(G)]°
t +:::
2
2
16¼ 2
2
QCD a 1 loop
●
Vértice gluón-quark-quark
¹²
Z
dD p
¡i
¡i
b i[6 p + m]
c
(ig°º t ) 2
(ig°½ t ) 0
(2¼)D
p ¡ m2
(k ¡ p)2 (k ¡ p)2
£gf abc [g ¹º (2k 0 ¡ k ¡ p)½ + g º½ (¡k 0 ¡ k + 2p)¹ + g ¹½(2k ¡ k 0 ¡ p)º ]
3
g
= ¡ C2 (G)ta ¹²
2
Z
dD p
¡2p2 ° ¹ ¡ 2(D ¡ 2) 6 pp¹ + : : :
(2¼)D p2 [(p + k)2 ¡ m2 ][(p + k 0 )2 ¡ m2 ]
ig 3
a
¹
½¾
®¹
=
C
(G)t
f°
g
C
+
(D
¡
2)°
C
g +:::
2
½¾
®
2
16¼
3ig3
a ¹
=
C
(G)t
° ¢² + : : :
2
2
32¼
QCD a 1 loop
●
Vértice gluón-quark-quark
+
½
¾
ig a ¹
1
3
=
t ° ¢² C2 (r) ¡ C2 (G) + C2 (G) + : : :
16¼ 2
2
2
3
ig 3 a ¹
=
t ° ¢² fC2 (r) ¡ C2 (G)g + : : :
2
16¼
½ 2
¾
3
ig a ¹
Nc ¡ 1
=
t ° ¢²
¡ Nc + : : :
2
16¼
2Nc
Renormalización a 1 loop
●
●
●
●
Cálculos a 1 loop dan resultados divergentes, que
hemos regularizado con regularización dimensional
Para dar sentido a dichos cálculos tenemos que
renormalizar
La idea es definir campos y parámetros renormalizados
de tal manera que los infinitos se puedan reabsorber en
dichas redefiniciones
Esto se hace mediante unas constantes de
renormalización (o contratérminos). En teorías
renormalizables, un número finito de contratérminos
basta para cancelar todos los infinitos
QCD a 1 loop
●
Veamos el ejemplo de la auto-energía de quarks
o
ig 2 C2 (r)¢² n
= ¡i§2 =
6 q ¡ 4m + : : : ´ i±² [6 q ¡ 4m] + : : :
16¼ 2
Resumando
obtenemos
el
propagador
a
un
loop
Z
iZ
i
4
iqx
¹
d xhT Ã(x)Ã(0)ie =
+ ::: =
+:::
6q ¡ m
6 q ¡ m0 ¡ § 2
i
i(1 ¡ ±² )
=
=
6 q(1 + ±² ) ¡ m0 (1 + 4±² )
6 q ¡ m0 (1 + 3±² )
●
●
Podemos reabsorber los infinitos en los campos y la
masa “desnudos”
1
Ã0 (1 + ±² ) = Ã
m0 (1 + 3±² ) = m
2
Renormalización a 1 loop
●
●
●
Veamos la lógica con el ejemplo de un campo escalar
El lagrangiano, en términos de objetos “desnudos” es
1
1 2 2
¸B 4
2
L = (@¹ ÁB ) ¡ mB ÁB ¡
ÁB
2
2
4!
Definamos objetos renomalizados
1=2
ÁB = ZÁ ÁR ;
●
m2B = Zm m2R ;
¸B = Z¸ ¸R
El Lagrangiano queda
1
1 2 2
¸R 4
2
L = (@¹ ÁR ) ¡ mR ÁR ¡
Á
2
2
4! R
1
1
¸R 4
+ (ZÁ ¡ 1)(@¹ ÁR )2 ¡ (Zm ZÁ ¡ 1)m2R Á2R ¡ (ZÁ2 Z¸ ¡ 1)
ÁR
2
2
4!
Renormalización a 1 loop
●
El Lagrangiano queda
1
1 2 2
¸R 4
2
L = (@¹ ÁR ) ¡ mR ÁR ¡
Á
2
2
4! R
1
1
¸R 4
2
2 2
2
+ (ZÁ ¡ 1)(@¹ ÁR ) ¡ (Zm ZÁ ¡ 1)mR ÁR ¡ (ZÁ Z¸ ¡ 1)
Á
2
2
4! R
= LR + Lct
●
El Lagrangiano renormalizado da los resultados que
hemos calculado (con infinitos), los contratérminos se
fijan de manera que cancelen los infinitos
Renormalización a 1 loop
●
●
●
●
La parte finita de los contratérminos es arbitraria
(esquema de renormalización). Objetos físicos,
calculados a todo orden son indep. de la elección.
Renormalización multiplicativa no es siempre la mejor
elección (p. ej. Cuando varios sectores contribuyen)
Nosotros usaremos el esquema de renormalización MS,
(los contratérminos cancelan los factores de ¢² )
No todos los contratérminos tienen que ser
independientes, pueden estar relacionados por
simetrías (identidades de Ward-Takahasi/SlavnovTaylor, BRST)
Renormalización a 1 loop
●
Hagámoslo para QCD
1
1
a
a
L = ¡ ZA [@¹ Aº ¡ @º A¹ + Zg ZA2 gf abcAb¹ Acº ]2
4
1
¹ 6 @ ¡ Zm m)Ã + Zg ZÃ Z 2 Ãgt
¹ a 6 Aa Ã
+ZÃ Ã(i
A
a
¹
+Zc c¹ [¡@ (@¹ ±
ab
1
2
+ Zg ZA gf
abc
Ab¹ )]cc
1
+
Za (@ ¹ Aa¹ )2
2»Z»
¹ 6 @Ã + ±1 g Ãt
¹ a 6 AÃ ¡ m±0 ÃÃ
¹ ¡ 1 ±3 (@¹ Aa ¡ @º Aa )2 + : : :
= LR + ±2 Ãi
º
¹
4
●
Hemos usado las definiciones convencionales
Z3 = 1 + ±3 = ZA
Z2 = 1 + ±2 = ZÃ
Z0 = 1 + ±0 = ZÃ Zm
1
2
Z1 = 1 + ±1 = Zg ZÃ ZA
Renormalización a 1 loop
●
Los contratérminos dan nuevas reglas de Feynman
●
Nosotros usaremos los siguientes:
¡i(k 2 g ¹º ¡ k ¹ kº )± ab ±3
i(6 k±2 ¡ ±0 )
igta ° ¹ ±1
Renormalización a 1 loop
+
+
+
·
¸
©
ª
ig ± ¢² ¹º 2
5
2
¹ º
¹º 2
¹ º
ab
=
g
q
¡
q
q
N
¡
N
¡
ifg
q
¡
q
q
g±
±3
c
f
2
16¼
3
3
2 ab
¯
¯
±3 ¯
MS
2
g
=
¢²
2
16¼
½
5
2
Nc ¡ Nf
3
3
¾
Renormalización a 1 loop
+
o
ig 2 C2 (r)¢² n
=
6 q ¡ 4m + i(6 q±2 ¡ ±0 ) + : : :
2
16¼
¯
¯
±2 ¯
MS
¯
¯
±0 ¯
MS
g2
=¡
C2 (r)¢²
2
16¼
g2
=¡
4C2 (r)¢²
2
16¼
Renormalización a 1 loop
+
+
ig 3 a ¹
a ¹
=
t
°
¢
fC
(r)
¡
C
(G)g
+
igt
° ±1 + : : :
²
2
2
2
16¼
¯
¯
±1 ¯
MS
g2
=¡
¢² fC2 (r) + C2 (G)g
2
16¼
Comentarios
●
Los contratérminos obtenidos son independientes de
masas y ¹ (esquema de renorm. indep. de masa)
¯
¯
±0 ¯
MS
¯
¯
±1 ¯
MS
¯
¯
±2 ¯
MS
¯
¯
±3 ¯
MS
g2
=¡
4C2 (r)¢²
2
16¼
g2
=¡
¢² fC2 (r) + C2 (G)g
2
16¼
g2
=¡
C2 (r)¢²
2
16¼
½
¾
2
g
5
2
=
¢²
Nc ¡ Nf
2
16¼
3
3
Comentarios
●
●
Los contratérminos obtenidos son independientes de
masas y ¹ (esquema de renorm. indep. de masa)
2
log
¹
La parte finita depende de
o
ig 2 C2 (r) n
¹
=¡
DmB
¡
(D
¡
2)(°
B¹ + 6 qB0 )
0
2
16¼
o
ig 2 C2 (r)¢² n
=
6 q ¡ 4m
2
16¼
ig 2 C2 (r) n
+
4m
2
16¼
Z
1
0
¢2
dx log 2 ¡ 2 6 q
¹
Z
1
0
¢2 = x2 p2 + x(m21 ¡ m20 ¡ p2 ) + m20
¢2 o
dx(1 ¡ x) log 2
¹
Comentarios
●
Los contratérminos obtenidos son independientes de
masas y ¹ (esquema de renorm. indep. de masa)
●
2
log
¹
La parte finita depende de
●
El contratérmino del acoplamiento es
±g = Zg ¡ 1 =
1
¡1 ¡ 2
Z1 Z2 Z3
1
¡ 1 = ±1 ¡ ±2 ¡ ±3
2
Comentarios
●
Los contratérminos obtenidos son independientes de
masas y ¹ (esquema de renorm. indep. de masa)
●
2
log
¹
La parte finita depende de
●
El contratérmino del acoplamiento es
1
±g = Zg ¡ 1 =
¡ 1 = ±1 ¡ ±2 ¡ ±3
2
El valor de la escala de renormalización ¹ es arbitrario,
pero la física no puede depender de dicha elección. Por
tanto, los parámetros de la teoría renormalizada deben
depender de ¹ la dependencia cancele en observables
físicos. Esta dependencia viene determinada por las
ecuaciones del grupo de renormalización (RGE).
1
¡1 ¡ 2
Z1 Z2 Z3
●
Grupo de renormalización
●
●
Observables (matriz S, masas físicas) no pueden
depender de la elección de la escala de renormalización
Funciones de Green sí pueden depender
G(n) (x1 ; : : : ; xn ) ´ hT Á(x1 ) : : : Á(xn )icon:
=
●
●
¡n
ZÁ 2 hT ÁB (x1 ) : : : ÁB (xn )icon:
=
¡n
(n)
2
ZÁ GB (x1 ; : : : ; xn )
Funciones de Green amputadas se obtienen dividiendo
por propagadores externos
(/ ZÁ )
n
(n)
¡(n) (p1 ; : : : ; pn ) = ZÁ2 ¡B (p1 ; : : : ; pn )
La función desnuda es independiente de ¹
¡
¢
¡n
(n)
(n)
¡B (p; gB ; mB ) = ZÁ 2 (¹)¡
p; g(¹); m(¹); ¹
Grupo de renormalización
d (n)
d ³ ¡ n2 (n) ´
0 = ¹ ¡B = ¹
ZÁ ¡
d¹
d¹
³ d
´
n
¹
@Z
¡n
Á (n)
= ZÁ 2 ¹ ¡(n) ¡
¡
d¹
2 ZÁ @¹
h @
@gR @
¹ @mR
@
n ¹ @ZÁ i (n)
¹
+¹
+
mR
¡
¡ =0
@¹
@¹ @gR
mR @¹
@mR
2 ZÁ @¹
·
¡(n)
¸
¡
¢
(n)
=¡
p; g(¹); m(¹); ¹
Grupo de renormalización
d (n)
d ³ ¡ n2 (n) ´
0 = ¹ ¡B = ¹
ZÁ ¡
d¹
d¹
³ d
´
n
¹
@Z
¡n
Á (n)
= ZÁ 2 ¹ ¡(n) ¡
¡
d¹
2 ZÁ @¹
h @
@gR @
¹ @mR
@
n ¹ @ZÁ i (n)
¹
+¹
+
mR
¡
¡ =0
@¹
@¹ @gR
mR @¹
@mR
2 ZÁ @¹
¯
@
¯
¯(gR ; mR ) = ¹ gR (¹)¯
@¹
g0 ;m0
¯
¹ @
¯
°m (gR ; mR ) = ¡
mR (¹)¯
mR @¹
g0 ;m0
1 ¹ @ZÁ ¯¯
°(gR ; mR ) =
¯
2 ZÁ @¹ g0 ;m0
Funciones universales
que absorben derivadas
con g0, m0 fijo
Grupo de renormalización
d (n)
d ³ ¡ n2 (n) ´
0 = ¹ ¡B = ¹
ZÁ ¡
d¹
d¹
³ d
´
n
¹
@Z
¡n
Á (n)
= ZÁ 2 ¹ ¡(n) ¡
¡
d¹
2 ZÁ @¹
h @
@gR @
¹ @mR
@
n ¹ @ZÁ i (n)
¹
+¹
+
mR
¡
¡ =0
@¹
@¹ @gR
mR @¹
@mR
2 ZÁ @¹
h @
i
@
@
¹
+¯
¡ °m mR
¡ n° ¡(n) (p; gR ; mR ; ¹) = 0
@¹
@gR
@mR
d
R=
d log ¹
Grupo de renormalización
●
●
●
El propagador en la teoría completa se puede escribir,
cerca de la masa física
R(g; m; ¹)
(2)
~
G (p; g; m; ¹) = 2
+ reg:
2
p ¡ m¯s:
~ (2) = 0
La RGE que satisface es [R + 2°]G
Usando
d
R=¹
tenemos
d¹
RRm2¯s
[R + 2°]R
[R + 2°]R = 0
0= 2
+ 2
+ reg )
2
2
2
Rm2¯s = 0
(p ¡ m¯s )
p ¡ m¯s
●
La masa física es independiente de ¹
Grupo de renormalización
●
La fórmula de reducción LSZ nos dice que la matriz S
se obtiene a partir de funciones de Green amputadas y
el residuo del polo físico de los propagadores externos
S=
●
n
2
(n)
lim
R
¡
2
2
pi !mfis
d
Aplicando el operador R = ¹
(límite sobreentendido)
d¹
n
n n
n
RS = R(R 2 ¡(n) ) = R 2 ¡1 ¡(n) RR + R 2 R¡(n)
2
n n2 ¡1 (n)
n
= R
¡ (¡2°R) + R 2 n°¡(n) = 0
2
● La matriz S es, tal como esperábamos, independiente
de ¹
Grupo de renormalización
●
●
●
El resultado de que observables físicos (matriz S,
masas físicas, etc.) son independientes de ¹ es cierto
a todo orden en teoría de perturbaciones.
Si nos quedamos a un orden finito queda una
dependencia residual del orden siguiente
La RGE muestra cómo cambian los parámetros
renormalizados al variar la escala de renormalización
para que la física permanezca invariante
Grupo de renormalización
●
·
La RGE muestra cómo cambian los parámetros
renormalizados al variar la escala de renormalización
para que la física permanezca invariante
¸
¯
@
@
@
¯
¹
+ ¯(gR ; mR )
¡ °m (gR ; mR )mR
S(pi ; gR ; mR ; ¹)¯
=0
@¹
@gR
@mR
gR ;mR
●
Usando la expresión de parámetros renormalizados
m20 = Zm m2R
g0 = Zg gR ¹²¹
[g] = N ¡ [A] ¡ 2[Ã] = N ¡ (N ¡ 1) ¡ (N=2 ¡ 1) = 2 ¡ N=2 = ²=2 ´ ²¹
Grupo de renormalización
●
·
La RGE muestra cómo cambian los parámetros
renormalizados al variar la escala de renormalización
para que la física permanezca invariante
¸
¯
@
@
@
¯
¹
+ ¯(gR ; mR )
¡ °m (gR ; mR )mR
S(pi ; gR ; mR ; ¹)¯
=0
@¹
@gR
@mR
gR ;mR
●
Usando la expresión de parámetros renormalizados
m20 = Zm m2R
g0 = Zg gR ¹²¹
¯
@
²¹
¡1 ¯
¯(gR ; mR ) = g0 ¹ (¹ Zq ) ¯
@¹
g0 ;m0
¯
¹ @
¯
°m (gR ; mR ) = ¡
Zm ¯
2Zm @¹
g0 ;m0
Función beta en MS
Usando sustracción mínima modificada, la constante de
renormalización se puede escribir
1
1
X
X
Zg = 1 +
Zg;n (gR )¹
²¡n ) gR Zg = gR +
an (gR )¹
²¡n
●
n=1
n=1
¯
@
@
¯
0 = ¹ g0 = ²¹(gR Zg ) + ¹ (gR Zg )¯
@¹
@¹
g0
(
)
1
1
¯
X
X dan
@g
¯
R
= ²¹gR +
an ²¹¡n+1 + ¹
1+
²¹¡n
¯
@¹
dg
g0
R
n=1
n=1
Función beta en MS
Usando sustracción mínima, la constante de
renormalización se puede escribir
1
1
X
X
Zg = 1 +
Zg;n (gR )¹
²¡n ) gR Zg = gR +
an (gR )¹
²¡n
●
n=1
n=1
¯
@
@
¯
0 = ¹ g0 = ²¹(gR Zg ) + ¹ (gR Zg )¯
@¹
@¹
g0
(
)
1
1
¯
X
X dan
@g
¯
R
= ²¹gR +
an ²¹¡n+1 + ¹
1+
²¹¡n
¯
@¹
dg
g0
R
n=1
n=1
De aquí obtenemos
de ²¹
¯(gR ) igualando a cero cada coeficiente
Función beta en MS
●
¯
La función beta sólo tiene potencias positivas de ²¹
N
X
¯(gR ; ²¹) =
¯k (gR )¹
²k
k=0
(
)
1
1
¯
X
X dan
@g
¯
R
0 = ²¹gR +
an ²¹¡n+1 + ¹
1+
²¹¡n
¯
@¹
dg
g0
R
n=1
n=1
(
1+
1
X
n=1
a0n ²¹¡n
)
= ¯N ¹
²N + (¯N a01 + ¯N ¡1 )¹
²N ¡1 + : : :
= ¡¹
²gR +
1
X
¡n+1
an ²¹
n=1
) ¯k¸2 = 0
a2
= ¡¹
²gR + a1 +
+ :::
²¹
Función beta en MS
●
La función beta sólo tiene potencias positivas de ²¹
¯(gR ; ²¹) = ¯0 + ²¹¯1
¯
(
1+
1
X
a0n ²¹¡n
n=1
)
= ¯1 ²¹ + ¯0 + a01 ¯1 +
(¯0 a0n + ¯1 a0n+1 )¹
²¡n
n=1
= ¡¹
²gR ¡ a1 ¡
¯1 = ¡gR
1
X
1
X
an+1²¹¡n
n=1
¯0 = ¡a1 ¡ ¯1 a01 = ¡a1 + gR a01
2
gR a0n+1 ¡ an+1 = gR (gR Zg;n+1 )0 ¡ gR Zg;n+1 = gR
(Zg;n+1 )0
2
= gR
(an+1 =gR )0 = ¯0 a0n
Función beta en MS
●
●
La función beta se obtiene, en esquemas de
sustracción mínima y a cualquier orden en teoría de
perturbaciones, a partír del coeficiente 1=¹
² de la
constante de renormalización del acoplamiento
2 d
¯(gR ; ²¹) = ¯0 + ²¹¯1 = ¡gR ²¹ + gR
Zg;1
dgR
2 d
¯(gR ) = gR
Zg;1
dgR
En QCD a un loop tenemos
1
1
¡1 ¡ 2
±g = Zg ¡ 1 = Z1 Z2 Z3 ¡ 1 = ±1 ¡ ±2 ¡ ±3
2
2 d
¯(gR ) = gR
[±1 ¡ ±2 ¡ ±3 =2]=¢²
dgR
Función beta en MS
●
En QCD a un loop tenemos
1
±g = Zg ¡ 1 =
¡ 1 = ±1 ¡ ±2 ¡ ±3
2
1
2 d
¯(gR ) = gR
[±1 ¡ ±2 ¡ ±3 =2]
dgR
¢²
1
¡1 ¡ 2
Z1 Z2 Z3
±3 ¯¯
g2
5
1
±1 ¡ ±2 ¡ ¯
=¡
fC2 (r) + C2 (G) ¡ C2 (r) + Nc ¡ Nf g¢²
2 MS
16¼2
6
3
g 2 11
1
=¡
f Nc ¡ Nf g¢²
2
16¼ 6
3
½
¾
3
g
11
2
5
¯=¡
N
¡
N
+
O(g
)
c
f
2
16¼
3
3
Función beta en MS
●
QCD es asintóticamente libre
3
g
¯=¡
16¼ 2
3
g
¯=¡
16¼ 2
½
½
11
2
Nc ¡ Nf
3
3
¾
3
5g
+ O(g 5 ) = ¡
<0
2
16¼
¾
11
2
Nc ¡ Nf
3
3
½
¾
5
g
51 19
+
¡ + Nf + : : :
4
64¼
2
6
●
El resultado se conoce a cuatro loops, los dos primeros
términos son independientes del esquema de
renormalización
Comentarios
●
●
●
●
La función beta se obtiene a partir del término 1=¹
²
La función beta nos indica cómo cambia el
acoplamiento con la escala de renormalización para
que la física permanezca invariante
RGE se puede usar para estudiar el comportamiento de
funciones de Green a altas energías. El acoplamiento
adecuado es el evaluado a la escala de renormalización
del orden de los momentos involucrados
QCD es asintóticamente libre, el acoplamiento es
menor cuanto mayor sea
, por tanto teoría de
perturbaciones de comporta bien a altas energías
Grupo de renormalización
●
Sea D la dimensión de masa de una función de Green
amputada, si reescalamos los momentos externos
¡(n) (sp; g; m; ¹) = sD ¡(n) (p; g; m=s; ¹=s)
●
Que podemos escribir en forma de ecuación diferencial
@ (n)
m ¹
m ¹
D (n)
D@
(n)
s ¡ (sp; g; m; ¹) = Ds ¡ (p; g; ; ) + s
¡ (p; g; ; )
@s
s s
@s
s s
·
¸
m ¹
@
@
m ¹
D (n)
D
(n)
= Ds ¡ (p; g; ; ) ¡ s m
+¹
¡ (p; g; ; )
s s
@m
@¹
s s
x@x f (x=y) = x(@x x=y)f 0 (x=y) = (x=y)f 0 (x=y) = ¡y(@y x=y)f 0 (x=y) = ¡y@y f (x=y)
Grupo de renormalización
●
Sea D la dimensión de masa de una función de Green
amputada, si reescalamos los momentos externos
¡(n) (sp; g; m; ¹) = sD ¡(n) (p; g; m=s; ¹=s)
●
Que podemos escribir en forma de ecuación diferencial
@ (n)
m ¹
m ¹
D (n)
D@
(n)
s ¡ (sp; g; m; ¹) = Ds ¡ (p; g; ; ) + s
¡ (p; g; ; )
@s
s s
@s
s s
·
¸
m ¹
@
@
m ¹
D (n)
D
(n)
= Ds ¡ (p; g; ; ) ¡ s m
+¹
¡ (p; g; ; )
s s
@m
@¹
s s
·
¸
@
@
m ¹
D (n)
= D¡m
¡¹
s ¡ (p; g; ; )
@m
@¹
s s
Grupo de renormalización
·
●
●
¸
@
@
@
s
+m
+¹
¡ D ¡(n) (sp; g; m; ¹) = 0
@s
@m
@¹
Combinada con la RGE para la función de Green
h @
i
@
@
¹
+¯
¡ °m m
¡ n° ¡(n) (sp; g; m; ¹) = 0
@¹
@g
@m
Relacionamos el escalado en momentos con cambios
en m y g solo
h
i
@
@
@
¡s
+¯
¡ (1 + °m )m
+ D ¡ n° ¡(n) (sp; g; m; ¹) = 0
@s
@g
@m
Grupo de renormalización
●
Usando un esquema de renormalización independiente
de la masa la eq. se puede resolver
h
¡(n) (sp; g; m; ¹) = sD ¡n (p; g¹(s); m(s);
¹
¹) exp ¡ n
●
Z
1
s
0 i
°(¹
g
(s
))
0
ds
s0
Donde hemos definido acoplamientos y masas “running”
@¹
g(s)
s
= ¯(¹
g (s)); g¹(1) = g
@s
@ m(s)
¹
s
= ¡(°m + 1)m(s);
¹
m(1)
¹
=m
@s
●
°(g) se denomina dimensión anómala (modifica el
escalado clásico)
Grupo de renormalización
●
●
Las RGE reorganizan la teoría de perturbaciones para
resumar grandes logaritmos
Repasemos el propagador del fotón a un loop
·
´ i¦¹º (q) = i(g ¹º q 2 ¡ q ¹ q º )¦(q)
n
o
= ±² 2B ¹º + q ¹ B º + q º B ¹ ¡ g ¹º [g½¾ B ½¾ + q½ B ½ ¡ m2 B0 ]
ig 2
±² ´ ¡ 2
4¼
¸
Grupo de renormalización
●
●
Las RGE reorganizan la teoría de perturbaciones para
resumar grandes logaritmos
Repasemos el propagador del fotón a un loop
·
´ i¦¹º (q) = i(g ¹º q 2 ¡ q ¹ q º )¦(q)
n
o
= ±² 2B ¹º + q ¹ B º + q º B ¹ ¡ g ¹º [g½¾ B ½¾ + q½ B ½ ¡ m2 B0 ]
ig 2
±² ´ ¡ 2
4¼
n
£
¤
£
¤o
¹º
2
2
¹ º
= ±² g
¡ 2B00 + m B0 ¡ q (B1 + B11 ) + 2q q B1 + B11
B ¹º = g ¹º B00 + q ¹ q º B11
B ¹ = q ¹ B1
¸
Grupo de renormalización
●
●
Las RGE reorganizan la teoría de perturbaciones para
resumar grandes logaritmos
Repasemos el propagador del fotón a un loop
·
ig 2
±² ´ ¡ 2
4¼
´ i¦¹º (q) = i(g ¹º q 2 ¡ q ¹ q º )¦(q)
n
o
= ±² 2B ¹º + q ¹ B º + q º B ¹ ¡ g ¹º [g½¾ B ½¾ + q½ B ½ ¡ m2 B0 ]
n
£
¤
£
¤o
¹º
2
2
¹ º
= ±² g
¡ 2B00 + m B0 ¡ q (B1 + B11 ) + 2q q B1 + B11
·
= ¡2±² (g ¹º q 2 ¡ q ¹ q º ) ¡
¢²
+
6
6m2 ¡ q 2
m2
B00 (q; m; m) =
¢² ¡
12
2
¢2 (q; m; m) = m2 ¡ x(1 ¡ x)p2
Z
0
1
Z
0
1
dx x(1 ¡ x) log
¢2
p2
dx log 2 +
¹
2
Z
0
¢2
¹2
¸
1
dx x(1 ¡ x) log
¢2
¹2
¸
Grupo de renormalización
●
●
Las RGE reorganizan la teoría de perturbaciones para
resumar grandes logaritmos
Repasemos el propagador del fotón a un loop
·
´ i¦¹º (q) = i(g ¹º q 2 ¡ q ¹ q º )¦(q)
·
¸
Z 1
g
¢²
¢2
¦(q) =
¡
+
dx x(1 ¡ x) log 2
2
2¼
6
¹
0
·
¸
Z 1
2
2
g
¢²
jp j
»
¡
+
dx x(1 ¡ x) log 2 ;
2
2¼
6
¹
0
ig 2
±² ´ ¡ 2
4¼
¸
2
¢2 (q; m; m) = m2 ¡ x(1 ¡ x)p2
[jp2 j À m2 ]
Grupo de renormalización
●
●
Las RGE reorganizan la teoría de perturbaciones para
resumar grandes logaritmos
Repasemos el propagador del fotón a un loop
·
´ i¦¹º (q) = i(g ¹º q 2 ¡ q ¹ q º )¦(q)
·
¸
Z 1
g
¢²
¢2
¦(q) =
¡
+
dx x(1 ¡ x) log 2
2
2¼
6
¹
0
·
¸
Z 1
2
2
g
¢²
jp j
»
¡
+
dx x(1 ¡ x) log 2 ;
2
2¼
6
¹
0
·
¸
2
2
g
jp j
2
2
»
¡¢
+
log
;
[jp
j
À
m
]
²
2
2
12¼
¹
ig 2
±² ´ ¡ 2
4¼
¸
2
[jp2 j À m2 ]
Grupo de renormalización
●
●
Las RGE reorganizan la teoría de perturbaciones para
resumar grandes logaritmos
Repasemos el propagador del fotón a un loop
+
+
¡ig¹º
¡ig¹½
¡ig¾º
½¾ 2
½ ¾
=
+
[i(g q ¡ q q )¦(q)] 2
2
2
q
q
q
¡ig¹º
¡ig¹½
=
+
2
q
q2
¡ig¹º
¡ig¹½
=
+
2
q
q2
·µ
·µ
±º½
±º½
½
q qº
¡ 2
q
½
q qº
¡ 2
q
¶
¶
¸
¦(q)
2
2
g
q
log 2
2
12¼
¹
¸
Grupo de renormalización
●
●
●
La corrección a un loop se vuelve grande (incluso para
g pequeña) a momentos muy altos (log grande)
Podemos utilizar la RGE para fijar ¹ » q
La RGE nos dice que, aparte de escalados globales,
tenemos que evaluar las masas y los acoplamientos a
la escala ¹
¯
@
¯
¯(gR ; mR ) = ¹ gR (¹)¯
@¹
g0 ;m0
3
¯=¡
g
16¼2
½
11
2
Nc ¡ Nf
3
3
¤
dg
1 £ ¡2 2
¹
¡2 2
= ¯0 d log ¹ ) ¡ g (¹ ) ¡ g (¹0 ) = ¯0 log
g3
2
¹0
g 2 (¹) =
g 2 (¹0 )
1¡
¹2
2
¯0 g (¹0 ) log ¹2
0
¾
´ ¯0 g 3
Grupo de renormalización
●
La RGE resuma logaritmos grandes a todo orden en
teoría de perturbaciones
2
g (¹0 )
2
g (¹) =
●
●
●
1 ¡ ¯0
g 2 (¹
0 ) log
¹2
¹20
¶
1 µ
2 n
X
¹
2
2
= g (¹0 )
¯0 g (¹0 ) log 2
¹0
n=0
Incluso si el log es grande, la suma completa está bien
definida (siempre que j¯0 g 2(¹0 ) log(¹2 =¹20 )j < 1 )
En el caso de QED esta resumación coincide con la
resumación del propagador (corrección al vértice y
renormalización del fermión cancelan)
El resultado es general, RGE a l loops resuman los
términos hasta orden (g 2 )n (log(¹2 =¹20 ))n+1¡l
Grupo de renormalización
●
●
●
●
La RGE para el acoplamiento nos permite clasificar
teorías
Asumamos teoría renormalizable, de manera que la
RGE es válida para 0 · ¹ · 1
Z g(¹)
@
¹
1
¯(g) = ¹ g(¹) ) log
=
dx
@¹
¹0
¯(x)
g(¹0 )
Para ¹ ! 0; 1; g(¹) tiene que tender a un cero de
¯(x)
próximo a g(¹0 ) o a infinito si no hay ceros cercanos.
Los ceros de ¯(x) se denominan puntos fijos, que
pueden ser ( g~ es el pto fijo más cercano a g(¹0 ) ):
~
– Punto fijo estable UV g(¹ ! 1) = g
~
– Punto fijo estable IR g(¹ ! 0) = g
Grupo de renormalización
●
Si el pto fijo es simple, la pendiente determina el tipo
¯
¯
0
¯ (g)¯ < 0; ) pto. ¯jo estable UV
g
~
¯
¯
0
¯ (g)¯ > 0; ) pto. ¯jo estable IR
g
~
¯(g)
UV
g~UV
IR
IR
UV
g~IR
g
Grupo de renormalización
g 2 (¹) =
●
●
●
g 2 (¹0 )
1¡
¹2
2
¯0 g (¹0 ) log ¹2
0
En QED ¯0 > 0 y g crece en el UV, cálculos
perturbativos a bajas energías están perfectamente
controlados en QED
En QCD ¯0 < 0 (términos superiores no cambian este
patrón), por lo que el acoplamiento decrece a altas
energías y teoría de perturbaciones se comporta mejor
y mejor en el UV (QCD es asintóticamente libre)
Por contra, a bajas energías el acoplamiento en QCD
es grande y teoría de perturbaciones se rompe (QCD es
confinante a bajas energías)
Grupo de renormalización
●
2
®
´
g
It is customary to use s
s =(4¼)
®s (¹) =
●
®s (¹0 )
1 ¡ ¯0 ®s (¹0 ) log
¹2
=(4¼)
¹20
In the QCD it is also common to replace ®s (¹0 ) with a
dimensional scale at which the coupling blows up
®s (¹) =
4¼
¹2
¯0 log ¤2
QCD
¤2QCD
=
4¼
¹20 e ¯0 ®s (¹0 )
¼ (200 ¡ 300 MeV)2
Factorización
●
●
Teoría de perturbaciones es útil a altas energías, pero
incluso a altas energías, usamos hadrones, con los que
no sabemos calcular
Se pueden demostrar teoremas de factorización, en el
que la dependencia a altas energías se pueden calcular
usando quarks y gluones, mientras que la dependencia
a bajas energías factoriza en funciones de distribución
de partones (pdf's)
Z 1
Z 1
¾AB =
dxa
dxb fa=A (xa ; Q2 )fb=B (xb ; Q2 )^
¾ab!X
0
●
0
La evolución de las pdf's se puede calcular en
perturbative QCD (no su dependencia en x)
QCD a baja energía
●
●
●
Hasta ahora hemos visto cómo se comporta QCD a
altas energías, en las que, gracias a los teoremas de
factorización, quarks y gluones son los grados de
libertad adecuados.
A bajas energías, quarks y gluones NO son grados de
libertad adecuados, en su lugar tenemos hadrones.
Pero QCD es fuertemente acoplada a esas energías.
Aún así, podemos usar teorías efectivas para describir
los hadrones a bajas energías. Lo que mejor podemos
hacer es usar las simetrías de QCD a baja energía.
QCD a baja energía
●
El espectro de quarks separa en dos sectores, los
quarks ligeros, con mlight ¿ ¤QCD
mu ¼ 4 MeV
y los quarks pesados
mc ¼ 1:5 GeV
●
ms ¼ 0:135 GeV
md ¼ 7 MeV
mlight À ¤QCD
mb ¼ 5 GeV
mt ¼ 170 GeV
En primera aproximación, podemos considerar sólo
los quarks ligeros y despreciar su masa
0 1
1
L = ¡ (Ga¹º )2 + q¹L i° ¹ D¹ qL + q¹R i° ¹ D¹ qR
4
qL;R
u
= @ dA
s L;R
QCD a baja energía
●
Para simplificar aún más la discusión consideraremos
µ ¶
sólo los quarks up y down
u
1
L = ¡ (Ga¹º )2 + q¹L i° ¹ D¹ qL + q¹R i° ¹ D¹ qR
4
●
qL;R =
d
Es invariante bajo transformaciones arbitrarias de
sabor
y
qL;R ! UL;R qL;R ; UL;R
UL;R = 1
●
Tiene por tanto simetría
●
Las corrientes conservadas asociadas son
¹i
JL;R
i
¾
= q¹L;R ° ¹ qL:R
2
SU (2)L £ SU (2)R £ U (1)L £ U (1)R
¹
JL;R
= q¹L;R ° ¹ qL:R
L;R
QCD a baja energía
●
Podemos descomponer en corrientes vectorial y axial
¹i
JV;A
●
●
●
=
¹i
JR
§
¹i
JL
¹
¹
JV;A
= JR
§ JL¹
La simetría vectorial corresponde al número bariónico
i
¹
y al isoespín
¹
¾
¹
i
JV = q¹° q
JV = q¹° ¹ q
2
La simetría U(1) axial es anómala (no verdadera
simetría de la teoría), la simetría SU(2) axial es
i
¾
¹i
JA
= q¹° ¹ °5 q
2
El espectro de hadrones respeta (aprox.) las simetrías
vectoriales, pero no la axial. Esto es señal de que la
simetría SU(2)A está espontáneamente rota.
QCD a baja energía
●
●
●
●
Si el vacío está compuesto de pares qq¹ que
q qi = h¹
qL qR + q¹R qL i 6= 0
condensan, su estructura es h¹
Es invariante bajo SU(2)V (UL=UR) pero bajo no SU(2)A
(UL=-UR).
Esto apoya (pero no prueba) la hipótesis de que la
simetría axial está espontáneamente rota
También se desprende del hecho de que el espectro
no respeta la simetría
P QiL;R P = QiR;L
pero no hay multipletes de isoespín con paridades
opuestas.
Symmetrías y degeneración
●
Un resultado elemental de mecánica cuántica es que
estados relacionados por una simetría son
degenerados. En QFT esto es cierto si el vacío es
invariante bajo la simetría:
Á1 (x) = i[Q; Á2 (x)] ) a1 = i[Q; a2 ]
j1i = ay1 j0i = i[Q; ay2]j0i = iQay2 j0i ¡ iay2 Qj0i = iQj2i ¡ iay2Qj0i
●
Si Qj0i = 0
E1 j1i = Hj1i = HiQj2i = iQHj2i = E2 iQj2i = E2 j1i ) E1 = E2
●
Sin embargo, los estados no tienen por qué tener la
misma masa si el vacío no es simétrico (rotura
espontánea de la simetría).
Teorema de Goldstone
●
●
●
●
La rotura espontánea de una simetría global implica la
existencia de escalares sin masa (bosones de
Goldstone)
Consideremos un sistema de escalares invariantes
bajo cierta simetría global
1
L = @¹ Á@ ¹ Á ¡ V (Á)
±Á = i²a T aÁ
2
Supongamos que el potencial tiene mínimo en hÁi = ¸
Vi1 ;:::;in ´ @Ái1 : : : @Áin V
Vj (¸) = 0; Vik (¸) ¸ 0
Expandiendo en torno al mínimo Á0 = Á ¡ ¸
1
1
0 ¹ 0
L = @¹ Á @ Á ¡ V (¸) ¡ Vij (¸)Á0i Á0j + : : :
2
2
Teorema de Goldstone
●
Expandiendo en torno al mínimo Á0 = Á ¡ ¸
1
1
0 ¹ 0
L = @¹ Á @ Á ¡ V (¸) ¡ Vij (¸)Á0i Á0j + : : :
2
2
● V
ij (¸) es la masa de los escalares físicos (definida
positiva)
●
Veamos qué ocurre si el vacío no es invariante
(T a ) = (Y i ; X a^ );
Y i ¸ = 0; X a^ ¸ 6= 0
(Y i ) generan un subgrupo H de G
●
Si ocurre esto decimos que G está espontáneamente
roto a H
Teorema de Goldstone
●
La invariancia del potencial implica
a
0 = V (Á + ±Á) ¡ V (Á) = iVk (Á)²a Tkl
Ál
●
●
●
Diferenciando respecto a Ái , usando que ²a es
arbitrario y evaluando en el vacío tenemos
a
a
a
0 = Vik (¸)Tkl
¸l + Vk (¸)Tki
= Vik (¸)Tkl
¸l = M 2 T a¸
Los generadores de H lo satisfacen trivialmente
Los generadores rotos, los de G/H, cumplen que X a^ ¸
es un autoestado de M2 con autovalor 0 y corresponde
por tanto a un escalar sin masa
ÁT X a^ ¸
Teorema de Goldstone
●
●
●
El escalar correspondiente, bosón de Goldstone, tiene
los mismos números cuánticos bajo H que el
generador correspondiente.
Si ¸ es un mínimo del potencial, ¸0 = g¸ con g 2 G
también lo es (puesto que el potencial es invariante).
Existe pues un continuo de vacíos que son
físicamente equivalentes. Los bosones de Goldstone
parametrizan las direcciones físicamente
equivalentes, como forman un continuo, las
excitaciones correspondiente no tienen masa (no
cuesta energía pasar de un vacío a otro).
Teorema de Goldstone
●
●
La prueba del teorema de Goldstone que hemos dado
se basa en el potencial clásico y por tanto depende de
teoría de perturbaciones. El teorema se puede
demostrar a todo orden. La prueba completa se puede
encontrar en el libro de Pokorski. La idea es ver que la
rotura espontánea de una simetría global implica la
aparición de polos en p2=0 para ciertas funciones de
Green y que dichos polos corresponden a partículas
físicas sin masa.
Vamos a mostrar los pasos principales de la
demostración.
Teorema de Goldstone
●
Consideremos la función de Green
Ga¹;k (x ¡ y) = h0jT j¹a (x)Ák (y)j0i
●
Que satisface la siguiente identidad de Ward
¹
@(x) Ga¹;k (x
¡ y) = ±(x0 ¡ y 0 )h[j0a (x); Ák (y)i
a
a
= ±(x0 ¡ y 0 )h¡Tkj
Áj (y)±(~
x¡~
y)i = ¡±(x ¡ y)Tkj
hÁj (y)i
a
= ¡±(x ¡ y)Tkj
hÁj (0)i
●
En espacio de momentos (transformada de Fourier)
a
~ a¹;k (p2 ) = ¡Tkj
ip¹ G
h0jÁj (0)j0i
Teorema de Goldstone
●
En espacio de momentos (transformada de Fourier)
a
~ a¹;k (p2 ) = ¡Tkj
ip¹ G
h0jÁj (0)j0i
●
●
●
Por invariancia Lorentz tenemos
~ a¹;k = p¹ Fka (p2 )
G
Por tanto Fka (p2 ) tiene un polo a momento cero para
los generadores que no aniquilen el vacío
i a
a 2
Fk (p ) = 2 Tkj h0jÁj (0)j0i
p
Usando la fórmula de reducción LSZ se puede ver que
la partícula creada del vacío por una corriente rota
está relacionada con Fka (p2 ) y su polo corresponde a
la masa de dicha partícula
Lagrangiano quiral
●
Volvamos al caso de QCD a bajas energías, el patrón
de rotura espontánea de la simetría es
SU (2)L £ SU (2)R ! SU (2)V
●
●
Los tres generadores rotos (los axiales) implican tres
bosones de Goldstone, que forman un triplete de
isoespín. En el espectro de hadrones hay un triplete
de isoespín, los piones, que son casi degenerados y
mucho más ligeros que el resto de resonancias
hadrónicas m¼ 0 = 135 MeV; m¼§ = 139 MeV;
Dichos estados son creados del vacío a partir de las
corrientes axiales
¹i
h0jJA (x)j¼ j (p)i = ¡ip¹ f¼ ± ij e¡ipx
El modelo sigma
●
La forma más sencilla de entender las propiedades de
los piones es estudiar un modelo fenomenológico para
la rotura de simetría quiral, el modelo sigma, que está
formado por dos fermiones y cuatro escalares
µ ¶
u
q=
; ¾ 0 ; ~¼
d
El Lagrangiano del sistema es
2
1
¹
° 02
0 2
¹
02
2
L = [(@¹ ¾ ) + @¹ ~¼ ¢ @ ~¼ ] ¡
(¾ + ~¼ ) ¡ (¾ + ~¼2 )2
2
2
4
+¹
q i 6 @q ¡ g q¹(¾ 0 + i°5~¾ ¢ ~¼ )q
●
El modelo sigma
●
●
El Lagrangiano se puede reescribir de manera más
sencilla definiendo la matriz de campos § ´ ¾ 0 + i~¾ ¢ ~¼
2
2£
¤2
1
¹
°
y ¹
y
y
L = Tr[@¹ § @ §] ¡
Tr[§ §] ¡
Tr[§ §]
4
4
16
+¹
qL i 6 @qL + q¹R i 6 @qR ¡ g q¹L §qR ¡ gq¹R §y qL
Donde hemos usado que
Tr[§y §] = 2(¾0 2 + ~¼2 )
●
El Lagrangiano es invariante bajo SU (2)L £ SU (2)R
si § transforma como un bidoblete
§!
y
UL §UR
UL;R = e
a
¡i®a
L;R ¾ =2
El modelo sigma
●
Usando propiedades de las matrices de Pauli tenemos
¾0 = Tr[§]=2;
que implican
¼i = ¡iTr[¾ i §]=2
~¼
¾ ! ¾ + (~
®L ¡ ®
~ R) ¢
2
0
m
¾
¼
¼ k ! ¼ k ¡ (®kL ¡ ®kR ) + ²klm (®lL + ®lR )
2
2
0
●
0
Bajo isoespín transforman como singlete y triplete,
bajo transformaciones axiales, todos mezclan
El modelo sigma
●
●
●
Las corrientes de Noether asociadas a la simetría son
k
¾
1 0
1 klm l
k
k
k
0
JL ¹ = q¹L qL ¡ (¾ @¹ ¼ ¡ ¼ @¹ ¾ ) + ² ¼ @¹ ¼ m
2
2
2
k
¾
1 0
1 klm l
k
k
k
0
JR ¹ = q¹R qR + (¾ @¹ ¼ ¡ ¼ @¹ ¾ ) + ² ¼ @¹ ¼ m
2
2
2
Que se pueden escribir como vectorial y axial
k
¾
k
klm l
m
JVk ¹ = JLk ¹ + JR
=
q
¹
°
q
+
²
¼
@
¼
¹
¹
¹
2 k
¾
k
k
k
JA ¹ = JL ¹ ¡ JR ¹ = q¹°¹ °5 q + ¾0 @¹ ¼ k ¡ ¼ k @¹ ¾ 0
2
Debido a la simetría, las corrientes son conservadas
El modelo sigma
●
●
Invariancia del potencial no es la historia completa. El
potencial se puede escribir
µ
¶
2 2
°
¹
0
02
2
V (¾ ; ~¼ ) =
¾ + ~¼ +
4
°
La simetría está espontáneamente rota si ¹2 < 0
2
j¹
j
02
2
h¾ i + h~¼ i =
= v2
°
●
●
Cualquier elección es físicamente equivalente.
0
k
h¾
i
=
v;
h¼
i = 0; isoespín se preserva en
Eligiendo
la base que estamos usando.
El modelo sigma
●
Para preservar ortogonalidad de estados de una
partícula con el vacío definimos el campo físico
¾ = ¾0 ¡ v ) h¾i = 0
●
●
En término de los campos físicos tenemos
1
1
2
2 2
¹
L = q¹i 6 @q ¡ gv ÃÃ + [(@¹ ¾) ¡ 2°v ¾ ] + (@¹ ~¼ )2
2
2
° 2
2
2
¹
+g Ã[¾ + i~¾ ¢ ~¼ ]q ¡ °v¾(¾ + ~¼ ) ¡ (¾ + ~¼2 )2
4
El triplete de isoespín tiene masa zero, tal como
predice el teorema de Goldstone
El modelo sigma
●
Usando la expresión de la corriente axial podemos
calcular el elemento de matriz de creación de los
bosones de Goldstone
k
¾
k
k
k
0
k
k
0
JA
=
J
¡
J
=
q
¹
°
°
q
+
¾
@
¼
¡
¼
@
¾
¹ 5
¹
¹
¹
L¹
R¹
2
i
j
0
i j
h0jJA
(x)j¼
(q)i
=
h0j¾
j0ih0j@
¼
¹ j¼ (q)i
¹
= ¡h0j¾ 0 j0iiq¹ ± ab e¡iqx = if¼ q¹ ± ab e¡iqx
●
Tenemos por tanto que f¼ = ¡v
Rotura espontánea y explícita
●
●
●
Veamos qué ocurre si incluimos un término que rompe
explícitamente la simetría quiral pero no la vectorial
²
0
¢L = ¡²¾ = ¡ Tr[§]
2
La rotura explícita hace que la corriente axial no sea
conservada (pero aún generan las transformaciones
i
i
correspondientes) @ ¹ JA
=
¡²¼
¹
El mínimo del potencial también cambia
@¾0 V = ¾0 [¹2 + °(¾ 0 2 + ~¼2 )] + ²
i
2
@ V = ¼ [¹ + °(¾
¼i
02
2
+ ~¼ )]
)
h¼ i i = 0
h¾ 0 i = v
¹2 v + °v 3 + ² = 0
Rotura espontánea y explícita
●
●
●
El triplete sigue teniendo vev cero. El vacío tiende a
alinearse con la rotura explícita.
Expandiendo en torno al mínimo, los piones
(Goldstones) adquieren masa (pseudo-bosones de
Goldstone)
²
²
2
2
2
m¼ = ¹ + °v = ¡ =
v
f¼
La divergencia de la corriente axial ahora es
i
i
2 i
@ ¹ JA
=
¡²¼
=
¡f
m
¼
¹
¼ ¼ (x)
Modelo sigma no lineal
●
●
●
●
El modelo que hemos estudiado, tiene el mismo
patrón de rotura de simetría que QCD y efectivamente
existe un triplete de isoespín mucho más ligero que el
resto de resonancias, los piones. Sin embargo, no
observamos el correspondiente escalar (ligero).
Esto no es problema porque el escalar tiene masa y
podemos hacerlo pesado.
Aún así, sería interesante tener un formalismo que
sea explícitamente invariante bajo el grupo quiral
completo, usando sólo los piones.
Esto se consigue realizando la simetría de manera no
lineal.
Modelo sigma no lineal
●
Consideremos la siguiente parametrización de
nuestros campos
§ = ¾ + i~¾ ¢ ~
¼ = S0U
µ ¶
µ ¶
~
»
~¾ ¢ »
»
~
i~
¾¢»=v
U =e
= cos
+i
sin
v
»
v
●
q
» = »~2
Se puede ver que S' es invariante bajo el grupo quiral
usando que
S 0 2 = Tr[§y §]=2 ) S 0 ! S 0
y por tanto
U ! LU Ry
Modelo sigma no lineal
●
●
Hemos reparametrizado nuestros campos en términos
de un singlete puro y tres campos que transforman en
un bidoblete
En términos de las nuevas coordenadas
hSi = hS 0 ¡ vi = h» i i = 0
●
El Lagrangiano ahora es
1
L = q¹i 6 @q + g(v + S)(¹
qL U qR + q¹R U qL) + [(@¹ S)2 ¡ 2°v 2 S 2 ]
2
y
(v + S)2
° 4
¹ y
3
+
Tr[@¹ U @ U ] ¡ °vS ¡ S
4
4
Modelo sigma no lineal
●
El Lagrangiano ahora es
1
L = q¹i 6 @q + g(v + S)(¹
qL U qR + q¹R U qL) + [(@¹ S)2 ¡ 2°v 2 S 2 ]
2
y
(v + S)2
° 4
¹ y
3
+
Tr[@¹ U @ U ] ¡ °vS ¡ S
4
4
●
●
Las interacciones bosónicas de los nuevos
Goldstones aparecen sólo a través de derivadas (esto
garantiza que no adquieren masa)
Hemos intercambiado un singlete más triplete de
isoespín por un singlete puro más un bidoblete
U ! LU Ry
Modelo sigma no lineal
●
●
i
»
U transforma linealmente, pero la transformación de
es no lineal
~
y
i~
¾¢»=v
U ! LU R
U =e
Existe un subgrupo de transformaciones bajo las
cuales los piones transforman linealmente, la
transformación de isoespín
"1
#
1
X 1
X
1
y
n
y
~
LU L = L
(i» ¢ ~¾ =v) L =
(i» i =vL¾ i Ly )n
n!
n!
n=0
n=0
1
X
1
i
j n
i»0 j ¾j =v
=
(i» =vRij ¾ ) = e
n!
n=0
T i
» 0 j = Rji
»
Modelo sigma no lineal
●
●
●
La transformación de los piones bajo una
transformación quiral es no lineal para compensar el
hecho de que S es un singlete (pero ¾0 sí
transformaba)
Bajo transformación de isoespín, como ¾0 era un
singlete no había nada que compensar y la
transformación es lineal.
Este resultado se puede generalizar a una rotura
arbitraria G/H (formalismo de representación no lineal
de una simetría de CCWZ).
Modelo sigma no lineal
●
●
Ahora sí que podemos desacoplar S, que es un
escalar bajo la simetría completa.
El resultado es el modelo sigma no lineal, con
Lagrangiano
Lnon¡lin:
¾
●
v2
= q¹i 6 @q + gv(¹
qL U qR + q¹R U qL ) + Tr[@¹ U @ ¹ U y ]
4
y
La normalización del término cinético de U se ha
elegido para que el término cinético de los piones esté
canónicamente normalizado
2
i ¹ i
v2
v
@
»
@ »
1
¹
¹ y
i j
i ¹ i
Tr[@¹ U @ U ] =
Tr[¾ ¾ ]
+
:
:
:
=
@
»
@ » + :::
¹
2
4
4
v
2
Teoría de perturbaciones quiral
●
Podemos usar el modelo sigma no lineal como el
término principal en una expansión en energías para
describir QCD a bajas energías.
Usando U como parametrización de los piones, el
primer término en nuestra expansión en momentos es
el cinético que ya hemos escrito (todos los demás son
equivalentes)
2
f
L(2) = ¼ Tr[@¹ U @ ¹ U y ]
4
● Con cuatro derivadas hay dos términos independientes
©
ª
(4)
¹ y 2
L = ®1 Tr[@¹ U @ U ] + ®2 Tr[@¹ U @º U y ]Tr[@ ¹ U @ º U y ]
●
Teoría de perturbaciones quiral
●
●
Teoría de perturbaciones quirales permiten una
expansión sistemática a QCD a bajas energías
Las masas de los quarks se pueden incluir,
sistemáticamente, incluyendo una fuente que
transforme como un bidoblete, de la forma
q¹L sqR + h:c:
●
●
s ! LsRy
Se puede ver que la masa cuadrado de los piones es
proporcional a la masa de los quarks
m2¼ = B0 (mu + md )
En el contaje de derivadas, el término de masa equivale
a dos derivadas
Teoría de perturbaciones quiral
●
El Lagrangiano quiral se puede usar para calcular
elementos de matriz si incluimos fuentes
¢L = ¡¹
qL °¹ l¹ qL ¡ q¹R °¹ r¹ qR ¡ q¹L (s + ip)qR ¡ q¹R (s ¡ ip)qL
●
●
El Lagrangiano efectivo quiral incluye términos que
contienen las fuentes.
Hasta ahora hemos considerado dos quarks ligeros,
pero el quark s también es relativamente ligero.
Normalmente se emplea simetría quiral
SU (3)L £ SU (3)R ! SU (3)V
Teoría de perturbaciones quiral
●
Con tres sabores ligeros, hay ocho bosones de
Goldstone, que transforman como un octete de
isoespín SU(3). Aunque un poco más pesados que los
piones, se encuentra experimentalmente un octete de
pseudo escalares ligeros
m¼0 ¼ 135 MeV; m¼§ ¼ 139 MeV;
mK 0 ;K¹ 0 ¼ 498 MeV; mK § ¼ 494 MeV;
m´ ¼ 547 MeV
●
Incluyendo fuentes hay diez términos que incluyan
piones a orden p4
Teoría de perturbaciones quiral
●
●
●
●
Se puede incluir términos superiores O(p6, ...).
También se pueden incluir efectos de loops (teoría no
renormalizable, ok porque sólo tenemos que incluir un
número finito de términos)
También se pueden incluir bariones
Sin embargo, el teoría de perturbaciones quiral sigue
siendo una teoría efectiva, con un cut-off
relativamente bajo, del orden de las primeras
resonancias (~ GeV).
Es muy útil para entender las propiedades de los
hadrones más ligeros, también se usa en cálculos en
el retículo, para realizar el límite al continuo.
Conclusiones
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En este curso hemos usado QCD como una excusa
para estudiar diversos aspectos avanzados de teoría
cuántica de campos.
Los conceptos aprendidos aquí tienen aplicaciones en
QCD y en muchas otras teorías.
Hay muchos aspectos de QCD que no hemos tenido
tiempo de discutir, entre otros:
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Fenomenología de QCD: DIS, Drell-Yan, producción de
jets, producción de hadrones en e+ e-,
desintegraciones hadrónicas
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Large Nc QCD
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Lattice QCD, ...