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AÑO 6. Nº 4-5. JUNIO-JULIO DE 1919
RESOLUCION GENERAL
Din LA
ECUAClON Dl1J QDlNTO
GRAD(~, <*l
I
INTRODUCCIÓN
1
1
H oené Wronski~ ·Uno de los más notabLes matemáticos yifit
'
"
'
•
lósofos del s·i:g1o pas;a.do, mció en 1778 en Pos•en y murió en I85~
I.
el 9 de Agosto .en
Nooilly~~:Jtlir-liller,
a la •edad :de s·etemta y cinoo años,
·habiendo ·descubierto la •Iey .suprema de las Matemáticas, r:es:4eltp
el pmblema universal de esa·s óendaJs y pla11t•eado la ley tele01óg1ca
(~') , El e:mine11te .ma;tea:nátioo ¡p:eruano, (]!UJe UJOIS honra con su colabomción:, no .nec·~s·tta ser pne•sentado 1[1; lo1s inte1eotuale•s americanos; sus
numevosrus monog111af~rus ciJentífirOrus han .dado l'eUeve a su per~n:aJi.dad ya
dWundida fll!era del e1orutinente.
yor
Figu11a •en la ¡pléyade d,e ilus¡tves iH"Oltes.()l!'es de la Uwi.v·ersidad Ma.d~ Sia.IIl :MJrureos, y es actualmJen1e .drec31Ilo (•porr ,segunda vez) de la
'
..
1
IDaoultad de Ciencias.
~
Se rusooia en forma eloc'Ulente, por ;medio de-l !plresen.te .trabajo, a nua&-
t11a iniciativa .d:e i'IllternacioruaJ.Lsmo UJUive11si1a!'io amerioomo.
Es •el liragmeruto .ruquí illllSierto, parte de su <tvruhajo sobre un tema de
IDa~temáticrus puras: ·~la ll'·esolución gen!ffi'.rul d•e :las ecu.acioD!ell! d-el quinto
w¡adtO 16Jmpl:eando el método teleOJlógico d.<a Wll'Onski". Oorusta.r! de cmco
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~
•de ellas, que ·son las tres {ey.es fundamentales de las Ma:temática;s1
l:as comunicó a ,la Clase de Ciencias •del Instituto fraJn.cés y en el
cinforme presentado el lunes IS ·de Octubre <te I8IO po.r Lagrange
y Lacroi.r, ~e resol-vió que de la fórmu:1a de Wronski se dedudáln,
como ~asos particula:f'es, ·todas .las ·que ·se conocían hasta entonces;
·pero oomo .en :ese informe se le disminuía •su generalidad, p~dió
reconsidemción d autor, 1o que pvodujo un desacuerdo, a :Io que
'.t?iguió uma ·lucha 'en la que Wronski 'refutó J.a Teoría de las funciones a.nalíticas de Lagrange •en r8r2 y criticó la Teoría de las {u11r
dones g~n.eratrices de Laplace 'en 1819; el Ins·ti:tuto decidió que el
problema universal d.e las Matemáitícas qa~recia d•e demostración y
·estwba .en términos inmtelegibles, según el informe de Legrendre y
·de Arago ,el ,1unes I I de NoViiembre de I8II. Habiendo ,pttbli!cado
Wron.ski varias obras, entr.e dlas la Introducción a la Filosofía de
las Matemáticas en r8II y Teoría de la Algoritmia en I8IS a 1817
oo que demostró que <el Instituto 11110 haibía .comprendido sus :imy.orta·nte desoubr.imientos; los acadérmcos franceses se vengaron d·estruyend:o ·las obms, hosti1izalndo a W ronski y pr;ocu~ando que su
nombre no .pasase a ·Ia poster·i•dad, 1o que no !han comseguido.
2. En 1812 Wronski publkó u:n opúscu:1o sobre 1a: Resolttción
pwrtes: 1•. Intr.oduooión en que <S:e perfi.la a e¡:;·e no1:Ja,b1e filbs.ofo y mate•
.:máltiiCIO, mu,y ,po1oo oono1ctdo; 2•. La xeso1nción de w.ronski en 1827, sin
embargo ·d<e que .ha.sta hoy 13Jlgunos ma¡temáUcos cneen qu€ <Solo S•e J[J>Ué¡
··de :res:o}v,e:r h¡¡¡sta JJas •ec,u¡¡¡cione.s d·e ouartu gnado; 3•. La demostración de
su m,étodo •que !SU autor ¡01cultó por la 1pollém.tca que ,so.stuVJo •con .1oo aJQadémkos de Pañs .a ¡qu:Lenes a:1eJiutó y. •ori:twó; 4•. F,aiCto.re·s de 1m g¡r.a~o
im.mediruto inferior, de mane11a 1que .la teCIU!ación .dJe .quinto gmdo s-e. ;re..'
d.UK!•e a .la de 4°. :grado m menOlS uno; 5•. Factor d.e .(Los g:I1a<dos infer~ol·
.al de lrus :ec:uruc.Lones •en •que ,1a :de •quintor g.rado •se ;pued<e deooomponex en
el ·producto tl<e una de ~segundo :gmado 'PQ>l' otrr.a de ;teDcero; hab'i:endo con.s,tstidlo '3'U -:lsto ILds ·trra:b<ajlos ~rufru!Citm;>,sos dia otros •matemáJtJLoOts; 6•.;
-ejemplo numérioo, ·en q•ue .toiilfcl¡ndo lrus ciJJ!rn,s del año 1918 .como coe&tente de una oou!IJCión d<e quim:to ,~ado, 181plilcanoo 1el método, obtJ!Je,ne
que una ,de J,a,s •l'!a$ces es O' 1247:87, y dli •la .ecu!!Jc.ión d·e .cuarto grado c.u:ya resol-u{!ión d~ 1la,s otv¡;¡;s 'ouatro naíces.
(N. de la. D.)
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general de las ecuaoiones, que postérga:ndo ·el interés eientífico alrute~
los it1tenese1s panticulaves se. prqcruró que 111'o se tomase en consideración. En 182i en otm opú.sculo 6tul!C~Jdo Cánon de logaritmos, .apr:oV'eohando ·uJnas cuatro pá~inas se limitó W ranski a dar kt resotudón
de 1la ·ecuación ·de quint? gr.ado y finalmente •t:n. 1847 ·en el tercer
tomo ·de :la Reforma del saber humano insistió sobre la reiiolución
gooeral de las eouaciocr1es. a:lgébrica:s d.~ :todos los g.ra:dos, .empl.ean'do tres méllcdos : e1~ primeno f,undado e1n el método supvemo de
las ..Mditemáll:icas que llamó método hevrís'tico; el segund~ que denom~nó
método fundan~ental, ·en que dió •la forma genera:! de las
rakes de .todas !las :eouaoio1l!es y el tenceno 1es el método especiar
ftliDclado en Ja ley teleológica, .que de~s•aompone las eouadones .en;
sus factor:es, que es /el que vamos a exponer, traduci;ein:do la publicadón de 1827, pol'que esto ·da¡;á un:a idea de ,La; manera como praoedió W ronski ante 'la gran oposicióm., qu~ ,le hicie•l'O>n los sabiQs fran 1
ceses,; •en que oculta~ba las .demo.str:aciones, daba las fórmu1a:s gener¡tles y ~~as 131p1Í!caciones ·en las que 1110 se po.día •negar los ·resuLtadts.
3· En 1886 el .señor Emilio West pubJicó una <exposkióri de ~os
m~todi.os generailes en Matemáticas y 13. reso1U'ción e integr.adón de
las ·ecuaciones y ap1ioaoiones div.ersas .según H oen.é Wronski que es
la reuJmiÓI!l de nna !serie de antÍicu1os publicados ·en d Diario de M¡a:!l:·emátims puras y wplirodas y ·dice en el pnéfacio: "Hoené W:rooski
hace tr-einta años que ha muerto y las causas que ha1n desvia•do la
atel}:ción de sus tr.aJbaj.os ya cr1>0 •existen, muestra generación ya no
SE; Íitl!teresa en querella:s ya airutigUJruS y acogerá los tr.C~Jbajos verdaderamente 1l!otaJbl.es de un SaJlYio y profUJndo geómetra". Resuelve
West s.iete problemas de ocuaJCion'es d~ferenciales y <~Jcepta y d'efien.dle la distinción .de La Teoría y de .la Técnica deoidi3i' enteramente a
W ronski, 1no .se tmt:a de la distj.nición ol.'dÍlmria de la teoría y de .1a
. práctÍlca, como se cr-ee, porque la Teoría contiem.e el conjunto de
principios necesarios a un(ll óencia
la Técnica es el coojunto de
y
Jos medios generales a,pli.cabies a 1'(l)lS casos que se ofr;ece.n •en la prác. tica. W est añade: 1os geómetras desd:e N ewton y Leibnitz ha'Sta.
prin:cipios del :siglo XIX hal!l ou1ltfvado la teoría y la técniaa de la:s,
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Ma:ternálticas, -después se han .dedilcado exdusiv.amente hácia 1a teo.a.·ía, lo que explica los resulrtados infructuosos que han obtenido ;pa.,ra con.sti;tuir métodos genenalfes.
-,.,.
4· Al puhl]car el ar:ticu1o de Wronski de Ji827 :sdbre Jas ecuaciones de quÍ!nto grado, ·i!nd~car.emos que d autor Uamó función: schin
a los determinantes actuaies; funciones aleph a 1·a potencia de la
'S!UnJiaJ de varias <cé1Jnrlli·9.1a:rues, \s·ustrnbuy.endo 11oo ooerfi~eientes '¡por •la
1
un1cl!a,d, esrtas fun.dones 1as seña:laba con las letras he~reas así llamad!a:s; denominaba agregados a la suma del producto de >las poten•cia:s de var<Íias cant1dadres cuyos exponentes sumaban una cantidad
constante; 1é1Jdemás remplea.ba :la ·natación de los fwctoriaies ; V ander.monde .en 1772 lla:mó wl pvodu!Cto de los térmL11Jos de una prog11esión
ar~tmétioa: potencias de segundo orden,· Kramp lo llamó facultades
numéricas; Arbogaste di.stinguió a ·esto_s produabos •con el norr1Jbre
de factoriales que genem1Í!zó Wronski pam d producto de varias
funciones en que la variable inde¡poodie'111te formaba una progresión
aritméti·ca y 'lo lla,ma!ba facultades algorít11ticas. P.o'r eje1pplo: el de.tenninante •que algunos ~ndioan .colocando antes una D.
1 ~: ~: 1 =ab'-ba'=D(a,b)\
'
\
.Wroski,
en Jugar de D ponía ~a lertr.a hebn001 schin, que como se ve
es '1.1il'la suma comb~natori.a. A ~a suma de l:as potencias de v;a;r,~a-s
cantidades, presdndielm:lJO de los ·Coeficientes y que no tienen nom·bre especial, li3Js Hamarerp.os wroskianos, .marcándolos con la 1ertra
w, en •lugar de :la .Ietra hepr.ea a;leph empleada por Wronski; así =
W(l)=a+b
W(2)=a2 +b2 +ab
W (5) = a3
+ bS + a2 b + b2 a
"_Poni·oodlo después de w el expüil1ente entr.e p:ar.éntesis. El. agmgado lo
marcaba Wronski teon las primeras letms de la pa:1a;bra; así:
agreg.
b2
con p+q=n
1.2 ... p )( 1.2 .... q
a
P
· '·
'!Siendio n un número entero dado;
p.
q . .dos var.iables que suman n~
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~
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valores se poTIJen ·en ,Jos eiementJOs del ag1regado para hacer
la suma.. L;l) notación ·c!·e factoriales e!) poner corno exponente~ dos;:
números, el primero i[}Jdica el número ·de factores y el segundo la
diferencia que se v~ agrega:ndo; a:sí sepa!rados por Ul!l!& rél.yita venticaL
GMJ•O!S
a. 3 i1 ~a. (a+ 1) . (a+ 2)
es un factorial
<p .(x)4i2 <p ( x ).<p (x + 2)._<p (x + 4).<p(x + 6)
En que la .w~iab1e x va aumentando
es una facultad a/goritmica
2
sucesivamente y el nú-
me.r.o de las funciones es 4·
Esta motacioo es me}or que:
s' ·pa.ra el producto
I. 2.
3· 4·
s~,
que .se escribe
t.*-1.2.5.4.5
que es 'una genera!li~adóm del exponellrt:e, pues cua11cdo la diferencia.
/
~eero se
oonvi•erte en una potérida ; así d factorial que tiene por
;exponente 3!2; es ;un ·cubo CU!attldo •el 2 es cem
es
Los f<J;ctorial)s, úenen sus reglas .especiales, para mu1tip1imr:..
los, div.idinlos., elevados a potem¡das y e~tracción de raíces, .resultados que >OOndu!Cen a .ci·ertos .imaginarios.
II
RESOLUCIÓN DE W;RONSKI EN
1827
5· He aquí ba: traducción: ''Sea propuesta 'la ecuat;:ión general:
de quinto grado ( I).
y :sean formadas con los coeficientes de •esta ecuación, las fundomes alephs, •a saber: w(I), w(:2), w(3), ... etc.; qu•e hemos enseñatio- a fOimliar en el opúsculo (de 181:2) sobre <la R<esolución general"
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-n...:...
de las Ecuatdooes y que ,g.egÚn esta oo:n:stru<eción, ti,enen por' demen-'
ros ,las raíces de la ecuación propuesta ( r). Bero debemos prevenir
aquí, que .las ft~nciones <)-lephs de expon.elrute •ne?"ativo no son todas
igua;les a . cero, oomo lo habiamos ·creído cuando ·SU ,díesoubrimiehto.
En el caso presente se 1~ene ( 2)
W(O)=l
, W(-1)=0 ,
W(-2)=0 , W(-5)=0 , \V(-:-4)=0
1
W(-5)=E
y las fumdones ulter:io11e.s de exponente negativo, .siguen en su g.eD~eraciáru progreSÜVJa a la ley ( 3) .
D
C
B
A
W(-f)=E .W( 1-, /)-E.W(2-f) +E .W(5-/)- -E.
1
.
W (4- ( ) + E .W(5-/)
§i;eh;do p un número .enterró cualqui,era.
En
cuanto a las fundooes
a!1ephs de exponente positivo, hemos visito, en: la iindi.ca·dá Res·olUlOión
gerleta1 de rlas ecuadcmes !bajo la marca (23) qu.e la ley que sigue
St:t g:eJnreración progresiva, es ~stta ( 4).
W(cp)=A.W (<p,-1)- B.W(q¡-2) + C.W(cp-5) -D.W(cp-4)
+ E.W(<p-5)
siendo cp de nuevo un 11Utném ,entero cualquiera y los presentes valores :in,id:ales ( 2) ·d·ehe:n igualmente sér aplicados a esta generaCión.
6. ''Pero designando por zt un número ihdt;:fllil,idamertte gtande
~a resoLución de la ecuación ,die quinto grado (i) es ofrecida inmediatamente por ;las dOIS ecua,cio11es ·de ·o~·arto grado (S J
0=x.4 W (u-4)-x.s ~A. W (u--4)-W (11- 5) }
(u-5)
+ x.2
+ B.W(u-4) }-
--.x{ D.'W~ú-5)- E.W(u-6) }+E.W(u-5)
W (u--2)- A. W
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().=x.4 W( -u-4)- x.s { A.W(-u-~):-W( -u-5)} + x.2 {wc-u-2)A.W(...-u-5)+ B.W(-u-4) }--:x{ D.W (--~::u-5)- E. W (-u-6) ~>+ E.W ( -u-5)
.
La pr:imer;1 de estas ·ecuéllciooes
conteniendo aquellas .raíces de
.
1·
· ~a propuesta ( I ) 11eaLes o id.ea1es (imaginarias) que soo las más
pequeñas enrt:r:e ellas y la ~~egunda aquel1a~s' raíces que •SiOitl más grandes lent11e ellas. Bu ref,ecto, basta ibuscar •los divioores comunes ·entr;e
'la propuesta (1) y 1as •ecuaciones T<espectivas (S) para :tener la oo[uJCión ·completa del probLema.
7· "Que ilios g;eómetras no •Se espanten de ver '.entrar •e!n ·esta
solución, oo.Ml!dó d1a debe ser rigurosa, el :n!Ú:mero indefinidamente
grandie u ¡pensando que 1as ·I"esoludones ,de las ~e~uaciones de segundo,. de tei"cem y de cuar.to gmdo y gelnemlm!'mte todas Ias mntidades irraoiorm.iles y 1mansoendenúaJ1es, ou:ando son considerélJdos como
determinadas rigu11osamente •no pueden ser ooncebidas de otro modo, que. po~ números indefin•i,diamente grajndres ronltenidos ·explí<:~­
mente o a 'lo menos implÍ!o~tament·e •en s.us .expr.esiones.
Por e}etnplo, en la .determinación rigurosra .de fa naturaleza del
1oga:ritmo 1111art:ural. ·de un n'tl:mer.o n que H a..tley ha dado par la bella
expres•ión ( 6).
el número 1u, eua'll!do ·esta determinación debe 11ealmente se·r viguro-
sa •es un nú:mero indedln1damente · gr¡ande; lo que no impide que 1liO
se .púdiese !tomar. para u un numero finito, más y más grande pélJra
obtener por esta ex!pr•esióh ( 6), d valor del i1ogaritmo d!el n~mew
n con t11n1a .exaratitud pmgt'esi'Via 1aJ vdlun¡ta¡d 'más y más grande hasta
el •Ínfimito.
·
8. "Todavía, nruesrt:ras arcrt:uaJ,es funciones ·alephs ti·enen la V'entaja sobt'e :todas ·la:s .exp11esianes oonocidas de la:s cant1dades til1radona1es y :tnansoende!nltes, en qllle para su eVtaluaciÓn y aún. para su
oonstnucciáln •en f·u:ndón de los ¡coeficientes A. B. C. D. E. de la
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•ecuación propuesta ( I) oo ,exig.en •sino las primer;as cuatro opera-,
•Óones a;rri:trnét.icas. No ;tooemos aquí 'lugar: para decir más sobre ~sta
r;esoluoión geJneral :de las ecuadones de qtúnto g¡¡ado, sobre todo
pa113i 1o qu~ concieme a ias ld!ivers:a:s cirounsta:nci3!s de esta r·eso1u:'ción, rtaies como la e:x!Clusión de ·las ["aí~es :iguales, 1a seyaración o
i1lltroducción de una dif.er.encia ar:biJtraria entre las rakes, 'la ·l.'educ:ción ultecior de las ecuaciones (S) y otras semej1antes. Tampoco
podemos <fiscutir aquí el caso etn que las raíces de la propuesta ( I)
rea1es o ideales, tengan :La unida;d por valor n1.l1111érion; caso en que
d1as puedan reducirse a rt11n grado iuf•erior. Nos limit¡a¡remos, por con-.
s~guiente, a pr.ev.enk es·end~lmentJe que ¡para .ev~tar que las ecuacio!tlJes rediuóclas \Il!O se vudvan defectuo,sas en que sus coeficientes se
!f·eduottn a cero, como suoed·e ·en ciertos casos, es necesario transformar 1aJ ecuación propuesta ( r) en oltm cuyo último término E, s~a
iguj<JJ a la unidad, eq]aíc.ión trá.nJsformada que se deBe cons1derar
:aqui c0i111o ·S:~endo de uua.ción normal a La cual debe aplicarse este
general de ·~ws ecuaciones,
Y para
aplicar:método de 1a •resolución
,
.
.
'
se este método teniendo que l.'esolver una ecuaóón cualquiera dé
''quinto grado ( 7).
e --:- z
5
-
P.z 4
+ Q.z
3
-
R.z 2
+ S.z -
T
basta esta;Mecer entne su incógnita z y 1a incógnita :r de la ecuación
( r) a la 1c.~tal •es necesario a:plimr el presente métodto tra!llsformán'dola a:sí l{;jiJ¡ ecuación no.nmalla r<e1ación (8)
z = K ~ .bx
en la cual K es una <?-1lti.da;d arbitraria cuaJquien31 comprend~do .el
1cero, y b una canti•dad determirn:aJda por la expresión ( 9)
'Observa;ndo que la elección conV'eniente de ia cantidad ICiirbí,tmtia.
K para facilitar los cálculos, por ejemp:·o, cuando en ciertos ¡casos
se determilnJa esta cantidad arhitrania K por la ecuación (ro).
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,_ 74-
Sobre todo ooarndro ren la eooadÓ\n propue!>ta (7) el .coefioiente P"
rcero, oomo s·e pu-ede siempr.e ha'Oenlo, caso en el •cual la relaJción
(8) se vuel-v<e simp1emen<te. ( II).
é!S
z=K (1-x)
gor
Añadiremos aquí, que s1 ·se determina la cantidad arbitraria K
•la ecuación
e
=
K5
-
P.K~
+ Q.K
3
-
R.K2
+ S.K
se rteaJ.·d.rá al principio ,el varlor K = O y lQC otros va1or·es de K se
· en<JontraráJn así determinados por una ecuaJc:ión de cuanto grado y
enrtoooes la resolución general. (8) se volverá
¡¡
z.=K+xVT
y sus cñnteo determinaciones rd~1ferente:¡ ba9ta:rán pa:ra abra~:ar toqos'
Íos 1casos. De esta manera, por ·la relación gJmetaJl (8), :la ecüadó,n
( I) ·se volv·erá aquí la ecuación normal, medria11te que su ú:1timQ término E se ¡oonvi·erte así ~gua!l a la unidad y teniendo raíces dj,ferrentes, se :tendrá entonces
una parte que ·seráin más grandes que la !Uni,
dad y otra par:te que serán más pequeñas que la unidad y por coosiguirenrt~ las dos ecuaciones reduddaJS , ( 5) halhatrá:n entonces runa
explica,qión g:ener,a:l e inmedriatta pam ésta ecuaciáln normal ( I ) dewrmina:da de esta ma:nera pa;ra que su último térmioo sea:
E= 1.
9· ''Por oortsiguieme; sin tene·r que huscat'·los .divisores comunes.
mtne la .ecuadón normal ( I ) y •J.a~ do$ ecuaciones reducidla:~ { 5) •
basta de r-esolver por 1os métodos. OO!JJbléidos ~Stas ·reducidas ( 5) de::
cuarto grado, cuando sus coeficientes permanezcan constap·t·es para
dif.er.entes va:Iores de:l %úmer;o a:nbitrar.io u 'má:s y más grandeJS, o
bien en el caso contrario, sus l'eduddas uiterior.es .del tercero y aoo·
de segundo gra:dio, en los cooles estos ooef.i:cientes :Llegan a ser a:l Hn
ron.stantes .para ·todos los gf131llldes valores de u.
l.ials rakes qure se abtoogalb! >tendrán así ru:n.a. forma fin-ita y U(}~>
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75-
di:feri:rán de aquelLas, que se obtengan para las ecuaciones d,e los;
grados 111Jf.eriones al qu~nto, sino ·en que dlas contendrán las crmeva<S
ÍUTI~cion:es aiephs, que precisamente volveráln pasible ·esta ·resolución
superior de las ecuacio111es del quinto grado y que para la práJCtioa: de
los cálculos eminentemente simpies pueden s·er determin;a,dos tan
exaJCtamente .oomo se 1le desee, dando al .númer:o arhltrario u va:lor~s
más y más gna11!des."
l
"Después W·ronski da las fónnul.as genera/les pam determinar [a función aleph de un grado 'cualquiera positivo o negativo, en
futJJC'ÍÓn .de 1Q'S ·meficientes de la ecutadón y termilna diciendo:
"Condu:imos este •Desumen, notando, que la pr.esente l'eso1uóóngenera:l de ·la .ecuadáin de quinto gradio, muestra claramente, porque
hasta hoy no se ~a podido !Lograr la resoh,¡c,ián dd problrema. En
ef~to se ve sobr:e todo ·en hs expresi·Q!!1es generales, qu·e ~sita r.esolución superior eXJige una genemción algorítmica indefinida por medio de los coeficientes de la ecuación propuesta; pero t(l!l, que se
pueda reali:zar:la pl'ogr.esivame!rute ·con una 'exactitud a vol·U)ntad por
exponente u más y más grandes ge'll!emción :irrtdefi,r1ida que h den¡cia.
en ~su imperfección :a.ctUirul no podia dlelterminar ni aún concebir".
10
1
.
FEDERICO VILLA:RREAL
Profesor de la t !niversidad de Lima.
(Continuará)