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GRUPO 11M
MATEMÁTICA DISCRETA 18/12/01
EJERCICIO 1 (10 puntos)
Se quieren cambiar 90000 pesetas en billetes de 20 y 50 €. ¿De cuántas maneras distintas se
puede hacer el cambio? Expresarlas todas. (Se considera cambio aproximado 6 € = 1000 ptas).
> 90000*6/1000;
540
se consideran entonces 540 € y las soluciones buscadas las soluciones mayores o iguales a 0 de
la ecuación diofántica:
540 = 20 x + 50 y
donde x e y son el número de billetes de 20 y 50 € respectivamente.
el máximo común divisor de 20 y 50 es 10 que divide a 540, por lo que la ecuación diofántica
tiene solución.
54 =2 x + 5 y
se considera entonces la ecuación
x = 3 * 54 = 162 y = (-1) * 54 = - 54
una solución sería
x = 162 + 5 k
y = - 54 - 2 k
y la solución general:
como el número de billetes de uno y otro valor ha de ser mayor o igual que 0,
> fsolve(162 + 5*k=0);
-32.40000000
> fsolve( - 54 - 2*k);
-27.
-32 =< k =< -27 que son:
serán válidas las soluciones correspondientes a los valores de k:
> x1 := 162 + 5*(-27); y1 := - 54 - 2*(-27); 20*x+50*y;
x1 := 27
y1 := 0
540
> x = 162 + 5*(-28), y = - 54 - 2*(-28);
x = 22, y = 2
> x = 162 + 5*(-29), y = - 54 - 2*(-29);
x = 17, y = 4
> x = 162 + 5*(-30), y = - 54 - 2*(-30);
x = 12, y = 6
> x = 162 + 5*(-31), y = - 54 - 2*(-31);
x = 7, y = 8
> x = 162 + 5*(-32), y = - 54 - 2*(-32);
x = 2, y = 10
> x = 162 + 5*(-33), y = - 54 - 2*(-33);
no es válida
x = -3, y = 12
EJERCICIO 2
(10 puntos)
De cuántas maneras se pueden colocar 5 bolas idénticas en 3 urnas distintas
si:
a) la primera urna contiene exactamente 3 bolas
tenemos entonces la primera urna con 3 bolas y 2 bolas más para repartir entre las otras dos
urnas
x + y + z = 5 con x = 3 y, z >= 0
y+z=2
dos objetos y un separador necesitan 3 posiciones, tenemos que elegir la posición del
separador. Será por tanto el número de conjuntos de 1 elemento tomado de un total de 3
> with(combinat,numbcomb):
> numbcomb(3,1);( numbcomb(m,n) es el número de conjuntos de n elementos
tomados de un total de m )
3
b) la primera urna contiene al menos 3 bolas
x + y + z = 5 con x >= 3 y, z >= 0
x' + y' + z' = 2 con x', y', z' >= 0
dos objetos y dos separadores necesitan 4 posiciones, tenemos que elegir la posición de los
dos separadores. Será por tanto el número de conjuntos de 2 elementos tomados de un total
de 4
> numbcomb(4,2);
6
c) las dos primeras urnas contienen al menos una bola cada una
x + y + z = 5 con x, y >= 1 z >= 0
x' + y' + z' = 3 con x', y', z' >= 0
tres objetos y dos separadores necesitan 5 posiciones, tenemos que elegir la posición de los
dos separadores. Será por tanto el número de conjuntos de 2 elementos tomados de un total
de 5
> numbcomb(5,2);
10
d) entre las dos primeras urnas contienen al menos una bola
será el total sin ninguna restricción menos los casos en que las dos primeras urnas estén
vacías.
Éste es un caso único: 0 + 0 + 5
El total sin restricciones será
x + y + z = 5 con x, y, z >= 0
5 objetos y dos separadores necesitan 7 posiciones, tenemos que elegir la posición de los dos
separadores. Será por tanto el número de conjuntos de 2 elementos tomados de un total de 7.
Y el resultado pedido será esta cantidad menos 1
> numbcomb(7,2)-1;
20
e) ninguna urna está vacía
x + y + z = 5 con x, y, z > 0
x' + y' + z' = 2 con x', y', z' >= 0
dos objetos y dos separadores necesitan 4 posiciones, tenemos que elegir la posición de los
dos separadores. Será por tanto el número de conjuntos de 2 elementos tomados de un total
de 4
> numbcomb(4,2);
6
EJERCICIO 3
(5 puntos)
C6
6 vértices, 6 aristas
matriz de adyacencia
> evalm([[0,1,0,0,0,1],[1,0,1,0,0,0],[0,1,0,1,0,0],[0,0,1,0,
1,0],[0,0,0,1,0,1],[1,0,0,0,1,0]]);
0 1 0 0 0 1


1 0 1 0 0 0


0 1 0 1 0 0


0 0 1 0 1 0


0 0 0 1 0 1


1 0 0 0 1 0
matriz de incidencia, suponiendo las aristas ordenadas, la primera del primer vértice al
segundo y así sucesivamente y considerando los las filas etiquetadas con los vértices y las
columnas con las aristas
> evalm([[1,0,0,0,0,1],[1,1,0,0,0,0],[0,1,1,0,0,0],[0,0,1,1,
0,0],[0,0,0,1,1,0],[0,0,0,0,1,1]]);
1

1

0

0

0

0
0
1
1
0
0
0
0
0
1
1
0
0
0
0
0
1
1
0
0
0
0
0
1
1
1

0

0

0

0

1
Cn
n vértices, n aristas
matriz de adyacencia:
a1.n = an,1 = 1 y las dos diagonales por encima y por debajo de la diagonal
principal = 1 los demás elementos = 0
matriz de incidencia (considerando los las filas etiquetadas con los vértices y
las columnas con las aristas)
a1,n = 1 , la diagonal principal y la situada por debajo de ésta = 1, los demás
elementos = 0