Ejercicios sobre Costos Fijos

Problemas de Programación Entera
1. Se está estudiando la manufactura de tres nuevos productos textiles, que denominaremos P1, P2 y P3. Cada producto requiere para su producción el alquiler de una
máquina, con un costo semanal de 200 E. para P1, 150 E. para P2 y 100 E. para
P3. La manufactura de cada unidad requiere cierta cantidad de tela (en md2 y mano
de obra (en horas) que vienen dados en la siguiente tabla, ası́ como el precio de venta
y el coste del material, en Euros.
Producto
P1
P2
P3
Horas
3
2
6
Tela
4
3
4
Pr. venta
12
8
15
Costo
6
4
8
Formular el problema de maximizar los beneficios semanales, si se dispone de 150 horas
de trabajo y 160 dm2 de tela.
2. Lavor SA fabrica diferentes modelos de lavadoras, y dispone de dos plantas de montaje
(F1 y F2). Lavor está estudiando la fabricación de 4 nuevos modelos (P1, P2, P3 y P4)
para aprovechar el exceso de capacidad de 2500 horas y 3.200 horas respectivamentey,
y ha recolectado los siguientes datos de interés (tiempos en horas y costes en cientos
de Euros):
P1
3
2.8
3
2.8
600
6.5
tiempo/u en F1
tiempo/u en F2
coste/u en F1
coste/u en F2
coste lanzamiento
precio venta
P2
3.5
4
2.5
2.3
500
7
P3
5
4.5
5.2
4.8
700
9.2
P4
2.5
2
2.2
2.1
400
5.2
a) Formular un modelo de optimización que se pueda utilizar para maximizar el
beneficio de Lavor, y escribir el modelo en AMPL.
b) Obtener la solución óptima e indicar si va a quedar exceso de capacidad en alguna
de las plantas.
3. Motorsa, un fabricante de automóviles, tiene cinco plantas obsoletas, que indicaremos
como P1 hasta P5. La administración está considerando la modernización de estas
plantas para la producción de los bloques motor y transmisiones de un nuevo modelo.
El costo de modernizar cada una de las plantas (en millones de Euros) y la capacidad
de producción después de la modernización (en miles de unidades) son:
Planta
P1
P2
P3
P4
P5
Costo
25
35
35
40
20
Capacidad bloques motor
500
800
400
900
200
Capacidad transmisiones
300
400
800
600
300
Se tiene prevista la producción de 1.200.000 unidades del nuevo modelo.
a) Formular un modelo para determinar qué plantas va a modernizar Motorsa, y en
cuales se fabricará cada componente.
1
b) Encontrar manualmente dos soluciones factibles para este problema.
c) Añadir las siguientes restricciones impuestas por razones de polı́tica comercial:
1) Las plantas P2 y P3 no pueden ser modernizadas simultáneamente,
2) Si una planta va a producir alguno de los componentes (bloques motor o
transmisiones), debe producir al menos 100.000 unidades y
3) Como máximo se pueden modernizar 3 plantas.
d ) Escribir un modelo genérico para un problema del tipo anterior, con n productos
y m plantas.
4. Una compañı́a considera la apertura de almacenes en cuatro ciudades: Nueva York,
Los Angeles, Chicago y Atlanta. Cada almacén puede enviar 100 unidades a la semana.
El coste semanal fijo para mantener abierto cada almacén es de 400 dólares en Nueva
York, de 500 dólares en Los Ángeles, de 300 dólares en Chicago y de 150 dólares
en Atlanta. La región 1 del paı́s requiere semanalmente 80 unidades; la región 2, 70
unidades; y la región 3, 40 unidades. En la siguiente Tabla se muestran los costes
(incluyendo los costes de producción y de envı́o ) para enviar 1 unidad desde cada
almacén hasta cada región. Se desea satisfacer las demandas semanales a un coste
mı́nimo, sujetas a la información anterior y a las restricciones siguientes:
a) Si se abre el almacén en Nueva York, entonces hay que abrir el almacén en Los
Ángeles.
b) Se pueden abrir a lo más dos almacenes.
c) Hay que abrir el almacén en Atlanta o en Los Ángeles.
d ) Formular un problema de PE que se utilice para minimizar los costes semanales
de satisfacer la demanda.
DE
Nueva York
Los Ángeles
Chicago
Atlanta
HACIA
Región 2
40
15
35
50
Región 1
20
48
26
24
Región 3
50
26
18
35
5. Speker’s Clearinshouse debe desembolsar cheques a los ganadores de la loterı́a en cuatro
regiones diferentes de paı́s: Sureste (SE), Noreste (NE), Lejano Oeste (LO), y Medio
Oeste (MO). El promedio anual de la cantidad de los cheques extendidos a ganadores
en cada región del paı́s se da a continuación: SE, 40.000 Euros; NE, 60.000 Euros; LO,
30.000 Euros y MO, 50.000 Euros. Speaker deberı́a extender el cheque el mismo dı́a
que un cliente ha ganado el premio, pero puede retrasar el cobro rápido por parte de
los ganadores, al extender al ganador un cheque girado en un banco remoto (esto hace
más lenta la liquidación del cheque). Se están considerando cuatro lugares de bancos,
situados en ciudades abreviadas como F, R, P y B. El costo anual para mantener una
cuenta abierta en cada uno de los bancos es: F, 50.000 Euros; R, 40.000 Euros; P,
30.000 Euros y B, 20.000 Euros respectivamente. Cada banco tiene como restricción
que el promedio de cheques girados no puede ser superior a 90.000$. En la siguiente
tabla se da el promedio del número de dı́as que tarda la liquidación de un cheque.
SE
NE
LO
MO
F
7
8
4
5
2
R
2
4
8
4
P
6
5
2
7
B
5
3
11
5
a) ¿Dónde tendrı́a que tener Speaker’s sus cuentas bancarias y de qué banco tendrı́a
que recibir un cliente dado su cheque, suponiendo que Speaker’s puede ganar un
15 % al añ con el dinero invertido? Plantear el problema en los siguientes casos:
Caso 1: cada región puede mandar cheques a varias ciudades.
Caso 2: cada región tiene que mandar todos los cheques a la misma ciudad.
b) Encontrar manualmente dos soluciones factibles y su costo (pueden abrirse ciertos
bancos y resolver el problema de transporte asociado)
c) Añadir las siguientes restricciones lógicas:
R1: al menos una de las cuentas en las ciudades F o P debe estar abierta.
R2: si se abre cuenta en el banco de la ciudad B, no puede abrirse en R.
R3: si la cuenta de la ciudad F tiene asignada 50.000 Euros o más, entonces la
cuenta de la ciudad F debe tener asignada al menos la misma cantidad.
6. En la Figura adjunta aparecen los 5 puntos de interés para un sistema de distribución
de gas de cierta compañı́a.
80
S1
F1
60
100
20
T
140
F2
S2
F1 y F2 corresponden a las plantas de extracción, S1 y S2 a dos puntos de almacenamiento y T a un terminal de distribución. Se trata de llevar el gas desde las plantas
de extracción hasta el terminal. El número sobre cada arco indica los kilómetros del
tramo correspondiente que hay que construir, y el coste de construcción es de 100000
Euros por kilómetro. Las conducciones desde los puntos de almacenamiento al terminal
están ya disponibles. Se ha estimado que se van a transportar 800 millones de metros
cúbicos anuales desde la planta 1 hasta el terminal, y 600 millones desde la planta 2 al
terminal. El coste de transporte es de 2000 Euros por millón de metros cúbicos para
cualquier tramo de la red. Además hay una capacidad anual de 1 billón de metros
cúbicos para cualquier tramo. La compañı́a busca minimizar los costes anuales de la
distribución del gas (costes de construcción más costes de transporte).
a. Formular un modelo de Programación Entera para este problema de distribución.
b. Encontrar una solución factible razonablemente buena.
7. La compañı́a Nickles recibe pagos con tarjetas de crédito de cuatro regiones, indicadas
por R1, R2, R3 y R4. El valor promediado anualmente de los pagos diarios enviados
por correo por los clientes de cada región es el siguiente: R1 70.000 Euros, R2 50.000
Euros, R3 60.000 Euros y R4 40.000 Euros. Nickles debe decidir hacia donde deben
3
enviar los clientes los pagos. Como Nickles puede obtener un 12 % de interés anual al
invertir estos ingresos, le gustarı́a recibir los pagos lo antes posible. Las operaciones
para procesar los pagos (conocidas frecuentemente como lockboxes) pueden hacerse en
cuatro ciudades que denominaremos C1, C2, C3 y C4. El número promedio de dı́as
desde el envı́o del pago hasta que el dinero está disponible depende del lugar de orı́gen
del pago y de la ciudad destino, y viene dado en la siguiente tabla:
Desde
R1
R2
R3
R4
Hacia
C2 C3
6
8
2
5
5
2
5
5
C1
2
6
8
8
C4
8
5
5
2
El costo de mantener una lockbox en cualquier ciudad es de 50.000 Euros, y hay un
lı́mite de 150.000 Euros que puede gestionar cualquier lockbox.
a) Formular un modelo de optimización que pueda usar Nikles para minimizar la
suma de costos provocados por intereses perdidos y por la gestión de lockboxes,
en los siguientes casos:
Caso 1: cada región puede mandar cheques a varias ciudades.
Caso 2: cada región tiene que mandar todos los cheques a la misma ciudad.
b) Encontrar manualmente dos soluciones factibles y su costo (pueden abrirse ciertas
lockboxes y resolver el problema de transporte asociado).
c) Encontrar una solución óptima con AMPL.
8. En la siguiente figura aparecen 6 puntos de demanda de cierto producto, y el grafo
con las conexiones entre ellos. Se trata de determinar en qué puntos van a ubicarse
almacenes de distribución para servir a todos los puntos, y qué almacén va a quedar
asignado a cada uno de ellos. En cada arco del grafo está la distancia en Km. entre
los dos puntos correspondientes, y al lado de cada nodo en un cuadrado aparece en la
parte superior la demanda del producto en ese nodo, y en la parte inferior el coste fijo
si se abre un almacén de distribución en ese nodo. El coste de transporte es de 1 Euro
por unidad de demanda y Kilómetro.
8
40E
10
100E
10
B
A
6
7
10
C
7
6
50E
12
5
115E
D
9
9
6
9
70E
E
9
F
4
10
100E
a) Formular un modelo de Programación Lineal Entera para minimizar el coste total
(costes fijos de apertura más costes variables de transporte) dependiendo de si
cada punto puede ser servido por varios almacenes, o tiene que ser servido por
un único almacén.
b) Añadir la condición de que como mucho pueden abrirse 3 almacenes.
c) Encontrar dos soluciones factibles para el problema y calcular su costo.
9. Cierta Universidad va a efectuar una compra de 1.100 ordenadores y dispone de ofertas
de tres vendedores. El vendedor 1 cobra 900 Euros por cada ordenador, más un costo
de transporte de 3.000 Euros y puede proporcionar como mucho 500 ordenadores. El
vendedor 2 cobra 850 Euros por cada ordenador más un costo de transporte de 2.000
Euros, y puede proporcionar como mucho 500 ordenadores. El vendedor 3 cobra 650
Euros por cada ordenador más un costo de transporte de 3.200 Euros, y no puede
proporcionar más de 400 ordenadores.
a) Formular un modelo de optimización para minimizar el costo de la adquisición
de los ordenadores.
b) Encontrar dos soluciones factibles y su correspondiente costo
10. El responsable de mantenimiento de una fábrica debe decidir qué generadores se van
a conectar a lo largo del dı́a para proveer los requerimientos de energı́a. Dispone para
ello de cuatro generadores cuyas caracterı́sticas se dan en la siguiente tabla:
Generador
A
B
C
D
Coste fijo
conexión
3200 u.m.
2000 u.m.
1500 u.m.
3500 u.m.
por
Coste por Kilowatio y perı́odo
5 u.m.
7 u.m.
8 u.m.
6 u.m.
Capacidad máxima por perı́odo
2100 kw
1800 kw
3100 kw
2500 kw
Se considera el dı́a dividido en tres perı́odos, en los que se requieren 5500, 3900 y 6500
kilowatios respectivamente. Se sabe que si un generador está conectado durante un
perı́odo, puede ser utilizado en el perı́odo siguiente sin causar nuevo gasto de conexión.
Además, todos los generadores son apagados al final del dı́a para efectuar una labor
de mantenimiento, y es conocido que los generadores B y C no pueden ser conectados
simultáneamente.
a) Formular un modelo de optimización que permita determinar qué generadores
deben ser conectados en cada perı́odo y qué potencia deben suministrar de forma
que se minimize el costo diario.
b) Encontrar manualmente dos soluciones factibles y su correspondiente costo
11. Fagosa se dedica a la fabricación de componentes para automóviles y dispone de tres
lı́neas de montaje con exceso de capacidad para los meses próximos. Recientemente
ha firmado un contrato para la fabricación de 5 productos, y después de un estudio
inicial se han recopilado los siguientes datos de fabricación:
Producto
P1
P2
P3
P4
P5
Coste/u fabricación
L1 L2
L3
12
–
15
20 30
25
25
–
–
–
12
15
10 15
20
5
Tiempo/u fabricación
L1 L2
L3
2.2
–
3
0.8 1.7
1.4
1.5
–
–
–
3
3.5
1
2.2
3
Demanda
6.250
5.200
6.500
8.000
4.200
En esta tabla, los tiempos de montaje de cada producto en cada lı́nea están dados en
minutos, y el sı́mbolo – indica que no es posible el montaje en esa lı́nea, y los costes
están en cı́ertas unidades monetarias. Además, cada vez que se arranca una lı́nea se
incurre en unos elevados costes fijos de preparación, que están dados en la siguiente
tabla, junto a las capacidades de cada lı́nea (en horas).
Lı́nea
L1
L2
L3
Coste Fijo
12.300
15.500
6.200
Capacidad (horas)
1.350
2.250
2.450
a) Describir en unas lı́neas qué tipo de modelo es el más adecuado para resolver el
problema de Fagosa, y qué representa cada tipo de variable.
b) Escribir el modelo y los datos en AMPL, y resolver el problema.
c) Efectuar un pequeño análisis de la solución.
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