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SIGMA
RELEVANCIA DEL PERFIL DE ASIMILACIÓN DE
LOS ALIMENTOS: UN MODELO MATEMÁTICO PARA
EXPLICAR LA ACUMULACIÓN DE GRASA EN NUESTRO
ORGANISMO
José Manuel López Irastorza (*) y Pedro J. Zufiria (**)
RESUMEN
En este artículo se elabora un modelo matemático simplificado que caracteriza los procesos
de asimilación y almacenamiento de energía en el cuerpo humano. Dicho modelo está compuesto por ecuaciones diferenciales cuya resolución puede ser justificada directamente con
herramientas de cálculo diferencial e integral de bachillerato. El análisis del modelo permite
ilustrar la influencia que tiene el perfil de asimilación de un alimento, caracterizable mediante
su índice Glucémico (IG), en la generación y acumulación de grasas en el organismo. El estudio se completa con la simulación numérica del modelo para varios casos diferentes.
Palabras clave: Perfil de asimilación, Índice Glucémico (IG), glucosa, glucógeno, grasa,
ecuación diferencial.
1. INTRODUCCIÓN
En el transcurso de una copiosa cena, los autores de este trabajo acabaron debatiendo acerca
del sobrepeso que los postres de la carta les podrían generar. Respaldado por una reciente
lectura (véase [5]), uno de los autores planteó la tesis de que, además de las calorías asociadas
a un alimento, se debe tener en cuenta su Índice Glucémico (IG). Dicho índice cuantifica el
incremento del nivel de glucosa en sangre tras la ingesta del alimento. Si el nivel de glucosa
sube moderadamente, la energía se almacena en forma de glucógeno; sin embargo, cuando
la glucosa alcanza niveles altos, el organismo almacena parte de la energía en forma de grasa
(de difícil consumo). Como consecuencia, tras la asimilación total de un alimento con alto IG,
los niveles de glucosa y glucógeno alcanzarán valores bajos (con la consiguiente sensación de
hambre) en un plazo más breve que si se hubiera ingerido un alimento con bajo IG. La pesada
digestión que los autores sufrieron aquella fatídica noche les proporcionó suficientes horas de
vela para comenzar la elaboración de un modelo matemático con el que tratar de justificar
(parcialmente y de manera muy aproximada) los argumentos esgrimidos en la sobremesa.
Este artículo presenta los pasos seguidos en la elaboración de dicho modelo matemático, para
así ilustrar una vertiente aplicada de la matemática. Precisamente, uno de los aspectos novedosos de los nuevos currículos de la matemática se refiere a la modelización. Los alumnos
maduran en la medida en que consiguen representar diferentes sistemas con grados crecientes
de precisión y complejidad. Y es la matemática la que consolida los modelos ofreciendo la
posibilidad de que las predicciones de evolución de las magnitudes respondan a leyes rigurosas; así, esta vertiente aplicada de la matemática ofrece un camino para que los alumnos
disfruten de una visón más rica y precisa de la realidad.
(*) Centro de Apoyo Berritzegune de Lasarte (Guipúzcoa).
(**) Universidad Politécnica de Madrid.
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José Manuel López Irastorza y Pedro J. Zufiria
1.1. Energía y grasa en nuestro organismo
Los alimentos que ingerimos a diario están compuestos fundamentalmente de proteínas, glúcidos (o hidratos de carbono) y lípidos (o grasas). De entre ellos, los hidratos de carbono y las
grasas tienen como función principal aportar energía al organismo. Coloquialmente es habitual
nombrar dicha energía en terminos de calorías, aunque la unidad más frecuente para cuantificarla son las kilocalorías (Kcal).
El cuerpo humano asimila los hidratos de carbono transformándolos en glucosa como principal
fuente de energía. En caso de que se alcancen niveles de glucosa elevados, parte de dicha energía
se almacena en forma de grasa (este fenómeno se denomina "Caballo de Troya" de los lípidos).
El exceso en los niveles de glucosa en sangre puede deberse a dos factores. Por un lado depende
de la cantidad total de hidratos de carbono ingeridos. Este factor muy conocido es el fundamento
de las numerosas dietas hipocalóricas existentes (que sugieren simplemente comer menos).
El segundo factor importante es la forma como se distribuye a lo largo del tiempo la asimilación
de dichos hidratos de carbono. La misma cantidad total ingerida de hidratos de carbono puede
generar niveles de glucosa muy diferentes, según cómo se vaya asimilando a lo largo del tiempo.
A su vez, la forma de la asimilación depende del calendario de comidas y del tipo de hidratos
de carbono ingeridos. Así, una manera de controlar dicha asimilación es distribuir las comidas
a lo largo del tiempo (como habitualmente se suele decir: "comer poco y a menudo"); de esta
idea han surgido las dietas centradas en la distribución temporal de las comidas (dietas de cinco
comidas al día). Finalmente, hay alimentos que se asimilan más rápido que otros, y su perfil de
asimilación suele medirse (de manera indirecta y aproximada) mediante el Índice Glucémico
(IG). Como veremos, la dieta de Montignac [6] se basa en elegir alimentos con bajo IG.
En resumidas cuentas, la grasa almacenada en el cuerpo puede provenir, además de la ingestión directa de lípidos, de un exceso en los niveles de glucosa en sangre. Este artículo ilustra
cómo dichos niveles de glucosa están determinados por el Perfil de asimilación de los hidratos
de carbono ingeridos. A pesar de que, en general, el concepto de perfil de asimilación es válido
para modelar tanto la cantidad de calorías asimiladas como la forma temporal de su asimilación (considerando la distribución de comidas y los tipos de alimentos), el presente artículo se
centra fundamentalmente en analizar la influencia del perfil de asimilación según el tipo de
alimento ingerido.
1.2. Índice Glucémico de un alimento
El IG de un alimento se calcula midiendo los niveles de glucosa G(t) generados por 50 g de
carbohidratos (aproximadamente, 187,5 Kcal) de dicho alimento en las dos horas siguientes
a su ingestión. Una medida unificada y sencilla de esos niveles viene dada por la integral
definida
donde la constante
define un nivel medio
de glucosa antes de la ingestión; así, empleando como referencia la curva
generada
ingiriendo directamente glucosa pura, el Índice Glucémico de un alimento viene definido por
la ratio [6] (véase la figura 1):
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Relevancia del perfil de asimilación de los alimentos: un modelo matemático
para explicar la acumulación de grasa en nuestro organismo
Figura 1. IG como la proporción entre el área sombreada y el área total coloreada
Por ejemplo muchas frutas y verduras tienen un IG bajo, inferior a 55; muchos derivados del
trigo o el arroz integral presentan IG medio, entre 55 y 70; finalmente, muchos productos más
refinados presentan IG alto, superior a 70. En general, la composición de todos los ingredientes
de un alimento determina su resultante glucémica [6].
Existen dos corrientes de opinión fundamentales que explican el diferente IG de los alimentos.
Tradicionalmente, se ha relacionado dicho IG con la velocidad de asimilación del alimento:
una absorción gradual daría lugar a una subida moderada de glucosa, mientras que una absorción rápida generaría niveles altos de glucosa. Esta corriente ha consolidado la clasificación
entre azúcares de absorción lenta y rápida. Alternativamente, algunos autores [6] consideran
que todos los tipos de azúcares se absorben en un periodo de tiempo similar, y su diferente IG
es consecuencia del diferentes porcentaje de asimilación en la pared intestinal.
Desde un punto de vista matemático, ambas perspectivas quedan modeladas a través del perfil
de asimilación de calorías A(t) del alimento. Así, dos alimentos que aportan las mismas calorías totales, pero con diferentes tiempos de asimilación, tendrán asociados distintos perfiles de
A(t). Lo mismo ocurrirá con alimentos que presentan diferentes porcentajes de asimilación en
la pared intestinal.
En cualquier caso, una vez establecido el perfil de asimilación, este determina los niveles de
glucosa G(t) resultantes; a su vez, dichos niveles de glucosa determinan la forma en que el organismo acaba repartiendo sus reservas energéticas en forma de glucosa, glucógeno o grasa.
El presente trabajo elabora un modelo matemático sencillo para ilustrar cualitativamente, y
de manera aproximada, la influencia de dicho perfil de asimilación en la manera como se
repartirán las reservas de energía resultantes en el cuerpo. Para ello, previamente se enuncian
las leyes fundamentales que rigen los niveles de glucosa y el almacenamiento de energía en
forma de glucógeno o grasa. Posteriormente, se plantea un sistema dinámico simplificado que
representa dichas leyes para, a continuación, mediante su análisis, ilustrar la influencia del
perfil de asimilación en la generación específica de grasas. De manera indirecta, el modelo
sirve también para ilustrar la relación entre el perfil de asimilación de los alimentos y su IG.
El documento está organizado de la siguiente manera. La sección 2 presenta las leyes fundamentales que rigen la asimilación, el consumo y el almacenamiento de energía en el cuerpo;
en la sección 3 se elabora un modelo básico del balance energético interno en el cuerpo
humano. La sección 4 detalla el comportamiento del modelo en las diferentes zonas donde el
sistema puede evolucionar. La influencia del perfil de asimilación (y consecuente valor de IG)
en la generación de grasas se esboza analíticamente en la sección 5, y se ilustra con simulaciones en la sección 6. Para terminar, la sección 7 concluye con un comentario final.
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2. ASIMILACIÓN, CONSUMO Y ALMACENAMIENTO DE ENERGÍA
2.1 Perfil de asimilación
Cuando ingerimos un alimento con una determinada cantidad de hidratos de carbono, nuestro
organismo lo transforma inicialmente en glucosa. Las calorías Q del alimento pueden ser asimiladas de manera muy diferente, según sus propiedades y el estado en que se halla nuestro
organismo. Precisamente, el Perfil de asimilación de calorías A(t) es la función que caracteriza
las calorías de dicho alimento que el cuerpo ha asimilado hasta el instante t. Si consideramos
t = 0 como el momento de la ingesta del alimento, se cumplirá que A(0) = 0 y es de esperar que exista un tiempo ta, que define el tiempo de asimilación total del alimento, tal que
A(ta) = Q. (Nota: en el presente estudio, todos los análisis se restringirán a un intervalo
[0, te] donde te es el tiempo de estudio y cumple te ≥ ta). Evidentemente, la función A(t) es no
decreciente y, para llevar a cabo nuestro estudio, asumiremos que A(t) es además una función
derivable (por tanto, continua) y con derivada continua. Estas hipótesis de regularidad, muy
razonables desde el punto de vista del modelado de procesos reales, nos permitirán emplear
sin reticencias las herramientas básicas del análisis matemático.
, como las calorías por
Se puede definir la Tasa de asimilación de calorías
unidad de tiempo (potencia calórica) que el organismo está asimilando en un determinado
instante t. Es evidente que TA(t) ≥ 0 para todo instante de tiempo t entre 0 y ta, y
de manera que el número total de calorías del alimento se puede calcular como
Q=
La figura 2 ilustra dos tipos de alimentos que, a pesar de aportar la misma energía (187,5 Kcal),
presentan dos tasas de asimilación TA(t) diferentes.
Figura 2: Tasas de asimilación diferentes para dos alimentos con las mismas calorías
2.2 Perfil de consumo
Por otro lado, nuestro organismo está en constante proceso de consumo de calorías provenientes fundamentalmente de sus reservas de glucosa. Dicho consumo depende de diferentes
factores (metabolismo, actividad física, etc.) y viene caracterizado por un Perfil de consumo
de calorías C(t). Dicha función indica la cantidad de calorías que el cuerpo ha consumido
desde el instante 0 (momento de la ingesta del alimento) hasta un determinado instante t. Así,
al igual que en el proceso de asimilación, se cumple que C(0) = 0 y obviamente C(t) será una
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Relevancia del perfil de asimilación de los alimentos: un modelo matemático
para explicar la acumulación de grasa en nuestro organismo
función creciente. Al igual que antes, para facilitar nuestro estudio, asumiremos que C(t) es
además una función derivable (por tanto, continua) y con derivada continua. Asimismo, la Tasa
, define las calorías por unidad de tiempo (potencia
de consumo de calorías
calórica) que el organismo consume en un determinado instante t. Es evidente que TC(t) > 0
para todo instante de tiempo t, y
2.3 Energía total almacenada
Si denominamos E(t) a la energía total almacenada en el organismo en un determinado
instante t, se cumple E(t) = E(0) + A(t) − C(t), donde la constante E(0) representa el valor
de la energía en el instante inicial t = 0. Calculando las derivadas en la expresión, la tasa de
donde
variación de energía acumulada viene dada por
TAC(t) = TA(t) − TC(t) es la diferencia entre las tasas de asimilación y consumo, que se medirá
en unidades de potencia calórica (al igual que TA y TC). Nótese que E(t) queda determinada
por la ecuación de las derivadas y su valor en t = 0:
.
(1)
.
(2)
E(t) se obtiene directamente calculando aquella primitiva de TAC que en t = 0 valga E0; formalmente, ello equivale a computar en ambos miembros de (1) las integrales definidas entre
0 y t, de manera que
El problema planteado en (1)-(2) es de hecho un ejemplo sencillo de ecuación diferencial junto
con una condición inicial, lo que define un Problema de valor inicial (PVI) o de Cauchy
según se detalla en la sección 3.3. Nótese que conocidos E0 y TAC(t) durante el intervalo
[0, te], queda unívocamente definido E(t) en dicho intervalo (la diferencia entre el aporte y el
consumo energéticos determinarán cómo crece o decrece el valor de E(t) a partir de dicho
valor inicial E0).
En este trabajo se pretende analizar la distribución interna de dicha energía almacenada. Para
ello, pasamos a considerar los mecanismos fundamentales que regulan dicha distribución.
3. DISTRIBUCIÓN INTERNA DE LA ENERGÍA
Los hidratos de carbono asimilados por el organismo llegan al flujo sanguíneo en forma de
glucosa G(t), cuyo nivel activa la generación de insulina, entre otras hormonas. (Existen algunos modelos metabólicos [1, 2, 3], orientados fundamentalmente al estudio de la diabetes, que
incorporan la dinámica de los niveles de las hormonas involucradas. El objetivo de nuestro
trabajo es mucho más modesto y consideramos que los niveles de hormonas son los adecuados
para una transformación habitual de las sustancias). En concreto, la insulina juega un papel
muy complejo en el organismo: canaliza el consumo de la glucosa, trasladándola del flujo
sanguíneo al hígado y músculos, donde se almacenará en forma de glucógeno N(t); también
puede transformar parte de la glucosa en grasa R(t). Por lo tanto, la energía total almacenada
en el organismo E(t) siempre cumple la relación
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E(t) = G(t) + N(t) + R(t).
(3)
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La misma cantidad de energía almacenada E puede acabar distribuida de manera muy diferente entre las magnitudes G, N y R. Para determinar dicha distribución es preciso analizar el
balance energético interno entre todas las variables del modelo.
3.1 Mecanismos fundamentales
La distribución de la energía almacenada entre glucosa, glucógeno y grasa durante un periodo
[0, t] es consecuencia de las tasas de asimilación y consumo, así como los niveles de glucosa y
glucógeno que ha habido en la sangre durante dicho periodo. De manera simplificada, la evolución de los niveles de glucosa G, glucógeno N y grasa R, así como las tasas de almacenamiento
y consumo de la energía, se rigen según las siguientes reglas fundamentales (véase la Figura 3):
Figura 3. Diagrama simplificado de niveles y tasas
1. El nivel de glucosa en sangre G está determinado por un balance entre la energía asimilada (con tasa TA), la energía consumida (tasa TC) y el almacenamiento de energía en
forma de glucógeno (tasa TN) o grasa (tasa TR).
Las tasas de almacenamiento TN y TR vienen determinadas por los niveles de G y N. Un
valor negativo de dichas tasas indica que se está recuperando glucosa de dichas reservas.
2. Los niveles de almacenamiento de glucógeno N y grasa R son el resultado del trasvase
de energía (acumulada o recuperada con tasas TN y TR).
(Nota: parte del glucógeno almacenado –que se halla en los músculos–, se consume
directamente sin que la glucosa generada regrese al flujo sanguíneo. Para simplificar
nuestro modelo, asumiremos que esa glucosa generada a partir del glucógeno en las
células musculares se consume también a través del flujo sanguíneo).
3.2 Modelo matemático simplificado
Las leyes anteriores se pueden formalizar en un conjunto de ecuaciones diferenciales que
caracterizan la evolución de tres magnitudes que cambian con el tiempo G(t), N(t) y R(t):
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(4)
(5)
(6)
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Relevancia del perfil de asimilación de los alimentos: un modelo matemático
para explicar la acumulación de grasa en nuestro organismo
Como se ha comentado antes, las reservas totales de energía que tiene el cuerpo en un
instante determinado vienen dadas por la ecuación (3). Por lo tanto, teniendo en cuenta
que
nótese que la suma de las tres ecuaciones del sistema (4)-(6)
proporciona de manera consistente la ecuación (1).
(Nota: si se deseara que el modelo incluyera también el aporte energético proveniente de la
ingestión directa de grasas, bastaría con añadir un nuevo termino correspondiente en la ecuación (6). En el presente estudio solamente se considerará la ingestión de hidratos de carbono).
3.3 Problema de valor inicial o de Cauchy
Basta con definir en (4)-(6) las funciones TN y TR que caracterizan respectivamente a TN y TR
para que (junto con TAC conocido) quede también caracterizada TG, la tasa de variación de G.
Según las reglas fundamentales, TN y TR dependen del nivel de glucosa en sangre G y el nivel
de glucógeno almacenado N:
(7)
(8)
(9)
El vector [G,N,R] se denomina estado del sistema, y el vector f(t,G,N,R) = [TG(t,G,N), TN(G,N),
TR(G,N)] que define las ecuaciones (7)-(9) se denomina vector de campo del sistema. Si además de las ecuaciones del sistema disponemos el valor del estado en el instante inicial
G(0) = G0, N(0) = N0, R(0) = R0,
(10)
el sistema de ecuaciones (7)-(9), junto con dichas condiciones iniciales (10), definen, como ya
se ha comentado antes, un Problema de valor inicial (PVI) o de Cauchy. Bajo ciertas condiciones de regularidad en f, el PVI determina unívocamente la evolución de G(t), N(t) y R(t) para
t ≥ 0. (El estudio de las hipótesis de regularidad habituales en f, para garantizar la existencia y
unicidad de solución, se detalla en el apéndice A).
Asumida la existencia y unicidad de la solución, esta podrá obtenerse analíticamente, según
la forma de las funciones TN, TR y TAC. En algunos casos, si sus expresiones son sencillas, es
posible resolver el PVI empleando herramientas básicas de bachillerato.
El primer aspecto resolutivo a destacar es que las dos primeras ecuaciones (7) y (8) están desacopladas de la tercera (9): la evolución de G y N (nivel de glucosa y glucógeno) no depende
de R (grasas almacenadas). Ello implica que, si conocemos la diferencia de tasas TAC, se puede
determinar la evolución de G y N sin tener en cuenta R. Posteriormente, conocidos G y N se
puede calcular la evolución de las grasas.
3.4 Tasas internas de almacenamiento y consumo
Las tasas de trasformación de glucosa en glucógeno o grasa varían formalmente según la región
o zona
en la que se encuentre el estado [G(t),N(t),R(t)] del sistema. Debido a que
las tasas no dependen del valor de R(t), las regiones se pueden delimitar considerando exclusivamente su proyección
sobre las variables G y N. Podemos definir las siguientes
proyecciones (véase la figura 4):
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donde × representa el producto cartesiano de conjuntos. Gmed es un valor de referencia medio
de glucosa en la sangre cuando el organismo está en ayunas; Ghiper es el valor a partir del
cual hay hiperglucemia y el organismo genera mucha insulina activando el almacenamiento
de grasa; finalmente, Nmáx define el nivel máximo de almacenamiento de glucógeno. Así, las
cinco regiones en las que el estado del sistema puede evolucionar son
Figura 4. Proyecciones Pi de las regiones Zi en el espacio de estados
En Z1 el nivel de glucosa está por debajo de un umbral medio Gmed y al mismo tiempo hay reservas de glucógeno (N > 0). Por lo tanto, el organismo consume dichas reservas de glucógeno, es
decir, TN < 0. En ese estado, si el valor de N no es elevado, el organismo tiene hambre.
Por otro lado, en Z2∪Z3 el nivel de glucosa supera un umbral medio Gmed y al mismo tiempo
no está saturado el almacenamiento de glucógeno (N < Nmáx). Por lo tanto, el organismo almacena glucógeno, es decir, TN ≥ 0.
Además, en Z3 el nivel de glucosa supera un umbral máximo Ghiper lo que motiva también la
acumulación de grasas, TR ≥ 0. Dicha acumulación de grasas también se da en Z4 debido a que
las reservas de glucógeno están saturadas (N = Nmáx). Dicha generación de grasas sin que haya
habido ingestión explícita de las mismas, reflejaría lo que se viene a denominar el "Caballo de
Troya" de los lípidos [6].
Finalmente, en Z5 el nivel de glucosa está por debajo de un umbral medio y no hay reserva de
glucógeno (N = 0) por lo que el organismo consume grasas, es decir TR < 0. Las grasas suponen
la última reserva del organismo y solamente se consumen en este estado de alta carencia.
La partición del espacio permite una representación simplificada de las funciones TN y TR a
trozos. En una primera aproximación, parece razonable asumir que las tasas de trasvase de
energía son proporcionales al incremento (o decremento) del nivel de glucosa en relación con
unos valores de referencia; en concreto, las expresiones elegidas para TN y TR son:
donde las constantes kN, kR > 0 cuantifican las tasas de trasvase.
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Dichas expresiones proporcionan una sencilla aproximación de las reglas fundamentales, que
permitirá a veces resolver nuestro problema con herramientas de bachillerato. Como contrapartida, la definición a trozos de dichas funciones puede dar lugar a discontinuidades, lo que
acarrea ciertos problemas teóricos, como se comenta en el apéndice A.
4. COMPORTAMIENTO EN DIFERENTES ZONAS DE EVOLUCIÓN
El sistema de ecuaciones (7)-(9) con la forma concreta para TN y TR propuesta en (11)-(12),
define un sistema dinámico a trozos, cuya expresión analítica varía según la región en la que
se encuentre el estado del sistema. Debido a la posible discontinuidad del vector de campo, la
existencia y unicidad de soluciones no tiene por qué estar siempre garantizada. En el apéndice
A se aborda la existencia y unicidad tanto de las trayectorias que evolucionan dentro de cada
región como las que transitan de una región a otra.
A continuación calculamos la forma analítica que toman las soluciones en cada región; gracias
a las expresiones sencillas elegidas para TAC, TN y TR, a veces es posible obtener una expresión
analítica sencilla de la evolución de G, N y R.
4.1 Región Z1: trasvase glucógeno-glucosa
En Z1, el sistema (7)-(9) toma la forma
La primera ecuación (13) está desacoplada ya que la variación del nivel de glucosa solamente
depende de la diferencia de tasas de asimilación y consumo del alimento y el valor de dicho
nivel de glucosa. Además, la ecuación diferencial es lineal con coeficientes constantes, por lo
que admite una solución analítica cerrada (ver [1]):
(Es fácil comprobar que la función (16) satisface la ecuación (13) y la condición inicial
G(0) = G0). A continuación, conocida G(t), se puede resolver la segunda ecuación (14)
mediante el cálculo de una primitiva:
Finalmente, es obvio que la última ecuación (15) está también desacoplada de manera que
El balance energético resultante es G − G0 +N − N0 = A − C, donde toda
la energía del alimento ingerido se aporta al balance glucosa-glucógeno (ello permite calcular N(t)
alternativamente como N(t) = N0 + G0 + A(t) − C(t) − G(t)). La distribución porcentual resultante de
energía entre glucosa y glucógeno dependerá de los perfiles de asimilación y consumo energéticos.
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4.2 Región Z2: trasvase glucosa-glucógeno
Las ecuaciones son las mismas que (13)-(15), donde kN(G−Gmed) > 0 reflejará la tasa de almacenamiento de glucógeno a partir de glucosa (proporcional al exceso de glucosa). El balance
energético resultante es formalmente el mismo, donde toda la energía del alimento ingerido
se emplea en generar glucosa y glucógeno.
La expresión (16) válida en Z1∪Z2 permite muchas interpretaciones cualitativas de G(t) en el
contexto de la teoría de sistemas lineales. Por ejemplo, si la asimilación y consumo estuvieran
balanceados (TAC(t) ≈ 0) el nivel de G(t) tendería a Gmed con una tasa regulada por kN. En general, G(t) se alejará de Gmed según un perfil que es el resultado de un "filtrado paso bajo" de la
función TAC(t). Si el valor de kN es suficientemente grande como para minimizar rápidamente
la influencia de la condición inicial G0, y TAC varía de forma suave (es decir, su derivada está
acotada:
entonces, aplicando integración por partes, se puede
Si además se considera TC constante, obtenemos
demostrar que
Este resultado indica que los perfiles de asimilación podrían ser formalmente similares a los perfiles de glucosa que generan, lo que justificaría la relación entre
el perfil de TA(t) y la medida del IG.
4.3 Región Z3: hiperglucemia sin saturación de glucógeno
Debido a que G(t) supera el umbral Ghiper el termino TR es no nulo, y el sistema (7)-(9) toma
la forma
Nuevamente, la primera ecuación (18) está desacoplada y es lineal, por lo que podemos resolverla analíticamente:
donde hemos empleado la notación
una vez más, se puede resolver la
segunda ecuación (19) mediante el cálculo de una primitiva:
al igual que la ecuación (20):
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Relevancia del perfil de asimilación de los alimentos: un modelo matemático
para explicar la acumulación de grasa en nuestro organismo
El balance energético será A(t) − C(t) = E(t) = G(t)−G0 + N(t)−N0 + R(t)−R0, lo que indica
que parte de la calorías A(t) del alimento acabarán transformadas en grasa. Por lo tanto, el
incremento de reservas de glucosa y glucógeno G(t) − G0 + N(t) − N0 < A(t) − C(t) será más
bajo que en Z1 ∪ Z2.
La expresión de G(t) indica que si TAC ≈ 0 el nivel de G(t) evoluciona con una tasa elevada
proporcional a kN + kR, y tiende a G, una media ponderada entre Gmed y Ghiper. Evidentemente,
al aproximarse a G, la trayectoria del sistema saldría de Z3 para entrar en Z2. Por otro lado se
produce almacenamiento de glucógeno y grasa (tanto N(t) como R(t) son crecientes), y si
se saturan las reservas de glucógeno, la trayectoria transitará a Z4.
4.4 Región Z4: saturación de glucógeno
En Z4 se cumple N(t) = Nmáx y no es posible almacenar más glucógeno, por lo que TN(G,N) = 0
y permanecemos en Z4 siempre que G ≥ Gmed.
Una vez más, la ecuación (21) es lineal y su solución toma la forma
La tercera ecuación (23) se resuelve mediante el cálculo de una primitiva, lo que determina la
cantidad de grasa almacenada
de manera que el balance energético será A(t) − C(t) = E(t) = G(t) − G0 + R(t) − R0.
La expresión (24) indica que si TAC ≈ 0 el nivel de G(t) evoluciona con una tasa proporcional
a kR hacia Gmed, mientras almacena reservas en forma de grasa (R(t) creciente).
4.5 Región Z5: hipoglucemia sin reservas de glucógeno
En Z5 el nivel de glucosa en sangre es bajo G < Gmed y no tenemos glucógeno almacenado
(N = 0), por lo que el organismo recurre a sus reservas de grasa. Las ecuaciones del trasvase
grasa-glucosa son las mismas que (21)-(23) (en este caso, kR(G − Gmed) < 0 reflejará el aporte
de glucosa a partir de las grasas). Siempre que G < Gmed el sistema se mantendrá en Z5 consumiendo sus reservas de grasa (R(t) decreciente).
4.6 Transición de trayectorias entre regiones
En el apéndice A se justifica la existencia y unicidad tanto para las soluciones que evolucionan
dentro de cada región Zi como para las que transitan de una región a otra. En caso de que la
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trayectoria se mantenga siempre en una misma región, la expresión analítica viene proporcionada en las secciones 4.1-4.5; cuando se produzca una transición, la expresión analítica de
la trayectoria deberá ser caracterizada a trozos: la clave está en determinar si hay transiciones
entre regiones y cuáles son los tiempos de transición entre dichas regiones.
A continuación se esbozan algunas de las directrices que se deberían emplear para un estudio
completo de los posibles comportamientos. En concreto, se ilustra cómo determinar la influencia del perfil de asimilación (y consecuente IG) de un alimento en la posible transición del
estado del sistema a regiones donde se genera grasa.
5. GENERACIÓN DE GRASAS SEGÚN EL PERFIL DE ASIMILACIÓN
Según el balance energético en las diferentes regiones, siempre que el organismo evolucione
en Z1 ∪ Z2 se producirá exclusivamente un trasvase glucosa-glucógeno. Sin embargo, cuando
el organismo entra en la región Z3 o Z4 se produce acumulación de grasa. Por ello, a continuación se abunda en el análisis de las trayectorias en Z1 ∪ Z2 y su posible transición a Z3 o
Z4. Como se verá, dicha transición está fuertemente condicionada por el perfil de asimilación
A(t) (y el consecuente Índice Glucémico) del alimento.
5.1 Soluciones que transitan de Z1 ∪ Z2 a Z3 o Z4
En Z1 ∪ Z2 la trayectoria del sistema responde a una expresión analítica sencilla según (16),
(17) y R(t) = R0. Sin embargo, dependiendo de los perfiles de asimilación y consumo, es posible
que el estado del sistema transite a otras regiones. Para determinar si se produce tal transición
es preciso estudiar hasta cuándo son válidas las expresiones (16)-(17). Ello equivale a determinar si en algún momento del intervalo [0, te] la función G(t) supera el valor Ghiper o si N(t) no
se mantiene en (0,Nmáx). Para ello, se computan los valores extremos que alcanzaría cada una
de dichas funciones bajo la hipótesis de evolución según (16)-(17). Si los valores extremos se
hallan en Z1 ∪ Z2 la trayectoria no habrá salido de dicha región.
Comenzamos considerando G(t): debido a que es una función continua, alcanzará sus valores
extremos en un punto tmáx ∈ [0, te], y se pueden dar los siguientes casos:
1.Si tmáx ∈ (0, te), debido a que G(t) es diferenciable debe cumplir que
lo que se obtendría:
por
Entonces, una posible condición suficiente (fácil de comprobar) para garantizar que
dicho máximo no supera Ghiper es que
2. Si tmáx = 0, debido a que G(t) ≤ G(0) = G0 < Ghiper es obvio que G(t) ∈ [0,Ghiper).
3. Si tmáx = te, basta con evaluar G(te). Si G(te) < Ghiper la variable se mantiene en G(t) ∈ [0,Ghiper).
En caso de que G(tmáx) ≥ Ghiper (mientras que N(t) se mantiene en (0,Nmáx)), entonces existe un
subconjunto de valores de tiempo I [0, te] donde G(t) ≥ Ghiper y existirá un valor t3,ínfimo de
I y primer instante en que asumiendo régimen normal según las ecuaciones (16)-(17) se alcanza
la condición G(t3) = Ghiper. A partir de t3 la solución calculada con (16)-(17) no tiene sentido,
ya que el sistema entra a trabajar según (18)-(20). La dinámica de transición entre las regiones Z2 y Z3, está bien definida (véase el apéndice A) y a partir de entonces el sistema regido
por (18)-(20) trabajará en régimen hiperglucémico siempre que se mantenga la condición
G(t) ≥ Ghiper; en caso de que se alcance G(t) < Ghiper se volvería a aplicar el régimen normal,
y así sucesivamente.
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Relevancia del perfil de asimilación de los alimentos: un modelo matemático
para explicar la acumulación de grasa en nuestro organismo
De la misma manera, se debería analizar la evolución de N(t) para determinar si se mantiene
o no en (0,Nmáx). Si alcanza el valor Nmáx se produce una transición a Z4 iniciando la correspondiente generación de grasas.
Ejemplo sencillo: tasas constantes a trozos
Un ejemplo sencillo de analizar surge si se considera que la asimilación y el consumo de energía son constantes a trozos. El modelo más sencillo presupone la asimilación de una cantidad
fija de Q Kcal uniformemente en [0, ta]:
de manera que
durante la fase de asimilación. Se pretende estudiar la
influencia del valor de ta, tiempo de asimilación del alimento, en el balance energético final
del organismo. (Nota: la discontinuidad de salto de TAC(t) en ta no es crítica en relación con la
existencia de soluciones, tal y como se explica en el apéndice A).
Si consideramos que N(t) se mantiene en (0,Nmáx), y G0 = Gmed, el crecimiento de G(t) vendría
dado según (13)
de manera que
varía de forma monótona creciente
Si además el valor de kN es lo suficientemente grande
desde G0 hacia Gmed +
para cumplir
0)
el término exponencial es despreciable cuando estamos cerca de ta (se
ha alcanzado el régimen permanente); es decir, la función G(t) tenderá a
antes de que lleguemos al instante ta. Entonces pueden darse dos posibilidades:
1. El valor de ta (tiempo de asimilación del alimento) es pequeño y se cumple que
En ese caso, el estado del sistema entrará en Z3 y se
acumulará grasa.
Teniendo en cuenta
2. El valor de ta es grande de manera que
además que en (ta, te] la función G(t) será decreciente, se concluye que G(t) < Ghiper, "t
∈ [0, te], el estado se mantiene en Z1 ∪ Z2 y no se acumula grasa.
La otra vía de acumulación de grasa podría venir de la saturación de N(t). Asumiendo que G(t)
no supera Ghiper tendríamos que
y se cumple que
de manera que N(t) es creciente hasta alcan-
zar el valor N(ta) ≈ N0 + Q − ta TC. Una vez más, un valor pequeño de ta, tal que
N0+Q−taTC ≥ Nmáx producirá una transición a Z4 con la consiguiente generación de grasas.
En cambio, un valor grande de ta que garantice N0+Q−taTC < Nmáx nos prevendrá de dicha
generación de grasas.
Como conclusión, un valor pequeño del tiempo de asimilación (alto IG) conduce a la generación de grasas bien en Z3 o Z4; ello implica menos reservas de glucosa-glucógeno, lo que
supone una aparición más rápida del hambre (regreso a parte baja de Z1) y la presumible ingesta
de más alimentos, antes de alcanzar la región límite Z5, única donde se eliminaría la grasa.
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José Manuel López Irastorza y Pedro J. Zufiria
6. SIMULACIONES
Para corroborar los resultados teóricos, a continuación se presentan los resultados de diferentes simulaciones en las que se han empleado magnitudes reales estimadas según se
detalla en el apéndice B. Las magnitudes de referencia empleadas han sido
(equivalente a 440 gramos de glucógeno repartidos en el
organismo); asimismo, se han elegido
de consumo fija con valor
(un total de
Se ha considerado una tasa
en todo el organismo), y
(un total de 1000 Kcal). Tras cuatro horas (te = 4), el balance
una ingesta de
energético final computa un incremento de
Si se consideran las condiciones iniciales G0 = 100, N0 = 4900
y R0 = 0, tenemos que
La figura 5 representa en tres columnas los perfiles correspondientes a tres tipos de alimentos
con las mismas Q calorías, pero diferente perfil de asimilación (y consecuentemente, Índice
Glucémico), reflejado en los tres valores ta = 3, 2 y 1. Cada columna representa la tasa de
asimilación del alimento, así como los niveles de glucosa, glucógeno y grasa generados.
La primera columna ilustra un alimento con tiempo elevado de asimilación (tres horas), lo
que corresponde a un bajo IG. El sistema evoluciona solamente en la región Z1 ∪ Z2, y no se
produce generación de grasa. La segunda columna corresponde a un alimento con IG medio,
que produce fundamentalmente una saturación de glucógeno (entrada en región Z4) tras una
hora y media desde la ingesta (durante dicha saturación que dura alrededor de media hora, se
generan unos 8 gramos de grasa). La tercera columna corresponde a un alimento con IG alto,
de manera que pasado un cuarto de hora desde la ingesta sube mucho el nivel de glucosa y la
trayectoria del sistema entra en Z3 lo que genera unos 14 gramos de grasa; a continuación la
trayectoria transita a Z4 (saturación de glucógeno), lo que produce otros 4 gramos adicionales
de grasa. La siguiente tabla ilustra el reparto energético final en cada uno de los casos:
(Recuérdese que 1 gramo de glucosa equivale a
equivale a
y un gramo de grasa
).
7. COMENTARIO FINAL
El modelo presentado es muy simplificado y no recoge muchos aspectos importantes en la
dinámica de los procesos de asimilación de alimentos y almacenamiento de energía. Por ejemplo, la evolución de los niveles de las hormonas implicadas (como la insulina) es clave para
comprender con profundidad estos procesos y poder modelar, además, diferentes patologías.
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Relevancia del perfil de asimilación de los alimentos: un modelo matemático
para explicar la acumulación de grasa en nuestro organismo
Figura 5. Perfiles de tasa de asimilación, glucosa, glucógeno y grasa para alimentos
con diferentes tiempos de asimilación: ta = 3, ta = 2 y ta = 1
En este sentido, el presente trabajo solamente pretende recoger algunos aspectos cualitativos
básicos que sean fácilmente caracterizables con herramientas matemáticas sencillas, para así
poder ilustrar las fases de modelado, análisis y simulación.
Los resultados del estudio sugieren que parece deseable ingerir alimentos con tiempos de
asimilación altos (que se corresponden con un bajo IG) para así evitar la generación de grasas
en el organismo. Algunos autores [6] sostienen la tesis de que la obesidad es fruto de la generación de un exceso de insulina (hiperinsulinismo) cuando el organismo alcanza niveles altos
de glucosa. Curiosamente, dicha patología se puede caracterizar fácilmente en el modelo propuesto mediante la disminución del umbral Ghiper. En cualquier caso, este trabajo no pretende
respaldar ninguna teoría concreta derivada de las diferentes corrientes de opinión que existen
en el campo de la nutrición.
Como ya ha sido comentado, el modelo dinámico desarrollado en este trabajo puede
emplearse también para estudiar la influencia de la cantidad de calorías ingeridas, así como la
distribución temporal de las comidas. Asimismo, dicho modelo admite una extensión directa
que permitiría modelar también la ingesta de grasas. Por último, el modelo es también aplicable al estudio de la influencia que tiene en las reservas del organismo la tasa de consumo TC
(determinada por el metabolismo y la actividad física realizada). La focalización del trabajo en
TA en lugar de TC está justificada por el hecho de que los autores tienen mucha más experiencia práctica en el terreno de la gastronomía que en el del deporte.
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José Manuel López Irastorza y Pedro J. Zufiria
REFERENCIAS
[1] M. Braun, 1993: Differential Equations and Their Applications. Fourth Ed. Springer
Verlag.
[2] E. R. Carson, C. Cobelli, and L. Finkelstein, 1983: The Mathematical Modelling of
Metabolic and Endocrine Systems-Model Formulation, Identification, and Validation.
Vol. 2 of Biomedical Engineering and Health Systems. John-Wiley and Sons.
[3] Y. Cherruault, 1986: Mathematical Modelling in Biomedicine. D. Reidel Publishing
Company, Dordrecht, Holland.
[4] E. A. Coddington and N. Levinson, 1955: Theory of Ordinary Differential Equations.
New York, McGraw-Hill.
[5] I. Marber, 2005: El plan diario del doctor dieta. Círculo de Lectores.
[6] M. Montignac, 2004: Comer, adelgazar y no volver a engordar. Salsa Books.
[7] M. M. Polycarpou and P. Ioannou, March 1993: On the Existence and Uniqueness of
Solutions in Adaptive Control Systems. IEEE Trans. Autom. Control, Vol. 38, Nº. 3.
A. Existencia y unicidad de soluciones
Sea un PVI con vector de campo f(t, x) definido en
y valor inicial
x(0) ∈ Int(D) (donde Int(D) es el interior de D o mayor abierto contenido en D). La condición
suficiente habitual para garantizar la existencia y unicidad de solución x(t) ∈ D en un cierto
intervalo t ∈ [0, e) I es que el vector de campo f(t, x) sea continuo y además satisfaga la
propiedad Lipschitz con respecto de las variables x del vector de estados: $ L > 0 tal que
||f(t, x) − f(t, x')|| ≤ L||x−x'||, véase [4]. (Si se deseara garantizar la existencia de la solución
en todo un intervalo [0, te] habría que demostrar además que la trayectoria no sale de D en un
tiempo menor o igual que te).
En caso de que f(t,x) presente discontinuidades de salto con respecto de t, la existencia de
solución en un cierto intervalo de tiempo [0, e) queda garantizada en un sentido más relajado,
de Carathèodory: la solución x(t) satisface la ecuación diferencial en todo [0, e) excepto en un
conjunto de medida nula (a este tipo de soluciones se las denomina débiles). Finalmente, si el
vector de campo f(t, x) presenta discontinuidades de salto respecto de las variables de estado
x, está garantizada la existencia y unicidad de soluciones generalizadas en el sentido de Filipov
[7]. Las condiciones expuestas son suficientes (no necesarias), por lo que en caso de no satisfacerse, no se puede saber a priori si existirán o no los tipos de soluciones mencionadas.
Nuestro sistema de ecuaciones (7)-(9) con las expresiones de las tasas en (11)-(12), define
un sistema dinámico a trozos, cuya expresión analítica varía según la región en la que se
encuentre el estado del sistema. Considerando todo
en algunas de las fronteras de las regiones Zi, el vector de campo es continuo, mientras que en otras no es continuo
pero sí es continuo a trozos.
En Z1 ∪ Z2 ∪ Z3, TN y TR son funciones continuas que satisfacen la propiedad de Lipschitz;
además TAC es diferenciable con continuidad, lo que implica que también es Lipschitz. Por lo
tanto, la existencia y unicidad de soluciones en dicha zona está garantizada. (De hecho, tal y
como se ha demostrado en las secciones (4.1)-(4.2), el régimen de funcionamiento en la zona
Z1 ∪ Z2 puede definirse con una expresión analítica unificada).
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SIGMA Nº 34 • SIGMA 34 zk.
Relevancia del perfil de asimilación de los alimentos: un modelo matemático
para explicar la acumulación de grasa en nuestro organismo
En cuanto a las hipotéticas transiciones Z1 ↔ Z4, Z1 ↔ Z5 , Z2 ↔ Z4, Z2 ↔ Z5 y Z3 ↔ Z4, es
fácil demostrar que solamente algunas son posibles. Por otro lado, en las transiciones donde
hay discontinuidad del vector de campo, la existencia y unicidad de soluciones solamente
estaría garantizada a priori en el sentido genérico de Filipov. Sin embargo, es fácil comprobar
que siempre existe una solución al menos en el sentido de Carathèodory, ya que todas las
transiciones posibles entre regiones suponen un cambio en el vector de campo cuyos nuevos
valores garantizan que las trayectorias continúan existiendo en las regiones de destino.
(Nota: se ha omitido el estudio detallado de las trayectorias en cada una de las posibles transiciones, ya que extendía en exceso este apéndice).
B. Cuantificación de las constantes del modelo
El balance energético en el cuerpo humano se mide habitualmente en Kcal; por otro lado, el
incremento del nivel de glucosa en la sangre se mide habitualmente en
Para vincular los
procesos de asimilación, consumo y almacenamiento es necesario realizar una conversión
de unidades. Si se asume por un lado que los hidratos de carbono proporcionan la mayoría
y que por otro lado el reparto de glucosa es
de la energía con una proporción de
uniforme en los 50 dl (5 litros) de sangre que tiene el cuerpo, la constante B de conversión de
vendrá dada por
De la misma manera, si por un lado se miden las tasas de asimilación y consumo en
la constante de
y por otro lado se mide la tasa de variación del nivel de glucosa en
conversión de unidades será
se pueden considerar todas las tasas de variación en
se realizaría multiplicando simplemente por B.
Para simplificar las simulaciones,
de manera que el paso desde
El cuerpo humano consume unas 2.400
por lo tanto, una comida normal debe aportar
del orden de 1.000 Kcal. Si el aporte fuera instantáneo, ello supondría un incremento del
muy por encima del nivel normal, que ronda los
nivel de glucosa de
De hecho, el organismo llega a almacenar unos 350 gramos (1.315 Kcal) en glucógeno muscular y unos 90 gramos (340 Kcal) en el hígado, de manera que la glucosa circulante en la
sangre ronda los 5 gramos o 20 Kcal. Existen mecanismos para mantener el nivel de glucosa
Se puede interpretar
(mediante las hormonas pertinentes) en el rango normal de 90 a
que el glucógeno almacenado está repartido en la sangre de manera que los 440 gramos máximos se corresponderían con
Si se considera que el tiempo de asimilación de una comida puede oscilar entre una y cuatro
horas, las 1.000 Kcal podrán ser asimiladas con una tasa que variará aproximadamente entre
1.000 y 250
respectivamente, o equivalentemente entre 5.333 y 1.333
.
Finalmente, el valor de las constantes de tiempo
se puede estimar sobre la base
y
de que las simulaciones sean compatibles con datos experimentales.
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