Investigación de Operaciones 1

Investigación de Operaciones 1
Clase 17
Pablo Andrés Maya
Junio, 2014
Pablo Andrés Maya ()
Investigación de Operaciones 1
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Ejercicio
Una empresa procesadora de tomate de árbol tiene dos productos para la
venta, pulpa y mermelada, cada uno de los cuales consume una cantidad
fija de fruta (kg) y de horas de procesamiento. Se dispone de 200kg de
fruta y 160 horas máquina. La cantidad en kilos que debe producir de
pulpa (x1 ) y de mermelada (x2 ) con el fin de maximizar su utilidad se
determina usando el siguiente PL
max z = 5x1 + 20x2
s.a.
x1 + 3x2 ≤ 200
3x1 + 2x2 ≤ 160
xi ≥ 0 i = 1, 2
La solución óptima de dicho problema sugiere producir 200/3 kg de
mermelada.
Cuanto estarı́a usted dispuesto a pagar por una unidad extra de cada
recurso?
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Perspectiva general
1
Función objetivo
La FO de un modelo de optimización puede ser usualmente interpretada
como la minimización de cotos o la maximización de beneficios
2
Restricciones
Restricciones del tipo ≤ usualmente limitan la disponibilidad de un
recurso
Restricciones del tipo ≥ usualmente definen la necesidad de satisfacer
una demanda o requerimiento
3
Variables de decisión
4
Coeficientes de la FO y restricciones
Representan el nivel escogido para cierta actividad
Representan el impacto por unidad de actividad de la variable de
decision en la FO y en los recursos asociados a las restricciones
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Ejemplo
Considere el siguiente programa lineal
max z =
13x1
x1
2x1
+
+
+
24x2
3x2
3x2
+
5x3
+
50x4
+
+
3x3
4x3
+
+
5x4
2x4
≤
≤
≤
89
60
90
Interprete sus componentes.
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Dualidad
Considere los siguientes programs lineales
Primal
max Z =
n
X
Dual
min W =
c j xj
s.a.
m
X
aij xj ≤ bi ∀i = 1 . . . m
j=1
aij wi ≥ cj ∀j = 1 . . . n
i=1
wi ≥ 0 ∀i = 1 . . . m
xj ≥ 0 ∀j = 1 . . . n
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bi wi
i=1
j=1
s.a.
n
X
m
X
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Dualidad
Considere los siguientes programs lineales
Primal
Dual
max z = cT x
min z = wT b
s.a.
s.a.
Ax ≤ b
wT A ≥ cT
x≥0
w≥0
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Relación primal-dual
Ambos problemas hacen uso de los mismos paráametros para su
construcción (aij , bi y cj ), solo que en diferente ubicación.
Cada restricción del problema primal tiene asociada una variable en el
problema dual y cada variable del problema primal tiene asociada una
restricción del problema dual.
Los coeficientes de cada columna de A en el problema primal
corresponden a los coeficientes de una de las restricciones del
problema dual. Mientras que, los coeficientes de cada renglón de A
en el problema primal corresponde a los coeficientes en una variable
en las restricciones del problema Dual.
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Relación primal-dual
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Ejemplo 1
Considere el programa lineal
min z =
4x1
−x1
3x1
x1
+
+
+
x2
x2
2x2
x2
≥
≥
≥
≥
2
6
0
0
Escriba el problema dual
max W =
2w1
−w1
w1
w1
+
+
+
6w2
3w2
2w2
w2
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≤
≤
≥
≥
4
1
0
0
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Ejemplo 2
Considere el programa lineal
min z =
−2x1
−2x1
2x1
−x1
x1
+
+
3x2
x2
+
3x2
+
+
+
+
5x3
3x3
x3
−3x3
x2
x3
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+
+
x4
x4
+
5x4
≥
≤
=
≤
≥
≥
5
4
8
0
0
0
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Ejercicio
Considere el programa lineal
max z =
x1
4x1
x1
3x1
x1
+
−
+
−
3x2
x2
2x2
2x2
+
+
−
−
2x3
2x3
5x3
4x3
x2
x3
+
−
+
+
3x4
3x4
4x4
6x4
≤
≥
=
≥
≤
≥
10
22
3
0
0
0
Escriba el problema dual
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Lemas y teoremas
Lema
El dual del problema dual es el primal
Teorema de dualidad débil
El valor de la FO para cualquier SBF del problema primal de minimización
es siempre mayor o igual que el valor de la FO para cualquier SBF del
problema dual de maximización.
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Lemas y teoremas
Condiciones de Karush-Kuhn-Tucker
Si x ∗ y w ∗ son soluciones óptimas del problema primal y dual,
respectivamente, debe cumplirse que:
Ax∗ ≤ b
w∗T A ≥ cT
x∗ ≥ 0
w∗T ≥ 0
w∗T (Ax∗ − b) = 0
(cT − w∗T A)x∗ = 0
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Lemas y teoremas
Teorema de dualidad fuerte
Si para un par de soluciones factibles de los problemas primal y dual se
satisface que el valor de la función objetivo asociada a cada una de ellas
en su correspondiente problema es el mismo, entonces dichas soluciones
son óptimas para sus respectivos problemas.
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Precio sombra
Precio sombra
−1
T
z = cT x = cT
B B b + cN xN
z = w T b + cT
N xN
Se perturba ligeramente el lado derecho bi , manteniendo la optimalidad de
la solución. entonces podrı́a interpretarse
δz ∗
= cbT B−1
= wi∗
i
δbi
(1)
como la razón de cambio del valor óptimo por un incremento unitario en el
i-ésimo valor del lado derecho dado que las variables no básicas se
mantienen en cero.
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Precio sombra
Pregunta
Cuanto estarı́a dispuesto a pagar usted por una unidad extra de recurso bi ?
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Precio sombra
Pregunta
Cuanto estarı́a dispuesto a pagar usted por una unidad extra de recurso bi ?
La respuesta la dan los precios sombra
Cuanto estarı́a dispuesto a pagar usted por una unidad extra de
recurso del cual no se han consumido todas las unidades disponibles?
Cuantas unidades producirı́a usted de un producto cuya ganancia
generada
(cj ) es menor que el costo de los recursos consumidos
P
( m
a
w
i=1 ij i )?
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Interpretación del dual
Primal
max Z =
n
X
Dual
min W =
c j xj
s.a.
m
X
aij xj ≤ bi ∀i = 1 . . . m
j=1
aij wi ≥ cj ∀j = 1 . . . n
i=1
wi ≥ 0 ∀i = 1 . . . m
xj ≥ 0 ∀j = 1 . . . n
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bi wi
i=1
j=1
s.a.
n
X
m
X
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Interpretación del dual
La variable wi en el problema dual representa el precio sombra de una
unidad de recurso i. Observe que si el fabricante decide no producir una
unidad del producto j y en cambio rentar los recursos que no utilizar en su
produccion
Pm por precios justos (w1 ,w2 , . . . ,wm ) la restricción del problema
dual i=1 aij wi ≥ cj estipula que la renta de las unidades de recurso
liberadas por no producir una unidad de j debe ser mayor que la perdida
de ganancia ocasionada. Sin embargo, con el fin de que los precios de
renta de los recursos liberados sean justos se minimiza la renta total.
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18 / 22
Interpretación del dual
Primal
min Z =
n
X
Dual
max W =
c j xj
s.a.
n
X
aij xj ≥ bi ∀j = 1 . . . m
i=1
aij wi ≤ cj ∀i = 1 . . . n
j=1
wi ≥ 0 ∀i = 1 . . . m
xj ≥ 0 ∀j = 1 . . . n
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bi wi
i=1
j=1
s.a.
m
X
m
X
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Interpretación del dual
Suponga que se contrata una empresa para producir b1 , b2 . . . bm
unidades de m productos. Para producir esos bienes la empresa puede
realizar cualquiera de las n actividades en distintos niveles, cada actividad
j tiene su propio costo cj y se acepta pagar el costo total de producción.
Desde el punto de vista del comprador, le gustarı́a tener control sobre las
operaciones de la empresa de modo que pudiera especificar las
combinaciones y niveles de las actividades de la empresa para minimizar el
costo total de producción. Si aij representa la cantidad
P de producto i
generada por una unidad de la actividad j, entonces nj=1 aij xj representa
el total de unidades que se producen del producto i el cual debe ser mayor
o igual que la cantidad requerida bi . Por tanto, el problema que el
comprador desea resolver es el problema primal.
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Ejercicio
Una empresa procesadora de tomate de árbol tiene dos productos para la
venta, pulpa y mermelada, cada uno de los cuales consume una cantidad
fija de fruta (kg) y de horas de procesamiento. Se dispone de 200kg de
fruta y 160 horas máquina. La cantidad en kilos que debe producir de
pulpa (x1 ) y de mermelada (x2 ) con el fin de maximizar su utilidad se
determina usando el siguiente PL
max z = 5x1 + 20x2
s.a.
x1 + 3x2 ≤ 200
3x1 + 2x2 ≤ 160
xi ≥ 0 i = 1, 2
La solución óptima de dicho problema sugiere producir 200/3 kg de
mermelada.
Cuanto estarı́a usted dispuesto a pagar por una unidad extra de cada
recurso?
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21 / 22
Ejercicio
Una empresa procesa dos productos basados en ripio de arroz, alimento
para cerdos y abono para plantas. Cada producto consume una cantidad
fija de ripio de arroz (kg) y de horas de procesamiento. Se dispone de
180kg de ripio de arroz y 150 horas máquina. La cantidad en kilos que
debe producir de alimento (x1 ) y de abono (x2 ) con el fin de maximizar su
utilidad se determina usando el siguiente PL
max z = 7x1 + 3x2
s.a.
x1 + 3x2 ≤ 180
3x1 + 2x2 ≤ 150
xi ≥ 0 i = 1, 2
La solución óptima de dicho problema sugiere producir 50 kg de alimento
para cerdos.
Cuanto estarı́a usted dispuesto a pagar por una unidad extra de cada
recurso?
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