o o- oz oz oz oz oz

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ECUACION DE CONTINUIDAD EN COORDENADAS "SIGMA" DE PHILLIPS:
DEDUCCION DIRECTA MEDIANTE LA APLICACION DEL JACOBIANO
por Mariano Medina Isabel
En las páginas 58 a 61 de nuestro libro sobre
"Teoría de la predicción meteorológica" (INlYI,
Serie B, textos, n.o 20, 1984) se deduce la ecuación
de continuidad en coordenas "sigma" de Phillips
partiendo de su expresión en coordenadas isobáricas de Sutcliffe y aplicando a ésta el sistema de
ecuaciones diferenciales que sirven para pasar de
uno a otro de esos dos sistemas de coordenadas.
Tal deducción, de indudable valor didáctico, resulta un poco larga y relativamente complicada.
V amos a exponer aquí una deducción directa, más
corta y sencilla, mediante aplicación del J acobiano
de transformación de las coordenadas (x, y, z, t) a
las (x, y, rJ, t).
(Nota: Por no disponer del símbolo adecuado, hemos usado la opara indicar derivadas paralelas.)
Dicho Jacobiano (pág. 52 del libro citado) es,
en general, para pasar del sistema (x, y, z, t) a otro
cualquiera (q 1, q:¿, q 3, t ):
ox
ox
oq¡
oq2
oq3
oy
oy
oy
oq¡
oq2
oq3
oz
oz
oq¡
oq2
J=
y al hacer q 1 = x, q 2 =y, q 3=
J=
1
o o
1
Revista de Meteorologfa, l'u\1E.- Junio 1984
.
con lo que resulta:
J=
oz
d
J
J
d oz
dt 0(]
j=
0(]
oz
orJ
-- -
oz
Q(J
-
dt
d
-
=
dt
oz
1
0
0(]
que sustituida en la (III,4') nos da:
d
-
dt
d
1 p+ 0
dt
oz
1 0
O(J
Como div V = div IY V +
+ div V = O
o(;
- resulta:
0(]
o(;
Ox
o-a:
0(]
=0
=0
[*]
oz
-
oqJ
Pero
d
dt
o
oz
oz
O(J
o o -0(]
j
,o
- + - +d1vV=O
p
J
-
rJ resulta:
o
La ecuación de continuidad en coordenadas generalizadas es la (Ill,4') del citado libro, es decir:
lo
(p
OZ ) = _ 1_
0(]
p
oz
O(J
~
dt
y aplicando la ecuación hidrostática
oz
-= -
oa
1 op
pg
oa
(p ~)
Q(J
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Por definición, la coordenada a es:
~s
con lo que resulta:
siendo p la presión en el nivel de que
se trate y Ps la presión en el suelo, siendo Ps independiente de a, de manera que es:
a
=
,
P = Ps a; dp = Ps da; Ps =
y queda
oz
oa
Revista de Meteorología,
A ~VfE.
- J un io 1984
pg
Ps
op
oa
~ ln(P OZ) =- ~ ~ ( - ~ Ps) =
dt
oa
Ps dt
g
Ps
Ps
que sustituido en (*] nos da:
Ps
Ps
+ d'1Va V +
o-a =0
oa
que es la ecuación buscada y que coincide con la
(III.12) de la página 60 del libro a que nos referimos.