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Matemática A
2º Año
REPARTIDO N°5
I.S.C.A.B.
J. Aguilar - F. Díaz - A. Fortes
Funciones racionales
Actividad 1
Considera las siguientes funciones 𝑓: 𝑓(𝑥) = 2𝑥 − 6, 𝑔: 𝑔(𝑥) = −𝑥 − 4
a. Represéntalas en un mismo sistema de ejes
b. Siendo 𝑘: 𝑘(𝑥) = 𝑓(𝑥). 𝑔(𝑥) represéntala gráficamente ¿qué relación existe entre las raíces de 𝑓 y de 𝑔
con las raíces de 𝑘? ¿y las ordenadas en el origen?
𝑓(𝑥)
c. Siendo ℎ: ℎ(𝑥) = 𝑔(𝑥) ¿qué relación existe entre las raíces de 𝑓 y de 𝑔 con las raíces de ℎ?
¿y las ordenadas en el origen?
d. Realiza el estudio del signo de:
𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥)
y de 𝑓(𝑥). 𝑔(𝑥)
Definición de función racional
𝑓: 𝑓(𝑥) =
𝑝(𝑥)
𝑐𝑜𝑛 𝑔𝑟(𝑞(𝑥)) ≥ 1 𝑦 𝑞(𝑥) ≠ 𝑝𝑜𝑙𝑖𝑛𝑜𝑚𝑖𝑜 𝑛𝑢𝑙𝑜
𝑞(𝑥)
Definición de función racional (homografica).
𝑓: 𝑓(𝑥) =
a𝑥 + b
c𝑥 + d
con a, b, c y d ∈ ℝ, con c ≠ 0,
a. d ≠ b. c
y
(c𝑥 + d) ≠ polinomio nulo.
Actividad 2
Determina el dominio y estudia el signo de cada una de las siguientes funciones racionales:
f : f x  
x8
x2
g : g x  
 2x  3
x2 1
h : h x  
4  3x
7x
i : ix  
7
 x 1
En general:
p(x)
Para 𝑓: 𝑓(𝑥) = q(x)
el dominio de la función es 𝒟 (𝑓) = ℝ − {𝑥 𝑡𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒 𝑞(𝑥) = 0}
Actividad 3
1
Sea 𝑓: 𝑓(𝑥) = 2𝑥−4
a.
b.
c.
d.
e.
f.
Estudia su dominio.
Investiga raíz y ordenada en el origen.
Realiza el esquema del signo de 𝑓.
Indicar sus asíntotas.
Represéntala gráficamente.
Ídem para 𝑔: 𝑔(𝑥) = 𝑓(𝑥 + 1).
j : j x  
7
5x  2
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En general:
a𝑥+b
Para 𝑓: 𝑓(𝑥) = c𝑥+d
la ordenada en el origen es ………………
Actividad 4 (hacer solos)
𝑓: 𝑓(𝑥) =
Para cada una de las siguientes funciones:
a.
b.
c.
d.
e.
2𝑥+14
ℎ: ℎ(𝑥) = 𝑓(𝑥 + 2)
Estudia su dominio.
Investiga raíz y ordenada en el origen.
Realiza el esquema del signo de 𝑓.
Indica sus asíntotas.
Represéntala gráficamente.
𝑗: 𝑗(𝑥) =
𝑙: 𝑙(𝑥) =
−2𝑥+14
𝑥−7
2𝑥−12
𝑛: 𝑛(𝑥) =
𝑥−3
2𝑥−5
Actividad 5
Dada la función 𝑓: 𝑓(𝑥) =
2𝑥−3
𝑥+1
a. Realiza E.A y R.G. de f
b. Indica V o F justificando:
i. f(1) = -1/2
ii. f(-2) < f(4)
3
2
iii. f(x) > 0 si y solo si 𝑥𝜖(−∞, −1) ∪ ( , +∞)
Actividad 6
Representar en un mismo sistema de ejes las siguientes funciones f y g siendo:
𝑓: 𝑓(𝑥) =
−2𝑥+3
𝑥−2
𝑔: 𝑔(𝑥) = 𝑓(𝑥) + 2
𝑥−7
𝑦 𝑔: 𝑔(𝑥) = 𝑥 − 1
a. Hallar el valor de x para el cual 𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥).
b. Indicar en cuales intervalos 𝑓(𝑥) > 𝑔(𝑥).
𝑥
4x
𝑖: 𝑖(𝑥) = 1−2𝑥
3
𝑘: 𝑘(𝑥) = 8−2𝑥
3−x
𝑚: 𝑚(𝑥) = −𝑥−6
1
𝑝: 𝑝(𝑥) = 𝑥
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Actividad 7
Dada la función 𝑓: 𝑓(𝑥) =
2𝑥+𝑎
𝑥+𝑏
cuyo gráfico es el siguiente, halla a y b
a. Con los valores de a y b hallados, resuelve en ℝ 𝑓(𝑥) ≥ 0
5
b. Resuelve en ℝ 𝑓(𝑥) ≤ .
2
2𝑥+6
2. Una de las siguientes gráficas representa la función 𝑔: 𝑔(𝑥) = 2𝑥−2
Indicar al grafico correcto justificando la elección
3. Representar las siguientes funciones racionales luego de realizar su E.A.:
2𝑥+4
𝑥−4
−3+𝑥
𝑔: 𝑔(𝑥) = 2𝑥
3
ℎ: ℎ = 2 − 𝑥−1
a. 𝑓: 𝑓(𝑥) =
b.
c.
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4. Indicar dominio, raíces, asíntotas y signo de las siguientes funciones racionales:
2𝑥 2 +5𝑥+3
2𝑥−7
2𝑥+4
𝑔: 𝑔(𝑥) = 2
−𝑥 +3𝑥−2
𝑥 2 −9𝑥
ℎ: ℎ(𝑥) = 𝑥 2 −9
a. 𝑓: 𝑓(𝑥) =
b.
c.
5. Un grupo de estudio de una empresa comprobó que las pérdidas o ganancias de esta, se ajustan a la función,
f : f x  
2x  4
, siendo x los años de vida de la empresa, x  0
x2
a. Representa la función
b. ¿En qué año deja de tener pérdidas?
c. ¿Están limitados sus beneficios? Si están, ¿cuál es su límite?
6. para controlar el crecimiento de una población de “depredadores” en una reserva ecológica, se tiene en cuenta
1200
la siguiente función: 𝐷: 𝐷(𝑝) = 120 − 𝑝+10 donde p representa el número de presas por km cuadrado y D la
cantidad de depredadores en la misma área.
a. Representa gráficamente esa función D
b. Si en febrero se contabilizaba una densidad de 80 presas por km cuadrado, cuántos depredadores
habían?
c. Si habían 10 depredadores, cuántas presas habían?
d. Cuál es la cantidad máxima de depredadores por km cuadrado en esa región?
e. Si las presas tienden a cero, a cuanto tiende la cantidad de depredadores?
7. Resolver las siguientes ecuaciones en su respectivo dominio:
a.
b.
c.
d.
e.
f.
2𝑥+5
= 12
𝑥−2
3−2𝑥
=𝑥−1
𝑥+4
3
+ 4 = 2𝑥 + 2
𝑥−1
2−3𝑥
3
−1=𝑥
𝑥
2
2
− 𝑥+1 = 2
𝑥−1
2𝑥
𝑥
+
= −3
𝑥−2
𝑥+3
8. Resolver las siguientes inecuaciones:
a.
b.
c.
d.
e.
2𝑥−4
≥3
3𝑥−3
3−2𝑥
≤𝑥
𝑥+1
2𝑥−1
𝑥 − 𝑥+2 > 0
2𝑥−4
<0
𝑥 2 −3𝑥
2𝑥 2 −4𝑥−6
≤
𝑥 3 +4𝑥 2 +6𝑥+3
0
9. El número de individuos, en millones, de una población, viene dado por la función: P t  
15  t
, donde t se
t  1
mide en año, desde t =0. Calcula la población inicial y el tamaño de la población a largo plazo.