Ecuación Cuadrática Una ecuación cuadrática es una ecuación de segundo grado que tiene la forma ax2 + b x + c = 0, donde a, b y c € a R con a≠ =0 Gráficamente, una función cuadrática representa una curva llamada parábola. Elementos de la Parábola Abertura. Está determinada por el signo del coeficiente de x 2; si a>0 la parábola abre hacia arriba y si a<0 la parábola abre hacia abajo. Vértice. Es el punto más alto, si la parábola abre hacia abajo, si la parábola abre hacia arriba es el punto mínimo. Para hallar sus coordenadas se determina el valor de −𝑏 2𝑎 y f( −𝑏 2𝑎 ) Intersecto y. Es el punto donde la curva corta el eje y, dicho valor se halla al remplazar x por cero en la expresión f(x) = ax2 + b x + c Intersectos x. Son los puntos de corte de la gráfica con el eje x y corresponden a las raíces o soluciones de la ecuación En la gráfica anterior el intersecto y es el punto (0, -3) y los puntos donde se intersecta el eje x tienen coordenadas (-1, 0) y (-3, 0) Para determinar las raíces se debe solucionar la ecuación cuadrática, para ello si es posible se factoriza la ecuación, como en la última actividad del momento para comprender. En otros casos se pueden tener en cuenta los siguientes métodos: Ecuación Incompleta Si la ecuación tiene la forma ax2 + c = 0 y c es negativo, la ecuación tiene dos soluciones: x1 = √𝑐 y x2 = -√𝑐 Cuando c es positivo, no hay soluciones en los números reales, sino en los números complejos. Ejemplo: Determinar las raíces de la función f(x) = 2x2 – 32 Solución: 2x2 – 32 = 0, despejando x2 se obtiene; x2 = - 32 / 2 = 16. Sacando raíz cuadrada en ambos términos, se obtienen dos respuestas: 𝑥 = ±√16 Las raíces de la ecuación son x1 = 4 y x2 = -4 Si la ecuación es de la forma ax2 + b x = 0, se factoriza como x (a x + b)= 0. Igualando a cero los factores se encuentran las raíces Ejemplo: Resolver 2x2 + 5x = 0 La ecuación se puede expresar como x (2x + 5) = 0 cero 2x + 5 = 0 Se iguala cada factor a x=0 Luego las dos raíces son x1 = 0 x2 = -5 / 2 Solución por fórmula cuadrática La ecuación ax2 + b x + c = 0 con a≠ 0 se puede solucionar con la fórmula 𝑥= −𝑏 ± √𝑏 2 − 4𝑎𝑐 2𝑎 Las raíces dependen del valor de b2 – 4 a c, llamado discriminante de la ecuación Discriminante Solución 2 Dos raíces reales diferentes 𝑏 − 4𝑎𝑐 > 0 2 Raíces reales iguales 𝑏 − 4𝑎𝑐 = 0 𝑏 2 − 4𝑎𝑐 < 0 Dos raíces complejas conjugadas Ejemplo. Encontrar las raíces de la ecuación 15x2 – 8x – 12 = 0 Los coeficientes son a = 15, b = - 8 y c = - 12, reemplazando en la fórmula: 𝑥= −(−8) ± √(−8)2 − 4(15)(−12) 2(15) 𝑥= 8 ± 28 30 Las raíces son x1 = 6 / 5 y x2 = - 2/ 3 Gráfica de una Función Cuadrática Para trazar la gráfica de una función cuadrática, primero se determinan los elementos antes mencionados, teniendo en cuenta los valores de esos elementos, se construye una tabla de valores y luego se ubican los puntos en el plano cartesiano y se dibuja la curva. Ejemplos a. F(x) = x2 – 10x + 24 b. F(x) = 2x2 + 3x – 2 Solución En la primera función a = 1. La parábola abre hacia arriba Vértice. Para determinar las coordenadas del este punto hallamos el valor de −𝑏 2𝑎 = −(−10) 2(1) = 10 2 = 5 f(5) = (5)2 – 10(5) + 24 = -1 Coordenadas del vértice ( 5, -1) Intercepto con el eje y: f (0) = (0)2 – 10(0) + 24 = 24, la gráfica corta el eje y en 24. Determinamos los ceros de la función x2 – 10x + 24 = 0 por factorización (x – 6) (x – 4) = 0, La función corta el eje x en x = 6 y x= 4 Construimos la tabla de valores x 2 4 5 6 7 y 8 0 -1 0 3 Para el segundo ejemplo 2x2 + 3x – 2 Nuevamente la parábola abre hacia arriba ya que a = 2. El vértice tiene como coordenada x = −3 2(2) = −3 4 f(-3 /4) = 2(-3 /4)2 + 3(-3 /4) – 2 = -25/8 Vértice (-3/ 4, -25/8) Intercepto “y” f (0) = 2 (0)2 + 3(0) – 2 = -2 Para determinar los intercepto con el eje x, se hallan los ceros de la ecuación 2x2 + 3x – 2 = 0, usando la fórmula cuadrática: 𝑥= x1 = −3+√25 4 = 1 −3 ± √32 − 4(2)(−2) 2(2) x2 = 2 Construimos la tabla de valores x -3 -2 -3/4 y 7 0 0 1/2 1 -25/8 -2 0 3 −3−√25 4 = -2 Problemas de Aplicación Un agricultor tiene una huerta en forma rectangular rodeada por una cerca de 200m de longitud. Determinar las dimensiones de la huerta si su área es de 2400m2 x y 200m = 2x + 2y además x y = 2400m2 De la segunda ecuación se tiene que y = 2400/x, reemplazando en la otra ecuación 200 = 2x + 2(2400/x) 200x = 2x2 + 4800 2x2 – 200x + 4800 = 0 2( x2 -100x + 2400) = 0 factorizando 2(x – 60)(x – 40) = 0 Las medidas del terreno son 60m por 40m Un alambre de 100cm se corta en dos pedazos y cada pedazo se dobla para formar un cuadrado. Si la suma de las áreas de los cuadrados construidos es 397cm2, encontrar la longitud de cada cuadrado. x 25-x Si un cuadrado es de lado x, para elaborar el otro cuadrado quedan 100 – 4x centímetros de alambre, por lo tanto cada lado tiene la cuarta parte de esta longitud, es decir 25 – x (25 – x)2 + x2 = 397 suma de las áreas 625 – 50x + x2 + x2 – 397 = 0 2x2 – 50x + 228 = 0 2(x – 19)(x – 6) = 0 Luego, uno de los cuadrados tiene de lado 6cm y el otro 19cm Momento para Aplicar 1. Resolver las siguientes ecuaciones cuadráticas a. x2 – 12x + 27 = 0 b. 25x2 – 4 = 0 c. x2 – 2x = 19 d. -3x2 + 2 = 0 e. 3x2 – 18x = 0 f. 13x – 5x2 = -6 2. Trazar las gráficas de las siguientes funciones a. F(x) = -3x2 + 6x b. F(x) = x2 + 2x – 8 c. F(x) = -2x2 + 6x – 3 d. F(x) = 2x2 – 3x – 2 e. f. g. h. F(x) = 2x2 - 5x + 4 F(x) = x2 – 2x + 4 F(x) = -x2 – x + 3 F(x) = -x2 + 3x + 3 Bibliografía http://www.juntadeandalucia.es/averroes/iesarroyo/matematicas/materiales/4es o/funciones/teoriafuncioncuadratica/teoriafunciones.htm http://anagarciaazcarate.files.wordpress.com/2012/02/puzzleblancoecuaciones 2gradoalumnos.pdf Martínez Velandia Fabián y otros. Aciertos Matemáticos 9. Grupo editorial Educar, Bogotá 2007 Progresiones aritméticas y geométricas Una sucesión matemática es un conjunto ordenado de objetos matemáticos, generalmente números. Cada uno de ellos es denominado término (también elemento o miembro) de la sucesión y al número de elementos ordenados (posiblemente infinitos) se le denomina la longitud de la sucesión. A diferencia de un conjunto, el orden en que aparecen los términos sí es relevante y un mismo término puede aparecer en más de una posición. En una secuencia los números se encuentran dispuestos entre sí por una ley de formación, la cual se obtiene empleando las operaciones básicas de: suma, resta, multiplicación, división, potenciación y radicación. Una de las secuencias numéricas más famosas es la sucesión de Fibonacci: O, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34,… Tiene numerosas aplicaciones en ciencias de la computación, matemáticas y teoría de juegos. También aparece en configuraciones biológicas, como por ejemplo en las ramas de los árboles, en la disposición de las hojas en el tallo, en la flora de la alcachofa, en el caracol Nautilos y en las escamas de la cascara de piña, entre otros. Progresiones Aritméticas Una progresión aritmética es una sucesión de números tales que cada término es igual al anterior más un número constante. La cantidad constante que se suma recibe el nombre de razón o diferencia, por ser igual a la diferencia entre un término cualquiera de la sucesión y su anterior. Se acostumbra representar con la letra d, donde: 𝑑 = 𝑎𝑛 − 𝑎𝑛−1 Por ejemplo en la sucesión 2, -1, -4, -7,… la diferencia es – 3, pues (-7) - (-4)= -3 (-1) – 2 = -3 Dada una progresión aritmética a1, a2, a3,…, es posible obtener la fórmula del término enésimo (an), al escribir cada término es función del anterior a1 es el primer término a2 = a 1 + d a3 = a2 + d = (a1 + d) + d = a1 + 2d a4 = a3 + d = (a1 + 2d) + d = a1 + 3d an = a1 + (n-1 )d para n > 1 La anterior es la fórmula del término general de una progresión aritmética Ejemplo Determinar si la sucesión 3, 8, 13, 18, 23,…, es una progresión aritmética, si lo es, determinar el término general de la progresión y hallar el octavo término. 8 – 3 = 5, 13 – 8 = 5, 18 – 3 = 5, progresión es aritmética. 23 – 18 = 5. La diferencia es 5, la El término n-ésimo está determinado por la expresión: an = 3 + (n – 1) 5 = 5n – 2 Luego a8 = 5 (8) – 2 = 38 A partir de la fórmula del término enésimo se pueden deducir las siguientes fórmulas - - Primer término de una progresión. Si se conoce la razón y cualquier otro término, se tiene que: 𝑎1 = 𝑎𝑛 − (𝑛 − 1)𝑑 La razón. Si se conocen el primer término y un término cualquiera, se tiene que: 𝑑= - 𝑎𝑛 −𝑎1 𝑛−1 Número de términos. Si se conoce la razón y el primer y último término de la progresión, se tiene que: 𝑛= 𝑎𝑛 −𝑎1 +𝑑 𝑑 Ejemplos Completar la progresión 5,…, 32 si se sabe que 32 es el décimo término. Si en una progresión aritmética el quinto término es 17 y el noveno término es 33 Encontrar el octavo término de la progresión aritmética donde a 3 = 75 y d = -8, completar la progresión hasta el octavo término Solución Para completar la primera progresión se debe determinar el valor de la diferencia d = (a10 –a1)/(10 – 1) = (32 – 5)/ 9= 3 Para completar la progresión se suma 3 al primer término y así sucesivamente 5, 8, 11, 14, 17, 20, 23, 26, 29, 32 Para solucionar el segundo ejemplo, se plantean las ecuaciones: a1= a5 – (5 – 1) d a1 = a9 – (9 -1) d y a1= 17 – 4d a1 = 33 – 8 d Solucionando estas ecuaciones se obtiene que a1 = 1 En la última situación se debe determinar el primer término para hallar el octavo, así: a1= a3 – (3 – 1) (-8) = 75 – 2(-8) = 91, luego a8 = 91 + (8 – 1) (-8) = 36 Suma de los Términos de una Progresión Aritmética El matemático Carl Gauss nación en Alemania en 1777 y murió en 1855. Desde niño demostró una gran habilidad con los números. A los tres años fue capaz de corregir un fallo que su padre había hecho en el cálculo de los sueldos de unos albañiles que trabajaban para él. Cuando tenía 10 años Gauss asombró a su profesor quien acostumbrara castigar a sus estudiantes haciéndolos sumar una serie de números. Una vez castigó a toda la clase a sumar desde 1 hasta 100. Gauss entregó la pizarra en un tiempo sorprendente con la respuesta correcta, 5050. El maestro le preguntó como lo había hecho, Gauss dijo 1 + 100 = 101, 2 + 99 = 101, así sucesivamente, siempre suma 101, como son 50 sumas de 101, el total es 5050 Verificar si lo encontrado por Gauss se cumple para las siguientes progresiones aritméticas: -5, -1, 3, 7, 11, 15, 19, 23 -5 + 23 = 18 -1 + 19 = 18, Esta suma se repite 4 veces, luego la suma de los términos es 4 (18) = 72 -5 + (-1) + 3 + 7 + 11 + 15 + 19 + 23 = 72 -12, -10, -8, -6, -4, -2, 0, 2, 4, 6, 8 Nuevamente -12 + 8 = -4, -10 + 6 = -4, -8 + 4 = -4. La suma se repite 5 veces y sobra el término de la mitad, 5 (-4) + (-2) = -22 (-12) + (-10) + (-8) + (-6) + (-4) + (-2) + 0 + 2 + 4 + 6 + 8 = -22 En general la suma de los n-términos de una progresión aritmética se calcula 𝑆= así: (𝑎1 +𝑎𝑛 ) 2 𝑛 En el último ejemplo, para hallar la suma de los 11 términos 𝑠= −12+8 2 11 = -22 Problema de aplicación Se desea comprar un auto cuyo valor es de $26.000.000. El concesionario ofrece dos formas de pago. -Cuota inicial de $6.200.000, el saldo en cuotas no fijas durante tres años tendrán un aumento mensual de $5000. La primera cuota será de $550.000. -Cuota inicial de $5.000.000, el saldo en cuotas fijas de $700.000 durante tres años. ¿Cuál forma de pago es más conveniente? En el primer caso a1 = 550.000 d = 5000 n = 36 a36 = 550.000 + (36 – 1) 5000 = 725.000 𝑆= (𝑎1 +𝑎𝑛 ) 2 𝑛 = 550.000+725.000 2 36 = 22.950.000 Total de dinero por cuotas 22.950.000 + 6.200.000 = 29.150.000 Total de dinero pagado En el segundo caso 5.000.000 + 36 (700.000) = 30.200.000 Total de dinero Es más conveniente la primera forma de pago Progresiones Geométricas Una progresión geométrica es una sucesión de números tales que cada término, excepto el primero, es igual al anterior multiplicado por una constante llamada razón(r). La razón se encuentra al dividir un término cualquiera de la sucesión entre su anterior, es decir 𝑟= 𝑎𝑛 𝑎𝑛−1 Para obtener la fórmula del término enésimo, se utiliza la definición de progresión geométrica y se escribe cada término de la progresión en función del anterior, a2 = a1r a3 = a2r = (a1 r) r = a1r2 a4 = a3 r = (a1 r2) r = a1r3 En general an = a1 r n-1 A partir de la fórmula anterior se pueden deducir otras fórmulas para hallar los diferentes elementos de una progresión geométrica. 𝑎1 = 𝑎𝑛 𝑟 𝑛−1 r= 𝑛−1 𝑎𝑛 √𝑎 1 𝑎 log 𝑛 n= 𝑎1 log 𝑟 +1 Al igual que para las progresiones aritméticas, para estas también hay una expresión que permite hallar la suma de los términos 1−𝑟 𝑛 Sn = 𝑎1 (1−𝑟) Ejemplos Hallar los 4 primeros términos de la progresión an= 2(-3)n a1= 2(-3) = - 6 a2= 2(-3)2 =18 a3= 2(-3)3 = - 54 a4 = 2(-3)4 =162 Hallar el quinto término de la progresión 2/3, ½, 3/8, … Primero hallamos la razón r= 3/8 ÷ ½ = ¾ a5 = 2 3 4 ( ) 3 4 = 27/128 Momento para Aplicar 1. Determinar si las sucesiones son progresiones aritméticas o no lo son a. 1, 1.2, 1.22, 1.222,… c. 5, 3, 5, 3,… b. 3, -3, -9, -15,… d. 0, ½, 1, 3/2, … 2. Para cada una de las siguientes progresiones escribir el término general, a. -3, 0, 3, 6,… noveno término b. ½, 1/6, -1/6, -1/2,… duodécimo término c. {4n – 5}, vigésimo término d. {1- 2n} décimo término 3. Un cuerpo se dispara verticalmente hacia arriba, en el primer segundo recorre 200m y luego su velocidad disminuye a razón de 10m/s. ¿A qué altura se halla 5 segundos después de ser lanzado? ¿Después de cuantos segundos comienza a caer? 4. Calcular los primeros siete términos aritméticos a. an = 3n -7 b. an = -n – 1 c. an = -5n – 10 d. an = -(n + 3) 5. Un teatro tiene 12 asientos en la primera fila, 16 en la segunda, 20 en la tercera y así sucesivamente hasta completar 20 filas. a. Hallar la cantidad de asientos de la última fila b. Hallar el total de asientos del teatro 6. Hallar el primer término de una progresión geométrica si el quinto término es 432 y la razón 6. 7. Identificar cuáles de las siguientes sucesiones son progresiones geométricas, o aritméticas y determinar la razón o la diferencia -1, 2, -4, 8, -16, … 1/3, 2/3, 1, 4/3, 5/3 ¼, ½, ¾, 1, 5/4, … 2, 2/3, 6/9, 8/27, … 128, 64, 32, 16, … 8. Determinar la razón de una progresión geométrica si se sabe que el primer término es 1/1000 y el cuarto es 10.000 9. El número 65 se descompone en tres sumandos, los cuales forman una progresión geométrica y el producto del primero por el tercero es 225 10. El primer término de una progresión geométrica es 3 y el octavo es 384, hallar la razón y la suma de los ocho primeros términos 11. Consideremos la siguiente situación: 2 ciclistas se preparan para una competencia: Pablo comienza con 1000 metros, y todos los días agrega 1000 metros más, en tanto que Emilio empieza con 200 metros y cada día duplica lo hecho el día anterior. Cuántos metros recorre cada uno el décimo día? 12. El valor de un auto se deprecia 18 % cada año. Su precio original fue $ 19000. ¿Cuánto valdrá al cabo de 9 años? 13. Calcula la suma de los múltiplos de 19 comprendidos entre 20 y 200 Bibliografía http://cerezo.pntic.mec.es/~agarc170/paginas/fibonacci.htm Martínez Velandia Fabián Andrés. Aciertos Matemáticos 9. Grupo Editorial Educar, Bogotá 2007 http://www.unlu.edu.ar/~dcb/matemat/progre1.htm