Ecuación Cuadrática Una ecuación cuadrática es una ecuación de

Ecuación Cuadrática
Una ecuación cuadrática es una ecuación de segundo grado que tiene la forma
ax2 + b x + c = 0, donde a, b y c € a R con a≠ =0
Gráficamente, una función cuadrática representa una curva llamada parábola.
Elementos de la Parábola


Abertura. Está determinada por el signo del coeficiente de x 2; si a>0 la
parábola abre hacia arriba y si a<0 la parábola abre hacia abajo.
Vértice. Es el punto más alto, si la parábola abre hacia abajo, si la
parábola abre hacia arriba es el punto mínimo. Para hallar sus
coordenadas se determina el valor de


−𝑏
2𝑎
y f(
−𝑏
2𝑎
)
Intersecto y. Es el punto donde la curva corta el eje y, dicho valor se
halla al remplazar x por cero en la expresión f(x) = ax2 + b x + c
Intersectos x. Son los puntos de corte de la gráfica con el eje x y
corresponden a las raíces o soluciones de la ecuación
En la gráfica anterior el intersecto y es el punto (0, -3) y los puntos
donde se intersecta el eje x tienen coordenadas (-1, 0) y (-3, 0)
Para determinar las raíces se debe solucionar la ecuación cuadrática, para ello
si es posible se factoriza la ecuación, como en la última actividad del momento
para comprender. En otros casos se pueden tener en cuenta los siguientes
métodos:
Ecuación Incompleta
Si la ecuación tiene la forma ax2 + c = 0 y c es negativo, la ecuación tiene dos
soluciones: x1 = √𝑐 y x2 = -√𝑐
Cuando c es positivo, no hay soluciones en los números reales, sino en los
números complejos.
Ejemplo: Determinar las raíces de la función f(x) = 2x2 – 32
Solución: 2x2 – 32 = 0, despejando x2 se obtiene; x2 = - 32 / 2 = 16.
Sacando raíz cuadrada en ambos términos, se obtienen dos respuestas:
𝑥 = ±√16
Las raíces de la ecuación son x1 = 4 y x2 = -4
Si la ecuación es de la forma ax2 + b x = 0, se factoriza como x (a x + b)= 0.
Igualando a cero los factores se encuentran las raíces
Ejemplo: Resolver 2x2 + 5x = 0
La ecuación se puede expresar como x (2x + 5) = 0
cero
2x + 5 = 0
Se iguala cada factor a
x=0
Luego las dos raíces son x1 = 0
x2 = -5 / 2
Solución por fórmula cuadrática
La ecuación ax2 + b x + c = 0 con a≠ 0 se puede solucionar con la fórmula
𝑥=
−𝑏 ± √𝑏 2 − 4𝑎𝑐
2𝑎
Las raíces dependen del valor de b2 – 4 a c, llamado discriminante de la
ecuación
Discriminante
Solución
2
Dos raíces reales diferentes
𝑏 − 4𝑎𝑐 > 0
2
Raíces reales iguales
𝑏 − 4𝑎𝑐 = 0
𝑏 2 − 4𝑎𝑐 < 0 Dos raíces complejas conjugadas
Ejemplo. Encontrar las raíces de la ecuación 15x2 – 8x – 12 = 0
Los coeficientes son a = 15, b = - 8 y c = - 12, reemplazando en la fórmula:
𝑥=
−(−8) ± √(−8)2 − 4(15)(−12)
2(15)
𝑥=
8 ± 28
30
Las raíces son x1 = 6 / 5
y x2 = - 2/ 3
Gráfica de una Función Cuadrática
Para trazar la gráfica de una función cuadrática, primero se determinan los
elementos antes mencionados, teniendo en cuenta los valores de esos
elementos, se construye una tabla de valores y luego se ubican los puntos en
el plano cartesiano y se dibuja la curva.
Ejemplos
a. F(x) = x2 – 10x + 24
b. F(x) = 2x2 + 3x – 2
Solución
En la primera función a = 1. La parábola abre hacia arriba
Vértice. Para determinar las coordenadas del este punto hallamos el valor de
−𝑏
2𝑎
=
−(−10)
2(1)
=
10
2
= 5
f(5) = (5)2 – 10(5) + 24 = -1 Coordenadas del vértice ( 5, -1)
Intercepto con el eje y: f (0) = (0)2 – 10(0) + 24 = 24, la gráfica corta el eje y en
24.
Determinamos los ceros de la función x2 – 10x + 24 = 0 por factorización
(x – 6) (x – 4) = 0, La función corta el eje x en x = 6 y x= 4
Construimos la tabla de valores
x 2 4 5 6 7
y 8 0 -1 0 3
Para el segundo ejemplo 2x2 + 3x – 2
Nuevamente la parábola abre hacia arriba ya que a = 2. El vértice tiene como
coordenada x =
−3
2(2)
=
−3
4
f(-3 /4) = 2(-3 /4)2 + 3(-3 /4) – 2 = -25/8
Vértice (-3/ 4, -25/8)
Intercepto “y” f (0) = 2 (0)2 + 3(0) – 2 = -2
Para determinar los intercepto con el eje x, se hallan los ceros de la ecuación
2x2 + 3x – 2 = 0, usando la fórmula cuadrática:
𝑥=
x1 =
−3+√25
4
=
1
−3 ± √32 − 4(2)(−2)
2(2)
x2 =
2
Construimos la tabla de valores
x -3 -2 -3/4
y 7
0
0
1/2 1
-25/8 -2 0
3
−3−√25
4
= -2
Problemas de Aplicación
Un agricultor tiene una huerta en forma rectangular rodeada por una cerca de
200m de longitud. Determinar las dimensiones de la huerta si su área es de
2400m2
x
y
200m = 2x + 2y
además
x y = 2400m2
De la segunda ecuación se tiene que y = 2400/x, reemplazando en la otra
ecuación
200 = 2x + 2(2400/x)
200x = 2x2 + 4800
2x2 – 200x + 4800 = 0
2( x2 -100x + 2400) = 0 factorizando
2(x – 60)(x – 40) = 0
Las medidas del terreno son 60m por 40m
Un alambre de 100cm se corta en dos pedazos y cada pedazo se dobla para
formar un cuadrado. Si la suma de las áreas de los cuadrados construidos es
397cm2, encontrar la longitud de cada cuadrado.
x
25-x
Si un cuadrado es de lado x, para elaborar el otro cuadrado quedan 100 – 4x
centímetros de alambre, por lo tanto cada lado tiene la cuarta parte de esta
longitud, es decir 25 – x
(25 – x)2 + x2 = 397 suma de las áreas
625 – 50x + x2 + x2 – 397 = 0
2x2 – 50x + 228 = 0
2(x – 19)(x – 6) = 0
Luego, uno de los cuadrados tiene de lado 6cm y el otro 19cm
Momento para Aplicar
1. Resolver las siguientes ecuaciones cuadráticas
a. x2 – 12x + 27 = 0
b. 25x2 – 4 = 0
c. x2 – 2x = 19
d. -3x2 + 2 = 0
e. 3x2 – 18x = 0
f. 13x – 5x2 = -6
2. Trazar las gráficas de las siguientes funciones
a. F(x) = -3x2 + 6x
b. F(x) = x2 + 2x – 8
c. F(x) = -2x2 + 6x – 3
d. F(x) = 2x2 – 3x – 2
e.
f.
g.
h.
F(x) = 2x2 - 5x + 4
F(x) = x2 – 2x + 4
F(x) = -x2 – x + 3
F(x) = -x2 + 3x + 3
Bibliografía
http://www.juntadeandalucia.es/averroes/iesarroyo/matematicas/materiales/4es
o/funciones/teoriafuncioncuadratica/teoriafunciones.htm
http://anagarciaazcarate.files.wordpress.com/2012/02/puzzleblancoecuaciones
2gradoalumnos.pdf
Martínez Velandia Fabián y otros. Aciertos Matemáticos 9. Grupo editorial
Educar, Bogotá 2007
Progresiones aritméticas y geométricas
Una sucesión matemática es un conjunto ordenado de objetos matemáticos,
generalmente números. Cada uno de ellos es denominado término (también
elemento o miembro) de la sucesión y al número de elementos ordenados
(posiblemente infinitos) se le denomina la longitud de la sucesión.
A diferencia de un conjunto, el orden en que aparecen los términos sí es
relevante y un mismo término puede aparecer en más de una posición.
En una secuencia los números se encuentran dispuestos entre sí por una ley
de formación, la cual se obtiene empleando las operaciones básicas de: suma,
resta, multiplicación, división, potenciación y radicación.
Una de las secuencias numéricas más famosas es la sucesión de Fibonacci:
O, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34,…
Tiene numerosas aplicaciones en ciencias de la computación, matemáticas y
teoría de juegos. También aparece en configuraciones biológicas, como por
ejemplo en las ramas de los árboles, en la disposición de las hojas en el tallo,
en la flora de la alcachofa, en el caracol Nautilos y en las escamas de la
cascara de piña, entre otros.
Progresiones Aritméticas
Una progresión aritmética es una sucesión de números tales que cada término
es igual al anterior más un número constante.
La cantidad constante que se suma recibe el nombre de razón o diferencia, por
ser igual a la diferencia entre un término cualquiera de la sucesión y su
anterior. Se acostumbra representar con la letra d, donde:
𝑑 = 𝑎𝑛 − 𝑎𝑛−1
Por ejemplo en la sucesión 2, -1, -4, -7,… la diferencia es – 3, pues
(-7) - (-4)= -3
(-1) – 2 = -3
Dada una progresión aritmética a1, a2, a3,…, es posible obtener la fórmula del
término enésimo (an), al escribir cada término es función del anterior
a1 es el primer término
a2 = a 1 + d
a3 = a2 + d = (a1 + d) + d = a1 + 2d
a4 = a3 + d = (a1 + 2d) + d = a1 + 3d
an = a1 + (n-1 )d
para n > 1
La anterior es la fórmula del término general de una progresión aritmética
Ejemplo
Determinar si la sucesión 3, 8, 13, 18, 23,…, es una progresión aritmética, si lo
es, determinar el término general de la progresión y hallar el octavo término.
8 – 3 = 5, 13 – 8 = 5, 18 – 3 = 5,
progresión es aritmética.
23 – 18 = 5. La diferencia es 5, la
El término n-ésimo está determinado por la expresión:
an = 3 + (n – 1) 5 = 5n – 2
Luego a8 = 5 (8) – 2 = 38
A partir de la fórmula del término enésimo se pueden deducir las siguientes
fórmulas
-
-
Primer término de una progresión. Si se conoce la razón y cualquier otro
término, se tiene que:
𝑎1 = 𝑎𝑛 − (𝑛 − 1)𝑑
La razón. Si se conocen el primer término y un término cualquiera, se
tiene que:
𝑑=
-
𝑎𝑛 −𝑎1
𝑛−1
Número de términos. Si se conoce la razón y el primer y último término
de la progresión, se tiene que:
𝑛=
𝑎𝑛 −𝑎1 +𝑑
𝑑
Ejemplos
Completar la progresión 5,…, 32 si se sabe que 32 es el décimo término.
Si en una progresión aritmética el quinto término es 17 y el noveno término es
33
Encontrar el octavo término de la progresión aritmética donde a 3 = 75 y d = -8,
completar la progresión hasta el octavo término
Solución
Para completar la primera progresión se debe determinar el valor de la
diferencia
d = (a10 –a1)/(10 – 1) = (32 – 5)/ 9= 3
Para completar la progresión se suma 3 al primer término y así sucesivamente
5, 8, 11, 14, 17, 20, 23, 26, 29, 32
Para solucionar el segundo ejemplo, se plantean las ecuaciones:
a1= a5 – (5 – 1) d
a1 = a9 – (9 -1) d
y
a1= 17 – 4d
a1 = 33 – 8 d
Solucionando estas ecuaciones se obtiene que a1 = 1
En la última situación se debe determinar el primer término para hallar el
octavo, así:
a1= a3 – (3 – 1) (-8) = 75 – 2(-8) = 91, luego
a8 = 91 + (8 – 1) (-8) = 36
Suma de los Términos de una Progresión Aritmética
El matemático Carl Gauss nación en Alemania en 1777 y murió en 1855.
Desde niño demostró una gran habilidad con los números. A los tres años fue
capaz de corregir un fallo que su padre había hecho en el cálculo de los
sueldos de unos albañiles que trabajaban para él. Cuando tenía 10 años
Gauss asombró a su profesor quien acostumbrara castigar a sus estudiantes
haciéndolos sumar una serie de números. Una vez castigó a toda la clase a
sumar desde 1 hasta 100. Gauss entregó la pizarra en un tiempo sorprendente
con la respuesta correcta, 5050. El maestro le preguntó como lo había hecho,
Gauss dijo 1 + 100 = 101, 2 + 99 = 101, así sucesivamente, siempre suma
101, como son 50 sumas de 101, el total es 5050
Verificar si lo encontrado por Gauss se cumple para las siguientes progresiones
aritméticas:
-5, -1, 3, 7, 11, 15, 19, 23
-5 + 23 = 18 -1 + 19 = 18, Esta suma se repite 4 veces, luego la suma de los
términos es 4 (18) = 72
-5 + (-1) + 3 + 7 + 11 + 15 + 19 + 23 = 72
-12, -10, -8, -6, -4, -2, 0, 2, 4, 6, 8
Nuevamente -12 + 8 = -4, -10 + 6 = -4, -8 + 4 = -4. La suma se repite 5 veces
y sobra el término de la mitad, 5 (-4) + (-2) = -22
(-12) + (-10) + (-8) + (-6) + (-4) + (-2) + 0 + 2 + 4 + 6 + 8 = -22
En general la suma de los n-términos de una progresión aritmética se calcula
𝑆=
así:
(𝑎1 +𝑎𝑛 )
2
𝑛
En el último ejemplo, para hallar la suma de los 11 términos
𝑠=
−12+8
2
11 = -22
Problema de aplicación
Se desea comprar un auto cuyo valor es de $26.000.000. El concesionario
ofrece dos formas de pago.
-Cuota inicial de $6.200.000, el saldo en cuotas no fijas durante tres años
tendrán un aumento mensual de $5000. La primera cuota será de $550.000.
-Cuota inicial de $5.000.000, el saldo en cuotas fijas de $700.000 durante tres
años.
¿Cuál forma de pago es más conveniente?
En el primer caso a1 = 550.000 d = 5000 n = 36
a36 = 550.000 + (36 – 1) 5000 = 725.000
𝑆=
(𝑎1 +𝑎𝑛 )
2
𝑛 =
550.000+725.000
2
36 = 22.950.000 Total de dinero por cuotas
22.950.000 + 6.200.000 = 29.150.000 Total de dinero pagado
En el segundo caso
5.000.000 + 36 (700.000) = 30.200.000 Total de dinero
Es más conveniente la primera forma de pago
Progresiones Geométricas
Una progresión geométrica es una sucesión de números tales que cada
término, excepto el primero, es igual al anterior multiplicado por una constante
llamada razón(r).
La razón se encuentra al dividir un término cualquiera de la sucesión entre su
anterior, es decir
𝑟=
𝑎𝑛
𝑎𝑛−1
Para obtener la fórmula del término enésimo, se utiliza la definición de
progresión geométrica y se escribe cada término de la progresión en función
del anterior,
a2 = a1r
a3 = a2r = (a1 r) r = a1r2
a4 = a3 r = (a1 r2) r = a1r3
En general an = a1 r n-1
A partir de la fórmula anterior se pueden deducir otras fórmulas para hallar los
diferentes elementos de una progresión geométrica.
𝑎1 =
𝑎𝑛
𝑟 𝑛−1
r=
𝑛−1
𝑎𝑛
√𝑎
1
𝑎
log 𝑛
n=
𝑎1
log 𝑟
+1
Al igual que para las progresiones aritméticas, para estas también hay una
expresión que permite hallar la suma de los términos
1−𝑟 𝑛
Sn = 𝑎1 (1−𝑟)
Ejemplos
Hallar los 4 primeros términos de la progresión
an= 2(-3)n
a1= 2(-3) = - 6
a2= 2(-3)2 =18
a3= 2(-3)3 = - 54
a4 = 2(-3)4 =162
Hallar el quinto término de la progresión
2/3, ½, 3/8, …
Primero hallamos la razón r= 3/8 ÷ ½ = ¾
a5 =
2 3 4
( )
3 4
= 27/128
Momento para Aplicar
1. Determinar si las sucesiones son progresiones aritméticas o no lo son
a. 1, 1.2, 1.22, 1.222,…
c. 5, 3, 5, 3,…
b. 3, -3, -9, -15,…
d. 0, ½, 1, 3/2, …
2. Para cada una de las siguientes progresiones escribir el término general,
a. -3, 0, 3, 6,… noveno término
b. ½, 1/6, -1/6, -1/2,… duodécimo término
c. {4n – 5}, vigésimo término
d. {1- 2n} décimo término
3. Un cuerpo se dispara verticalmente hacia arriba, en el primer segundo
recorre 200m y luego su velocidad disminuye a razón de 10m/s. ¿A qué
altura se halla 5 segundos después de ser lanzado? ¿Después de
cuantos segundos comienza a caer?
4. Calcular los primeros siete términos aritméticos
a. an = 3n -7
b. an = -n – 1
c. an = -5n – 10
d. an = -(n + 3)
5. Un teatro tiene 12 asientos en la primera fila, 16 en la segunda, 20 en la
tercera y así sucesivamente hasta completar 20 filas.
a. Hallar la cantidad de asientos de la última fila
b. Hallar el total de asientos del teatro
6. Hallar el primer término de una progresión geométrica si el quinto
término es 432 y la razón 6.
7. Identificar cuáles de las siguientes sucesiones son progresiones
geométricas, o aritméticas y determinar la razón o la diferencia
-1, 2, -4, 8, -16, …
1/3, 2/3, 1, 4/3, 5/3
¼, ½, ¾, 1, 5/4, …
2, 2/3, 6/9, 8/27, …
128, 64, 32, 16, …
8. Determinar la razón de una progresión geométrica si se sabe que el
primer término es 1/1000 y el cuarto es 10.000
9. El número 65 se descompone en tres sumandos, los cuales forman una
progresión geométrica y el producto del primero por el tercero es 225
10. El primer término de una progresión geométrica es 3 y el octavo es 384,
hallar la razón y la suma de los ocho primeros términos
11. Consideremos la siguiente situación: 2 ciclistas se preparan para una
competencia: Pablo comienza con 1000 metros, y todos los días agrega
1000 metros más, en tanto que Emilio empieza con 200 metros y cada
día duplica lo hecho el día anterior. Cuántos metros recorre cada uno el
décimo día?
12. El valor de un auto se deprecia 18 % cada año. Su precio original fue $
19000. ¿Cuánto valdrá al cabo de 9 años?
13. Calcula la suma de los múltiplos de 19 comprendidos entre 20 y 200
Bibliografía
http://cerezo.pntic.mec.es/~agarc170/paginas/fibonacci.htm
Martínez Velandia Fabián Andrés. Aciertos Matemáticos 9. Grupo Editorial
Educar, Bogotá 2007
http://www.unlu.edu.ar/~dcb/matemat/progre1.htm