Tema 5: Aplicaciones de la derivada

Unidad 5: Limites. Continuidad.
Introducción a la derivada
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Tema 5: Aplicaciones de la derivada
No es lo mismo...
1. Juego. Wikimedia Commons
2. Diversión. Wikimedia Commons
3. Locura. Wikimedia Commons
... bajar por el tobogán de un parque infantil que tirarse desde lo más alto de una montaña rusa.
Si dibujáramos el perfil del descenso de estas tres atracciones podríamos decir que se trata de la gráfica de
tres funciones decrecientes, pero es evidente que el ritmo de decrecimiento en cada una de ellas es muy
diferente. Por ejemplo, hablaríamos de un decrecimiento lento en el primer caso y un decrecimiento muy
rápido en el tercero. ¿Cómo describirías el de la segunda imagen?
¿Cómo podemos cuantificar la velocidad a la que crece o decrece una función?: con la derivada.
Ya sabes que la derivada de una función en un punto es la pendiente de la recta tangente en ese punto.
Pues bien, ese número es el que nos informará de si una función está creciendo en un punto o decreciendo y
a qué ritmo lo está haciendo.
La derivada nos informa de cómo y a qué velocidad varía una función
En este tema definiremos formalmente conceptos como máximo y mínimo relativo —en la tercera imagen
aparece un máximo— o punto de inflexión, como los que puedes visualizar en la segunda imagen. Gracias al
cálculo de estos puntos podrás dibujar con precisión gráficas de funciones que hasta ahora sólo podías
esbozar.
Acabaremos resolviendo problemas para que puedas apreciar la gran potencia que tiene la derivada tanto
como herramienta de cálculo como en el análisis de funciones.
Un tipo de problemas muy interesantes son los de optimización. En la vida cotidiana interesa con frecuencia
lograr que una cierta magnitud sea lo más grande o lo más pequeña posible. Por ejemplo: calcular el precio a
que debe venderse un producto para obtener el máximo beneficio, o bien, averiguar la forma que debe tener
una caja de una cierta capacidad para que el coste de producción sea mínimo. Resolveremos problemas
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sencillos y dejaremos los más complejos para el curso que viene, que es cuando dispondrás de las
herramientas de cálculo necesarias.
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1. Crecimiento y decrecimiento
4. Carretera de montaña. Creative Commons
El perfil de una carretera viene dado en un tramo de montaña por la función
habría que colocar en
, estando medido en metros?
. ¿Qué señal de tráfico
En el primer tema de la unidad anterior estudiaste las características globales de las funciones y en el
segundo apartado se definía cuándo una función era creciente o decreciente. Repásalo.
Ahora nos interesa saber cuándo una función es creciente o decreciente en un punto y cómo podemos medir
ese crecimiento o decrecimiento.
Al acabar este apartado podrás dar respuesta al problema que te hemos planteado.
Diremos que una función es creciente en un punto
si
cuando exista un entorno de
tal que:
y si
En la ventana dinámica que tienes a continuación mueve el punto azul y observa que siempre
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Si f es derivable, entonces
Si un función es derivable y creciente en un punto , entonces
Para el decrecimiento de una función haremos razonamientos análogos:
Diremos que una función es decreciente en un punto
si
cuando exista un entorno de
tal que:
y si
En la ventana dinámica que tienes a continuación mueve el punto azul y observa que siempre
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Si f es derivable, entonces
Si un función es derivable y decreciente en un punto , entonces
En el tema 3 definimos la derivada en un punto y vimos su interpretación geométrica: ese número coincide
con la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función en dicho punto.
Mueve la abscisa del punto P con el deslizador en color verde que tienes sobre la recta real y observa el valor
de la pendiente de la recta tangente.
También puedes animar el gráfico pulsando el botón
Matemáticas I
y cuando quieras parar el botón
.
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Rellena los espacios en blanco.
En x = -1 la función es
y la pendiente de la recta tangente es
.
En x = 0 la función ni
ni
En x = 2 la función es
y la pendiente de la recta tangente es
y la derivada en ese punto es
En x = 3 la función ni crece ni decrece y la
En x = 4 la función es
es
.
en ese punto es
y la
.
.
de la recta tangente
.
En x = 5 la función ni
es
ni
y la pendiente de la
.
A partir del punto x = 5 la función es
y la derivada en esos puntos es
.
Si
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, la función
es creciente en
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Si
, la función
es decreciente en
Resuelve el problema inicial rellenando los espacios en blanco.
En x = 20 la derivada de la función tiene un valor de
función es
(dos decimales), lo cual indica que la
. La pendiente de la recta tangente en ese punto es
, por
tanto, la señal de tráfico debería indicar que la carretera en ese punto tiene una pendiente del
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%.
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1.1. Cálculo de intervalos
Ya has podido comprobar que determinar los intervalos de crecimiento o decrecimiento de una función cuando
nos dan su representación gráfica es algo intuitivo y muy sencillo.
Ahora nos interesa el procedimiento analítico, es decir, si nos dan la ecuación de una función cuya
representación gráfica no es algo inmediato, ¿cómo podemos averiguar dónde crece y dónde decrece? De
hecho, veremos más adelante que esta información será imprescindible para la representación de funciones.
Empezamos con una función continua en todo , por ejemplo la función polinómica
.
Antes de hacer los cálculos visualiza los resultados que vamos a obtener en esta ventana dinámica.
Mueve el punto P y observa la pendiente de la recta tangente.
Visualiza la función derivada y fíjate en le signo de la derivada en el punto P.
En el apartado anterior hemos concluido que el signo de
en un punto nos indica si la función crece o
decrece en ese punto, por tanto para averiguar los intervalos en que la función crece o decrece bastará con
resolver las inecuaciones
y
. Para ello:
Seguimos con el estudio de la función
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Averiguaremos cuáles son los puntos singulares, es decir, aquellos en que
Marcamos en la recta real los puntos singulares y ésta quedará dividida en intervalos.
Si es continua, para que su gráfica cambie de signo tiene que cruzar el eje OX, pero los
únicos puntos en que la gráfica de
toca al eje OX es en los puntos singulares. Por tanto, en
un intervalo la función
no cambia de signo, siempre es positiva o siempre negativa.
Calculamos el valor en cualquier punto de cada intervalo
f'
Como
Como
(-∞,1)
(1,3)
(3,+∞)
+
-
+
f crece decrece crece
en (-∞,1) y en (3,+∞), diremos que la función
es creciente en esos intervalos.
en (1,3), diremos que la función
es decreciente en ese intervalo.
Veremos ahora el procedimiento para funciones discontinuas.
Observa la animación de este gráfico haciendo click en el botón
el botón
. Puedes pararla cuando quieras pulsando
.
Después activa la casilla para visualizar la función derivada.
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Rellena los espacios en blanco:
En x = -2 la derivada es
y la función es
En x = 0 la función pasa de
.
.
a
y la derivada es
En x = 1/4 la derivada es
y la función es
.
En x = 3/4 la derivada es
y la función es
.
En x = 2 la función ni
ni
y la derivada es
En x = 4 la derivada es
.
y la función es
.
Para hallar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función
:
Tendremos en cuenta los puntos de discontinuidad: en este caso,
Veremos en qué puntos se anula la función derivada:
.
Los puntos singulares son
y
Hacemos la tabla para estudiar el signo de la función derivada teniendo en cuenta los puntos de
discontinuidad y los puntos singulares; evaluamos el signo de la derivada del mismo modo que
en el ejemplo anterior:
(-∞,0) (0,1)
f'
+
-
(1,2)
(2,+∞)
-
+
f crece decrece decrece crece
La función es creciente en
Matemáticas I
y decreciente en
.
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Hallar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de las funciones:
1.
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2.
3.
4.
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1.2. Ejercicios de aplicación
5. Tráfico. Wikimedia Commons
Durante varias semanas se ha estado registrando la velocidad del tráfico de cierta salida de una autopista.
Los datos parecen confirmar que entre las 12:00 y las 18:00 horas de un día laborable, la velocidad del tráfico
en la salida es aproximadamente de
kilómetros por hora, donde es el
número de horas que han transcurrido desde el mediodía. ¿En qué intervalos de tiempo, entre el mediodía y
las 18:00 horas, el tráfico ha sido más lento? ¿Y en cuál ha sido más rápido?
Mueve el punto P y observa el valor de la pendiente de la tangente y el valor que toma la función derivada f' en
cada punto.
Averigua los intervalos en que la función crece o decrece.
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Averiguaremos cuáles son los puntos singulares, es decir, aquellos en que
Marcamos en la recta real los puntos singulares y ésta quedará dividida en intervalos.
Si es continua, para que su gráfica cambie de signo tiene que cruzar el eje OX, pero los
únicos puntos en que la gráfica de
toca al eje OX es en los puntos singulares. Por tanto, en
un intervalo la función
no cambia de signo, siempre es positiva o siempre negativa.
Calculamos el valor en cualquier punto de cada intervalo
(0,2)
(2,5)
(5,6)
+
-
+
crece decrece crece
Como
Como
en (0,2) y en (5,6), diremos que la función
es creciente en esos intervalos.
en (2,5), diremos que la función
es creciente en ese intervalo.
La velocidad del tráfico ha ido creciendo desde las 12 horas hasta las 2 de la tarde, de 2 a 5 de
la tarde ha ido decreciendo y de 5 a 6 ha vuelto a aumentar.
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6. Presa hidráulica.
Wikimedia Commons
La cantidad de agua recogida en 2002 (en millones de litros), en cierto pantano, como función del
instante de tiempo t (en meses), viene dada a través de la expresión
¿En qué periodo de tiempo aumentó la cantidad de agua recogida?
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2. Máximos y mínimos relativos
En el problema que acabas de hacer en el apartado anterior sería obvio hacer dos preguntas:
¿En qué instante se obtuvo la cantidad máxima de agua?
¿Cuál fue esa cantidad máxima?
La respuesta es clara: si en el primer semestre la cantidad de agua está aumentando y partir del sexto mes
disminuye, el pantano tendrá la máxima cantidad de agua en el sexto mes.
Para calcularla sólo tenemos que sustituir el valor
Así,
en la expresión
.
millones de litros de agua será la cantidad máxima de agua recogida en el
pantano.
Podemos dar una primera definición:
Diremos que una función
tiene un máximo relativo o local en
punto de creciente a decreciente.
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si la función pasa en ese
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Fíjate en la ventana dinámica y observa cómo en el punto
la función pasa de creciente a decreciente.
Mueve el punto azul y verás que tanto los puntos que están a la izquierda de
derecha tienen sus imágenes menores que el valor que toma la función en
como los que están a la
.
Rellena los espacios en blanco
En x = 4 la tangente es
, su pendiente es
Una función
alcanza un máximo relativo o local en
cualquier de ese entorno, se cumple
.
y, por tanto, f'(
si existe un entorno de
)=
.
tal que, para
Si has entendido bien los conceptos que hemos venido trabajando podrás deducir los resultados y definiciones
para mínimos relativos. Te proporcionamos un applet análogo al anterior para ayudarte en tus razonamientos.
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Rellena los espacios en blanco:
Una función
tiene un mínimo
en
o
si la función pasa en ese punto
de
a
.
En la parábola que aparece en el applet, en x = 4 la
tangente es
, su pendiente es
y, por tanto, f'(
Una función
)=
.
alcanza un
tal que, para cualquier
de ese
relativo o local en
, se cumple
si existe un
de
.
Los máximos y mínimos relativos se engloban bajo la denominación común de extremos relativos o
locales.
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2.1. Cálculo de máximos y mínimos
7. Máximo. Wikimedia Commons
En el apartado anterior hemos podido comprobar cómo, si la función era derivable, en los máximos y mínimos
la tangente era horizontal, su pendiente nula y, por tanto, la derivada también nula. Hay un importante teorema
que lo demuestra:
Si una función
.
es derivable en
y tiene un extremo relativo (máximo o mínimo) en , entonces
¿Es cierto el recíproco? Es decir, ¿siempre que la derivada sea nula en un punto habrá un máximo o mínimo
relativo?
La respuesta la puedes obtener en el ejemplo que te presentábamos al final del apartado 1:
Matemáticas I
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En los puntos A, B y C la tangente es horizontal, por tanto,
En
la función presenta un máximo relativo y en
hay un mínimo.
Sin embargo, en
no hay ni máximo ni mínimo, la función crece para
En este caso se dice que la función presenta un punto de inflexión.
y sigue creciendo para
Concluimos que:
Si
, entonces,
tiene un punto singular en , pero no podemos determinar si es máximo,
mínimo o ninguna de las dos cosas. Para averiguarlo aplicaremos el siguiente criterio:
Si
Si
Si
a la izquierda de
y
a la derecha de
, la función pasa en
de creciente a decreciente, entonces es un máximo relativo.
a la izquierda de
y
a la derecha de
, la función pasa en
de decreciente a creciente, entonces es un mínimo relativo.
o si
a ambos lados de
, entonces es un punto de inflexión.
Si
, di si son verdaderas o falsas las siguientes afirmaciones
La función
tiene máximo o mínimo en
Verdadero
Matemáticas I
Falso
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.
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La recta tangente en
Verdadero
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es horizontal.
Falso
La función pasa por el punto (3, 0)
Verdadero
Falso
8. Puntos de inflexión.
Creative Commons
Siguiendo el criterio anterior, vamos a determinar los extremos relativos de la función polinómica:
En primer lugar hallamos los puntos singulares, es decir, los puntos que anulan la función
derivada:
Aplicando el método de Ruffini:
las soluciones de la ecuación son:
relativos
, que son los posibles máximos o mínimos
Hacemos la tabla con los intervalos y estudiamos el crecimiento y decrecimiento de la función:
(-∞,1) (1,2) (2,+∞)
+
+
-
crece crece decrece
A la izquierda de
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la función crece y a la derecha la función sigue creciendo, por tanto, en
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ese punto no hay ni máximo ni mínimo, hay un punto de inflexión.
Sin embargo, a la izquierda de
la función es creciente y a la derecha decreciente, por
tanto, en ese punto la función presenta un máximo relativo.
(En el apartado 4.1. de este tema representaremos la función)
En este segundo ejercicio trabajaremos con una función racional:
Hallamos el dominio de la función:
Hallamos los puntos singulares:
, por tanto en 1 y -1 la función no es continua.
cuando
y
Estudiamos el crecimiento y decrecimiento de la función:
+
-
-
-
-
+
creciente decreciente decreciente decreciente decreciente crecient
En
En
En
En
En
la función tiene un máximo local
la función no es continua
la función tiene un punto de inflexión
la función no es continua
la función tiene un mínimo local
En el apartado 4.2. de este tema representaremos la función)
En las funciones siguientes, halla los puntos singulares y determina si son máximos o mínimos relativos:
1.
2.
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3. Tangente y normal a una curva
9. Casi tangente. Creative Commons
Ya sabemos que, geométricamente, la derivada
la función en el punto
.
es la pendiente de la recta tangente a la gráfica de
También sabemos que la ecuación de la recta tangente en el punto
es:
y la de la recta normal
En los ejercicios que vamos a desarrollar podrás apreciar la importancia de este concepto y la gran variedad
de situaciones en las que se puede aplicar.
1. Halla la ecuación de la recta tangente a la curva
.
Hallamos la pendiente de la recta tangente
, en
:
Hallamos la ordenada del punto de tangencia:
La ecuación de la recta tangente es:
y la de la normal
2. Escribe la ecuación de la recta tangente a la curva
cuya pendiente sea igual a 2.
No conocemos el punto de tangencia pero sabemos que
:
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La ordenada del punto de tangencia es
La ecuación de la recta tangente es:
y la de la normal
3. Escribe las ecuaciones de las rectas tangentes a la curva
que sean paralelas a la recta
La pendiente de la recta es 6, el coeficiente de
está despejada:
.
cuando la
Las ecuaciones de las rectas tangentes son:
las normales son
y
Con ayuda del applet que te proporcionamos, resuelve gráficamente los siguientes ejercicios. Después
haz los cálculos para resolverlos analíticamente siguiendo el método de los ejercicios resueltos
anteriores.
1. Dada la función
.
, determina la ecuación de la recta tangente a su gráfica en el punto
Mueve los deslizadores verdes m y n hasta encontrar la recta tangente en el punto
que se indica.
2. Dada la función
, determina los puntos en los que la función tiene rectas
tangentes paralelas a la bisectriz del segundo cuadrante
. Halla las ecuaciones de esas rectas
tangentes.
3
2
En la barra de Entrada escribe el nombre de la función f(x)=x -6x +8x+2
Mueve los deslizadores verdes m y n para visualizar la recta y=-x o las tangentes
Mueve el punto rojo del eje de abscisas para situar los puntos de tangencia
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Las funciones trascendentes (logarítmicas, exponenciales, trigonométricas, etc.) presentan una clara
dificultad cuando tratamos de calcular la imagen de un valor dado, que no puede calcularse con
exactitud (con la excepción de algunos puntos notables).
La figura contigua representa la gráfica de la función
.
y la de su recta tangente en el punto
En un entorno del punto
, si sustituimos los valores de la función
por los de la recta tangente
tendremos una aproximación al valor de la primera. Es decir, podemos sustituir
por la imagen
del punto
en la función de primer grado que da la tangente.
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En este caso, dado que
en el punto
es
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, la ecuación de la recta tangente
, es decir,
La recta tangente a una curva en un punto P es, de todas las rectas que pasan por P, la que más se
aproxima a la curva en un entorno de P.
Ejemplo: Al calentarse una bola de un rodamiento de 1 cm de diámetro, se ha dilatado y su diámetro
mide ahora 1,002 cm. Halla el volumen de la bola dilatada.
El volumen de una esfera es
. En lugar de hallar el volumen para
cm,
podemos hacer una aproximación hallando el valor que tomará la recta tangente para ese valor.
La recta tangente es
, toma un valor de
, que para
.
Podemos decir que la bola dilatada tiene un volumen de
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3
cm .
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4. Representación gráfica de funciones
Cuando aprendiste a calcular las asíntotas de una función te diste cuenta de que con esa información, los
puntos de corte con los ejes y poco más, eras capaz de hacer un esbozo de su representación gráfica
bastante ajustado.
Sin embargo, esas funciones polinómicas, tan continuas e inocentes, a veces era complicado representarlas
porque no sabías de dónde sacar información. Si además no cortaban al eje OX en puntos de abscisa entera,
la tarea resultaba del todo frustrante.
En los apartados anteriores ya has aprendido a estudiar el crecimiento y decrecimiento de una función y a
localizar los puntos singulares. Con el cálculo de los extremos relativos podrás representar esas gráficas que,
antes de conocer la utilidad de la derivada, se te resistían.
Ahora se trata de ordenar un poco todo lo que sabes y hacer un estudio de la función más sistematico. El
método a seguir será el siguiente:
Para representar una función
:
Estudiamos su dominio
Hallamos las asíntotas
Identificamos los puntos de corte con los ejes
Calculamos la función derivada y resolvemos
para hallar los puntos singulares.
Estudiamos el crecimiento y decrecimiento de la función
Identificamos los máximos y mínimos relativos y los puntos de inflexión.
Representamos la función
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Antes de continuar con el siguiente apartado, repasa los conceptos con los que vas a trabajar y
completa las siguientes definiciones:
Dominio: Conjunto de valores de la variable
existe o tiene sentido la función.
Asíntota: es una
a la que se
a
una función cada vez más sin llegar
si cuando x tiende a
, la función tiende
.
Diremos que y = l es una asíntota
, la función tiende a
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", para los que
.
Diremos que x = a es una asíntota
a
"
si cuando x tiende a
.
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4.1. Funciones polinómicas
Las funciones polinómicas tienen como dominio todos los números reales y son continuas en todo , por tanto
no tienen asíntotas verticales, ni tampoco horizontales, pero podemos hallar las dos ramas infinitas (en -∞ y
+∞) y así ya sabemos dónde "empieza" y dónde "acaba" la función. Es decir, hallamos los límites
y
Las funciones lineales,
, y las cuadráticas,
, son polinómicas de de 1º y 2º
grado, respectivamente, y ya sabemos representarlas. Aquí nos ocuparemos de las de grado superior.
Podemos comenzar dibujando la función polinómica que hemos estudiado en el apartado 2.1. Sólo tenemos
que ordenar y completar los datos que hemos obtenido.
1.
Ramas infinitas:
y
Puntos de corte con los ejes:
Con OX: si
, entonces,
.
Aplicando el método de Ruffini puedes comprobar que no
tiene soluciones enteras.
Con OY: si
,
Estudio de f'(x): La función es creciente en
y
decreciente en
. En el punto
hay un punto
de inflexión y en
hay un máximo relativo.
2. Representa la función
Ramas infinitas:
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Puntos de corte con los ejes:
Con OX: si
, entonces,
.
Aplicando la regla de Ruffini, las soluciones son:
(doble) y
. Entonces, corta al eje OX en los
puntos
y
Con OY: si
,
. Por tanto, corta al eje OY en
el punto
.
Puntos singulares:
y
. Los puntos singulares son
y
Crecimiento y decrecimiento:
(-∞,2)
(2,4)
(4,+∞)
+
-
+
crece decrece crece
En
hay un máximo relativo y en
relativo.
un mínimo
Otros puntos: Si se quiere más precisión en la gráfica se
pueden hallar otros puntos, por ejemplo
Para
,
Para
,
Representa las siguientes funciones:
1.
2.
3.
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4.2. Funciones racionales
La diferencia fundamental de estas funciones respecto a las polinómicas es que su dominio ya no es siempre
y, por tanto, aparecen discontinuidades y asíntotas.
En el tema 2 aprendiste a hallar las asíntotas verticales y horizontales y viste algún ejemplo en el que la
función, cuando x tendía a infinito, se aproximaba cada vez más a una recta oblicua, es decir la función tenía
una asíntota oblicua.
Vamos a ver una forma sencilla de calcular estas asíntotas en funciones racionales. Al curso que viene
estudiarás un método para hallar asíntotas oblicuas en cualquier tipo función, pero ahora nos basta con saber
que:
En una función racional, una asíntota oblicua
Existirá siempre que el polinomio del numerador tenga un grado mayor que el del polinomio del
denominador.
La asíntota será el cociente de efectuar la división de los dos polinomios.
Veamos por qué.
Sea
, donde
Si efectuamos la división
.
, donde
y
entonces,
Por tanto, cuando x tiende a infinito la función tiende a lo mismo que un polinomio de primer grado, es decir, a
una recta. Esa recta es la asíntota oblicua que buscábamos.
Recuerda que en el tema 2 ya aprendiste a representar funciones racionales. Sólo necesitabas precisar dónde
se encontraban los máximos y mínimos relativos y eso es lo que te permite el estudio de la función derivada.
Una vez hallados:
el dominio
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las asíntotas
los puntos de corte con los ejes
y antes de estudiar la función derivada
haz un esbozo de la gráfica de la función
después, localiza los máximos, mínimos y puntos de inflexión y comprueba que es coherente con el
esbozo que has hecho anteriormente.
En el apartado 2.1. hemos calculado los intervalos de crecimiento y decrecimiento y hallado los extremos
relativos de una función racional. Completaremos su estudio y la dibujaremos como ejercicio inicial.
1.
Dominio:
Asíntotas: Verticales:
y
, ya que
Para averiguar el signo, debemos hacer los límites
laterales:
Horizontales: No hay, ya que
Oblicuas:
,
por tanto,
es la asíntota.
Puntos de corte con los ejes: Si
. Entonces el punto
es el único punto de corte con los ejes.
Esbozo de la gráfica
Estudio de f'(x): La función es creciente en
. Tiene un máximo relativo en
y un mínimo relativo en
y decreciente en
, un punto de inflexión en
.
Representación gráfica
2. Representar la función
Dominio:
Asíntotas: Verticales:
Matemáticas I
y
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Unidad 5: Limites. Continuidad.
Introducción a la derivada
Horizontales:
Tema 5: Aplicaciones de la derivada
, ya que
Oblicuas: Si hay horizontal, no puede haberlas.
Puntos de corte con los ejes:
Con el eje OY no puede haber, ya que es una asintota vertical, la función no es continua.
Con el eje OX:
cuando
, es decir, para
y
.
Los puntos de corte con los ejes son
y
Esbozo de la gráfica
Puntos singulares:
cuando
son
y
.
son
y
Crecimiento y decrecimiento:
cuyas soluciones
,
. Los puntos singulares
.
-
+
+
-
-
decrece
crece
crece
decrece
decrece
La función es creciente en
y decreciente en
. Por tanto, en
hay un mínimo local y en
hay un máximo local.
Representación gráfica
Estudia y representa las funciones:
1.
Matemáticas I
2.
3.
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5. Problemas de aplicación de la derivada
Seguramente habrás comprobado que hay una gran diferencia entre hacer unos cuantos ejercicios de cálculo
sobre un concepto determinado y saber aplicar esos conocimientos en un problema con un contexto
determinado y en el que tenemos que desentrañar qué información nos están dando y qué nos están pidiendo.
De eso vamos a tratar en este apartado, de resolver problemas en los que tengamos que interpretar el
enunciado, descubrir dónde se esconde el concepto de derivada que estamos estudiando y cómo aplicar
nuestros conocimientos hasta resolver el problema.
Un investigador está probando la acción de un fármaco sobre una
bacteria. Ha averiguado que el número de bacterias,
, varía con el
tiempo, en horas, una vez suministrado el fármaco, según la función:
a) ¿Cuántas bacterias había en el momento de suministrar el
medicamento? ¿Y al cabo de 10 horas?
bacterias había cuando se empieza el tratamiento
bacterias había al
cabo de 10 horas.
b) En ese momento, ¿El número de bacterias está creciendo o
disminuyendo?
10. Medicamento.
Wikimedia Commons
, luego, en el
momento inicial, el número de bacterias está creciendo a un ritmo de 3600 bacterias/hora. Sin
embargo,
a las 10 horas el número de bacterias está disminuyendo a un ritmo de
600 bacterias/hora.
c) ¿En qué momento la acción del fármaco es máxima?
¡Cuidado! no nos están preguntando cuándo tiene un máximo la función, es decir, no nos preguntan
cuándo el número de bacterias es máximo sino cuándo el medicamento hace que el número de
bacterias esté decreciendo con mayor rapidez. Para ello tenemos que averiguar cuándo la función
derivada tiene un mínimo.
Este mínimo se encontrará entre los puntos que anulen la derivada de la función derivada, es decir,
entre los puntos que anulen la derivada segunda:
que se anula para
horas y en ese momento
, es
decir, a las 8 horas y media de administrar el medicamento, el número de bacterias está decreciendo a
un ritmo de -735 bacterias/hora, que es cuando más eficaz está siendo.
d) ¿En qué momento empieza a notarse el efecto del fármaco?
Empezará a notarse cuando el número de bacterias empiece a disminuir, es decir, cuando la función
pase de creciente a decreciente, y en ese momento tendrá un máximo.
Matemáticas I
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Estudiamos el signo de
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en los intervalos
(0,5)
+
(5,12) (12,+∞)
-
+
crece decrece crece
A partir de las 5 horas de iniciarse el tratamiento empezará a notarse el efecto del medicamento y
adisminuir el número de bacterias.
e) ¿En qué momento empieza a perder su efecto el mediacmento?
A partir de las 12 horas de haberse iniciado el tratamiento, el número de bacterias empieza otra vez a
crecer, por lo que podemos concluir que el fármaco empieza a perder su efecto.
f) Representa gráficamente este proceso.
Fíjate que a las 8 horas y media, que es cuando el decrecimiento era más rápido, es cuando la función
cambia su comportamiento: antes de ese momento estaba decreciendo cada vez más rápido y
después de ese instante la función sigue decreciendo pero ya cada vez más lento hasta que deja de
decrecer. Ese punto es un punto de inflexión.
Un analista de juegos de azar ha comprobado empíricamente que
las ganancias, en euros, que proporciona cierto juego dependen del
tiempo que se esté jugando según la función
, donde
a) ¿Qué ganancias se obtienen al cabo de 10 minutos? ¿Y de una
hora?
11. Azar. Wikimedia Commons
€y
Matemáticas I
se mide en minutos
€
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b) Representa la función
Dominio:
Asíntotas: Verticales, no tiene. Horizontales,
, ya que
Puntos de corte con los ejes:
Puntos singulares:
, cuando
Crecimiento y decrecimiento: Si
función es decreciente. Por tanto, en el punto
, la función es creciente. Si
hay un máximo.
, la
c) Cuanto más tiempo se permanezca jugando, ¿es mayor la ganancia que se obtiene?
No, puesto que la función decrece a partir de los 20 minutos de juego.
d) ¿Cuándo se produce la mayor ganancia? ¿Cuál es esa ganancia?
A los 20 minutos de juego se están ganando 250 €
e) ¿A qué ritmo varía la función a los 10 minutos de juego? ¿Y a los 40 minutos? ¿Y a las 2 horas?
,
,
Es decir, a los 10 minutos de juego se está
ganando a razón de 12€/min, a los 40 minutos se está perdiendo a un ritmo de 3€/min y a las dos horas
el ritmo de pérdida es más lento, 0,64€/min.
f) ¿Puede ocurrir que si sobrepasa cierto tiempo, el juego dé pérdidas?
No, puesto que la función tiene como asíntota el eje OX, es decir, la función es decreciente
aproximándose a cero cada vez más, pero nunca tomará valores negativos.
Los miembros de una asociación ecologista fundada en 1980 variaron, durante los cinco primeros años,
según la función
donde son los años transcurridos.
a) ¿Cuántos fueron los socios fundadores?
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b) ¿En qué periodos aumenta el número de socios?
c) ¿Hubo alguna crisis en la asociación?
d) ¿Cuáles son las perspectivas de futuro a juzgar por lo que ocurre al quinto año de su
fundación?
Matemáticas I
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5.1. Problemas de optimización
12. Lata. Creative Commons
Los problemas de optimización de funciones son una de las aplicaciones más inmediatas e interesantes del
cálculo de derivadas.
A una empresa de transporte le interesa que el coste por kilómetro de sus viajes sea el menor posible , un
fabricante de determinado artículo intentará que el costo de fabricación por unidad sea el más bajo posible , a
un vendedor le interesará saber cuál ha de ser el precio de venta de su producto para obtener el mayor
beneficio posible.
Como puedes intuir, hay muchas situaciones reales en las que se plantea este tipo de problemas.
Estos problemas llamados de optimización , desde el punto de vista matemático se reducen a problemas de
determinación de máximos y mínimos absolutos de funciones de una variable real en determinados intervalos.
En este curso vamos a ver algunos ejemplos sencillos en los que el máximo o mínimo absoluto se encuentre
en uno de los extremos relativos. El procedimiento a seguir para suresolución será el siguiente:
Para optimizar una función deberemos:
Identificar o hallar la expresión analítica de la función que queremos optimizar.
Si la expresión anterior tiene más de una variable, relacionarlas mediante las condiciones del
enunciado y sustituir la primera expresión para que la función sólo dependa de una variable.
Establecer el intervalo de variación de la variable elegida.
Hallar los extremos relativos igualando a cero la derivada primera.
Comprobar si el extremo es máximo o mínimo.
Calcular el resto de las variables y el valor de la función optimizada.
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1. El propietario de un inmueble tiene alquilados los cuarenta pisos del mismo a 500 € al mes cada uno,
pero piensa que podría sacar mayores beneficios si aumentara el precio del alquiler. Decide intentarlo,
pero observa que, por cada 50€ de aumento en el precio del alquiler, pierde un inquilino, que se
traslada a un piso más económico. ¿Cuál es el precio del alquiler que más beneficios reporta al
propietario?
En primer lugar tenemos que escribir la expresión analítica de la función que queremos
optimizar. Observemos, mediante una tabla, cómo evolucionan los beneficios con cada subida de
precio:
nº de subidas de 50 €
0
1
2
3
...
x
nº de inquilinos
40
39
38
37
...
(40-x)
precio del alquiler
500
550
600
650
...
(500+50x)
beneficios
20000 21450 22800 24050 ... (40-x)(500+50x)
Por tanto, la función a optimizar es
.
El dominio de esta función es [0, 40], ya que no tendría sentido que el nº de inquilinos fuera
negativo.
Hallamos los extremos relativos:
cuando
Comprobamos que es un máximo:
y
, luego en
la función pasa de creciente a
decreciente.
El precio del alquiler que proporciona mayor beneficio es
€ . Habría
inquilinos y el propietario tendría unos beneficios de
€.
2. Se desea fabricar una lata cilíndrica de aluminio capaz de contener medio litro de líquido. Con el fin
de ahorrar material, se quiere dar al cilindro las dimensiones necesarias para que su superficie sea la
menor posible.
Supongamos que el cilindro tiene radio y altura . Pretendemos que el área total sea mínima.
Dicha área es la suma del área lateral y el área de las bases:
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3
Como la lata debe tener medio litro de capacidad, es decir, un volumen de 500 cm :
, por tanto,
. Sustituyendo en la expresión anterior
Derivamos la función para obtener los extremos
relativos:
cuando
Comprobamos que es un mínimo:
y
, luego para
la función pasa de decreciente a
creciente.
La altura, en ese caso, sería de 8,6 cm y la superficie
2
mínima de 349 cm . Esto significa que, cuando se
mira de lado, la lata es "cuadrada".
Si representamos la gráfica, o hacemos unos
cálculos, podemos observar que la variación de la superficie es muy pequeña si el radio es 3 cm
o 3,25 cm. Las latas más estrechas son más fáciles de sujetar y ésta puede ser la razón por la
que se comercializan menos latas "cuadradas".
1. Se desea construir cajas de cartón sin tapa partiendo de planchas de cartón
cuadradas de lado 30 cm. Para ello se recortan cuatro cuadrados iguales en cada
esquina y se dobla por la línea punteada como indica la figura. ¿Cuál deberá ser
la longitud de los cuadrados recortados para que el volumen de la caja sea
máximo? ¿Cuál será ese volumen máximo?
2. Nos planteamos ahora el problema inverso: Queremos construir una caja abierta de chapa y de base
cuadrada que tenga una capacidad de 4 litros. ¿Cuáles deben ser sus dimensiones para que la
cantidad de chapa sea mínima?
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Para finalizar, te proporcionamos una colección de ejercicios que debes hacer para consolidar lo que
has aprendido a lo largo de este tema.
* Ejercicios de consolidación
* Soluciones
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