ANALISIS DEL BIENESTAR DE UN CONSUMIDOR EJEMPLOS, APLICACIONES Y NUMEROS INDICES Contacto: Mª Covadonga De la Iglesia Villasol Departamento de Fundamentos del Análisis Económico I Universidad Complutense de Madrid [email protected] MEDIDAS DEL ANALISIS DEL BIENESTAR INTRODUCCIÓN MEDIDAS DEL ANÁLISIS DEL BIENESTAR: EXCEDENTE DEL CONSUMIDOR VARIACIÓN EQUIVALENTE VARIACIÓN COMPENSADA NÚMEROS INDICES: INDICES DE CANTIDADES, INDICES DE PRECIOS INDICE DEL COSTE DE LA VIDA Covadonga De la Iglesia Villasol. UCM MEDIDAS DEL ANALISIS DEL BIENESTAR INTRODUCCION INTRODUCCIÓN La figura central de la teoría de la demanda de los bienes es el consumidor. En un mercado competitivo la demanda de un bien se define como la elección óptima para el agente, dadas sus preferencias entre los bienes, para unos precios y renta determinados. La relación de preferencia ≥ definida sobre X = R+N, siendo x = ( x1 ,x2 ,...xN ), xi ≥ 0 ∀i = 1,..N , verifica los axiomas: • Relación completa • Relación simétrica • Relación transitiva • Relación continua • Relación Monótona • Relación estrictamente convexa Covadonga De la Iglesia Villasol. UCM MEDIDAS DEL ANALISIS DEL BIENESTAR INTRODUCCION Si M representa la renta del consumidor y U( x ) es la función de utilidad que representa sus preferencias, el consumidor racional elige la combinación o cesta de bienes óptima. A continuación, y a modo de resumen se especifican las relaciones entre las funciones asociadas en el problema de elección del consumidor: Covadonga De la Iglesia Villasol. UCM MEDIDAS DEL ANALISIS DEL BIENESTAR INTRODUCCION P R IM A L DUAL M axx U ( x ) ⎫ ⎬ sa : px ≤ M ⎭ ⎫⎪ ⎬ s a : U ( x ) ≤ U ⎪⎭ M in x p x RESOLVEM OS D E M A N D A S O R D IN A R IA S M A R SH A LL IA N A S DEM AN DAS CO M PEN SADA S H IC K SIA N A S x M ( p ,M ) x H ( p ,U ) FU N C IO N IN D IR E C T A D E U T IL ID A D F U N C IO N D E G A ST O V ( P ,M ) = U (x ( p,M )) G ( p ,U ) = p .x H ( p ,U ) M E C U A C IO N D E R O Y x iM ∂V ( p ,M ) ∂pi ( p ,M ) = − ∂V ( p ,M ) ∂M T E O R E M A D E H O T E LLIN G x iH ( p ,U ) = ∂ G ( p ,U ) ∂pi xM ( p,M ) = xM ( p,G( p,U)) = x H ( p,U ) xH ( p,U ) = xH ( p,V( p,M)) = x M ( p,M) Covadonga De la Iglesia Villasol. UCM MEDIDAS DEL ANALISIS DEL BIENESTAR EXCEDENTE DEL CONSUMIDOR MEDIDAS DEL ANÁLISIS DE BIENESTAR EXCEDENTE DEL CONSUMIDOR Medida muy utilizada del cambio en el nivel de bienestar ocasionado por cambios en los precios, principalmente en el análisis coste-beneficio. La medida fue formulada en 1850 por el ingeniero francés Dupuit, como una medida del bienestar generado por la construcción de un puente, y que sirviera de base para definir el subsidio adecuado. Dupuit partía de considerar que la mayoría de las personas estarían dispuestas a pagar un precio mayor por la utilización del puente que el que realmente terminaban pagando. Marshall retoma el concepto y lo define como la diferencia entre el máximo gasto que un consumidor está dispuesto a realizar por adquirid el bien y el que realmente efectúa. Covadonga De la Iglesia Villasol. UCM MEDIDAS DEL ANALISIS DEL BIENESTAR EXCEDENTE DEL CONSUMIDOR De esta forma, es una medida aproximada de la variación en el grado de bienestar del consumidor, que es exacta cuando las preferencias son paralelas (CUASILINEALES) y el efecto renta sobre el bien cuyo precio varía es nulo, es decir, cuando la demanda marshalliana y hicksiana para dicho bien coinciden. xi = xi M ( p,M ) M [ p = p ( x )] , refleja , la curva de demanda en términos inversos A partir de la demanda marshalliana de un bien la máxima disponibilidad a pagar por cada unidad adicional consumida de un bien por parte de los consumidores. Si la curva de demanda tiene una pendiente negativa, el precio que los consumidores estarían dispuestos a pagar por cada unidad adicional se reduce cuando se incrementa la cantidad consumida. Sin embargo, como los consumidores pagan un único precio por todas las unidades compradas, obtienen un excedente que es la suma de las diferencias entre lo que estarían dispuestos a pagar por cada unidad y dicho precio. Covadonga De la Iglesia Villasol. UCM MEDIDAS DEL ANALISIS DEL BIENESTAR EXCEDENTE DEL CONSUMIDOR Gráficamente, este excedente coincide con el área situada entre la función de demanda y el precio de venta hasta0 la 0 cantidad demandada. Así, para un precio pi y una cantidad x i , el excedente, EC, se calcula como: EC( p ) = 0 i xi0 0 0 M p( x )dx − p xi i i ∫ N 0 gasto disponibilidad a pagar EXCEDENTE BRUTO y gráficamente: p EC ga sto pi0 p i (x) O xi0 xi Covadonga De la Iglesia Villasol. UCM MEDIDAS DEL ANALISIS DEL BIENESTAR EXCEDENTE DEL CONSUMIDOR 0 1 p a p Si el precio varía y pasa de i i , la variación en el excedente del consumidor, VarEC, mide la variación en el grado de bienestar del consumidor: 0 1 pi xi VarEC = EC( p ) − EC( p ) = ∫ 1 x ( pj )dpj = EC = ∫ 0 p( xiM )dxi + ( pi0 xi0 − pi1xi1 ) 1 i Gráficamente: 1 i pi M i M xi p VarEC pi 0 pi 1 pi (x) O xi0 xi1 xi Covadonga De la Iglesia Villasol. UCM MEDIDAS DEL ANALISIS DEL BIENESTAR VARIACION COMPENSADA VARIACION COMPENSADA La variación compensada (VC) asociada a un cambio en el precio de pi0 a pi1 se define como la renta con que habría que compensarle al consumidor (darle o quitarle, respectivamente, en el caso de un aumento o una disminución del precio) para obtener el nivel de utilidad inicial U0 a los nuevos precios. Es decir, en el caso de una subida de precios habría que darle una renta igual a la VC para mantener la utilidad inicial a pesar del cambio en los precios: VC ≡ G( pi1 ,U 0 ) − G( pi0 ,U 0 ) = ∫ 1 pi pi0 ∂G( p,U 0 ) dpi ∂pi = N por Hotelling ∫ 1 pi pi0 xiH ( p,U 0 )dpi Covadonga De la Iglesia Villasol. UCM MEDIDAS DEL ANALISIS DEL BIENESTAR VARIACION EQUIVALENTE VARIACION EQUIVALENTE La variación equivalente (VE) asociada a un cambio en el precio de pi0 a pi1 se define como la renta con que habría que compensarle al consumidor (quitarle o darle, respectivamente, en el caso de un aumento o una disminución del precio) para dejarle con el nivel de utilidad final U1 a los precios iniciales. Es decir, en el caso de una subida de precios, necesitaría un desembolso igual a la VE para encontrase tan satisfecho como antes de la subida de los precios. VE ≡ G( pi1 ,U 1 ) − G( pi0 ,U 1 ) = ∫ 1 pi pi0 ∂G( p,U ) dpi ∂pi 1 = N por Hotelling ∫ 1 pi pi0 xiH ( p,U 1 )dpi Covadonga De la Iglesia Villasol. UCM MEDIDAS DEL ANALISIS DEL BIENESTAR Gráficamente vemos la diferencia entre los distintos conceptos : pi x i e s u n b ie n n o rm a l x iH ( p ,U 0 ) x iH ( p ,U 1 ) A <0 B p i0 p i1 M dx iM dx iH M dx i = − x1 dp dp dM i N Ni D ≤0 <0 dx iM dx iH dpi dpi > ⇒ < dpi dpi dx iM dx iH E x iM ( p , M ) x i0 x i1 ⎫ ⎪ ↓ p i : V E = p i0 B D p i1 < 0 ⎬ V E > V a rE C > V C ⎪ V a r E C = p i0 A D p i1 > 0 ⎭ V C = p i0 A E p i1 < 0 Nótese que la variación en el nivel de bienestar lleva el mismo signo que la variación del excedente del consumidor, y el signo contrario a la VC y la VE. Covadonga De la Iglesia Villasol. UCM MEDIDAS DEL ANALISIS DEL BIENESTAR UTILIDAD PRACTICA El concepto de VE se utiliza, a menudo, para medir las alteraciones de bienestar ocasionadas por las imposiciones indirectas. Por ejemplo, supongamos que se impone un gravamen de cuantía t por unidad consumida del bien, y el precio que paga el consumidor sube hasta p+t. Si se le devuelve la recaudación impositiva, ¿el consumidor estaría mejor o peor que antes de que se estableciera la imposición indirecta?. Si el consumidor estuviera peor sería porque el impuesto indirecto impone un “gravamen” superior a la cuantía del impuesto en sí. A este exceso de gravamen (EG) se le llama “deadweight loss”. Veámoslo Covadonga De la Iglesia Villasol. UCM MEDIDAS DEL ANALISIS DEL BIENESTAR Para solo dos bienes, i, k, si solo se grava el bien i, la restricción presupuestaria nos queda: ( pi 0 + t )xi + pk 0 xk = M ⇔ pi 0 xi + pk 0 xk = M − txi ˆ i , xˆ k , cuando los precios Si las demandas tras el gravamen son, x pasan de , la pérdida del bienestar que pi0 a pi1 = pi0 + t experimenta el consumidor puede calcularse como: VE ≡ G( pi1,Uˆ ) − G( pi0 ,Uˆ ) Si al consumidor se el devuelve la recaudación impositiva, T = txˆ i la diferencia entre la VE y dicha recaudación sería una medida del exceso de pérdida de bienestar ocasionada por el gravamen, es decir, EG = VE − txˆ i MEDIDAS DEL ANALISIS DEL BIENESTAR Por tanto: EG = VE − txˆ i = G( pi1 ,Uˆ ) − G( pi0 ,Uˆ ) − txˆ i = M − G( pi0 ,Uˆ ) − txˆ i M EG = M − txˆ i − G( pi0 ,Uˆ ) = 0 H 1 ˆ 0 H 0 ˆ p x ( p ,U ) p x ( p − ∑ i i ∑ i i ,U ) ≠ 0 I =1,2 I =1,2 Gráficamente: RB0 recta inicial RB1 recta con impuesto Recta que determina G( p,Uˆ ) X2 A Recta que determina pi0 xiH ( p,Uˆ ) VE EG x0 x̂ ES RB 0 RB1 X1 Covadonga De la Iglesia Villasol. UCM MEDIDAS DEL ANALISIS DEL BIENESTAR EJEMPLO DE CALCULO Si las preferencias de un consumidor vienen representadas por la función de utilidad Cobb-Douglas, U( x1 ,x2 ) = x1x2 1. Hallar la función de demanda marshalliana y hicksiana de ambos bienes. 2. Hallar la función indirecta de utilidad y la función de gastos. Si los precios de los bienes y la renta del consumidor son, respectivamente, p1=p2=10, M=100, y se establece un impuesto sobre el consumo del bien 1 de 2,5 unidades monetarias, 3. Calcular la ganancia o pérdida de bienestar producida por la imposición. 4. Si al consumidor se le devuelve la recaudación del impuesto, calcular si existe un excedo de gravamen. Covadonga De la Iglesia Villasol. UCM MEDIDAS DEL ANALISIS DEL BIENESTAR RESOLVEMOS: 1) y 2) Para calcular el equilibrio resolvemos el problema Max U( x1 , x2 ) = x1x2 ⎫⎪ x1 ,x2 ⎬ s.a. p1x1 + p2 x2 = M ⎪⎭ Al ser regulares las preferencias el consumidor, las condiciones de primer orden de este problema son dy dx = U dy dx ⇒− RB x2 p = − 1 ⇒ x2 p2 = x1p1 x1 p2 p1x1 + p2 x2 = M Si resolvemos este problema en forma paramétrica, obtendremos las funciones de demanda marshallianas M 1 x M = 2 p1 x2 M M = 2 p2 Covadonga De la Iglesia Villasol. UCM MEDIDAS DEL ANALISIS DEL BIENESTAR Y sustituyendo en la función de utilidad obtenemos la función indirecta de utilidad: 2 M M M = V( p1 ,p2 ,M ) = x1M x2M = 2 p1 2 p2 4 p1p2 Para hallar las funciones de demanda hicksianas resolvemos el problema dual o bien a partir de la función indirecta de utilidad derivamos la función de gasto y aplicamos el teorema de Hotelling: Si resolvemos el problema dual tenemos: Min x1 ,x2 s.a. p1x1 + p2 x2 ⎪⎫ ⎬ U( x1 , x2 ) = x1x2 ⎪⎭ Covadonga De la Iglesia Villasol. UCM MEDIDAS DEL ANALISIS DEL BIENESTAR Las condiciones de primer orden de este problema son: dy dx = U dy dx ⇒− RB x2 p = − 1 ⇒ x2 p2 = x1p1 x1 p2 U( x1 , x2 ) = x1x2 Si resolvemos este problema en forma paramétrica, obtendremos las funciones de demanda hicksianas: 1/ 2 x1H ⎛ Up2 ⎞ =⎜ ⎟ p ⎝ 1 ⎠ 1/ 2 x2M ⎛ Up1 ⎞ =⎜ ⎟ p ⎝ 2 ⎠ , siendo la función de gasto: 1/ 2 ⎛ Up2 ⎞ H H G( p1 , p2 ,M ) = p1x1 + p2 x2 = p1 ⎜ ⎟ p ⎝ 1 ⎠ 1/ 2 ⎛ Up1 ⎞ + p2 ⎜ ⎟ p ⎝ 2 ⎠ = 2( p1p2U )1 / 2 Covadonga De la Iglesia Villasol. UCM MEDIDAS DEL ANALISIS DEL BIENESTAR Nótese que si de la función indirecta de utilidad obtenemos la función de gasto y aplicamos el teorema de Hotelling, tendríamos, igualmente, las demandas hicksianas: M2 V ( p1 , p2 ,M ) = 4 p1p2 G2 1/ 2 = ⇒ = 2 G ( p p U ) 1 2 O 4 p p en equilibrio 1 2 M =G;V =U 1/ 2 1/ 2 ⎧ ⎛ Up ⎞ ∂G( p1 ,p2 ,U ) ∂ 2( p1p2U ) ⎪ x1 = = =⎜ 2⎟ ∂p1 ∂p1 ⎪ ⎝ p1 ⎠ ⎨ 1/ 2 ⎪ ∂G( p1 ,p2 ,U ) ∂ 2( p1p2U )1 / 2 ⎛ Up1 ⎞ = =⎜ ⎟ ⎪ x2 = p p p ∂ ∂ 2 2 ⎝ 2 ⎠ ⎩ 3) Si los precios de los bienes y la renta del consumidor son, respectivamente, p1=p2=10, M=100, y se establece un impuesto sobre el consumo del bien 1 de 2,5 unidades monetarias, la pérdida de bienestar la podemos calcular a través de la Variación compensada (VC) o equivalente (VE). Covadonga De la Iglesia Villasol. UCM MEDIDAS DEL ANALISIS DEL BIENESTAR Sustituyendo en las funciones de demanda obtenidas los valores de renta y precios, tenemos el consumo de equilibrio del consumidor, y la utilidad obtenida en esta situación: x10 = 100 = 5; 2 ⋅ 10 x20 = 100 = 5; 2.10 U 0 ( 5, 5 ) = 5.5 = 25 Tras la imposición indirecta sobre el bien 1, su precio pasa a ser: p11 = p10 + t = 10 + 2, 5 = 12, 5 , y el nuevo equilibrio será: 100 x = = 4; 2 ⋅ 12, 5 1 1 100 x = = 5; 2.10 1 2 U 1( 4, 5 ) = 4.5 = 20 Como consecuencia de dicha imposición indirecta, el consumidor 1 0 experimenta una pérdida de bienestar, U < U , que medimos a partir de la VC y VE: Covadonga De la Iglesia Villasol. UCM MEDIDAS DEL ANALISIS DEL BIENESTAR /2 VC ≡ G( pi1 ,U 0 ) − G( pi0 ,U 0 ) = 2( 12,5.10.25 )1 / 2 − 2 ( 10 . 10 . 25 ) = M =100 = 111,80 − 100 = 11,80 renta que habría que darle al consumidor para que tras el impuesto pueda seguir obteniendo la utilidad inicial. 1/ 2 /2 VE ≡ G( pi1 ,U 1 ) − G( pi0 ,U 1 ) = 2 ( 12 , 5 . 10 . 20 ) − 2 ( 10 . 10 . 20 ) = M =100 = 100 − 89, 4 = 10, 6 renta que el consumidor estaría dispuesto a entregar para no verse obligado a pasar a la situación final Covadonga De la Iglesia Villasol. UCM MEDIDAS DEL ANALISIS DEL BIENESTAR Alternativamente, tenemos que: 1 p1 1/ 2 VE = ∫ 0 x ( p,U )dp1 = ∫ p1 H 1 1 12 ,5 10 ⎛ 10 ⎞ ⎜ 20 ⎟ p1 ⎠ ⎝ dp1 = 200 1/ 2 12 ,5 ⎡⎣ 2 p11 / 2 ⎦⎤ = 10, 6 10 Nótese que tanto la VC como la VE son positivas, pues muestran la pérdida de bienestar. La recaudación derivada de la imposición indirecta es tx1 = 2, 5.4 = 10 u.m., y el exceso de gravamen, EG, será: EG = VE − txˆ i = 10, 6 − 10 = 0, 6 EG = ∑ p 0 x H ( p1 ,Uˆ ) − ∑ p 0 x H ( p0 ,Uˆ ) = I =1,2 i i I =1,2 i i = ( 10.4 + 10.5 ) − (10( 20 )1 / 2 + 10( 20 )1 / 2 ) = 90 − 89, 4 = 0, 6 Covadonga De la Iglesia Villasol. UCM MEDIDAS DEL ANALISIS DEL BIENESTAR. NUMEROS INDICES NUMEROS INDICES INTRODUCCION Si conocemos el consumo de un individuo en períodos de tiempo distintos, y queremos analizar la variación del consumo de un período de tiempo a otro, utilizamos números índices. Si denotamos con “b” al periodo de tiempo base, y con “t” a algún otro período de tiempo, siendo la senda de consumo observado: período b xb periodo b+1 xb+1 periodo t xt Si las variables observadas “x” son cantidades físicas, la comparación entre las distintas cestas de consumo nos determina dicha evolución, al ser unidades comparables. El índice a construir sería: t x ≥, ≤ 1 b x Covadonga De la Iglesia Villasol. UCM MEDIDAS DEL ANALISIS DEL BIENESTAR. NUMEROS INDICES El problema surge cuando, y esto es lo normal en el trabajo empírico, la información observada no son cantidades físicas, sino valores, para lo cual se definen los índices de cantidades y/o precios de Paasche o Laspeyres. INDICES DE CANTIDADES Sean pb, pb+1,…, pt los precios de X en cada período de tiempo ( b, b+1...t), y por tanto la senda observada es: período b periodo b+1 periodo t pbxb pb+1xb+1 ptxt Para comparar los valores o consumos en una unidad monetaria (€, o $, etc), ha de hacerse a los mismos precios, es decir a los del año base o los del año t, para lo cual se definen los siguientes números índices. Covadonga De la Iglesia Villasol. UCM MEDIDAS DEL ANALISIS DEL BIENESTAR. NUMEROS INDICES N INDICE PAASCHE DE CANTIDADES pt x t Px = t b = px ∑p i =1 N i t xi t t b p x ∑ i i i =1 índice de cantidades, donde la ponderación son los precios pt N INDICE LASPEYRES DE CANTIDADES Lx = b t p x = b b p x ∑p i =1 N i b xi t b b p ∑ i xi i =1 índice de cantidades, donde la ponderación son los precios pb Covadonga De la Iglesia Villasol. UCM MEDIDAS DEL ANALISIS DEL BIENESTAR. NUMEROS INDICES En ambos casos, si el índice Px ,Lx > 1 ( < 1) indica que el valor del consumo medio entre los periodos aumenta (disminuye), pero ¿qué podemos decir de la variación del nivel de bienestar? Veámoslo: De forma simplificada consideramos dos únicos bienes, x1, x2: • Si p1t x1t + p2t x2t t t t t t b t b Px = t b > 1 ⇒ p x + p x > p x + p x 1 1 2 2 1 1 2 2 p1 x1 + p2t x2 b Aplicando la teoría de la Preferencia revelada, podemos afirmar que xt y xb son cestas factibles en la situación final (precios pt). Si eligió la cesta xt, pudiendo haber elegido la cesta xb, decimos que xt>xb, es decir la cesta xt se revela preferida a la cesta xb. El consumidor está mejor en la situación final: el bienestar del consumidor aumentó Covadonga De la Iglesia Villasol. UCM MEDIDAS DEL ANALISIS DEL BIENESTAR. NUMEROS INDICES • Si p1t x1t + p2t x2t t t t t t b t b Px = t b < 1 ⇒ p x + p x < p x + p x 1 1 2 2 1 1 2 2 p1 x1 + p2t x2 b Aplicando la teoría de la Preferencia revelada, podemos afirmar que en la situación final (precios pt), cuando el consumidor eligió xt, la cesta xb no es factible No podemos afirmar nada sobre la evolución del nivel de bienestar del consumidor • Si p1b x1t + p2 b x2t b t b t b b b b Lx = b b > ⇒ p x + p x > p x + p x 1 1 1 2 2 1 1 2 2 p1 x1 + p2 b x2 b Aplicando la teoría de la Preferencia revelada, solo podemos afirmar que en la situación inicial (precios pb) xt no es una cesta factible . No podemos hacer ninguna consideración sobre la variación en el nivel de bienestar del Covadonga De la Iglesia Villasol. UCM MEDIDAS DEL ANALISIS DEL BIENESTAR. NUMEROS INDICES • Si p1b x1t + p2 b x2t b t b t b b b b 1 Lx = b b < ⇒ p x + p x < p x + p x 1 1 2 2 1 1 2 2 p1 x1 + p2 b x2 b Aplicando la teoría de la Preferencia revelada, podemos afirmar que xt y xb son cestas factibles en la situación inicial (precios p0). Si eligió la cesta xb, pudiendo haber elegido la cesta xt, decimos que xb>xt, es decir la cesta xb se revela preferida a la cesta xt. El consumidor está mejor en la situación inicial: el bienestar del consumidor disminuyó Covadonga De la Iglesia Villasol. UCM MEDIDAS DEL ANALISIS DEL BIENESTAR. NUMEROS INDICES INDICES DE PRECIOS Son medias ponderadas de los precios, y se construyen de una forma semejante a los índices de cantidades vistos: N INDICE PAASCHE DE PRECIOS pt x t PP = b t = p x t t p x ∑ i i i =1 N b t p ∑ i xi i =1 índice de precios, donde la ponderación son las cantidades xt N INDICE LASPEYRES DE PRECIOS Lp = t b px = b b p x ∑p t ∑p b i =1 N i xi b xi b i =1 i índice de precios, donde la ponderación son las cantidades xb Covadonga De la Iglesia Villasol. UCM MEDIDAS DEL ANALISIS DEL BIENESTAR. NUMEROS INDICES En ambos casos, si el índice Pp ,Lp > 1 ( < 1) , dado que los precios en el numerador y denominador son distintos, no permiten realizar comparaciones en términos de la teoría de la preferencia revelada ni afirmar cual ha sido la evolución del nivel de bienestar. Para poder decir algo más definimos el índice de gasto: N INDICE DE GASTOS t t px M= b b = p x ∑p i =1 N i t xi t b b p ∑ i xi i =1 Cociente entre el gasto final e inicial Si, de nuevo, consideramos dos únicos bienes, x1, x2, comparamos los índices de Paasche y Laspeyres con el de gasto: Covadonga De la Iglesia Villasol. UCM MEDIDAS DEL ANALISIS DEL BIENESTAR. NUMEROS INDICES p1t x1t + p2t x2t p1t x1t + p2t x2t b b b b b t b t > ⇒ + > + p Pp > M ⇔ t b p x p x p x 1 1 2 2 1 1 2 x2 t b b b b b p1 x1 + p2 x2 p1 x1 + p2 x2 b M Aplicando la teoría de la Preferencia revelada, podemos afirmar que xt y xb son cestas factibles en la situación inicial (precios p0). Si eligió la cesta xb, pudiendo haber elegido la cesta xt, decimos que xb>xt, es decir la cesta xbse revela preferida a la cesta xt. El índice de Paasche es mayor que el de gasto (renta): El consumidor disfruta de un mayor nivel de bienestar en la situación base: el bienestar del consumidor disminuyó Covadonga De la Iglesia Villasol. UCM MEDIDAS DEL ANALISIS DEL BIENESTAR. NUMEROS INDICES p1bx1t + p2bx2t p1t x1t + p2t x2t t t t t t b t b Lp < M ⇔ b b p x p x p x < ⇒ + > + p 1 1 2 2 1 1 2 x2 b b b b b b p1 x1 + p2 x2 p1 x1 + p2 x2 t M Aplicando la teoría de la Preferencia revelada, podemos afirmar que xt y xb son cestas factibles en la situación final (precios pt). Si eligió la cesta xt, pudiendo haber elegido la cesta xb, decimos que xt>xb, es decir la cesta xt se revela preferida a la cesta xb. El índice de Laspeyres es menor que el de gasto (renta): El consumidor disfruta de un mayor nivel de bienestar en la situación final: el bienestar del consumidor aumentó En el resto de los casos no podemos afirmar nada sobre la evolución del bienestar. Covadonga De la Iglesia Villasol. UCM MEDIDAS DEL ANALISIS DEL BIENESTAR. NUMEROS INDICES Gráficamente: X2 L Analizamos una subida de consideramos p2 como NUMERARIO A p1 RBb recta inicial RBt recta con impuesto Recta que determina pb xt Recta que determina pb xt P x xb t RB 0 RB1 X1 Covadonga De la Iglesia Villasol. UCM y MEDIDAS DEL ANALISIS DEL BIENESTAR. NUMEROS INDICES Como sabemos: Lp = t b p x OL = b b p x OA Si la renta se indicia según Lp , podríamos mejorar el bienestar al poder pasar a una curva de indiferencia superior ⇒ Lp sobreestima el coste de mantener el mismo nivel de bienestar Si la renta se indicia según Pp , no le permitiría pt xt OA Pp = b t = p x OP Como M no cambia, obtener el nivel de utilidad inicial ⇒ Pp subestima el coste de mantener el mismo nivel de bienestar al aumentar el precio OA M= =1 OA Covadonga De la Iglesia Villasol. UCM MEDIDAS DEL ANALISIS DEL BIENESTAR. NUMEROS INDICES INDICES VERDADEROS DEL COSTE DE LA VIDA Si conocemos la función de gasto, podemos definir los índices verdaderos del coste de la vida, es decir, el índice de la variación compensada y variación equivalente. Para mantener el nivel de utilidad Ub a los precios pt, la renta nominal debería variar en: t b G( p ,U ) VC b b = +1 IV(U ) = IVC(U ) = b b b b G( p ,U ) G( p ,U ) Para conseguir el nivel de utilidad Ut a los precios pb, , la renta nominal debería variar en: t t G( p ,U ) VE t t IV(U ) = IVE(U ) = = +1 b t b t G( p ,U ) G( p ,U ) Covadonga De la Iglesia Villasol. UCM MEDIDAS DEL ANALISIS DEL BIENESTAR. NUMEROS INDICES Si Comparamos estos conceptos gráficamente, tenemos: X2 Analizamos una subida de p1 y consideramos p2 como NUMERARIO L V RBb recta inicial RBt recta con impuesto Recta que determina (pb,xt) A Recta que determina G(pb,Ut) Recta que determina (pt,xb) Recta que determina G(pt,U0) P W xb xt RB b RBt X1 Covadonga De la Iglesia Villasol. UCM