M535: Edificio “torcido”

M535: Edificio “torcido”
A) PRESENTACIÓN DEL PROBLEMA
En la arquitectura moderna, muchas veces los edificios tienen formas inusuales. La
siguiente fotografía muestra un modelo computacional de un edificio “torcido” y el
plano de su “primer nivel”. Se indica la orientación del edificio en la parte inferior.
N
N
E
O
O
E
S
S
El primer nivel del edificio contiene la entrada principal y tiene espacio para tiendas.
Arriba hay 20 pisos con departamentos.
El plano de cada piso es similar al primer nivel, pero cada uno tiene una orientación
ligeramente diferente del anterior. El cilindro central contiene el elevador y una
entrada a cada piso.
B) PREGUNTAS DEL PROBLEMA
Pregunta 1
Estima la altura total del edificio en metros. Explica cómo encontraste la
respuesta.
Pregunta 2
Las siguientes figuras muestran vistas laterales del edificio torcido.
Vista lateral 1
Vista lateral 2
¿Desde qué dirección se ha dibujado la vista lateral 1?
A
B
C
D
Del Norte
Del Oeste
Del Este
Del Sur
Pregunta 3
¿De qué dirección se ha dibujado la vista lateral 2?
A
B
C
D
Del Noroeste
Del Noreste
Del Suroeste
Del Sur Este
Pregunta 4
Cada piso que contiene departamentos tiene un cierto “giro” con respecto al primer
nivel. El piso superior (el piso 20 arriba del primer nivel) está en ángulo recto con
respecto al primer nivel.
El siguiente dibujo representa el primer nivel
Dibuja en este mismo diagrama el plano del piso 10 arriba del primer nivel,
mostrando cómo este piso está situado en respecto al primer nivel.
C) SOLUCIÓN DIRECTA DEL PROBLEMA
Pregunta 1
Podemos suponer que cada piso tiene una altura aproximada de 3 metros, por lo tanto
podemos multiplicar 21 pisos (el primer nivel mas los 20 pisos) por 3 metros de altura
de cada piso: (21) (3) = 63 metros.
Pregunta 2
C. Del Este. Como el edificio en su piso inferior tiene su lado mayor con orientación
perfectamente “Este-Oeste” y en su último piso, su lado mayor tiene una orientación
perfectamente “Norte-Sur”, la única forma en que el observador vea completo el piso
superior es estando perpendicular al mismo, por lo que el punto de observación puede
ser el Oeste o el Este, pero como se ve completamente el cuerpo cilíndrico de los
elevadores, entonces el punto de observación solo puede ser el Este.
Pregunta 3
D. Del Sureste. Dado que en la vista, en el piso más inferior, puede verse el lado corto
del rectángulo pero no completamente sino en forma parcial y ésta vista se va
recortando hasta no ser visible y nunca es visible el lado corto opuesto, el único ángulo
de visión que permite ver este efecto es la vista Sur-Este.
Si estuviéramos en la vista Este se vería completamente el lado corto del primer piso
pero no sería visible nada del lado largo dado que éste tiene una orientación totalmente
Este-Oeste y si estuviéramos en la vista Sur, veríamos completamente en el primer
nivel el lado largo del edificio y el cilindro del cubo de elevadores sin ver el lado corto
del edificio. La única vista que permite ver ambas y parte de la cara corta este, es la
vista Sur-Este
Pregunta 4
El siguiente dibujo muestra la inclinación del piso 10 con respecto al primer
nivel:
Piso 10
Piso 20
90°
Planta
Baja
Dado que en el primer nivel la orientación del lado largo del edificio es Este-Oeste, (0º
de rotación) y en el piso 20 por encima del primer nivel la orientación del lado largo es
Norte-Sur, (90º), y la variación del giro entre pisos podemos suponerla constante, a la
mitad de la distancia, es decir 10 pisos por encima del primer nivel, que es la mitad de
la altura total para alcanzar el giro de 90º, podemos concluir que el ángulo de giro es
entonces exactamente la mitad del total, es decir, 45º.
D) CRITERIOS DE EVALUACIÓN DEL PROBLEMA SEGÚN LOS
ESTÁNDARES DE PISA
INTENCION DE LA PREGUNTA 1
Evaluar la habilidad del estudiante para estimar la altura de un edificio si se
proporcionan el número de pisos.
Criterio de evaluación para la pregunta 1
Código 2: Se aceptan respuestas en un rango de 50 a 90 metros si se proporciona
una explicación correcta.
Código 1: El método de cálculo es correcto y la explicación, pero se usan 20 pisos en
lugar de 21.
Código 0: Otras respuestas, incluyendo respuestas sin explicación, respuestas con
número incorrecto de pisos, y respuestas que usan una estimación no razonable de la
altura de cada piso (4 m será el límite para la altura).
Código 9: Sin respuesta.
INTENCION DE LA PREGUNTA 2
Evaluar la habilidad del estudiante para visualizar una figura tridimensional desde
distintas perspectivas.
Criterio de evaluación para la pregunta 2
Código 1: C. Del Este
Código 0: Otras respuestas.
Código 9: Sin respuesta.
INTENCION DE LA PREGUNTA 3
Evaluar la habilidad del estudiante para visualizar una figura tridimensional desde
distintas perspectivas.
Criterio de evaluación para la pregunta 3
Código 1: D. Del Sureste
Código 0: Otras respuestas.
Código 9: Sin respuesta.
INTENCION DE LA PREGUNTA 4
Evaluar la habilidad del estudiante para analizar la rotación de una figura
tridimensional.
Criterio de evaluación para la pregunta 4
Código 2: Un dibujo correcto, indicando el punto de rotación y la dirección
contra las manecillas del reloj. Se aceptan ángulos entre 40° y 50°.
Código 1: Uno de los siguientes datos es incorrecto: ángulo de rotación,
punto de rotación ó la dirección de rotación.
Código 0: Otras respuestas.
Código 9: Sin respuesta.
E) SOLUCIÓN COMENTADA DEL PROBLEMA SEGÚN EL PROCESO DE
MATEMATIZACIÓN EN EL MARCO PISA.
Identificación de un problema
matemático.
El problema que se plantea consiste en analizar las vistas
de un edificio y el plano de su primer nivel. Se muestra
una fotografía del mismo y el estudiante deberá analizar
sus diferentes vistas.
El problema pertenece al dominio de espacio y forma y es
necesario que el estudiante tenga habilidades para el
análisis de figuras tridimensionales.
Identificación de los elementos
matemáticos asociados al
problema, reorganización del
problema en términos de las
matemáticas identificadas.
Se muestra la siguiente fotografía del edificio:
Y el diagrama de la planta del primer nivel:
El primer nivel del edificio contiene la entrada principal y
tiene espacio para tiendas. Arriba hay 20 pisos con
departamentos.
El plano de cada piso es similar al primer nivel, pero cada
uno tiene una orientación ligeramente diferente del
anterior. El cilindro central contiene el elevador y una
entrada a cada piso.
El alumno deberá de analizar la fotografía y el plano para
contestar las preguntas:
Pregunta 1
Estima la altura total del edificio en metros. Explica
cómo encontraste la respuesta.
Pregunta 2
Las siguientes figuras muestran son vistas laterales
del edificio torcido.
vista lateral 1
¿Desde qué dirección se ha dibujado la vista lateral 1?
A
Del Norte
B
Del Oeste
C
Del Este
D
Del Sur
Pregunta 3
Las siguientes figuras muestran son vistas laterales del
edificio torcido.
vista lateral 2
¿Desde qué dirección se ha dibujado la vista lateral 2?
A
Del Norte
B
Del Oeste
C
Del Este
D
Del Sur
Pregunta 4
Cada piso que contiene departamentos tiene un cierto
“giro” con respecto al primer nivel. El piso superior (el piso
20 arriba del primer nivel) está en ángulo recto con
respecto al primer nivel.
El siguiente dibujo representa el primer nivel:
Abstracción matemática
progresiva de la realidad
Para la pregunta 1, en donde se pide estimar la altura
aproximada del edificio, se puede hacer la suposición de
que cada piso tiene altura promedio de 3 metros por lo
tanto podemos multiplicar 21 pisos (el primer nivel más los
20 pisos) por 3 metros de altura de cada piso.
Para la pregunta 2 y 3 a partir de la fotografía
podemos analizar las diferentes vistas para
compararlas con las vistas laterales 1 y 2. La idea
es observar a detalle las características de las
caras del edificio y el cilindro del elevador central.
También puede ser de utilidad considerar el plano
del primer nivel, de manera que ayude a colocarse
como observador desde la posición correcta.
En el caso de la pregunta 2, como el edificio en su
piso inferior tiene su lado mayor con orientación
perfectamente “Este-Oeste” y en su último piso, su
lado mayor tiene una orientación perfectamente
“Norte-Sur”, la única forma en que el observador
vea completo el piso superior es estando
perpendicular al mismo, por lo que el punto de
observación puede ser el Oeste o el Este, pero
como se ve completamente el cuerpo cilíndrico de
los elevadores, entonces el punto de observación
solo puede ser el Este.
Para la pregunta 3, dado que en la vista en el piso inferior,
puede verse el lado corto del rectángulo pero no
completamente sino en forma parcial y esta vista se va
recortando hasta no ser visible y nunca es visible el lado
corto opuesto, el único ángulo de visión que permite ver
este efecto es la vista Sur-Este.
Si estuviéramos en la vista Este se vería completamente el
lado corto del primer piso pero no sería visible nada del
lado largo dado que éste tiene una orientación totalmente
Este-Oeste y si estuviéramos en la vista Sur, veríamos
completamente en el primer nivel el lado largo del edificio y
el cilindro del cubo de elevadores sin ver el lado corto del
edificio. La única vista que permite ver ambas y parte de la
cara corta este, es la vista Sur-Este
Para la pregunta 4, se pide calcular el giro con
respecto al primer piso, considerando que el piso
superior está en ángulo recto, podemos considerar
que para el piso 10 será la mitad del ángulo de giro.
Podemos comprender cada piso como una misma
figura plana girando en torno a un radio de giro que
está ubicado en el centro del cilindro que forma el
cubo de elevadores dado que es el único sólido que
no “torcedura” o giro aparente, entonces el centro
del cilindro es el centro de giro del edifico por lo que
el primer nivel, que podemos considerar con un giro
relativo de 0º, termina con un giro relativo de 90º en
el nivel 21.
Comprendiendo que cada piso tiene la misma
altura, (3 m supuestos), podemos considerar que
cada piso “gira” relativamente un ángulo uniforme
de 0º a 90º. Como la pregunta se refiere al piso 10,
la mitad del edificio, podemos considerar que el
ángulo es de 45°.
Resolución del modelo
matemático
Para la pregunta 1, podemos multiplicar 21 pisos (el primer
nivel mas los 20 pisos) por 3 metros de altura de cada
piso, que dará un total de 63 metros.
Para la pregunta 2 a partir de la fotografía
identificamos que la vista es desde el Este del
edificio.Como el edificio en su piso más inferior
tiene su lado mayor con orientación perfectamente
“Este-Oeste” y en su último piso, su lado mayor
tiene una orientación perfectamente “Norte-Sur”, la
única forma en que el observador vea completo el
piso superior es estando perpendicular al mismo,
por lo que el punto de observación puede ser el
Oeste o el Este, pero como se ve completamente el
cuerpo cilíndrico de los elevadores, entonces el
punto de observación sólo puede ser el Este.
En la pregunta 3, podemos identificar que la vista se
presenta desde el Sureste. Dado que en la vista, en el piso
más inferior, puede verse el lado corto del rectángulo pero
no completamente sino en forma parcial y esta vista se va
recortando hasta no ser visible y nunca es visible el lado
corto opuesto, el único ángulo de visión que permite ver
este efecto es la vista Sur-Este. Si estuviéramos en la vista
Este se vería completamente el lado corto del primer piso
pero no sería visible nada del lado largo dado que éste
tiene una orientación totalmente Este-Oeste y si
estuviéramos en la vista Sur, veríamos completamente en
el primer nivel el lado largo del edificio y el cilindro del
cubo de elevadores sin ver el lado corto del edificio, la
única vista que permite ver ambas y parte de la cara corta
este, es la vista Sur-Este.
Para la pregunta 4, la rotación del edificio será de
aproximadamente 45°, como se muestra en la
siguiente figura:
Uso de la solución del modelo
matemático como herramienta
para interpretar el mundo real.
Dado que en el primer nivel la orientación del lado largo
del edificio es Este-Oeste, (0º de rotación) y en el piso 20
por encima del primer nivel la orientación del lado largo es
Norte-Sur, (90º), y la variación del giro entre pisos
podemos suponerla constante, a la mitad de la distancia,
es decir, 10 pisos por encima del primer nivel, que es la
mitad de la altura total para alcanzar el giro de 90º,
podemos concluir que el ángulo de giro es entonces
exactamente la mitad del total, es decir, 45º.
Otra manera de ver el problema es considerar que son 90°
entre 20 pisos, que representan 4.5° por piso. Por lo tanto
para el piso 10 sería (10) (4.5) = 45 °.
Las habilidad para analizar figuras tridimensionales puede
ser muy una herramienta muy útil en diversos contextos
del mundo real.
Esta situación también busca identificar si el alumno es
capaz de aproximar las dimensiones de un objeto y dar
una respuesta que tenga sentido con respecto a la
realidad.
F) COMENTARIOS AL CONTEXTO Y DOMINIO DEL PROBLEMA SEGÚN EL
MARCO PISA.
CLASIFICACION
Contexto
Público: análisis de la forma de un
edificio.
Dominio
Espacio y forma: analizar las diferentes
vistas del edificio y la rotación de cada
piso.
G) COMENTARIOS A LOS PROCESOS MATEMÁTICOS DOMINANTES DEL
PROBLEMA SEGÚN EL MARCO PISA.
Se marcan en amarillo las áreas dominantes:
MACRO-PROCESOS
PROCESOS
Reproducción
Conexión
Reflexión
Pensamiento y razonamiento
Argumentación
Comunicación, utilización de
operaciones y lenguaje técnico (formal
y simbólico).
Construcción de modelos
Planteamiento y solución de problemas
Representación
Uso de herramientas de apoyo.
El problema tiene características reproductivas a nivel de solución de problemas. No
hay demandas especiales para que un alumno pueda dar las respuestas correctas
dado que ha hecho el razonamiento correcto.
Nótese la importancia de experiencia previa en este tipo de pensamiento. Hemos
asumido un nivel reflexivo en casi todas las áreas marcadas porque tal problema será
para el alumno típico totalmente nuevo en su forma y en el tipo de preguntas que hace.
Un arquitecto profesional probablemente estaría operando a nivel reproductivo en
todas estas áreas, no así quien enfrenta tal situación por primera vez.
El alumno debe razonar la situación profundamente y hacer suposiciones. Debe
recordar su experiencia en edificios y saber que en general un piso no es menor de
unos dos metros y medio, y en general no sería mayor de unos cuatro metros. Tal vez
el alumno deberá reflexionar usando su propia estatura para concluir tal cosa.
El alumno debe además reflexionar para construir modelos mentales que le lleven a
entender cómo van cambiando las vistas según la posición de observación y se va
“torciendo” el edificio para llegar a concluir la posición del décimo piso en referencia al
primer piso.
H) CONEXIONES CURRICULARES DEL REACTIVO PISA CON EL
PROGRAMA DE LA SEP.
En el documento “CurrMateSEPMaster” obsérvense las siguientes conexiones
curriculares. Para tener mayor detalle sobre los contenidos de cada conexión
curricular véase “Programa Mate SEP”
Este problema está relacionado directamente con conocimientos y habilidades:
Forma,
2.2.3 espacio y
medida
Forma,
3.5.2 espacio y
medida
Formas
Cuerpos
geométricas geométricos
Describir las características de diferentes figuras.
Construir desarrollos planos de cubos, prismas y
pirámides rectos. Anticipar diferentes vistas de un
cuerpo geométrico.
Formas
Cuerpos
geométricas geométricos
Anticipar las características de las figuras que se
generan al girar o trasladar figuras. Construir
desarrollos planos de conos y cilindros rectos.
Anticipar y reconocer las secciones que se obtienen al
realizar cortes a un cilindro o a un cono recto.
Determinar la variación que se da en el radio de los
diversos círculos que se obtienen al hacer cortes
paralelos a una esfera o un cono recto.