F r ryr r r F r

La Figura anterior es otra vista del fenómeno, se representa la espira en un plano perpendicular al campo
magnético y en un plano inclinado un ángulo θ respecto a este último.
En la figura el eje de rotación SS' es paralelo al plano de la hoja y perpendicular a la dirección del campo
magnético.
Las fuerzas
r
r
Fab y Fcd
se aplican sobre la parte central de sus respectivos segmentos de conductor
rectilíneo, son paralelas a los planos perpendiculares al campo magnético, la fuerza
r
Fab está dentro del
r
Fcd pasa por el plano de mismas características que contiene al conductor "cd".
plano perpendicular al campo magnético que pasa por el conductor rectilíneo "ab", mientras que la fuerza
En la figura hemos exagerado el dibujo para poder distinguir la dirección de esos vectores de fuerza, en
realidad ellos deberían ser paralelos al plano que representa a la espira en color claro que representa la espira
cuyo plano es perpendicular al campo magnético.
Como el eje SS' es el eje permitido de rotación, es evidente que si la espira es considerada como un cuerpo
rígido, la acción de las fuerzas
r
r
Fab y Fcd es la de crear un par de fuerzas que provocan cada una de
ellas un momento de fuerza causante del movimiento rotacional de la espira.
Los "brazos de palanca" de esas fuerzas son los vectores
fuerza de la fuerza
r
Fab
es dado por:
r
r
r1 y r2
respectivamente. El momento de
r r
τ 1 = r1 × Fab
r
mientras que el momento de fuerza de la fuerza Fcd es dado por:
r
τr2 = rr2 × Fcd
r
La siguiente figura muestra el arreglo vectorial de los momentos de fuerza:
En esta Figura se observan los vectores de brazo de palanca de las dos fuerzas, es decir los vectores
r
rv1 y r2
Los vectores
así como las fuerzas de las cuales son los brazos de palanca.
r
rv1 y r2 se han prolongado desde su posición sobre el eje SS', hasta el punto medio del
r
r
r
r
segmento "ab" ( para 1 ), y al punto medio del segmento "cd" (para 2 ), de tal manera que el origen de
cada uno de esos vectores coincida con el origen del vector fuerza al que está relacionado.
Al tener los orígenes coincidentes de cada vector Fuerza con su respectivo vector brazo de palanca, es fácil
aplicar la ley del avance del tornillo de rosca derecha para el producto vectorial que da el momento de fuerza.
Es usando esta ley que se logró determinar la dirección y sentido de los vectores de momento de fuerza
τr1 y τr2 que se muestran en la figura por medio del símbolo:
Este símbolo indica que los vectores de momento
plano de la hoja, y su sentido es hacia el lector.
τr1 y τr2 tienen una dirección perpendicular al
En consecuencia, esos vectores de momento nos permiten asegurar que la espira gira en sentido contrario de
las manecillas del reloj porque al sumarse esos vectores ( al tener direcciones y sentidos iguales), se refuerzan
uno a otro generando un momento de fuerza total que tiene su dirección perpendicular a la hoja de papel y con
sentido hacia el lector.
Se puede asegurar que el giro es como el que indicamos debido a que al aplicar la regla del tornillo de rosca
derecha para el producto vectorial, obtenemos que el giro de la espira es contra el sentido de avance de las
manecillas del reloj.
l 2 , mientras que la del segmento "bc" es l1 , en consecuencia las longitudes
r
y r2 son iguales a l1 2 . Obtengamos las magnitudes de los vectores de
La longitud del segmento "ab" es
de los brazos de palanca
rv1
momento:
Para
r
τ1
r r
debemos encontrar la magnitud de τ 1 = r1 × Fab :
r
τ 1 = r1 Fab =
r
τ
para 2
l1
Il l B
I l2 B sin(θ ) = 1 2 sin(θ )
2
2
r
r r
debemos encontrar la magnitud de τ 2 = r2 × Fcd
τ 2 = r2 Fcd =
l1
Il l B
I l 2 B sin(θ ) = 1 2 sin(θ )
2
2
estos resultados confirman que las magnitudes son iguales para los dos vectores de momento de fuerza.
Como el momento de fuerza total cumple:
τr = τr1 + τr2
y como los vectores que se suman tienen misma dirección y sentido, entonces la magnitud del vector de
momento total es igual a la suma de las magnitudes de los dos momentos de fuerza individuales:
⎞
⎛ I l1 l 2 B
sin(θ )⎟ = I l1 l 2 B sin(θ )
⎠
⎝ 2
τ = τ 1 + τ 2 = 2⎜
Esta expresión la podemos reducir si tomamos en cuenta que el área de la espira rectangular es igual al
producto de las longitudes de sus lados fundamentales, es decir esa dada por:
A = l1 l 2
en consecuencia la magnitud del momento de fuerza total sobre la espira es dada por la expresión:
τ = I A B sin(θ )
Encontremos una expresión vectorial alternativa para el momento de fuerza total sobre la espira:
Para ello, debemos utilizar la regla de la mano derecha para encontrar el vector de momento de dipolo
magnético de una espira con corriente.
La regla de la mano derecha del momento de dipolo magnético de una espira, puede obtenerse de la figura
siguiente:
Se "toma" la espira de tal manera que su plano
coincida con la dirección de los dedos encogidos
de la mano derecha dirigidos hacia la palma de la
misma, extendiendo el dedo pulgar en dirección
perpendicular a los dedos encogidos y al plano de
la espira. Los dedos encogidos deberán tener el
mismo sentido que el de la corriente circulando en
la espira. El dedo pulgar extendido dará la
dirección y sentido del vector de momento de
dipolo magnético de la espira con corriente.
El momento de dipolo magnético de una espira con corriente lo definiremos como el producto de tres
cantidades que caractericen a la espira con corriente:
•
El área encerrada por la espira
•
La corriente circulante
•
La magnitud del vector de inducción magnética a la que se sujete
Es por ello que el vector de momento de dipolo magnético de una espira con corriente tiene la magnitud:
µ =I AB
Por esta razón la magnitud del momento de fuerza total sobre la espira tiene la magnitud:
τ = µ B sin(θ )
A partir de la figura siguiente es posible darse cuenta que el momento de fuerza total sobre la espira es
admisible escribirlo en términos del producto vectorial del momento de dipolo magnético de la espira y del
vector de inducción magnética:
r
τr = µr × B
El ángulo entre el vector de momento de dipolo magnético de la espira y el vector de inducción magnética es
el mismo ángulo θ que existe entre el brazo de palanca y la fuerza aplicada sobre la espira.
r
r r
Al calcular la magnitud del vector τ = µ × B , nos encontramos la ecuación escalar:
τ = µ B sin(θ )
que coincide completamente a la deducida directamente por los razonamientos impuestos en el análisis de la
espira y el momento de fuerza sobre la espira.
r
r r
Es mejor conocida la expresión τ = µ × B
una espira con corriente.
como aquélla que da el vector de momento de fuerza sobre
Sólo baste por el momento decir que el cálculo que se hizo para la espira rectangular con corriente de
momento de fuerza, tiene los mismos resultados si la espira tiene otra geometría, es decir si la espira es
redonda, elíptica, triangular, etc.
Se deja al estudiante demostrar que la aseveración anterior es completamente cierta para diferentes geometrías
de la espira.
Es muy interesante debido a sus aplicaciones, el análisis de un "arrollamiento" de espiras, es decir un conjunto
de N espiras iguales paralelas hechas con N vueltas de un conductor que se "arrolla" conservando la forma de
la primera espira.
Para el análisis de este arreglo, es fácil realizar una generalización del estudio de una sola espira.
En efecto, al tener un arrollamiento de N espiras, la fuerza sobre cada espira se multiplica por las N espiras,
resultando en un par de fuerzas que se ve multiplicado por un factor N.
En consecuencia el momento de fuerza total sobre el arrollamiento se incrementa en un factor N también,
resultando que el momento de dipolo magnético de ese arrollamiento con corriente I, es dado por:
µ = N I AB
de tal manera que el momento de fuerza total es dado por:
τ = N I A B sin(θ )
y finalmente se tiene la relación vectorial:
r r
τ =µ×B
r
para el caso de un arrollamiento de N espiras iguales.
Dada esta expresión, podría demostrarse fácilmente que existe una gran analogía entre el campo eléctrico
asociado a momentos de dipolo eléctricos y el campo magnético asociados a momentos de dipolo magnético.
En el caso de campo eléctrico se demuestra que la energía potencial de un dipolo eléctrico dentro de un
campo eléctrico es dada por
r r
U =− p⋅E
Un análisis completamente análogo se puede realizar para el caso de campo magnético y se arriva a la
expresión:
r r
U =−µ⋅B
r
µ
momento de dipolo es dado por el vector
que dá la energía potencial que tiene un dipolo magnético dentro de un campo magnético cuando el vector de
magnético de influencia es
r
B.
que tiene una cierta orientación en el espacio, y el campo