PDF - Universidad Católica San Pablo

Fragment Assembly of DNA
D.Sc. Yván Jesús Túpac Valdivia
Universidad Católica San Pablo
Octubre 2013
Bioinformatics
Pág 1/61
Octubre 2013
TÚPAC, Y. (CS/UCSP)
Objetivos
Discutir las técnicas computacionales usadas en el secuenciamiento,
denominado ensamblaje de fragmentos: es decir la tecnología usada
para cortar fragmentos aleatorios de una molécula de ADN larga.
Presentar modelos formales y algoritmos para solucionar este
problema
Bioinformatics
Pág 2/61
Octubre 2013
TÚPAC, Y. (CS/UCSP)
Contenido
1
Problema de secuenciamiento
Introducción
Definiciones
Complicaciones
2
Modelos formales para secuenciamiento
Shortest Common Superstring
Reconstruction
Multicontig
3
Algoritmos
Overlaps y Superstrings
Superstrings más cortos como caminos
Algoritmo greedy
Subgrafos acíclicos
4
Bibliografía
Bioinformatics
Pág 3/61
Octubre 2013
TÚPAC, Y. (CS/UCSP)
Problema de secuenciamiento
Introducción
Secuenciamiento
Introducción
El secuenciamiento de genomas es una disciplina que tuvo un gran
desarrollo en años recientes, y junto a la introducción y desarrollo de
tecnologías de secuenciamiento se logró varios avances y nuevos desafíos
[Scheibye-Alsing et al., 2009]
Se han secuenciado y enviado al NCBI (hasta 2008) 567 genomas de
bacterias con hasta 10.5 millones de pares.
Varios genomas de eucarióticos con unos 3000 millones de pares
(Plesiocystis pacifica SIR-1) ya han sido secuenciados y ensamblados
El genoma humano produjo entre 23000 y 27000 bases
Bioinformatics
Pág 4/61
Octubre 2013
TÚPAC, Y. (CS/UCSP)
Problema de secuenciamiento
Definiciones
Secuenciamiento
Definición
Secuenciar una molécula de ADN consiste en obtener las cadenas de bases
que ésta contiene, donde es común tratar con moléculas grandes de ADN
(miles de pares) para secuenciar.
Se ve el problema como un rompecabezas en el cual se tienen dos
juegos de piezas en la mesa.
Aunque no se conozca el contenido de cada pieza (letras en el
conjunto {A,C,G,T}), sí se sabe que para esta pieza, siempre existirá
una pieza complementaria.
Se apunta a obtener la secuencia completa a partir de pistas, que
suelen ser substrings aproximados de las columnas.
Bioinformatics
Pág 5/61
Octubre 2013
TÚPAC, Y. (CS/UCSP)
Problema de secuenciamiento
Definiciones
Secuenciamiento I
Problema Biológico
Desde un punto de vista biológico, se conoce el tamaño de la secuencia
con una aproximación de 10%
No es posible secuenciar la molécula entera directamente, pero sí
tomar un segmento de un strand desde una posición inicial aleatoria y
secuenciar una cierta longitud en la dirección canónica (50 → 30 ).
50 · · ·
···
30
30 · · ·
···
50
La posicion del segmento relativa al inicio del strand no es conocida,
es decir que a partir de algunas pistas, se trata de obtener las letras.
Bioinformatics
Pág 6/61
Octubre 2013
TÚPAC, Y. (CS/UCSP)
Problema de secuenciamiento
Definiciones
Secuenciamiento II
Problema Biológico
El problema surge al querer deducir la secuencia de la molécula entera de
ADN a partir de la colección de fragmentos a juntar, esta tarea es
denominada Ensamblaje de Secuencias, considerando que hay
sobresposición de fragmentos
Bioinformatics
Pág 7/61
Octubre 2013
TÚPAC, Y. (CS/UCSP)
Problema de secuenciamiento
Definiciones
Secuenciamiento
Caso ideal
Supóngase las siguientes secuencias como entrada:
ACCGT
CGTGC
TTAC
TACCGT
y se conoce que la respuesta tiene aproximadamente 10 bases. Una forma
posible de ensamblar el conjunto es:
--ACCGT-----CGTGC
TTAC-----TACCGT-TTACCGTGC
Bioinformatics
Pág 8/61
Octubre 2013
TÚPAC, Y. (CS/UCSP)
Problema de secuenciamiento
Definiciones
Secuenciamiento
Caso ideal
Nótese que se alinearon las cadenas de entrada, ignorando espacios en los
extremos. Se trata de alinear bases iguales en la misma columna.
La única guía para ensamblar, aparte del tamaño aproximado que se
conoce, son los overlaps entre los fragmentos.
A partir del posicionamiento de fragmentos alineados se obtiene un
layout que puede ser interpretado como un alineamiento múltiple de
fragmentos, denominado Secuencia por concenso que es la solución al
problema.
Una situación ideal ocurre cuando hay unanimidad en las columnas,
haciendo que cada segmento sea un substring exacto de la respuesta.
En la práctica, eso ocurre en muy raras ocasiones.
Bioinformatics
Pág 9/61
Octubre 2013
TÚPAC, Y. (CS/UCSP)
Problema de secuenciamiento
Complicaciones
Problemas en el secuenciamiento
Dificultades
Las dificultades parten de que los problemas reales son mucho más largos
que el ejemplo anterior, existen errores, orientación desconocida, regiones
repetidas, falta de cobertura, cadenas basura, cadenas concatenadas.
Bioinformatics
Pág 10/61
Octubre 2013
TÚPAC, Y. (CS/UCSP)
Problema de secuenciamiento
Complicaciones
Problemas en el secuenciamiento
Sustitución de bases:
Los errores más simples son los errores que ocurren por sustitución de
bases. Por ejemplo en:
ACCGT
CGTGC
TTAC
TGCCGT
→
--ACCGT-----CGTGC
TTAC-----TGCCGT-TTACCGTGC
se aprecia la sustitución de la 2da base (A → G).
El concenso es válido dado que se “votó por mayoría”, pero no hubo
“unanimidad”.
Bioinformatics
Pág 11/61
Octubre 2013
TÚPAC, Y. (CS/UCSP)
Problema de secuenciamiento
Complicaciones
Problemas en el secuenciamiento
Inserciones:
Por ejemplo:
ACCGT
CAGTGC
TTAC
TACCGT
→
--ACC-GT-----CAGTGC
TTAC------TACC-GT-TTACCAGTGC
donde surge un error de inserción en la posición 2 del segundo fragmento
(Base A donde no habría nada). El concenso se mantiene gracias a los
gaps colocados por el MSA y el “voto por mayoría”. Los espacios en el
concenso deben descartarse en la respuesta.
Bioinformatics
Pág 12/61
Octubre 2013
TÚPAC, Y. (CS/UCSP)
Problema de secuenciamiento
Complicaciones
Problemas en el secuenciamiento
Borrados:
Por ejemplo:
ACCGT
CGTGC
TTAC
TACGT
→
--ACCGT-----CGTGC
TTAC-----TAC-GT-TTACCGTGC
aquí se observa que se pierde la tercera o cuarta base del último fragmento.
El concenso se mantiene por los gaps colocados y el “voto por mayoría”.
Bioinformatics
Pág 13/61
Octubre 2013
TÚPAC, Y. (CS/UCSP)
Problema de secuenciamiento
Complicaciones
Problemas en el secuenciamiento
Fragmentos quimera
Los fragmentos quiméricos o quimeras surgen cuando dos fragmentos
correspondientes a partes disjuntas de la molécula objetivo se concatenan
formando un fragmento que no representa un bloque continuo de la
molécula. Se deben detectar estos fragmentos engañosos y retirar del
conjunto de fragmentos antes del procesamiento.
ACCGT
CGTGC
TTAC
TACCGT
TTATGC
→
--ACCGT-----CGTGC
TTAC-----TAC-GT-TTACCGTGC
TTA---TGC
Bioinformatics
Pág 14/61
Octubre 2013
TÚPAC, Y. (CS/UCSP)
Problema de secuenciamiento
Complicaciones
Problemas en el secuenciamiento
Contaminación de fragmentos
Algunas veces, existen fragmentos o partes de fragmentos que no tienen
nada que ver con el conjunto de entrada. Esto ocurre por contaminación
por el huésped o vector ADN.
El proceso de replicación de fragmentos consiste en inocular los
fragmentos en un huésped o vector que es un organismo vivo que
reproducirá y portará copias del fragmento.
Más adelante, se debe purificar los fragmentos del vector. En este
proceso ocurre la contaminación, cuando la purificación no es
perfecta o completa. Si el vector es un virus que infecta una bacteria,
ésta contribuye con algún material genético al fragmento.
De la misma forma que los fragmentos quiméricos, se deben detectar estos
fragmentos antes del procesamiento.
Bioinformatics
Pág 15/61
Octubre 2013
TÚPAC, Y. (CS/UCSP)
Problema de secuenciamiento
Complicaciones
Problemas en el secuenciamiento
Orientación desconocida
Los fragmentos pueden provenir de cualquier strand de la molécula ADN.
Se sabe que la lectura de fragmentos va siempre en sentido 50 a 30
Si un fragmento es substring de un strand, su complemento contrarios
es substring del otro. Luego,
Se debe ver los fragmentos como substrings aproximados del
consenso buscado o de su complemento inverso.
CACGT
ACGT
ACTACG
GTACT
ACTGA
CTGA
Bioinformatics
Pág 16/61
⇒
→
→
←
←
←
→
CACGT--------ACGT---------CGTAGT---------AGTAC----------ACTGA
---------CTGA
CACGTAGTACTGA
Octubre 2013
TÚPAC, Y. (CS/UCSP)
Problema de secuenciamiento
Complicaciones
Problemas en el secuenciamiento
Orientación desconocida
Los fragmentos pueden provenir de cualquier strand de la molécula ADN
sin saberse exactamente de cuál.
Como no se conoce la orientación, debería probarse con todas las
2n posibles combinaciones para n segmentos, lo que se vuelve inviable
Aunque este método exhaustivo no es aceptado para un
secuenciamiento, nos da una idea de la complejidad introducida por el
problema de la orientación.
Bioinformatics
Pág 17/61
Octubre 2013
TÚPAC, Y. (CS/UCSP)
Problema de secuenciamiento
Complicaciones
Problemas en el secuenciamiento
Regiones repetidas
Puede ocurrir repetición de secuencias dos o más veces en la molécula
objetivo.
X1
X2
Repeticiones de secuencias cortas (que pueden ser cubiertas por un
fragmento) no son problema.
Repeticiones de secuencias largas son un problema más crítico.
Además, las copias repetidas no son idénticas, y si hay bastante
parecido, los errores pueden confundirse con sustituciones de base.
El modelo de ensamblaje debe ser capaz de tratar estos errores, por lo
que es necesario una cierta tolerancia con la detección de
superposiciones
Bioinformatics
Pág 18/61
Octubre 2013
TÚPAC, Y. (CS/UCSP)
Problema de secuenciamiento
Complicaciones
Problemas en el secuenciamiento
Regiones repetidas
Dos tipos de problema ocurren por repetición:
1
Un fragmento incluído totalmente en una repetición: genera varias
localizaciones a usar en el alineamiento final. Se hace razonable poner
varias copias repetidas. A principio no interesaría donde colocar las
copias, pero como las copias no son exactas, podría perderse
concenso al colocar una copia desigual
2
Las repeticiones pueden dejar el ensamblaje con ambigüedades
haciendo que más de una opción resulten con cadenas objetivos
similares y calidades similares.
Bioinformatics
Pág 19/61
Octubre 2013
TÚPAC, Y. (CS/UCSP)
Problema de secuenciamiento
Complicaciones
Problemas en el secuenciamiento
Regiones repetidas
Bioinformatics
Pág 20/61
A
X
A
X
B
C
X
X
C
B
X
X
D
D
Octubre 2013
TÚPAC, Y. (CS/UCSP)
Problema de secuenciamiento
Complicaciones
Problemas en el secuenciamiento
Regiones repetidas
Bioinformatics
Pág 21/61
A X
B
A X
D
Y
Y
C
C
X
X
D
Y
B
Y
Octubre 2013
TÚPAC, Y. (CS/UCSP)
Problema de secuenciamiento
Complicaciones
Problemas en el secuenciamiento
Regiones repetidas
3
También puede darse el caso de tener repeticiones en strands
diferentes, siendo complementarias y en sentido invertido:
X
X
Bioinformatics
Pág 22/61
rotate 180◦
X̄
X̄
Octubre 2013
TÚPAC, Y. (CS/UCSP)
Problema de secuenciamiento
Complicaciones
Problemas en el secuenciamiento I
Cobertura incompleta
Se espera que todas las partes de la cadena objetivo estén cubiertas por
segmentos. Puede no haber información en una o más posiciones
generándose una insuficiencia de cobertura.
Objetivo
Fragmentos
Área no cubierta
Cobertura en una posición i: se define como la cantidad de fragmentos
que cubren esa posición.
Concepto sencillo, pero difícil de calcular dada la incertidumbre en las
posiciones iniciales de cada fragmento, inclusive luego del
ensamblado, cuando se tiene la mejor estimativa de las posiciones de
los fragmentos
Bioinformatics
Pág 23/61
Octubre 2013
TÚPAC, Y. (CS/UCSP)
Problema de secuenciamiento
Complicaciones
Problemas en el secuenciamiento II
Cobertura incompleta
Puede calcularse una cobertura media de k fragmentos de longitud li
como:
k
1 X
li
(1)
c=
T i=1
Habiendo cobertura cero en una o más posiciones, lo mejor a obtener
es encontrar la secuencia concenso de las regiones cubiertas,
denominadas contigs
Bioinformatics
Pág 24/61
Octubre 2013
TÚPAC, Y. (CS/UCSP)
Problema de secuenciamiento
Complicaciones
Problemas en el secuenciamiento
Cobertura incompleta
Es importante estimar la cantidad de fragmentos que garanticen una
cobertura deseada. Considérese que:
T es la longitud de la molécula objetivo.
l es la longitud de todos los fragmentos (igual)
i es la cantidad de bases mínima que se puede reconocer como un
solapado
Si se muestrean n fragmentos aleatorios, el valor esperado p de contigs
aparentes es dado por:
−n(l−i)
(2)
p = ne T
Bioinformatics
Pág 25/61
Octubre 2013
TÚPAC, Y. (CS/UCSP)
Problema de secuenciamiento
Complicaciones
Problemas en el secuenciamiento
Cobertura incompleta
La fracción cubierta por k fragmentos es:
rk =
ec ck
k!
(3)
donde:
c es la cobertura media c = nl/T
Bioinformatics
Pág 26/61
Octubre 2013
TÚPAC, Y. (CS/UCSP)
Modelos formales para secuenciamiento
Contenido
1
Problema de secuenciamiento
Introducción
Definiciones
Complicaciones
2
Modelos formales para secuenciamiento
Shortest Common Superstring
Reconstruction
Multicontig
3
Algoritmos
Overlaps y Superstrings
Superstrings más cortos como caminos
Algoritmo greedy
Subgrafos acíclicos
4
Bibliografía
Bioinformatics
Pág 27/61
Octubre 2013
TÚPAC, Y. (CS/UCSP)
Modelos formales para secuenciamiento
Shortest Common Superstring
Modelos formales para secuenciamiento
Shortest common superstring – SCS
Es uno de los primeros intentos en formalizar el problema de ensamblaje de
secuencias. Se intenta encontrar el superstring más corto de una colección
de fragmentos, de ahí el nombre SCS, definido como:
Require: una colección F de strings
Ensure: el string S más corto / para cualquier f ∈ F, S es un superstring
de f
Sea F ={ACT,CTA,AGT}, la secuencia S =ACTAGT es el superstring común
más corto.
Es un problema NP-Hard y de interés teórico puesto que no soporta el
problema biológico real
Bioinformatics
Pág 28/61
Octubre 2013
TÚPAC, Y. (CS/UCSP)
Modelos formales para secuenciamiento
Reconstruction
Modelos formales para secuenciamiento
Reconstruction
Es un modelo que redefine el algoritmo DP de comparación de secuencias
para soportar errores y orientación desconocida. Se mide una unidad de
distancia por cada inserción, borrado o sustitución, excepto borrados en los
extremos de la segunda secuencia.
La distancia ds se define como:
ds = min d(a, s)
(4)
s∈S(b)
donde:
S(b) es el conjunto de todos los substrings de b
d es la distancia de edición clásica que no es simétrica, es decir que:
d(a, b) 6= d(b, a)
Bioinformatics
Pág 29/61
Octubre 2013
TÚPAC, Y. (CS/UCSP)
Modelos formales para secuenciamiento
Reconstruction
Modelos formales para secuenciamiento
Reconstruction
Se define f como un substring aproximado de S con error , si:
ds (f , S) ≤ |f |
(5)
donde:
|f | es la longitud de f , con un promedio de errores por cada base en f
un número real en [0, 1],
El ensamblaje de secuencias con el modelo reconstruction se define:
Require: una colección F de strings y una tolerancia ∈ [0, 1]
Ensure: el string S más corto / ∀f ∈ F, se tenga:
min ds (f , S), ds (f̄ , S) ≤ |f |
(6)
donde f̄ es el complemento reverso de f
Bioinformatics
Pág 30/61
Octubre 2013
TÚPAC, Y. (CS/UCSP)
Modelos formales para secuenciamiento
Reconstruction
Modelos formales para secuenciamiento
Reconstruction
Ese problema es también NP-Hard, e incluye al problema SCS si → 0.
El modelo Reconstruction trata con errores y orientación pero no soporta
repeticiones, falta de cobertura ni tamaño objetivo
Bioinformatics
Pág 31/61
Octubre 2013
TÚPAC, Y. (CS/UCSP)
Modelos formales para secuenciamiento
Multicontig
Modelos formales para secuenciamiento
Multicontig
Se adiciona la noción de buen ajuste a la respuesta. Los otros modelos no
verifican el ajuste de los fragmentos antes de la respuesta final.
Es importante y necesario aceptar respuestas compuestas por varios
contigs, de ahi el nombre de multicontig
Bioinformatics
Pág 32/61
Octubre 2013
TÚPAC, Y. (CS/UCSP)
Modelos formales para secuenciamiento
Multicontig
Modelos formales para secuenciamiento
Error-free Multicontig
Es un primer modelo definido como:
Sea F una colección de fragmentos, y L un alineamiento múltiple o
layout en el que se cumple que sólo haya un tipo de base por columna
(sin errores), además debe contener a cada fragmento o su
complemento inverso, pero no ambos.
Las columnas numeradas de L van de 1 . . . |F|
Cada fragmento f tiene un extremo izquierdo l(f ) y un extremo
derecho r(f ) tal que |f | = r(f ) − l(f ) + 1
Se dice que los fragmentos f y g se sobreponen si se cumple que
[l(f ) . . . r(f )] ∩ [l(g) . . . r(g)] 6= ∅.
Son de interés las sobreposiciones linkage
Bioinformatics
Pág 33/61
Octubre 2013
TÚPAC, Y. (CS/UCSP)
Modelos formales para secuenciamiento
Multicontig
Modelos formales para secuenciamiento
Error-free Multicontig
Se dice que una intersección [x, y] es nonlink si ∃f ∈ F que contenga
propiamente la intersección, es decir que el fragmento contenga al
intervalo [x − 1, y + 1]. En caso contrario, se dice que la intersección
es un link.
El link más débil en un layout es aquél de menor tamaño
Finalmente, se dice que un layout es t-contig si su link más débil es al
menos de tamaño t.
Si para una colección de fragmentos F se puede construir un t-contig a
partir de los fragmentos f ∈ F y un entero t, podemos decir que F admite
un t-contig
Bioinformatics
Pág 34/61
Octubre 2013
TÚPAC, Y. (CS/UCSP)
Modelos formales para secuenciamiento
Multicontig
Modelos formales para secuenciamiento
Error-free Multicontig
Formalizando el problema de ensamblaje de fragmentos con el modelo
Multicontig
Sea F una colección de fragmentos y un entero t
Se desea particionar F en la cantidad mínima de subcolecciones
Ci , l ≤ i ≤ k tal que cada Ci admita un t-contig
Bioinformatics
Pág 35/61
Octubre 2013
TÚPAC, Y. (CS/UCSP)
Modelos formales para secuenciamiento
Multicontig
Modelos formales para secuenciamiento
Error-free Multicontig
Ejemplo: Sea la colección F ={GTAC, TAATG, TGTAA} y se desea partir
F en la mínima cantidad de t-contigs
Si t = 3 el mínimo es 2 como se muestra:
--TAATG
GTAC
TGTAA-sin lograr juntar en un contig los 3 fragmentos
Si t = 2 se tiene la solución anterior y una siguiente:
TAATG--GTAC
---TGTAA
Si t = 1 se tiene una nueva solución :
TGTAA------TAATG--------GTAC
Bioinformatics
Pág 36/61
Octubre 2013
TÚPAC, Y. (CS/UCSP)
Modelos formales para secuenciamiento
Multicontig
Modelos formales para secuenciamiento
Contemplating errors Multicontig
En este caso no se exige que el layout no tenga errores:
Cada alineamiento estará asociado a una secuencia de concenso S de
la misma longitud, con la opción de contener tags (-).
Los valores l(f ) y r(f ) no cambian su definicion, pero ya no se
cumple que |f | = r(f ) − l(f ) + 1 y la imagen de un fragmento
alineado en el concenso es S[l(f ) . . . r(f )]
Dada una tolerancia se puede decir que S es el concenso para el
contig si la distancia de edición entre cada fragmento alineado y su
imagen en el concenso es como máximo |f |.
Bioinformatics
Pág 37/61
Octubre 2013
TÚPAC, Y. (CS/UCSP)
Modelos formales para secuenciamiento
Multicontig
Modelos formales para secuenciamiento
El problema Multicontig
Se define el problema Multicontig de la siguiente forma:
Require: Una colección F de strings, un entero t ≥ 0, una tolerancia
∈ [0, 1]
Ensure: Una partición de F en la mínima cantidad de subcolecciones
Ci , 1 ≤ i ≤ k, en la que cada Ci admite un t-contig con un
-concenso
El problema Multicontig es NP-Hard inclusive para los casos sin errores y
con orientación conocida.
Este modelo soporta errores, orientación desconocida, falta de cobertura
pero no soporta tamaño aproximado de la molécula objetivo. Soporta
algunos casos de repetición.
Bioinformatics
Pág 38/61
Octubre 2013
TÚPAC, Y. (CS/UCSP)
Algoritmos
Overlaps y Superstrings
Contenido
1
Problema de secuenciamiento
Introducción
Definiciones
Complicaciones
2
Modelos formales para secuenciamiento
Shortest Common Superstring
Reconstruction
Multicontig
3
Algoritmos
Overlaps y Superstrings
Superstrings más cortos como caminos
Algoritmo greedy
Subgrafos acíclicos
4
Bibliografía
Bioinformatics
Pág 39/61
Octubre 2013
TÚPAC, Y. (CS/UCSP)
Algoritmos
Overlaps y Superstrings
Algoritmos para secuenciamiento I
Representación de los overlaps
Para una colección F, los superstrings comunes se ven como caminos en
un grafo, llevando las propiedades de los superstrings a propiedades en los
caminos.
El Multigrafo overlap OM(F) de una colección F es el multigrafo
dirigido y ponderado definido como:
Sea el conjunto de nodos V que representa a F
Existe la arista a ∈ F de a → b con peso t ≥ 0 si el sufijo de a con t
caracteres es también prefijo en b, es decir:
suffix(a, t) = prefix(b, t)
(7)
denotado también como
κ|a|−t = bκ|b|−t
Bioinformatics
Pág 40/61
(8)
Octubre 2013
TÚPAC, Y. (CS/UCSP)
Algoritmos
Overlaps y Superstrings
Algoritmos para secuenciamiento II
Representación de los overlaps
o también
(aκt )b = a(κt b)
(9)
donde
κ representa un “agente destructor” que reduce los strings generando
prefijos o sufijos de los mismos
Note que debe cumplirse |a| ≥ t y |b| ≥ t para que exista la arista.
Pueden haber más aristas a → b con t diferentes, de ahí el nombre
Multigrafo.
No se consideran aristas al mismo nodo pero sí se permite aristas con
peso nulo
Bioinformatics
Pág 41/61
Octubre 2013
TÚPAC, Y. (CS/UCSP)
Algoritmos
Overlaps y Superstrings
Algoritmos para secuenciamiento I
Generación de Superstrings
Un multigrafo de overlaps OM(F) es importante porque de sus aristas
dirigidas se genera un alineamiento múltiple y mediante concenso se deriva
una superstring común de las secuencias implicadas.
Bioinformatics
Pág 42/61
Octubre 2013
TÚPAC, Y. (CS/UCSP)
Algoritmos
Overlaps y Superstrings
Algoritmos para secuenciamiento I
Generación de Superstrings
Sea un camino dirigido P en el multigrafo OM(F), se puede construir un
un alineamiento múltiple con las secuencias en P de la siguiente forma:
Cada arista e = (f , g) en el camino tiene una ponderación t indicando
que t bases de la cola de f son prefijos en la cabeza de g, es decir que
f , g pueden alinearse usando la parte común
Ejemplo: sea la colección F = {A, B, C , D} donde:
a = TACGA
a = ACCC
a = CTAAAG
a = GACA
y el siguiente multigrafo cuyas aristas están ponderadas con pesos
positivos:
Bioinformatics
Pág 43/61
Octubre 2013
TÚPAC, Y. (CS/UCSP)
Algoritmos
Overlaps y Superstrings
Algoritmos para secuenciamiento II
Generación de Superstrings
TACGA
a
2
1
b
ACCC
1
1
c
CTAAAG
1
d
GACA
Los caminos se indican como listas de vértices y aristas, y si no hay
aristas múltples, apenas con una lista de vértices. Para el ejemplo se
tienen dos caminhos P1 = dbc y P2 = abcd cuyos alineamientos son:
GACA-------TACGA-------------ACCC--------ACCC-------------CTAAAG
-------CTAAAG--------------GACA
Bioinformatics
Pág 44/61
Octubre 2013
TÚPAC, Y. (CS/UCSP)
Algoritmos
Overlaps y Superstrings
Algoritmos para secuenciamiento III
Generación de Superstrings
Si P es un camino en OM(F) y A el conjunto de fragmentos
relacionados a P y considerando que no se repiten vértices en un
camino, en P existirán |A| − 1 aristas y el superstring común es S(P)
Existe una relación entre el tamaño de A, los pesos del camino y la
longitud del superstring dada por:
kAk = w(P) + |S(P)|
(10)
donde
P
kAk = a∈A |a| es la suma de las longitudes de todos los
segmentos en A
w(P) es el peso de P
Esta relación se puede verificar con algunos casos simples:
1
Sea un camino con un fragmento y sin aristas
Bioinformatics
Pág 45/61
Octubre 2013
TÚPAC, Y. (CS/UCSP)
Algoritmos
Overlaps y Superstrings
Algoritmos para secuenciamiento IV
Generación de Superstrings
Entonces A = {f }, kAk = |f | y w(P) = 0,
Luego S(P) = f
Se verifica que la ecuación (10) se cumple para este caso
2
Sea el caso que P = f1 e1 f2 e2 . . . ft y que se cumpla (10) para P
Si se coloca una arista adicional P 0 = Pet+a ft+1 se tiene que
w(P 0 ) = w(P) + w(et+1 ) = w(P) + k
si se cumple que w(et+1 ) = k
Por otro lado
S(P 0 ) = S(P)suffix(ft+1 , |ft+1 |, k)
ya que las primeras k bases de ft+1 ya se encuentran en S(P)
Bioinformatics
Pág 46/61
Octubre 2013
TÚPAC, Y. (CS/UCSP)
Algoritmos
Overlaps y Superstrings
Algoritmos para secuenciamiento V
Generación de Superstrings
Así, sólo se requiere concatenar el sufijo restante de ft+1 :
|S(P 0 )| = |S(P)| + |ft+1 | − k
= kAk − w(P) + |ft+1 | − k
= kA0 k − w(P 0 )
y se vuelve a cumplir (10)
Cada camino genera un superstring común de los fragmentos relacionados.
Esto es importante si se tiene un camino Hamiltoniano, en el que el
superstring comun será A = F y la ecuación (10) se convierte en
|S(P)| = kFk − w(P)
(11)
Además, dado que kFk es constante e independiente de cualquier camino
Hamiltoniano, minimizar |S(P)| equivale a maximizar w(P)
Bioinformatics
Pág 47/61
Octubre 2013
TÚPAC, Y. (CS/UCSP)
Algoritmos
Superstrings más cortos como caminos
Algoritmos para secuenciamiento I
Superstrings más cortos como caminos
Se vio que cada camino está asociado a un superstring, pero lo inverso no
siempre es verdad.
En el conjunto de fragmentos de la figura anterior, el superstring
GTATACGACCCAAACTAAAGACAGGG
no es parte de ningún camino, lo que es fácil de verificar ya que un
superstring puede contener caracteres innecesarios que no se encuentran
en ningún fragmento
Un superstring más corto no debería tener caracteres innecesarios, por
lo que surge la pregunta:
¿Todo superstring más corto está asociado a un camino?
Esto se cumple para algunas colecciones denominadas substring-free
Bioinformatics
Pág 48/61
Octubre 2013
TÚPAC, Y. (CS/UCSP)
Algoritmos
Superstrings más cortos como caminos
Algoritmos para secuenciamiento I
Superstrings más cortos como caminos
Colecciones superstring-free:
Se dice que una colección F es supertring-free si no existe dos strings
a, b ∈ F tales que a sea un substring de b.
En este caso, se puede comprobar la conversión de camino a la
construcción de un superstring
Theorem
Sea F una colección superstring-free
Para cada string S ∈ F, existe un camino Hamiltoniano P ∈ OM(F) tal
que S(P) es una subsecuencia de S
Bioinformatics
Pág 49/61
Octubre 2013
TÚPAC, Y. (CS/UCSP)
Algoritmos
Superstrings más cortos como caminos
Algoritmos para secuenciamiento II
Superstrings más cortos como caminos
Corollary
Sea F una colección superstring-free.
Si S es un superstring más corto de F, existe un camino Hamiltoniano tal
que S = S(P).
Theorem
Sea F una colección de strings
Existe una única colección substring-free G equivalente a F
Bioinformatics
Pág 50/61
Octubre 2013
TÚPAC, Y. (CS/UCSP)
Algoritmos
Algoritmo greedy
Algoritmos para secuenciamiento
Algoritmo Greedy
La Eq(11) nos muestra que buscar el supertring común más corto es
equivalente a buscar el camino Hamiltoniano con máxima ponderación en
un multigrafo dirigido. Dado que se busca el camino con más peso, no se
requiere indicar todas las aristas entre dos pares de nodos, sólo la mejor
ponderada.
Un enfoque greedy para encontrar el camino más ponderado consiste en
adicionar al camino la arista mejor ponderada y disponible que no impida
la obtención de un camino Hamiltoniano, dadas las aristas seleccionadas
previamente.
Como el grafo es completo, se finalizará cuando todos los nodos estén
dentro del camino.
Bioinformatics
Pág 51/61
Octubre 2013
TÚPAC, Y. (CS/UCSP)
Algoritmos
Algoritmo greedy
Algoritmos para secuenciamiento I
Algoritmo Greedy
Require: weighted directed graph OG(F) with n vertices
Ensure: Hamiltonian path in OG(F)
// Initialize
for i ← 1, to n do
in[i] ← 0
out[i] ← 0
MakeSet(i)
end for
// Process: sort edges by weigth, heaviest first
for each edge(f , g) in this order do
// test edge for acceptance
if in[g] = 0 ∧ out[0] ∧ FindSet(f ) 6= FindSet(g) then
select(f , g)
in[g] ← 1
out[f ] ← 1
Union(FindSet(f ), FindSet(g))
end if
Bioinformatics
Pág 52/61
Octubre 2013
TÚPAC, Y. (CS/UCSP)
Algoritmos
Algoritmo greedy
Algoritmos para secuenciamiento II
Algoritmo Greedy
if there is only one component then
break
end if
end for
return Selected Edges
Bioinformatics
Pág 53/61
Octubre 2013
TÚPAC, Y. (CS/UCSP)
Algoritmos
Algoritmo greedy
Algoritmos para secuenciamiento
Algoritmo Greedy
Como cualquier algoritmo voraz, no siempre se obtienen resultados
óptimos, como ocurre en el siguiente ejemplo
Sea la colección F = {GCC, ATGC, TGCAT}, cuyo grafo de overlaps es:
GCC
2
ATGC
2
TGCAT
3
El algoritmo siempre comenzará seleccionando la arista de peso 3 y
siempre será aceptada por ser la primera, no pudiendo escogerse las
dos aristas que pesan 4 y conforman el camino Hamiltoniano deseado.
Bioinformatics
Pág 54/61
Octubre 2013
TÚPAC, Y. (CS/UCSP)
Algoritmos
Subgrafos acíclicos
Algoritmos para secuenciamiento
Subgrafos acíclicos
Si se considera un problema de ensamblaje de secuencias con fragmentos
sin errores y de orientación conocida, y que haya una “buena muestra de
ADN” (buena cobertura y linkage suficiente para un buen ensamble), se
puede pensar en algoritmos que encuentren la solución correcta.
Sea S un string del alfabeto {A,T,C,G} y una muestra A de
fragmentos que cubra S
La muestra A tiene un nivel de conexión t
La colección de fragmentos generada por una muestra A es:
S[A] = {S[α]/α ∈ A}
(12)
Se dice que la muestra A es subinterval-free si no existen dos
intervalos [i . . . j], [k . . . l] ∈ A tales que [i . . . j] ⊆ [k . . . l]
Bioinformatics
Pág 55/61
Octubre 2013
TÚPAC, Y. (CS/UCSP)
Algoritmos
Subgrafos acíclicos
Algoritmos para secuenciamiento
Subgrafos acíclicos
Considérese una forma modificada de un grafo de overlaps
Sea una colección F y un valor t > 0 que definen un OM(G, t) como
el grafo proveniente de OM)(G) manteniendo sólo las aristas con
peso ≥ t.
Se desea recuperar S a partir de F
Esta recuperación dependerá si S posée estructuras repetidas a partir
del peso t, en caso que no, resulta fácil, en caso que sí, habría
ambigüedad intrínseca en la recuperación.
Independientemente de la repetición de estructuras en S es la
existencia de un camino Hamiltoniano en OM(G, t).
Con estas consideraciones, se abre la opción de usar estrategias de
Ordenación Topológica
Bioinformatics
Pág 56/61
Octubre 2013
TÚPAC, Y. (CS/UCSP)
Algoritmos
Subgrafos acíclicos
Algoritmos para secuenciamiento
Subgrafos acíclicos
Sea el siguiente string objetivo S y los fragmentos w, z, u, x, y
S = AGTATTGGCAATCGATGCAAACCTTTTGGCAATCACT
w = AGTATTGGCAATC
z = AATCGATG
u = ATGCAAACCT
x = CCTTTTGG
y = TTGGCAATCACT
Considerando un valor t = 3 se obtiene el siguiente grafo OM(G, t)
9
4
w
Bioinformatics
Pág 57/61
3
z
3
u
4
x
y
Octubre 2013
TÚPAC, Y. (CS/UCSP)
Algoritmos
Subgrafos acíclicos
Algoritmos para secuenciamiento
Subgrafos acíclicos
El algoritmo Greedy llega a esta respuesta:
AGTATTGGCAATC---AATCGATG--------------------------------ATGCAAACCT--------TTGGCAATCACT------------CCTTTTGG
AGTATTGGCAATCACTAATCGATGCAAACCTTTTGG
donde se observa que la longitud del superstring es 36, pero el link
más débil es 0
Bioinformatics
Pág 58/61
Octubre 2013
TÚPAC, Y. (CS/UCSP)
Algoritmos
Subgrafos acíclicos
Algoritmos para secuenciamiento
Subgrafos acíclicos
Aplicando la búsqueda de camino Hamiltoniano se obtiene:
AGTATTGGCAATC--------CCTTTTGG----------------AATCGATG--------TTGGCAATCACT
--------------ATGCAAACCT------------AGTATTGGCAATCGATGCAAACCTTTTGGCAATCACT
de acuerdo al único camino Hamiltoniano, se obtiene esta solución
con longitud 37, pero se observa mejor linkage. El link más débil es 3
Bioinformatics
Pág 59/61
Octubre 2013
TÚPAC, Y. (CS/UCSP)
Algoritmos
Subgrafos acíclicos
Heurísticas
Bioinformatics
Pág 60/61
Octubre 2013
TÚPAC, Y. (CS/UCSP)
Bibliografía
Bibliografía I
Scheibye-Alsing, K., Hoffmann, S., Frankel, A., Jensen, P., Stadler, P.,
Mang, Y., Tommerup, N., Gilchrist, M., Nygård, A.-B., Cirera, S.,
Jørgensen, C., Fredholm, M., and Gorodkin, J. (2009).
Sequence assembly.
Computational Biology and Chemistry, 33(2):121–136.
Bioinformatics
Pág 61/61
Octubre 2013
TÚPAC, Y. (CS/UCSP)