Considerar un cuadrado cuyo centro es el punto C ( 1,1,-1)

UNIDAD 4 : Vectores . Recta y plano. Posiciones relativas
Calcula el valor de m para que sean paralelos la recta r y el plano  de
𝟐𝒙 − 𝟑𝒚 = −𝟏
ecuaciones: 𝒓: {
; 𝝅: 𝒎𝒙 − 𝒚 + 𝒛 = 𝟓
𝒙+𝒚−𝒛=𝟐
Busquemos la recta r en paramétricas y su ur
2x = - 1 + 3y  x = - ½ + 3/2 y
r:
- ½ + 3/2 y + y – z = 2  z = - ½ - 2 + 3/2 y + y  z = - 5/2 + 5/2 y
1
{
3
𝑥 = −2 + 2 𝜆
𝑦=𝜆
5
ur = (3/2, 1, 5/2) = (3, 2, 5)
y nπ = (m, -1, 1)
5
𝑧 = −2 + 2𝜆
Para que r ǀǀ π  ur ┴ nπ  ur · nπ = 0 ; 3m – 2 + 5 = 0  3m + 3 = 0 
m = -1
Además podemos asegurar el paralelismo, viendo que el A(- ½ , 0, - 5/2) ∈ r pero
- (- ½ ) – 0 – 5/2 – 5 ≠ 0 luego A no pertenece al plano  r ǀǀ π
Calcular la ecuación del plano que contiene a la recta definida por el
punto (1, 1, 1) y el vector ( 0, -5, 3) y que pasa por el punto P (1, 0, -5).
A (1,1,1)
ur ( 0, -5, 3)
α (x, y, z)
uπ = K . ur = ( 0, -5, 3)
vπ = AP = (0, -1 , -6)
𝐴𝑄
uπ, vπ y AQ son l.d.  𝑟𝑎𝑔 ( 𝑢𝜋 ) = 2 →
𝑣𝜋
𝐴𝑄
| 𝑢𝜋 | = 0
𝑣𝜋
AQ = (x - 1, y – 1, z - 1)
𝑥−1
| 0
0
𝑦−1
−5
−1
𝑧−1
|=0
3
−6
33 ( x - 1) = 0 ;
x-1=0;
π≡
x=1
Calcular la ecuación del plano que pasa por el punto p( 1, 0, -1), es
𝒙 − 𝟐𝒚 = 𝟎
paralelo a la recta 𝒓: {
, y es perpendicular al plano
𝒛=𝟎
2x - y + z + 1 = 0
El punto P( 1, 0, -1)  al plano pedido  .
Como r es paralelo al plano  ur es paralelo al u , es decir, u= k · ur
Como 𝑟: {
𝑥 = 2𝜆
=> { 𝑦 = 𝜆
𝑧=0
𝑥 − 2𝑦 = 0 ; 𝑥 = 2𝑦
𝑧=0
; 𝑧=0
 ur
=(
2, 1, 0)
Como el plano dado es perpendicular al pedido  el n vector característico de  y el
v deberán de ser paralelos.  v = k · n ;
Como 
2x - y + z + 1 = 0  n = ( 2, -1, 1)  v = ( 2, -1, 1)
Si Q( x, y, z) es un punto genérico de  , PQ, u , v son linealmente dependientes.
𝑃𝑄
𝑥−1
𝑦
𝑢
| 𝑥 | = 0 => | 2
1
𝑣𝑥
2
−1
𝑧+1
0 |=0
1
x - 1 - 2y – 4·(z + 1) = 0 
x - 2y - 4z - 5 = 0
Comprueba que los puntos A(0, 1, 0) B(2, 1, 1), C(-1, 3, -2) y
D(-2, -1, 0) no son coplanarios y determinar el volumen del tetraedro.
  
Si A, B, C y D no son coplanarios AB, AC yAD son li.



AB  OB  OA  2,0,1

 AB 
 
rg  AC   3
 
 AD 


1
Vtetraedro 
6

AB

AB 

AD



AC  OC  OA  (1,2,.2)
;



AD  OD  OA  (2,2,0)
2
0
1
 1 2  2 = 2 + 4 – 8  0 l.i.
2 2 0
V paralelipedo 
1
6





1
AB  AC  AD 
6
2
0
1
2
1
2 
2 2
0
1
6
2 48 
2 1 3
 u
6 3
𝒙+𝒚+𝒛=𝟏
Considera la recta 𝒓 ≡ {
Determinar a para que el
−𝒙 − 𝟐𝒚 + 𝒛 = 𝟎
plano π, de ecuación 2x + y + az =b sea paralelo a r. Determinar para que
valor de b, la recta está contenida en el plano.
nπ
ur
nπ ┴ ur si
r║π
→ nπ ∙ ur = 0
π ≡ 2x + y + az – b = 0 → nπ = (2, 1, a)
𝑟 ≡ {
𝑥+𝑦+𝑧 =1
𝑥+𝑦 =1−𝑧
=> {
=> −𝑦 = 1 − 2𝑧 => 𝑦 = −1 + 2𝑧
−𝑥 − 2𝑦 + 𝑧 = 0
−𝑥 − 2𝑦 = −𝑧
- x - 2 ·(- 1 + 2z) = - z
𝑥 = 2 − 3𝜆
𝑟 ≡ { 𝑦 = −1 + 2𝜆
𝑧= 𝜆
=> - x + 2 – 4z = - z
ur = ( -3, 2 , 1) ;
-4+a=0;
=>
nπ ∙ ur = 0
a=4
Si quiero que r ∈ π obliguemos que A ∈ r ∈ π ;
x = 2 – 3z
; 2· (-3) + 1 · 2 + 9 ∙ 1 = 0 ;
=> r ║ a
A ∈ r cuyo ur = ( 2, -1, 0)
2 . 2 + (-1) + 4 . 0 = b ;
b=3
𝒙 = −𝟏 + 𝟐𝜶
Considera la recta de ecuaciones paramétricas 𝒓: { 𝒚 = −𝟏 + 𝜶 y los
𝒛=𝟏
puntos P(1,1,2) y Q(1,-1,2). Determina la posición relativa de r y la recta
que pasa por P y Q.
a) Calculamos la recta s que pasa por P y Q.
us = PQ = (0, -2, 0)
𝑥=1
𝑠 ≡ {𝑦 = 1 − 2𝜆
𝑧=2
Para calcular la posición relativa entre r y s,
𝐴𝑃
se calcula el 𝑟𝑎𝑔 ( 𝑢𝑟 )
𝑢𝑠
Como A(-1, -1, 1)  AP = (2, 2, 1) ; ur = (2, 1, 0) y us = (0, -2, 0)
𝐴𝑃
2 2 1
| 2 1 0 | = −4 ≠ 0 => 𝑟𝑎𝑔 ( 𝑢𝑟 ) = 3 r y s se cruzan en el espacio
𝑢𝑠
0−2 0
𝒙 = 𝟏 − 𝟑𝜶
Considera las rectas 𝒓:
=
=
𝒚 𝒔: {𝒚 = −𝟏 + 𝟒𝜶
𝟐
−𝟏
𝟐
𝒛=𝟓−𝜶
Determinar m para que las rectas se corten. Hallar el punto de corte.
𝒙−𝟐
ur = (2, -1, 2)
𝒚+𝟏
𝒛−𝒎
A (2, -1, l -m)
AB = (-1, 0, 5+m)
us = (-3, 4, -1)
B (1, -1, 5)
𝐴𝐵
𝐴𝐵
𝑟𝑎𝑔 ( 𝑢𝑟 ) = 2 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑞𝑢𝑒 𝑟 𝑦 𝑠 𝑠𝑒 𝑐𝑜𝑟𝑡𝑒𝑛 | 𝑢𝑟 | = 0
𝑢𝑠
𝑢𝑠
|
−1
0 5+𝑚
2 −1
2 | = 0 - 1 + 8· (5 + m) – 3· (5 + m) + 8 = 0
−3
4 −1
5· (5 + m) + 7 = 0 ; 5 + m = - 7/5 ; m = -7/5 - 5 ;
m = - 32/5
Además no son paralelos pues ur  us para m = - 32/5 y  m ya que
2
−3
≠
−1
4
2
≠ −1
Para hallar el punto de corte ponemos r y s en paramétricas,
𝑥 = 2 + 2𝜆
𝑟 ≡ {𝑦 = −1 − 𝜆
32
𝑧 = 5 + 2𝜆
𝑥 = 1 − 3𝛼
𝑠 ≡ { 𝑦 = −1 + 4𝛼 
𝑧 =5−𝛼
2 + 2𝜆 = 1 − 3𝛼
− 𝜆 = −1 + 4𝛼 
{−1
32
+ 2𝜆 = 5 − 𝛼
5
2𝜆 + 3𝛼 = −1
2𝜆 + 3𝛼 = −1
2𝜆 + 3𝛼 = −1
{ −𝜆 − 4𝛼 = 07  {
 {
 - 5 = -1 ;  = 1/5
−𝜆 − 4𝛼 = 0
−2𝜆 − 8𝛼 = 0
2𝜆 + 𝛼 = − 2
P(1 - 3/5 , - 1 + 4/5 , 5 - 1/5) = (2/5, -1/5, 24/5).
¿Cuáles son las condiciones para que un plano dado por su ecuación
en forma implícita, sea paralelo a la dirección de un vector dado por sus
coordenadas?.¿Por que?.
Sea   ax + by + cz + d = 0 el plano y sea v = (v1,v2,v3) el vector.
Para que el plano y el vector sean paralelos, es necesario y suficiente que el vector
normal
al plano w = (a,b,c) y el vector v sean ortogonales.
w · v = 0 ====> a·v1 + b·v2 + c·v3 = 0
𝒙 + 𝟐𝒚 + 𝒛 = 𝟏
Dada la recta de ecuaciones {
explicar el significado
𝟑𝒚 − 𝒛 = 𝟐
geométrico de (3y - z - 2) + ·(x + 2y + z - 1) para todo  perteneciente a R
Al venir la recta dada por sus ecuaciones reducidas, esto nos indica que la recta viene
dada por la intersección de dos planos.
Si en cada uno de los planos, pasamos el término independiente al primer término y
realiza-mos una combinación lineal de ambos, nos queda:
(3y - z - 2) + ·(x + 2y + z - 1) que nos representa la ecuación del haz de planos que
tiene por base a la recta dada.
Dada la recta definida por: 𝑟 ≡
𝑥−1
2
=
𝑦+1
3
=
𝑧−2
1
a) Hallar la ecua-
ción del plano que pasa por el origen y contiene a r. b) Halla la
ecuación del plano que pasa por el origen y es perpendicular a r
𝑟≡
a)
b)
𝑥 = 1 + 2𝜆
𝑟 ≡ {𝑦 = −1 + 3𝜆
𝑧 =2+ 𝜆
𝑥−1
𝑦+1
𝑧−2
=
=
2
3
1
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (1,−1,2)
𝑂𝐴
⃗⃗⃗⃗⃗
𝑢𝑟 (2,3,1)
𝑂 (0,0,0)
𝑢
⃗⃗⃗⃗𝑟 = ⃗⃗⃗⃗
𝑛Π
𝑥 𝑦
Π1 ≡ |2 3
1 −1
𝑧
1| = 0
2
Π2 ≡ ⃗⃗⃗⃗
𝑛Π · ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑢𝑃𝑂 = 0
∀𝜆 ∈ ℝ
Π1 ≡ 7𝑥 − 3𝑦 − 5𝑧 = 0
Π2 = 2𝑥 + 3𝑦 + 𝑧 = 0
𝐴(1, −1,2)
𝑢
⃗⃗⃗⃗𝑟 (2,3,1)
𝐱 = 𝟑 + 
Dada la recta en paramétricas 𝒓: { 𝐲 = 𝟏 + 𝟐 halla: a) una
𝐳 = −𝟐 + 𝟑
ecuación en forma continua, b) una de sus expresiones implícitas,
c) dos puntos diferentes de dicha recta.
a) En forma continua:
b) En implícitas:
{
𝒙 −𝟑
𝟏
=
𝒚 −𝟏
𝟐
=
𝒛+𝟐
𝟑
2 · (x – 3) = y – 1
2𝑥 − 𝑦 = 5
=> {
3𝑥 − 𝑧 = 11
3 · (x – 3) = z + 2
c) Para  = 0  A(3, -1, 2)
Para  = 1  B(4, 3, 1)
𝐱 = 𝟏 + 𝟐𝛌
𝟐𝐱 – 𝟑𝐲 = 𝟏𝟑
Dadas las rectas 𝒓: {𝐲 = 𝟑 − 𝟑𝛌 𝒔: {
𝐱 – 𝟐𝐳 = 𝐚 − 𝟑
𝐳 = −𝟐 + 𝛌
Calcular el valor de a para que las dos rectas estén en el mismo plano.
Para que las rectas estén en el mismo plano lo único que no pueden hacer es cruzarse,
𝐴𝐵
es decir | 𝑢𝑟 | ≠ 0 En caso contrario ó son coincidentes ó son paralelos ó se cortan en un punto.
𝑢𝑠
𝐴(1, 3, −2)
De r : {
𝑢𝑟 (2, −3, 1)
13
x = λ
𝑠: {y = −13/3 + 2/3λ
z = − (a − 3)/2 + 1/2λ
 B ( 0, - 13/3, - a + 3/2)
us = ( 1, 2/3, 1/2) ≈ ( 6, 4, 3)
AB = ( -1, -13/3 – 3, -a + 3/2 + 2) = ( - 1, - 22/3, -a + 7/2)
|
−1
2
6
22
−
3
−3
4
7
−𝑎 +
2
1
3
|≠0
2
𝑦=− + 𝑥
3
3
De s: { −3y = 13 – 2x  {
(𝑎−3)
1
−2z = a − 3 − x
𝑧 = − 2 + 2𝑥
9 – 44 + 4 · ( -a + 7) + 9 · ( -a + 7) + 4 + 44 ≠ 0
9 – 4a + 28 – 9a + 63 + 4 ≠ 0 
a ≠ - 104 / 13
Para a = - 104 / 13 r y s se cortan para este valor de a, ya que no pueden ser paralelas ni
coincidentes pues
u r ≠ K . us
𝐱– 𝐲 + 𝐳 = 𝟏
𝑫𝒂𝒅𝒐𝒔 𝑨(−𝟐, −𝟒, −𝟑)𝐲 𝐁(𝟐, 𝟔, 𝟓) 𝐲 𝐥𝐚 𝐫𝐞𝐜𝐭𝐚 𝐫: {
𝟐𝐱 + 𝐲 – 𝟑𝐳 = 𝟐
averigua si existe alguna recta que contenga los puntos A y B y corte a r.
Razona la respuesta
ur
Ax
Calculamos la recta s que pasa por A y B
xC
xB
y luego comprobemos si corta o no a la recta r
us = AB = (4, 10, 8) = (2, 5, 4)
Calculemos las paramétricas de r: {
x = 1 + 2/3 z
x−y=1−z
⊕ 3x = 3 + 2z 
2x + y = 2 + 3z
y = x – 1 + z = 1 + 2/3 z – 1 + z 
x = 1 + 2/3 λ
r ≡ { y = 5/3 λ
 C(1, 0, 0) y
z = λ
y = 5/3 z
𝐮𝐫 = ( 2/3, 5/3, 1) = (2, 5, 3)
Para estudiar la posición relativa entre r y s necesitamos el vector AC, ademas del ur y del
us con lo que AC = ( 3, 4, 3 )
𝐀𝐂
3
𝑟𝑎𝑔 ( 𝐮𝐫 ) = 𝑟𝑎𝑔 (2
𝐮𝐬
2
4 3
3
)
;
|
5 3
2
5 4
2
𝐀𝐂
= 7 ≠ 0  𝑟𝑎𝑔 ( 𝐮𝐫 ) = 3
𝐮𝐬
4 3
5 3| = 60 + 24 + 30 – 30 – 32 – 45 =
5 4
r y s se cruzan y no se cortan
𝐱 = −𝟏 + 𝟐𝐭
𝐃𝐚𝐝𝐨𝐬 𝐥𝐚 𝐫𝐞𝐜𝐭𝐚 𝐫 𝐝𝐞 𝐞𝐜𝐮𝐚𝐜𝐢𝐨𝐧𝐞𝐬 𝐩𝐚𝐫𝐚𝐦é𝐭𝐫𝐢𝐜𝐚𝐬: { 𝐲 = −𝟏 + 𝐭 y los
𝐳 = 𝟏
puntos P(1,1,2) y Q(1,-1,2), halla la posición relativa de r y la recta s
determinada por P y Q.
Calculemos la recta s que pasa por P(1,1,2) y Q(1,-1,2),
x = 1
us = PQ = (0, -2, 0)  {y = 1 − 2λ
z = 2
Como ur = (2, 1, 0) y A(-1, -1, 1)  AP = ( 2, 2, 1)
𝐀𝐏
𝐀𝐏
2 2 1
2 2 1
𝑟𝑎𝑔 ( 𝐮𝐫 ) = 𝑟𝑎𝑔 (2 1 0) ; |2 1 0| = −4 ≠ 0  𝑟𝑎𝑔 ( 𝐮𝐫 ) = 3
𝐮𝐬
𝐮𝐬
0 −2 0
0 −2 0
r y s se cruzan
𝐱 + 𝐲– 𝟐 = 𝟎
𝐃𝐚𝐝𝐨𝐬 𝐞𝐥 𝐩𝐥𝐚𝐧𝐨  ∶ 𝐱 + 𝐲 + 𝐚𝐳 = 𝐛 𝐲 𝐥𝐚 𝐫𝐞𝐜𝐭𝐚 𝐫: {
𝟐𝐲 + 𝐳 – 𝟒 = 𝟎
calcula a y b de modo que: a) r y  sean secantes. ¿En qué punto se cortan?. b) r y  sean paralelos, c) r este contenida en .
Pongamos la recta en paramétricas {
x = 2 − λ
x = 2– y
 { y = λ
𝐮𝐫 = ( −1, 1, −2)
z = 4 – 2y
z = 4 − 2λ
 : x + y + az = b  nπ = (1, 1, a).
Calculamos ur · nπ = (-1) · 1 + 1 · 1 + (-2) · a = - 2a
Si -2a = 0  a = 0 
A(2, 0, 4) ∈ r ;
Para a = 0 y b = 2
𝐮𝐫 · 𝐧𝛑 = 𝟎
2+0+0=b  b=2
 r≡π
r ≡ π
{r parelela a π
A∈π

Para a = 0 y b ≠ 2  r paralela a π
Para a ≠ 0 y ∀ b  r incide en π
Dados, el plano 𝝅 ≡ x – y + z + k = 0, donde k ϵ R, y la recta
(𝐱 – 𝟑)
𝐫 ≡
= 𝐲 + 𝟏 = − 𝐳 , se pide: a) Demuestra que para cualquier
𝟐
k ϵ R, la recta r es paralela al plano Л. b) Determina el valor de k ϵ R de
forma que la recta r esté contenida en el plano Л.
a) nл = (1, -1, 1)
ur = (2, 1, -1)
Para que л sea paralelo a r;
1·2 – 1·1 – 1·1 = 0
A = (3, -1, 0)
ur · nл = 0
2 -1 -1 = 0
y no depende del valor de k.
b) Sustituyo el punto A de la recta en la ecuación del plano para que r esté contenida en el
plano, porque si A (punto de la recta) pertenece también al plano, r pertenecerá al plano.
3·1 – 1· (-1) + 0 + k = 0;
k = -4 para este valor de k , r estará contenida en
Л ≡ x – y + z - 4 = 0 , ya que el punto A sustituido en la ecuación del plano hace que esta se
verifique.
𝐱 + 𝐲 +𝟏 = 𝟎
𝐃𝐚𝐝𝐨𝐬 𝐞𝐥 𝐩𝐮𝐧𝐭𝐨 𝐀 (𝟏, −𝟐, −𝟑), 𝐥𝐚 𝐫𝐞𝐜𝐭𝐚 𝐫 {
𝐲 𝐞𝐥 𝐩𝐥𝐚𝐧𝐨
𝐳 = 𝟎
π = x – 2y -3z + 1 = 0 se pide: a) Ecuación del plano que pasa por A, es
paralelo a r y perpendicular a π. b) Ecuación de la recta que pasa por A,
corta a r y es paralela a π.
x = −1 − λ
A (−1, 0, 0)
𝒂) Pasamos r a paramétricas { y = λ
=> {
𝒖𝒓 = (−1,1,0)
z = 0
Sacamos nπ (a partir del plano)
nπ (1, -2, -3)
AP
x−1 y+2 z+3
Formamos el nuevo plano π´ ≡ | uπ´ = ur | = 0 ; | 1
−2
−3 | =
vπ´ = nπ
−1
1
0
3y + 6 + z + 3 -2z -6 + 3x – 3 =0 => π’ = 3x + 3y – z = 0
b) Necesitamos construir un plano π’ que sirva de apoyo a la recta que se pide, por lo
que debe ser paralelo a π y pasar por A, por lo que sustituimos el punto para sacar d:
π = x - 2y – 3z + a = 0
1 - 2 · (-2) – 3 · (-3) + d = 0;
1 + 4 + 9 + d = 0;
d = - 14
El nuevo plano π’≡ x – 2y -3z - 14 = 0
Ahora estudiamos la posición relativa entre la recta r y π’:
uπ´ · ur = 1 · (-1) + (-2) · 1 – 3 · 0 ≠ 0
r incide en π’
Necesitamos buscar el punto en el que r incide en π’, para ello metemos las coordenadas
x, y, z de la recta r en paramétricas (apartado anterior) en la ecuación del plano:
(- 1 – λ) – 2λ – 3 · 0 - 14 = 0;
- 3λ – 15 = 0;
λ = -5 => sustituyendo en la ecuación
de la recta r nos queda M (-6, -5, 0).
Ahora sólo nos queda buscar el vector director de nuestra nueva recta t, que lo obtenemos a
partir de A y M.
AM = (-6, -5, 0) – (1, -2, -3) = (-7, -3, 3)
x = 1 − 7λ
𝑡 ≡ { y = −2 − 3λ
z = −3 + 3λ
𝛃 ∶ 𝐚𝐱 + 𝐲 = 𝟏
𝐃𝐚𝐝𝐨𝐬 𝐥𝐨𝐬 𝐩𝐥𝐚𝐧𝐨𝐬 {  : 𝐱 + 𝐲 + 𝐳 = 𝟏 𝐝𝐞𝐭𝐞𝐫𝐦𝐢𝐧𝐚 𝐥𝐨𝐬 𝐯𝐚𝐥𝐨𝐫𝐞𝐬
 ∶ 𝐱 + (𝐚 – 𝟏)𝐳 = 𝟎
𝐝𝐞 𝐚 𝐩𝐚𝐫𝐚 𝐥𝐨𝐬 𝐪𝐮𝐞: 𝐚) 𝐥𝐨𝐬 𝐩𝐥𝐚𝐧𝐨𝐬 𝐬𝐞 𝐜𝐨𝐫𝐭𝐚𝐧 𝐞𝐧 𝐮𝐧 𝐬𝐨𝐥𝐨 𝐩𝐮𝐧𝐭𝐨.
𝐛) 𝐬𝐞 𝐜𝐨𝐫𝐭𝐚𝐧 𝐞𝐧 𝐮𝐧𝐚 𝐫𝐞𝐜𝐭𝐚 𝐝𝐞 𝐩𝐮𝐧𝐭𝐨𝐬.
Para que se corten en un punto rg C = rg A = 3 = nº incognitas.
𝑎
|𝐶| = |1
1
1
1
0
0
1 | = a · ( a – 1 ) + 1 – (a – 1) = a2 − a + 1 – a + 1 =
𝑎−1
= a2 – 2 a + 2 ==> |C| = 0 ; a2 – 2 a + 2 = 0 ; a =
∀a ;
2 ± √4 − 8
∄a
2
|𝐶| ≠ 0 existe m.p. de orden 3  rg C = rg A = 3 = nº incognitas
Los três planos 𝛼 , β y ɣ se cortan en 1 punto . ∀a perteneciente a R
𝛑 ∶ 𝐦𝐱 + 𝐲 + 𝐳 = 𝟏
𝐃𝐚𝐝𝐨𝐬 𝐥𝐨𝐬 𝐩𝐥𝐚𝐧𝐨𝐬 {𝛑´ ∶ 𝐱 + 𝐦𝐲 + 𝐳 = 𝟏 Estudiar la posición
𝛑´´: 𝐱 + 𝐲 + 𝐦𝐳 = 𝟏
relativa de los mismos según los valores de m.
Para estudiar la posición relativa de 3 planos, veamos cuánto valen los rangos de la
matriz de coeficientes y de la ampliada según los valores de m.
𝑚
𝑆𝑒𝑎 𝑙𝑎 𝑚𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧 ( 1
1
1
𝑚
1
1
1
𝑚
⋮ 1
𝑚
⋮ 1) => |𝐶| = | 1
⋮ 1
1
1
𝑚
1
1
1| =
𝑚
𝑚=1
= 𝑚3 + 1 + 1 – m – m – m = 𝑚3 − 3𝑚 + 2 => 𝑅𝑢𝑓𝑖𝑛𝑖 => { 2
𝑚 +𝑚−2=0
𝑚=
−1 ± √1+ 8
2
= {
𝑚=1
𝑚 = −2
y ∀ m ≠ 1, -2
Los valores a discutir son m = 1 , m = -2
x + y + z = 1
𝑚 = 1 {x + y + z = 1
x + y + z = 1
Es obvio que los 3 planos son coincidentes
−2x + y + z = 1
𝑚 = −2 { x – 2y + z = 1 => 𝐶𝑜𝑚𝑜 |𝐶| = 0 ==> 𝑟𝑎𝑔 𝐶 < 3
x + y – 2z = 1
−2 1
𝑦 𝑐𝑜𝑚𝑜 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒 |
| = 4 – 1 ≠ 0 =>
1 −2
rg C = 2
Ampliemos con los términos independientes:
−2 1 1
| 1 −2 1| = 4 + 1 + 1 + 2 + 2 – 1 ≠ 0  rag A = 3 y rag C = 2
1
1 1
Sistema incompatible, no existen soluciones de corte.
Geométricamente se observa que los planos no son paralelos dos a dos.
−2
1
1
1
≠ −2 ≠ 1 ;
−2
1
1
1
≠ 1 ≠ −2 ;
1
1
≠
−2
1
1
≠ −2 ;
Por lo que los planos solo pueden estar formando un triedro.
∀ m ≠ -2 , 1  C ≠ 0  rgC = 3 y el rgA = 3 pues no existen menores de orden 4.
Si rgC = rgA = nº de incógnitas = 3  Sistema compatible determinado  existe una única
solución que geométricamente indica que los 3 planos se cortan en un punto.
Dados los vectores a y b del espacio. ¿Siempre es posible encontrar
otro vector c tal que multiplicado vectorialmente por a nos de el vector
b?. ¿Por que ?.
No siempre será posible. El vector a x c, cualquiera que sea c, será perpendicular tanto
al a como al c. Por tanto solamente podrá ser igual al b en el caso de que el a y el b sean
perpendiculares.
En este caso, basta con tomar un vector c que forme un Angulo cualquiera  con el a y
de modo que c.b = 0 y además que
|𝑏| = |𝑎| · |𝑐| · 𝑠𝑒𝑛 𝛼 => |𝑐| =
|𝑏|
|𝑎|·𝑠𝑒𝑛𝛼
Uno de los productos a x c o c x a deberá ser igual al b
Dados en R3 : u = (a,1,a) , v = (0,a,1) y w = (2,1,1) , a) ¿Para qué valores de a son linealmente dependientes los tres vectores?. b) obtén en
cada caso una combinación lineal de los mismos cuyo resultado sea el vector nulo y los coeficientes distintos de cero.
a) Para que sean linealmente dependientes, el determinante formado por los tres
vectores ha de valer cero.
𝑎
|0
2
1
𝑎
1
𝑎
1| = 𝑎2 + 2 − 2𝑎2 − 𝑎 = −𝑎2 − 𝑎 + 2 => −𝑎2 − 𝑎 + 2 = 0
1
𝑎2 + 𝑎 − 2 = 0 => 𝑎 =
−1±√1+8
2
=
−1 ± 3
2
= {
1
−2
Para a = 1 y para a = -2 , los tres vectores son linealmente dependientes.
λ1 + 2λ3 = 0
Para a = 1  λ1 · 𝐮 + λ2 · 𝐯 + λ3 · 𝐰 = 0 => {λ1 + λ2 + λ3 = 0
λ1 + λ2 + λ3 = 0
Sistema homogéneo compatible indeterminado.   soluciones con i  0
{
λ1 = −2λ3
λ = λ3 una combinación lineal será: -2·u + v + w para 3 = 1
λ2 = −λ1 − λ3 => 2
−2λ1 + 2λ3 = 0
Para a = −2  λ1 · 𝐮 + λ2 · 𝐯 + λ3 · 𝐰 = 0 => { λ1 − 2λ2 + λ3 = 0
−2λ1 + λ2 + λ3 = 0
Sistema homogéneo compatible indeterminado   soluciones con i  0
-21 + 2 + 3 = 0
1 = 3 una combinación lineal será: u + v + w
para 3 = 2
𝛑𝟏 : 𝐱 + 𝟐𝐲 – 𝐳 = 𝟏
Dados los planos {𝛑𝟐 : 𝟑𝐱 − 𝐳 = 𝟑
Estudiar la posición
𝛑𝟑 : − 𝐱 + 𝟐𝐲 + 𝐳 = 𝟕
relativa.
𝛑𝟏
1 2 −1
𝑟𝑎𝑔 (𝛑𝟐 ) = 3 𝑝𝑜𝑟𝑞𝑢𝑒 | 3 0 1 | ≠ 0
𝛑𝟑
−1 2 1
rag C = 3, existe menor principal de orden 3 en C
rag A = 3, no existe menor principal de orden 4 en A
Л1, Л2, Л3 se cortan en un punto porque rgC = rgA = 3 = nº de incógnitas, existe solución
única que es el punto de corte.
Dados los vectores de R3 : u = (1,2,-1) y v = (2,1,0) añade un vector w
para que los vectores u, v y w sean: a) linealmente independientes , b)
linealmente dependientes.
𝒖
1 2 −1
𝒂) | 𝒗 | ≠ 𝟎 El 𝐰 puede ser (0, −1,1)  |2 1
0 | = 1 + 2 – 4 = − 1  l. i.
𝒘
0 −1 1
𝒖
1
𝒃) | 𝒗 | = 𝟎 El 𝐰 puede ser (3,3, −1)  |2
𝒘
3
2 −1
1 0 | = −⊥ 1 − 6 + 3 + 4 = 0  l. d.
3 −1
Dados los vectores u = (1, 2 ,0) y v= (2, 1, 1) , encuentra un vector w
de modulo √𝟑𝟓 y perpendicular a los dos anteriores.
𝐰 = (wx , wy , wz ) => 𝐰 ⊥ 𝐮
wx = −3wy
wx + 3wy + 0 · wz = 0
=> { 𝟐wx + wy + wz = 0 => { wy = −2 · (−3wy ) − wz => wz = 5wy
wx 2 + wy 2 + wz 2 = 35
wx 2 + wy 2 + wz 2 = 35
9wy 2 + 25wy 2 + wy 2 = 35
; 35wy 2 = 35 ; wy 2 = 1 ; wy =  1
wy = 1 ; wx = - 3 ; wz = 5 ; w = ( -3 , 1, 5 )
wy = -1 ; wx = 3 ; wz = -5 ; w = ( 3 , -1, -5 )
Dados los vectores u = (1, 4, x) y v = (0, 3, y), obtén x e y con la
condición de que u y v sean perpendiculares y de que |𝒗| = 5.
𝒖 ⊥ 𝒗 , 𝒖 · 𝒗 = 0 ; 1· 0 + 4· 3 + x · y = 0
|𝑣| = 5 => √0 + 9 + 𝑦 2 = 5 ; 9 + 𝑦 2 = 25 ; 𝑦 2 = 16 => 𝑦 = ±4
y=4
12 + 4x = 0 ; 4x = - 12 ; x = - 3
y= - 4
12 – 4x = 0 ; 4x = 12
;x=3
Dados los vectores u (3,2,1) , v(-1,0,2) y w(1,1,0) obtén:
a) u · (v + w) ; b) u x (v - w) ; c) u x (v+w) ; d) u · (v -w) :
a) u · (v + w) = (3, 2 ,1) · (0, 1, 2) = 3·0 + 2·1 + 1·2 = 4

i

j

k
b) u x (v - w) = 3
2
1 = 5i - 8j +k
 2 1 2
  
i j k
c) u x (v + w) = 3 2 1 = 3i – 6j + 3k
0 1
2
d) u · (v - w) = (3, 2 ,1) · (-2, -1, 2) = - 6 - 2 + 2 = - 6
Dados los vectores u = (9, 3, –3) y v = (1, 2, 3), calcula: a) modulo de u
y v respectivamente; b) producto vectorial de u y v; c) vector unitario de
u y de v; d) área del paralelogramo que tiene por lados los vectores u y v.
a) 𝐮 (9, 3, – 3) ; |u| = √81 + 9 + 9 = √99 ; 𝐯 = (1, 2, 3) ; |𝑣| = √1 + 4 + 9 = √14
i j
k
𝑏) 𝐮 x 𝐯 = |9 3 −3| = 15 𝐢 – 30 𝐣 + 15 𝐤
1 2 3
𝑐)
𝑢
𝒖´ = |𝒖| =
(9,3,–3)
𝑣
𝒗´ = |𝒗| =
3√11
(1,2,3)
√14
=(
3
√11
1
=(
√14
,
,
1
√11
2
√14
,
,
1
)
√11
3
)
√14
𝑑) 𝑆𝑝𝑎𝑟𝑎𝑙𝑒𝑙𝑜𝑔𝑟𝑎𝑚𝑜 = 𝐮 x 𝐯 = √𝟏𝟓𝟐 + (−𝟑𝟎)𝟐 + 𝟏𝟓𝟐 = √𝟏𝟑𝟓𝟎 = 𝟏𝟓 · √𝟔 𝐮𝟐
Dados los vectores: u = (a, 1+a, 2a) , v = ( a,1,a) , w = (1,a,1) se pide:
a) Determina los valores de a para los que los vectores u, v y w sean linealmente independientes. b) Estudia si x = (3,3,0) depende linealmente
de los vectores u, v y w para el caso a = 2. Justifica la respuesta.
u
a 1+a
v
𝐮, 𝐯 y 𝐰 son vectiores l. i si | | ≠ 0 => | a
1
w
1
a
3
3
2
3
(1
2a − 2a – a · + a) − a = a + a + a + 2a − 2a –
2a
a | = a + a · (a + 1) +
1
a − a2 − a3 = a 3 − a
a=0
2
(a
𝑺𝒊 a − a = 0 ; a ·
− 1) = 0 => { a = 1
a = −1
 a  0, 1 , -1 los tres vectores son l.i. y siempre se podrá poner x como combinación
lineal de u, v y w.
Si x = (3,3,0)  (3,3,0) = 1 · (2,3,4) + 2 · (2,1,2) + 3 · (1,2,1)
3
3 = 2λ1 + 2λ2 + λ3
3
{3 = 3λ1 + λ2 + 2λ3 => (1) − (3) => 3 = −2λ1 => λ1 = −
2
0 = 4λ1 + 2λ2 + λ3
3
3 = 2 · (− 2) + 2λ2 + λ3 => 6 = 2λ2 + λ3 => λ3 = 6 − 2λ2
3
9
9
3 = 3 · (− 2 ) + λ2 + 2 · (6 − 2λ2 ) => 3 + 2 − 12 = λ2 − 4λ2 => − 2 = −3λ2
𝟑
𝝀𝟐 = 𝟐 =>
3 = 2 · (-3/2) + 2 · (3/2) + 3  3 = 3
Las nuevas coordenadas del x serán x = (-3/2, 3/2, 3)
Determina el modulo del vector v + w sabiendo que |𝐮| = 𝟐𝟎 ,
𝐮 · 𝐯 = 𝟔 , u · w = 4 y el ángulo que forman u con (v + w) es 60º
cos ( 𝐮 , 𝐯 , 𝐰) =
𝐮 · (𝐯 + 𝐰)
𝐮·𝐯+𝐮·𝐰
6+4
1
=
=> cos 60 =
=
|𝐮| · |𝐯 + 𝐰| |𝐮| · |𝐯 + 𝐰|
20 · |𝐯 + 𝐰| 2
 20 = 20v + w  v + w= 1
𝐱 = 𝟐+𝛌
𝐃𝐞𝐭𝐞𝐫𝐦𝐢𝐧𝐚 𝐞𝐥 𝐩𝐮𝐧𝐭𝐨 𝐝𝐞 𝐢𝐧𝐭𝐞𝐫𝐬𝐞𝐜𝐜𝐢ó𝐧 𝐝𝐞 𝐥𝐚 𝐫𝐞𝐜𝐭𝐚 𝐫: {𝐲 = 𝟑 − 𝟐𝛌 𝐜𝐨𝐧
𝐳 = 𝟒 − 𝟑𝛌
𝐞𝐥 𝐩𝐥𝐚𝐧𝐨 : 2x + 3y – 5z + 6 = 0
Sustituimos la x, y y z de las paramétricas de la recta en las del plano
2·(2 + ) + 3·(3 - 2) – 5·(4 - 3) + 6 = 0
4 + 2·λ + 9 – 6·λ – 20 + 15·λ + 6 = 0  11·λ – 1 = 0  λ = 1 / 11
El punto de intersección se obtiene sustituyendo λ en las paramétricas de r
C (2 + 1/11, 3 – 2/11, 4 – 3/11) = (23/11, 31/11, 41/11)
Determinar la ecuación de un plano que pasa por el punto (1, 0, 2) y es
𝒚+𝟒
𝒛
𝒙 𝒚
𝒑𝒂𝒓𝒂𝒍𝒆𝒍𝒐 𝒂 𝒍𝒂 𝒗𝒆𝒛 𝒂 𝒍𝒂𝒔 𝒓𝒆𝒄𝒕𝒂𝒔 𝒙 =
=
;
= =𝒛+𝟏
𝟐
−𝟏
𝟐 𝟑
𝑥
𝑟𝑒𝑐𝑡𝑎 𝑟 ≡ 1 =
𝑥
𝑟𝑒𝑐𝑡𝑎 𝑠 ≡ 2 =
𝑦+4
2
𝑦
3
=
𝑧
= −1 => 𝐮 = (1, 2, −1)
𝑧+1
1
=> 𝐯 = (2, 3, 1)
El plano pedido tendrá como vectores dirección los proporcionales al u y al v y tomando
un punto genérico P(x,y,z), el vector AP pertenecerá también al plano.
𝑥−1 𝑦
𝐿𝑜𝑠 𝑡𝑟𝑒𝑠 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑑𝑒𝑏𝑒𝑟𝑎𝑛 𝑠𝑒𝑟 𝑙. 𝑑. , 𝑙𝑢𝑒𝑔𝑜 | 1
2
2
3
==> 5.(x - 1) - 3y - (z - 2) = 0
𝑧−2
−1 | = 0 =>
1
El plano será : 5x - 3y - z - 3 = 0
Determinar el valor de a para que los puntos (1, 2, -1) , (a, 3, 0) y
(2a, 5, 2) estén alineados. Hallar las ecuaciones de la= recta que determinan para ese valor de a.
Para que tres puntos A, B y C estén alineados, será necesario que AC = ·AB
AB = (a - 1, 1, 1)
2𝑎−1
𝑎−1
3
AC = (2a - 1, 3, 3)
3
= 1 = 1 => 2𝑎 − 1 = 3 · (𝑎 − 1) => 2a - 1 = 3a - 3 ==> a = 2
Si a = 2 el vector AB = (1, 1, 1) ∈ r
𝑟≡
𝑥−1
1
𝑦−2
=
1
=
𝑧+1
1
𝑦 𝑒𝑛 𝑟𝑒𝑑𝑢𝑐𝑖𝑑𝑎𝑠 𝑞𝑢𝑒𝑑𝑎 {
x − 1 = y − 2 ;
x − 1 = z + 1 ;
x − y + 1 = 0
x − z − 2 = 0
Determinar la posición relativa de las rectas:
𝐱 + 𝟐𝐲 – 𝟓𝐳 – 𝟓 = 𝟎
𝒙+ 𝟒
𝒚−𝟕
𝒛
𝒓≡
=
= ; 𝒔≡ {
−𝟑
𝟒
𝟏
𝟐𝐱 + 𝐲 + 𝟐𝐳 – 𝟒 = 𝟎
r≡
x+ 4
−3
=
y−7
4
z
= 1 =>
{
A (– 4, 7, 0)
ur = (– 3, 4, 1)
x + 2y – 5z – 5 = 0 → x + 2y = 5 + 5z
𝑠≡{
2x + y + 2z – 4 = 0 → 2x + y = 4 – 2z
𝑥=
𝑦=
5 + 5𝑧 2
|
|
4 − 2𝑧 1
1 2
|
|
2 1
1 5 + 5𝑧
|
|
2 4 − 2𝑧
1 2
|
|
2 1
=
5 + 5z – 8 + 4z
1–4
–3 + 9z
–3
= 1 − 3𝑧
==>
=
4 – 2z – 10 – 10z
1–4
𝑥 = 1 − 3𝜆
==> {𝑦 = 2 + 4𝜆
𝑧=𝜆
ur = (–3, 4, 1)
=
=
–6 − 12z
–3
∀𝝀 ∈ 𝑹 => {
; us = (–3, 4, 1)
= 2 + 4𝑧
B (1, 2, 0)
𝒖𝒔 = (– 3, 4, 1)
; AB = (5, –5, 0)
𝒖𝒓
𝑟𝑎𝑔 (𝒖 ) = 1 𝑦𝑎 𝑞𝑢𝑒
𝒔
𝑨𝑩
5 −5
𝒖
𝑟𝑎𝑔 ( 𝒓 ) = 2 𝑦𝑎 𝑞𝑢𝑒 |−3 4
𝒖𝒔
−3 4
{
𝒖𝒓 = 𝒖 𝒔
0
1| = 0 ; ∄𝑚. 𝑝. 𝑜𝑟𝑑𝑒𝑛2
1
r y s son paralelas
𝐃𝐞𝐭𝐞𝐫𝐦𝐢𝐧𝐚𝐫 𝐥𝐚 𝐫𝐞𝐜𝐭𝐚 𝐪𝐮𝐞 𝐩𝐚𝐬𝐚 𝐩𝐨𝐫 𝐞𝐥 𝐩𝐮𝐧𝐭𝐨 𝐀(𝟏, −𝟏, 𝟎)𝐲 𝐪𝐮𝐞 𝐜𝐨𝐫𝐭𝐚
𝐱
𝐲−𝟐
𝐳
𝐱−𝟐
𝐲
𝐳−𝟏
𝐚 𝐥𝐚𝐬 𝐫𝐞𝐜𝐭𝐚𝐬: 𝐫 ≡ =
= ; 𝐬≡
= =
𝟏
−𝟏
𝟐
𝟑
𝟐
𝟏
La recta t que corta a las rectas r y s vendrá dada
como intersección de dos planos  y '
𝝅≡
A(1, −1 ,0)
{
𝐮  r = (1, −1,2)π
B(0, 2, 0)  r π ==> 𝐀𝐁 = (−1, 3, 0) π
𝑥−1 𝑦+1 𝑧
| 1
−1
2| = 0 => − 6. (x − 1) − 2. (y + 1) + 2. z = 0
−1
3
0
  - 6x – 2y + 2z + 4 = 0

3x + y - z - 2 = 0
A(1, −1 ,0)
𝝅´ ≡ {
𝐯  s = (3, 2, 1)π´
C(2, 0, 1)  s π´ ==> 𝐀𝐂 = (1, 1, 1)π´
𝑥−1 𝑦+1 𝑧
| 3
2
1| = 0 => x − 1 − 2. (y + 1) + z = 0 
1
1
1
3x + y − z = 2
La recta t ≡ {
x − 2y + z = 3
x - 2y + z - 3 = 0
En paramétricas resolvemos el sistema
Determinar los valores de los parámetros a y b , para que las rectas:
𝟐𝐱 – 𝐲 = 𝟎
𝐱 + 𝐛𝐲 = 𝟑
𝒓: {
𝒔: {
𝐬𝐞 𝐜𝐨𝐫𝐭𝐞𝐧 𝐨𝐫𝐭𝐨𝐠𝐨𝐧𝐚𝐥𝐦𝐞𝐧𝐭𝐞
𝐲 + 𝐳 = 𝟑
𝐚𝐱 – 𝐳 = 𝟎
Primero obligamos a que r y s se corten ;
𝑥=𝜆
A(0, 0, 0)
y = 2x
𝑟: {
=> {𝑦 = 2𝜆 ∀𝝀 ∈ 𝑹 => {
𝒖𝒓 = (1, 2, a)
z = ax
𝑧 = 𝑎𝜆
AB = (3, 0, 3)
𝑠: {
x = 3– b·
x = 3 – by
B(3, 0, 3)
=> { y = 
∀𝝀 ∈ 𝑹 => {
𝒖𝒔 = (− b, 1, −1)
z = 3– y
z = 3 − 
AB
3
Para que r y s se corten  rag ( 𝒖𝒓 ) = 2 => | 1
𝒖𝒔
−𝑏
- 6 + 3 + 6b – 3a = 0
- 3 + 6b – 3a = 0 
0
2
1
3
𝑎 |=0
−1
a – 2b + 1 = 0
Para que sean perpendiculares ur y us lo deben de ser 
ur · us = 0
 (1 , 2 , a) · (-b , 1 , -1) = 0  - b + 2 – a = 0
{
a + b– 2 = 0
=> 𝑅𝑒𝑠𝑡𝑎𝑛𝑑𝑜 3b – 3 = 0 ; 𝐛 = 𝟏 y a + 1 – 2 = 0 ; a = 1
a – 2b + 1 = 0
Discute y resuelve según los valores de m, la posición relativa de los
siguientes planos, indicando las figuras geométricas que determinan.
π1 ≡ x – y = 1 ; π2 ≡ 2x + 3y – 5z = - 16 ; π3 ≡ x + my – z = 0
1
|C| = |2
1
−1 0
3 −5| = − 3 + 5 – 2 + 5m = 5m ; Si |C| = 0 =>
m −1
5m = 0 => 𝑚 = 0
m = 0  ∄ m.p. orden 3 en C ;  ∃ m.p. orden 2 en C  rg C = 2
1 −1
|𝐶´| = |
| = 3 + 2 = 5 ≠ 0  existe m. p. orden 2 en C  rg C = 2
2 3
1 −1
1
|𝐴| = |2 3 −16| = 16 – 3 = 13 ≠ 0  existe m. p. orden 3 en A  rg A = 3
1 0
0
Si rg C < rg A  sistema incompatible, no existe ningún punto de corte
Si buscamos el paralelismo o coincidencia de dos en dos planos, vemos que siempre se
cortan en rectas.
En este caso podemos asegurar que los tres planos se cortan 2 a 2 en rectas paralelas
(Triedro de planos)
Si m ≠ 0 
C ≠ 0  existe m.p. orden 3 en C  rg C = 3
Como no existe menor de orden 4 en A  rg A = 3
Si rg C = rg A = nº incognitas  sistema compatible determinado  solucion unica.
Los tres planos se cortan en un punto.
Discute sin resolver, según los valores de m, la posición relativa de los
siguientes planos, indicando las figuras geométricas que determinan.
π1 ≡ x – y – mz = 1 ; π2 ≡ - 3x + 2y + 4z = m ; π3 ≡ - x + my + z = 0
1 −1 −m
|C| = |−3 2
4 | − 2 + 3m2 + + 4 – 2m – 3 – 4m = 3m2 − 6m + 3
−1 m
1
𝑆𝑖 |𝐶| = 0 => m2 − 2m + 1 = 0 => 𝑚 = {
m=1
1
1
 ∄ m.p. orden 3 en C ;  rg C < 3
|𝐶´| = | 1 −1| = 2 − 3 = −1 ≠ 0; ∃ m. p. orden 2 en C  rg C = 2
−3 2
1 −1 1
|𝐴| = |−3 2 1| =1 – 3 + 2 – 1 = -1 ≠ 0  ∃ m.p. orden 3 en A  rg A = 3
−1 1 0
Si rg C < rg A  sistema incompatible, no existe ningún punto de corte
Si buscamos el paralelismo o coincidencia de dos en dos planos, vemos que los planos
π1 y π3 son paralelos ya que
Si m ≠ 1 
1
=
−1
−1
1
=
−1
1
y π2 los corta a cada uno en rectas paralelas
|𝐶| ≠ 0  ∃ m.p. orden 3 en C  rg C = 3
Como no existe menor de orden 4 en A  rg A = 3
Si rg C = rg A = nº incógnitas  sistema compatible determinado  solución única.
Los tres planos se cortan en un punto.
Dos vectores unitarios u y v forman un ángulo de 60º. Hallar:
a) su producto escalar. b) el vector proyección ortogonal de v sobre u.
c) el vector proyección ortogonal de u sobre v.
1
𝐚) 𝐮 · 𝐯 = |𝐮| · |𝒗| · cos α = 1 · 1 · cos 60 = 2
𝒃) |𝐩𝐫𝐨𝐲𝐮 𝒗| =
|𝒖·𝒗|
𝒄) |𝐩𝐫𝐨𝐲𝐯 𝒖| =
|𝒖·𝒗|
|𝒖|
|𝒗|
=
0,5
=
0,5
1
1
= 0,5 ;
𝐩𝐫𝐨𝐲𝐮 𝒗 = 0,5 · 𝐮
= 0,5 ;
𝐩𝐫𝐨𝐲𝐯 𝒖 = 0,5 · 𝐯
Dos vértices consecutivos de un paralelogramo son A(1,1,1) y B(0,2,0).
El centro del paralelogramo es O(0,0,1). Se pide: a) las coordenada de los
otros dos vértices; b) el área del paralelogramo.
D
C
AB = OB –OA= (0, 2, 0) – (1, 1, 1) = (–1, 1, 1)
O
C (x, y, z)
A
B
𝐀𝐂 = 2 𝐀𝐎 =>
x–1
−1
=
AO = (0, 0 1) – (1, 1, 1) = (–1, –1, 0)
y–1
−1
=
z–1
0
𝑥 − 1 = −2 ; 𝑥 = −1
𝑦
= 2 => { − 1 = −2 ; 𝑦 = −1 =>
𝑧 − 1 = 0 ; 𝑧 = −1
C (– 1, – 1, 1) . 𝐶𝑜𝑚𝑜 CD = (x ´ +1, y ´ +1, z ´ –1)
𝑥´+1
−1
=
𝑦´+1
1
=
𝑧´−1
1
AC = (x–1, y–1, z–1)
y AB = – CD 
𝑥´ = 0
= −1 => {𝑦´ = −2 D (0, –2, 2)
𝑧´ = 2
𝒊
𝑗
𝒌
𝐴𝑟𝑒𝑎 = |𝐀𝐁 x 𝐀𝐃| = ‖−1 1 −1‖ = |– 2 𝐢 + 2 𝐣 + 4 𝐤| = √4 + 4 + 16 =
−1 −3 1
= √24 𝑢2
En R3, el vector x = (5,-1,2), ¿es combinación lineal de los vectores
u = (3,-1,2) y v = (1,0,4) ?.
Para que x sea combinación lineal de los vectores u y v es necesario que el rango de la
matriz formada por los tres vectores sea 2 , o lo que es lo mismo que no exista menor
principal de orden 3 en la matriz.
5
|3
1
−1 2
−1 2| =- 20 – 2 + 2 + 12 = - 8 ≠ 0
0 4
Como si existe menor principal de orden 3  rango A = 3  los tres vectores son
linealmente independientes por lo que el vector x no es combinación lineal de u y v.
En R3 , el vector x = (1,6,-5), ¿depende linealmente de los vectores
u1 = (0,1,1) , u2 = (2,1,0) , u3 = (-1,1,-2) ?.
El que un vector x dependa linealmente de otros tres vectores u1, u2, y u3 es lo mismo
que decir que x se puede poner como combinación lineal de los tres.
x = λ1· u1 + λ2· u2 + λ3· u3  (1,6,-5) = λ1· (0,1,1) + λ2· (2,1,0) + λ3· (-1,1,-2)
1 = 2𝜆2 − 𝜆3
1 = 2𝜆2 − 𝜆3
6
{ = 𝜆1 + 𝜆2 + 𝜆3 Al resolver el sistema deben salir tres λ únicos {
11 = 𝜆2 + 3𝜆3
−5 = 𝜆1 − 2𝜆3
=> {
3 = 6𝜆2 − 3𝜆3
=> 14 = 7λ2 => λ2 = 2
11 = 𝜆2 + 3𝜆3
11 – 2 = 3 λ3 
λ3 = 3
y 6 = λ1 + 2 + 3  λ1 = 1
Al ser los tres λ reales y únicos puedo asegurar que el vector x es combinación lineal de
los otros tres.
Escribe la ecuación implícita de un plano que pasa por el origen de
𝒙−𝟑
𝒚−𝟕
𝒛−𝟖
coordenadas y que es paralelo a las rectas 𝒓 ≡
=
=
y
𝟐
𝟑
𝟒
𝒔≡x=y=z
ur
O
uπ = k· ur
vπ = k· us
A x
us
Bx
P
Como ur = (2, 3, 4) y us = (1, 1, 1) , al proyectarlos paralelamente sobre el plano pedido,
podremos asegurar que
uπ = k· ur = (2, 3, 4) , que vπ = k· us = (1, 1, 1) y que el OP = (x, y, z)
𝑶𝑷
𝑶𝑷
Como OP, uπ y vπ deben de ser l.i  𝒓𝒂𝒈 ( 𝐮𝛑 ) = 𝟐 => | 𝐮𝛑 | = 𝟎
𝐯𝛑
𝐯𝛑
𝑥
|2
1
𝑦
3
1
𝑧
4| = 0 =>3x + 3y + 2z – 3z – 2y – 4x = 0  - x + 2y – z = 0
1
π ≡ x – 2y + z = 0
Escribir la ecuación de una recta paralela al eje OY y que pasa por el
punto (1, -2, 3)
x=0
Las ecuaciones parametricas del eje OY son ∶ {y = λ
z=0
Como r 𝑒𝑠 𝑝𝑎𝑟𝑎𝑙𝑒𝑙𝑜 al eje OY  ur = k · (0, 1, 0) = (0, 1, 0) y como A(1, -2, 3) ∈ r
𝑥=1
𝑟 ≡ {𝑦 = −2 + 𝜆 ∀𝝀 ∈ 𝑹
𝑧=3
Estudia la dependencia e independencia lineal en R3 de los vectores:
u = (-1,3,4) , v = (2,1,1) y w(-4,5,7) .
−1 3 4
Calculemos el | 2 1 1|- 7 – 12 + 40 + 16 – 42 + 5 = 0
−4 5 7
Al ser el determinante de orden 3 igual a cero  No existe menor principal de orden 3 al
calcular el rango de la matriz formada por los tres vectores  los tres vectores son
linealmente dependientes
𝐱+𝟏 𝐲 𝒛−𝟏
𝐄𝐬𝐭𝐮𝐝𝐢𝐚 𝐥𝐚 𝐩𝐨𝐬𝐢𝐜𝐢ó𝐧 𝐫𝐞𝐥𝐚𝐭𝐢𝐯𝐚 𝐝𝐞 𝐥𝐚𝐬 𝐫𝐞𝐜𝐭𝐚𝐬 𝐫:
= =
𝒚
−𝟐
𝟏
𝟐
𝐱 + 𝐲 + 𝟏 = 𝟎
𝒔: {
𝐲 𝐜𝐚𝐥𝐜𝐮𝐥𝐚 𝐞𝐥 á𝐧𝐠𝐮𝐥𝐨 𝐪𝐮𝐞 𝐟𝐨𝐫𝐦𝐚𝐧.
𝐳 = 𝟎
Para estudiar la posición relativa de r y s necesitamos
A(−1, 0, 1)
𝑟≡{
𝐮𝐫 = (−2, 1, 2)
𝑠≡{
𝑥 = −1 − 𝜆
B(−1, 0, 0)
=> {
=> 𝐀𝐁 = (0, 0, −1)
𝑦=𝜆
𝐮𝐬 = (−1, 1, 0)
𝑧=0
𝐀𝐁
𝐀𝐁
0 0 −1
| 𝐮𝐫 | = |−2 1 2 | = 2 – 1 = 1 ≠ 0 => 𝑟𝑎𝑔 ( 𝐮𝐫 ) = 3
𝐮𝐬
𝐮𝐬
−1 1 0
r y s se cruzan en el espacio.
α (r, s) = arc cos
α (r, s) = arc cos
𝐮𝐫 · 𝐮𝐬
2 · (−1) + 1 · 1 + 2 · 0
3
= arc cos
= 𝑎𝑟𝑐 𝑐𝑜𝑠
|𝐮𝐫 · 𝐮𝐬 |
√4 + 1 + 4 · √1 + 1 + 0
√9 · √2
1
√2
= 45º
𝐱 = 𝟐 − 𝟑𝐭
𝐄𝐬𝐭𝐮𝐝𝐢𝐚 𝐥𝐚 𝐩𝐨𝐬𝐢𝐜𝐢ó𝐧 𝐫𝐞𝐥𝐚𝐭𝐢𝐯𝐚 𝐝𝐞 𝐥𝐚𝐬 𝐫𝐞𝐜𝐭𝐚𝐬: 𝐫 ≡ {𝐲 = 𝟑 + 𝟓𝐭 ;
𝐳=𝐭
𝐱 = 𝟏−𝐭
𝐬 ≡ { 𝐲 = 𝟐𝐭 . 𝐄𝐧 𝐞𝐥 𝐜𝐚𝐬𝐨 𝐞𝐧 𝐪𝐮𝐞 𝐬𝐞 𝐜𝐨𝐫𝐭𝐞𝐧, 𝐨𝐛𝐭é𝐧 𝐞𝐥 𝐩𝐮𝐧𝐭𝐨
𝐳=𝟓
𝐝𝐞 𝐜𝐨𝐫𝐭𝐞.
𝒓≡{
A(2, 3, 0)
B(1, 0, 5)
𝒔≡{
𝑨𝑩 = (-1, -3, 5)
𝐮𝐫 = (−3, 5, 1)
𝐮𝐬 = (−3, 5, 1)
𝒖𝒓
−3 5 1
𝑟𝑎𝑔 (𝒖 ) = 𝑟𝑎𝑔 (
) = 2 𝑝𝑜𝑟 𝑠𝑒𝑟 𝑙. 𝑖.
𝒔
−1 2 0
𝑨𝑩
−1 −3 5
𝒖
𝑟𝑎𝑔 ( 𝒓 ) = 2 𝑦𝑎 𝑞𝑢𝑒 |−3 5 1| = 0 ; ∄𝑚. 𝑝. 𝑜𝑟𝑑𝑒𝑛2
𝒖𝒔
−1 2 0
{
r y s se cortan en un punto P.
2 – 3t = 1 - λ
3 + 5t = 2 λ
t= 5
 t = 5  P( 2 – 15 , 3 + 25, 5) = (-13, 28, 5)
𝐱 − 𝐲 + 𝐳 = 𝟎
𝐄𝐬𝐭𝐮𝐝𝐢𝐚𝐫 𝐥𝐚 𝐩𝐨𝐬𝐢𝐜𝐢ó𝐧 𝐝𝐞 𝐥𝐨𝐬 𝐩𝐥𝐚𝐧𝐨𝐬: {𝟑𝐱 + 𝟐𝐲 – 𝟐𝐳 = 𝟏 𝐞𝐬𝐩𝐞𝐜𝐢𝐟𝐢 −
𝟓𝐱
= 𝟏
𝐜𝐚𝐧𝐝𝐨 𝐬𝐢 es vacía, o se trata de un punto , de una recta o de otra figura.
Vamos a calcular los rangos de las matrices de coeficientes y ampliada que forman mis
tres planos.
1 −1 1
|𝐶| = |3 2 −2| =10 – 10 = 0
5 0
0
rg C = 2 ya que si existe m.p.orden 2 en C
1 −1 0
|𝐴| = |3 2 1| =2 – 5 + 3 = 0
5 0 1
rg A = 2 ya que si existe m.p.orden 2 en A
rg C = rg A = 2 < nº de incógnitas ==> sistema compatible indeterminado con infinitas
soluciones, las cuales representan los infinitos puntos de la recta común a los tres planos.
1
1
x =
5x = 1 ==> 𝑥 =
5
5
La ecuación de la recta común será ∶ {
=>
1
1
y = + λ
y = + z
5
5
{ z=λ
Estudiar la posición relativa de dos rectas r y s y calcular el ángulo que
𝐱 = 𝟐 + 𝛌
x−1 y z
𝐟𝐨𝐫𝐦𝐚𝐧. r:
= = ; s: { 𝐲 = 𝟑 + 𝟐𝛌
2
3 4
𝐳 = 𝟒 + 𝟑𝛌
Sacamos los vectores ur = (2,3,4) y us = (1,2,3) y los puntos A = (1,0,0) y
B = (2,3,4)  AB = (1,3,4)
𝐴𝐵
𝐴𝐵
1
𝑟𝑎𝑔 ( 𝑢𝑟 ) => | 𝑢𝑟 | = |2
𝑢𝑠
𝑢𝑠
1
Existe m. p. orden 3 
𝛼 = 𝑎𝑟𝑐 cos
3 4
3 4| = 9 + 16 + 12 – 12 – 8 – 18 = 1 ≠ 0
2 3
r y s se cruzan en el espacio.
|𝑢𝑟 · 𝑢𝑠 |
2 ∙ 1 + 3 ∙ 2 + 4 ∙ 3
20
= 𝑎𝑟𝑐 cos
= 𝑎𝑟𝑐 cos
=
|𝑢𝑟 | · |𝑢𝑠 |
√29 · √14
√4 + 9 + 16 · √1 + 5 + 4
= 𝑎𝑟𝑐 cos 0,99 = 8,1º
𝐄𝐬𝐭𝐮𝐝𝐢𝐚𝐫 𝐥𝐚 𝐩𝐨𝐬𝐢𝐜𝐢ó𝐧 𝐫𝐞𝐥𝐚𝐭𝐢𝐯𝐚 𝐝𝐞 𝐥𝐚𝐬 𝐬𝐢𝐠𝐮𝐢𝐞𝐧𝐭𝐞𝐬 𝐫𝐞𝐜𝐭𝐚𝐬. 𝐇𝐚𝐥𝐥𝐚𝐫, 𝐞𝐧 𝐬𝐮
𝒙 = −𝟐𝝀
𝒙−𝟐
𝒚
𝒛 +𝟏
𝐜𝐚𝐬𝐨, 𝐞𝐥 𝐩𝐮𝐧𝐭𝐨 𝐝𝐞 𝐢𝐧𝐭𝐞𝐫𝐬𝐞𝐜𝐜𝐢ó𝐧. r:
= =
; 𝒔: {𝒚 = −𝟏𝟐 + 𝝀
𝟏
𝟔
𝟐
𝒛 = −𝟓 + 𝟒𝝀
𝒓≡{
A(2, 0, −1)
B(0, −12, −5)
𝒔≡{
𝑨𝑩 = (-2, -12, -4)
𝐮𝐫 = (1, 6, 2)
𝐮𝐬 = (−2, 1, 4)
𝐴𝐵
𝐴𝐵
−2 −12 −4
𝑟𝑎𝑔 ( 𝑢𝑟 ) => | 𝑢𝑟 | = | 1
6
2 | = −48 + 48 − 4 – 48 + 48 + 4 = 0
𝑢𝑠
𝑢𝑠
−2
1
4
No existe m.p. orden 3
𝐴𝐵
1 6
|
| = 1 + 12 = 13 ≠ 0 Existe m. p. orden 2  𝑟𝑎𝑔 ( 𝑢𝑟 ) = 2
−2 1
𝑢𝑠
𝒖𝒓
1
𝐴𝑑𝑒𝑚𝑎𝑠 𝑟𝑎𝑔 (𝒖 ) = 𝑟𝑎𝑔 (
𝒔
−2
6 2
) = 2, ∃ 𝑚. 𝑝. 𝑜𝑟𝑑𝑒𝑛 2
1 4
r y s se cortan en un punto
𝑥 =2+𝜇
𝑥 = −2𝜆
𝑟 ≡ { 𝑦 = 6𝜇
; 𝑠 ≡ {𝑦 = −12 + 𝜆
𝑧 = −1 + 2𝜇
𝑧 = −5 + 4𝜆
2 + 𝜇 = −2𝜆
𝜇 + 2𝜆 = −2
𝜇 + 2𝜆 = −2
{ 6𝜇 = −12 + 𝜆
=> {6𝜇 − 𝜆 = −12 => {
=> 13𝜇 = −26
12𝜇 − 2𝜆 = −24
−1 + 2𝜇 = −5 + 4𝜆
2𝜇 − 𝜆 = −4
x = 2 + (−2) = 0
μ = −2 ; 2λ = −2 + 2 = 0 , λ = 0 => 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑟𝑡𝑒: { y = 6 · (−2) = −12
z = −1 + 2 · (−2) = −5
P (0 , -12 , -5)
𝐱 = 𝟐 − 𝟏
𝐄𝐬𝐭𝐮𝐝𝐢𝐚𝐫 𝐥𝐚 𝐩𝐨𝐬𝐢𝐜𝐢ó𝐧 𝐫𝐞𝐥𝐚𝐭𝐢𝐯𝐚 𝐝𝐞 𝐥𝐚 𝐫𝐞𝐜𝐭𝐚 𝐫: {𝐲 = −𝟐 −  𝐜𝐨𝐧
𝐳 = 𝟖 + 𝟒
𝐫𝐞𝐬𝐩𝐞𝐜𝐭𝐨 𝐚 cada uno de los ejes coordenados. Hallar, en cada caso, los
puntos de corte.
x=μ
A (0, 0, 0)
a) con eje ox {y = 0 => {
𝐮𝐎𝐗 = (1,0,0)
z=0
AB = (-1, -2, 8)
𝑥 = −1 + 2𝜆
B (−1, −2, 8)
𝑦 𝑟: { 𝑦 = −2 − 𝜆 => {
𝒖𝒓 = (2, −1, 4)
𝑧 = 8 + 4𝜆
𝐴𝐵
−1 −2 8
𝑟𝑎𝑔 (𝒖𝑶𝑿 ) = 𝑟𝑎𝑔 ( 1
0 0) = 2
𝐮𝐫
2 −1 4
−1 −2 8
−1 −2
𝑦𝑎 𝑞𝑢𝑒 | 1
| = 2 ≠ 0, ∃ m.p. orden 2
0 0| = 0 ∄ 𝑚. 𝑝. 𝑜𝑟𝑑𝑒𝑛 3 𝑦 |
1
0
2 −1 4
𝒖𝑶𝑿
1 0
1 0
𝑟𝑎𝑔 ( 𝐮 ) = 𝑟𝑎𝑔 (
) = 1 𝑦𝑎 𝑞𝑢𝑒 |
| = −1 ≠ 0. ∃ m. p. orden 2
𝐫
2 −1
2 −1
μ = −1 + 2λ
r y el eje ox se cortan { 0 = −2 − λ => 𝜆 = −2
0 = 8 + 4λ
A( −5, 0, 0) es punto de corte.
𝑥 = −1 + 2𝜆
x=0
A (0, 0, 0)
B (−1, −2, 8)
b) con eje oy {y = μ => {
𝑦 𝑟: { 𝑦 = −2 − 𝜆 => {
𝒖𝑶𝒀 = (0, 1, 0)
𝐮𝐫 = (2, −1, 4)
z=0
𝑧 = 8 + 4𝜆
AB = (-1, -2, 8)
𝐴𝐵
−1 −2 8
𝑟𝑎𝑔 (𝒖𝑶𝒀 ) = 𝑟𝑎𝑔 ( 0
1 0) = 3
𝐮𝐫
2 −1 4
−1 −2 8
𝑦𝑎 𝑞𝑢𝑒 | 0
1 0| = −4 − 16 ≠ 0 ; ∃ 𝑚. 𝑝. 𝑜𝑟𝑑𝑒𝑛 3, 𝑠𝑒 𝑐𝑟𝑢𝑧𝑎𝑛
2 −1 4
x=0
𝑥 = −1 + 2𝜆
A (0, 0, 0)
B (−1, −2, 8)
b) con eje oz {y = 0 => {
𝑦 𝑟: { 𝑦 = −2 − 𝜆 => {
𝒖𝑶𝒁 = (0, 0, 1)
𝐮𝐫 = (2, −1, 4)
z=μ
𝑧 = 8 + 4𝜆
AB = (-1, -2, 8)
𝐴𝐵
−1 −2 8
𝑟𝑎𝑔 (𝒖𝑶𝒁 ) = 𝑟𝑎𝑔 ( 0
0 1) = 3
𝐮𝐫
2 −1 4
−1 −2 8
𝑦𝑎 𝑞𝑢𝑒 | 0
0 1| = −4 − 1 ≠ 0 ; ∃ 𝑚. 𝑝. 𝑜𝑟𝑑𝑒𝑛 3, 𝑠𝑒 𝑐𝑟𝑢𝑧𝑎𝑛
2 −1 4
Estudiar la posición relativa de las rectas ‘r’ y ‘s’, según los valores de
𝑥−2 𝑦−1 𝑧+6
𝑥+1
𝑦−1 𝑧−3
‘b’: r :
=
=
s:
=
=
3
2
−1
−6
ur = (3, 4, -1)
A= (2, 1, -6) ∈ 𝑟
us = (-6, b + 2, 2)
B= (-1, 1, 3) ∈ 𝑠
𝑏+2
2
AB = (-3, 0, -9)
𝐴𝐵
Calculemos el rg 𝑈𝑟 ;
𝑈𝑠
−3
0
3
2
−6 𝑏 + 2
9
−1 = - 12 + 27 ·(b + 2) + 108 – 3· (b + 2) =
2
= - 12 + 27b + 54 + 108 – 3b – 6 = 24b + 144; | C| = 0
24b + 144 = 0; 24b = -144;
b=-6
Si b = - 6
| |3x3 = 0
AB
Luego rg Ur = 2
Us
m.p. orden 3; Como
Calculamos rg
Ya que
Si rg
AB
Ur
= 1 y rg Ur = 2
Us
Us
∀b
- 6 | |3x3
0
−3 0
=-6
3 2
0
Ur
3
2 −1
→ rg
Us
−6 −4 2
m.p. orden 2
𝑓2=−2𝑓1
m.p. orden 2
m.p. orden 3
r y s son paralelas
𝐴𝐵
rg 𝑈𝑟 = 3
𝑈𝑠
r y s se cruzan
1
ά: 𝟐𝐱 + 𝐲 − 𝟑𝐳 − 𝟏 = 𝟎
𝐄𝐬𝐭𝐮𝐝𝐢𝐚𝐫 𝐥𝐚 𝐩𝐨𝐬𝐢𝐜𝐢ó𝐧 𝐫𝐞𝐥𝐚𝐭𝐢𝐯𝐚 𝐝𝐞 𝐥𝐨𝐬 𝐩𝐥𝐚𝐧𝐨𝐬: {𝛃: 𝟖𝐱 + 𝟗𝐲 − 𝟏𝟕𝐳 + 𝟕 = 𝟎
𝛄 ∶ 𝐱 − 𝟐𝐲 + 𝐳 − 𝟔 = 𝟎
2 1
−3
|𝐶| = |8 9 −17| = 18 − 17 + 48 + 27 − 8 − 68 = 0 ∄ 𝑚. 𝑝. 𝑜𝑟𝑑𝑒𝑛 3 𝑒𝑛 𝐶
1 −2
1
|𝐶´| = |2
8
1
| = 18 − 8 ≠ 0 ∃ 𝑚. 𝑝. 𝑜𝑟𝑑𝑒𝑛 2 𝑒𝑛 𝐶 => 𝑟𝑎𝑔 𝐶 = 2
9
2 1
1
|𝐴| = |8 9 −7| = 108 − 7 − 16 − 9 − 48 − 28 = 0 ∄ 𝑚. 𝑝. 𝑜𝑟𝑑𝑒𝑛 3 𝑒𝑛 𝐴
1 −2 6
=> 𝑟𝑎𝑔𝐴 = 2
Si rg C = rg A = 2 < nº incógnitas; sistema compatible indeterminado; 
soluciones
Los 3 planos se cortan en una recta que forma parte del haz de planos.
¿Existe algún plano que pase por los puntos A(1,-1,3) , B(2,-2,0) y
C(3,-3,-3)?. ¿Por qué?
Depende de si los puntos están alineados en una recta en donde existirán infinitos planos
pertenecientes al haz de planos o de que los puntos no estén alineados en cuyo caso existirá
un único plano.
Para ver si están o no alineados AB y AC deben o no ser proporcionales
AB = ( 1, −1, −3) y AC = (2, −2, −6) =>
1
2
=
−1
−2
=
−3
−6
Al ser proporcionales los vectores están alineados en una sola recta de vector dirección
ur = AB y punto base el A
𝑥−1 𝑦+1 𝑧−3
−x + 1 = y + 1
x + y = 0
=
=
=> {
=> {
−3x + 3 + 3 z – 3
3x – 3z = 0
1
−1
−3
La ecuación del haz de planos sera:
λ · (x + y) + µ · (3x – 3z) = 0
(λ + 3µ) · x + λ · y - 3µ · z = 0
Expresa la ecuación de la recta r que pasa por el punto A(2,-3,1) y tiene
como vector dirección v = (3,-2,0) : a) En forma vectorial, b) en forma
paramétrica, c) en forma continua, d) en forma implícita o cartesiana.
(x, y, z) = (2, -3, 1) + λ·(3, -2, 0)
a) E. vectorial
x = 2 + 3λ
b) E parametricas {y = −3 − 2λ
z=1
c) E. Continua
x−2
3
𝑑) 𝐸. 𝑅𝑒𝑑𝑢𝑐𝑖𝑑𝑎𝑠 {
=
y+3
−2
=
z−1
0
−2 · (x – 2) = 3 · (y + 3)
2x + 3y = − 13
=> {
z = 1
0 = 3 · (z – 1)
Expresa la ecuación de la recta r que pasa por los puntos A(3,-1,-2) y
B(1,4,-5) en forma de: a) vectorial, b) paramétrica, c) continua,
d) cartesiana.
𝑢𝑟 = AB = OB – OA = ( 1 – 3, 4 + 1, -5 + 2) = (-2, 5, -3)
a) (x, y, z) = (3, -1, -2) + λ·(-2, 5, -3)
𝑥 = 3 − 2𝜆
𝑏) {𝑦 = −1 + 5𝜆
𝑧 = −2 − 3𝜆
𝑐)
𝑥−3
𝑑) {
−2
=
𝑦+1
5
=
𝑧+2
−3
5 · (x – 3) = −2 · (y + 1)
; 5x + 2y = 13
−3 · (x – 3) = −2 · (z + 2); 3x – 2z = − 5
Hallar la ecuación de un plano que pasa por Q(1,-2, 0) y que
𝟐𝒙−𝟏
𝟑𝒚
𝒛+𝟏
pertenece al haz de arista: 𝒓:
= =
𝟐
−𝟏
𝟔
El haz de planos se halla a partir de las reducidas de r.
{
− 2x + 1 = 6y => 2x + 6y = 0
2x + 6y – 1 + ( 6x – z – 4 ) = 0 pasa por Q
6x − 3 = z + 1 => 6x – z – 4 = 0
2 . 1 + 6 ( - 2) – 1 + λ ( 6 . 1 – 0 – 4 ) = 0 ; - 11 + 2λ = 0 ; λ =
2x + 6y – 1 +
11
2
11
2
( 6x – z – 4 ) = 0 ; 4x + 12y – 2 + 66x – 11z – 44 = 0
𝜋 ≡ 70x + 12y – 11z – 46 = 0
Hallar la ecuación de un plano paralelo a : 5x – y + 3z - 1 = 0 que pase
por el punto Q (-12, 1, 4)
´//   n´ = k n
n = (5, -1, 3) 
n´ = (5, -1, 3)
´ 5x – y + 3z + d= 0
Para que pase por Q (-12, 1, 4)
- 1/9 + d = 0
5· (-12) – 1 + 3· (4) + d = 0
d = 1/9
´  5x – y + 3z + 1/9 = 0
Hallar la ecuación general del plano paralelo a las siguientes rectas y
𝐱 = 𝟐 + 𝟑𝐭
que pasa por (0, 0,0): 𝐫 ∶ 𝐱 = 𝐲 + 𝟏 = 𝐳 , 𝐬: { 𝐲 = 𝟐
𝐳 = −𝟏
Se halla el vector director de cada una de las rectas:
De r: A (0, -1, 0) ur (1, 1, 1)
De s: B (2, 2, -1) us (3, 0, 0)
Se halla el plano con el punto (0, 0, 0) y los vectores de las anteriores rectas:
𝑥
|1
3
𝑦
1
0
𝑧
1| = 3𝑦 − 3𝑧 = 0 ; 𝜋 ≡ 𝑦 − 𝑧 = 0
0
Hallar la ecuación implícita del plano determinado por el punto
A(1,-2,5) y los vectores u = (2,0,3) y v = (1,-1,2).
AP = (x – 1, y + 2, z – 5) , uπ y vπ deben de ser l.d para que sean coplanarios.
𝐴𝑃
𝑥−1 𝑦+2
𝑢
𝑟𝑎𝑔 ( 𝜋 ) = 2 => | 2
0
𝑣𝜋
1
−1
3·(x – 1) – (y + 2) – 2· (z – 5) = 0  3x – y – 2z + 5 = 0
𝑧−1
3 |=0
2
Hallar la intersección de la recta r, determinada por los puntos:
A(1, 6, 3) y B(2, 6,0), con el plano: x – y + 3z = 2
El punto P pedido se calcula intersectando la
recta r que pase por A y B con el plano 𝜋.
P=r∩л
Para calcular r, calcularemos ur = AB =
= (2 - 1, 6 - 6, 0 - 3).
ur = (1, 0, -3) y con A (1, 6, 3) como punto base escribiremos las paramétricas de r.
x = 1 + 1λ
𝑥 = 1+𝜆
𝑟 ≡ {y = 6 + 0λ => { 𝑦 = 6
Sustituimos en el 𝜋 y nos queda:
z = 3 − 3λ
z = 3 − 3λ
1 + λ – 6 + 3 (3 - 3λ) = 2;
2
1
1 + λ – 6 + 9 - 9λ = 2; -8λ = -2 ; 𝜆 = 8 = 4
1
3
5
9
El punto P de intersección valdrá P ( 1 + . 6, 3 − ) ; P ( , 6 , )
4
4
4
4
𝐱– 𝐲 + 𝐳 = 𝟏
Hallar la posición relativa de una recta r {
y el plano
𝐱+𝐲−𝐳 = 𝟎
: 4x-7y+5z = 0. En su caso hallar el punto de corte.
1
Pasemos a paramétricas la recta r: {
x – y = 1 – z => 2x = 1; x = 2
1
x + y = z => − 2y = 1 − 2z; y = − 2 + z
1
𝑥=2
𝑟 ≡ {𝑦 = − 1 + 𝜆 𝑦 : 4x − 7y + 5z = 0 Sustituimos las paramétricas de r en la
2
𝑧=𝜆
ecuación del plano para calcular el punto de corte, si es que existe.
4· (1/2) – 7· (- 1/2 + λ) + 5 λ = 0; 2 + 7/2 - 7 λ + 5 λ = 0
11/2 = 2 λ;
λ = 11/4 único
r y  se cortan en 1 punto.
1 9 11
P( ½, - 1/2 +11/4, 11/4 )  P( 2
4
, 4)
Hallar la ecuación de una recta que pasa por P (0, 0, 2) y corta a las
𝒙+𝟐
𝒚−𝟒
𝒛−𝟏
𝒙
𝒚
𝒛
rectas siguientes: 𝒓:
=
=
; s: = =
𝟓
ur = (5, 2, 1)
us = (4, - 2, 3)
𝟐
𝟏
𝟒
−𝟐
𝟑
A ∈ r = (- 2, 4, - 1)
B ∈ s = (0, 0, 0)
𝐴𝑄 = (𝑥 + 2, 𝑦 − 4, 𝑧 + 1)
𝜋1 { 𝐴𝑃 = 𝑣𝜋1 = (2, −4, 3)
𝑢𝑟 = 𝑢𝜋1 = (5, 2, 1)
𝑡≡
𝐵𝑄 = (𝑥, 𝑦, 𝑧)
𝜋2 { 𝐵𝑃 = 𝑣𝜋2 = (0, 0, 2)
𝑢𝑠 = 𝑢𝜋2 = (4, −2, 3)
{
𝑥+2 𝑦−4
𝜋1 ≡ | 2
−4
5
2
𝑥
𝜋2 ≡ |0
4
𝑡≡{
𝑧+1
3 | = 0 ; − 10 · (x + 2) + 13 · (y – 4) + 24 · (z + 1) = 0;
1
- 10 x + 13 y + 24 z – 48 = 0
𝑦 𝑧
0 2| = 0 ; 4 x + 8 y = 0;
−2 3
x+2y=0
10 x – 13 y – 24 z + 48 = 0
x + 2y = 0
Hallar las ecuaciones del plano que pasa por los puntos A(1,1,-1) ,
B(2,-2,3) y C(1,0,2) en todas las formas posibles.
Elegimos como punto base el A y como vectores dirección el AB y el AC
AP = (x-1, y-1, z+1) ; uπ = AB = (1, -3, 4) ; vπ = AC = (0, -1, 3)
Ecuación vectorial :
(x, y, z) = (1, 1, -1) + λ · (1, -3, 4) + μ · (0, -1, 3)
x = 1 + λ
Ecuación paramétricas : { y = 1 − 3λ – μ
z = −1 + 4λ + 3μ
𝑨𝑷
𝐄𝐜𝐮𝐚𝐜𝐢ó𝐧 𝐠𝐞𝐧𝐞𝐫𝐚𝐥 𝐢𝐦𝐩𝐥í𝐜𝐢𝐭𝐚: Como 𝐀𝐏, 𝒖𝝅 𝐲 𝒗𝝅 son l. d  | 𝒖𝝅 | = 0
𝒗𝝅
𝑥−1 𝑦−1 𝑧+1
| 1
3
−4 | = 0 => -5·(x – 1) - 3·(y - 1) – (z + 1) = 0
0
−1
3
5x + 3y + z - 7 = 0
𝒙−𝟏
𝒚
𝒛−𝟐
La ecuación en forma continua de una recta es:
=
=
𝟐
−𝟑
𝟓
Determina a) su vector dirección, b) su ecuación en forma paramétrica,
c) Tres puntos distintos que pertenezcan a dicha recta.
a) ur = (2, -3, 5)
x– 1 = 2·λ
x = 1 + 2·λ
b) E. Paramétricas: { y = − 3 · λ => { y = − 3 · λ
z = 2 + 5·λ
z– 2 = 5·λ
c) Para λ= 0  A( 1, 0, 2)
Para λ= 1  B(3, -3, 7)
Para λ= -1  C(-1, 3, -3)
Mostrar que el producto vectorial no tiene la propiedad asociativa,
mediante un ejemplo en el que se multipliquen de distintas formas los
vectores de componentes (1;1;1), (1;0;0) y (1;2;3).
Sean a = (1;1;1) b = (1;0;0) c = (1;2;3) Comprovemos que (a x b) x c ╪ a x (b x c)
𝑖 𝑗
𝒂 𝒙 𝒃 = |1 1
1 0
𝑖
𝒃 𝒙 𝒄 = |1
1
𝑘
𝑖 𝑗
1| = 𝒋 − 𝒌 = (0; 1; −1) ; (𝒂 𝒙 𝒃)𝒙𝒄 = |0 1
0
1 2
𝑘
−1| = 3𝑖 − 𝒋 − 𝒌 + 𝟐𝒊
3
= 5i − j − k
𝑗 𝑘
𝑖
𝑗 𝑘
0 0| = −3𝒋 + 𝟐𝒌 = (0; −3; 2) ; 𝐚 𝐱(𝐛 𝒙 𝒄) = |1 1 1| =
2 3
0 −3 2
2𝑖 − 3𝑘 + 3𝑖 − 2𝑗 = 5𝑖 − 2𝑗 − 3𝑘
Se comprueba que el producto vectorial no tiene la propiedad asociativa.
Obtén la ecuación del plano determinado por la recta de ecuación:
x = 1 - 2
r : y = 2 + 3 y un punto A(-3,0,2) exterior a ella.
z=3-
El vector ur = ( -2, 3, -1) pertenece también al plano pedido uπ = ur
El punto B (1, 2, 3) perteneciente a la recta y al plano junto con el punto A que no es de r
pero si del plano, me dan el otro vector dirección del plano vπ = AB = (4, 2, 1)
Además puedo tomar como vector genérico el BP o el AP = ( x + 3, y, z – 2)
𝑥+3 𝑦
Como los tres vectores deben de ser l.d  | −2
3
4
2
𝑧−2
−1 | = 0 =>
1
3 · (x – 3)– 4y – 4 · (z – 2)– 12 · (z – 2) + 2y + 2 · (x – 3) = 0 ;
5x – 2y – 16z + 17 = 0
Obtén el producto mixto {u,v,w}sabiendo que u = (1,2,1) , v = (-1,0,1) y
w es perpendicular a u y v, siendo su modulo 2.
𝑖
𝑗 𝑘
w ⊥ a u y v => 𝑤 = 𝑢 𝑥 𝑣 = | 1 2 1| = 2 i – 2 j + 2 k ; w =
−1 0 1
1
u . (v x w) = |−1
2
√12
2
0
−
2
√12
2
1 |=
2
4
√12
+
2
√12
+
4
√12
+
2
√12
=
12
√12
=
12√12
12
w
|w|
=
w
√12
= √12 = 2√3
√12
Obtén un vector perpendicular a w = (-2, 3, 4) que tenga modulo 5
¿Hay más de una solución?
Sea v  (v x , v y , v z )
𝑣⊥𝑢; {
−2𝑣𝑥 + 3𝑣𝑦 + 4𝑣𝑧 = 0
𝑣𝑥 2 + 𝑣𝑦 2 + 𝑣𝑧 2 = 52

una solución v  0,4,3
Al ser 2 ecuaciones con 3 incógnitas habrá más de
¿Para qué valores de a el conjunto de vectores (1,1,1) , (1,a,1) y
(1,1,a) es una base de R3 ?.
Para que los tres vectores formen una base, es suficiente con que sean linealmente
independientes y para ello
1
|1
1
Si
1
𝑎
1
1
1| ≠ 0 => 𝑎2 + 1 + 1 − 𝑎 − 𝑎 − 1 ≠ 0 => 𝑎2 − 2𝑎 + 1 ≠ 0
𝑎
a2 – 2a + 1 = 0  𝑎 = −2 ±
√4−4
2
= −1
Para todos los valores de a ≠ -1 , los 3 vectores son l.i y forman una base.
¿Para qué valores de m los vectores u1 = (1,1,2) , u2 = (1,2,m) y
u3 = (m,0,0) no forman una base de R3 ?.
u1 = (1,1,2) , u2 = (1,2,m) y u3 = (m,0,0).
Para que los tres vectores no formen una base, es suficiente con que sean linealmente
dependientes y para ello
1
|1
𝑚
1 2
2 𝑚| = 0 => 𝑚2 − 4𝑚 = 0 => 𝑚 · (𝑚 − 4) = 0
0 0
Para los valores de m = 0 y m = 4 , los 3 vectores son l.d y no forman una base.
Prueba que en R3 son linealmente independientes los vectores:
u1 = (1,0,0) , u2 = (1,a,0) y u3 = (1,b,c) siendo a,b,y c numeros reales
cualesquiera, distintos de cero.
Para que sean linealmente independientes el determinante formado por los tres vectores
ha de ser distinto de cero
1
|1
1
0
𝑎
𝑏
0
0| = 𝑎 · 𝑐 ≠ 0 => siempre que los vectores a,b y c sean ≠ 0 que es la con𝑐
dición del problema
Prueba que los puntos A(3,-2,1), B(2,2,-3) y C(1,1,0) no están
alineados y halla la ecuación del plano que determinan.
AB = (2-3, 2+2, -3-1) = (-1, 4, -4) = uπ
AC = (1-3, 1+2, 0-1) = (-2, 3, -1) = vπ
AP = (x-3, y+2, z-1)
uπ y vπ son l.i , mientras que según la definicion de plano, uπ , vπ y AP son l.d
𝑥−3 𝑦+2 𝑧−1
| −1
4
−4 | = 0 => 8 · (x – 3) + 7 · (y + 2) + 5 · (z – 1) = 0
−2
3
−1
El plano pedido tiene de ecuación general: 8x + 7y + 5z – 15 = 0
¿Qué vectores son los que dan el producto escalar nulo al multiplicarlos por un vector a, no nulo?. ¿Cuáles son los que dan un producto
vectorial nulo (vector cero), al multiplicarlos vectorialmente por ese
vector a?.
a) Dado un vector a ╪ 0, partiendo de que a.b = │a│.│b│.cos 
Podemos observar que para que este producto escalar, se haga cero, será necesario que
b = 0 o que cos  = 0, es decir que b sea ortogonal al a.
b) Cualquiera que sea la forma en que se defina el producto vectorial de dos vectores a y
b, se sabe que el modulo del producto vectorial vale:
│a x b│ = │a│.│b│. sen 
Para que este vector a x b sea nulo hara falta que, o bien el b = 0, o bien que el sen  = 0.
Esto último quiere decir que los vectores a y b deberán formar un ángulo de 0 o de 180,
o lo que es lo mismo, que el vector b debe ser paralelo al vector a ya que
b = .a ,   R
Razona si determinan un plano el punto A(3,-2,1) y los vectores:
a) u = (2,-3,1) y v = (2,-1,3)
b) u = (2,-3,1) y v = (4,-6,2)
a) AP = (x - 3, y + 2, z - 1) Para empezar u y v deben de ser l.i
2
−3
1
Aquí (2, −3,1) ≠ k · (2, −1,3) ya que 2 ≠ −1 ≠ 3 => 𝑆𝑜𝑛 𝑙. 𝑖.
x−3 y+2 z−1
El plano formado con AP, u y v será | 2
−3
1 |=0
2
−1
3
-8 · (x – 3) – 4 · (y + 2) + 4 · (z – 1) = 0  -8x – 4y + 4z + 24 – 8 – 4 = 0
Π ≡ 2x + y – z – 3 = 0
𝐛) Aquí (2, −3,1) = k · (4, −6,2) ya que
2
4
−3
1
= −6 = 2 => 𝑆𝑜𝑛 𝑙. 𝑑.
Luego no existe ningún plano con solo AP y u
Razonar, que si los vectores a, b, c, son perpendiculares dos a dos, el
producto escalar (a + b).(c + b) no puede ser negativo.
Por ser los vectores perpendiculares dos a dos se verifica que
a.b = 0; a.c = 0; b.c = 0
Aplicando la propiedad distributiva del producto escalar
(a + b).(b + c) = a.b + a.c + b.b + b.c = b.b = │b│2
Evidentemente, el modulo al cuadrado de un vector no nulo, nunca podrá ser negativo.
Razonar porque si u , v , w son tres vectores del espacio que no están
en el plano, el vector (v x u) x (w x u) tiene la misma dirección que el
vector u.
Si los vectores u, v y w son ortogonales, es decir perpendiculares dos a dos, vamos a ver
cual es la dirección de los productos vectoriales v x u y w x u y posteriormente la
dirección de los nuevos vectores resultantes.
Sabiendo que en general, el producto vectorial de dos vectores es otro vector
perpendicular a ellos.
v x u es un vector en la dirección del vector w
w x u es otro vector en la dirección del vector v
(v x u) x (w x u) será por tanto un vector perpendicular al w y al v, es decir en la dirección
del vector u.
Sea el triangulo de vértices A(1 , 0 ,1) ; B (1 , 1 , 0) ; C (0 , 1 , 1).
Hallar las ecuaciones de los tres lados y la ecuación del plano que
determinan.
C
A
Recta AB: AB = (0 , 1 , -1) pasa por A
𝑥−1
0
B
=
𝑦
=
1
𝑥=1
𝑜´ { 𝑦 = 𝜆
𝑧 = 1−𝜆
𝑧−1
−1
Recta AC: AC = (-1 , 1 , 0) pasa por A
𝑥−1
−1
=
Recta BC: BC = (-1 , 0 , 1) pasa por B
Plano ABC: u = AB = (0, 1 , -1)
v = AC = (-1, 1, 0)
𝑦
=
1
𝑧−1
𝑥−1
−1
0
=
𝑥 = 1−𝜆
𝑜´ { 𝑦 = 𝜆
𝑧=1
𝑦−1
0
𝑧
=1
𝑥 =1−𝜆
𝑜´ { 𝑦 = 1
𝑧=𝜆
AP = (x – 1, y, z - 1)
𝐴𝑃
| 𝑢𝜋 | = 0 , 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑞𝑢𝑒 𝐴𝑃, 𝑢𝜋 𝑦 𝑣𝜋 𝑠𝑒𝑎𝑛 𝑙, 𝑑 𝑦 𝑝𝑒𝑟𝑡𝑒𝑛𝑒𝑧𝑐𝑎𝑛 𝑎𝑙 𝑝𝑙𝑎𝑛𝑜 𝜋
𝑣𝜋
𝑥−1 𝑦
| 0
1
−1
1
𝑧−1
−1 | = 0 ; 1· ( x - 1) + 1· y + 1· (z - 1) = 0 ; x - 1 + y + z - 1 = 0 ;
0
x+y+z–2=0
Sea el vector v = e1 – 2e2 + 3e3 , expresado en una base cartesiana.
Hallar: a) sus proyecciones ortogonales sobre cada uno de los vectores de
la base, b) los ángulos que forma el vector v con cada uno de los vectores
de la base.
|𝒑𝒓𝒐𝒚𝒊 𝒗| =
|𝒗 · 𝒊|
|𝒑𝒓𝒐𝒚𝒋 𝒗| =
|𝒗 · 𝒋|
|𝒑𝒓𝒐𝒚𝒌 𝒗| =
|𝒗 · 𝒌|
|𝒊|
𝒋
𝒌
=
|1·1 + (−2) · 0 + 3 · 0 |
=
|1·0 + (−2) · 1 + 3 · 0|
=𝟏
𝟏
=
𝟏
|1·0 + (−2) · 0 + 3 · 1|
𝟏
𝛂 ( 𝐯, 𝐢 ) = 𝐚𝐫𝐜 𝐜𝐨𝐬
|𝐯 · 𝐢 |
𝛂 ( 𝐯, 𝐣 ) = 𝐚𝐫𝐜 𝐜𝐨𝐬
|𝐯 · 𝐣|
𝛂 ( 𝐯, 𝐤 ) = 𝐚𝐫𝐜 𝐜𝐨𝐬
=𝟐
|𝐯|
𝟏
= 𝐚𝐫𝐜 𝐜𝐨𝐬
|𝐯|
= 𝐚𝐫𝐜 𝐜𝐨𝐬
|𝐯 · 𝐤|
|𝐯|
=𝟑
√𝟏𝟐 +(−𝟐)𝟐 +𝟑𝟐
𝟐
√𝟏𝟐 +(−𝟐)𝟐 +𝟑𝟐
= 𝐚𝐫𝐜 𝐜𝐨𝐬
= 𝟕𝟒, 𝟓°
= 𝟓𝟕, 𝟔𝟗°
𝟑
√𝟏𝟐 +(−𝟐)𝟐 +𝟑𝟐
= 𝟑𝟔, 𝟕°
𝐲+𝟔
𝐳−𝟔
𝐒𝐞𝐚𝐧 𝐀, 𝐁 𝐲 𝐂 𝐥𝐨𝐬 𝐩𝐮𝐧𝐭𝐨𝐬 𝐝𝐞 𝐥𝐚 𝐫𝐞𝐜𝐭𝐚 𝐱– 𝟏𝟐 =
=
, 𝐪𝐮𝐞 estan en
𝟐
𝟑
𝐥𝐨𝐬 𝐩𝐥𝐚𝐧𝐨𝐬 𝐜𝐨𝐨𝐫𝐝𝐞𝐧𝐚𝐝𝐨𝐬 𝐱 = 𝟎; 𝐲 = 𝟎; 𝐳 = 𝟎, respectivamente.
𝐚) 𝐝𝐞𝐭𝐞𝐫𝐦𝐢𝐧𝐚𝐫 𝐫𝐚𝐳𝐨𝐧𝐚𝐝𝐚𝐦𝐞𝐧𝐭𝐞 𝐜𝐮𝐚𝐥 𝐝𝐞 𝐥𝐨𝐬 𝐭𝐫𝐞𝐬 𝐩𝐮𝐧𝐭𝐨𝐬 𝐬𝐞 𝐞𝐧𝐜𝐮𝐞𝐧 −
𝐭𝐫𝐚𝐧 𝐞𝐧𝐭𝐫𝐞 𝐥𝐚𝐬 𝐨𝐭𝐫𝐚𝐬 𝐝𝐨𝐬. 𝐛) 𝐬𝐢𝐞𝐧𝐝𝐨 𝐃 𝐮𝐧 𝐩𝐮𝐧𝐭𝐨 𝐞𝐱𝐭𝐞𝐫𝐢𝐨𝐫 𝐚 𝐥𝐚 𝐫𝐞𝐜𝐭𝐚,
indicar razonadamente cuál de los triángulos DAB, DAC o DBC tienen
mayor área.
𝑥 = 12 + 𝜆
𝑟 ≡ {𝑦 = −6 + 2𝜆
𝑧 = 6 + 3𝜆
A = r ∩ п1
B = r ∩ п2
C= r n п3
п1 ≡ x = 0;
п2 ≡ y = 0;
п3 ≡ z = 0;
12 + λ = 0; λ = –12  A(0, –30, –30)
– 6 + 2 λ = 0; 2 λ = 6; λ=3  B(15,0,15)
6 + 3 λ= 0; 3 λ= – 6; λ= –2  C(10, –10, 0)
¿Se encuentra B entre A y C? {
𝐀𝐁 = (15, 30, 45)
=> |𝐴𝐵| > |𝐴𝐶| . B no está entre AyC
𝐀𝐂 = (10, 20, 30)
¿Se encuentra C entre A y B?
|𝐴𝐵| > |𝐴𝐶|
=> C está entre A y B
El DAB tiene mayor área que el DAB y que DCB ya que es la forma de estos dos.
Sean A (m-2, m, -5) , B (m, 1, -5) y C (-1, 3, m) los vértices de un
triángulo ABC, ¿cuánto vale m para que el triángulo sea rectángulo en
B?
BA ortogonal a BC
BA · BC = 0
BA = OA – OB = (m - 2, m, -5) – (m, 1, -5)
BA = (-2, m - 1, 0)
BC = OC – OB = (-1, 3, m) – (m, 1, -5) = (- 1 - m, 2, m + 5)
BA · BC = -2 · (-1 - m) + (m - 1) · 2 + 0 = 0 
2 + 2m + 2m – 2 = 0 ; 4m = 0 ; m = 0
𝐱 – 𝟐𝐲 – 𝟐𝐳 = 𝟎
𝐒𝐞 𝐜𝐨𝐧𝐬𝐢𝐝𝐞𝐫𝐚 𝐥𝐚 𝐫𝐞𝐜𝐭𝐚 𝐫 {
𝐲 𝐞𝐥 𝐩𝐥𝐚𝐧𝐨
𝐱 + 𝟓𝐲 – 𝐳 = 𝟎
  2x + y + mz = n. Se pide: a) ¿ Para que valores de m y n, r y  son
secantes?. b) ¿ Para que valores de m y n, r y  son paralelos?.
c) ¿ Para que valores de m y n,  contiene a la recta r?.
Primero calcularemos la matriz de coeficientes y ampliada resultante del sistema formado
por las dos ecuaciones de la recta y la ecuación del plano.
1 −2 2
|𝐶| = |1 5 −1| = 5𝑚 + 4 + 2 − 20 + 2𝑚 + 1 = 7𝑚 − 13
2 1
𝑚
1 −2 0
|𝐴| = |1 5 0| = 5𝑛 + 2𝑛 = 7𝑛
2 1 𝑛
Para que r y  sean secantes, será necesario que exista un solo punto de corte, es decir
13
que rg C = rg A = nº de incógnitas y para ello será necesario que 𝑚 ≠ 7 𝑦 𝑞𝑢𝑒 𝑛 ≠ 0
Para que r y  sean paralelos, será necesario que no exista ningún punto de corte, es decir
que rg C = 2 y que rg A = 3, con lo que el sistema será incompatible y para ello será nece13
sario que 𝑚 = 7 𝑦 𝑞𝑢𝑒 𝑛 ≠ 0
Para que la recta este contenida en el plano, será necesario que existan  puntos de corte,
es decir que rg C = rg A =2  nº de incógnitas, con lo que el sistema será compatible
13
indeterminado y para ello será necesario que 𝑚 = 7 𝑦 𝑞𝑢𝑒 𝑛 = 0
Se consideran 5 puntos cuyas coordenadas son: P1 (1, - 1, 2) ;
P2 (- 2, 2, 3) ; P3 (- 3, 3, 3) ; P4 (- 3, 3, 0) ; P5 (- 3, 4, 3). Contesta de forma
razonada a la siguiente pregunta: ¿forman parte de un mismo plano?
Calculamos el plano que pasa por 3 de ellos: P1, P 2 , P 3
𝑷𝟏 𝑸
𝑷𝟏 𝑸 = (x – 1, y + 1, z – 2)
x−1
|𝑷𝟏 𝑷𝟐 | = 𝟎 ; { 𝑷𝟏 𝑷𝟐 = 𝒖𝝅 = (− 3, 3, 1) => | −3
𝑷𝟏 𝑷𝟑
−4
𝑷𝟏 𝑷𝟑 = 𝒗𝝅 = (− 4, 4, 1)
y+1
3
4
z−1
1 |=0
1
- (x – 1) – (y + 1) = 0 ; x + y = 0
{
¿ P4 ∈ Π? − 3 + 3 = 0
¿ P5 ∈ Π? − 3 + 4 ≠ 0
P4 (− 3, 3, 0) pertenece a Π
P5 (− 3, 4, 3) no pertenece a Π
𝐱 + 𝐲 + 𝟐𝐳 = 𝟐
𝐱 + 𝟐𝐲 − 𝐳 = 𝟑
Determinar los valores de a para los cuales la recta y el plano son
paralelos
Se consideran el plano π : x + ay + 2az = 4 y la recta {
  x + ay + 2az = 4
𝑟≡{
x + y + 2z = 2
x + 2y – z = 3
nπ (1, a, 2a )
⊖ −𝑦 = −3𝑧 − 1 => 𝑦 = 1 + 3𝑧
x + 1 + 3z + 2z = 2 => x = 1 – 5z
𝑥 = 1 − 5𝜆
u = (−5, 3, 1)
{𝑦 = 1 + 3𝜆  λ  R => { r
A (1, 1, 0)
𝑧=𝜆
nπ · ur = 0
Además
-5 + 3a + 2a = 0
-5 + 5a = 0
(1·1) + (1·1) + (2·0)  0 
a=1
A 
y el nπ ( 1, 1, 2)
r
// 
𝒙 = 𝟏 + 𝟑𝝁
Se consideran las rectas: 𝒓:
=
=
𝒚 𝒔: {𝒚 = −𝟏 + 𝟒𝝁
𝟐
−𝟏
𝟐
𝒛=𝟓−𝝁
Determina m de manera que las rectas se corten. Halla el punto de corte.
𝒙−𝟐
𝒚+𝟏
𝒛+𝒎
𝐴𝐵
𝑢𝑟
Para que r y s se corten es necesario que rag ( 𝑢𝑟 ) = 2 y que el rag (𝑢 ) = 2
𝑠
𝑢𝑠
A( 2, -1, -m )
B( 1, -1, 5 )
ur = (2, -1, 2)
us = (3, 4, -1)
AB = ( -1, 0, 5 + m )
−1 0 5 + 𝑚
| 2 −1
2 | = − 1 + 8 · (5 + m) + 3 · (5 + m) + 8
3
4
−1
= − 1 + 40 + 8m + 15 + 3m + 8 = 11m + 62
62
11 m + 62 = 0  m = − 11 el rango es 2 y como los vectores dirección son l.i ,
podemos asegurar que las rectas se cortan en un punto.
62
Para calcular el punto de corte sustituimos el valor de m = − 11 en las paramétricas de r y
las igualamos a las paramétricas de s.
2 + 2λ = 1 + 3μ
− 1 – λ = − 1 + 4μ
2λ – 3μ = − 1
{
=> {
=> − 8μ − 3μ = − 1 
62
λ + 4μ = 0
− (− ) + 2λ = 5 − μ
11
μ = 1/11
2 + 2λ = 1 + 3µ
2λ - 3µ = - 1
- 1 – λ = - 1 + 4µ

 - 8µ - 3µ = - 1  µ = 1 / 11
- (-62/11) + 2λ = 5 - µ
λ + 4µ = 0
Y sustituyendo µ en la recta s saco el punto de corte P(1 + 3/11, -1 + 4/11, 5 – 1/11)
P( 14/11, - 7/11, 50/11 )
Si B={u1 , u2, u3 } es una base de v3 en donde u1 · u1 = 3 ; u2 · u2 = 2 ;
u3 · u3 = 1, u1· u2 = 3 , u1· u3 = 3 , u2· u3 = 6; ¿cuánto ha de valer a para
que el vector u = 2 u1 + u2 - u3 sea ortogonal al v = u1 - au2 + 2 u3 ?
u⊥v
; u · v = 0  2 u1· u1 + u2 · ( -a·u2) + (- u3 ) ·2 u3
u· v = 2 u1· u1 + 2 u1 · ( -a u2) + 2 u1· u3 + u2· u1 + u2· ( -a u2) + u2 · 2 u3 +
(-u3 ) ·u1 + (-u3 )· ( -au2) + (-u3 ) 2 u3 = 2 · 3 – 2a· 3 + 4 ·3 + 3 – 2 a + 2· 6 – 3 + 6a2 =

= 28 – 2 a
28 - 2a = 0  a = 14
Siendo a y b dos vectores cualesquiera del espacio, probar que el
producto escalar de a + b por el a x b , es siempre cero.
Supongamos que a y b son distintos de cero.
Al ser el vector a x b perpendicular al plano formado por los dos vectores a y b, lo será
tam-bien al vector a + b
(a + b).(a x b) = |𝐚 + 𝐛| · |𝐚 x 𝐛| · cos 90 = 0
Si alguno de los vectores a o b vale 0, el producto vectorial a x b es 0 y nos queda que
(a + b). 0 = 0
Un vector de modulo 10 se descompone en suma de otros dos de
módulos iguales y que forman un ángulo de 45°. Halla el modulo de cada
uno de los vectores sumados.
PAU.
u  = w
u=v+w
w
 u = 10
α( u, v ) = 45°
|𝒖|𝟐 = |𝒗 |𝟐 + |𝒘|𝟐 − 𝟐 · |𝒗| · |𝒘| · 𝒄𝒐𝒔 𝟏𝟑𝟓
u
v
𝟏𝟎𝟎 = |𝒗 |𝟐 + |𝒘|𝟐 + 𝟐 · |𝒗| · |𝒘| => 100 = 3 · |𝒗 |𝟐
|𝒗 |𝟐 =
𝟏𝟎𝟎
𝟑
=> 𝐮 = 𝐯 =
10
√3
= 𝟏𝟎√𝟑 / 3
UNIDADES 5 y 6 : Perpendicularidad. Proyecciones. Ángul.os y
Distancias. Lugares geométricos
𝛑𝟏 ∶ 𝐱 + 𝐲 + 𝐳 = 𝟏
Calcular el ángulo que forman los planos {
𝛑𝟐 ∶ 𝐱 – 𝟐𝐲 + 𝐳 = 𝟐
|𝑛𝜋1 ·𝑛𝜋2 |
𝛼(𝜋1 , 𝜋2 ) = 𝛼(𝑛𝜋1 , 𝑛𝜋2 ) = 𝑎𝑟𝑐 cos |𝑛
𝜋1 |·|𝑛𝜋2 |
𝛼 = 𝑎𝑟𝑐 cos
|1 – 2 + 1|
√3·√6
; 𝐶𝑜𝑚𝑜 𝑛𝜋1 = (1, 1, 1) 𝑦 𝑛𝜋2 = (1, −2, 1)
= arc cos 0 = 90°
𝐱=𝟎
𝐝𝐞 𝐟𝐨𝐫𝐦𝐚 𝐪𝐮𝐞 𝐞𝐥 𝐩𝐥𝐚𝐧𝐨
𝐳=𝟎
𝐱 + 𝐲 = 𝟏
𝐪𝐮𝐞 𝐜𝐨𝐧𝐭𝐢𝐞𝐧𝐞 𝐚𝐥 𝐩𝐮𝐧𝐭𝐨 𝐏 𝐲 𝐚 𝐥𝐚 𝐫𝐞𝐜𝐭𝐚 𝐬 ≡ {
𝐬𝐞𝐚
𝟐𝐱 – 𝐳 = −𝟏
𝐲 + 𝐳 = 𝟏
𝐩𝐚𝐫𝐚𝐥𝐞𝐥𝐨 𝐚 𝐥𝐚 𝐫𝐞𝐜𝐭𝐚 𝐭 ≡ {
−𝐱 + 𝐲 + 𝐳 = 𝟏
𝐂𝐚𝐥𝐜𝐮𝐥𝐚𝐫 𝐞𝐥 𝐩𝐮𝐧𝐭𝐨 𝐏 𝐝𝐞 𝐥𝐚 𝐫𝐞𝐜𝐭𝐚 𝐫

≡{
P (0, λ, 0)  π ε r
xP
us = uπ
S
u t = vπ
A
xQ
t

s
y=1–x
x+y=1
;
2x – z = -1
z = 1 + 2x
y+z=1
t
y = 1- x
;
-x + y + z = 1
x=0
x=λ
y=1–λ
z = 1 + 2λ
A (0,1,1)
us (1,-1,2)
x=0
y=1–λ
z=λ
El plano pedido π se calcula con los vectores AQ, uπ y vπ
x
y–1
z–1
π  1
-1
2
=0
x – (y – 1) – (z – 1) = 0
0
-1
1
Y obligando a que P(0, λ, 0) sea de π 
us (0,-1,1)
π x–y–z+2=0
- λ + 2 = 0 ; λ = 2  P (0,2,0)
Calcular la distancia del punto P(1, 3, 2) a la recta:
𝐱 – 𝐲 + 𝟑𝐳 + 𝟏 = 𝟎
{
𝟑𝐱 + 𝟐𝐲 + 𝐳 – 𝟐 = 𝟎
Pasamos r a paramétricas {
2𝑥 − 2𝑦 = −2 − 6𝑧
x – y = − 1 – 3z
=> {
⊕
3x + 2y = 2 – z
3x + 2y = 2 – z
7
7
8
5𝑥 = −7𝑧 => 𝑥 = − 5 𝑧 ; y = − 5 𝑧 + 1 + 3𝑧 => 𝑦 = 1 + 5 𝑧
7
𝑥=− 𝜆
5
7 8
𝑟:
8 => 𝑢𝑟 = ( − , , 1 )
5 5
𝑦 =1+ 𝜆
5
{ 𝑧=𝜆
|𝐴𝑃 𝑥 𝑢𝑟 |
𝑑(𝑃, 𝑟) =
=
|𝑢𝑟 |
=
𝟔
𝟓
𝑖
|| 1
−7/5
𝑗
𝑘
2
2||
8/5 1
√49 + 64 + 1
25 25
𝟏𝟗
𝟓
𝟐𝟐
𝟓
|− ·𝒊 – ·𝒋 + ·𝒌|
√𝟏𝟑𝟖/𝟐𝟓
=
√
=
A = ( 0, 1, 0 )
(2 −
𝟑𝟔 𝟑𝟔𝟏 𝟒𝟖𝟒
+
+
𝟐𝟓
𝟐𝟓
𝟐𝟓
√𝟏𝟑𝟖/𝟐𝟓
𝐀𝐏 = ( 1, 2, 2)
16
14
22
) · 𝑖 − (1 + ) · 𝑗 +
·𝑘
5
5
5
=
49
+
64
+
25
√
25
=
√𝟖𝟖𝟏
√𝟏𝟑𝟖
u
Considera el paralelepípedo de bases ABCD y EFGH, siendo
A(1,1,1), B(2,1,1), C(2,4,1) y E(1,2,7). Halla el área de una de sus bases, el
volumen del paralelepípedo y la distancia entre las bases.
H
E
G
𝐁𝐀 = (−1, 0, 0) 𝐁𝐂 = (0, 3, 0)
𝒊
𝒋 𝒌
𝑺𝑨𝑩𝑪𝑫 = |𝐁𝐀 𝐱 𝐁𝐂| = ||−1 0 0|| =
0 3 0
C
= |−𝟑𝒌| = 𝟑𝒖𝟐
F
D
A
B
Como AE = (0, 1, 6)
1 0
𝑉 = |𝐀𝐁 · ( 𝐁𝐂 𝐱 𝐀𝐄)| = |0 3
0 1
0
0| = 18 𝑢3
6
Como d(π1, π2) = d ( E, π2)
AP = (x – 1, y – 1, z – 1)
x−1 y−1 z−1
AB = (1, 0, 0)
Hay que calcular el π2 : {
=> | 1
0
0 |=0
AC = (1, 3, 0)
1
3
0
3 · (z – 1) = 0  3z – 3 = 0
𝑑(𝜋1 , 𝜋2 ) = 𝑑(𝐸, 𝜋2 ) =
|3 · 7 − 3|
√02 + 02 + 32
=
18
=6𝑢
3
│3 · 7 – 3│
18
d(π1, π2) = d ( E, π2) = ------------------- = ---- = 6 u
√ 02 + 02 + 32
3
Para hallar los puntos R ε r  d(P,R) = d(Q,R) siendo R(-1 + 2α, -1 + α, 1)
PR = (-2 + 2α, -2 + α, -1)
y QR = ( -2 + 2α, α, -1)
√(2α – 2)2 + (α – 2)2 + (−1)2 = √(2α – 2)2 + α2 + (−1)2
(2α – 2)2 = α2 => α2 − 4𝛼 + 4 = α2 => −4𝛼 + 4 = 0 => 𝛼 = 1
El punto R es R(1, 0, 1)
𝒙−𝟏
𝒛−𝟐
Considera la recta de ecuaciones 𝒓:
=𝒚−𝟏=
𝟐
𝟐
a) De entre los planos que contienen a la recta r, escribe la ecuación
cartesiana del plano que es paralelo a la recta s: x = y –1 = z + 2 .
b) Halla la proyección ortogonal de la recta r sobre el plano obtenido en
el apartado anterior (esto es, la recta intersección del plano  obtenido en
el apartado anterior con el plano que pasa por r y es perpendicular a ).
r
El plano pedido es el del papel que contiene a r y
ur
A
es paralelo a s
P
Si ur = (2, 1, 2) y A(1, 1, 2) ε r ε π y
us = (1, 1, 1)
us
s
𝐮𝛑 = k · 𝐮𝐫 = (2, 1, 2)
{ 𝐯𝛑 = k · 𝐮𝐬 = (1, 1, 1)
𝐀𝐏 = (x – 1, y – 1, z – 2)
𝑥−1 𝑦−1 𝑧−2
| 2
1
2 | = 0 => x – 1 + 2 · (y – 1) + 2 · (z – 2)– (z – 2)– 2 · (y – 1)
1
1
1
– 2 (x – 1) = 0 => − x + 1 + z – 2 = 0  x – z + 1 = 0 plano pedido
Para calcular la proyección ortogonal de una recta que se encuentra en un plano, sobre el
mismo plano, no tenemos que realizar ningún calculo, ya que la recta s proyección de r es
la propia y mismísima r
r
π
𝐱 = −𝟏 + 𝟐
𝐂𝐨𝐧𝐬𝐢𝐝𝐞𝐫𝐚 𝐥𝐚 𝐫𝐞𝐜𝐭𝐚 𝐝𝐞 𝐞𝐜𝐮𝐚𝐜𝐢𝐨𝐧𝐞𝐬 𝐩𝐚𝐫𝐚𝐦é𝐭𝐫𝐢𝐜𝐚𝐬 𝐫: { 𝐲 = − 𝟏 +  𝐲
𝐳 = 𝟏
𝐥𝐨𝐬 𝐩𝐮𝐧𝐭𝐨𝐬 𝐏(𝟏, 𝟏, 𝟐) 𝐲 𝐐(𝟏, −𝟏, 𝟐). 𝐚) 𝐃𝐞𝐭𝐞𝐫𝐦𝐢𝐧𝐚 𝐥𝐚 𝐩𝐨𝐬𝐢𝐜𝐢ó𝐧 𝐫𝐞𝐥𝐚𝐭𝐢𝐯𝐚
𝐝𝐞 𝐫 𝐲 𝐥𝐚 𝐫𝐞𝐜𝐭𝐚 𝐪𝐮𝐞 𝐩𝐚𝐬𝐚 𝐩𝐨𝐫 𝐏 𝐲 𝐐. 𝐛) 𝐇𝐚𝐥𝐥𝐚 𝐞𝐥 𝐩𝐮𝐧𝐭𝐨 𝐨 𝐩𝐮𝐧𝐭𝐨𝐬 𝐑 𝐝𝐞 𝐥𝐚
𝐫𝐞𝐜𝐭𝐚 𝐫 𝐩𝐚𝐫𝐚 𝐥𝐨𝐬 𝐪𝐮𝐞 𝐞𝐥 𝐭𝐫𝐢á𝐧𝐠𝐮𝐥𝐨 𝐏𝐐𝐑 𝐞𝐬 𝐢𝐬ó𝐬𝐜𝐞𝐥𝐞𝐬 𝐝𝐞 𝐥𝐚𝐝𝐨𝐬 𝐢𝐠𝐮𝐚𝐥𝐞𝐬
𝐏𝐑 𝐲 𝐐𝐑.
a) Calculamos la recta s que pasa por P y Q. Como us = PQ = (0, -2, 0)
𝑥=1
=>𝑠: {𝑦 = 1 − 2𝜆
𝑧=2
AP
Para calcular la posición relativa entre r y s, se calcula el rag ( ur )
us
Como A(-1, -1, 1)  AP = (2, 2, 1) ; ur = (2, 1, 0) y us = (0, -2, 0)
AP
2 2 1
|2 1 0| = −4 ≠ 0 => rag ( ur ) = 3 r y s se cruzan en el espacio
us
0 −2 0
Para hallar los puntos R ε r  d(P,R) = d(Q,R) siendo R(-1 + 2α, -1 + α, 1)
PR = (-2 + 2α, -2 + α, -1)
y QR = ( -2 + 2α, α, -1)
√(2α – 2)2 + (α – 2)2 + (−1)2 = √(2α – 2)2 + α2 + (−1)2
(2α – 2)2 = α2 => α2 − 4𝛼 + 4 = α2 => −4𝛼 + 4 = 0 => 𝛼 = 1
El punto R es R(1, 0, 1)
Considerar un cuadrado cuyo centro es el punto C ( 1,1,-1) y tiene uno
𝒙−𝟐
𝒚−𝟏
𝒛−𝟏
de sus lados en 𝒍𝒂 𝒓𝒆𝒔𝒕𝒂 𝒓:
=
=
𝟏
𝟏
𝟎
a) Calcular la ecuación del plano en el que se encuentra el cuadrado.
b) Calcular la longitud del lado del cuadrado.
𝝅≡{
Ur
𝐂𝐏 = ( x − 1, y − 1, z + 1)
𝒖𝝅 = 𝒖𝒓 = (1, 1,0)
CP, 𝒖𝝅 y 𝒗𝝅 son l.d
𝒗𝝅 = 𝐀𝐂 = (−1, 0, −2)
𝑥−1
| 1
−1
P
𝑦−1
1
0
𝑧+1
0 |=0
−2
C
-2( x - 1) + 2(y - 1) + z + 1=0  -2x – 2y – z + 1= 0
A
Л= -2x – 2y – z + 1= 0
l = 2 d ( c, r) = 2
=2·
√4+4+1
√2
;
1=
|𝐴𝐶 𝑥 𝒖𝒓 |
=2
|𝒖𝒓 |
2·3
√2
=6
√2
2
𝑖
𝑗
||−1 0
1 1
= 3√2 u
𝑘
−2||
0
√1 + 1 + 0
=2
|2𝑖 − 2𝑗 − 𝑘|
√2
Consideremos el plano  de ecuación 20x + 15z – 60 = 0 a) hallar las
ecuaciones de los ejes ox, oy. oz. y los cortes de estos con el plano. b) la
distancia entre la recta OB y el eje ox. c) la distancia entre la recta AB y
el eje OZ
Lo primero es escribir las ecuaciones de los ejes OX, OY OZ.
x=λ
Eje OX {y = 0 A’ ( , 0 , 0) es un punto cualquiera del OX
z=0
x=0
Eje OY {y = λ B’(0, , 0) es un punto cualquiera de OY
z=0
x=0
Eje OY {y = 0 B’(0, 0, 𝜆) es un punto cualquiera de OZ
z=λ
Hallamos los puntos de corte con el plano
A: OX pertenece a  ; 20 + 12 ·0 + 15·0 – 60 = 0 ; 20 = 60 ;  = 3 ; A(3,0,0)
B: OY pertenece a ; 20 ·0 + 12· + 15·0 – 60 = 0 ; 12 = 60 ;  = 5 ; B(0,5,0)
C: OZ pertenece a  ; 20 ·0 + 12·0 + 15 - 60 = 0 ; 15 = 60 ;  = 4 ; C(0,0,4)
C
como la recta OB y el eje OX se cortan en (0,0,0)
B
A
La mínima distancia será 0
La distancia entre la recta AB y el eje OZ estará entre el punto O(0,0,0) y la recta AB.
Calculamos un plano  a AB que pase por O. UAB es paralelo al n del plano buscado.
O
d
AB = (-3,5,0) ; n = k· AB = (-3, 5,0) k = 1
  - 3x + 5y + D = 0 ; al pasar por O(0,0,0)  0 + D = 0 ;
 D=0
luego
  - 3x + 5y = 0
B
M
A
M  AB
perteneciente a 
sustituyendo en 
9
𝜆 = 34 ;
x = 3 − 3
La recta AB en paramétrica vale { y = 5
z = 0
-3· (3 - 3) + 5·5 = 0 ; - 9 + 9 + 25 = 0 ; 34 = 9 ;
27
9
75 45
M(3 – 34, 5 − 34 , 0) = (34 , 34 , 0)
75
45
7650
(0,AB ) = d(O,M) = |𝑂𝑀| = √(34)2 + (34)2 = √(752 + 452 )/342 = √
34
𝑢
Considérese la siguiente figura, siendo:
A(1,1,0)
D
Se pide: a) Coordenadas de D
para que ABCD sea un paralelogramo. b)Área de éste paralelogramo.
B(-1,-1,-1)
C(2,2,0)
a) Llamemos a las coordenadas de D(x, y , z).Para ser paralelogramos sus lados de-ben
ser paralelos dos a dos , es decir BA y el CD deben de ser paralelos e iguales.
BA = (1+1, 1+1, 0 +1) = (2, 2, 1)
CD=(x - 2, y - 2, z)
x−2= 2
x=4
Igualando los vectores me queda que {y − 2 = 2 => {y = 4 => D(4,4,1)
z=1
z=1
b) A partir de la expresión geométrica del producto vectorial de dos vectores ,
│BA x BC│= S paralelogramo
Como
BC = (2+1, 2+1, 0+1) = (3, 3, 1)
A
𝑖
𝑆 = ||2
3
B
𝑗 𝑘
2 1|| = |−𝑖 + 𝑗 + 0𝑘| = √2 𝑢2
3 1
𝐱=𝟏
𝐃𝐚𝐝𝐚 𝐥𝐚 𝐫𝐞𝐜𝐭𝐚 𝐫: {
𝐲 𝐞𝐥 𝐩𝐥𝐚𝐧𝐨
𝐱 + 𝐲 + 𝐳 = 𝟎, 𝐡𝐚𝐥𝐥𝐚𝐫 𝐮𝐧
𝐲=𝟑
𝐩𝐥𝐚𝐧𝐨 𝐪𝐮𝐞 𝐜𝐨𝐧𝐭𝐞𝐧𝐠𝐚 𝐚 𝐥𝐚 𝐫𝐞𝐜𝐭𝐚 𝐫 𝐲 𝐜𝐨𝐫𝐭𝐞 𝐚𝐥 𝐩𝐥𝐚𝐧𝐨 𝐞𝐧 𝐮𝐧𝐚 𝐫𝐞𝐜𝐭𝐚 𝐩𝐚𝐫𝐚 −
𝐥𝐞𝐥𝐚 𝐚𝐥 𝐩𝐥𝐚𝐧𝐨 𝐎𝐗𝐘
r  ' y que , el 'corte a  en la recta s  ´    s // al plano OXY  z = 0
El plano ´ es uno de los planos del haz que contiene a la recta r, es decir
' x - 1 + ·(y -3) = 0
Si calculo la intersección entre π
{
′
yπ
{
x – 1 +  · (y – 3) = 0
=>
x + y + z = 0
x + y = 1 + 3λ
⊖ 𝜆𝑦 − 𝑦 = 1 + 3𝜆 + 𝑧 => (−1 + 𝜆)𝑦 = 1 + 3𝜆 + 𝑧
x + y = −z
𝑦= −
1+3𝜆+𝑧
−1+𝜆
=
1+3𝜆
1
−1+𝜆
+ −1+𝜆 𝑧 = −
1
1+3𝜆
1+3𝜆
1+3𝜆
1−𝜆
1
− 1−𝜆 𝑧
1
𝑥 = −𝑧 − (−1+𝜆 + −1+𝜆 𝑧) = − −1+𝜆 + (−1+𝜆 + 1) 𝑧 =
1+3𝜆
1−𝜆
1−𝜆
𝜆
+ 1−𝜆 𝑧
𝜆
𝑥 = 1−𝜆 + 1−𝜆 · t
1
𝑟 ≡ { 1+3𝜆
−
1+3𝜆
− 1−𝜆 · 𝑡
𝜆
1
𝑢𝑟 = (1−𝜆 , − 1−𝜆 , 1) = (, -1, 1 - )
z=t
r // plano OXY

ur // z = 0
y sustituyendo en el haz de planos
 ur · n = 0  1 -  = 0 ;  = 1
'  x – 1 + 1· (y - 3) = 0 ; x + y - 4 = 0
𝐱–𝟏
𝐲+𝟏
𝐳
𝐃𝐚𝐝𝐚 𝐥𝐚 𝐫𝐞𝐜𝐭𝐚 𝐫:
=
= , 𝐞𝐧𝐜𝐮𝐞𝐧𝐭𝐫𝐚 𝐥𝐚 𝐞𝐜𝐮𝐚𝐜𝐢ó𝐧 𝐝𝐞𝐥 𝐩𝐥𝐚𝐧𝐨
𝟐
−𝟏
𝟑
𝐪𝐮𝐞 𝐥𝐚 𝐜𝐨𝐧𝐭𝐢𝐞𝐧𝐞 𝐲 𝐞𝐬 𝐩𝐞𝐫𝐩𝐞𝐧𝐝𝐢𝐜𝐮𝐥𝐚𝐫 𝐚𝐥 𝐩𝐥𝐚𝐧𝐨 𝐎𝐗𝐘.
π´ ≡ plano OXY ≡ z = 0
r
ur
π ↄ r y π ┴ π´
A
nπ´
𝑥 = 1+𝜆
𝑟: {𝑦 = 1 − 𝜆 A(1, -1, 0) ur = (2, -1, 3)
𝑧 = 3𝜆
uπ = ur = (2, -1, 3)
P
vπ = nπ´ = (0, 0, 1) y AP = (x – 1, y + 1, z)
x−1 y+1
Por ser tres vectores l. d  | 2
−1
0
0
z
3| =- (x – 1) – 2·(y + 1) = 0 
1
x + 2y + 1 = 0
𝐱 + 𝟐𝐲 = 𝟕
𝐃𝐚𝐝𝐚 𝐮𝐧𝐚 𝐫𝐞𝐜𝐭𝐚 𝐫 {
𝐲 𝐮𝐧 𝐩𝐮𝐧𝐭𝐨 𝐏 (𝟏, 𝟐, 𝟑), 𝐜𝐚𝐥𝐜𝐮𝐥𝐚 𝐥𝐚
𝐲 + 𝟐𝐳 = 𝟒
𝐞𝐜𝐮𝐚𝐜𝐢ó𝐧 𝐝𝐞𝐥 𝐩𝐥𝐚𝐧𝐨 que es perpendicular a la recta r y contiene al
punto P.
Pasamos la recta a paramétricas y sacamos su vector director: {
x = 7– 2μ
{
y = μ
z = 2− ½μ
ur ( - 2, 1, - 1/2 ) = ( 4, - 2, 1)
x = 7 – 2y
=>
z = 2– ½y
y el A(7, 0, 2)
ur = nπ Con esta igualdad para que el plano sea perpendicular a la recta e imponiendo la
condición de que pase por el punto dado P (1, 2, 3) hallamos el plano:
4 (1) – 2 (2) + 3(1) + d= 0
d= - 3
Plano => 4x - 2y + z - 3 = 0
𝒙+𝟐
𝒚−𝟏
𝒛+𝟏
𝒙−𝟏
𝒚−𝟑
𝒛
𝐃𝐚𝐝𝐚𝐬 𝐥𝐚𝐬 𝐫𝐞𝐜𝐭𝐚𝐬 𝐫:
=
=
; 𝒔:
=
= 𝐝𝐞𝐭𝐞𝐫𝐦𝐢𝐧𝐚𝐫
𝟑
𝟐
−𝟏
−𝟐
−𝟐
𝟑
determinar la ecuación del plano que contiene a r y es paralelo a s.
𝑟: {
A (−2, 1, −1)
; 𝑠: 𝐮𝐬 = (−2, −2 ,3)
𝐮𝐫 = (3, 2 , −1)
us’ || us  us’ = k · us = (-2, -2, 3) para k =1
𝐀𝐏 = (x + 2, y – 1, z + 1)  π
Si P(x, y, z) es un punto genérico del plano y A  π { 𝐮𝛑 = 𝐮𝐫 = (3, 2, −1)  π
𝐯𝛑 = 𝐮𝐬 = (−2, −2, 3)  π
𝑨𝑷
𝑥+2 𝑦−1 𝑧+1
| 𝐮𝛑 | = 𝟎 𝑝𝑜𝑟 𝑠𝑒𝑟 𝑙. 𝑖. => | 3
2
−1 | = 0 =>
𝐯𝛑
−2
−2
3
4 (x + 2)+ 7(y - 1) – 2 (z + 1) =0 => π ≡ 4x + 7y - 2z - 1 = 0
𝐱 – 𝐲 + 𝟐𝐳 + 𝟏 = 𝟎
𝟐𝐱 + 𝐲 – 𝟑𝐳 – 𝟒 = 𝟎
Dadas las rectas 𝒓: {
; 𝒔: {
𝐱 + 𝐲 + 𝐳 = 𝟎
𝟑𝐱 + 𝐲 – 𝐳 – 𝟏 = 𝟎
Hallar la ecuación del plano que contiene a r y es paralelo a s.
Si consideramos el plano del papel como el pedido y en él dibujamos la recta r y
paralela a él la recta s.
Dibujamos una recta s´ paralela a s y contenida en el plano cuyo vector us´ es
proporcional a us .
us
Si buscamos en r un punto base A r
s
r
y su ur  , elegimos un punto genérico
del plano P(x,y,z) y calculamos el
Us´
A x ur
vector AP, llegamos a la conclusión
s´
de que AP, ur y us´, son linealmente
P
dependientes AP= ·ur + ·us´=>
𝑨𝑷
| 𝒖𝒓 | = 𝟎 𝐍𝐨𝐬 𝐝𝐚𝐫á 𝐥𝐚 𝐞𝐜𝐮𝐚𝐜𝐢ó𝐧 𝐠𝐞𝐧𝐞𝐫𝐚𝐥 𝐝𝐞𝐥 𝐩𝐥𝐚𝐧𝐨.
𝒖𝒔´
Calculamos us: Restamos los dos planos, elimino la y , y despejo x
{
𝐱 – 𝟒𝐳 = 𝟒
=> 𝐱 = 𝟒 + 𝟒𝐳 => 𝟒 + 𝟒𝐳 + 𝐲 + 𝐳 = 𝟎 => 𝐲 = − 𝟒 − 𝟓𝐳
𝐱 + 𝐲 + 𝐳 = 𝟎
𝐱 = 𝟒 + 𝟒
𝒔 ≡ {𝐲 = − 𝟒 − 𝟓 => 𝐮𝐬 = (𝟒, −𝟓, 𝟏)
𝐳 = 
Calculamos ur y A : Sumamos los dos planos, elimino la y, y despejo la x
𝟒𝐱 + 𝐳 = 𝟎
𝟏
𝟑
𝟕
𝟑
{
=> 𝑥 = − 𝒛 =>– 𝐳 + 𝐲 − 𝐳 = 𝟏 => 𝑦 = 1 + 𝐳
– 𝐳 + 𝐲 − 𝐳 = 𝟏
𝟒
𝟒
𝟒
𝟒
𝟏
𝐱 = − 
𝟒
𝒓≡
𝟕 => 𝐴(𝟎, 𝟏, 𝟎)
𝐲 = 𝟏 + 
𝟒
{ 𝐳 = 
𝟏 𝟕
𝐮𝐫 = (− , , 𝟏) » (−𝟏, 𝟕, 𝟒) =>
𝟒 𝟒
AP = (x , y - 1, z)
𝒙 𝒚−𝟏
𝝅 ≡ |−𝟏
𝟕
𝟒
−𝟓
𝒛
𝟒| = 𝟎 => 27 𝑥 + 17 ·
𝟏
𝒚
− 𝟏) − 𝟐𝟑 𝒛 = 𝟎
27x + 17y – 23z – 17 = 0
x–1 y+2 z–1
x+2 y–3 z-2
Dadas las rectas r: ------- = ------- = ------- s: -------- = ------- = ------3
2
4
-1
2
3
a) Estudiar su posición relativa en el espacio . b) Hallar la distancia entre
ellas
Para estudiar la posición relativa de dos rectas debemos calcular el rg
donde A  r y B  s.
A (1, -2, 1)
B (-2, 3, 2)
r≡
s≡
AB = (-3, 5, 1)
ur = (3, 2, 4)
-3 5 1
rg 3 2 4
-1 2 3
AB
ur
us
=3
us = (-1, 2, 3)
ya que
-3
3
-1
5 1
2 4 = - 18 - 20 + 6 + 2 - 45 + 24  0
2 3
esto nos indica que r y s se cruzan y no se cortan.
| AB (ur × us) |
d ( r, s) = ------------------| u r × us |
ya que con AB, ur y us se
forma un paralepípedo
cuyo V = Sbase . altura;
| AB (ur × us) | = | ur × us | · |AB |
-3 5 1
3 2 4
-1 2 3
| -51 |
51
51
d ( r, s) = ------------------- = ------------------- = -------------------- = ----------- u
i j k
| -2i -13j+ 8k|
√ 4+ 169+ 64
√ 237
3 2 4
-1 2 3
𝒙 = −𝟐
𝟐𝒙 + 𝒛 = 𝟎
𝒙−𝒛=𝟎
Dadas las rectas: 𝒓: {
; 𝒔: {
; 𝒓´: {
𝒚−𝒛=𝟎
𝒙+𝒚=𝟎
𝒛 + 𝒚 = −𝟏
Hallar las coordenadas de un punto P que está en la recta r’ y que
determina con la recta s, un plano que contiene a r.
El punto P pedido esta en r’, mientras que la recta r está en el plano del papel, el cual
debe venir determinado por el punto P y la recta s.
Si P r’ escribamos r’ en paramétricas y así tendremos cualquier punto de r’.
𝑟´: {
𝑥=𝜆
𝑥 − 𝑧 = 0 => 𝑥 = 𝑧
=> 𝑟´ ≡ {𝑦 = −1 − 𝜆 => 𝑃(λ, -1 -λ, λ)
𝑧 + 𝑦 = −1 => 𝑦 = −1 − 𝑧
𝑧=𝜆
Por otro lado, si las rectas r y s se cortaran en un punto Q determinarían el plano del
papel.
𝑥 = −2
𝐴(−2, 0, 0)
𝑥 = −2 => 𝑥 = −2
=> { 𝑦 = 𝜆 => {
𝑦 − 𝑧 = 0 => 𝑦 = 𝑧
𝑢𝑟 (0, 1, 1)
𝑧=𝜆
𝑥=𝜆
𝐵(0, 0, −2)
2𝑥 + 𝑧 = −2 => 𝑧 = −2 − 2𝑥
𝑠≡{
=> { 𝑦 = −𝜆 => {
𝑥 + 𝑦 = 0 => 𝑦 = −𝑥
𝑢𝑠 (1, −1, −2)
{
𝑧 = −2 − 2𝜆
𝑟≡{
𝑨𝑩
𝑨𝑩
𝒖
y el vector AB = (2, 0, -2) . 𝑃𝑎𝑟𝑎 𝑞𝑢𝑒 𝑟 𝑦 𝑠 𝑠𝑒 𝑐𝑜𝑟𝑡𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑟𝑎𝑔 ( 𝒓 ) = 2 => | 𝒖𝒓 | = 0
𝒖𝒔
𝒖𝒔
2 0 −2
|0 1
1 | = −4 + 2 + 2 = 0; r y s se cortan => −2 = 𝜆 => Q( -2, 2, 2)
1 −1 −2
Calculemos ahora el plano que contiene a r y s.
M(x, y, z)∈ 𝜋
𝐀𝐌 = (x + 2,
y,
z)
𝑨𝑴
𝒙+𝟐
𝒖𝝅 = 𝒖𝒓 = (0, 1, 1)
𝝅≡ {
=> | 𝒖𝝅 | = 𝟎 => | 𝟎
𝒗𝝅
𝒗𝝅 = 𝒖𝒔 = (1, −1, −2)
𝟎
- (x+2) + y – z = 0 ; -x + y – z – 2 = 0 ; => π ≡
𝒚
𝟏
−𝟏
𝒛
𝟏 |=𝟎
−𝟐
x–y+z+2=0
Por último P deberá permanecer a π y a r’ por lo que P= π ∩ r’. Si sustituimos las
paramétricas de r’ en π sacamos un valor de λ y luego el punto.
𝑥=𝜆
{𝑦 = −1 − 𝜆 => λ - ( -1 - λ) +λ + 2 = 0 ; λ + 1 + λ + λ + 2 = 0
𝑧=𝜆
3λ = - 3 ; λ = - 1
P(-1, -1+1 , -1) = ( -1, 0, -1)
Dado el plano π, mediante la ecuación x - 2y + 2z = 3 y el punto
A(1;2;0), determinar el punto A' proyección ortogonal de A sobre π (pie
de la perpendicular trazada a π desde A)
Sea A'(x,y,z) el punto pedido y sea vπ = (1;-2;2) el vector asociado o perpendicular al
plano π.
Sea el vector AA' = (x - 1, y - 2 ,z) paralelo al vector vπ con lo que
𝑥−1
1
=
𝑦−2
−2
𝑧
− 2x + 2 = y − 2
= 2 => {
2x − 2 = z
2x + y = 4
y = 4 − 2x
Resolvamos el sistema { 2x − z = 2
=> {
=>
z
=
−2
+
2x
x − 2y + 2z = 3
𝑥 − 2 · (4 − 2x) + 2 · (−2 + 2x) = 3 => 𝑥 − 8 + 4𝑥 − 4 + 4𝑥 = 3 => 9x = 15 =>
x=
15
5
5
9
= 3 ; y = 4 − 2 · (3) = 4 −
5
2 4
10
3
2
5
= 3 ; z = −2 + 2 · (3) = −2 +
10
3
4
=3
𝐴´(3 , 3 , 3)
Dado el plano de ecuación x + 2y + 3z = 1 y el punto A(1,1,1), hallar
las coordenadas del pie de la perpendicular trazada desde A a ese plano,
(proyección ortogonal de A sobre él).
Si   x + 2y + 3z = 1 su vector perpendicular será nπ = (1,2,3).
Si llamamos A'(x,y,z) al punto pedido y calculamos el vector AA'= (x-1,y-1,z-1).
El AA' será paralelo al nπ ==>
𝒙−𝟏
𝟏
=
𝒚−𝟏
𝟐
=
𝒛−𝟏
𝟑
El A(x,y,z) ∈  => x + 2y + 3z = 1
2x – 2 = y – 1
2x – y = 1
Resolvamos el sistema { 3x – 3 = z – 1 => {
=>
3x – z = 2
x + 2y + 3z = 1
x + 2y + 3z = 1
𝑦 = −1 + 2𝑥
{ 𝑧 = −2 + 3𝑥
=> 𝑥 + 2 · (−1 + 2𝑥) + 3 · (−2 + 3𝑥) = 1 => 14𝑥 − 9 =>
x + 2y + 3z = 1
𝑥=
9
9
18
4
2
9
1
; 𝑦 = −1 + 2 ·
= −1 +
=
= ; 𝑧 = −2 + 3 ·
=−
14
14
14 14 7
14
14
9
2
1
El punto A´ (14 , 7 , − 14)
Dado el plano  de ecuación x + 2y + 3z – 1 = 0, el punto P(2,1,1) y la
𝐱 = 𝟐𝐳 − 𝟑
recta r de ecuaciones: {
determina: a) Unas ecuaciones de
𝐲 = 𝐳 + 𝟒
la recta que pasa por P y es perpendicular a . b) La ecuación del plano
que pasa por P y es perpendicular a la recta r. c) Unas ecuaciones de la
recta que pasa por P y corta perpendicularmente a r. d) Unas ecuaciones
de la recta que pasa por P, es paralela al plano  y tal que su vector director es perpendicular al de r.
y P ∈ s  nπ = us por lo que us = (1, 2, 3) y la recta pedida es:
x = 2 + λ
𝒔 ≡ {y = 1 + 2λ
z = 1 + 3λ
b) π´ ┴ r y P ∈ π´ Hay que pasar la recta r a paramétricas llamando a z = λ
x = − 3 + 2λ
𝑟 ≡ { y = 4 + λ => 𝑢𝑟 = (2, 1, 1) 𝑦 𝑙𝑎 𝑛𝜋´ = 𝑘 · 𝐮𝐫 = (2, 1, 1)
𝐳 = 𝛌
a) s ┴ π
Como PP´ = (x – 2, y – 1, z – 1) , el plano se calcula haciendo el producto escalar
PP´ · nπ´ = 0  2· (x – 2) + (y – 1) + (z – 1) = 0
c) r´ ┴ 2 y P ∈ r´
 2x + y + z – 6 = 0
Buscamos un plano llamado de apoyo π´´ ┴ r , de forma que
nπ´´ = k · ur = (2, 1, 1)
y como P ε r ε π´´ y puedo buscar un genérico del plano
PP´ = (x – 2, y – 1, z – 1) tal que PP´ · nπ´´ = 0 , nos de la ecuación del plano de apoyo.
2·(x – 2) + y – 1 + z – 1 = 0  2x + y + z – 6 = 0 ¡ que casualidad, es el plano del
apartado anterior!.
A continuación buscamos el punto de corte de la recta r y el plano π´´ introduciendo las
paramétricas de r en la ecuación general del plano.
2 · (-3 + 2λ) + 4 + λ + λ – 6 = 0  - 6 + 4λ + 4 + λ + λ – 6 = 0  6λ – 8 = 0
4
8
4 4
1
λ = 3 con lo que M = (−3 + 3 , 4 + 3 , 3) 𝑦 𝑃𝑀 = (− 3 − 2,
16
3
4
x = 2 − 7λ
= (-7, 13, 1)  r´ : {y = 1 + 13λ
z = 1 + λ
𝒊
r´´ // π  𝐮𝐫´´ ┴ 𝐧𝛑
𝑑) {
ur´´ = nπ x ur = |𝟏
r´´ ┴ r  𝐮𝐫´´ ┴ 𝐮𝐫
𝟐
𝑥 =2−𝜆
con lo que la recta r´´ : {𝑦 = 1 + 5𝜆
𝑧 = 1 − 3𝜆
𝒋
𝟐
𝟏
7 13 1
− 1, 3 − 1) = (− 3 ,
𝒌
𝟑| = - i + 5 j – 3 k
𝟏
3
, 3)
x–y+z=1
Dados A(-2,-4,-3) y B(2,6,5) y la recta r:
2x + y – 3z = 2
averigua si existe alguna recta que contenga los puntos A y B y corte a r.
Razona la respuesta
ur
Ax
Calculamos la recta s que pasa por A y B
xC
xB
y luego comprobemos si corta o no a la recta r
us = AB = (4, 10, 8) = (2, 5, 4)
x–y=1–z
+  3x = 3 + 2z  x = 1 + 2/3 z
Calculemos las paramétricas de r
2x + y = 2 + 3z
y = x – 1 + z = 1 + 2/3 z – 1 + z 
x = 1 + 2/3 λ
r ≡ y = 5/3 λ
z=λ
 C(1, 0, 0)
y = 5/3 z
y ur = ( 2/3, 5/3, 1) = (2, 5, 3)
Para estudiar la posición relativa entre r y s necesitamos el vector AC, ademas del ur y del
us con lo que AC = ( 3, 4, 3 )
rg

AC
ur
us
rg
3
= rg 2
2
AB
ur
us
= 3
4
5
5
3
3
4
;
3
2
2
4
5
5
3
3 = 60 + 24 + 30 – 30 – 32 – 45
4
=7≠0
r y s se cruzan y no se cortan.
Dados dos planos de ecuaciones 3x - y + z = 1 y x + y - 2z = 0 , hallar
un vector cuya dirección sea paralela a ambos. Explicar como se ha
calculado.
Sea   3x - y + z = 1 y sea v = (3,-1,1) su vector perpendicular o asociado.
Sea '  x + y - 2z = 0 y sea w = (1,1,2) su vector perpendicular o asociado.
Al calcular el producto vectorial de los vectores v y w, nos dara un vector u, que será
perpendicular a los vectores v y w.
Como v y w son los vectores perpendiculares a cada uno de los planos, resultara que el
vector u será siempre paralelo a los planos  y '.
i j k
u = 3 -1 1 = i + 7j + 4k
1 -1 -2
Luego el u(1,7,4) es el vector paralelo a los planos  y '.
Dados los planos a y b de ecuaciones respectivas:
a  2x - y + 2z = 2 b  - 4x + 2y - 4z = 1
Se pide: 1º) Probar que son paralelos y determinar la distancia entre
ellos. 2º) Determinar la ecuación del plano perpendicular a ambos, que
pasa por el punto A en que el plano a corta al eje OX y por el punto B en
el que el plano b corta al eje OY.
Para ver si son paralelos, tomaremos los vectores asociados a los dos planos y
comprobaremos que son paralelos.
u = (2,-1,2) ┴ a v = (-4,2,-4) ┴ b
v = - 2u por lo que son paralelos y también los planos a y b
Ahora calculemos un punto P  al plano a dandole a x=0 e y=0 con lo que
z = 1 , es decir P = (0,0,1)
│-4.0 + 2.0 - 4.1 - 1│
5
5
d(P,b) = -------------------------- = ------ = -- 16 + 4 + 16
36
6
Calculemos las coordenadas de los puntos A y B
Como el eje OX viene dado por los planos y = 0 e z = 0 , sustituyendo en la ecuación
del plano a
2x - 0 + 0 = 2 ==> x = 1 ; A = (1,0,0)  
Como el eje OY viene dado por los planos x = 0 y z = 0 , sustituyendo en la ecuación del
plano b
1
0 + 2y - 0 = 1 ==> y = - ; B = (0,1/2,0)  
2
El vector AB   y será AB = (-1,1/2,0)
el vector u   ya que es perpendicular a los planos a o b
La ecuación del plano  
x-1 y
-1
½
2
-1
x - 1 + 2y = 0 ===>   x + 2y - 1 = 0
z
0
2
= 0
Dados los puntos A(1,-3,1), B(2,3,1) y C(1,3,-1), se pide
a) Obtener la ecuación del plano Л que los contiene
b) Calcular la distancia del origen de coordenadas al plano Л
c) Determinar el volumen del tetraedro cyos vértices son A, B, C y el
origen de coordenadas.
a)
B
A
P
C
AP= (x - 1, y - 3, z - 1)
UЛ = AB = (1, 6, 5)
VЛ = AC = (0, 6, -2)
x-1 y-3 z-1
1
6
5 = 0; - 12 (x - 1) +2 (y + 3)+ 6 (z - 1)= 0
0
6
-2
- 6 (x - 1) + (y + 3) + 3(z - 1)= 0; - 6x + y + 3z +6 = 0; Л= 6x – y – 3z –6 = 0
b)
| 6∙ 0 – 0 + 3 ∙ 0 – 6 |
6
6√46
3√46
d(0, Л) = ----------------------------- = -------- = ---------- = ---------- u
√ 36 + 1+ 9
√46
46
23
c) OA, OB y OC forman un paralelepípedo.
Vtetraedro = 1/6 Vparalelepipedo= 1/6 | OA∙(OB x OC) | = 1/6
1 -3 1
2 3 -1
1 3 -1
= 1/6 ∙ 1 = 2 u3
Determina m, si es posible, para que el plano
: 2mx – 3(m – 1)y – (m + 3)z + 2m + 4 = 0 sea ortogonal a la recta de
ecuación:
y
r: x = --- = - z
2
Como ur ( 1, 2, - 1)
y nπ = ( 2m, -3 ·(m-1), - (m+3) )
2m
- 3 · (m-1)
- ( m+3)
π ┴ r  ur // nπ  ------ = -------------- = ----------1
2
-1
4m = - 3m + 3 ; 7m = 3  m = 3 / 7
2m = -m – 3  m = 3
3m – 3 = - 2m + 6 ; 5m = 9  m = 9 / 5
Como podemos ver , no existe un valor de m unico por lo que no ewxiste ningun valor de
m que haga que r sea perpendicular a π.
Determinar la ecuación de la recta r que pasa por el punto A(1,0,2) y
es perpendicular al plano determinado por el origen de coordenadas y de
la recta
x = 2z - 1
y=z–2
Al ser la recta r ┴ π . Podemos asegurar que el ur es paralelo al vector característico del
plano uπ.
ur
nπ
Para calcular π tenemos un punto O (0, 0, 0) y
una recta S contenida en π y de forma que el
vector dirección de S y el vector característico
son ┴.
O
UB
B
x = 2z – 1

Si tomamos la recta S ≡
y= z–2
x=-1+2λ
y=-2+λ
z=λ
para todo λ
perteneciente a R
Bs = (-1, -2, 0) pertenece a π
serán las parametricas de la recta
us
= (2, 1, 1) pertenece a π
Como O  π y B  π  OB  π y será OB = (-1, -1, 0)
El vector nπ buscado se puede calcular como el producto vectorial de dos de los vectores
dirección del plano.
nπ = us x OB =
i
2
-1
j k
1 1
-2 0
= +2 i - j -3 k = nπ = (2, -1, -3)
ur = k nπ  ur = ( 2, -1, -3) para k = 1
La recta pedida esta ya calculada conociendo su punto base A y su vector dirección
x=1+2λ
y=-λ
z = 2+ 3 λ
λR
x-1
y
z-2
------- = ------- = ------2
-1
-3
Determinar razonadamente si las rectas r y s se cortan o cruzan
x + y - 2z + 1 = 0
2x + y - z - 1 = 0
r: 2x - y + z - 1 = 0
s: x - y - 2z + 1 = 0
Hallar también el coseno del Angulo que forman sus direcciones.
La recta r viene dada por dos planos cuyos vectores perpendiculares serán
w = (1,1,-2) y w'= (2,-1,1) por lo que el vector dirección de la recta r será ur = w x w'
i j k
ur = 1 1 -2 = i - 4j - k - 2k - 2i - j = - i - 5j - 3k
2 -1 1
La recta s viene dada por otros dos planos cuyos vectores asociados serán v = (2,1,-1) y
v' = (1,-1,-2) por lo que el vector dirección de la recta s será us = v x v'
i j k
us = 2 1 -1 = - 2i - j - 2k - k - i + 4j = - 3i + 3j - 3k
1 -1 -2
Si tomamos un punto A  r dando a z el valor 0 y resolviendo el sistema en x e y
x + y = - 1 3x = 0 ==> x = 0 ==> y = -1
2x - y = 1
A(0,-1,0)
Si tomamos un punto B  s dando a z el valor 0
2x + y = 1
3x = 0 ==> x = 0 ==> y = 1
x-y=-1
B(0,1,0)
Formemos el vector AB = (0,2,0) y calculemos el rango formado por los vectores AB,
ur y us
-1 -5 -3
-3 3 -3 = 18 – 6 = 12  0
0 2 0
rg
-1 -5 -3
-3 3 -3 = 3
0 2 0
Al ser los tres vectores l.i , las rectas r y s se cruzan
│ur.us│
cos(r,s) = ------------ =
│ur│.│us│
1
105
= -------- = ------105
105
3 - 15 + 9
----------------------------- 1 + 25 + 9 . 9 + 9 + 9
=
-3
-------3105
x–1
y +1
z
Determinar un punto P de la recta r: --------- = -------- = ----2
1
3
que equidiste de los planos π: x + y + z = - 3
σ:
x=-3+λ
y=-λ +μ
z=-6–μ
Primero veamos la posición relativa de los 2 planos , para lo que pasaremos las
parametricas de σ a su ecuación general implicita
A (- 3 , 0 , - 6)
σ = uσ = (1 , -1 , 0)
vσ = (0 , 1 , -1)
x+3 y
1 -1
0
1
z+6
0
-1
AQ = (x + 3 , y , z + 6)
AQ , uσ y vσ son combinación lineal  l.d
=0
x + 3 + y + z + 6 = 0  σ: x + y + z + 9 = 0
π: x + y + z + 3 = 0
Los planos π y σ son paralelos pues los coeficientes de x , y , z son iguales
Para escribir cualquier punto dela recta r lo escribimos en parametricas
x=1+λ
y = -1 + λ P (1+2λ , -1+ λ , 3λ) Є r
z = 3λ
Para que P equidiste igualamos d (P , π ) = d (P , σ)
1+2λ–1+λ+3λ+3
1 + 2 λ -1 + λ + 3 λ + 9
------------------------------ =  ----------------------------- 
√ 12+12 +12
√ 12+12 +12
6λ+3=6λ+9
6 λ + 3 = -6 λ - 9
6λ+3
6λ+9
------------ =  ----------√3
√3
 3 = 9 es una incongruencia  no existe λ
 12 λ = - 12  λ = - 1
El punto P será P(1 + 2(-1) , -1 +(-1) , 3(-1)) = (-1 , -2 , -3)
Dos vértices consecutivos de un paralelogramo son A (1,1,1) y B(0,2,0).
El centro del paralelogramo es O (0,0,1). Se pide:
a) Las coordenadas de los otros dos vértices.
b) El área e paralelogramo.
D
AB = AB - OA = (0, 2, 0) – (1, 1, 1) = (-1, 1 ,-1)
C(x,y,z)
AC = (x – 1 , y – 1 , z - 1)
AO = (0,0,1) – (1,1,1) = (-1,-1,0)
C
0
A
B
x–1=-2; x=-1
y–1=-2; y=-1
z–1= 0; z=1
AC = 2AO
C(-1,-1,1)
CD = (x’ +1, y’ +1, z’ -1)
AB = - CD 
x’ + 1
y’ + 1
z’ – 1
------- = -------- = ------- = - 1 ;
-1
1
-1
Area = AB x AD =
i
-1
-1
j k
1 -1
-3 1
x’ = 0
y’ = - 2
z’ = 2
= - 2i + 2j + 4k
D( O, -2, 2 )
________
___
= √ 4 + 4+ 16 = √ 24 u2
Encontrar la ecuación del plano que contiene a los puntos P(1, 2, 1) y
Q(1, 2, 3) y al punto S, intersección de la recta ‘r’ y el plano 𝜋, cuyas
ecuaciones son:
r:
x = 1 + 2t
y = 2 + 2t
z = 1 − 2t
𝜋: x + y + z = 0
P
S
r
𝜋
R (x,y,z)
Q
Calculamos el punto S = r ∩ 𝜋
Sustituyo las paramétricas en 𝜋
1 + 2t + 2 + 2t + 1 – 2t = 0; 4 + 2t = 0; 2t = - 4;
S
t=-2
( 1 + 2 (-2), 2 + 2 (-2), 1 – 2 (-2)) = (- 3, - 2, 5)
Los vectores PQ, PR, y PS
PR = (x – 1, y – 2, z – 1);
x−1
. 0
−1
y−2
0
−1
al plano pedido y deben ser l.d.
PQ = (0, 0, 2);
PS = (-4, -4, 4) = (-1, -1, 1)
z−1
2 = 0; 2· (x – 1) – 2· (y – 2) = 0;
1
x–y+1=0
2x – 2y + 2 = 0
𝐱 = 𝐭– 𝟏
𝟐𝐱 – 𝐲 = 𝟎
𝐄𝐬𝐭𝐮𝐝𝐢𝐚 𝐬í 𝐥𝐚𝐬 𝐫𝐞𝐜𝐭𝐚𝐬 𝐋𝟏 : {𝐲 = 𝐭 + 𝟏 𝐲 𝐋𝟐 : {
𝐬𝐞
𝟑𝐲 – 𝟐𝐳 = 𝟎
𝐳 = 𝐭
𝐜𝐫𝐮𝐳𝐚𝐧 𝐲, 𝐞𝐧 𝐜𝐚𝐬𝐨 𝐚𝐟𝐢𝐫𝐦𝐚𝐭𝐢𝐯𝐨, 𝐞𝐧𝐜𝐮𝐞𝐧𝐭𝐫𝐚 𝐥𝐚 𝐝𝐢𝐬𝐭𝐚𝐧𝐜𝐢𝐚 𝐞𝐧𝐭𝐫𝐞 𝐞𝐥𝐥𝐚𝐬.
𝟏
𝑳𝟏 : {
𝒙 = 𝟐𝝀
A(−1, 1, 0)
B(0, 0, 0)
; 𝑳𝟐 : { 𝒚 = 𝝀 => {
𝒖𝑳𝟏 = (1, 1, 1)
𝒖𝑳𝟐 = (1/2 , 1, 3/2) = (1, 2, 3)
𝟑
𝒛 = 𝟐𝝀
AB = (1, -1, 0) , 𝒖𝑳𝟏 = (1, 1, 1) , 𝒖𝑳𝟐 = (1, 2, 3)
AB
1 −1 0
|1 1 1| = 3 + 3 = 6 ≠ 0 , ∃ m. p. de orden 3 => 𝑟𝑎𝑔 (𝒖𝑳𝟏 ) = 3
𝒖𝑳𝟐
1 2 3
r y s se cruzan en el espacio.
d( r, s) =
||AB · (𝒖𝑳𝟏 𝒙 𝒖𝑳𝟐 )||
|𝒖𝑳𝟏 𝒙 𝒖𝑳𝟐 |
=
1 −1 0
||1 1 1||
1 2 3
𝒊 𝒋
||1 1
1 2
𝒌
1||
3
=
3– 1 + 3– 2
3
√6
=
=
|i – 2j + k|
2
√6
Explicar cómo puede hallarse el área de un triangulo a partir de las
coordenadas de sus tres vértices. Aplicarlo al A(1,0,1), B(-1,0,0), C(0,2,3).
Sabiendo que el área de un triangulo es la mitad del área del paralelogramo y que esta
es igual al modulo del producto vectorial de los vectores que forman los lados del
paralelogramo.
SABC = ½ SABDC = ½ |𝐀𝐁 x 𝐀𝐂|
Calculando los vectores AB = (-2, 0, -1) y AC = (-1, 2, 2)
𝑆=
𝑖
𝑗 𝑘
1
1
1
1
3
||−2 0 −1|| = |2𝐢 + 5𝐣 − 4𝐤 | = √4 + 25 + 16 = √45 = √5
2
2
2
2
2
−1 2 2
Explicar cómo se halla el ángulo diedro formado por dos planos dados
por sus ecuaciones cartesianas. ¿Por que?.
Geométricamente, un Angulo diedro se halla trazando un plano perpendicular a la recta
de intersección de los planos del diedro.
Sean las ecuaciones de los dos planos: {
π: ax + by + cz + d = 0
π´: ax + by + cz + d = 0
Si tomamos los vectores normales a los dos planos 
y el w' (a',b',c') será el perpendicular al '.
w (a,b,c) es perpendicular al 
Por tanto, si  es el Angulo que forman los planos y ß es el Angulo que forman los
vectores asociados, podemos ver que  = ß, por ser los lados de los dos ángulos
perpendiculares entre si.
cos 𝛽 =
𝑤 · 𝑤´
a. a′ + b. b′ + c. c′
=
|𝑤| · |𝑤´| √𝑎2 + 𝑏 2 + 𝑐 2 · √𝑎´2 + 𝑏´2 + 𝑐´2
Explicar de manera razonada como puede obtenerse el Angulo que
forma el plano de ecuación ax + by + cz + d = 0 y la recta dada por
𝒙−𝒎
𝒚−𝒏
𝒛−𝒑
=
=
𝒖
𝒗
𝒘
El Angulo de una recta y un plano, se define como el Angulo agudo formado por la
recta r y la recta intersección entre el plano  y el plano perpendicular al  que contenga a
r.
ur
En el dibujo, el ángulo pedido será ,
pero será mas fácil de calcular su comple-------------------------mentario ß, como el ángulo que forma el
nπ
vector dirección de la recta u (u;v;w) y
el vector asociado al plano w (a;b;c)
cos 𝛽 =
|𝑢 · 𝑤|
|a. u + b. v + c. w|
=
𝑦 𝑝𝑜𝑟 𝑢𝑙𝑡𝑖𝑚𝑜 𝛼 = 90º − 𝛽
|𝑢| · |𝑤| √𝑎2 + 𝑏 2 + 𝑐 2 · √𝑢2 + 𝑣 2 + 𝑤 2
Expresar la condición que han de cumplir los coeficientes de las
ecuaciones de dos planos, para que estos sean perpendiculares. ¿Por
que?.
Dados dos planos {
π ≡ ax + by + cz + d = 0
π′ ≡
a′x + b′y + c′z + d′ = 0
Si v = (a,b,c) y v' = (a',b',c') son los vectores asociados o perpendiculares a los dos
planos  y ' respectivamente.
Al ser el Angulo que forman los dos planos igual al Angulo que forman los vectores
asociados, para que los dos planos sean perpendiculares será necesario que el Angulo
formado sea de 90.
Los vectores v y v' serán perpendiculares cuando su producto escalar sea cero.
v.v' = 0 ==>
a.a' + b.b' + c.c' = 0
Halla el punto simétrico de A(-1,3,3) respecto del plano  de ecuación
general : x + y – 2z = 5.
xA
nπ
nπ = (1, 1, -2)
xM
x = −1 + λ
r: { y = 3 + λ
z = 3 − 2λ
xA´
r
6λ – 9 = 0 
ur = k·nπ (1, 1, -2)
M=r∩π
9
- 1 + λ + 3 + λ – 2·(3 - 2λ) – 5 = 0
3
3
3
Como M es el punto medio entre A y A´ , busquemos el extremo A´.
−1+𝑥
2
3+𝑧
2
=
1
2
1
𝜆 = 6 = 2 => M (− 1 + 2 , 3 + 2 , 3 – 3) = (2 ,
=> −1 + 𝑥 = 1 ; 𝑥 = 2 ;
= 0 =>3 + z = 0 ; z = - 3
3+𝑦
2
=
9
2
=> 3 + y = 9 ; y = 6
A´ (2, 6, -3)
9
2
, 0)
Halla el volumen del tetraedro cuyos vértices son el punto (1,1,1) y los
puntos en los que el plano 2x + y + z = 2 corta a los ejes coordenados.
(PAU).
Calculemos los puntos A, B y C de corte del plano con cada uno de los tres ejes
𝐴: {
2x + y + z = 2
𝑦=0
𝑒𝑗𝑒 𝑂𝑋 {
2x = 2  x = 1  A(1, 0, 0)
𝑧=0
𝐵: {
2x + y + z = 2
𝑥=0
𝑒𝑗𝑒 𝑂𝑌 {
y = 2  B(0,2, 0)
𝑧=0
2x + y + z = 2
𝑥
=0
𝐶: {
𝑒𝑗𝑒 𝑂𝑍 {
z = 2  A(0, 0, 2)
𝑦=0
1
𝑉 = |𝑂𝐴 · (𝑂𝐵 𝑥 𝑂𝐶)| = ||0
0
0 0
2 0|| = 4 𝑢3
0 2
𝐇𝐚𝐥𝐥𝐚 𝐥𝐚 𝐞𝐜𝐮𝐚𝐜𝐢ó𝐧 𝐝𝐞 𝐥𝐚 𝐩𝐫𝐨𝐲𝐞𝐜𝐜𝐢ó𝐧 𝐨𝐫𝐭𝐨𝐠𝐨𝐧𝐚𝐥 𝐬 𝐝𝐞 𝐥𝐚 𝐫𝐞𝐜𝐭𝐚:
𝐱−𝟏
𝐲−𝟏
𝐳−𝟐
𝐫≡
=
=
𝐬𝐨𝐛𝐫𝐞 𝐞𝐥 𝐩𝐥𝐚𝐧𝐨 𝛑 ≡ 𝐱 − 𝟑𝐲 + 𝟐𝐳 + 𝟏𝟐 = 𝟎
𝟐
𝟏
𝟐
Primero se calcula si r corta a π ó es paraA nπ
r
lelo a él, para lo cual nπ · ur vale ó no 0
M
s
(1, -3, 2) · (2, 1, 2) = 2 – 3 + 4 = 3 ≠ 0
P
π

r incide en π
Por un lado hay que calcular el punto P ≡ r ∩ π
x = 1 + 2t
𝑆𝑖 𝑟 ≡ { y = 1 + t => (1 + 2t) – 3 · (1 + t) + 2 · (2 + 2t) + 12 = 0
z = 2 +2t
𝑥 =1−
1 + 2t – 3 – 3t + 4 + 4t + 12 = 0  3t + 14 = 0  t = −
 P(−
25
3
,−
11
3
22
14
3
=> 𝑦 = 1 −
{𝑧 = 2 −
28
3
14
3
28
3
,− 3)
Por otro lado hay que calcular el punto M como intersección de la recta AM y el plano
La recta AM pasa por A(1, 1, 2) ε r y su uAM = k · nπ = (1, -3, 2)
x = 1 + λ
Recta AM ≡ { y = 1 − 3λ  (1 + λ) – 3 · (1 - 3λ) + 2 · (2 + 2λ) + 12 = 0 
z = 2 + 2λ
 1 + λ – 3 + 9 λ + 4 + 4 λ + 12 = 0  14 λ = − 14  λ = − 1
Con lo que el punto M (0, 4, 0) al sustituirlo en las paramétricas de AM.
Para acabar, la recta proyección s es la que pasa por P o por M y cuyo us = PM
x = 25 μ
, 3 ) = (25, 23, 22) y la recta s es => 𝑠 ≡ {y = 4 + 23 μ
z = 22 μ
25 23 22
us = ( 3 ,
3
𝐇𝐚𝐥𝐥𝐚𝐫 𝐞𝐥 á𝐧𝐠𝐮𝐥𝐨 𝐟𝐨𝐫𝐦𝐚𝐝𝐨 𝐩𝐨𝐫 𝐥𝐚 𝐫𝐞𝐜𝐭𝐚 𝐫 ≡
Hallar el ángulo formado por la recta y el plano π:
x- 3y + 5z = 7
r:
π: x + 4y + z – 6 = 0
3x + y - 4z = 1
ur . n π
α(r,π) = arcsen -----------ur · nπ
x - 3y + 5y= 7
x - 3y = 7 - 5z
3x + y - 4z = 1
3x + y = 1 + 4z
7 – 5z -3
1 + 4z 1
7 – 5z + 3 – 12z
x = ---------------- = --------------------1 -3
1+9
3
1
1 7 – 5z
3 1 + 4z
1 + 4z – 21 + 15z
y = -------------- = --------------------1+9
1+9
x = 1 + 7/10 z
y = -2 – 19/10 z
r
7
x = 1 + 10
μ
19
y = −2 + 10 𝜇
z=𝜇
𝟕
ur (𝟏𝟎
,
𝟏𝟗
𝟏𝟎
, 1)
( 7, 19, 10 )
nπ= (1, 4, 1)
7·1+ 19·4 +10·1
α(r, π) = arcsen
93
= arcsen
72+192+102 ·
12+42+12
π
= 76,08º
√ 510 · √ 18
Hallar el lugar geométrico de los puntos que equidistan de A(2, -4, 7) y
B(0, 3,-1) ¿Qué figura forman?

 AP  ( x  2, y  4, z  7)
d(A, P) = d(B, P) 

 BP  ( x, y  3, z  1)
A
P
B
(
( x  2) 2  ( y  4) 2  ( z  7) 2  x 2  ( y  3) 2  ( z  1) 2
j
a
j
2
x  4 x s 4  y 2  8 y  16  z 2  14 z  49 = x 2  y 2  6 y  9  z 2  2 z  1
s
- 4x + 8y –(14z + 69 = - 6y + 2z + 10
- 4x + 14y (– 16z + 59 = 0
x
,
4x –y14y + 16z – 59 = 0
el lugar geométrico es un plano.
,
z
)
Hallar el lugar geométrico de los puntos que equidistan de los pla-nos
de ecuaciones 3x, -4y, +5 = 0 y 2x -2y + z + 9 = 0. ¿Que puntos del eje OY
equidistan de ambos planos?
Los puntos pedidos serán de la forma P(x, y, z)
d(P, Л) = d(P, Л´) Al sustituir el punto en cada plano.
|3x – 4y + 5|
| 2x- 2y + z + 9|
------------------ = ---------------------- ;
√ 9 + 16
√4+4+1
3 ( 3x – 4y + 5) = 5 ( 2x – 2y + z + 9)
3 ( 3x – 4y + 5) = ± 5 ( 2x – 2y + z + 9)
3 ( 3x – 4y + 5) = -5 ( 2x – 2y + z + 9)
9x – 12y + 15 = 10x – 10y + 5z + 45
9x – 12y + 15 = - 10x + 10y – 5z – 45
==>
==>
Hay 2 lugares geométricos que son dos planos
x + 2y + 5z + 30 = 0
19x – 22y + 5z + 60 = 0
Hallar el punto simétrico de un punto B (5 0 9) respecto a la recta
x - 2 = y + 1/6 = z + 4/3
Para hallar B' calculamos primero el punto M como intersección
de la recta r con un plano de apoyo п que es ┴ a la recta r y contiene a B.
Calculamos el plano п
Por ser п ┴ r 
nπ ┴ ur ; nπ = k .ur = (1, 6, 3).
M ≡ r ∩ п : Pongo r en parametricas.
π ≡ x + 6y + 3z + D = 0 pasa por B (5, 0, 9);
5 + 6· 0 + 3 · 9 + D = O: D = -32
π ≡ x + 6y + 3z – 32 = 0
r ≡
x= 2 + λ
y= -1 + 6λ
z= -4 + 3λ
Sustituir en el plano.
2 + λ + 6·(-1 + 6λ) +3· (-4 + 3λ) – 32 = 0
2 + λ -6 + 36λ -12 + 9λ – 32 = 0
46λ = 48 ;
λ = 48 / 46 = 24 / 23.
M (2 + 24/3, -1 + 6·24/23, -4 + 3· 24/23) = (70/23, 121/23, -20/23)
M es punto medio entre B y B'.
70/23 = (5 + x) / 2: 140/23 = 5+x ; x = 140/23 - 5; x = 25/23
121/23 = (0 + y) / 2; y = 242/23
-20/23 = (9 + z) / 2 ; z = -40/23 – 9 ; z= -247/23
B´( 25/23, 242/23, - 247/23)
Hallar el punto simétrico de A(1, -2, 3)respecto al plano 2x - 3y + z = 7
A(1, -2, 3)
ur = k n∏ = (2, -3, 1) A(1,-2,3)
n∏
m
r≡
x = 1 + 2λ
y = -2 - 3λ
z=3+λ
M≡r∩∏
A’(x,y,z)
2· (1 + 2λ) – 3· (-2 - 3λ) + 3 + λ = 7
2 + 4λ +6 + 9λ +3 +λ – 7 = 0 ; 14λ + 4 = 0 ; λ = - 4 / 14
M (1 + 2· (-4 / 14), -2 – 3 · (-4 / 14), 3 – 4 / 14) = (1 - 4/7, -2 + 12/14, 3 - 4/14)
M (3/7, -8/7, 19/7)
3
1+x;
-- = ------ ;
7
2
-8
-2+y;
--- = --------- ;
7
2
19
3+z
--- = ------ ;
7
2
M es el punto medio entre A y A’
6 = 7 + 7x ; - 1 = 7x ; x = - 1 / 7
- 16 = - 14 + 7y ;
38 = 21 + 7z ;
- 2 = 7y ;
y=-2/7
A’(-1/7, -2/7, 17/7)
17 = 7z ; z = 17 / 7
Hallar la distancia del punto P(1,2,3) a la recta r de ecuaciones
x=t
r: y = 6 – t , determinando el punto de la recta que esta a menos
z=2+t
distancia de P.
│AP x ur │
d( P, r) = -------------│ ur │
i
AP x ur = 1
1
j
-4
-1
A(0, 6, 2) ; ur = (1, -1, 1) ; AP = (1, -4, 1)
k
1 = - 3i + 3k
1
│- 3i + 3k │
√9+9
d(P, r) = -------------------- = ---------- = √ 6 u
√ 12 + (-1)2 + 12
√3
Hallar la distancia desde el punto P(0,0,7) al plano que pasa por los
puntos O(0,0,0) , A(0,2,4) y B(4,0,2).
Calculemos el plano que pasa por A, B y C
OP = (x, y, z)
OP
π ≡ uπ = OA = (0, 2, 4)  rg uπ = 2
vπ = OB = (4, 0, 2)
vπ
x
0
4
y
2
0
z
4 = 0
2
4x + 16y – 8z = 0  x + 4y – 2z = 0
│a·x1 + b·y1 + c·z1│
│1·0 + 4·0 – 2·7│
14
14 · √ 21
d( P, π ) = -------------------------- = ----------------------- = ------ = ----------- =
√ a2 + b2 + c2
√ 12 + 42 + 22
√ 21
21
2 · √ 21
= ----------- u
3
Hallar la distancia entre las rectas r y s siendo:
Las rectas r y s no son paralelas ni coincidentes ur
k · us
Además el vector AB siendo A(0,1,-4) y B(0,0,0) es AB = (0,-1,4) que tampoco es
proporcional, luego r y s se cruzan en el espacio.
La d(A,B) es la altura del paralelepípedo formado por los 3 vectores.
Como Vparalelepípedo = Abase · altura
| AB · (ur x us) | = |ur x us | · d(A,B)  d(A,B) =
d ( A, B) 
0 1
4
2
1
3
AB·(Ur x Us)
Ur x Us
4
1  8  12  8
5
5 251



u
k
13i  9  k
251
132  92  12
2 3 1
1
i
1
j
1 1
4
Hallar la distancia existente entre los planos : x + y + z = 1 y
´: x + y + z = 0 .
Si estudiamos la posicion relativa entre los dos planos
1
1
1
1
--- = --- = --- ≠ --- los planos son paralelos.
1
1
1
0
A
d( π, π´ ) = d (A, π´)
Busquemos un punto A poniendo el plano en parametricas
π´
x=1–λ-µ
y=λ
A (1, 0, 0) ε π
z=µ
│1 + 0 + 0│
d( A, π´) = ----------------- = 1 / √3 = √ 3 / 3
√12 + 12 + 12
Hallar la distancia del punto P(1,2,3) a la recta r de ecuaciones r:
x=t
y = 6 – t , determinando el punto de la recta que esta a menos
z=2+t
distancia de P.
│AP x ur │
d( P, r) = -------------│ ur │
AP x ur =
i
1
1
j
-4
-1
A(0, 6, 2) ; ur = (1, -1, 1) ; AP = (1, -4, 1)
k
1 = - 3i + 3k
1
│- 3i + 3k │
√9+9
d(P, r) = -------------------- = ---------- = √ 6 u
√ 12 + (-1)2 + 12
√3
Hallar la ecuación de una recta r que pasa por el punto P(1,-1,1) y es
paralela a los planos π : 2x + y – z = 0 ; π’ : 3x + y – 2z + 5 = 0
Si r | | π
ur perpendicular nπ
ur perpendicular n‘π
i
ur = nπ x n‘π = 2
3
x=1–λ
r y = -1 + λ
z = 1 – λ
j
1
1
ur = nπ x n ‘π
nπ = (2,1,-1) y n‘π (3,1,-2)
k
-1 = - i + j – k = (- 1, 1, - 1)
-2
x–1
y+1
z+1
Para todo λ  R ó ------ = ------- = -------1
1
-1
Hallar la ecuación de una recta que pasa por el punto P(2,0,1) y corta
perpendicularmente a
x–y+z=1
r:
xP nπ
x+y–z=4
M
Si π ┴ r
nπ
ur
ur ;
Busquemos un plano de apoyo π que sea
a r y que pase por P.
┴
n π= k u r.
Busquemos el ur poniendo r en paramétricas:
x–y=1-z
2x = 5 ; x =5/2
x+y=4+z
x = 5/2
y = 4 + z - 5/2 = z + 3/2
y = 3/2 + µ
∀ μ𝜖
R
ur (0, 1, 1)
z=µ
 nπ (0, 1, 1)  π ≡ y + z + D = 0
y si pasa por P
0 · 2 + 1· 0 + 1· (-1) + D = 0  D = 1;
π≡ 𝒀 + 𝒁 + 𝟏 = 𝑶
El punto M = r π 
2µ =- 1 - 3/2 = -5/2 ; µ = -5/4
3/2 + µ + µ + 1 = 0
M(5/2, 3/2-5/4, -5/4) = (5/2, 1/4, -5/4).
Para calcular la recta r´ busco un ur´ = PM
ur´= ( 5/2 - 2, 1/4, -5/4 + 1) = (1/2, 1/4, -1/4)
𝑟´ ≡
𝑥−2
2
y
z+1
1
−1
= =
ó
x = 2 + 2µ
y=µ
∀μ𝜖𝑅
z = -1 - µ
(2, 1, -1)
Hallar la ecuación de la perpendicular común a las rectas
x-1
y
z
x=2+λ
r: —— = —— = —— ; s: y = 3 + 2λ
2
3
4
z = 4 + 3λ
ur = (2, 3, 4)
us = (1, 2, 3)
i j k
ur × us = 2 3 4
1 2 3
A (1, 0, 0)
B (2, 3, 4)
AP = (x - 1, y, z)
π1 ≡ uπ = ur = (2, 3, 4)
vπ = ur × us = (1, -2, 1)
t≡
BP = (x - 2, y - 3, z - 4)
π2 ≡ uπ = us = (1, 2, 3)
vπ = ur × us = (1, -2, 1)
π1 ≡
π2 ≡
x-1 y z
2
3 4
1 -2 1
11·(x - 1) + 2y - 7z = 0
=0
x-1 y-3 z-4
1
2
3
1
-2
1
11x + 2y - 7z = 0
8·(x - 2) + 2·(y - 3) – 4·(z - 4) = 0
=0
11x + 2y - 7z – 11 = 0
t≡
4x + y – 2z - 3 = 0
4x + y - 2z -3 = 0
Hallar la ecuación del plano que es perpendicular a:
  5x – y + z – 1 = 0 y contiene a la recta r:
 A(0,0,2) A  r   '
r 
u r  u '
 ur(2,3,4)
n v ' ya que    '
n
Vn’
r
x y z2
 
2 3
4
ur
n  (5,1,1) ; n '  k (5,1,1)
n
A
AP  ( x, y, z  2)
AP, u ' , v ' son l.d.
x
y
AP
u '  0
v '
z2
2 3
5 1
0
4
1
7x + 18y – 17(z + 2) = 0
7x + 18y – 17z – 34 = 0
Hallar la ecuación de una recta r que pasa por el punto P(1,-1,1) y es
paralela a los planos π: 2x + y – z = 0 ; π´: 3x + y – 2z + 5 = 0
Si r | | π ur
nπ
Si r | | π´ ur
nπ
r
π´
‫ ﻸ‬P
π
ur = nπ x nπ´
nπ = (2 , 1 -1) nπ´ =(3 , 1 -2)
ur = nπ x nπ´ =
r=
i
2
3
x=1–λ
y = -1 + λ
z=1–λ
j
1
1
k
-1
-2
ó
= - i + j – k = (-1 , 1 -1)
x–1 y+1
z–1
------- = ------- = -------1
1
-1
Hallar la ecuación general del plano determinado por los puntos:
A (1,1,1) ; B (-2, 0,1) y C (1, -2, 0) . Calcular el volumen del tetraedro que
limita con los ejes coordenados.
A (1,1,1)  AP = ( x - 1, y - 1, z - 1)
π≡
ur = AB = ( -3, -1, -2)
AP, ur y vπ son L.D.
vπ = AC = ( 0, -3, -1)
x-1
-3
0
y-1
-1
-3
z-1
-2
-1
=0 
-5· (x - 1) – 3· (y - 1) + 9· (z - 1) = 0
-5x - 3y + 9z - 1 = 0
Π ≡ 5x + 3y - 9z + 1 = 0
π
C´
A´
eje ox
x=λ
y=0
z=0
5λ + 1=0 ; λ = - 1/5
x=0
y=λ
z=0
3λ + 1=0 ; λ = - 1/3
x=0
y=0
z=λ
-9λ + 1 = 0 ; λ = 1/9
A´ (-1/5, 0, 0)
π
B´
B´
eje oy
A´
B´ (0, -1/3, 0)
π
C´
eje oz
1
1
V= -----│OA´ (OB x OC) │= ---6
6
-1/5 0
0
0 -1/3 0
0 0 1/9
1
-1
= --- · ----6 135
C´ ( 0, 0, 1/9)
1
= ------ u3
810
Hallar la proyección del punto P (2,-1,3) sobre la recta r:
x = 3t
y = 5t – 7
z = 2t +2
y calcular la distancia del punto P a la recta r.
P
nπ
ur
Construyamos un plano π que contenga al
punto P y sea perpendicular a r.
Luego intersectamos el plano π con la
Recta r y obtenemos el punto M proyección
de P sobre r.
M
Si π ┴ r  nπ ( vector asociado y perpendicular a π )
es paralelo a ur ( vector dirección de r )
x = 3t
y = 5t -7  ur = ( 3, 5, 2) y nπ = k ur = (3k, 5k, 2k) para k = 1
z = 2t +2
 nπ = (3, 5, 2)
r≡
π ≡ 3x + 5y + 2z + D = 0 y obligamos a que contengan a P 3·2 + 5(-1) +2·3+ D = 0 ;
7 + D = 0  D = -7
π ≡ 3x + 5y + 2z -7 = 0 ; M = r  π. Sustituyo las parametricas de r en π
3 ·(3t) + 5·(5t-7) + 2·(2t+2) -7 = 0  9t +25t -35 + 4t +4 -7 = 0  38t -38 = 0  t = 1
El punto M ( 3·1, 5·1 – 7, 2·1 + 2)  M (3, -2, 4)
Para calcular la distancia de un punto a un recta. Como M es el pie de la perpendicular
basta con calcular la distancia entre P y M.
P
r
M
D (P,r) = d (P,M) = │ PM│  PM = (3 - 2, -2 + 1, 4 - 3) = (1, -1, 1) 
_____________
_
d (P,r) = √ 12 + (-12 ) + 12 = √3 u
3x-1
Hallar a) La proyección ortogonal r de la recta r: ——— = y = z
2
sobre el plano π : x + y + z = 2. b) El ángulo que forman r y r´. c) El
ángulo que forman r y π. Comparar los resultados obtenidos en b) y c)
M ≡ r ∩∏
A
nπ
M’ es s∩∏
M
M´ r´
x - 1/3
-------- = y = z
2/3
r≡
≡
x =1/3 + 2/3 λ
y=λ
z=λ
s
ur=(2/3,1,1)= (2,1,1)
M=r∩∏;
1/3 + 2/3 λ +λ + λ - 2=0
; 8/3 λ - 5/3 = 0 ; 8λ – 5 = 0 λ = 5/8
M (1/3 + 2/3 · 5/8, 5/8 , 5/8)= (3/4, 5/8, 5/8)
A є r є s = (1/3, 0, 0)
x=½+λ
y=λ
z=λ
s:
us = k nπ = (1, 1, 1)
M’ ≡ s ∩ ∏ ;
1/3 + λ + λ +λ - 2=0
3λ - 5/3 = 0
3λ = 5/3
;
λ = 5/9
M’ (1/3 + 5/9, 5/9, 5/9) = (8/9, 5/9, 5/9)
r’ ≡ recta proyección MM’
32 - 27 40 - 45, 40 – 45
--------- , -----.--- , -------- =
36
72
72
MM’ = (8/9 – ¾ , 5/9 - 5/8 , 5/9 - 5/8) =
5 -5
-5
--- , ---- , ---- = (10, -5 , -5)=(2, -1, -1)
36 72
72
x-¾
y - 5/8
z - 5/8
------- = -------- = -------2
-1
-1
ur · u r’
2·2+3·(-1)+3·(-1)
[ -2 ]
α (ur, u r’) = arc cos ----------- = arc cos ---------------------- = arc cos ---------- = 79’97º
[ur] · [ur’]
√4+9+9 · √4+1+1
√22 · √6
y pasa por M  r’≡ recta proyección
ur · n∏
2·1+1·1+1·1
4
β(r , ∏) = arc cos ------------ = arc cos ---------------------- = arc cos -------- = 79’97º
[ur] · [n∏]
√4+1+1 · √1+1+1
√6 · √3
Los dos ángulos son iguales
Hallar las ecuaciones del lugar geométrico de todos los puntos del
plano x = y que distan 1 del plano 2x – y + 2z = 2.
Si   2x – y + 2z = 2 trazamos los planos paralelos que disten 1 unidad.
Los puntos de esos planos que corten en el plano   x = y unos darán las ecuaciones
de dos rectas r y s cuyos puntos equidisten de  1 unidad.
Calcularemos 1º los planos paralelos a 
2x – y + 2z - 2 
d ( P,  ) =  = 1; 2x – y + 2z - 2 = 3
 4+ 1 + 4
 1 2x – y + 2z - 2 = 3  2x – y + 2z - 5 =0
 2 2x – y + 2z -2 = -3  2x – y + 2z +1 =0

r  1   
2x – y + 2z -5 =0 ; 2z = 5- 2x + y
x=y
2z = 5 – x
;
x=
y=
z=5-/2
2x – y + 2z +1 = 0 ; 2z = -1 - 2x + y
s  2   
x=y
;
2z = -1 – x
las rectas r y s deberían ser paralelas y lo son.
x=
y=
z = -1 -  / 2
Hallar los puntos cuya distancia al origen es el triple que su distancia a la
recta
x–y=0
r:
z=2
x–y=0
Como r
z=2
x=y
z=2
x=λ
y=λ
z=2
A (0, 0, 2) Є r
ur (1, 1, 0) Є r
Igualando las distancias y elevando al cuadrado queda:
x+2 y–1 z–3
Halla todos los puntos de la recta r: ------ = ------ = ------ que
-2
2
-1
equidisten del punto P(2,3,-1) y del plano : - 2x + y + 2z + 7 = 0.
Ponemos la recta r en parametricas para poder escribir todos los puntos Q de r en
funcion de un solo parámetro λ.
x = - 2 - 2λ
r ≡ y = 1 + 2λ  Q (- 2 - 2λ , 1 + 2λ , 3 – λ)  PQ = (-4 - 2λ, -2 + 2λ, 4 – λ)
z= 3-λ
Como d(P, Q) = d(Q, π)
│-2 · (- 2 - 2λ) + 1 + 2λ + 2 · (3 – λ) + 7 │
√ (-4 - 2λ) + (-2 + 2λ) + (4 – λ) = ---------------------------------------------------√ 4+1+4
2
2
2
3 · √ 16 + 16λ + λ2 +4 - 8λ + 4λ2 + 16 - 8λ + λ2 = │4 + 4λ + 1 + 2λ + 6 - 2λ + 7│
3 · √ 6λ2 + 36 = │4λ + 18│  9 · (6λ2 + 36) = 16λ2 + 144λ + 324
λ=0 
Q1 = (-2, 1, 3)
38 · λ – 144 λ = 0  λ· (38 λ – 144 ) = 0
2
λ = 144 / 38 
 Q2 = ( - 182/19, 163/19, - 25/19 )
Hallar un punto de la recta r :
x = 1 – 2t
y=t
que equidista del eje OX
z=1+t
y del eje OY
P Є r = (1 – 2t, t, 1 + t)
que equidista de las rectas OX y OY
0 (0, 0, 0)
0 (0, 0, 0)
Eje OX:
eje OY
uX (1, 0, 0)
u Y (0, 1, 0)
d ( P, OX) = d (P, OY)
| OP x U X | |OP x U Y |
--------------- = -----------------|U X |
| UY |
i
j
k
i
j
k
1-2t t 1+t
1-2t t 1+t
1
0 0
0
1
0
; ------------------------ = -----------------------1
1
| (1+t) j – t k |
|- (1+t) i + (1-2t) k |
------------------- = ------------------------1
1
√(1 + 𝑡)2 + (−𝑡)2 = √[−(1 + 𝑡)]2 + (1 − 2𝑡)2
1 + 2t + 𝑡 2 + 𝑡 2 = 1 + 2𝑡 + 𝑡 2 + 1 − 4𝑡 + 4𝑡 2 ; 3𝑡 2 - 3t + 1 = 0
1
t=
4±√16 −12
6
=
4 ±2
6
=
1/3
P 1 ( 1- 2, 1, 1+ 1) ; P 1 (-1, 1, 2)
Hay dos puntos P :
P 2 (1- 2/3, 1/3, 1+ 1/3) ; P 2 (1/3, 1/3, 4/3)
Los puntos P(1, –1,1) y Q (3, –3,3) son dos vértices opuestos de un
cuadrado que esta contenido en un plano perpendicular al plano de
ecuación x – y = 0
a) Determinar los vértices restantes. b) Calcular la ecuación de la recta
que pasa por los vértices calculados c) Calcular el perímetro del cuadrado
construido.
П≡x–y=0
П ┴ П ´ desde П es el plano que contiene al cuadrado.
La recta RS es // al П y RS ┴ PQ.
urs ∙ PQ = 0
y urs // nп;
Si urs (V1, V2, V3)
y nп (1, 1, 0)
V1
V2
V3
V1 = V2
—— = —— = ——
1
1
0
V3 = 0
urs = (V, V, 0) = (1, 1, 0)
La recta RS pasa por M, punto medio de PQ  M
x=2+λ
M (2, –2, 2)  RS: y = 2 – λ
z=2
1
d(R,M) = ——
2
1+3 –1–2 1+3
——, —-— , ——
2
2
2
R(2+ λ, –2+ λ, 2)
Los puntos P(4 , -2 , 3) y Q(0, 10, -5) son dos vértices opuestos de un
cuadrado contenido en el plano x + y + z = 5. Determinar las coordenadas de los otros dos vértices.
S
Q
nπ (1, 1, 1)
urs = knπ = (1, 1, 1)
M
P
4 + 0 - 2 + 10 3 – 5
M ( --------, ----------, ------ ) = (2, 4, -1)
2
2
2
R ( 2+λ , 4+λ, -1+λ)
R
d(M,R) = 1/2 d(PQ)
x = 2+λ
y = 4+λ
z = -1+λ
RS =
MR = (λ, λ, λ)
PQ = (-4, 12, -8)
1224
√ λ2+λ2 +λ2 = ½ √(-4)2 +122 + (-8)2 ; 3λ2 = -------- ; 3λ2 = 56
4
___
____
56
√6
56
56
λ2 = ----- ; λ = ± ---- R = 2 + ------ , 4 + ------ , - 1 +
3
3
3
3
S= 2-
___
56
------ , 4 3
Sea el plano x – y + z + 2 = 0 y la recta r:
____
56
------ , - 1 3
____
56
-----3
____
56
-----3
x – 3y = 0
z=4
Hallar el plano que pasa por A (3, 1, 0), es paralelo a la recta r y es
perpendicular al plano

AP
x = 3
´≡ uπ´= ur = 0
r≡ y=
ur = ( 3, 1, 0)
vπ´= nπ
z=4
x – y + z + 2 = 0
x-3
3
2
y-1 z
1
0 =0
-1
1

nπ = (2, -1, 1)
x – 3 - 3( y-1) - 5z = 0
x - 3y - 5z = 0
Sean el plano  : 2x + y - z = 0 y la recta r : x = y = z .
Hallar la recta que pasa por el origen, esta contenida en el plano  y es
perpendicular a la recta r.
De  : 2x + y - z = 0 saco el v = (2, 1, -1) ┴ 
x
y
z
De r : --- = --- = --- saco el u = (1, 1, 1)  r
1
1
1
Ahora bien, un vector dirección de la recta pedida, llamémosle w, será siempre
perpendicular al v, por estar contenida en el plano , y además será siempre perpendicular
al u, por ser perpendicular a la recta s.
w┴v
w ┴ u con lo que w = v x u
i j k
w = 2 1 -1 = 2i - 3j + k = (2, -3, 1)
1 1 1
x
y z
La recta s pedida será: -- = --- = -2 -3 1
y
Sean las rectas r: 2x = y = z y s: 2x - 4 = y - 1 = x + 3
Hallar el Angulo que forman y hallar, si existe, el plano que las contiene.
Los coeficientes de x de las dos rectas deben valer 1
x
y
z
r: 2x = y = z ==> --- = --- = --½
1
1
u = (½,1,1) = (1,2,2)  r
x-2
y-1
z+3
s: 2x - 4 = y - 1 = z + 3 ==> ------ = ------- = ------½
1
1
v = (½,1,1) = (1,2,2)  s
Al ser los dos vectores dirección iguales me indican que las dos rectas son paralelas por
lo que el Angulo formado es de 0
Para calcular el plano, elijo como punto base el (0,0,0)r
y como vectores dirección el u y el formado por los puntos
A(0,0,0) y B(2,1,-3) este ultimo  s
AB = (2,1,-3) u = (1,2,2) A(0,0,0)  los tres vectores son l.d por lo que
x y z
1 2 2 = 0 
2 1 -3
- 8x + 7y - 3z = 0  8x – 7y + 3z = 0
x+1 y z-5
Sean las rectas del espacio r: ------ = -- = -----2
3
2
s: x - 1 = y = z . Determinar las coordenadas de un vector u perpendicular a las rectas r y s.
x+1 y z-5
r  ------ = -- = ------ ==> u = (2,3,2)
2
3
2
x-1 y z
s  ------ = --- = --1
1
1
==> v = (1,1,1)
Un vector w perpendicular a u y a v a la vez será el que nos de el producto vectorial de u
por v
i j k
w=uxv= 2 3 2 = i - k
1 1 1

w = (1,0,-1)
Sean las rectas r y s y el punto P
x + 4y = 2
x+y+x=0
r:
s:
P (1, 0, 0)
2y + z = 1
y-z=0
1º) Obtener el plano que pasa por P y contiene a la recta r, y el plano
que pasa por P y contiene a la recta s.
2º) Obtener las ecuaciones de la recta t que pasa por P y corta a las
rectas r y s.
x + 4y = 2 ===> u = (1,4,0)
De r 
2y + z = 1 ===> v = (0,2,1)
w = 4i - j + 2k
i j k
w=uxv= 1 4 0
0 2 1
será ┴ a la recta r y al plano  con lo que dicho plano será
4x - y + 2z + d = 0 y pasa por P(1,0,0) ==> 4 + d = 0
d = - 4 ===>   4x - y + 2z - 4 = 0
x + y + z = 0 ===>
u' = (1,1,1)
y - z = 0 ===>
v' = (0,1,-1)
De s 
i j
w' = 1 1
0 1
k
1
-1
w' = - 2i + j + k será ┴ a la recta s y al plano ' con lo que dicho plano será
- 2x + y + z + d´ = 0 y pasa por P(1,0,0) ==> -2 + d´ = 0
d´ = 2 ===> '  - 2x + y + z + 2 = 0
Para calcular un vector dirección de la recta t basta con calcular el vector perpendicular al
w y al w' asociados a los planos.
ut = w x w' =
i j k
4 -1 2 = - 3i - 8j + 2k ==> ur = (-3,-8,2)
-2 1 2
La recta pedida será
x-1
y
z
------- = --- = ---3
-8
2
Sean las rectas r:
x 1 y 1
z


2
3
1
x
4
s: 
y  2 z 1

2
3
a) Comprobar que se cruzan.
b) Hallar la mínima distancia entre ellas.
c) Hallar la ecuación de la perpendicular común.
a)
 A(1,1,0)
r
ur(2,3,1)
 AB 
 
rg  ur  :
 
 us 
 

 B (0,2,1)
us  

us(4,2,3)
AB
1 1
ur =
2
us
4
 AB 
 
rg  ur  = 3
 
 us 
 
AB(1,1,1)
1
 1 = - 9 + 4 – 4 – 12 + 6 + 2 = - 13  0
2 3
3
r y s se cruzan.
b)
AB  (ur  us)
d ( r, s)=
13
405
=
ur  us
13
9 5
=
1 1 1
2
3 1
4 2 3
i
j
k
2 3 1
4 2 3
= 0’646
c)


AP  ( x  1, y  1, z )


u 1  u r  (2,3,1)
 1  

v  u  u  (7,10,16)
r
s

 1
t 
 BP  ( x  0, y  2, z  1)

  
u 1  u s  (4,2,3)
 2 

v  u r  u s  (7,10,16)

 2

=
 13
7i  10 j  16k
=
13
49  100  256
==
x 1
1  2
7
y 1
z
3
1  0
 10  16
 58( x  1)  25( y  1)  41z  0
58x  25 y  41z  83  0
x
2  4
7
y 1
z
2
3 0
 10  16
62x  85( y  z )  26( z  1)  0
62x  85 y  26z  196  0
 58x  25 y  417  83  0
t
62x  85 y  267  196  0
Sean los puntos A(5,-1,2), B(0,2,-1) y C(2,3,0). Hallar la distancia de
A a la recta BC.
BA =(5,-3,3)
Ur = BC = (2,1,1)
i j k
5 -3 3
|BA x Ur|
2 1 1
|-6i +j +11k|
√36+1+121
√158
d (A, r) = -------------- = -------------------- = ----------------- = ----------------- = ------- =
|Ur|
√22+12+12
√6
√6
√3
√79
= ------- = 5’13 u
√3
S
1
= ----- S
2
1
1
= ------ | BA x BC | = ----2
2
1
1
= ---- √36+1+121 = ---- √158 u2
2
2
i j k
5 -3 3
2 1 1
1
= ---- | -6i +j +11k | =
2
Sean P y Q los puntos de coordenadas (3,0,0) y (5,-6,-4). 1º) Hallar
la ecuación de la recta r que pasa por los puntos P y Q. 2º) Hallar los
puntos de dicha recta r que equidistan de los planos  2x + 2y + z - 3
= 0 y ' 3x + 4z + 1 = 0
1º) El vector dirección de la recta pedida será
u = PQ = (2,-6,-4) y eligiendo como punto base el P(3,0,0)
x-3 y z
r  ----- = --- = --2 -6 -4
2º) Busquemos el punto A(x,y,z) que equidiste de los dos planos
d(A,) = d(A,') 2x + 2y + z - 3 = 3x + 4z + 1
además como el punto A  r
x-3 y
----- = --- ==> - 6x + 18 = 2y
2 -6
x-3 z
----- = --- ==> - 4x + 12 = 2z
2 -4
Resolvamos el sistema:
- x + 2y - 3z = 4
- 6x - 2y = - 18
- 4x - 2z = - 12
x - 2y + 3z = - 4
3x + y = 9
2x
+ z= 6
 y = 21
y = 9 – 3x
x – 18 + 6x + 18 – 6x = - 4  x = - 4
 z = 14
z = 6 – 2x
El punto A (-4,21,14) equidista de los dos planos.
104
x-2=0
Se consideran la recta r
y el punto A(0,1,3), se pide:
y+3=0
a) Hallar la distancia de A a r. b) Determinar el plano  que pasa por
el punto A y que contiene a la recta r.
De la recta r , buscamos su vector dirección ur como el producto vectorial de los
vectores asociados a los planos que forman la recta.
x - 2 = 0 ==> v = (1,0,0)
i j k
u=vxw= 1 0 0 =k
y + 3 = 0 ==> w = (0,1,0)
0 1 0
u = (0,0,1)
Si damos a la z el valor 0, podemos sacar el valor de x e y de las ecuaciones de los
planos.
x - 2 = 0 ==> x = 2
y + 3 = 0 ==> y = - 3 B(2,-3,0)  r AB = (2,-4,-3)
i j k
2 -4 -3
│AB x u│
0 0 1
│- 4i - 2j │
d(A,r) = ------------- = ------------------ = -------------- =
│u│
1
1
= ( 16 + 4 )1/2 = 20 = 2.5
El plano estará formado por los vectores dirección u y AB y por el vector genérico
AP , teniendo que ser los tres vectores linealmente dependientes.
x-2 y+3 z
0
0
1 = 0 ===> 4(x - 2) + 2(y + 3) = 0
2
-4 -3
4x - 8 + 2y + 6 = 0 ==> 4x + 2y - 2 = 0
105
x-2=0
Se consideran las rectas r 
x - 2z = 1
s
y+3=0
y+z=3
Se pide: a) Estudiar la posición relativa de r y s
b) Hallar la mínima distancia entre ambas.
a) Calculemos el rango de la matriz formada por las 4 ecuaciones de los planos que
forman las dos rectas.
1
rg 0
1
0
0 0
1 0
0 -2
1 1
2 f3-f1
1 0 0
-3 ===== rg 0 1 0
1
0 0 -2
3
0 1 1
2f4+f2
1 0 0
====== rg 0 1 0
0 0 -2
0 0 0
rg C = 3
2 f4-f2
1 0
-3 ===== rg 0 1
-1
0 0
3
0 0
0
0
-2
1
2
-3
-1
6
2
-3
-1
11
rg A = 4
Sistema incompatible, no existe solución.
Las rectas r y s, se cruzan en el espacio y no hay solución de corte.
b) Para calcular la mínima distancia entra r y s necesitaremos conocer los vectores
dirección de las rectas , u y v, así como el vector w, resultante del producto vectorial de
u por v.
u = (1,0,0) x (0,1,0) =
i j k
1 0 0
0 1 0
= k = (0, 0, 1)
i j k
v = (1,0,-2) x (0,1,1) = 1 0 -2 = 2i - j + k = (2, -1, 1)
0 1 1
i j k
w = u x v = 0 0 1 = i + 2j = (1, 2, 0)
2 -1 1
0 0 1
2 -1 1
│u.(v x w)│
1 2 0
4+1
5
d(r,s) = -------------- = ------------- = -------- = ---- = 5
│w│
1+4
5
5
106
x=0
Se considera la recta r 
y el punto P(3,4,1).
y = 4z
Hallar el plano  que contiene a la recta r y al punto P.
Calcular la distancia de P a r.
Busquemos el vector dirección de la recta r
u = (1,0,0) x (0,1,-4) =
i j k
1 0 0 = 4j + k = (0, 4, 1)
0 1 -4
Busquemos un punto A de la recta r
x = 0, y para z = 0 , se verifica que y = 0 A(0, 0, 0)
Para calcular la ecuación del plano, necesitaremos además del
vector u , el vector AP = (3, 4, 1)
x-0 y-0 z-0
0
4
1
3
4
1
= 0 ==> 3y - 12z = 0
i j k
3 4 1
_______
│AP x u│
0 4 1
│- 3j + 12k│
 9 + 144
d(P,r) = ------------ = -------------- = ---------------- = ------------│u│
 16 + 1
 17
 17
____
 153
= ---------- = 9 = 3
 17
107
Una recta pasa por P(1, -2, 3) y Q(0, 1, -5). Otra recta pasa por
A(4, -2, 0) y B(0, 1, -2). Hallar la ecuación de la perpendicular común
a ambas así como la distancia entre ellas y el ángulo que forman.
x= 1 - λ
y = -2 +3λ
z = 3 – 8λ
r : ur = PQ = (-1, 3, -8) =
x = 4 – 4λ
y = -2 + 3λ
z = -2λ
s: us = AB = (-4, 3, -2) =
a)
π1 =
RP = (x-1, y + 2, z-3)
uπ1 = ur
vπ1 = ur x us
π2 =
RA = (x-1, y +2, z)
uπ2 = us
vπ2 = ur x us
ur x us =
i j k
-1 3 -8 = 18i + 30j + 9k
-4 3 -2
t≡
x-1 y+2 z-3
x-1 y+2 z-3
π1 = -1
3
-2 = 0 -1
3
-8
=0
18
30
9
6
10
3
π2 =
x-4 y+2 z
-4
3
-2 = 0
18
30
9
x-4 y+2 z
-4
3 -2
6
10 3
=0
89(x-1) – 45(y+2) -28(z-3) =0
89x -45y – 28z +95 =0
29(x-4) – 58z = 0
29x – 58z – 116 =0
89x – 45y – 28z +95=0
t=
29x – 58z -116 =0
3 0 -3
-1 3 -8
| PA(ur x us) |
-4 3 -2
| -18 + 9 – 36 + 72|
27
9
b) d(r,s) = ----------------- = ------------------- = ----------------------- = --------- = ------ur x us
|18i + 30j + 9k|
√182 + 302 + 92
√ 1035
√145
|ur ∙ us|
|4 +9 +16|
29
c) α(r,s) = arc cos --------- = arc cos ------------------------- = arc cos ----------|Ur| |Us|
√1+9+64 · √16+9+4
√74· √29
α(r,s) = 51,24º
108
Una recta r pasa por A (1, 6,3) con vector director u (2,-1,1). Otra
recta s pasa por B (3, 3,8) con vector director v (1, 0,1). Hallar dos
puntos P Є r y Q Є s tales que el vector PQ sea paralelo a w (1, 1,-1).
π
PQ//w
r≡
A u
w(1,1,-1)
x = 1 + 2λ
y=6-λ
z=3+λ
s≡
x=3+λ
y=3
z=8+λ
r
P (1 + 2λ, 6 - λ, 3 + λ)
v
Q (3 + λ, 3, 8 + λ)
a
PQ = (3 + λ – 1 - 2λ, 3 -6 + λ, 8 +λ - 3 - λ) = (2 - λ, - 3 + λ, 5)
2 - λ -3 + λ
5
PQ // w: ------ = -------- = ---1
1
-1
→
2 – λ = -3 + λ; 5 = 2λ; λ = 5/2
-2 + λ = 5; λ = 7
no existe λ única
3 - λ = 5; λ = -2
No existen dos puntos P y Q / el PQ // w.
Una recta pasa por A (6,-2,8) y por el origen. Otra recta esta determinada por B (0,-2,4) y el vector v (2, -3, 4). Comprobar que se cruzan
y hallar la distancia entre ellas.
O (0,0,0)
B (0,-2,4)
r≡
s≡
ur ≠ OA = (6, -2, 8)
rg
OB
ur
vs

OB = ( 0, -2, 4,)
vs = ( 2, -3, 4)
OB
0 -2 4
0 -2 4
ur = 6 -2 8 = 2 3 -1 4
vs
2 -3 4
2 -3 4
0 -2 1
= 8 3 -1 1 = - 40 ≠ 0
2 -3 1
Existe menor principal de orden 3  r y s se cruzan
0 -2 4
3 -1 4
│OB (ur x vs) │
2 -3 4
│- 40 │
40
40
d(r, s) = -------------------- = --------------- = ----------------- = ------------------= ------- u
│ur x vs│
i j k
│16i-8j-14k│ √256+64+196 √516
6 -2 8
2 -3 4
109
Una recta pasa por P(1,-2,3) y Q(0,1,-5). Otra recta pasa por
A(4,-2,0) y B(0,1,-2). Hallar la ecuación de la perpendicular común a
ambas, asi como la distancia entre ellas y el ángulo que forman.
x=1-λ
r : ur = PQ = (- 1, 3, - 8)  y = -2 + 3 λ
z=3–8λ
x=4-4λ
s: us = AB = (- 4, 3, - 2)  y = -2 + 3 λ
z = -2 λ
RP = (x - 1, y + 2, z - 3)
a)
π1 uπ1 = ur
t  vπ1 = ur x us
ur x us =
RA = (x – 1, y + 2, z)
π2 uπ2 = ur
vπ2 = ur x us
π1 =
x-1
-1
18
x–4
π2 - 4
18
y+2 z–3
-3
-8
=0
30
9
y+2 z
3
-2 = 0
30
9
x–1
-1
6
x–4
-4
6
y+2
3
10
i
j k
- 1 3 - 8 = 18i + 30j + 9k
-4 3 -2
z-3
-8 = 0
3
y+2 z
3
-2 =0
10
3
89·(x – 1) – 45·(y +2) –
- 28 ·(z + 3) = 0
89x – 45y – 287 + 95 = 0
29·(x – 4) – 58 z = 0
29x – 58 z – 116 = 0
89x – 45y – 287 + 95 = 0
t
29x – 58 z – 116 = 0
3 0 -3
-1 3 -8
| PA · ( ur x us ) |
-4 3 -2
| -18 + 9 – 36 + 72 |
b) d ( r , s ) = ------------------------ = --------------------- = ------------------------- =
| u r x us |
| 18i + 30j + 9k |
√ 182 + 302 + 92
27
9
= -------- = -------√1305
√145
| ur x us |
| 4 + 9 + 16 |
29
c) r , s ) = arc cos ---------------- = arc cos ------------------------- = arc cos -----------| ur | x | us |
√1+9+64 · √16+9+4
√74 · √145
r , s ) = 51,24 º
110
Un cubo de arista 2 esta situado en el primer octante, con un vértice
en el origen y apoyando en los ejes coordenados. Hallar la distancia
entre:
a) Dos aristas que se cruzan
b) Las diagonales de dos caras opuestas
c) Una arista y una diagonal de una cara con la que se cruza
H
G(0,2,2)
E (2,9,2)
F
D
C (0,2,0)
A(2,0,0)
B(2,2,0)
| AB (EA x BC)|
a) Aristas EA y DC |AD| = d (EA, DC)= ----------------------|EA x DC|
AD= (2, 0, 0)
EA= (0, 0, -2)
DC= (0, 2, 0)
2 0 0
0 0 -2
0 2 0
|8|
8
|AD|= ----------------------- = ------- = ----- = 2 u
i j k
|-4i|
4
0 0 -2
0 2 0
| AE x EG |
AE= (0, 0, 2)
b) Diagonales AC y EG; d(AC, EG) = d(A,EG)= ---------------- ;
| EG |
EG= (-2, 2, 0)
i j k
0 0 2
-2 2 0
| -4i-4j | √16+16
√ 32
d(A, EG)= ------------------- = ---------- = ----------- = -------- = 2 u
√ 4 +4
√8
√8
√8
|AB (EA x BG)|
|AB| = d(EA, BG)= ---------------------| EA x AG |
0 2 0
0 0 -2
-2 0 2
|8|
8
|AB|=-------------------- = ------ = ----- = 2 u
i j k
|4j|
4
0 0 -2
-2 0 2
c) Arista EA y diagonal BG ;
AD = (2, 0, 0)
EA = (0, 0, -2)
BC = (-2, 0, 2)
111
Determinar la posición relativa de las rectas:
x +4 y-7
z
x +2y -5z-5=0
r: ------ = ------- = -------- s:
-3
4
1
2x+y+2z-4=0
s:
x + 2y = 5 + 5z
2x + y = 4 - 2z
5 + 5 2
4 - 2 1
- 3 + 9
x = ----------------- = ------------- = 1 - 3
-3
-3
1
5 + 5
2
4 - 2
- 6 - 12
y = -------------------= -------------= 2 + 4
-3
-3
z=
s:
x = 1 - 3λ
y = 2 + 4λ
z=λ
B ( 1, 2, 0)
us = (- 3, 4, 1)
A(- 4, 7, 0)
r:
ur = (- 3, 4, 1)
AB = (1, 2, 0) –(- 4, 7, 0)=(5, -5, 0)
discutir según sus rango  rg
ur
Además rg us = rg
-3 4
-3 4
AB
ur
us
=1
=2
5 -5
-3
4
-3
4
0
1
1
RECTAS paralelas
112
= 0