DEL CASTILLO, Federico

INCOMPLETITUD Y FE
Alumno: DEL CASTILLO, Federico
Escuela: Instituto Ceferino Namuncurá Cinco Saltos Río Negro
Profesor Guía: MONZON, Maria Julia
INTRODUCCIÓN
Históricamente, la humanidad ha sido testigo de diferentes conflictos entre la religión y la ciencia.
Muchos alegan que esto se debe a una obvia incompatibilidad dada por el antagonismo de los pilares de cada
una, la fe y la experiencia pura. Aun así, ambas habían intentado desde siempre responder las incógnitas que la
naturaleza nos presentaba. Pero, a mediados del siglo XVII, un genio llamado Isaac Newton le dio, con sus
descubrimientos, una clara ventaja a la ciencia. Newton logró utilizar la matemática para explicar porqué y cómo
pasaban ciertos fenómenos de la naturaleza. Este suceso hizo que a partir de ahí la matemática fuera considerada
el lenguaje de la naturaleza y comenzara a gozar del mayor prestigio entre todas las ciencias. Es más, luego del
éxito de la mecánica de Newton, muchas otras ciencias, además de la física, comenzaron a incorporar métodos
matemáticos en sus estudios para lograr ser aceptadas por la comunidad científica y con mucha razón, ya que el
uso de la matemática prácticamente aseguraba que lo que se planteaba fuera lógico y razonable.
Hoy en día muchas personas descalifican a las religiones por seguir refiriéndose a la existencia del
universo como obra de un ser todopoderoso creador del cosmos, creyendo que la religión, al no basarse en
pruebas para hacer tal afirmación y sólo teniendo fe en sus creencias, está equivocada. En realidad son esas
personas las que se equivocan, y a pesar de que se podrían nombrar numerosos ejemplos de cómo la ciencia se
basa en la experiencia para progresar, tanto esta como la religión no son perfectas, y en principio se basan en lo
mismo. En este trabajo se propone una justificación a esa opinión haciendo uso de uno de los aportes mas
importantes del matemático Kurt Gödel a la lógica y a la teoría de conjuntos.
LA INCOMPLETITUD SEGÚN GÖDEL
Kurt Gödel es considerado el lógico más importante del siglo XX, sus resultados fundamentales en la
matemática obtenidos entre 1929 y 1939 han ejercido, y todavía ejercen, una profunda influencia. Pero me
concentraré en su teorema de incompletitud, el cual demuestra que cualquier sistema axiomático que pueda
expresar la aritmética es irremediablemente incompleto o inconsistente. Un sistema axiomático es un grupo de
reglas y premisas de las cuales se pueden deducir cosas, y este es incompleto cuando estos axiomas o reglas no
son suficientes para probar todo lo verdadero.
Gödel básicamente pudo demostrar que siempre va a haber sentencias que sean verdaderas y que no
puedan demostrarse, y que si hubiera axiomas suficientes como para probar todo lo verdadero no se podría evitar
demostrar algo falso. Para ello utiliza la paradoja que se produce con la autoreferencia. Por ejemplo, tomemos la
afirmación “Esta oración es falsa”, si asumimos que es verdadera, la oración nos dice que en realidad es falsa .Y
si asumimos que la oración es falsa, indica que es en realidad verdadera. Es una paradoja autoreferencial porque
tenemos a la oración hablando sobre la veracidad de ella misma.
Si bien en matemática las expresiones aritméticas hablan de números, la genialidad del trabajo de Gödel
se encuentra en idear un sistema correcto para que expresiones aritméticas hablen de expresiones aritméticas y
encontrar mediante la autoreferencia una contradicción en el sistema. En la siguiente demostración se aplica este
tan importante método que ideó Gödel.
Supongamos que tenemos un conjunto de axiomas que permite deducir afirmaciones en el mismo,
llamado N. Para demostrar el teorema de incompletitud de Gödel tendremos que encontrar dentro de N una
afirmación ,que llamaremos F, que tenga la propiedad de que tanto F como ¬F1 no sean deducibles de N. Es
decir que, como alguna de las dos tiene que ser verdad, hay una formula que no puede ser deducible a pesar de
ser verdadera o hay una falsa que si es deducible.
1
¬F significa no F.
1
El sistema de Gödel para que “fórmulas hablen de fórmulas” y no de números se basa en la numeración
de todas las fórmulas con un número natural. Primero le asignó un número a cada símbolo del lenguaje de la
aritmética, por ejemplo:
1 → 1, + → 3, = → 5, x → 7
Luego reemplazó estos valores en una formula, digamos:
x = 1 + 1 → 75131
Y luego usó ese código como potencia de una serie de números primos:
27 35 51 73 111 = 586776960
Siendo el resultado, 586776960, el numero de Gödel de x = 1+1. En esta explicación se denotará a estos
números con corchetes, es decir el número de Gödel de F es [F].
A partir de esto sería lógico pensar que también podemos codificar conceptos como “ser par”, “ser
deducible de N”, etc. Todas estas sentencias se nombran con F y un subíndice.
F1(x), F2(x), F3(x)…
En estas el contenido y la posición de la fórmula van a definir si son o no deducibles. Por ejemplo, si la
sentencia “x es par” es la quinta fórmula, F5(3) no es deducible porque 3 no es par, o F5(2) sí sería deducible
porque 2 sí es par. Pero si para generalizar queremos usar la fórmula Fn(n), algunas veces esta será deducible y
otras no ,ya que depende de qué posición sea n. Siguiendo con el ejemplo anterior, si n es igual a 5 ,F5(5) no es
deducible porque 5 es impar. Pero si n es igual a 6 , F6(6), es deducible porque 6 es par.
Definiré ahora a Dem(x) como la sentencia que agrupa todo lo que sea deducible de N. Es decir que en
Dem(5), 5 es deducible de N. Vale mencionar que si F es deducible, [F] también lo es. Por lo que si existe
Dem(F) también existe Dem([F]).Gracias a esto puedo hacer uso de Fn(n) ya que puedo definir al conjunto K,
que agrupa a las formulas no deducibles de N , es decir que agrupa todas las formulas tales que al tener el mismo
subíndice y argumento son falsas.
(1) n Є K ↔¬Dem ([Fn(n)]) 2
Pero la sentencia “n pertenece a K” también puede considerarse una fórmula que pertenece a
F1(x), F2(x), F3(x)…
A esta fórmula le damos la posición k por lo que la llamaremos Fk .Entonces la expresión “n pertenece a
K” seria Fk(n). Por esto podemos hacer una definición alternativa del conjunto K que sería
(2) n Є K ↔Dem ([Fk(n)])
Ahora la autoreferencia se puede utilizar para buscar la paradoja considerando a
[Fk(k)]
Y entonces, si [Fk(k)] es deducible, es decir que Dem ([Fk(k)])es cierto, por (1) k K3. Pero por (2) k Є
K. De la misma manera si ¬Dem (Fk(k)) es cierto, por (1) k Є K. Pero por (2) k K. En conclusión es imposible
que Fk(k) sea deducible de N porque ya encontramos la contradicción, lo mismo pasa con ¬ Fk(k). Esto
2
n Є K ↔... , significa que n pertenece a K si y solo si...
3
k
K, significa que k no pertence a K.
2
demuestra que existe una oración, Fk(k), que no se puede deducir ni negar en N, tal como plantea el teorema de
incompletitud en referencia a un sistema de axiomas.
A pesar de que esta demostración parezca una más de todas las conocidas dentro del campo de la
matemática, su publicación y aceptación por los científicos significó una gran revolución, ya que este teorema
fue como un balde de agua fría para la comunidad científica que hasta ese momento tenía la confianza de que el
conocimiento y el desarrollo intelectual no tenían límites.
GÖDEL Y LA COSMOLOGÍA
Desde Newton, poco a poco los éxitos de la ciencia fueron desplazando a la religión en la carrera por
explicar la naturaleza, pero sin embargo hoy en día quedan algunas preguntas existenciales aún sin responder.
Entre ellas se encuentra la pregunta de cómo comenzó todo. Esta cuestión ha sido una carga para muchos
científicos y se ha convertido en una gran motivación para buscar una teoría general que explique toda la
naturaleza. Albert Einstein fue uno de esos científicos y dedicó los últimos años de su vida a esta búsqueda. Por
desgracia Einstein dejó a los científicos con mucha motivación pero pocas ideas sobre cómo seguir con su tarea.
Durante años la comunidad científica ha aceptado casi unánimemente a la teoría del Big Bang en conjunto
con la inflación cósmica como la mejor opción para explicar el origen del universo. Según estas, el nacimiento
del cosmos habría sido desencadenado a partir de la singularidad, un punto de infinita temperatura y densidad, a
la cual le seguiría un periodo de rápida expansión llamada inflación. Estas no sólo fueron aceptadas por los
científicos sino que también muchas entidades religiosas lo hicieron por primera vez dentro de mucho tiempo, en
especial cultos monoteístas como la Iglesia Católica que después de la caída del modelo de Ptolomeo4 no había
mostrado “apoyo” hacia ninguna otra teoría científica. Este apoyo, directo o indirecto, me parece bastante
general en todas las religiones ya que ,en cuanto al origen del universo, las grandes religiones no difieren mucho.
Me refiero a que tanto el judaísmo, el cristianismo y el Islam creen en un ser todopoderoso creador del universo,
sea Jehová, Dios o Alá, respectivamente. El hinduismo que ,a pesar de la cantidad de dioses y relatos que
comprende, no explica con precisión el comienzo del universo le adjudica al dios Brahma la función de creador,
por lo que la idea no es muy distinta a la de las demás religiones. Lo mismo pasa con el budismo que, a pesar de
ser considerada una religión “atea” ya que no tiene una deidad a la cual rendir tributo, justifica el comienzo del
universo por consecuencia del karma de los seres que ocuparán el universo, al cual cargan de características que
terminaran dándole la cualidad de desencadenante de una serie lógica de acontecimientos5 que producen la
creación de la materia. Esta última idea concuerda con las interpretaciones modernas de las escrituras que tienen
las demás religiones sobre la creación. Es decir, que la mayoría de las religiones no siguen creyendo
textualmente lo que sus escrituras dicen sino que le dan, en cierto modo, a cada dios el atributo de solo
desencadenar la creación del cosmos. En fin, en este punto la religión y la ciencia coinciden directamente, ya que
para todas estas creencias la idea de la singularidad en el Big Bang se convierte casi en una comprobación de lo
que plantean como principio del todo.
A pesar de todo no hay que olvidar que el Big Bang sigue siendo una hipótesis porque no está comprobada
en su totalidad y también hay que aceptar que tiene características bastante abstractas. Características que están
dadas por la falta de conocimiento, por ejemplo de la singularidad. Es por esto que algunos científicos han estado
buscando otras alternativas a estas teorías. Una de las herramientas que usan es la teoría M, la cual más que una
teoría es como un conjunto de estas, ya que se formó de la unión de distintas variaciones en la teoría de
supercuerdas6, las cuales ahora se consideran limites de la teoría M. A pesar de que las supercuerdas sean
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Ptolomeo planteaba que la tierra el centro del universo y que todo giraba alrededor de esta. Este modelo fracaso cuando Galileo pudo comprobar, gracias
a su invención del telescopio, la teoría heliocéntrica de N. Copérnico, que establecía que la tierra en realidad giraba alrededor del sol al igual que todos los
astros.
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La religión budista establece que el universo no tiene principio ya que sigue una serie cíclica de acontecimientos la cual se divide en 4 etapas. El primero
es de formación, luego sigue el de duración, el destrucción , y por el ultimo el de vacío, luego del cual volvería a comenzar el próximo ciclo.
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Durante la década de 1970 nació como una teoría de fuerza nuclear la teoría de las cuerdas, pero fue rápidamente descartada. Un década después revivió
con la esperanza de algunos científicos de que diera las bases para una teoría del todo. Después de un par de años de trabajo, comenzaron a darse cuenta
que podía dar teorías bastante convincentes de gravedad cuántica, nunca antes vistas. En esta la gran cantidad de partículas, hasta ese momento
consideradas puntos en el plano físico, son reemplazadas por una única pieza básica, la cuerda. Una de las características de estas cuerdas ,además de
moverse, es que vibran. Las diferentes formas en que lo hagan determinaran las distintas masas y spins, o sea determinaran si se forma un electrón , un
fotón de luz, o hasta un gravitón, partícula relacionada con la fuerza de gravedad. Pero esta teoría solo explicaba las partículas relacionadas con las fuerzas
de la naturaleza. Fue entonces que se introdujo la supersimetría a esta teoría para poder abarcar tanto la materia como las fuerzas, dando lugar a la teoría de
Supercuerdas.
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planteamientos solo teóricos, se utilizan porque es la única manera que hay de hacer cálculos respectivos a la
gravedad cuántica. Los científicos coinciden en que alcanzar ciertas reglas que expliquen correctamente la
gravedad cuántica es uno de los primeros pasos para alcanzar una teoría que explique el universo en su totalidad.
Es por eso que una de las únicas postulantes que hay para alcanzar una teoría del todo es la teoría M. Pero ¿es
realmente posible alcanzar una teoría del universo con un numero finito de postulados?.
La respuesta a esa pregunta tiene muchas cosas en común con lo que el teorema de incompletitud de
Gödel establece. Y es que así como los matemáticos intentaban encontrar una serie de axiomas que sean
completos y consistentes y no lo pudieron hacer, probablemente los físicos tampoco puedan encontrar un serie
de postulados que expliquen el universo en su totalidad ya que por ser parte del universo que tratamos de
explicar estamos refiriéndonos a nosotros mismos, como las expresiones algebraicas lo hacían en el teorema de
incompletitud. Además, siguiendo con el razonamiento de Gödel ,una teoría del todo definida por un grupo de
postulados o reglas tendría que ser incompleta o inconsistente. Todas las teorías que hoy en día se postulan para
alcanzar un entendimiento general del universo son, ambas incompletas e inconsistentes.
CUESTIÓN DE FE: AXIOMAS Y DOGMAS
Todo lo expuesto en el trabajo no quiere decir que la ciencia sea un método inutilizable para alcanzar el
conocimiento, cuanto mucho insinuaría lo contrario. El teorema de Gödel no justifica dejar de utilizar la
matemática, la piedra angular y origen de la ciencia moderna, sino que solo plantea que nunca podremos idear un
sistema de axiomas perfecto que podamos demostrar. Y en este caso solo queda aprender de los religiosos. Es
claro que para ser religioso hay que tener indispensablemente fe y el hecho de poder hacerlo es un gran don.
Siempre pensé que la posibilidad de creer casi ciegamente que los dogmas de la religión eran correctos, sin
ningún tipo de objeción, era digno de admiración.
Es por eso que antes afirmé que la ciencia y la religión eran similares más que nada en sus inicios. Ya
sea un sistema axiomático o un conjunto de dogmas religiosos, ninguno tiene una demostración valida. Ambas
comparten su punto de partida: la fe, fe en los axiomas, fe en los dogmas.
Sin embargo esta fe a la que me refiero no es del todo ciega. En la ciencia hay muchos indicios que nos
dicen que la razón es el camino correcto. En la religión pasa exactamente lo mismo, por ejemplo alguien podría
argumentar que la armonía y la perfección que se ve en cada rincón del universo es suficiente indicio para creer
en la existencia de una deidad perfecta creadora del universo, y nadie podría objetar nada. Los indicios a seguir
quedan a criterio de cada persona, pero lo importante es resaltar que, en el comienzo de la ciencia y la religión,
todo lo que hay es fe.
CONCLUSIONES
Es importante resaltar el trabajo de Kurt Gödel no sólo por el aporte que hizo a la matemática sino
porque sus conclusiones sirvieron para comenzar a delimitar las fronteras de la ciencia y la capacidad de la
mente humana. Al saber claramente cuales son los limites de la ciencia uno podría, desde un punto de vista mas
coherente, analizar con más certeza sus similitudes con la religión o su capacidad para alcanzar el saber máximo
de la naturaleza.
Es más, basándome en el teorema de incompletitud, pude admitir que probablemente una correcta teoría
unificadora no podría ser alcanzada cuando, es posible que al haber creído gran parte de mi vida que tiene que
haber un causa mayor para la armónica existencia de nuestro cosmos, me hubiera gustado y me gustaría, llegar a
la conclusión de que es posible unir todas las teorías fundamentales y así poder en algún momento contestar la
ansiada pregunta: ¿Cómo y por qué empezó todo? Algo similar ha ocurrido al asegurar que la base de la ciencia
y la religión es la fe, ya sea en axiomas o en dogmas, cuando instintivamente habría defendido que son
totalmente diferentes y que por lo tanto era inútil compararlos.
Pero de las conclusiones hechas a través del trabajo me gustaría resaltar que el teorema de incompletitud
hace todo lo contrario a atentar contra la capacidad de la ciencia. Que esta, a pesar de sus errores, es prudente y
sabia, porque conocer los límites que se tienen es imprescindible para alcanzar el progreso. En conclusión, como
dijo Abraham Lincoln: “Tengamos fe que la razón es poderosa; y con esa fe, avancemos hasta el fin, haciendo la
parte que nos toca, siguiendo siempre la verdad.”
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