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ELEMENTOS DE
MATEMATICA
ELEMENTOS DE MATEMATICA
PUBLICACION
Publicación didáctico científica de
la Universidad CAECE - Trimestral
DIDACTICO CIENTIFICA
DE LA UNIVERSIDAD CAECE
Redacción y Administración
Avda. de Mayo 1400 - 5 o Piso
Tel.: 383-5757
FAX: 381-6520
Director:
Prof. Roberto P.J. Hernádez
Secretaria de Edición:
Prof. Mariana A. Ortega
Colaboradores Permanentes:
Dr. Luis Santaló
Prof. Jorge Bosch
Lic. Nicolás Patetta
Lic. Lucrecia Iglesias
Prof. Elena García
Prof. J u a n Foncuberta
Septiembre 1994
VOLUMEN IX
SUMARIO
Editorial.
el auspicio del Comité Argentino
de Educación Matemática
Grafos de Intersección
Dra. Lía Oubiña
erido al Comité Interamericano
de Educación Matemática
5
Teoría Elemental de Categorías
Prof. Jorge Bosch
Suscripción anual:
Argentina: $25.erior: u$s35.- o el equivalente en
moneda de cada país.
Ejemplar atrasado: $6,50.Exterior: $8.-
13
Conjuntos Numéricos y Operaciones
Prof. María Inés Cavallaro
20
Los Problemas en el Aula
Prof. Juan Angel Foncuberta
33
Propuesta Didáctica
stro Nacional de la Propiedad
Intelectual N°42.128
Impresión:
Editorial Editer S.R.L.
Salta 419
Diagramación:
Mariana A. Ortega
Lic. Lucrecia
D. Iglesias
41
La Computación como Recurso
Prof. Elena I. García
46
ISSN 0326-8888
El presente número, inicia el noveno año de
vida de "Elementos de Matemática".
El mismo incluye las tres secciones fijas
tradicionales, a las que se agregan los siguientes
artículos:
1. - Terceray última parte del trabajo "Conjuntos
numéricos y operaciones" de la colega Prof. María
Inés Cavallaro.
2. - Se continúa la publicación -con su undécima
entrega- del fundamental trabajo sobre "Teoría
Elemental de Categorías" del Prof. Jorge Bosch.
Hacemos notar que la compilación cuidadosa de
todas las entregas ofrecidas hasta ahora constituirán
el único texto en idioma castellano de esta notable
generalización de las estructuras de la matemática
actual.
3.- Se completa el estudio sobre "Grafos de
Intersección" de la Dra. Lía Oubiña.
Anticipamos dos noticias que estimamos serán
recibidas con beneplácito por nuestro lectores:
I. - Desde elpróximo número, el correspondiente
al mes de diciembre, se incluirá una nueva sección
fija que contemplará temas de contenidos conceptuales y pedagógicos destinados a su consideración
en la escuela Primaria. Dicha sección estará a
cargo del distinguido Colega Prof. Alfredo Palacios.
II.- También en ese número comenzará a
publicarse otra secciónfija, que estará a cargo del
Dr.Héctor Guersenzvaig que consistirá en plantear
problemas matemáticos de distinta índole y se
propondrá su solución por parte de los lectores. Las
soluciones correctas y bien fundamentadas que se
envíen a la dirección de la Revista serán publicas en
números subsiguientes.
El Director
GRAFOS DE INTERSECCION
6
Tucker [14] da el siguiente ejemplo: Un ciclo contiene 20 pasos y 4
palabras w,, w2, w3, w4.
w no se usa en los pasos 2,..., 8 y en los pasos 15,„.,19
w2 no se usa en los pasos 5,..., 13
w no se usa en los pasos 12,..., 16
w4 no se usa en los pasos 18,..., 3 (de la siguiente iteración).
Se asigna a cada secuencia de pasos consecutivos en las cuales w. no se
usa un arco de un círculo. Se construye el grafo de intersección G de esos
arcos (en este caso el ciclo C5).
El número cromático de G (es decir, el mínimo número de colores
necesarios para colorear los vértices de G de modo que cualquier par de
vértices adyacentes tenga colores diferentes) es el número mínimo de
registros necesarios (3 en el caso del presente ejemplo).
El problema de la determinación del número cromático de un grafo de
arcos es NP completo [7], Tucker [14] presenta un buen algoritmo de
reconocimiento.
5. GRAFOS DE K-PARALELEPIPEDOS
Un paralelepípedo de dimensión k, o k-paralelepípedo, para un entero
k > l , es el producto cartesiano de k intervalos de la recta real. Entonces, 1paralelepípedo es un intervalo de la recta real y un 2-paralelepípedo es un
rectángulo del plano R2.
Un grafo de k-paralelepípedos es un grafo isomorfo al grafo de
intersección de una familia de k-paralelepípedos de Rk.
Entonces el conjunto de los grafos de intervalos coincide con el de los
grafos de 1-paralelepípedos.
Por otra parte, todo grafo es un grafo de k-paralelepípedos, para algún
k. La siguiente construcción, debida a Roberts [11], muestra que todo grafo
de n vértices es un grafo de n-paralelepípedos.
Sean v r ..., vn los vértices de un grafo G. Se asigna a cada vértice v, el
producto B(i) de los n intervalos cerrados I,(v.), ..., In(v.) definidos en la
forma siguiente:
[0,1], si j = i
[1.2], si j * i y j es adyacente a i
[2.3], si j / i y j no es adyacente a i
DRA. LIA G. OUBINA
7
Claramente, B ( v ¡ ) / B(V J ) parai^j. Sean v.y v. adyacentes. Sin perder
generalidad puede suponerse i = l y j = 2. Entonces, I, ( v , ) = [0,l],
I 2 ( v , ) = [1,2] y I , ( v 2 ) = [l,2], I 2 ( v 2 ) = [0,l]. Luego, el punto (1, 1,
2...2) de Rn pertenece a B ( v , ) n B ( v 2 ) . S i v 1 y v 2 n o son adyacentes, las
proyecciones d e B ( v , ) y B ( v 2 ) sobre el plano 1,2 son disjuntas, con lo cual
ambos paralelepípedos no se intersectan.
De acuerdo con este último resultado tiene sentido definir lap-dimensión
de un grafo G ("boxicity" en [11]) como el menor entero k positivo tal que
G es isomorfo a un grafo de k-paralelepípedos.
El concepto de p-dimensión de un grafo tiene la siguiente aplicación en
ecología [11].
Un problema de la ecología
Para cada especie de animales o plantas se fijan las condiciones del
medio ambiente que aseguran su normal desenvolvimiento: temperatura,
humedad, nutrientes, etc. Cada condición está definida por un intervalo de
posibles valores, de modo que dadas k condiciones (llamadas dimensiones)
queda determinado un k-paralelepípedo en Rk, que se llama nicho ecológico.
Una idea básica en ecología es el llamado principio de exclusión
competitiva: dos especies compiten si y sólo si sus nichos ecológicos se
intersectan.
Por otra parte, Cohén [3] introduce en 1968 los grafos de competición
asociados a una red alimentaria: El grafo de competición de las especies de
una comunidad tiene por vértices a estas especies, y los vértices u y v son
adyacentes si y sólo si u y v se alimentan de una misma especie.
Un problema de interés básico es hallar la p-dimensión de un grafo de
competición. En [ 11 ] se afirma que extrañamente varios grafos de competición
tienen p-dimensión igual a 1, es decir, son grafos de intervalos. No se sabe
si se trata de una ley general y, si es así, qué interpretación puede darse a la
única dimensión.
Roberts [11] muestra que todo grafo de n vértices tiene p-dimensión a
los sumo [(l/2)n] y que esta cota es alcanzable (el grafo denotado K 2 2 2 tiene
p-dimensión 3; se compone de seis vértices divididos en tres clases tales que
dos vértices son adyacentes si y sólo si pertenecen a clases distintas).
Cozzens [4] muestra que la determinación de la p-dimensión es un
problema NP completo.
5 GRAFOS DE INTERSECCION
La Fig. 10 muestra los grafos C 4 y L 0 (Fig.6) que no son de intervalos,
y sus representaciones como grafos de intersección de rectángulos del plano.
Ambos tienen, por lo tanto, p-dimensión igual a dos.
Fig. 10
6. GRAFOS CORDALES
Un grafo es cordal o triangulado si todo ciclo de longitud mayor que 3
tiene una cuerda, es decir una aristauniendo un par de vértices,no consecutivos
en el ciclo, o, equivalentemente, si no tiene ningún ciclo de longitud mayor
que 3 como subgrafo inducido (luego, todo grafo de intervalos es cordal).
Estos grafos están relacionados con el proceso de eliminación gausiana
de sistemas de ecuaciones lineales con matriz de coeficientes simétrica,
definida y rala (ver [12] para una exposición detallada).
Sea M = ^ m. . j la matriz, nxn, de un tal sistema. Se asocia a M al grafo
G(M) tal que V(G) es el conjunto de las filas de M y (i j) e E(G) si y sólo si m¡ ¡ ^ 0.
La eliminación de la primera variable transforma M en una matriz de la forma
M:
m,
0
0
M,
0
y, es fácil ver, que el grafo G ( M h ) se obtiene de G(M) efectuando las
siguientes operaciones: (1) Agregar aristas de modo que el subgrafo de G(M)
DRA. LIA G. OUBINA
9
inducido por el vértice 1 y sus adyacentes sea completo, (2) Suprimir el
vértice 1.
Las aristas agregadas en la etapa (1) corresponden a coeficientes nulos
de M que se convierten en no nulos de M i r
La Fig. 11 muestra una matriz M, la matriz M , , obtenida eliminando la
primera variable y los grafos G(M) y G(M, ,). En este caso el coeficiente m 34
de M es nulo, y se transformó en -2 en M , . Aparece consecuentemente la
arista 34 en G(M„).
1 0 2
3 0
M=
2 0 1
1 1 0
0
1
1
0
1
M1
G(M)
=
1
0
0
0
0 0
3 0
0 -1
1 -2
0
1
-2
0
G(MU)
Fig. 1L
Si en la eliminación de todas las variables no se pierden ceros, o en forma
equivalente, en la sucesión de grafos correspondientes no aparecen nuevas
aristas, se dice que el orden del sistema dado por su matriz es un orden
perfecto de eliminación. Consecuentemente, un orden total sobre los vértices
de un grafo G es un orden perfecto de eliminación si cuando se aplican las
operaciones (1) y (2) a todos los vértices de G en ese orden no se agregan
aristas.
Los grafos cordales se relacionan con el proceso de eliminación porque
un grafo es cordal si y sólo si tiene un orden perfecto de eliminación [12].
El grafo G(M) de la Fig. 11 es cordal, por lo tanto, debe tener un orden
perfecto de eliminación, uno de ellos es 3, 1, 4, 2.
El problema de encontrar un orden de eliminación para el sistema que
produzca la menor pérdida de ceros posible es equivalente al de encontrar el
mínimo conjunto de aristas que deben agregarse al grafo para que éste
GRAFOS DE INTERSECCION
10
devenga cordal. Yannakakis [15] demuestra que este problema es NPcompleto.
La conexión de los grafos cordales con el tema de los grafos de
intersección la da el siguiente resultado [8]: Un grafo es cordal si y sólo si es
isomorfo al grado de intersección de una familia de subárboles de un árbol.
7. EL NUMERO DE INTERSECCION DE UN GRAFO
Todo grafo es el grafo de intersección de una familia de conjuntos. En
efecto, dado un grafo G, sea, para cada vértice v, e(v)={uv; u es adyacente
a v en G}. Entonces, G es el grafo de intersección de la familia (e(v))v e v(o >
(ver el ejemplo de a Fig. 13).
1 —> {a,b}
2 —> {a,c,d}
3 —> {b,c}
4 —> {d}
Tiene sentido entonces definir el número de intersección de un grafo G
como el mínimo k tal que G es isomorfo al grafo de intersección de una
familia de subconjuntos de un conjunto con k elementos.
En [5] se prueba que este número es igual al mínimo número de diques
que cubren las aristas de G y que es menor o igual que [ n 2 / 4 ] , donde n es
el número de vértices de G. Si G es un grafo de intervalos el número de
intersección es igual al número de diques de G.
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is NP complete, Siam
J. Alg. Disc. Meth., Yol. 2, N° 1, 77-79.
E¡H
\
ELEMENTOS DE MATEMATICA - Vol. IX Nro. 33, Septiembre de 1994
13
por JORGE BOSCH
(Undécima parte)
Lema 29. Gon referencia a la Definición general de producto topológico
y a las notaciones allí introducidas, sea b la clase de los productos
cartesianos de la forma U = X U., i e l , donde para cada i e l se tiene que
U. es abierto en E.y además se verifica U. = X. para todo i e l salvo para
un número finito de índices a lo sumo. Entonces b es una base de
topología sobre X.
Demostración
Recordemos que en la definición general de producto topológico se tienen:
una familia F de espacios topológicos E. = (X., t.) y el producto cartesiano X
de todos los X.. Trataremos de dar una interpretación intuitiva a las construcciones que hagamos, lo que facilitará a su vez la comprensión de la
definición de producto topológico. De acuerdo con la Interpretación intuitiva
precedente, los elementos de la clase b que figura en el enunciado de este
lema son prismas, acotados o no acotados. Debemos demostrar, aplicando la
definición general de base de topología, dos cosas: (bl) Que el producto
cartesiano total X es unión de prismas; en realidad demostraremos algo
mejor, a saber, que X es él mismo un prisma (en sentido amplio, por cierto);
y (b2) que la intersección de dos de esos prismas es una unión de prismas, lo
que intuitivamente es bastante comprensible, al menos en dimensiones 2 y
3; en realidad demostraremos algo mejor, a saber, que la intersección de dos
de esos prismas es un prisma. Veamos.
Se cumple (bl). Esto es de fácil demostración, porque el producto cartesiano
total X es él mismo un U (perteneciente a b), obtenido tomando cada U igual
al respectivo X.. Entonces X es unión de sí mismo y en consecuencia puede
ser considerado como unión de elementos de b. En este caso el número finito
de los índices i para los cuales U. no coincide con X. es cero.
Se cumple (b2). Hay que demostrar que si U y V pertenecen a b, entonces
también u n V e b • Sean U y Y pertenecientes a b, o sea:
14
TEORIA ELEMENTAL DE CATEGORIAS
U = X i e I U i 5 V = X i e I V;
con U., V., abiertos en E. y tales que U. es distinto de X. para un número (finito)
n de índice i, y V. es distinto de X. para un número (finito) m de índices i.
Vamos a calcular ahora la intersección U n V - sirviéndonos del Caso
particular del lema conjuntista, visto más arriba. Según este caso particular
se tiene, con las notaciones que estamos usando ahora:
Un V
= (X ieI U i ) n (XwV,) = XieI (u. n
V.) (*)
Si, para abreviar la notación, llamamos W. a la intersección U.nV.,
obtenemos de (*):
U n Y = XielW¡ (**)
Pero, para cada i, U.nV., al que hemos llamado W., es abierto en E.
(intersección de dos abiertos). Además, esta intersección W. coincide con X
cada vez que U. = V. = X.. Ahora bien: hay n casos en los que es U. jt X. y hay
m casos en los que es V.^X.; estos m casos pueden coincidir total o
parcialmente con los n anteriores, o no coincidir en absoluto. Luego, a lo
sumo hay n+m casos en los que (usando el «o» inclusivo)
U.i * X.i o V.i *r X..i
En los casos restantes se verifica (recordando que hemos llamado W. a
la intersección U n V . ) :
W. = U. n V. = X..
i i
i i
Es decir que W. es un abierto de E. y, salvo a lo sumo para un número
finito, n+m, de índices i, se verifica W. = X.. Entonces, por definición de la
clase b, se cumple que el producto cartesiano de los W. pertenece a b (o sea
que es un prisma); es decir:
(xieIw.)b.
Y en virtud de (**):
UnVeb>
como queríamos demostrar. Entonces, puesto que la clase b cumple (bl) y
(b2), b es una base de topología sobre X, y el lema está demostrado.
Lema 30. El producto topológico E = (X,t), que definimos más
arriba, es un espacio topoiógicoy Jasproyecciones canónicas de]producto
cartesiano Pj: X
X. resultan ser funciones continuas de E en E., a las
que denotaremos por p. :E —> E¡.
PROF. JORGE BOSCH
15
Demostración.
Usando la notación del lema precedente y la definición de t, se ve que t es la
clase de todas las uniones de elementos de b. Pero, por el Lema 29, b es una
base de topología sobre X; luego t es la topología engendrada por la base b
y en consecuencia E, que es igual a (X,t), es un espacio topológico. Queda
por demostrar que las proyecciones canónicas del producto cartesiano son
continuas.
Sea, para cualquier jeI,
p :X—>X.
lay'-ésima proyección del producto cartesiano X. Para ver que es continua,
apliquemos la definición de función continua dada al comienzo del párrafo
Productos en TTdel apartado 13: la función / entre espacios topológicos,
/:E—>E', es continua si y sólo si para todo abierto U de E' se verifica que su
imagen inversa /~'(U) es abierto en E. Tomemos entonces un abierto U. de
E., que seráun subconjunto deX.. La imagen inversa p."'(U.) es, por definición
de imagen inversa, el conjunto de todos los puntos x del producto cartesiano
X tal que p.(x) e U . Tales x son funciones de I en la unión de los X. tales que
x(i) es cualquier elemento de X. salvo en el caso i = j, en el que se tiene
x(j)eU.. Luego Pj"'(U) es el siguiente producto cartesiano:
X.
U., donde U. = X. salvo eventualmente para i = j,
o sea un prisma o, más propiamente hablando, un elemento de la base b. Es
decir que la imagen inversa p "'(Up es un elemento de la base b y en
consecuencia es un abierto en el producto topológico (E,X). Luego la
proyección p es continua y el lema queda demostrado.
En virtud de los Teoremas 14 y 15 de 14 el lector puede demostrar:
Corolario. Si E es el producto directo de una familia de espacios
topológicos F, con proyecciones canónicasp., y si
>E es un isomorfismo en TT, entonces H es también un producto categorial de la familia
F en TT, respecto de la familia de proyecciones {q/iel), con q. = p.k para
todo i e l . Y recíprocamente, todo producto categorial de la familia F en
TT es isomorfo en TT al producto directo E, mediante un isomorfismo
determinado por los datos.
16. Suma en una categoría.
Una vez definido el producto categorial, tanto el binario como el
general, vamos a aplicar el concepto de dualidad visto en 11 para introducir
16
TEORIA ELEMENTAL DE CATEGORIAS
la noción de suma de objetos en una categoría. En forma abreviada podemos
decir que el concepto de suma es dual del de producto.
Vimos en 12 que para definir el producto de dos objetos X e Y no bastaba
con introducir otro objeto Z sino que era necesario además referirse a
morfismos (proyecciones) de Z en X y en Y. Ahora, en el caso de la suma,
aparecerán también dos morfismos (que no serán llamados proyecciones)
dirigidos en sentido inverso, es decir de X a Z y de Y a Z.
Definición de suma de dos objetos en una categoría. Dados en una
categoría A los objetos X e Y, diremos que el objeto Z es suma de ellos en
A respecto de los morfismos /;:X—>Z e i2\Y—>Z, si Z es producto de X e Y
en la categoría dual A *, respecto de los mismos morfismos i¡, i2, considerados
en A*.
Para ver qué aspecto tiene la suma de los objetos X e Y en A recordemos
que la categoría dual A* tiene los mismos objetos que A y los mismos
morfismos, pero estos últimos dirigidos en sentido contrario; o sea que los
morfismos i¡ e i2 de A aparecen en A* del siguiente modo:
ij.Z—>X, i2\Z—>Y.
Apliquemos ahora a estos morfismos y a Z la definición de producto en
A*: para todo objeto W y todo par de morfismos / :W—>X, / :W—> Y, existe
un morfismo h:W—>Z y sólo uno, que hace conmutativo el diagrama
X
Y
Pasando a la categoría dual de A*, que es A, este diagrama se convierte
en el siguiente:
x
Y
Z1
h
w
\
PROF. JORGE BOSCH
17
y entonces resulta que: condición necesaria y suficiente para que Z sea suma
de X e Y respecto de i2, de acuerdo con la definición dada, es que exista
un único morfismo h que haga conmutativo este diagrama.
El razonamiento que acabamos de desarrollar, un tanto informal,
constituye la demostración del siguiente corolario.
Corolario de la definición de suma binaria. El objeto Z es suma de X e Y
respecto de ip i2, si para todo objeto W y morfismos cualesquiera /;:X—>W
y f2:Y—>W, existe y es único el morfismo h:Z->W, que hace conmutativo
el diagrama precedente.
También por dualidad, aplicada a los Teoremas 11 y 12 del Apartado 12,
se demuestran los siguientes teoremas:
Teorema 17. Si el par ordenado de objetos (X,Y) admite una suma Z
respecto del par ordenado de morfismos (¡ipi2), cualquier objeto U
isomorfo a Z también es suma de X e Y respecto de los morfismos {]]Xj2),
obtenidos del siguiente modo: si k:Z-^U es un isomorfismo, e s j = k i
yj2 = k„v
Teorema 18. Si los objetos Z y U son sumas de los objetos X e Y, entonces
Z y U son isomorfos entre sí. Con más precisión: si Z es suma de X e Y
respecto de los morfismos (i1,i2) y U lo es respecto de los morfismos (j|Vj2),
existen un isomorfismo de U en Z y otro de Z en U, que son inversos entre
sí y que están determinados por los datos expuestos; esto se expresa
diciendo que dichos isomorfismos son canónicos.
Notación. Para indicar que Z es suma de X e Y (respecto de ciertos
morfismos) escribiremos
X + Y = Z.
Aclaración sobre la unicidad. La notación precedente es abusiva y a que, en
virtud de los Teoremas 17 y 18, la suma, si existe, no es en general única, y
en consecuencia el signo de igualdad que figura en la fórmula que acabamos
de ver no es estrictamente adecuado. Esta fórmula se puede leer, más
propiamente, del siguiente modo: «Zes una suma deXe Y». Hay otro aspecto
en el que dicha fórmula es abusiva: la definición de suma exige la explicitación
de ciertos morfismos i] e i2, pues se ha definido suma respecto de tales
morfismos, y éstos no aparecen en la fórmula precedente.
18
TEORIA ELEMENTAL DE CATEGORIAS
También podemos aplicar dualidad al Teorema 13 de 12 y obtener:
Teorema 19. Sea A una subcategoría plena de B. Si los objetos X e Y de
A admiten una suma X Y en B con respecto a los morfismos it e i2, y se
verifica que este objeto X Y es también objeto de A, entonces X Y es
también suma de X e Y en A respecto de los mismos morfismos ij e i . (En
términos más sencillos y menos formales: si dos objetos de una subcategoría
plena tienen suma en la categoría mayor respecto de ciertos morfismos, y
resulta que esta suma es también objeto de la subcategoría, entonces dicha
suma es suma de los mismos objetos en la subcategoría, y lo es respecto de
los mismos morfismos).
Con esto terminamos el tratamiento puramente categorial de la suma de
dos objetos, caso al que llamaremos binario. Falta ver cómo definimos la
suma para una familia cualquiera de objetos F = {X./iel}, donde 1 es un
conjunto de índices, eventualmente infinito.
Como los aspectos categoriales relativos a la suma se obtienen
sencillamente por dualidad a partir del producto, veremos a continuación en
forma sucinta la suma general para una familia cualquiera de objetos y
dejaremos para el apartado siguiente la ejemplificación de la suma en varias
categorías usuales: esta eemplificación ayudará a comprender el significado
intuitivo de la noción de suma.
Por razones de notación, llamaremos ahora J al conjunto de índices.
Definición general de suma en una categoría. Diremos que la familia de
objetos F = {X./jeJ}, de la categoría A, tiene por suma en A al objeto Z
respecto de la familia de morfismos {z'/jeJ}, con if-X.—>Z, si Z es producto
de la familia F en la categoría dual A*, respecto de la misma familia de
morfismos /
jej.
Si Z es un producto de F respecto de los morfismos /.en A*, de acuerdo
con la definición dada en 14 debe suceder que, para todo objeto W y toda
familia de morfismos f.:W—>., con j e J, en la categoría A*, exista un único
morfismo h:W—>Z que haga conmutativos todos los diagramas siguientes
para j e J:
W
h
Z
19
Pasamos por dualidad a la categoría original A, y obtenemos entonces,
aplicando la definición general de suma, el resultado siguiente:
Teorema 20. Condición necesaria y suficiente para que la familia
F={X./jeJ} tenga por suma en la categoría A al objeto Z, respecto de los
morfismos i.:X.—»Z, j e j , es que para todo objeto W y toda familia de
morfismos / \ : X —»W, j e j , en la categoría A, exista y sea único el
morfismoh :Z—> W que haga conmutativos todos los diagramas siguientes
en A, para j e J :
Vimos en 14 los teoremas 14, 15 y 16, que generalizan a los teoremas
11,12 y 13, expuestos en 12 para el caso binario del producto. Estos últimos
teoremas han sido trasladados por dualidad al caso binario de la suma
mediante los teoremas 17,18 y 19. Ahora veremos la generalización de estos
tres teoremas, generalización que constituye en realidad una «traducción»
del producto a la suma obtenida aplicando dualidad a los teoremas 14, 15 y
16 de 14. Obtenemos así los tres siguientes teoremas.
Teorema 21. Si Z es suma de la familia de objetos F = {X./jeJ} en una
cierta categoría, respecto de la familia de morfismos {/.:X.—»Z/jeJ}, y si
k:Z—>W es un isomorfismo en la categoría dada, entonces W también
es suma categorial de la familia F, y lo es respecto de la familia de
morfismos {qjjej}, con q. = ki. para todo j e J .
Teorema 22. Si Z y W son sumas de una misma familia de objetos F
respecto de ciertas familias de morfismos, entonces existen dos
isomorfísmos mutuamente inversos h: W—>Z y h 1 : Z - ^ W (llamados
canónicos) que están determinados por los datos.
Teorema 23. Sea A una subcategoría plena de B. Si la familia F = {X /iel},
de objetos de A, admite en B una suma Z respecto de una familia de
morfismos {i.:X.—>Z}, y si este objeto Z es también objeto de A, entonces
Z es a su vez suma de F en A respecto de la misma familia de morfismos.
ELEMENTOS DE MATEMATICA - Vol IX, Nro. 33, S e p t i e m b e r d e 1994
20
CONJUNTOS NUMERICOS Y OPERACIONES
fc
por MARIA INES CAVALLARO
(tercera y última parte)
Reescribe esos mismos números en notación científica:
Escribe en notación científica los siguientes números:
- La distancia media entre Marte y el Sol es: 228 000 000 km =
- La distancia media entre Júpiter y el Sol es: 778 730 000 km =
- La distancia que nos separa de la galaxia de Andrómeda es:
95 000 000 000 000 000 000 km =
Realiza estas cuentas en tu calculadora y observa como el resultado viene
dado en notación científica; escribe el número con todos sus ceros:
1) 3: 50000000 =
2) 5,4: 25000000 =
3) 25000000 . 430000 =
4) 23470000 . 20000 =
MATEMATICA ESPACIAL
Los astrónomos usan el término "año luz" para representar a la distancia
recorrida por la luz en un año.
Datos: La velocidad de la luz es: 3.105 km/seg
Un año tiene 3,2.10? segundos
Calcula cuántos kilómetros corresponden a un año luz:
Imagina una nave espacial que pueda viaj ar a una velocidad de 8.104 km/seg.
Queremos saber cuánto tiempo le llevaría hacer un viaje de ida y vuelta a la
estrella más cercana, que es Alfa Centauriy se encuentraa4 años luz de la Tierra.
¿Qué operaciones debes realizar para hallar la distancia en km, que la nave
debe recorrer en su viaje de ida y vuelta?
Escribe el resultado en notación científica
¿Qué operación debes realizar para calcular cuántos segundos tarda en
realizar el viaje?
En años es:
MARIA INES CAVALLARO
21
En todas estas operaciones que realizaste con potencias, pudiste observar que:
- Cuando multiplicamos potencias de la misma base el resultado es
- Cuando dividimos potencias de la misma base el resultado es
Hallar
(23)4
(23)4 = 23.23.23.23 = 23+3+3+3 = 23-4
- Cuando hallamos una potencia de otra potencia el resultado es una
potencia de la misma base y el exponente es el
de los exponentes.
Usa estas propiedades para resolver las ecuaciones:
a) 3\3 2 = 35
b) 25x:2x = 23
c) (23)x = 4
MAS PROPIEDADES
Completa
1) 34 = 3.— = 32.— = 33.—
3) am.an = —
5) am:a" = —
2) 45.42 = 4~ = 4 3 .—
4) 3 4 : 32 = 3 ~
6) 4 5 : 4 5 = 4~ = — ; 5 e : 5® = 5~ = —
En general se define a° = 1, siendo a un racional cualquiera
distinto de cero
7) 23 = — ; 32 = — ¿es conmutativa la potencia?
8) (23)2 = — ; 2 (3 ' = — ¿es asociativa la potencia?
9)
10)
11)
12)
(2.3)4 = —
(a.b)n = —
(6:2)2 = —
(a:b)n = —
; 24.34 = —
¿cómo enuncias esta propiedad?
; 6 2 : 22 = —
¿cómo enuncias esta propiedad?
,
HACIENDO MAGIA
Los matemáticos también sabemos hacer magia. Vamos a probar que 2 = 3.
¿Listos?. Sigan atentamente todas las operaciones para que no cometamos
errores y descubran el truco.
4 - 1 0 = 9 - 1 5 sumamos a ambos miembros 25/4
4 - 10 + 25/4 = 9 - 15 + 25/4
2
2 - 2.2.5/2 + (5/2)2 = 32 - 2.3.5/2 + (5/2)2
CONJUNTOS NUMERICOS Y OPERACIONES
22
(2-5/2) 2 = (3 - 5/2)2
2 - 5 / 2 = 3 - 5/2
2 = 3 !!!!
¿Encontraste el error?
Completa:
2+3 - 10-5
(2+3)2 — (10-5)2
1-2 = 4-3
(1-2) 2 — (4-3)2
2+3 = 10-5
(2+3)3 — (10-5)3
d-2)3
1-2 = 4-3
2
(1+2) = (3-6)
2
3
3
4
4
(3-4) = (4-5)
(5-3) = (6-4)
— (4-3)3
1+2
-
3-6
3-4 — 4-5
5-3 — 6-4
Usa estas propiedades para resolver las ecuaciones:
a) x 2 - 4 = 0
b) 3x3 + 4 = 28
Completa:
2<3
7>2
22 — 3 2
7 3 — 23
-3<-l
-3 < -1
-2 > -3
(-3)2 — (-1)2
(-3)3 — (-1)3
(-2)4 — (-3)4
-4 < 1
-1 < 2
-4 < 1
-1 < 2
(-4) 2 —
(-1) 4 —
(-4) 3 —
(-1) 3 —
l2
24
l3
23
Conclusiones:
LEYENDO SOBRE EL GRAFICO
Busquemos los cuadrados de los siguientes números:
1
1,5
2
-1
-1,5
-2
Cada uno de estos pares de números (cada
número con su cuadrado) pueden representarse
en un gráfico:
MARIA INES CAVALLARO
23
Sobre un papel milimetrado, dibuja dos ejes perpendiculares que se cortan
en un punto O.
Tomemos como unidad para cada eje, 1- cm.
Cada par (x,x2) se representa de la siguiente manera:
- la primera componente (x) se dibuja sobre el eje horizontal,
- la segunda componente (x2) sobre el eje vertical.
Se dibujan paralelas a los ejes por esos puntos, y el punto de intersección
de ambas representa gráficamente al par (x,x2)
Ejemplo: el par (1,1) tiene la siguiente representación:
1
;i
*
0
i
i
1
Dibuja todos los pares en el gráfico de papel milimetrado.
Une todos los puntos con una curva.
Sobre el eje vertical busca el 4 y lee en el gráfico que valor de x le
corresponde.
Ese valor de x es el número que elevado al cuadrado da 4.
Se dice que x es la "raíz cuadrada de 4" y se escribe 4
¿Cuántos valores de x satisfacen esta condición?
Leyendo en el gráfico, indica los valores aproximados de:
A/5; V3; V8; 0;
Verifica los resultados con la calculadora.
¿Para cada valor pedido, cuántos valores de x encontraste en cada caso?
¿Por qué sucede esto?
Realiza, ahora un gráfico en papel milimetrado, ubicando los puntos del tipo
(x, x3), tomando como valores de x = 0, 1, -1, 2, -2, 3, -3
Traza la curva y lee sobre el gráfico : ^ 2 5 , \¡3, \f-4, V - 8
Verifica con la calculadora.
¿Cuántos valores de x encuentras para cada valor pedido?
24
CONJUNTOS NUMERICOS Y OPERACIONES
En general:
por ejemplo,
V I = b si b" = a
V32 = 2 ya que 25 = 32
X¡\6 - 2 ya que 24 = 16,
en este caso existe otro número
que elevado a la cuarta es 16
¿cuál es ese número?
no existe ningún número que conozcamos que
elevado al cuadrado sea negativo
-8 = -2 ya que (-2)3 = -8 ¿existe algún otro número que
cumpla esta condición?
F.n general,
eren eral diremos que cuando calculamos una raíz de índice par y
En
radicando positivo, existen dos números que cumplen con la condición
pedida, esos dos números son opuestos.
Sin embargo, con el símbolo
entenderemos "el número positivo que
elevado al cuadrado da 4" o sea, 2.
En el caso de raíces de índice impar, no existe tal problema porque el
resultado es único.
DESDE LOS TIEMPOS DE PITAGORAS
Durante mucho tiempo, los matemáticos creyeron que cualquier problema
podía ser resuelto trabajando solamente con números naturales y fraccionarios.
Hasta que, alrededor del año 530 a.C., una sociedad secreta griega puso
sobre el tapete un nuevo problema para los sabios de la época.
Los miembros de esta sociedad se llamaban "Pitagóricos" en honor a su
maestro Pitágoras de Samos.
"Todo es número", decía Pitágoras, refiriéndose a que cualquier hecho de
la naturaleza podía ser explicado por medio de números.
Trabajando con números llegaron a descubrir propiedades interesantes y
curiosas, pero, lo que dio gran fama a los Pitagóricos fue la demostración de
un teorema, probablemente el más conocido de la historia de la matemática:
EL TEOREMA DE PITAGORAS.
Desde los remotos tiempos de los egipcios, se conocían ternas de números
que eran lados de triángulos rectángulos : 3, 4, 5; 6, 8, 10 ; 5, 12, 13 ; etc. .
Las usaban para realizar ángulos rectos en sus construcciones.
Los babilonios también conocían este hecho, y dieron un paso más,
descubriendo que el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los
cuadrados de los catetos.
25
MARIA INES CAVALLARO
Pero, faltaba una demostración, y fue Pitágoras quien la realizó por
primera vez.
Realicemos la siguiente construcción:
b
c
Explica por qué el cuadrilátero mayor, también es un cuadrado
Observando la figura, escribe de dos formas distintas el área del cuadrado
mayor
Igualando, deduce la propiedad de Pitágoras
Hasta aquí, todo marchaba muy bien, pero el problema se sucitó cuando
consideraron un triángulo rectángulo de catetos b = 1, c = 1
¿Cuánto medía a?
a2 = l 2 + l 2
a2 = 2
¿Qué clase de número era este que elevado al cuadrado daba 2?
Si éste era un número racional, debía poder escribirse como la razón de
dos naturales (no conocían los negativos). Pero, no pudieron encontrar tales
números.
A este número y otros que encontraron de la misma forma (V3, A/5 > etc.)
los llamaron "alogos" (fuera de la lógica).
Actualmente, a los números que no pueden expresarse como la razón de
dos enteros, los llamamos IRRACIONALES.
En tu calculadora, halla A/2 =
A/3
=
26
CONJUNTOS NUMERICOS Y OPERACIONES
Habrás observado la cantidad de cifras decimales que tienen estos
números. Es que los irracionales al ser expresados en su notación decimal,
TIENEN INFINITAS CIFRAS DECIMALES NO PERIODICAS.
Por supuesto, la calculadora, sólo muestra las primeras cifras, dependiendo del
número de dígitos que tenga su display.
Por eso, la forma más exacta de expresar estos números es utilizando el
símbolo radical.
CONSTRUYENDO IRRACIONALES
Construir un segmento de medida A/5 .
Ya sabemos que construyendo un triángulo rectángulo de catetos b=l y
c=l, la hipotenusa a=V2-
\
Tomando a esta hipotenusa
como cateto, construyamos
otro triángulo rectángulo,
con el otro cateto de medida
1. ¿Cuánto mide la hipotenusa del nuevo triángulo?
Reitera el proceso hasta
obtener el segmento de
medida V5
Claro que podíamos haber realizado una construcción más sencilla,
tomando en cuenta que 5 = 22 + l 2
Tomando en cuenta que 11 = l 2 + l 2 +
2
construir un segmento de
medida VTT.
JUGANDO CON LA CALCULADORA
1) a) Realiza las siguientes secuencias, para a = 4, 2, 8, 15
a
xy
0.5
=
significa a 05 = ...
a
x l/y
2
=
significa a1/2 =
Compara los resultados con
MARIA INES CAVALLARO
27
b) Realiza las siguiente secuencia para a = 8, 27, 64
a
x l/y
3
=
Compara los resultados con
c) Realiza la siguiente secuencia para a = 16, 81, 256
a
xl/y
4
=
Compara los resultados con
Como habrás observado, en la calculadora no aparece
, etc. ya que
usa otra nomenclatura para expresar este tipo de raíces: EL EXPONENTE
FRACCIONARIO.
En general, diremos que
J/n.
2) Realiza las siguientes secuencias en tu calculadora para a = 4 , 9 , 1 6 , 5 , 2
a
f
X2
a
X2
f
a
+/-
X2
f
a
+/-
f
X2
a
xl/y
4
-
xy
4
=
a
Xy
4
=
xl/y
4
=
a
+/-
xl/y
4
=
xy
4
a
+/-
Xy
4
=
xl/y
4
=
=
28
CONJUNTOS NUMERICOS Y OPERACIONES
3) Resuelve con calculadora:
a> V F =
;
(V3 ) ' = • •
;
(V2)'=-
•
W
:
Conclusiones:
Usa estas propiedades para resolver las ecuaciones:
b) V x - 1 + 1 = -v/x + 4
(recuerda que si a = b
a" = b n )
4) Resuelve con calculadora:
A
) A/2 + 3
c)y¡2/3 =
; V2 + V 3 =
; V2/V3 =
b
)V2^3=
;V4-V2 =
¿La raíz es distributiva respecto de la suma y de la resta?
¿Respecto de la multiplicación y de la división?
29
MARIA INES CAVALLARO
Va- b =
En general,
VVbe
) VVsT^
; ^81
f) V7ó4 =
; ^64 =
En general,
LO IMPORTANTE
POTENCIA
Definición:
an = a.a
a (n veces)
a~n = (l/a) n
a° = 1
con a e Q y nGN
con aGQ y a ^ 0 y n e N
con a e Q y a ^ 0
donde a se llama base y n se llama exponente
NOTACION CIENTIFICA: Escribir un número en notación científica, es
expresarlo como el producto de una potencia de 10 y un número comprendido
entre 1 y 10.
Ejemplos:
124 000 000 = 1,24.108
0,00000001334 = 1,334 . 10®
PROPIEDADES DE LA POTENCIA
La potencia no es conmutativa
Ejemplo:
La potencia no es asociativa
Ejemplo:
25 ^ 52
32 ^ 2 5
(32)4 * 3 l 1
6561 jz 43.046.721
La potencia es distributiva respecto de la multiplicación y la división:
(a.b)n = (a.b).(a.b)
n veces
(a.b) = (a.a...a).(W).1.b) = an.bn
n veces
(a:b)n = (a/b).(a/b)...(a/b) = f ' f ' f
b-b-b
n veces
f = a":b"
b
30
CONJUNTOS NUMERICOS Y OPERACIONES
La potencia no es distributiva respecto de la suma y la resta
Ejemplo: . (2+3)3 * 23 + 33
125 ^ 35
(5-2)2 * 52 - 22
9 ¿21
PROPIEDADES DE LAS POTENCIAS DE IGUAL BASE
- an.ap =a • a-• • • •••aj_a •a-;------a = an+p
n veces
p veces
n veces
• aa • a-
a
a
p veces
n veces n veces
n p
- (a ) = a".a"
n veces
a" = jaX...a)(ala...a).....(aX?^a) = a np
p veces
- Leyes cancelad vas:
si a = b => a" = b n
si a" = b" =>
j
|a| = |b|sinespar
a = b sin es impar
s i a > 0 y b > 0 y a < b=»a n < b n
s i a > 0 y b > 0 y a n < b n =>a < b
RAICES
Definición:
Va = b si bn = a
siendo n un número natural, n se llama
índice, a se llama radicando y b, raíz
Observaciones:
- Cuando n es un número par, y a > 0 entonces existen dos valores que
cumplen la condición de que al elevarlos a la n dan a:
bn = a
(-b)n = a
En este caso, entendemos como Va al número positivo que elevado a la n da a.
31
MARIA INES CAVALLARO
- Cuando n es un número par y a > 0, entonces no existe en los conjuntos
numéricos conocidos, un número tal que elevado a una potencia par dé
resultado negativo.
EL NUMERO IRRACIONAL
Todo número que no puede expresarse como cociente de dos enteros, se
denomina irracional.
Por ejemplo: Puede demostrarse, aunque excede a este curso, que la raíz
cuadrada de cualquier número natural que no sea exacta, es un irracional:
V2, S ,
S , Vó, etc.
EXPONENTE FRACCIONARIO
Es una forma de escritura muy conveniente cuando trabaj amos con radicando
positivos.
Observación: cuando escribimos as/n queremos indicar Va s o bien (Va) que
en el caso de que a sea positivo, son iguales
PROPIEDADES DE LA RADICACION
1) La radicación no es distributiva respecto de la suma y la resta
Vl6 + 9 = V25 = 5
V 2 5 - 1 6 = V9 = 3
Vl6 + V9 = 4 + 3 = 7 * 5
V25 - V¡~6 = 5 - 4 = 1 * 3
2) La radicación es distributiva respecto de la multiplicación y división
(siempre y cuando existan las raíces de cada factor)
Va • b = Va • Vb
-JaJb - Va/Vb
3) Raíz de raíz:
Ejemplo:
^64=^64= 2
siempre que existan Va y Vb
28 CONJUNTOS NUMERICOS Y OPERACIONES
4) Reducción de índice y exponente:
si n es par
n/ n
si n es impar
n
'a = a
/a
Si n es par
n
=a
(con a)0 para que exista la raíz)
si n es impar
Ejemplos:
(-3) 2 = V 9 = 3
V F = V9 = 3
V3? = V 2 7 = 3
V(-3)3 = V-27 = - 3
(Vi)' =22 = 4
(V-8)3 = (-2)3 = - 8
(que es el opuesto de -3)
33
ELEMENTOS DE MATEMATICA - Vol. IX Nro. 33, Septiembre de 1994
:
'
í
¿
• r
I;
I S l l E l S í I
por JUAN ANGEL FONCUBERTA
FLUCTUACIONES
Tiramos diez veces una moneda y obtuvimos:
C + CC + CCC + C
Supongamos que Pedro juega a "cara" y gana 1 $ si acierta y pierde 1$
en caso contrario.
Podríamos calcular las sumas S, = 1 , S 2 = 0 , S 3 = 1 ; S 4 = 2,
correspondientes a las cantidades que "está ganando". Llevemos el resultado
a un gráfico:
Si Pedro estuviese perdiendo, la poligonal "cruzaría" el eje hacia abajo.
Después de diez tiros "estamos" en el punto (10,4). Puede llegarse al mismo
resultado por otros caminos (Ejemplo: CCCCCCC+++).
¿Cuántos son los caminos que conducen desde el origen al punto (10,4)
bajo la guía del azar representado en tiros sucesivos de una moneda?
La respuesta es
(10)
b)
\3J
para las tres cruces entre 10 lugares o, de las siete caras)
El total de caminos posibles es 210 (porque en cada tiro hay dos
opciones). En consecuencia:
LOS PROBLEMAS EN EL AULA
34
("I
Probabilidad de llegar a (10,4) =
= 0,1175
Si simbolizamos con p el número de caras y con q el número de cruces
tendremos, en nuestro ejemplo:
p + q = 10
p-q=4
Si sumamos resulta p = 7
yq=3
En general tendremos:
Prob.dellegara(p
+ q 5 p
_q)
F
=
T
L £ J
Problema: ¿Cuál es la probabilidad de que en 20 tiros Pedro lleve una
ventaja igual a 6?
i 13
p + q = 20
p =13
Prob(20,6) = ^ /
= 0,074
p-q=6
Observación: Pedro sacó 13 caras y 7 cruces. En un cierto número de tiros
no es posible sacar cualquier ventaja. Por ejemplo, en 20 tiros no es posible
una ventaja 5.
Probabilidad de empate en n tiros
En el gráfico 1, se produce un empate para n = 2. Se comprende que los
empates pueden darse solamente si n es par.
En caso de empate p - q= 0 y p + q = 2k.
Empleando la fórmula anterior tendremos:
U J
p
(2k,0)
22k
Problema: ¿Cuál será la probabilidad de que Pedro esté empatado en el tiro
20? ¿y en el 30?
PROF. JUAN ANGEL FONCUBERTA
35
La igualdad como función de los empates anteriores
La fórmula anterior permite calcular la probabilidad de empate en
determinado tiro, pero pueden haberse producido empates anteriores.
Problema: ¿Cuál es la probabilidad de que se produzca un empate en 2k=4
y luego en 2n = 10?
2n-2k
Observación: A partir del empate en 4, comienza una nueva sucesión de longitud 6. Antes o después del empate en cuarto lugar, puede haber otros empates.
El primer empate (o primer regreso al origen)
Entre todos los empates interesa estudiar la probabilidad del primero. Si
2n = 10 el primer empate, una vez iniciado el juego puede darse para 2k = 2,
4,6,8,10. Con p 2k simbolizamos el primer empate en el lugar 2k. Entonces
la probabilidad de empate en el lugar 2n puede analizarse así: probabilidad
de primer empate en segundo lugar por la probabilidad de empate al finalizar
el segmento restante de longitud (2n-2), más la probabilidad de primer
empate en cuarto lugar por ..., es decir:
e
2n = P2e 2 n - 2 +P 4 e 2 n _4+---+P 2 n e,
Trataremos de calcular la probabilidad de que el primer empate se
produzca en 2k - 2, 4, 6 ...
Si e 2n es la probabilidad de empate en 2n y e2n_2 es la probabilidad en
lugar (2n - 2), la probabilidad de primer empate en 2n estará dada por la
diferencia:
LOS PROBLEMAS EN EL AULA
36
— e
P2n
&
2n-2
(1)
2n
Veamos si funciona un caso "cortito".
Al tirar una moneda, la probabilidad de empate en 2 es 1/2 (de los casos
CC, CX ,+C ,++ sólo hay empate si se da C+ o +C)
Para e 4 , empleamos la fórmula W _ J
24
8
Según (1) la probabilidad de primer empate en cuarto lugar será:
D
P4
-
e
_ ee
4
2
=1-1=1
2
g
8
Si el lector construye el árbol correspondiente, verá que el resultado es
correcto.
Si desarrollamos (1) tendremos:
2n - 2
P2n =
v
y
o2n-2
2n
n
(2n-2)!
(2n)!
22"
[(n-l)]222-2
[n!] 2 2 2 "
(2n-2)!4n2-(2n)!
(n!) 2 2
[n!] 2 2 2n
2n
1
2n - 1
(2n-2)!(2n)
(2n)!
2 2n
( 2 n - l ) ( n ! ) 02
2n
"2n
Ejemplo:
p2
P4
Pe
Ps
0,5
0,125
0,0625
0,039
Pío
0,027
P40
0,003
Probabilidad de estar siempre deJ Jaño ganador
eí cícuío atraerá la atención de muchas personas (políticos, deportistas,
gerentes,... en fin... todos nosotros). Quizá nos veremos defraudados.
37
PROF. JUAN ANGEL FONCUBERTA
Propiedad:
R=(4,2)
A
1 /
2
3
El número de caminos que tocan o cruzan
el eje x partiendo de P para llegar a R es
igual al número total de caminos que
unen P' (simétrico de P con respecto al
eje x) con R.
En efecto, los caminos deP aRpasando
por S o de P' a R pasando por S difieren
sólo en los números de caminos de P a
S y de P' a S que son iguales.
4
/
P'=(l,-1)
En el caso de la figura:
n° de caminos que tocan o cruzan eje x = 1
n° total de caminos de P a R = 3
Los otros Caminos (P
A —> B
R y P - ^ A - ^ C - > R ) n o tocan el
eje. Siguiendo estos caminos estamos siempre del lado ganador.
Otro ejemplo: Para ir de (1,1) a (5,3)
debemos lograr una ventaja de 2 caras en
4 tiros. Sólo es posible obteniendo 3 caras.
El número de caminos posibles es:
2
3
4
5
El número de caminos que cortan o tocan el eje coincide con el número
de caminos de (1,-1) a (5,3). En este caso p + q = 4 (número de tiros) y p - q=4
(ventaja entre 3 y -1). En consecuencia: p = 4 ; q = 0.
Tendremos:
número de caminos ganadores
La conexión problema
Nos gustaría recibir comentarios, críticas y sugerencias. En particular,
soluciones al problema que proponemos, acompañadas de una descripción
de los intentos, posibles errores y trampas. En la formación matemática es
provechoso intentar la solución de problemas; aunque no lleguemos a la
solución, la recompensa intelectual será grande.
LOS PROBLEMAS EN EL AULA
38
Problema propuesto
Se toman 10 palillos y se parten de modo tal que de cada palillo que de
unaparte corta y una larga. Se mezclan y se reúnen al azar las partes formando
pares. Hallar la probabilidad de que:
a) los pares correspondan a la disposición original,
b) cada parte larga se conecte con una corta.
BIBLIOGRAFIA
-FELLER, William: Introducción a la Teoría de Probabilidades y aplicaciones, Limusa.
SECUENCIAS DE 100 TIRADAS CADA UNA
secuencia
1
2
3
4
5
6
•7
8
9
10
11
12
13
14
15
cantidad
empates
10
17
3
5
1
21
7
14
3
11
9
0
21
10
8
tiradas
donde se
dieron los
empates
2
2
50
60
12
2
34
6
2
6
2
2
14
10
12
4
52
64
14
46
10
4
8
4
6
22
12
10 56
88
16
48
12
18
10
8
8
24
14
12
10
10
32
16
14
16
12
90
18
52
14
38
14
98
22
54
34
14
12
12
76
18
52
46
24
62
36
28
14
16
78
20
66
48
30
64
38
30
20
20
86
22
70
52
32
48
74
22
22
94
28
98
62
34
50
76
24
24
96
100
66
36
52
94
26
98
68
38
54
96
34
72
40
56
36
74
44
70
48
80
46
72
50
82
48
56
84
50
60
96
60
72
64
74
66
76
76
78
80
80
PROF. JUAN ANGEL FONCUBERTA
CAMINATA AL AZAR
39
41
ELEMENTOS DE MATEMATICA - Vol. IX Nro. 33, Septiembre de 1994
i. v.;
ü .. .
:
por L U C R E C I A
DELIA
La geometría nos permite plantear situaciones de interés que se resuelven por métodos algebraicos de modo que resultan situaciones realmente
integradoras.
Vamos a organizar la construcción de Tangramas diferentes al tangrama
chino tradicional y, en cada caso, la propuesta didáctica intentará plantear
problemas aritméticos relativos a las formas geométricas involucradas.
PROBLEMA 1
La figura muestra el Tangrama de Lloyd: un cuadrado al que se han
hecho algunos cortes para descomponerlo en 5 piezas.
Para construirlo hay que marcar los
pu ntos medios de los lados del cu adrado.
Todos los segmentos tienen la dirección
que pasa por un vértice y el punto
medio de un lado.
1.-Dibujarlo sobre cartulina y recortar
todas las piezas. ¿Qué otras figuras
geométricas se pueden armar usando
todas las piezas? ¿y usando menos?
2.- Explorar las formas y dimensiones de cada pieza. ¿Qué parte del
cuadrado original es cada una?
En la presente propuesta, la tarea apunta a un tratamiento intuitivo de
las relaciones geométricas; esto es, ángulos y figuras congruentes, paralelas,
perpendiculares, semejanza de triángulos se aceptan a partir de sencillas
comprobaciones empíricas.
Los alumnos actúan manipulando el material y llegan a formular
observaciones acerca de las figuras, corroborándolas empíricamente. La
pregunta final sobre las relaciones aritméticas entre cada parte y el cuadrado
inicial tomado como unidad, admite igualmente una exploración a partir de
la pieza más pequeña que está contenida un número exacto de veces en cada
una de las otras. Este hecho se constata hallando la forma adecuada de
PROPUESTA DIDACr: I -
42
organizar sucesivas superposiciones de la pieza más pequeña sobre las
otras.
En resumen, la VALIDACION es de un nivel pragmático. Su empleo
por parte de los alumnos revela que los esquemas internos movilizados
corresponden a un pensamiento operatorio concreto.
Con el mismo diseño de Tangrama la propuesta puede ser otra.
PROBLEMA 2
1. Analizar el diseño. ¿Hay segmentos paralelos? ¿Hay segmentos perpendiculares? Justificar en cada caso que lo son.
2. El cuadrado sobre el que se dibujó el tangrama tiene 10 cm
de lado. Calcular el perímetro y la superficie de cada pieza.
Justificar cada cálculo.
3. ¿ Qué parte del cuadrado original es cada pieza del Tangrama?
En esta situación, se intenta provocar otro tipo de VALIDACION: la que
consiste en formular argumentos que se articulen dentro de un sistema
lógico. Pero aún aquí podemos diferenciar algunos matices.
Imaginemos una forma de resolución.
I o ) Poner letras a la figura.
2o) Decidir acerca de paralelismo de
segmentos:
Prolongar gQ hasta S.
Prolongar q n hasta A.
A
zx
A
Comparar ABN, AMD y BCS.
1" AB = BC = AD P o r
cuadrado ABCD.
2- AM = BN = SC P o r
c u a d r a d o ABCD.
ser
ser
lados del
M, N y S p u n t o s m e d i o s d e los lados del
3- DAN = ABN = BCS = 90° P o r s e r ángulos del cuadrado.
La VALIDACION de estas proposiciones tienen un carácter semántico.
Si alguien sabe qué significa "ser cuadrado" o "ser punto medio", puede dar
43
LIC. LUCRECIA D. IGLESIAS
los argumentos que sostienen su veracidad. La afirmación que sigue
constituye una VALIDACION diferente.
A
A
A
4- Los triángulos ABN, AMD y BCS son congruentes, por tener dos
lados y el ángulo comprendido entre ellos, respectivamente
congruentes.
Para formular este argumento hay que conocer la estructura deductiva
de los conocimientos geométricos. Hay que haber aceptado los criterios de
congruencia de triángulos como herramientas eficaces de la deducción.
La facilidad con que los alumnos usan argumentos de orden semántico
y la dificultad con la que tropiezan para adueñarse de la herramienta deductiva, dan cuenta de la diferencia entre esquemas reflexivas en general y esquemas que requieren un dominio del pensamiento operatorio formal. Se trataría de una VALIDACION lógica. Continuemos con el proceso de resolución.
5- De la congruencia de los triángulos se infiere la congruencia de
sus demás elementos (VALIDACION semántica)
NÁB = SBC = ADM
AÑB = BSC = AMD
AN = BS = DN
Los alumnos que sólo pueden acceder a una forma intuitiva de razonamiento, están dispuestos a aceptar estas últimas igualdades como verdaderas;
para ellos, estas afirmaciones no se diferencian, desde el punto de vista
lógico de las que les dan sustento (la I o , la2 o y la 3o) (VALIDACION intuitiva)
A
A
6- Del hecho de ser ABN y DAM, triángulos rectángulos resulta
(VALIDACION semántica):
AMD y ADM son complementarios
SBC y ABS son complementarios
7- Como ADM y SBC son congruentes, deben serlo también AMD y
ABS, que son sus complementarios. La reconstrucción de la
estrategia de pensamiento admite más de una posibilidad.
Puede argumentarse con observaciones directas sobre la figura
VALIDACION intuitiva). Puede argumentarse sobre las operaciones que
r. ay que realizar para obtener el complemento de cada ángulo (VALIDACION
>emántica). Puede tenerse en cuenta un desarrollo deductivo de la geometría
; argumentar que existe una propiedad demostrada en una etapa anterior
que se enuncia así: "Si dos ángulos son congruentes, sus complementos
44
PROPUESTA DIDACr: I -
también lo son". Estamos en presencia de una nueva VALIDACION fundada
en un criterio esencialmente lógico.
8. De la congruencia de AMD y ABS se infiere el paralelismo de OM
y BS y los argumentos pueden revestir carácter intuitivo o semántico
o lógico, como en el caso anterior.
3o) Decidir acerca de la perpendicularidad de segmentos.
A
A
A
A
1. Comparar AOM y ABN; BCS y BPN.
Si la semejanza de los dos pares de triángulos, resulta de considerar la
congruencia de ángulos ya establecida y de aplicar el criterio de semejanza
adecuado, el tipo de argumentos que se formulan constituyen una
VALIDACION lógica.
ZX
A
2. Comparar AOM y BPN
Si la congruencia de este par de triángulos resulta de considerar
relaciones previas entre lados y ángulos, además de aplicar algún criterio de
congruencia, se repite una situación análoga a la anterior con respecto a la
VALIDACION.
3. En virtud de los resultados que se obtienen al comparar triángulos
aparece la justificación de la perpendicularidad de algunos pares
de s e g m e n t o s : ON1BQ; ONJ.DO; RQJ.BQ. E n e s t e c a s o la VALI-
DACION continúa presentándose en el plano de las argumentaciones
lógicas.
El ítem 2 del Problema 2 remite a situaciones de cálculo basadas en las
propiedades de las figuras.
Las argumentaciones se apoyan en la propiedad de Pitágoras y en el uso
de la proporcionalidad de lados en figuras semejantes (VALIDACION
lógica). Pero, en la medida en que algunas relaciones numéricas se infieren
de otras, las argumentaciones vuelven a a parecer como VALIDACIONES
semánticas; esto es, las argumentaciones se fundan en el significado de los
signos que se usan en las formulaciones. Por ejemplo:
^
AM
AD
PN
BN
De = - = =
l/2
— -
med PN
MD
,
= - = - obtenemos:
BN
1
med BP
V5/2
1 2/o ,Fpor sustitución de símbolos por otros que
l/
tienen el mismo significado.
45
LIC. LUCRECIA D. IGLESIAS
j/2
Ahora,
med BP =
y
med PN =
V5/2
1/4
V5
5 '
1 _2__ V |
V5/2 ~ 4 ' V5 ~ 10
resultan de la aplicación de la propiedad fundamental de las proporciones,
que caracteriza con tal fuerza el comportamiento de los números involucrados
que, prácticamente, su validación se organiza sobre el significado mismo de
la proporcionalidad.
En resumen: este análisis de los problemas propuestos tiende a mostrar
que una actividad en el aula de matemática involucra:
• procesos de acción (los alumnos exploran una situación, hacen
observaciones, llegan a conclusiones, obtienen resultados...)
• procesos de formulación (los alumnos escriben o explican sus
procedimientos...)
• procesos de validación (los alumnos argumentan para defender
sus afirmaciones...)
Pero se puso el énfasis en destacar le carácter de los procesos de
validación porque se trata de lo que realmente importa desde el punto de
vista de la matemática; es allí donde se puede establecer el tipo de
organización de las ideas que posee cada alumno. El haber intentado
diferenciar el carácter de algunos argumentos posibles, tuvo la intención de
establecer la necesidad de que los alumnos dispongan del tiempo y el
espacio para mostrar sus propios modos de validación y de que los
profesores repriman la tentación de mostrar las "buenas razones". Las
argumentaciones de los alumnos pueden progresar desde los niveles más
intuitivos por la confrontación libre con las de sus pares. Que el profesor
exponga argumentos lógicos no garantiza la interiorización de esquemas de
pensamiento más evolucionados. La autoridad del profesor provoca la
imitación exenta de reflexión crítica. Su papel consiste en estar atento a las
argumentaciones de los alumnos para señalar acuerdos o discrepancias,
organizar el desarrollo de las confrontaciones que se produzcan, promover
con su intervención una reconsideración de los argumentos, hacer que los
alumnos tomen conciencia de formulaciones incoherentes o contradictorias.
Este es el contenido básico de un quehacer matemático y los alumnos
tendrán oportunidad de progresar en el carácter de sus razonamientos en la
medida de que puedan interactuar exponiendo sus esquemas personales de
VALIDACION. Ü
46
ELEMENTOS DE MATEMATICA - Vol IX, Nro. 33, Septiember
de 1994
por ELENA I. GARCIA
Los recursos informáticos.
Cuando comenzamos con esta sección en la revista "Elementos de
Matemática" elegimos el nombre "La Computación como recurso", convencidos que las computadoras podrían ser una herramienta valiosa para la renovación metodológica y curricular de las distintas asignaturas que se dictan en
la escuela media, y en especial de la Matemática. No por la computadora en
sí misma sino porque las nuevas tecnologías informáticas estaban cambiando
la forma de "tratar" la información.
Transcurridos ocho años desde aquel comienzo se han producido
importantes cambios. Los equipos (hardware) han evolucionado significativamente, aumentando la velocidad de procesamiento, disminuyendo el costo
y sobre todo mejorando de manera notable los periféricos; las nuevas
interfases permiten replantear las formas tradicionales de guardar, consultar
y trabajar con información ya no solo textual, sino también gráfica y sonora.
Los cambios también se dieron en software, los ambientes de trabajo
son más amigables y dúctiles, permitiendo ampliar el espectro de usuarios,
acortando el período de aprestamiento y reduciendo significativamente las
dificultades para las operaciones básicas.
Pero qué pasa en las escuelas?.
Hoy casi todos los establecimientos educacionales de las ciudades de
nuestro país cuentan con aulas o gabinetes informáticos, algunos modestos,
otros muy bien equipados, pero las computadoras ya están en la escuela.
Un número importante de alumnos sabe operar con las herramientas
informáticas básicas, ya sea a partir de cursos impartidos en las escuelas en
talleres extraprogramáticos o en algunas asignaturas especiales o fuera de la
escuela: en sus hogares, academias, clubes, etc.
Es también importante la cantidad de docentes que recibió alguna
capacitación informática, pero es significativamente menor la cantidad de
docentes que utilizan cotidianamente las nuevas tecnologías para el dictado
de sus clases.
Cabe preguntarse cuáles son las razones para que esto sea así.El
equipamiento disponible puede ser un impedimento: escuelas con cientos de
PROF. ELENA I. GARCIA
47
alumnos y sólo una decena de computadoras; diversidad de equipos y
software que obliga a los docentes a realizar una planificación casi personalizada de las actividades aumentando y entorpeciendo su tarea.
Otro problema frecuente es que la ausencia, en algunas jurisdicciones,
de un proyecto informático claro deviene en inversiones aisladas para equipamiento pero sin resolver los problemas de mantenimiento y actualización
del mismo. Y por sobre todo, falta de recursos para capacitación docente y
para la implementación de actividades que tengan continuidad y estén dentro
de un proyecto pedagógico coherente.
Sin desconocer estos inconvenientes creo que existe otro problema de
fondo que hace que, aún en instituciones con estos inconvenientes resueltos,
la incorporación de las nuevas tecnologías no incida en un mejoramiento
sustancial de la educación.
Observemos por ejemplo que pasa en el área de Matemática. En
general el uso de herramientas computacionales se limita a la confección de
tablas y gráficos con planillas de cálculo, algunos problemas de simulación,
y ai uso de muy pocos programas específicos.
Si bien todas estas aplicaciones cubren las expectativas en lo que
podríamos llamar fase de alfabetización informática, es evidente que no
logran satisfacer las reales expectativas de docentes y alumnos; y esto se
percibe, porque conseguido este nivel de actividades se entra en una meseta.
Meseta donde el interés y el entusiasmo en lugar de incrementarse
parecen disminuir, no se renuevan contenidos y sobre todo no se mejora la
calidad de la educación. El rendimiento final parece ser el mismo, se usen o
no nuevas tecnologías.
A mi entender no se sale de esta meseta si no se formulan nuevas
competencias, si no se seleccionan otros contenidos, si no se cambia la forma
de concebir el aprender y el enseñar.
Las nuevas tecnologías de la información y la comunicación están
produciendo cambios profundos, estructurales, en todos los ámbitos sociales,
están modificando los escenarios del trabajo, la cultura, las finanzas. La vida
cotidiana de las personas se ve afectada por estos cambios y la escuela no
puede permanecer ajena o indiferente a esta realidad.
Las nuevas competencias.
Entre las competencias que desde hace tiempo la escuela reconoce
como necesarias en la formación de los futuros ciudadanos podemos
mencionar -sin que el orden en la enumeración signifique prioridad alguna
en la valorización de las mismas- las siguientes: