Bajar

IV Campeonato Escolar
de Matemáticas
PRIMERA FECHA – 22 de Abril 2006
Soluciones
Prueba por Equipos
Primer y Segundo Nivel
El juego del tres en raya y algunas variantes
Este juego es bastante conocido, a veces con otros nombres, entre niños pequeños. ¿Quién no ha
llenado varias hojas de cuaderno con partidas de este juego? En él intervienen dos jugadores, y
se juega sobre un tablero cuadriculado de tres filas y tres columnas. Los jugadores intervienen
alternadamente, y cada uno, en su turno, escribe un sı́mbolo en un casillero vacı́o del tablero. Uno
de los jugadores siempre escribe una cruz (
), y el otro siempre escribe un cı́rculo (). Gana el
juego, el primer jugador que consiga ubicar tres de sus sı́mbolos en lı́nea, sea ésta horizontal, vertical
o diagonal. Si el tablero se llena y nadie ha ubicado tres de sus sı́mbolos en lı́nea, entonces el juego
termina en empate.
Este popular juego admite una gran cantidad de variantes, sobre tableros del mismo tipo, tableros
m? grandes, etc. Algunas de estas variantes son muy dif?iles de imaginar. Por ejemplo, el mismo
juego sobre un tablero cuadriculado infinito (como una hoja de cuaderno cuadriculado, pero sin
lı́mites), donde el objetivo es ubicar cinco sı́mbolos propios en lı́nea (horizontal, vertical o diagonal)
se conoce como go-moku en Japón, de origen antiguo, y muy difı́cil de estudiar.
1.
Experimentando con el juego del tres en raya
Primero veamos algunas situaciones que ocurren en el juego del tres en raya, tal como fue presentado.
En adelante, supondremos que los dos jugadores son astutos. Esto significa que ninguno va a realizar
una jugada que deje a su rival en posici? de ganar el juego.
Ejercicio 1. Explique por qué razón la siguiente partida no puede ser realizada por jugadores
astutos:
Ejercicio 2. En el siguiente tablero, determine qué sı́mbolo utiliza el jugador que comenzó el juego.
Dé una breve explicación.
Ejercicio 3. ¿Por qué es imposible llevar a cabo la siguiente partida?
Ejercicio 4. La última jugada, en la siguiente partida parcial, fue realizada por el jugador que
marca con . ¿Dónde ubicó este sı́mbolo?
2.
Otros juegos en el tablero del tres en raya
Ejercicio 5 (Tres en raya inverso). Este juego tiene exactamente las mismas reglas del tres en
raya, con una sola diferencia fundamental: el primer jugador que ubica tres de sus sı́mbolos en lı́nea
(horizontal, vertical o diagonal) pierde. Explique una estrategia para que el primer jugador nunca
pierda
3.
Jugando en tableros m? grandes
Normalmente, el juego similar en un tablero más grande, no reviste mucho interés. El segundo
jugador puede forzar el empate fácilmente. Entonces vamos a explicar una variante para este juego.
Nuevamente van a intervenir dos jugadores, alternadamente, sobre un tablero cuadriculado con la
misma cantidad de columnas que de filas. Cada jugador, en su turno, escribe un sı́mbolo en un
casillero vacı́o del tablero. El primer jugador siempre escribe una cruz, y el segundo siempre escribe
un cı́rculo. He aquı́ la diferencia: El primer jugador vencerá si aparecen los mismos sı́mbolos en la
misma columna, fila o diagonal (sean estos cruces o cı́rculos, da igual). En caso contrario, gana el
segundo jugador. Por ende, no existen los empates.
Ejercicio 6. Explique por qué razón el segundo jugador posee una estrategia ganadora en el tablero
de 4 columnas y 4 filas. Suponga, por esta vez, que el primer jugador no gana si se ubican cuatro
sı́mbolos iguales en diagonal (el juego contina, en tal caso). Use la siguiente figura como ayuda:
A
B
H
H
A
B
G
G
C
C
E
F
D
D
E
F
Ejercicio 7. Inspirados en el Ejercicio (6), explique por qué razón el segundo jugador siempre gana
en un tablero de 6 columnas y 6 filas, donde ahora si se consideran las diagonales.
Justifique su respuesta y sea cuidadoso y ordenado en su presentación.