Una Representación de Weil para los grupos ortogonales

Una Representación de Weil para
los grupos ortogonales escindidos
Oq (2n, 2n) sobre el cuerpo finito
Fq , q > 3.
Tesis
entregada a la
Facultad de Ciencias
de la
Universidad de Chile
en cumplimiento parcial de los requisitos
para optar al grado de
Doctora en Ciencias con mención en Matemáticas
Enero 2013
por
Andrea Cecilia Vera Gajardo
Director de Tesis: Dr. José Pantoja Macari.
Co - Director de Tesis: Dr. Jorge Soto Andrade.
i
Facultad de Ciencias Universidad de Chile Informe
de Aprobación Tesis de Doctorado
Se informa a la escuela de Postgrado de la Facultad de Ciencias que la Tesis de Doctorado
presentada por la candidata
Andrea Cecilia Vera Gajardo
ha sido aprobada por la Comisión de Evaluación de la tesis como requisito parcial para optar
al grado de Doctora en Ciencias con mención en Matemática en el exámen de Defensa de
Tesis rendido el dı́a 14 de enero de 2013.
Director de Tesis:
Dr. José Pantoja Macari.
...................................................
Co- Director de Tesis:
Dr. Jorge Soto Andrade.
...................................................
Comisión de Evaluación de Tesis:
Dr. Nicolás Libedinsky.
Presidente
...................................................
Dr. Luis Arenas.
...................................................
Dr. Yves Martin.
...................................................
ii
A mis hermanas, por la sincronı́a y la diferencia.
Biografı́a
Nacı́ un 2 de febrero de 1984. Vivı́ hasta los 20 años
en Antofagasta. Estudié los primeros tres semestres de
Licenciatura en Matemáticas en la Universidad Católica
del Norte. Luego, me trasladé a la P. Universidad Católica de Chile, lugar donde finalicé el pregrado. El año 2008
ingresé al programa de Doctorado de la Universidad de
Chile, donde rápidamente aprendı́ el valor del trabajo
en equipo y la horizontalidad.
iii
iv
Agradecimientos
Quiero hacer el intento de agradecer a todas las personas e instancias que participaron
en este capı́tulo de mi vida.
(Soundtrack: Foto de Primera Comunión, Los Jaivas).
A mis profesores tutores, por acompañarme en este intenso proceso de aprendizaje. A
José Pantoja por la paciencia, la disposición y el apoyo permanente. A Jorge Soto por los
constantes ánimos, las metáforas y el optimismo.
A Luis Gutierrez, por ser un apoyo fundamental en mi tesis y por la constante voluntad
de ayudar desinteresadamente.
A Anne-Marie Aubert por las inspiradoras conversaciones sostenidas durante mi pasantı́a
en Parı́s.
A mis hermanas, Antonieta y Sandra, por existir, por la incondicionalidad y tantas cosas
más que en este pequenõ espacio es imposible expresar.
A mis papás, Carmen y Leonel, por decidir traerme aquı́, por incentivar mi curiosidad y
respetar mis decisiones.
A mis compañer@s y amig@s de postgrado del Departamento de Matemáticas de la
Universidad de Chile, porque sin ustedes habrı́a sido imposible re-encantarme con la Matemática. Por todos los proyectos que emprendimos junt@s, las conversaciones, discusiones,
acuerdos y desacuerdos. Fueron parte importantı́sima en mi formación. Especialmente a mis
compañeros de generación Natu y Pato.
A tod@s l@s integrantes del Departamento de Matemática de la U, por la calidez de este
espacio. En especial gracias a Cecilia y Santiago.
A mis amig@s, por nutrirme de cariño. Los momentos más felices han sido al lado de ustedes. Eve Ortega, Clau Godoy, Isa Aguilera, Cami Donoso, Lucho Venegas, Corola González,
Pau Cecchi, Clau Correa, Cristóbal Rivas, Nico Abarzúa. Un agradecimiento especial a mis
lucecitas salvadoras en Parı́s: Marcelo Pérez y Florencia Muñoz.
Al Ashtanga Yoga, por proporcionarme la energı́a y alegrı́a necesarias para enfrentar la
vida.
A Constanza Michelson, por mostrarme el arte de significar palabras y construir realidades.
A tod@s l@s integrantes del Instituto de Matemáticas de la P. Universidad Católica de
Valparaı́so, por la buena onda y la excelente acogida en estos últimos meses.
A mis compañeras de la ex-Coordinadora de Feministas Jóvenes y el ex-Circo Feminista,
porque con ustedes aprendı́ lo lindo que es tener compañer@s.
A aquellos que no me calzaron en los formatos anteriores, pero que por distintas razones
marcaron mi vida: Manolo Cabezas, Rodrigo Bamón, Mauricio Redolés.
Este trabajo ha sido parcialmente financiado por la Comisión Nacional de Investigación
Cientı́fica y Tecnológica (CONICYT) a través de la beca Doctorado Nacional, y por el
Fondo Nacional de Desarrollo Cientı́fico y Tecnológico (FONDECYT) a través del Proyecto
Fondecyt Regular 1120578.
v
Resumen:
Sea k = Fq , con q > 3. En esta tesis se construye una Representación de Weil generalizada
para los grupos ortogonales escindidos finitos de rango par;
Oq (2n, 2n) =






 0 I2n  t  0
T ∈ M4n (k) | T 
T = 


I2n
I2n 0


I2n 



0
.
En el primer capı́tulo se entrega una introducción sobre el origen histórico de la representación de Weil y una breve descripción de los resultados obtenidos hasta el momento.
En los capı́tulos dos y tres se entregan los contenidos preliminares, esto es; aspectos
generales de la teorı́a de representaciones de grupos y algunos tópicos de formas cuadráticas
en cuerpos finitos.
En el capı́tulo cuatro se definen los anillos involutivos y se otorga una clasificación de las
involuciones para el anillo A = Mn (k), donde k es un cuerpo finito de caracterı́stica impar.
Aparentemente esta clasificación no se encuentra en la literatura.
En el quinto capı́tulo se definen los grupos SLε∗ (2, A) y la construcción de su Representación de Weil generalizada. Además se muestra uno de los resultados de este trabajo que
consiste en una dualidad entre ε = ±1 y la involución escogida, para el caso de los anillos
del tipo M2 (A0 ), con (A0 , ∗) anillo unitario involutivo. En particular se obtiene que el grupo
ortogonal escindido Oq (2n, 2n) puede verse como un grupo SLε∗ (2, A) con ε = −1.
Finalmente, en el capı́tulo seis se obtiene el resultado principal de esta tesis, a saber: la
construcción de la Representación de Weil generalizada para el grupo de interés. Además
se estudia la estructura del grupo unitario U(γ, χ) asociado a las funciones γ y χ mediante
las cuales se define la representación y luego utilizando este grupo, se llega a una primera
descomposición de la representación.
vi
Abstract:
Let k = Fq , with q > 3. In this thesis we build a generalized Weil Representation for
finite split orthogonal groups in even rank;
Oq (2n, 2n) =






 0 I2n  t  0
T ∈ M4n (k) | T 
T = 


I2n
I2n 0


I2n 



0
.
The first chapter provides an introduction to the historical origin of the Weil representation and a brief description of the results obtained so far.
In chapters two and three we give the preliminary contents, that is, general aspects of
group representations and some topics of quadratic forms over finite fields.
In chapter four we define involutive rings and we give a classification of involutions for the
ring A = Mn (k), where k is a finite field of odd characteristic. Apparently this classification
is not present in the literature.
In the fifth chapter we define the SLε∗ (2, A) groups and their generalized Weil representation. Apart from that we show one of the results of this work, which is a duality between
ε = ±1 and the involution chosen in the case of rings of type M2 (A0 ), with (A0 , ∗) a involutive unitary ring. In particular we obtain that the split orthogonal group O(2n, 2n) can be
seen as a group SLε∗ (2, A) with ε = −1.
Finally, in the sixth chapter we prove the main result of this thesis, namely the construction of a generalized Weil representation for the group of interest. Apart from that, we
study the structure of the unitary group U(γ, χ) associated with the functions γ and χ by
which the representation is defined and then using this group, we get a first decomposition
of the representation.
Índice general
1. Introducción
1
2. Representaciones lineales complejas de grupos.
4
3. Formas Cuadráticas sobre cuerpos finitos
7
4. Anillos involutivos
10
4.1. Definiciones y Resultados Previos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
4.2. Clasificación de involuciones en A = Mn (Fq ), para q impar. . . . . . . . . . .
12
5. Los grupos SLε∗ (2, A).
17
5.1. Definición y Presentación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17
5.2. Una Representación de Weil generalizada
para G =SLε∗ (2, A). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20
5.3. Dualidad entre involuciones y ε = ±1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
22
6. Representación de Weil para Oq (2n, 2n).
25
6.1. Construcción de una Representación de Weil
generalizada para Oq (2n, 2n), q > 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
26
6.2. El grupo unitario U(γ, χ). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
6.3. Descomposición de la Representación de Weil
según U(γ, χ). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
vii
33
Capı́tulo 1
Introducción
Uno de los problemas centrales en la Teorı́a de Representaciones de Grupos Finitos es
determinar el conjunto de representaciones irreducibles de un grupo dado. Para diversas familias de grupos, la Representación de Weil ha resultado ser una respuesta a dicho problema.
Recordemos que estas representaciones se llaman hoy en dı́a representaciones de Weil (o
Shale-Weil), debido a que surgieron de la construcción clásica de Weil ([14]), para cualquier
cuerpo local, que a su vez surge en el trabajo de Shale ([11]) sobre las simetrı́as lineales de
campos libres de bosón, en teorı́a cuántica.
Shale construyó la “representación de oscilador” de Sp(2n, k), para k = R. Esta representación resulta ser una representación proyectiva que toma ventaja de la teorı́a de representaciones del grupo de Heisenberg Hn en n grados de libertad, según lo descrito por el
teorema de Stone von Neumann, el cual dice que Hn que tiene sólo una representación (salvo
isomorfismos) irreducible unitaria de dimensión mayor a 1 con un carácter central dado (la
representación de Schrödinger).Weil ([14])extendió más tarde esta construcción para el caso
de un cuerpo local.
Luego de eso, en los años 70 Pierre Cartier notó que las representaciones de Weil asociadas
a cualquier forma cuadrática no degenerada Q sobre el cuerpo base podı́an ser construı́das
para SL(2, k) ocupando la presentación de Bruhat del grupo, asociando a cada generador
1
CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN
2
un cierto operador y verificando que los operadores definidos satisfacen las relaciones de
la presentación. De esta manera la representación de Weil aparece como una construcción
functorial en la categorı́a de espacios cuadráticos. Ası́, la “representación de oscilador” corresponde a la forma cuadrática de rango uno x2 sobre k y se obtiene una representación
(ordinaria) de Weil en el caso de rango par ([12]).
Uno de los aspectos más destacables de esta construcción es que si tomamos las dos
formas cuadráticas no isomorfas de rango dos no degeneradas sobre k y descomponemos las
representaciones de Weil asociadas a ellas, obtendremos todas las representaciones unitarias
irreducibles de SL(2, k). Esta afirmación vale, por ejemplo, cuando k es un cuerpo finito o
un cuerpo local de caracterı́stica residual distinta de dos.
En [12], Jorge Soto-Andrade extendió la construcción descrita al grupo simpléctico
Sp(2n, k), con k un cuerpo finito. Para ésto consideró a Sp(2n, k) como un grupo ”SL(2)”
pero con entradas en el anillo de matrices Mn (k), y ası́ obtuvo una presentación adecuada
para el grupo en cuestión. De esta forma construyó las representaciones de Weil de los
grupos Sp(2n, k) y en el caso de Sp(4, k) obtuvo todas las representaciones irreducibles
descomponiendo las respectivas representaciones de Weil asociadas a las formas cuadráticas
no isomorfas.
Este punto de vista fue generalizado y dio origen a los grupos SLε∗ (2, A) para (A, ∗) un
anillo involutivo y ε = ±1 ∈ A. Ellos fueron definidos para ε = −1 por J. Pantoja y J.
Soto-Andrade en [7] y generalizados a ε = 1 en [9] por los mismos autores.
Estos grupos permiten mirar grupos clásicos de rango mayor como grupos de rango dos,
considerándolos con coeficientes en un nuevo anillo. La filosofı́a es, entonces, generalizar
técnicas y métodos conocidos para los grupos especiales lineales tradicionales, para obtener
resultados en estos grupos más generales.
Los grupos SLε∗ (2, A) incluyen, entre otros, los grupos simplécticos (considerando el anillo
A = Mn (F ), F un cuerpo, ∗ la transposición de matrices y tomando ε = −1) y los grupos
ortogonales escindidos (A = Mn (F ), F cuerpo, ∗ la transposición de matrices y tomando
CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN
3
ε = 1).
En [5], los autores antes mencionados junto con L. Gutierrez, construyen representaciones
de Weil de manera muy general vı́a generadores y relaciones para los grupos SLε∗ (2, A) que
cuentan con una presentación análoga a la de Bruhat.
Los autores definen operadores de Weil asociados a los generadores y luego prueban
que dichos operadores satisfacen las relaciones de la presentación. Los datos necesarios para
definir dichos operadores son un módulo M sobre el anillo involutivo (A, ∗) equipado de una
forma χ biaditiva no degenerada con valores a C× y su correspondiente función homogénea
de orden dos γ.
Dentro de los grupos clásicos, los grupos ortogonales juegan un papel destacado. En particular, en teorı́a de representaciones, forman un par dual junto con los grupos simplécticos,
en el sentido que cada uno de ellos tiene una representación en el mismo espacio, y que estas
acciones conmutan. Esta dualidad ha permitido descomponer la representación de Weil de
los grupos simplécticos ([12]). Aparentemente, si bien se han construı́do representaciones de
Weil para los grupos simplécticos, no es el caso de los grupos ortogonales. Lo anterior lleva
en forma natural a estudiar los grupos ortogonales, su representación de Weil y una eventual
descomposición.
En esta tesis se construye una representación de Weil generalizada para los grupos ortogonales finitos escindidos Oq (2n, 2n). Tal como se mencionó anteriormente, el grupo en
cuestión es el grupo SLε∗ (2, A) considerando (A, ∗) el anillo de matrices junto a la transposición y ε = 1. Sin embargo, uno de los resultados de esta tesis es realizar al grupo de interés
como un grupo SLε∗ (2, A) con ε = −1 y utilizando una nueva involución, facilitando ası́ algunos aspectos técnicos de la construcción. De hecho el resultado probado es más general, y
−
contempla un isomorfismo entre los grupos SL+
∗ (2, M2 (A0 )) y SL∼ (2, M2 (A0 )), donde (A0 , ∗)
es un anillo unitario involutivo y ∼ es otra involución en A0 obtenida a partir de ∗.
También se entrega una descripción acabada del grupo unitario asociado U(γ, χ) y luego
utilizando este grupo se obtiene una primera descomposición de la representación construida.
Capı́tulo 2
Representaciones lineales complejas
de grupos.
En este capı́tulo daremos definiciones y resultados basales de la Teorı́a de Representaciones de Grupos, que serán de importancia en este trabajo. Para demostraciones y más detalles
consultar por ejemplo [10] o [3].
Definición 2.0.1. Sea G un grupo. Una representación lineal compleja de G es un par
(V, ρ), donde V es un C− espacio vectorial y ρ es un homomorfismo de G en el grupo de
automorfismos lineales AutC (V ).
Si la dimensión de V es finita, entonces se define el grado de la representación como la
dimensión de V . En caso contrario diremos que (V, ρ) es de dimensión infinita.
Si (V, ρ) es una representación lineal compleja de G, en general sólo diremos que es una
representación de G.
Para denotar una representación usaremos indistintamente (V, ρ), V o ρ.
Definición 2.0.2. Sea (V, ρ) una representación de un grupo G. Una subrepresentación de
V es un subespacio vectorial estable W ≤ V , ésto es: ρ(g)(W ) ⊆ W para todo g ∈ G.
En este caso (W, ρW ), donde ρW (g) = ρ(g)|W , es una representación de G.
4
CAPÍTULO 2. REPRESENTACIONES LINEALES COMPLEJAS DE GRUPOS.
5
Ejemplo 2.0.3. Sea G un grupo finito. Supongamos que X es un G- conjunto finito, es
decir el grupo G actúa en X mediante σ : G × X −→ X.
Sea L2 (X) = {f : X −→ C}. Es claro que L2 (X) es un C− espacio vectorial.
Para
x ∈ M, consideremos la función delta de Dirac ex : M −→ C

 1 ,y = x
ex (y) =

 0 , y 6= x
El conjunto de las funciones delta de Dirac {ex | x ∈ X} es una base para L2 (X).
Se define la representación natural de G asociada al G− conjunto X como
ρ : G −→ AutC (L2 (X))
ρ(g)(ex ) = eσ(g,x) .
Ejemplo 2.0.4. En el ejemplo anterior, si X = G y la acción es σ(g, x) = gx entonces la
representación obtenida se llama representación regular de G.
Definición 2.0.5. Una representación (V, ρ) de G se dice irreducible si posee exactamente
dos subrepresentaciones, a saber: {0} y V .
En caso contrario decimos que la representación es reducible.
Definición 2.0.6. Sean (V1 , ρ1 ) y (V2 , ρ2 ) dos representaciones de G. Un entrelazamiento
entre estas representaciones es una función lineal ψ : V1 −→ V2 tal que ρ2 (g) ◦ ψ = ψ ◦ ρ1 (g)
para cada g ∈ G.
El espacio vectorial de todos los entrelazamientos entre (V1 , ρ1 ) y (V2 , ρ2 ) lo denotaremos
por HomG (ρ1 , ρ2 ) o HomG (V1 , V2 ) si no hay riesgo de confusiones. Cuando V1 = V2 = V , lo
denotaremos por EndG (V ).
Definición 2.0.7. Decimos que (V1 , ρ1 ) y (V2 , ρ2 ) son representaciones isomorfas si existe
un entrelazamiento biyectivo entre ellas.
CAPÍTULO 2. REPRESENTACIONES LINEALES COMPLEJAS DE GRUPOS.
6
Definición 2.0.8. Un carácter lineal α del grupo G es una representación lineal de G de
grado 1. En otras palabras, α es un homomorfismo de grupos α : G −→ C× .
Decimos que α es el carácter trivial si α(g) = 1 para todo g ∈ G.
Teorema 2.0.9. Sea G un grupo finito. Cualquier representación finita de G es suma directa
de subrepresentaciones irreducibles.
Notación: Para a ∈ N y V espacio vectorial, denotamos por aV a la suma directa
V ⊕ V ⊕ ... ⊕ V (a- veces).
Corolario 2.0.10. Sea (V, ρ) una representación de dimensión finita de un grupo finito G.
Existe una descomposición de V ;
V = a1 V1 ⊕ a2 V2 ⊕ ... ⊕ ak Vk ,
donde los espacios Vi son representaciones irreducibles no isomorfas de G.
Esta descomposición se llama descomposición isotı́pica y es única salvo isomorfismos.
Además, se puede probar que ai = dim(HomG (V, Vi )) = dim(HomG (Vi , V )).
Lema 2.0.11. : (Lema de Schur) Si (V, ρ) y (W, π) son representaciones irreducibles de G,
y ψ : V −→ W es un entrelazamiento, entonces:
(1) Si ψ no es un isomorfismo, entonces ψ ≡ 0.
(2) Si V = W y ρ = π entonces existe λ ∈ C tal que ψ = λI, I la función identidad.
Capı́tulo 3
Formas Cuadráticas sobre cuerpos
finitos
Sea k = Fq , cuerpo finito con q elementos.
Definición 3.0.12. Sea E un espacio vectorial sobre k. La aplicación Q : E −→ k es una
forma cuadrática en E si se cumplen:
(a) Q(λx) = λ2 Q(x) ∀ λ ∈ k, x ∈ E;
(b) La aplicación B : E × E −→ k dada por B(x, y) = Q(x + y) − Q(x) − Q(y) es bilineal.
La forma bilineal B claramente es simétrica y se llama forma bilineal asociada a Q.
Si además se tiene:
B(x, y) = 0 ∀ y =⇒ x = 0,
decimos que B y Q son no degeneradas.
Supongamos que la dimensión de E es finita y sea E ⊥ = {x ∈ E/B(x, y) = 0 ∀ y ∈ E},
entonces definimos el rango de B como rang(B) = dim(E/E ⊥ ). Ası́ rang(B) = dim(E) si y
sólo si B es no degenerada.
7
CAPÍTULO 3. FORMAS CUADRÁTICAS SOBRE CUERPOS FINITOS
8
En lo que sigue suponemos q impar.
1
B es la única forma
2
bilineal simétrica en E tal que Q(x) = B † (x, x). Este hecho describe una correspondencia
Notemos que si Q es una forma cuadrática en E, entonces B † =
biunı́voca entre formas cuadráticas (en E) y formas bilineales (en E).
Definición 3.0.13. Un espacio vectorial cuadrático es un par (E, Q) donde E es un espacio
vectorial sobre k y Q es una forma cuadrática en E. Si (E, Q) y (E ′ , Q′ ) son dos espacios
vectoriales cuadráticos, decimos que son isomorfos o equivalentes si existe un isomorfismo
lineal f : E −→ E ′ tal que Q′ ◦ f = Q.
Si E = E ′ decimos simplemente que las formas Q y Q′ son isomorfas.
Ahora revisaremos los resultados conocidos acerca de la clasificación de formas cuadráticas no degeneradas sobre k. Para ver demostraciones y más detalles, consultar por ejemplo
[12] o [1].
Proposición 3.0.14. Sea E un k-espacio vectorial tal que dimk (E) = 2. Entonces existen
sólo dos formas cuadráticas no degeneradas (salvo isomorfismos) sobre k, a saber:
(1) E = k 2 , y Q1 (x, y) = xy, x, y ∈ k.
(2) E = K, la extensión cuadrática de k, y Q2 (z) = N(z), z ∈ K, N la norma de K sobre
k.
De acuerdo a la proposición anterior, al primer espacio cuadrático lo denotaremos por
(k 2 , xy) y al segundo por (K, N).
Llamamos plano hiperbólico a cualquier espacio vectorial cuadrático isomorfo a (k 2 , xy).
De aquı́ en adelante, suponemos dimk (E) < ∞.
CAPÍTULO 3. FORMAS CUADRÁTICAS SOBRE CUERPOS FINITOS
9
Proposición 3.0.15. Todo espacio cuadrático no degenerado (E, Q) sobre k es suma ortogonal de planos hiperbólicos y de un espacio cuadrático (E0 , Q0 ) que puede ser el espacio
nulo o isomorfo a alguno de los siguientes:
(i)(k, x2 );
(ii)(k, t0 x2 ), donde t0 no es cuadrado en k × ;
(iii)(K, N).
De acuerdo a la proposición anterior, si (E0 , Q0 ) es nulo o isomorfo a (k, x2 ) decimos que
(E, Q) es escindido, en otro caso decimos que es no-escindido.
Definición 3.0.16. Sea (E, Q) espacio vectorial cuadrático no degenerado sobre k, entonces
el signo de Q es:
sign(Q) =



1 , (E, Q) escindido

 −1 , (E, Q) no-escindido.
Definición 3.0.17. Sea (E, Q) un espacio vectorial cuadrático sobre k y ϕ un caracter de
k + . Se define la suma de Gauss asociada a ϕ ◦ Q como:
Sϕ◦Q =
X
ϕ(Q(v)).
v∈E
Proposición 3.0.18. Sea (E, Q) espacio vectorial cuadrático no degenerado de dimensión
par sobre k y ϕ un caracter no trivial de k + , entonces:
Sϕ◦Q = sign(Q)|E|1/2 .
Capı́tulo 4
Anillos Involutivos
4.1.
Definiciones y Resultados Previos.
Definición 4.1.1. Una involución en un anillo A es un antiautomorfismo de A de orden dos.
Es decir, una biyección σ : A −→ A tal que para cada a, b ∈ A se cumple:
(1)σ(a + b) = σ(a) + σ(b);
(2)σ(ab) = σ(b)σ(a);
(3)σ 2 (a) = a.
Ejemplo 4.1.2. Consideremos el anillo de matrices A = Mn (k), entonces una involución en
A es σ(a) = at , la transposición de matrices.
Ejemplo 4.1.3. Sea K una extensión cuadrática separable de k. Entonces el automorfismo
no trivial del grupo de Galois Gal(K/k) es una involución en K.
Definición 4.1.4. Sean (A1 , σ1 ) y (A2 , σ2 ) dos anillos involutivos. Los anillos involutivos
(A1 , σ1 ) y (A2 , σ2 ) son isomorfos, si existe un isomorfismo de anillos F : A1 −→ A2 tal que
F ◦ σ1 = σ2 ◦ F . Si A1 = A2 diremos simplemente que las involuciones σ1 y σ2 son isomorfas.
Sea k un cuerpo. Nos centraremos en una clase particular de anillos, a saber, las k−
álgebras del tipo A = Endk (V ) donde V es un k− espacio vectorial de dimensión finita.
10
CAPÍTULO 4. ANILLOS INVOLUTIVOS
11
En este caso agregamos la condición de k− linealidad a la involución, es decir para que
un antiautomorfismo σ de A sea involución también será necesario que σ(ta) = tσ(a) t ∈
k, a ∈ A.
Ası́, describiremos una correspondencia entre las involuciones de A y las formas bilineales
no degeneradas sobre k que son simétricas o antisimétricas. Para ésto nos guiaremos por [6].
Sea V un k− espacio vectorial y B : V × V −→ k una forma bilineal no degenerada.
Entonces la función
b : V −→ V ∗ = Homk (V, k),
B
definida por
b
B(x)(y)
= B(x, y),
es un isomorfismo de espacios vectoriales.
Para f ∈ Endk (V ) podemos definir σB (f ) ∈ Endk (V ) mediante la siguiente propiedad:
B(f (x), y) = B(x, σB (f )y) x, y ∈ V.
(4.1)
La aplicación σB : Endk (V ) −→ Endk (V ) es un anti-automorfismo de Endk (V ) y se
llama anti-automorfismo adjunto con respecto a la forma bilineal B. El siguiente teorema
describe la correspondencia que mencionamos anteriormente.
Teorema 4.1.5. (Knus, Merkurjev, Rost, Tignol)
La aplicación que asocia a cada forma bilineal no degenerada B : V × V −→ k su antiautomorfismo adjunto σB induce una correspondencia biyectiva entre clases de equivalencia
de formas bilineales no degeneradas en V módulo multiplicación por un escalar en k × y
anti-automorfismos de Endk (V ). Bajo esta correspondencia, las involuciones en Endk (V )
corresponden a formas bilineales no degeneradas que son simétricas o antisimétricas.
Demostración: ver en [6], capı́tulo 1.
12
CAPÍTULO 4. ANILLOS INVOLUTIVOS
A las involuciones que corresponden a formas bilineales simétricas las llamaremos ortogonales, y a las que corresponden a formas alternadas las llamaremos simplécticas.
Proposición 4.1.6. (Knus, Merkurjev, Rost, Tignol)
Sea σ una involución en A = Endk (V ).Entonces:
(1) Para cada s ∈ A× tal que σ(s) = ±s, la aplicación σ ′ (a) = sσ(a)s−1 es una involución
en A.
(2) Recı́procamente, para cada involución σ ′ en A existe s ∈ A× , únicamente determinado
salvo un factor en k × , tal que:
σ ′ (a) = sσ(a)s−1
y σ(s) = ±s.
Demostración: [6], capı́tulo 1.
Teorema 4.1.7. : (Skolem-Noether) Sea F un cuerpo, A un F − álgebra central simple y sea
B ⊆ A una subalgebra simple. Cada homomorfismo de F − álgebras ν : B −→ A se extiende
a un automorfismo interno de A, es decir, existe a ∈ A× tal que ν(b) = aba−1 para todo
b ∈ B. En particular, todo automorfismo de F − álgebra de A es interno.
4.2.
Clasificación de involuciones en A = Mn(Fq ), para q
impar.
Sea k = Fq , cuerpo finito de q elementos con q impar. En esta sección nos proponemos
clasificar las involuciones de A = Mn (k) utilizando las técnicas y resultados descritos en la
sección anterior. Aparentemente este resultado no se encuentra en la literatura, sin embargo
se deduce implı́citamente de los resultados expuestos en [6].
Sean V un k-espacio vectorial, B1 y B2 formas bilineales en V . Decimos que B1 y B2 son
equivalentes si existe un automorfismo F de V tal que B1 (F (x), F (y)) = B2 (x, y) para cada
x, y ∈ V .
CAPÍTULO 4. ANILLOS INVOLUTIVOS
13
En lenguaje matricial, si fijamos una base de V y llamamos bi a la matriz que representa a
Bi (i = 1, 2) en dicha base, entonces B1 y B2 son equivalentes si existe una matriz invertible
r tal que b2 = rb1 r t .
Lema 4.2.1. Sea V espacio vectorial tal que A ∼
= Endk (V ). Dos formas bilineales equivalentes en V inducen involuciones isomorfas en A.
Demostración: sean <, >1 , <, >2 : V × V −→ k dos formas bilineales equivalentes. Fijemos
una base para V . Entonces, si b ∈ A es la matriz que define a <, >1 , existe r ∈ A× tal
que rbr t ∈ A define a <, >2 . En otras palabras, si consideramos x, y ∈ V como vectores fila
respecto a alguna base, se tiene:
< x, y >1 = xby t ;
< x, y >2 = x(rbr t )y t =< xr, yr >1 .
Sean σ1 , σ2 las involuciones que corresponden a <, >1 y <, >2 respectivamente, es decir
para x, y ∈ V y a ∈ A se tiene:
< xa, y >1 =< x, yσ1 (a) >1 ;
< xa, y >2 =< x, yσ2 (a) >2 .
Aquı́, xa es la multiplicación matricial del vector fila x con la matriz cuadrada a. Entonces
para todo x, y ∈ V y a ∈ A:
< xa, y >2 =< xar, yr >1 =< x, yrσ1 (r)σ1 (a) >1 ;
< x, yσ2 (a) >2 =< xr, yσ2 (a)r >1 =< x, yσ2 (a)rσ1 (r) >1 .
Dado que la forma <, >1 es no degenerada tenemos que σ2 (a)rσ1 (r) = rσ1 (r)σ1 (a) para
todo a ∈ A. Por lo tanto el automorfismo de A dado por F (a) = r −1 ar, (a ∈ A), es tal que
F (σ2 (a)) = σ1 (F (a)).
CAPÍTULO 4. ANILLOS INVOLUTIVOS
14
Dado un k− espacio vectorial V de dimensión n, se sabe que existen (módulo isomorfismos) sólo dos formas B1 y B2 bilineales simétricas y no degeneradas en V (ver por ejemplo
[4], teorema 4.9). Estas formas están representadas por las siguientes matrices diagonales:
b1 = diag(1, 1, ..., 1) ∈ Mn (k);
b2 = diag(1, 1, ..., 1, t0) ∈ Mn (k), donde t0 no es cuadrado en k × .
Observemos que una forma de distinguir entre estas dos formas bilineales es mirar su
determinante. En otras palabras, una forma bilineal simétrica no degenerada será equivalente
a b1 si su determinante es cuadrado en k, y será equivalente a b2 si su determinante no es
cuadrado en k × .
Por otra parte, se sabe también que existe sólo una forma bilineal b3 alternada y no degenerada en V (módulo isomorfismos), y que en este caso la dimensión de V es necesariamente
par. (ver [2], capı́tulo 2, sección 3).
En lo que sigue usaremos bi , i = 1, 2, 3 para simbolizar indistintamente la forma bilineal
y su matriz asociada.
Proposición 4.2.2. Sea A = Mn (k) ∼
= Endk (V ).Entonces:
Si n es par, existen tres involuciones no isomorfas en A.
Si n es impar, cualquier involución de A es isomorfa a la transposición.
Demostración:
supongamos n par. Sean b1 , b2 y b3 las formas bilineales no degeneradas
en V descritas arriba, y σ1 , σ2 , σ3 las involuciones correspondientes. Con un cálculo directo
obtenemos que σ1 es la involución transposición.
Sea ∗ una involución en A y <, > la forma bilineal no degenerada que corresponde a ∗.
Debido al teorema 4.1.5, sabemos que ∗ es una involución ortogonal ó simpléctica. En otras
palabras, <, > es una forma bilineal no degenerada simétrica ó antisimétrica. Del mismo
teorema se deduce también que una involución ortogonal no puede ser equivalente a una
simpléctica.
Si la involución ∗ es simpléctica, entonces <, > es equivalente a b3 y de acuerdo a la proposición 4.2.1 obtenemos que ∗ es isomorfa a σ3 .
CAPÍTULO 4. ANILLOS INVOLUTIVOS
15
Por otra parte, si ∗ es ortogonal entonces <, > es equivalente a b1 ó a b2 , y por tanto ∗ es
isomorfa a σ1 ó a σ2 . Ası́, sólo queda probar que σ1 y σ2 no son isomorfas.
Supongamos entonces que las involuciones σ1 y σ2 son isomorfas, es decir, existe F automorfismo de A tal que F ◦ σ2 = σ1 ◦ F . Por el teorema de Skolem-Noether (4.1.7) sabemos que
existe r ∈ A× tal que para cada a ∈ A, F (a) = rar −1
Entonces para cada a ∈ A se tiene;
rσ2 (a)r −1 = σ1 (r −1 )σ1 (a)σ1 (r).
(4.2)
Por otra parte, dado que b2 (xa, y) = b2 (x, yσ2 (a)) tenemos que:
ab2 = b2 σ2 (a)t .
(4.3)
Ası́, recordando que σ1 es la involución transposición;
σ2 (a) = b2 σ1 (a)b−1
2 .
(4.4)
Reemplazando 4.4 en 4.2:
−1
rb2 σ1 (a)b−1
= σ1 (r −1)σ1 (a)σ1 (r).
2 r
Finalmente reordenando obtenemos la siguiente igualdad para cada a ∈ A:
(σ1 (r)rb2 )σ1 (a) = σ1 (a)(σ1 (r)rb2 ).
Por lo tanto, σ1 (r)rb2 debe ser una matriz escalar invertible de rango par. Esto último nos
lleva a una contradicción ya que el determinante de σ1 (r)rb2 no es cuadrado en k.
Supongamos ahora n impar. Siguiendo el mismo razonamiento de arriba, sólo debemos
probar que σ1 y σ2 son isomorfas.
CAPÍTULO 4. ANILLOS INVOLUTIVOS
16
Dado que n es impar, tenemos que det(t0 b2 ) es cuadrado en k × . Por lo tanto, debido a la
clasificación de formas bilineales, existe r ∈ A× tal que
t0 b2 = rr t = rσ1 (r).
(4.5)
Entonces F (a) = r −1 ar es un automorfismo de A tal que F ◦ σ2 = σ1 ◦ F . En efecto, para
cada x, y ∈ V, a ∈ A tenemos por definición:
b2 (xa, y) = b2 (x, yσ2 (a)),
o equivalentemente;
b2 σ1 (a) = σ2 (a)b2 .
Despejando b2 en (4.5) y reemplazando en la última igualdad tenemos;
−1
t−1
0 rσ1 (r)σ1 (a) = t0 σ2 (a)rσ1 (r).
Finalmente reordenando obtenemos;
r −1 σ2 (a)r = σ1 (r −1 ar).
Capı́tulo 5
Los grupos SLε∗(2, A).
5.1.
Definición y Presentación
Los grupos SLε∗ (2, A) donde ε = ±1 y A es un anillo unitario provisto de una involución
∗, son una generalización de los grupos especiales lineales SL(2, F ), donde F es un cuerpo.
Ellos fueron definidos para ε = −1 por Pantoja y Soto-Andrade en [7] y generalizados a
ε = 1 en [9] por los mismos autores.
Definición 5.1.1.
un anillo unitario involutivo (A, ∗), el grupo SLε∗ (2, A) es el conjunto
 Para 
 a b 
de las matrices 
 ∈ M2 (A) tales que:
c d
(1)ab∗ = −εba∗ ;
(2)cd∗ = −εdc∗ ;
(3)a∗ c = −εc∗ a;
(4)b∗ d = −εd∗ b;
(5)ad∗ + εbc∗ = a∗ d + εc∗ b = 1,
provisto de la multiplicación matricial.
17
CAPÍTULO 5. LOS GRUPOS SLε∗ (2, A).
18
Observación 5.1.2. : Notemos que la involución de A se puede extender a M2 (A) de la
siguiente
manera:



∗
∗
∗
 a b 
 a c 
 =

, (a, b, c, d ∈ A).
∗
∗
c d
b d
2
Denotemos
 por Hε a la forma ε− hermitiana en A = A × A asociada a la matriz

 0 1 
Jε = 
.
ε 0
Proposición 5.1.3. (Gutierrez, Pantoja, Soto-Andrade, [5])
El grupo SLε∗ (2, A) puede ser definido equivalentemente como el conjunto de todos los automorfismos g del A− módulo M = A × A tal que Hε ◦ (g × g) = Hε o en forma matricial;
SLε∗ (2, A)= {T ∈ GL(2, A) | T Jε T ∗ = Jε }.
Demostración: es posible extraer una demostración de esta proposición, a partir de los hechos
demostrados en la sección 4 de [9]. En efecto, del lema 1, sección 4 en [9] tenemos que si T ∈
SLε∗ (2, A) entonces T ∗ ∈ SLε∗ (2, A). Ası́, ocupando las igualdades T Jε T ∗ = Jε y T ∗ Jε T = Jε
se obtiene la demostración de la proposición.
Ejemplo 5.1.4. Consideremos el anillo de matrices A = Mn (k) junto con la involución ∗
dada por la transposición de matrices, entonces:
SL−
∗ (2, A) = Sp(2n, k), el grupo simpléctico.
SL+
∗ (2, A) = O(n, n), el grupo ortogonal escindido.
CAPÍTULO 5. LOS GRUPOS SLε∗ (2, A).
19
Definición 5.1.5. Sea Asym
= {a ∈ A | a∗ = −εa}. Decimos que el grupo SLε∗ (2, A) tiene
ε
una presentación
 elementos:
 por los
 siguientes
de Bruhat si está
 generado

 1 s 
 0 1 
 t 0 
ht = 
 (s ∈ Asym )
 , us = 
 (t ∈ A× ), w = 
∗−1
0 1
ε 0
0 t
con las relaciones:
(1) ht ht′ = htt′ , us us′ = us+s′ ;
(2) w 2 = hε ;
(3)ht us = utst∗ ht ;
(4) wht = ht∗−1 w;
t ∈ A× ∩ Asym .
(5)wut−1 wu−εtwut−1 = h−εt ,
Observación 5.1.6. Es sabido que si k es un cuerpo, el grupo SL(2, k) está generado por
los elementos
; 

 a 0 
ha = 

−1
0 a
relaciones:
(a ∈ k × ),


 1 b 
ub = 

0 1
(b ∈ k + ),


 0 1 
w=
 junto a las
−1 0
(a, d ∈ k × , b, c ∈ k + );
(1) ha hd = had , ubuc = ub+c
(2) w 2 = h−1 ;
(3)ha ub = ua2 b ha
(a ∈ k × , b ∈ k + );
(4) wha = ha−1 w
(a ∈ k × );
(5)wua−1 wuawua−1 = ha ,
(a ∈ k × ).
Ası́, la presentación antes definida para los grupos SLε∗ (2, A) es una generalización natural
del caso clásico.
CAPÍTULO 5. LOS GRUPOS SLε∗ (2, A).
5.2.
20
Una Representación de Weil generalizada
para G =SLε∗ (2, A).
En esta sección recordamos la construcción de la Representación de Weil generalizada
para los grupos SLε∗ (2, A) descrita en [5] . Con el objetivo de contextualizar este resultado,
recordemos una de las construcciones de la representación de Weil para el grupo SL(2, k),
donde k = Fq . Para ésto nos guiamos por [12], capı́tulo 1, sección 2.
Sea (E, Q) un espacio cuadrático no degenerado sobre k. Tal como en el capı́tulo 3
denotamos por B a la forma bilineal simétrica asociada a Q.
Teorema 5.2.1. (Soto-Andrade, [12])
Sean (E, Q) un espacio cuadrático no degenerado de dimensión 2m sobre k y ϕ un carácter
no trivial de k + . Se puede definir una representación (V, ρ) = (VQ,ϕ , ρQ,ϕ ) de SL(2, k), llamada representación de Weil de SL(2, k) asociada al espacio cuadrático (E, Q) y al carácter
ϕ, considerando V = L2 (E) y definiendo ρ sobre los generadores de Bruhat de SL(2, k) de
la siguiente manera;
[ρ(ha )f ](x) = f (xa);
[ρ(ub )f ](x) = ϕ(bQ(x))f (x);
P
[ρ(w)f ](x) = sign(Q)q −m y∈E ϕ(B(x, y))f (y).
Supongamos ahora que A es un anillo finito y que el grupo G =SLε∗ (2, A) cuenta con una
presentación de Bruhat. Entonces para construir una representación de Weil generalizada
para G necesitamos:
Un A− módulo derecho finito M.
CAPÍTULO 5. LOS GRUPOS SLε∗ (2, A).
21
b× tal que para cada
Una función biaditiva χ : M × M −→ C× y un caracter α ∈ A
x, y ∈ M,
t ∈ A× :
(a)χ(xt, y) = α(tt∗ )χ(x, yt∗ ), (χ es α- balanceada);
(b)χ(y, x) = χ(−εx, y), (χ es ε- simétrica);
(c)χ(x, y) = 1 ∀x ∈ M ⇒ y = 0, (χ es no degenerada).
una función γ : Asym × M −→ C× tal que para cada s, s′ ∈ Asym , x ∈ M:
(a)γ(s + s′ , x) = γ(s, x)γ(s′ , x);
(b)γ(b, xt) = γ(tbt∗ , x);
(c)γ(t, x + z) = γ(t, x)γ(t, z)χ(x, zt).
c ∈ C× tal que c2 |M| = α(ε). Además se debe cumplir para todo s ∈ Asym ∩ A× la
siguiente igualdad:
X
y∈M
γ(s, y) =
α(εs)
.
c
Teorema 5.2.2. (Gutierrez, Pantoja, Soto-Andrade, [5])
Dados los datos (M, α, γ, chi) cumpliendo las hipótesis antesriores,existe una representación
(L2 (M), ρ) de G tal que para cada t ∈ A× , x ∈ M, s ∈ Asym :
(1)ρ(ht )(f )(x) = α(t)f (xt);
(2)ρ(us )(f )(x) = γ(s, x)f (x);
P
(3)ρ(w)(f )(x) = c y∈M χ(−εx, y)f (y).
(L2 (M), ρ) se llama Representación de Weil generalizada de G asociada a los
datos (M, α, γ, χ).
Demostración: ver [5], Teorema 4.4.
Observación 5.2.3. Notemos que si tomamos A = k, ε = −1 y ∗ es la involución trivial,
entonces obtenemos SLε∗ (2, A)= SL(2, k). Además si (E, Q) es un espacio cuadrático no
degenerado sobre k y ϕ un carácter no trivial de k + , podemos considerar;
CAPÍTULO 5. LOS GRUPOS SLε∗ (2, A).
22
M = E con la acción dada por la estructura vectorial.
χ : M × M −→ C× ,
χ((x, y)) = ϕ(B(x, y)).
α el carácter trivial de A× .
γ : Asym × M −→ C× ,
γ(b, x) = ϕ(bQ(x)).
Es inmediato comprobar que la representación de Weil generalizada asociada a estos
datos coincide con la representación definida en el Teorema 5.2.1.
5.3.
Dualidad entre involuciones y ε = ±1.
Sea (A0 , ∗) un anillo unitario involutivo y A = M2 (A0 ). De acuerdo a la observación
(5.1.2) sabemos que A hereda la involución de A0 .


 0 1 
La matriz s = 
 ∈ A× cumple las igualdades s−1 = s∗ = −s. A partir de s
−1 0
podemos construir una nueva involución en A, a saber, a∼ = sa∗ s−1 .
Consideremos
el 
anillo M2 (A) dotado de las involuciones ∗ y ∼ heredadas de A, y la

 s 0 
matriz U = 
 ∈ GL2 (A).
0 s
Un cálculo directo muestra que para cada T ∈ M2 (A) se cumple T ∼ U = UT ∗ .
CAPÍTULO 5. LOS GRUPOS SLε∗ (2, A).
23
El siguiente teorema es un resultado de esta tesis y entrega una relación entre los grupos
SL+ y SL− :
−
Teorema 5.3.1. Los grupos SL+
∗ (2, A) y SL∼ (2, A) son isomorfos.
Demostración: de acuerdo a la proposición 5.1.3, sabemos que una forma de describir estos
grupos es
∼
SL−
= J− };
∼ (2, A) = {T ∈ M2 (A)/T J− T
∗
SL+
∗ (2, A) = {T ∈ M2 (A)/T J+ T = J+ }


 0 I 
donde J± = 
 , I ∈ A.
±I 0
Notemos que T J− T ∼ = J− si y sólo si T J− UT ∗ = J− U, por lo tanto debemos probar que
J− U y J+ son equivalentes. 

0 0 0 1




 0 0 −1 0 


En efecto, la matriz P = 
 ∈ M2 (A) es tal que P −1 = P t y


 1 0 0 0 


0 1 0 0
t
P J+ P = J− U.
Sea k un cuerpo de caracterı́stica distinta de dos. Observemos el caso particular en que
(A0 , ∗) es el anillo de matrices Mn (k) dotado de la involución dada por la transposición
de matrices. Conservando la notación de arriba obtenemos A = M2n (k) con la involución
transposición.
CAPÍTULO 5. LOS GRUPOS SLε∗ (2, A).
24
Siguiendo
el procedimiento
indicado anteriormente, al conjugar por la matriz antisimétri

 0 In 
ca s = 
 ∈ A obtenemos una nueva involución en A, a saber;
−In 0

∼

∗

a∗4
 a1 a2 
 a1 a2  −1 
 = s

 s =
a3 a4
a3 a4
−a∗3
−a∗2
a∗1



a1 , a2 , a3 , a4 ∈ Mn (k).
(5.1)
De esta forma, obtenemos el siguiente Corolario;
−
Corolario 5.3.2. Los grupos SL+
∗ (2, M2n (k)) y SL∼ (2, M2n (k)) son isomorfos.
Sea V un k− espacio vectorial de dimensión 2n y fijemos una base para V . Tenemos
M2n (k) ∼
= Endk (V ).
Sea < ,
>: V ×V −→ k la forma bilineal simétrica no degenerada dada por el producto
coordenada a coordenada con respecto a la base escogida. Consideremos la forma bilineal
alternada no degenerada [ ,
] : V × V −→ k, dada por [x, y] =< x, ys >.
Recordando el Teorema 4.1.5, es inmediato chequear que < ,
lución ∗ y [ ,
> corresponde a la invo-
] corresponde a la involución ∼. Es decir, para cada x, y ∈ V, a ∈ A tenemos:
< xa, y >=< x, ya∗ >;
(5.2)
[xa, y] = [x, ya∼ ].
(5.3)
Capı́tulo 6
Una Representación de Weil
generalizada para Oq (2n, 2n), q > 3.
En este capı́tulo nos proponemos construir una representación de Weil generalizada para
el grupo de interés y luego llegar a una primera descomposición de la representación obtenida.
Los hechos demostrados en las secciones 6.1 y 6.2 son resultados de esta tesis.
Sea m ∈ N y k = Fq un cuerpo finito de q elementos. El grupo ortogonal escindido de
grado m es:




 0 I  t  0 I 
Oq (m, m) = {T ∈ M2m (k)/T 
} (I = Im ),
T = 
I 0
I 0
provisto de la multiplicación de matrices.
Tal como vimos en el ejemplo (5.1.4) si consideramos A = Mm (k), ∗ la transposición de
matrices y ε = 1, entonces SLε∗ (2, A)= Oq (m, m).
Desde ahora suponemos q > 3. En este capı́tulo construiremos una representación de Weil
generalizada para los grupos Oq (2n, 2n) utilizando el método descrito en [5]. La razón por
la cual no abordaremos el caso m impar, es la ausencia de una presentación de Bruhat para
SL+
∗ (2, Mm (k)), ya que cuando m es impar no existen matrices antisimétricas e invertibles,
es decir Asym
∩ A× = ∅.
ε
25
CAPÍTULO 6. REPRESENTACIÓN DE WEIL PARA OQ (2N, 2N ).
26
−
∼
Sea G = Oq (2n, 2n) = SL+
∗ (2, M2n (k)). Del corolario 5.3.2 sabemos que G = SL∼ (2, M2n (k)),
por lo tanto construiremos la representación para este último grupo.
En [8] se demuestra que SL−
∼ (2, M2n (k)) cuenta con una presentación de Bruhat cuando
q > 3.
6.1.
Construcción de una Representación de Weil
generalizada para Oq (2n, 2n), q > 3
Sabemos que A ∼
= Endk (V ), con dimk (V ) = 2n. En V consideramos las formas bilineales
no degeneradas descritas al final de la sección 5.3.
Sea ϕ un carácter no trivial de k + . De acuerdo a las notaciones de la sección (5.2),
consideremos:
M el A− módulo derecho V 2 con la acción:
(x, y)a = (xa, ya)
a ∈ A, x, y ∈ V.
χ : M × M −→ C× ,
χ((x, y), (v, z)) = ϕ([x, z] − [y, v]).
α el carácter trivial de A× .
γ : Asym × M −→ C× ,
γ(u, (x, y)) = ϕ([xu, y]).
Lema 6.1.1. Para cada u ∈ A× ∩ Asym , Qu : V 2 −→ k dada por Qu ((x, y)) = [xu, y] es una
forma cuadrática no degenerada.
Además para u, u′ ∈ A× ∩ Asym las formas Qu y Qu′ son equivalentes.
En particular sign(Qu ) = sign(Qu′ )
∀ u , u′ ∈ A× ∩ Asym .
27
CAPÍTULO 6. REPRESENTACIÓN DE WEIL PARA OQ (2N, 2N ).
Demostración:
sean λ ∈ k, (x, y), (v, z) ∈ V 2 es claro que Qu (λ(x, y)) = λ2 Qu ((x, y)).
Probaremos entonces que
B((x, y), (v, z)) = Qu ((x + v, y + z)) − Qu ((x, y)) − Qu ((v, z)) es una forma bilineal no
degenerada.
Desarrollando, obtenemos que;
B((x, y), (v, z)) = [xu + vu, y + z] − [xu, y] − [vu, z] = [xu, z] + [vu, y].
Ahora;
B((x, y) + (r, t), (v, z)) =[(x + r)u, z] + [vu, (y + t)]
=[xu, z] + [ru, z] + [vu, y] + [vu, t]
=B((x, y), (v, z)) + B((r, t) + (v, z)).
B(λ(x, y), (v, z)) = [λxu, z] + [vu, λy]
= λ[xu, z] + λ[vu, y]
= λB((x, y), (v, z)).
Luego, por simetrı́a, B es forma bilineal.
Supongamos B((x, y), (v, z)) = 0 para todo (v, z) ∈ V 2 .
Sea v = 0, entonces [xu, z] = 0 para cada z ∈ V . Dado que [ ,
] es no degenerada y u
es invertible, obtenemos x = 0. Análogamente y = 0. Por lo tanto, B es no degenerada.
Ahora, si u, u′ ∈ A× ∩ Asym entonces us∗ y u′ s∗ son matrices antisimétricas invertibles,
por lo tanto ambas representan una forma bilineal alternada no degenerada. Es decir, existe
j ∈ A× tal que us∗ = ju′ s∗ j ∗ .
Ası́, recordando que s∗ = s−1 = −s y utilizando (5.1) obtenemos:
Qu′ ((xj, yj)) = [xju′ , yj] = Qu ((x, y)).
Por lo tanto signQu = signQu′ . CAPÍTULO 6. REPRESENTACIÓN DE WEIL PARA OQ (2N, 2N ).
28
Teorema 6.1.2. Los datos (M, α, γ, χ) describen una Representación de Weil generalizada
para G = Oq (2n, 2n). Además esta representación es independiente de la elección de ϕ.
Demostración: comprobemos que χ cumple con las propiedades pedidas:
Sean (x, y), (v, z) ∈ M, a ∈ A;
(1)
χ((x, y)a, (v, z)) =ϕ([xa, z] − [ya, v])
=ϕ([x, za∼ ] − [y, va∼ ])
, por (5.3)
=χ((x, y), (v, z)a∼ ).
(2)
χ((v, z), (x, y)) =ϕ([v, y] − [z, x])
=ϕ([x, z] − [y, v])
=χ((x, y), (v, z)).
(3)
Supongamos que χ((x, y), (v, z)) = 1 ∀(v, z) ∈ M.
Sea v = 0, entonces ϕ([x, z]) = 1 ∀z ∈ V .
Supongamos que x 6= 0, entonces [x, ·] : V −→ k es un funcional lineal no trivial, y por
tanto es epiyectivo.
Sea λ ∈ k tal que ϕ(λ) 6= 1, y t = t(λ) ∈ V tal que λ = [x, t], entonces obtenemos a la
siguiente contradicción:
1 = ϕ([x, t]) = ϕ(λ).
Por lo tanto x = 0, y análogamente y = 0.
CAPÍTULO 6. REPRESENTACIÓN DE WEIL PARA OQ (2N, 2N ).
29
Ahora, probaremos que γ satisface las propiedades pedidas.
Sean u, u′ ∈ Asym , a ∈ A× , (x, y), (v, z) ∈ M;
(1)
γ(u + u′ , (x, y)) =ϕ([xu + xu′ , y])
=ϕ([xu, y])ϕ([xu′, y])
=γ(u, (x, y))γ(u′, (x, y)).
(2)
γ(u, (x, y)a) =ϕ([xau, ya])
=ϕ([xaua∼ , y])
=γ(aua∼ , (x, y)).
(3)
γ(u, (x, y) + (v, z)) =ϕ([(x + v)u, y + z])
=ϕ([xu, y])ϕ([xu, z])ϕ([vu, y])ϕ([vu, z])
=γ(u, (x, y))γ(u, (v, z))ϕ([x, zu] − [y, vu])
=γ(u, (x, y))γ(u, (v, z))χ((x, y), (v, z)u).
Además debemos escoger c ∈ C× que cumpla c2 |M| = 1 y probar que para u ∈ A× ∩Asym ,
vale la siguiente igualdad:
X
(x,y)∈M
γ(u, (x, y)) =
X
x,y∈V
1
ϕ([xu, y]) = .
c
CAPÍTULO 6. REPRESENTACIÓN DE WEIL PARA OQ (2N, 2N ).
Utilizando el lema 6.1.1, obtenemos que
P
(x,y)∈M
30
γ(u, (x, y)) es una suma de Gauss de
una forma cuadrática en un espacio vectorial de dimensión 4n, por lo tanto de la proposición
3.0.18 sabemos que es igual a sign(Qu )q 2n . Sea ξ = sign(Qu ).
1
Escogemos c = 2n para obtener:
ξq
X
(x,y)∈M
1
γ(u, x) = .
c
Ahora, probemos que dados ϕ1 y ϕ2 caracteres no triviales de k + , entonces las representaciones obtenidas son isomorfas.
Sabemos que existe λ ∈ k × tal que para cada r ∈ k se tiene ϕ2 (r) = ϕ1 (λr). Sean (L2 (M), ρ1 )
y (L2 (M), ρ2 ) las representaciones de Weil provenientes de ϕ1 y ϕ2 respectivamente. Entonces el automorfismo lineal Ψ : L2 (M) −→ L2 (M) dado por (Ψf )(x, y) = f (x, λy) es un
isomorfismo entre las representaciones (L2 (M), ρ1 ) y (L2 (M), ρ2 ).
6.2.
El grupo unitario U (γ, χ).
De acuerdo a [5], llamamos grupo unitario del par (γ, χ) al grupo U(γ, χ) formado por
todos los automorfismos A− lineales β de M tales que:
1. γ(u, β(x, y)) = γ(u, (x, y))
∀u ∈ Asym , (x, y) ∈ M;
2. χ(β(x, y), β(v, z)) = χ((x, y), (v, z))
∀(x, y), (v, z) ∈ M.
Observación 6.2.1. Dado que Asym ∩ A× 6= ∅, la condición (2) se desprende de (1). En
efecto, sea s ∈ Asym ∩ A× , entonces para cada x, y ∈ M se cumple ([5]):
χ(x, y) =
γ(s, β(x) + β(y)s−1)
γ(s, x + ys−1)
=
= χ(β(x), β(y)).
γ(s, x)γ(s, ys−1)
γ(s, β(x))γ(s, β(y)s−1)
31
CAPÍTULO 6. REPRESENTACIÓN DE WEIL PARA OQ (2N, 2N ).
El siguiente teorema es un resultado de este trabajo, que entrega una descripción acabada
del grupo unitario U(γ, χ). Es importante conocer la estructura del grupo unitario ası́ como
el conjunto de sus representaciones irreducibles, ya que esta información se ocupará más
adelante para obtener una descomposición de la Representación de Weil.
Cabe observar que el grupo obtenido no depende de q ni de n.
Teorema 6.2.2. Sean γ y χ las funciones definidas en la sección (6.1), entonces
U(γ, χ) ∼
= SL2 (k).
Demostración: sea β ∈ U(γ, χ). En particular β es k− lineal, por lo tanto podemos suponer
que β ∈ M4n (k).
Podemos también representar matricialmente la acción de A sobre M de la siguiente
manera:


 a 0 
(x y) 
 = (xa ya)
0 a
x, y ∈ V, a ∈ A.
Dado que β es A−lineal tenemos que β(x, y)a = β(xa, ya), escribiendo esta condición
matricialmente obtenemos;




 a 0   a 0 
β
 β.
=
0 a
0 a


 β1 β2 
Sean β1 , β2 , β3 , β4 ∈ A tal que β = 
 , entonces por la condición de conmutaβ3 β4


 b1 I2n b2 I2n 
ción obtenemos que cada uno de estos bloques debe ser escalar, ası́ β = 
,
b3 I2n b4 I2n
b1 , b2 , b3 , b4 ∈ k. Luego;
γ(u, β(x, y)) = ϕ([(b1 x + b3 y)u, b2 x + b4 y]).
Observemos que para cada u ∈ Asym la forma bilineal (x, y) 7→ [xu, y] es una forma
bilineal alternada, por lo tanto [xu, x] = 0 para cada x ∈ V, u ∈ Asym . Luego;
γ(u, β(x, y)) = ϕ((b1 b4 − b2 b3 )[xu, y]) = ϕ([xu, y]) = γ(u, (x, y)),
∀x, y ∈ V, u ∈ Asym .
CAPÍTULO 6. REPRESENTACIÓN DE WEIL PARA OQ (2N, 2N ).
32
Entonces;
ϕ((b1 b4 − b2 b3 − 1)[xu, y]) = 1 ∀ x , y ∈ V, u ∈ Asym .
De esta última igualdad se deduce que b1 b4 −b2 b3 = 1. En efecto, tomemos u ∈ Asym ∩A× ,
x 6= 0 y supongamos que b1 b4 − b2 b3 − 1 6= 0. Fx,u : V −→ k dada por
Fx,u (z) = [(b1 b4 − b2 b3 − 1)xu, z] es un funcional lineal no trivial y por lo tanto es epiyectivo.
Sea λ ∈ k tal que ϕ(λ) 6= 1 y z = z(λ) ∈ V tal que λ = [(b1 b4 − b2 b3 − 1)xu, z], entonces
llegamos a la siguiente contradicción:
ϕ(λ) = ϕ([(b1 b4 − b2 b3 − 1)xu, z]) = 1.
CAPÍTULO 6. REPRESENTACIÓN DE WEIL PARA OQ (2N, 2N ).
6.3.
33
Descomposición de la Representación de Weil
según U (γ, χ).
De acuerdo a [5], podemos encontrar una primera descomposición de la representación
de Weil utilizando el grupo U := U(γ, χ). A continuación hacemos explı́cita dicha descomposición.
Para β ∈ U y x ∈ M denotamos β.x = β(x).
El grupo U actúa naturalmente en W := L2 (M), es decir mediante
σ : U −→ AutC (L2 (M)),
σβ (f )(x) = f (β −1 .x).
Proposición 6.3.1. (Gutierrez, Pantoja, Soto-Andrade)
La acción natural de U en W conmuta con la acción de la Representación de Weil.
Demostración: ver en [5], proposición 7.4.
b el conjunto de representaciones irreducibles de U. De acuerdo a la sección anteSea U
rior, sabemos que U ∼
= SL2 (k), por lo tanto conocemos el conjunto de sus representaciones
irreducibles (ver por ejemplo [13]).
Consideremos la descomposición isotı́pica de W con respecto a U,
W ∼
=
M
nπ Vπ .
b
π∈U
Dado que nπ = dim(HomU (Vπ , W )) = dim(HomU (W, Vπ )), podemos expresar esta descomposición de la siguiente manera:
W ∼
=
M
b
π∈U
(HomU (W, Vπ ) ⊗ Vπ .)
CAPÍTULO 6. REPRESENTACIÓN DE WEIL PARA OQ (2N, 2N ).
34
Si ponemos mπ = dim(Vπ ) obtenemos;
W ∼
=
M
mπ HomU (W, Vπ .)
b
π∈U
El espacio HomU (W, Vπ ) consta de las funciones lineales Θ : W −→ Vπ tales que
Θ ◦ σβ = πβ ◦ Θ ∀ β ∈ U.
(6.1)
Consideremos la base de W dada por las funciones delta de Dirac {ex | x ∈ M} y
la función θ : M −→ Vπ tal que θ(x) = Θ(ex ) para cada x ∈ M. La condición (6.1) se
transforma en:
θ(β.x) = πβ ◦ θ(x) ∀ β ∈ U, x ∈ M.
(6.2)
Recı́procamente, dado θ : M −→ Vπ cumpliendo 6.2, extendemos linealmente y obtenemos
una función Θ : W −→ Vπ que cumple 6.1.
De esta forma, podemos ver el espacio HomU (W, Vπ ) como el espacio de funciones
θ : M −→ Vπ tales que θ(β.x) = πβ ◦θ(x) ∀ β ∈ U, x ∈ M. El grupo G actúa en este espacio,
vı́a la representación de Weil, utilizando las mismas fórmulas definidas en el Teorema 5.2.2.
De igual manera, se puede definir la acción natural del grupo U en este espacio, ya que -al
igual que W - está formado por funciones con dominio M.
L
Denotamos por ρ la acción de Weil de G en W y por ρb la acción de Weil de G en
b
π∈U
mπ HomU (W, Vπ ).
35
CAPÍTULO 6. REPRESENTACIÓN DE WEIL PARA OQ (2N, 2N ).
Entonces debido a cómo se define la representación de Weil, existen escalares Kg (x, y) ∈ C
L
que sólo dependen de g ∈ G y x, y ∈ M , tal que para cada f ∈ W , Λ ∈ π∈Ub mπ HomU (W, Vπ )
se tiene;
ρg (f ) =
X
Kg (·, y)f (y);
(6.3)
X
Kg (·, y)Λ(y).
(6.4)
y∈M
ρbg (Λ) =
Lema 6.3.2. (W, ρ) y (
L
b
π∈U
y∈M
mπ HomU (W, Vπ ), ρb) son representaciones isomorfas de G.
L
Demostración: sea F el isomorfismo lineal entre W y π∈Ub mπ HomU (W, Vπ ), entonces:
P
P
F (ρg (f )) = F ( y∈M Kg (·, y)f (y)) = y∈M Kg (·, y)F (f (y)) = ρbg (F (f )).
Luego, F es un isomorfismo de representaciones.
Finalmente, tenemos:
Proposición 6.3.3. El espacio HomU (W, Vπ ) es invariante bajo la acción de Weil de G.
Demostración: sean g ∈ G, θ ∈ HomU (W, Vπ ), β ∈ U, x ∈ M:
ρg θ)(x),
(b
ρg θ)(β.x) = σβ −1 (b
= ρbg (σβ −1 θ)(x),
= ρbg (πβ ◦ θ)(x),
(definición de σβ )
(Proposición 6.3.1)
(σβ −1 (θ) = πβ ◦ θ)
= πβ (b
ρg θ(x).)
La última igualdad resulta de (6.4).
Ası́ se obtiene una primera descomposición de la Representación de Weil (W, ρ).
CAPÍTULO 6. REPRESENTACIÓN DE WEIL PARA OQ (2N, 2N ).
36
La irreducibilidad de las componentes obtenidas queda como un problema abierto. Conjeturamos que estas representaciones son irreducibles salvo para ciertas representaciones
patológicas de SL2 (k) por determinar.
Bibliografı́a
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[2] Dieudonné J.. Sur les groupes classiques. Hermann. 1967
[3] Fulton W. & Harris J.. Representation Theory: A First Course. Springer-Verlag.
1991
[4] Groove L.. Classical groups and geometric algebra. Graduate Studies in Mathematics,
AMS. 2002
[5] L. Gutierrez, J.Pantoja & J. Soto Andrade. On Generalized Weil Representations over Involutive Rings. Contemporary Mathematics 544 (2011).
[6] M. Knus, A. Merkurjev, M. Rost & J. Tignol. The Book of Involutions.AMS
Colloquium Publications. 44 1998.
[7] J. Pantoja & J. Soto-Andrade. A Bruhat decomposition of the group Sl∗ (2, A).
Journal of Algebra 262 (2003)
[8] J. Pantoja. A presentation of the group Sl∗ (2, A), A a simple artinian ring with
involution. Manuscripta math. 121 (2006)
[9] J. Pantoja & J. Soto-Andrade. Bruhat presentations for ∗− classical groups. Communications in Algebra 37 (2009).
[10] Serre J.. Linear Representations of Finite Groups. Springer-Verlag. 1977
[11] Shale D..Linear symmetries of free Boson fields. Trans. Amer. Math. Soc. 103 1962.
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BIBLIOGRAFÍA
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[12] J. Soto-Andrade. Représentations de certain groupes symplectiques finis. Bull. Soc.
Math. France Mem. 55-56 (1978).
[13] Tanaka S.. Construction and classification of irreducible representations of special linear
group of the second order over a finite field. Osaka J. Math. 4 (1967).
[14] Weil A..Sur certains groupes d’opérateurs unitaires. Acta Math. 111 1964.
Andrea Vera Gajardo
Dep. de Matemáticas, Fac. de Ciencias, Univ. de Chile
Las Palmeras 3425, Ñuñoa, Santiago, Chile
Email: [email protected]