MODULO_MATEMATICA_BASICA_1_

INSTITUTO SUPERIOR TECNOLÓGICO
“DAVID AUSUBEL”
INSTITUTO SUPERIOR TECNOLÓGICO
“DAVID AUSUBEL”
GUIA DIDÁCTICA TUTOR:
MATEMATICA BASICA
AUTOR: ING. DIEGO GONZALEZ
1
MODULO DE MATEMATICA BASICA
INSTITUTO SUPERIOR TECNOLÓGICO
“DAVID AUSUBEL”
NOTA:
EN
ESTE
TEXTO
GUIA
SE
ENCUENTRA
DESARROLLADOS
LOS
TEMAS
QUE
CORRESPONDEN A ESTE MÓDULO, Y LAS TAREAS QUE USTED DEBERÁ DESARROLLAR
EN EL AULA COMO EXPLICACION O CON LOS ESTUDIANTES COMO PRACTICA DE LOS
CONTENIDOS.
1. EL TUTOR TIENE LA OBLIGACION DE EXPLICAR PASO A PASO TODOS LOS
TEMAS QUE SE ENCUENTRAN EN EL MODULO.
2. ESTUDIANTE TIENE LAS OPORTUNIDADES QUE SEAN NECESARIAS PARA
ACLARAR LOS TEMAS QUE NO COMPRENDA MEDIANTE LA EXPLICACIÓN DEL
TUTOR
YA
SEA
DE
MANERA
PRESENCIAL
O
MEDIANTE
EL
CORREO
ELECTRONICO.
3. LAS TAREAS SERAN ENVIADAS POR EL TUTOR, DE ACUERDO A LOS TEMAS
EXPLICADOS Y BAJO SU MEJOR CRITERIO.
4. ES OBLIGACION DEL ESTUDIANTE ASISTIR A CADA UNA DE LAS TUTORÍAS
PRESENCIALES PROGRAMADAS EN EL CALENDARIO DE ACTIVIDADES.
5. TODO TRABAJO DEL ESTUDIANTE SERÁ EVALUADO CUANTITATIVAMENTE.
6. AL FINAL EL TUTOR EVALUARA EL MÓDULO EN SU TOTALIDAD.
7. DE REQUERIR CUALQUIER INFORMACION DIRIGIRSE AL CORREO DE LA
DIRECCION ACADEMICA Y SERA ATENDIDO DE INMEDIATO.
GRACIAS.
OBJETIVOS
Fortalecer los conocimientos adquiridos durante los estudios secundarios en lógica teoría de
conjunto, algebra, funciones y soluciones de ecuaciones que le permite al estudiante asentar una
base suficientemente sólida para sus aplicaciones a los cursos superiores de matemáticas y
promover en el estudiante un pensamiento matemático que les permita relacionar, diferenciar e
2
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inducir soluciones a problemas y definiciones, para su formación científica, promoviendo hábitos de
participación, disciplina de estudio y perseverancia en la solución de problemas prácticos.
INTRODUCCIÓN
La asignatura Matemática Básica, representa el primer paso en el contenido del área de las
Matemáticas, es de mucha importancia, que los estudiantes que cursen esta asignatura,
comprendan que los modelos matemáticos le servirán para la solución de problemas concretos
que sean propios de la carrera que están cursando, debe asimilar que para llegar a aplicar modelos
matemáticos concretos, debe recorrer al menos el camino mínimo que incluye el estudio de
aquellos temas que sean fundamentales para el planteamiento, solución, interpretación y
aplicación de modelos matemáticos en las ciencias económicas, administrativas y las Ingenierías.
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INDICE
1. LOGICA MATEMATICA
1.1.
1.2.
1.3.
1.4.
1.5.
CONJUNCION
DISYUNCION
CONDICIONAL
BICONDICIONAL
EJERCICIOS
2. TEORIA DE CONJUNTOS
2.1.
2.2.
2.3.
2.4.
GRAFICA DE CONJUNTOS
CARDINAL DE UN CONJUNTO
OPERACIONES CON CONJUNTO
CLASES DE CONJUNTOS
2.4.1.CONJUNTO FINITO
2.4.2.CONJUNTO INFINITO
2.4.3.CONJUNTO UNITARIO
2.4.4.CONJUNTO UNIVERSO
2.5. PROPIEDADES DE AGRUPACION EN CONJUNTOS
2.5.1.LEY DISTRIBUTIVA EN CONJUNTOS
3. MATRICES
3.1. EJERCICIOS
4. ECUACIONES LINEALES
4.1. CLASES DE METODOS
4.1.1.METODO DE REDUCCION
4.1.2.METODO DE SUSTITUCION
4.1.3.METODO DE DETERMINANTES
4.1.4.METODO DE REDUCCION DE FILAS
4.1.5.GRAFICA
4.2. EJERCICIOS
5. PROYECCION DE DEMANDA
5.1.
5.2.
5.3.
5.4.
COMO PROYECTAR LA DEMANDA
GRAFICA
GRADO DE CORRELACION
EJERCICIOS
6. PROGRESIONES
6.1. PROGRESION ARITMETICA
6.2. PROGRESION GEOMETRICA
6.3. EJERCICIOS
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1. UNIDAD
LOGICA MATEMATICA
LOGICA MATEMATICA
En la lógica se usa la simbología: p, q, r, s, t
La lógica o proposición es una oración gramatical la cual puede ser solo verdad o solo falso, nunca
los dos al mismo tiempo.
Ejemplos:
- la capital del Ecuador es Quito
-
3+5=9
Se conoce también como valores de verdad a dichas proposiciones. Existe una simbología para
determinar cada cuadro de valor de verdad:
#Cⁿ donde C → combinaciones (V o F)
n → numero de proposiciones
Ejemplo:
p
q
V
V
F
F
V
F
V
F
2² = 4; cuatro niveles
EN CODIGO BINARIO
p
1
1
0
0
Q
1
0
1
0
5
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p
V
V
V
V
F
F
F
F
q
V
V
F
F
V
V
F
F
r
V
F
V
F
V
F
V
F
EN CODIGO BINARIO
p
1
1
1
1
0
0
0
0
q
1
1
0
0
1
1
0
0
r
1
0
1
0
1
0
1
0
CONJUNCION
Acepta solo valores verdaderos como Verdaderos, todo lo demás es Falso
p
q
V
V
F
F
V
F
V
F
V
F
F
F
→
Conjunción
DISYUNCION
Acepta que por lo menos uno de los valores de verdad sea Verdadero, lo demás es Falso
p
q
V
V
F
F
V
F
V
F
V
V
V
F
→
→
→
Disyunción
Disyunción
Disyunción
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→CONDICIONAL
Una sola condición: Si el primer valor comienza como verdadero y el segundo es falso, el
resultado es Falso, todo lo demás es Verdadero
p
q
→
V
V
F
F
V
F
V
F
V
F
V
V
→
Condicional
↔BICONDICIONAL
Acepta los dos valores iguales como Verdaderos, lo demás es Falso
p
q
↔
V
V
F
F
V
F
V
F
V
F
F
V
→
Bicondicional
→
Bicondicional
EJERCICIOS:
1) RESOLVER LOS SIGUIENTES EJERCICIOS:
a. (p → q) ↔ (p ∆~ q)
(p
V
V
F
F
→
V
F
V
V
q)
V
F
V
F
↔ (p
F V
F V
F F
F F
∆
F
V
F
F
~
F
V
F
V
q)
V
F
V
F
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El resultado es una contradicción
b. [(p → q) ∆ (q → r)] → (p → r)
[(p
V
V
V
V
F
F
F
F
→
V
V
F
F
V
V
V
V
q)
V
V
F
F
V
V
F
F
∆
V
F
F
F
V
F
V
V
(q
V
V
F
F
V
V
F
F
→
V
F
V
V
V
F
V
V
r)]
V
F
V
F
V
F
V
F
→
V
V
V
V
V
V
V
V
(p
V
V
V
V
F
F
F
F
→
V
F
V
F
V
V
V
V
r)
V
F
V
F
V
F
V
F
EL RESULTADO ES UNA CONTRADICCION
c. {[(p → q) ∆ (q ↔ r)] ∇~ [(r→~ p) ∆ (q → ~ r)]}
~
{[(P
→
F
V
F
V
F
V
V
F
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
F
V
F
V
F
F
V
V
V
V
F
V
F
F
F
F
F
V
F
V
V
V
V
V
F
V
F
F
F
F
F
V
V
V
V
F
F
V
F
F
V
F
V
V
F
F
F
F
V
F
F
F
F
V
F
V
V
F
V
V
F
F
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
F
F
V
F
F
V
F
V
V
F
V
F
F
F
F
F
V
V
F
V
V
V
V
F
F
V
F
F
F
F
V
F
F
V
V
V
F
V
F
V
F
V
F
V
F
V
F
V
F
V
F
F
V
V
F
V
F
V
V
F
q)
∆
(q
↔
r)]
𝛁
~
[(r
→
~
p)
∆
(q
→
EL RESULTADO ES UNA CONTINGENCIA
8
MODULO DE MATEMATICA BASICA
~
r)]}
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d. [(𝑝 ∆ 𝑟) ∇ q] → [p ∇ (q ↔ r)]
[(p
V
V
V
V
F
F
F
F
∆
V
F
V
F
F
F
F
F
r)
V
F
V
F
V
F
V
F
𝛁
V
V
V
F
V
V
F
F
q]
V
V
F
F
V
V
F
F
→
V
V
V
V
V
F
V
V
[p
V
V
V
V
F
F
F
F
𝛁
V
V
V
V
V
F
F
V
(q
V
V
F
F
V
V
F
F
↔
V
F
F
V
V
F
F
V
r)]
V
F
V
F
V
F
V
F
ES UNA CONTINGENCIA
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2. UNIDAD
TEORIA DE CONJUNTOS
TEORIA DE CONJUNTOS
A los conjuntos se los representa con una letra mayúscula; A, B, C, D,…
A los elementos se los representa con letra minúscula; a, b, c, d,…
Extensión: cuando se identifica con claridad a cada uno de los elementos.
Ejemplo:
A = {a, e, i, o, u}
SIMBOLOS DE CONJUNTOS
Existen varias formas de operar conjuntos entre sí, las cuales son:
C = contiene
U = unión
∩ = intersección
∈ = pertenece
∉ = no pertenece
∃ = existe al menos uno
∀ = para todos
GRÁFICA DE CONJUNTOS:
a
b
c
d
10
e
a
b
c
a
b c
d e
d
e
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CARDINAL DE UN CONJUNTO:Es el número de elementos de un conjunto.
Ejemplo:
n ( A ) → Número de elementos del conjunto A
n ( B ) → Número de elementos del conjunto B
OPERACIONES CON CONJUNTOS:
AUB
AΩB
A’ → A complemento
Ø → No existe
CLASES DE CONJUNTOS:
1.- Conjunto Finito: Aquelconjunto donde sus elementos pueden ser contados.
Ej. ( las vocales )
2.- Conjunto Infinito: Aquelconjunto donde sus elementos no están definidos en su
número. Ej. ( Todos los números )
3.- Conjunto Unitario: Aquelque representa un elemento de su especie. Ej. Mamá.
4.- Conjunto Universo: Es la totalidad de elementos de una categoría. Ej. Universo de la
especie humana.
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EJERCICIOS:
PROPIEDADES DE AGRUPACIÓN EN CONJUNTOS:
PROPIEDAD DE A U B
A
a
b
c
A4
d
e
a
3
b
c
48
d
B
e
AUB=n(A)+n(B)–n(AΩB)
AUB=(4+3)+(3+8)–3
A U B = 7 + 11 – 3
A U B = 15
Comprobación: 4 + 3 + 8 = 15
PROPIEDAD DE A U B U C
AUBUC=n(A)+n(B)+n(C)– n(AΩB)-n(AΩC)-n(BΩC)-n(AΩBΩC)
A U B U C = 32 + 74 + 27 – 11 – 15 - ( - 3 ) + 3
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A U B U C = 133 – 26 + 3 + 3
A U B U C = 113
LEY DISTRIBUTIVA DE CONJUNTOS
AU (B∩C) = (AUB) ∩(AUC)
Si:
9 10
11 12
8
9 10
A
B
11 13 14
18
20
C
A U ( BΩ C ) = ( A U B ) Ω ( A U C )
n ( A ) = ( 8, 9, 10 )
n ( B ) = ( 9, 10, 11, 12 )
n ( C ) = ( 11, 13, 14, 18, 20 )
B Ω C = 11
ANALIZANDO LOS DATOS QUE TENEMOS
n (A)= (8, 9, 10)
B∩C = 11
n (B)= (9, 10, 11, 12)
AU (B∩C) = (8, 9, 10, 11)
n (C)= (11, 13, 14, 18, 20)
AUB = (8, 9, 10, 11, 12)
las dos respuestas son iguales, por
AUC = (8, 9, 10, 11, 13, 14, 18, 20)
lo tanto la ley se cumple.
Entonces:
(AUB) ∩(AUC) = (8, 9, 10, 11)
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Ejercicio de aplicación
a) En el instituto David Ausubel, 100 alumnos han rendido tres exámenes, de ellos 40
aprobaron física, 39 aprobaron matemáticas y 48 castellano. 10 aprobaron los tres
exámenes, 21 no aprobaron examen alguno, 9 aprobaron física y matemáticas, pero no
castellano; 19 no aprobaron física y matemáticas pero si castellano; 10 aprobaron física y
castellano, pero no matemáticas. ¿Cuántos aprobaron por lo menos dos exámenes?
21
Según nuestros datos del ejercicio:
n (FISICA) = 40
n (MATEMATICAS) = 39
n (CASTELLANO) = 48
Los que no aprobaron examen alguno son 21
z = 10
h = 21
d=9
c = 19
e = 10
a = 11
b = 11
Otra forma de resolver el ejercicio el de la forma de ecuaciones obtenidas del siguiente
análisis
14
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a, b, c
De las x = alumnos que pasaron una sola materia
d, e, f
de las y = alumnos que pasaron dos materias
esta incógnita vendrá a responder la pregunta que nos hace el ejercicio
Y la z = alumnos que pasaron las tres materias
Haciendo este análisis los conjuntos quedarían de la siguiente forma
n (F) = (a, b, e, z)
n (M) = (b, d, f, z)
n (C) = (c, e, f, z)
Obteniendo:
a, b, c, 2d, 2e, 2f, 3z
x
2y
Transformamos a ecuación:
x+2y+3z=127; como ya en el ejercicio nos da el dato de las z, entonces:
x+2y+ (3*10)=127
x+2y = 97
primera ecuación
x+y+z= 100-21
x+y+10 = 79
x+y = 69
segunda ecuación
Operando las dos ecuaciones pos la forma más sencilla
x + 2y = 97
-x - y = -69
y = 28
15
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El resultado a la pregunta del ejercicio da 28 que son los alumnos que aprobaron por lo menos dos
de las materias.
3. UNIDAD
MATRICES Y ECUACIONES LINEALES
MATRICES.
A=
A-B=
A-B=
A= [
[
[
4
6
-2
5
4-2,
6-3.
.-2-5
[
2
3
-7
-1
4 6
]
−2 5
AxB=
AxB=
5-6.
B= [
[
[
]
A=
]
A+B=
]
A+B=
[
[
[
4
6
-2
5
4+2,
6+3.
.-2+5
5+6.
6
9
3
11
]
]
]
2 3
]
5 6
4x2+6x5
4x3+6x6
.-2x2+5x5
.2x3+5x6
38
48
21
24
]
]
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1
MATRIZ IDEMPOTENCIA = [
0
0
]
1
EJERCICIOS
1.
−2 2 3
1
A = [ 0 1 2]I = [0
3 0 1
0
0 0
1 0]
0 1
Evaluar 𝐴2 − 5𝐴 + 3𝐴
Para realizar el ejercicio, lo hacemos buscando uno por uno los términos:
−2 ∗ −2 + 2 ∗ 0 + 3 ∗ 3 −2 ∗ 2 + 2 ∗ 1 + 3 ∗ 0 −2 ∗ 3 + 2 ∗ 2 + 3 ∗ 1
𝐴2 = [ 0 ∗ −2 + 1 ∗ 0 + 2 ∗ 3
0∗2+1∗1+2∗0
0∗3+1∗2+2∗1 ]
3 ∗ −2 + 0 ∗ 0 + 1 ∗ 3
3∗2+0∗1+1∗0
3∗3+0∗2+1∗1
13 −2 1
𝐴2 = [ 6
1
4]
−3 6 10
−2 2 3
−10 10 15
5𝐴 = 5 [ 0 1 2] 5𝐴 = [ 0
5 10]
3 0 1
15
0
5
3 0 0
3𝐼 = [0 3 0]
0 0 3
Ahora:
17
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13 −2 1
3 0 0
−10 10 15
𝐴2 − 5𝐴 + 3𝐴 = [ 6
1
4 ]− [ 0
5 10] + [0 3 0]
−3 6 10
0 0 3
15
0
5
26 −12 −14
𝐴2 − 5𝐴 + 3𝐴 = [ 6
−1
−6 ]
−18
6
8
2.
2
𝐴 = [1
1
3 −2
5 0]
3 0
Evaluar𝐴3 + 5𝐴
2 ∗ 2 + 3 ∗ 1 + (−2) ∗ 1 2 ∗ 3 + 3 ∗ 5 + (−2) ∗ 3 2 ∗ −2 + 3 ∗ 0 + (−2) ∗ 0
𝐴2 = [ 1 ∗ 2 + 5 ∗ 1 + 0 ∗ 1
1∗3+5∗5+0∗3
1 ∗ −2 + 5 ∗ 0 + 0 ∗ 0 ]
1∗2+3∗1+0∗1
1∗3+3∗5+0∗3
1 ∗ −2 + 3 ∗ 0 + 0 ∗ 0
2 3
5 15 −4
𝐴2 = [7 28 −2] 𝐴 = [1 5
1 3
5 18 −2
5 ∗ 2 + 15 ∗ 1 + (−4) ∗ 1
𝐴2 ∗ 𝐴 = [7 ∗ 2 + 28 ∗ 1 + (−2) ∗ 1
5 ∗ 2 + 18 ∗ 1 + (−2) ∗ 1
−2
0]
0
5 ∗ 3 + 15 ∗ 5 + (−4) ∗ 3
7 ∗ 3 + 28 ∗ 5 + (−2) ∗ 3
5 ∗ 3 + 18 ∗ 5 + (−2) ∗ 3
5 ∗ −2 + 15 ∗ 0 + (−4) ∗ 0
7 ∗ −2 + 28 ∗ 0 + (−2) ∗ 0]
5 ∗ −2 + 18 ∗ 0 + (−2) ∗ 0
21 78 −10
𝐴3 = [40 155 −14]
26 99 −10
10 15 −10
5𝐴 = [ 5 25
0 ]
5 15
0
Realizando el ejercicio:
31 93 −20
𝐴3 + 5𝐴 = [45 180 −14]
31 114 −10
18
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𝑎𝑥 + 𝑏 = 𝑐, 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑥 𝑒𝑠 𝑢𝑛𝑎 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑏𝑙𝑒, 𝑦 𝑎, 𝑏, 𝑐 𝑠𝑜𝑛 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒𝑠, 𝑠𝑖𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑐 ≠ 0
Una ecuación lineal es aquella en la que involucra solamente sumas y restas de variables que están
elevadas únicamente a la potencia uno, que no se la pinta en la ecuación, solo queda
representada. También se sabe que una ecuación lineal al graficarla en el plano cartesiano siempre
nos da como su nombre mismo lo dice una línea recta como grafica.
Ejemplos:
2𝑥 + 𝑦 = 4
𝑥 − 2𝑦 = 2
19
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Para resolver las ecuaciones lineales existen varios métodos, las cuales son:
a)
b)
c)
d)
Método de REDUCCION
Método de SUTITUCION
Método de DETERMINATES
Método de REDUCCION DE FILAS(matriz idempotencia)
Para estudiar a cada uno de los métodos, tomaremos como ejemplos a las ecuaciones anteriores
2𝑥 + 𝑦 = 4 (1)
𝑥 − 2𝑦 = 2 (2)
a) Método de reducción
En este método lo que trata es de eliminar a una de las variables
Si a la (2) ecuación se la multiplica por -2 tenemos:
2x +
y= 4
Remplazando Y en la primera ecuación
−2𝑥 + 4𝑦 = −4
2𝑥 + 0 = 4
̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅
5𝑦 = 0
2𝑥 = 4
𝑦 = 0𝑥 = 2
𝑟𝑒𝑎𝑙𝑖𝑧𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑙𝑎 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑟𝑜𝑏𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑒 𝑙𝑜𝑠 𝑟𝑒𝑠𝑢𝑙𝑡𝑎𝑑𝑜𝑠, reemplazando la X y Y en una de las
ecuaciones.
2(2) + 0 = 4
4+0=4
𝟒=𝟒
Se cumple la igualdad por lo tanto el resultado es valido
b) Método de sustitución
En este método se realiza el despeje de cualquiera de las variables y se la reemplaza en la
otra ecuación que no se realizo dicho despeje, entonces:
𝑑𝑒𝑠𝑝𝑒𝑗𝑎𝑛𝑑𝑜 "y" 𝑒𝑛 𝑙𝑎 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑟𝑎 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑡𝑒𝑛𝑒𝑚𝑜𝑠: 𝑦 = 4 − 2𝑥
20
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"y" En la segunda ecuación 𝑥 − 2(4 − 2𝑥) = 2
𝑥 − 8 + 4𝑥 = 2
𝑥 + 4𝑥 = 2 + 8
5𝑥 = 10
𝑥=
𝑥=2
10
5
, y “x” en y:
𝑦 = 4 − 2(2)
𝑦 =4−4
𝑦=0
Dando el mismo resultado
Anterior.
c) Método de determinantes
En este método al sistema de ecuaciones se lo transforma en matriz utilizando
determinantes, solo cogiendo los valores independientes.
2
[
1
1 4
]
−2 2
Valores independientes
Valores de la “y”
Valores de las “x”
Ahora calculamos:
∆= 2(−2) − (1)(1)
∆= −4 − 1
∆= −5
𝑒𝑙 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑑𝑒 "𝑥"
4 1
[
] −8 − 2 −10
𝑥 = 2 −2 =
=
−5
−5
−5
𝒙=𝟐
El valor de “y”
2 4
[
] 4−4
0
𝑦= 1 2 =
=
−5
−5
−5
21
MODULO DE MATEMATICA BASICA
INSTITUTO SUPERIOR TECNOLÓGICO
“DAVID AUSUBEL”
𝒚 = 𝟎 ; También nos da el mismo resultado anterior
d) Método de reducción de filas
En este método se trata de que la matriz de nuestras ecuaciones se transforme en una
matriz identidad, utilizando las cuatro operaciones fundamentales que son: suma, resta,
multiplicación, división. Utilizándolas correctamente.
2 1 4
1 0
Siendo la matriz [
] , tenemos que transformarla a [
], que es la matriz
1 −2 2
0 1
identidad.
2𝑥 + 𝑦 = 4 (1)
𝑥 − 2𝑦 = 2 (2)
(1)-(2) — (1)
2𝑥 + 𝑦 = 4
1
[
1
3 2
]
−2 2
1
[
0
3 2
]
5 0
1
[
0
3 2
]
1 0
1
[
0
0 2 → 𝑒𝑙 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑐𝑜𝑟𝑟𝑒𝑠𝑝𝑜𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑎 "𝑥"
]
1 0 → 𝑒𝑙 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑐𝑜𝑟𝑟𝑒𝑠𝑝𝑜𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑎 "𝑦"
−𝑥 + 2𝑦 = −2
̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅
𝒙 + 𝟑𝒚 = 𝟐
(1)-(2) – (2)
𝑥 + 3𝑦 = 2
−𝑥 + 2𝑦 = −2
̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅
𝟓𝒚 = 𝟎
(2)/5 – (2)
0𝑥 + 5𝑦 = 0 (÷ 5)
𝟎𝒙 + 𝒚 = 𝟎
(2)*-3 + (1) – (1)
0𝑥 − 3𝑦 = 0
22
MODULO DE MATEMATICA BASICA
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“DAVID AUSUBEL”
𝑥 + 3𝑦 = 2
̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅
𝒙 + 𝟎𝒚 = 𝟐
Cumpliéndose con los resultados anteriores
e) Grafica
5
4
3
2x+y=4
2
1
0
-1 0
1
2
3
4
5
-2
-3
-4
x-2y=2
-5
Y
4
3
2
1
23
MODULO DE MATEMATICA BASICA
INSTITUTO SUPERIOR TECNOLÓGICO
“DAVID AUSUBEL”
-4 -3 -2 -1
-1
-2
-3
-4
1
2
3
4
X
4. UNIDAD
PROYECCIONES
PROYECCION DE DEMANDA
Las “x” corresponden a la cantidad
Las “y” corresponden al precio, entonces:
n
x
2007
2008
2009
2010
2011
n=5
-2
-1
0
1
2
0
y
x*y
60
75
80
90
95
400
-120
-75
0
90
190
85
𝒙𝟐
4
1
0
1
4
10
𝒚𝟐
3600
5625
6400
8100
9025
32750
24
MODULO DE MATEMATICA BASICA
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“DAVID AUSUBEL”
Formulas:
𝑦 = 𝑎 + 𝑏𝑥
𝑎 = 𝑦̅ − 𝑏𝑥̅
Pendiente; 𝑏
=
𝑛 ∑ 𝑥𝑦−(∑ 𝑥)(∑ 𝑦)
𝑛 ∑ 𝑥 2 −(∑ 𝑥)2
Calculamos con los datos del ejercicio;
𝑦̅ =
∑ 𝑦 400
=
= 80
𝑛
5
𝑥̅ =
∑𝑥 0
= =0
𝑛
5
La pendiente:
𝑏=
5(85)−0(400)
𝑏=
425
5(10)−(0)2
50
𝑏 = 8.5
𝑎 = 𝑦̅ − 𝑏𝑥̅
𝑎 = 80 − (8.5)(0)
𝑎 = 80
𝑦 = 𝑎 + 𝑏𝑥
2012 = 80 + (8.5)(3)
2013 = 80 + (8.5)(4)
2012 = 80 + 25.5
2013 = 80 + 34
2012 = 105.5
2013 = 114
GRADO DE CORRELACION
25
MODULO DE MATEMATICA BASICA
INSTITUTO SUPERIOR TECNOLÓGICO
“DAVID AUSUBEL”
[𝑛 ∑ 𝑥𝑦 − (∑ 𝑥) (∑ 𝑦)]2
2
𝑟 =
2
[𝑛 ∑ 𝑥 2 − (∑ 𝑥) ][𝑛 ∑ 𝑦 2 − (∑ 𝑦)2 ]
[5(85) + (0)(400)]2
𝑟 =
[5(10) + (0)2 ][5(32750) − (400)2 ]
2
4252
𝑟 =
(50)(163750 − 160000)
2
180625
𝑟 2 = (50)(3750)
𝑟2 =
180625
𝑟 2 = 0.9633
187500
𝑟 2 ∗ 100% = 0.96 ∗ 100% =96.33%
Grafica:
120
100
80
60
40
20
0
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
la demanda es de 96.33%
26
MODULO DE MATEMATICA BASICA
INSTITUTO SUPERIOR TECNOLÓGICO
“DAVID AUSUBEL”
5. UNIDAD
PROGRESIONES
PROGRESIONES
Progresión aritmética
Es una asociación de números que siguen una misma sucesión u orden lógico, y a cada elemento
se le conoce como termino.
Ejemplos:
6, 11, 16, 21,…
54, 50, 46, 42,…
Fórmula para hallar un término especifico
𝐿 = 𝑎 + (𝑛 − 1)𝑑
27
MODULO DE MATEMATICA BASICA
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“DAVID AUSUBEL”
Donde:
L = último término
𝑎 = 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑟 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜
𝑛 = 𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜𝑠
𝑑 = 𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑐𝑜𝑚ú𝑛
Ejemplo: encontrar el decimo termino de 6, 11, 16, 21,…
𝐿 = 𝑎 + (𝑛 − 1)𝑑
𝐿 = 6 + (10 − 1)5
la formula satisface el
𝐿 = 6 + 45
Ejercicio.
𝐿 = 51
En la comprobación tenemos; 6, 11, 16, 21, 26, 31, 36, 41, 46, 51
Ejercicio: Encontrar el decimo termino de 54, 50, 46……………….
𝐿 = 𝑎 + (𝑛 − 1)𝑑
𝐿 = 54 + (10 − 1)(−4)
la formula satisface el
𝐿 = 54 + (9)(−4)
Ejercicio.
𝐿 = 18
En la comprobación tenemos de 54, 50. 46, 42, 38, 34, 30, 26, 22, 18
Fórmula para halla la suma de “n” términos:
S= n/2(a+l)
S= Sumatoria
n= # de términos
a= primer termino
l= ultimo termino
Ejemplo a) Hallar la suma de los 10 primeros términos de 6, 11, 16……….
28
MODULO DE MATEMATICA BASICA
INSTITUTO SUPERIOR TECNOLÓGICO
“DAVID AUSUBEL”
S=?
n= 10
a= 6
l= 51
S= 10/2(6+51)
la formula satisface el
S= 5(57)
Ejercicio
S= 285
En la comprobación tenemos; 6+11+16+21+26+31+36+41+46+51= 285
Ejemplo Hallar la suma de los 10 primeros términos
S=?
N= 10
A= 54
L= 18
S= 10/2(54+18)
la formula satisface el
S= 5(72)
Ejercicio
S= 360
En la comprobación tenemos 54+50+46+42+38+34+30+26+22+18=360
PROGRESION GOEMETRICA
Igual que la progresión aritmética, este también en una asociación de números en diferencia que
esta se relaciona con una razón.
Ejemplos:
4, -8, 16, -32,..
729, 486, 324,…
Fórmula para hallar un número especifico
29
MODULO DE MATEMATICA BASICA
INSTITUTO SUPERIOR TECNOLÓGICO
“DAVID AUSUBEL”
𝐿 = 𝑎𝑟 𝑛−1 ,
Donde:
L=ultimo termino
a=primer termino
r= razón
n=numero de términos
Ejemplo:
encontrar el decimo termino de 4, -8, 16, -32,..
𝐿 = 4(−2)10−1
𝐿 = 4(−2)9
𝐿 = 4(−512)
𝐿 = −2048
Fórmula para hallar la sumatoria de varios términos
𝑆=
𝑎 − 𝑟𝑙
1−𝑟
Ejemplo:
encontrar la sumatoria del ejercicio anterior
𝑆=
4 − (−2)(−2048
1 − (−2)
𝑆=
4 − 4096
3
𝑆=
−4092
3
=-1364
Ejercicios de progresiones;
1) Hallar el quinceavo termino y la suma de los quince primeros términos de las siguientes
progresiones:
a) 2, 8, 14, 20,…
b) 3, 8, 13, 18,…
Resolución
a. 𝐿 = 2 + (15 − 1)6
𝐿 = 2 + (14)6
𝐿 = 2 + 84
30
MODULO DE MATEMATICA BASICA
INSTITUTO SUPERIOR TECNOLÓGICO
“DAVID AUSUBEL”
𝐿 = 86
𝑆=
15
(2+86)
2
15
(88)
2
𝑆 = 660
b. 𝐿 = 3 + (15 − 1)5
𝐿 = 3 + 70
𝐿 = 73
𝑆=
15
(3 + 73)
2
15
𝑆 = 2 (76)
𝑆=
𝑆 = 570
2) Hallar la suma de:
a) Los primeros diez términos de: 160, 148, 136, 124,…
b) Los primeros doce términos de: 600, 546.76, 493.52,...
Resolución
a. 𝐿 = 160 + (10 − 1)(−12)
𝐿 = 160 + (−108)
𝐿 = 52
10
(160 + 52)
2
𝑆 = 5(212)
𝑆 = 1060
𝑆=
b. 𝐿 = 600 + (12 − 1)(−53.24)
𝐿 = 600 + (−585.64)
𝐿 = 14.36
𝑆 = 6(600 + 14.36)
𝑆 = 3686.16
3) Hallar la suma de:
a) Los primeros doscientos enteros positivos
b) Los primeros cien números pares
Resolución:
a. 𝑆 =
200
(1 +
50
200)
𝑆 = 100(201)
31
MODULO DE MATEMATICA BASICA
INSTITUTO SUPERIOR TECNOLÓGICO
“DAVID AUSUBEL”
𝑆 = 20100
b. 𝑆 =
100
(0 +
2
200)
𝑆 = 50 ∗ 200
𝑆 = 10000
4) Por la compra de una casa una persona se compromete a pagar 2400 dólares al final del
primer año, 2340 al final del segundo año, 2280 al final del tercer año, y así
sucesivamente. ¿cuánto pagara por la casa si efectúa quince pagos en total?
Resolución.
𝐿 = 2400 + (15 − 1)(−60)
𝐿 = 2400 + (−840)
𝐿 = 1560
15
(2400 + 1560)
2
15
(3960)
𝑆=
2
𝑆 = 29700
5) Encontrar el noveno termino y la suma de los nueve primeros términos de las siguientes
progresiones
a) 3, 6, 12, 24,…
b) 243, 81, 27, 9,…
c) 1, 1.05, (1.05)2 , (1.05)3
Resolución:
a. 𝐿 = 3(2)9−1
𝐿 = 3(2)8
𝐿 = 768
𝑆=
3 − (2)(768)
1−2
𝑆 = 1533
𝑆=
1 9−1
b. 𝐿 = 243 (3)
𝐿=
1
27
1
𝑆=
1
243 − (3 ∗ 27)
2
3
13
27
c. 𝐿 = 1(1.05)8
𝑆 = 364
32
MODULO DE MATEMATICA BASICA
INSTITUTO SUPERIOR TECNOLÓGICO
“DAVID AUSUBEL”
𝐿 = (1.05)8
1 − (1.05)(1.05)8
1 − (1.05)
1 − (1.05)9
𝑆=
−0.05
(1.05)9 − 1
𝑆=
0.05
𝑆=
6) Determinar la cantidad total a repartir si se van a entregar doce premios de 1 dólar, 2
dólares, 4 dólares,….
Resolución:
𝐿 = 1(2)12−1
𝐿 = 2048
1 − 2(2048)
1−2
𝑆 = 4095
7) Cada succión de una bomba de vacio extrae 4% del aire contenido en un tanque. ¿Qué
cantidad de aire habrá en el tanque después de 5º succiones si al principio contenía 1
centímetro cúbico?
Resolución
1𝑐𝑚3 → −4% = 0.96𝑐𝑚3
𝑟 = 0.96
𝐿 = 0.96(0.96)49
𝐿 = 0.96(0.1353)
𝐿 = 0.1299𝑐𝑚3
𝑆=
8) Un edificio tiene un costo de 500000 dólares. Al final de cada año, los propietarios
deducen de su valor determinado al principio del año el 10% por concepto de
depreciación. ¿Cuál será el valor del edificio al final de 25 años?
Resolución:
𝑒𝑑𝑖𝑓𝑖𝑐𝑖𝑜 = 500000 𝑑𝑜𝑙𝑎𝑟𝑒𝑠
10% 𝑑𝑒 𝑑𝑒𝑝𝑟𝑒𝑠𝑖𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛
𝑐(1 − 𝑑)
500000(1 − 0.10)
500000(0.9)
450000
33
MODULO DE MATEMATICA BASICA
INSTITUTO SUPERIOR TECNOLÓGICO
“DAVID AUSUBEL”
1
2
3
⏞
450000 , ⏞
405000 , ⏞
364500
⏟
𝑟=0.9
𝐿 = 450000(0.9)24
𝐿 = 35894.8994
En forma contable:
𝑣𝑐25 = 𝑐(1 − 9)𝑛
𝑣𝑐25 = 500000(1 − 0.10)25
𝑣𝑐25 = 500000(0.9)25
𝑣𝑐25 = 95894.8994
9) Un motor con costo inicial de $ 1050 se deprecia a la tasa de 712 % anual. Determinar su
valor contable al final del séptimo año.
𝑣𝑐7 = 1050(1 − 0.075)7
𝑣𝑐7 = 1050(0.925)7
𝑣𝑐7 = 608.3891
𝑟 = 0.925
𝐿 = 971.25(0.925)6
𝐿 = 608.39
10) A una locomotora con costo de $ 150000 se le ha estimado un valor de salvamento de $
5000 y una vida probable de 30 años. Determinar: (a) la tasa de depreciación anual, (b) el
valor en libros al final del año 20, y (c) el cargo por depreciación del año 25.
30
𝑑 =1− √
5000
150000
30
𝑑 = 1 − √0,033333
𝑑 = 0.107183
𝑑 = 10.7183%
𝑣𝑐20 = 150000(1 − 0.107183)20
𝑣𝑐20 = 15536.1625
𝑐𝑑25 = 𝑣𝑐24 − 𝑣𝑐25
𝑐𝑑25 = 9871.657598 − 8813.583722
𝑐𝑑25 = 1058.1
34
MODULO DE MATEMATICA BASICA
INSTITUTO SUPERIOR TECNOLÓGICO
“DAVID AUSUBEL”
AÑO
Valor contable al
final del año
Cargo por
depreciación
Importe del fondo
para depreciación
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
150.000,00
133.922,70
119.568,60
106.753,00
95.311,00
85.095,37
75.974,68
67.831,56
60.561,24
54.070,17
48.274,82
43.100,63
38.481,01
34.356,54
30.674,14
27.386,42
24.451,09
21.830,37
19.490,55
17.401,52
15.536,39
13.871,17
12.384,43
11.057,04
9.871,92
8.813,83
7.869,15
7.025,72
6.272,69
5.600,37
5.000,11
0,00
16.077,30
14.354,10
12.815,60
11.442,00
10.215,62
9.120,69
8.143,12
7.270,32
6.491,07
5.795,35
5.174,19
4.619,61
4.124,47
3.682,40
3.287,72
2.935,33
2.620,72
2.339,82
2.089,04
1.865,13
1.665,22
1.486,74
1.327,39
1.185,12
1.058,09
944,68
843,43
753,03
672,32
600,26
0,00
16.077,30
30.431,40
43.247,00
54.689,00
64.904,63
74.025,32
82.168,44
89.438,76
95.929,84
101.725,18
106.899,38
111.518,99
115.643,46
119.325,86
122.613,58
125.548,91
128.169,63
130.509,45
132.598,48
134.463,61
136.128,84
137.615,58
138.942,96
140.128,08
141.186,17
142.130,86
142.974,29
143.727,32
144.399,64
144.999,90
11) Un automóvil con costo de $2475 tiene una vida útil de 4 años y un valor de salvamento
de $ 400. (a) determinar la tasa anual de depreciación. (b) preparar una tabla de
depreciación que muestre el valor contable de cada año.
35
MODULO DE MATEMATICA BASICA
INSTITUTO SUPERIOR TECNOLÓGICO
“DAVID AUSUBEL”
4 400
𝑑 =1− √
2475
𝑑 = 0.365953
𝑑 = 36.595337%
año
vcfca
Cd
ifd
0
2475
0
0
1 1569,26633 905,733675 905,7337
2 994,988606 574,2777194 1480,011
3 630,86954 364,1190652 1844,13
4 400,000939 230,8686009 2074,999
36
MODULO DE MATEMATICA BASICA