1.1 El lenguaje algebraico

Material de apoyo de la asignatura de Algebra
Lic. Jesús Sandoval López
Semestre: agosto 2014 enero 2015
1.1 El lenguaje algebraico
En lenguaje algebraico nace en la civilización musulmán en el período de Al–khwarizmi, al cual se le
considera el padre del álgebra. el lenguaje algebraico consta principalmente de las letras de alfabeto y
algunos vocablos griegos. La principal función de lenguaje algebraico es estructurar un idioma que ayude a
generalizar las diferentes operaciones que se desarrollan dentro de la aritmética, por ejemplo: si queremos
sumar dos números cualesquiera basta con decir a + b; donde la letra a indique que es un número
cualquiera de la numeración que conocemos, b de la misma manera que a significa un número cualquiera
de la numeración.
También el lenguaje algebraico ayuda mantener relaciones generales para razonamiento de problemas a
los que se puede enfrentar cualquier ser humano en la vida cotidiana.
Para poder manejar el lenguaje algebraico es necesario comprender lo siguiente:



Se usan todas las letras del alfabeto.
Las primeras letras del alfabeto se determinan por regla general como constantes, es decir,
cualquier número o constante como el vocablo pi.
Por lo regular las letras X., Y y Z se utilizan como las incógnitas o variables de la función o
expresión algebraica.
1.1. 1 Expresiones algebraicas. Es la representación de un símbolo algebraico o de una o más
5 x  3 y a
operaciones algebraicas. Ejemplos: x, a, 4a , a  b c,
x2
Una expresión algebraica es una combinación de letras, números y signos de operaciones. Las
letras suelen representar cantidades desconocidas y se denominan variables o incógnitas. Las
expresiones algebraicas nos permiten traducir al lenguaje matemático expresiones del lenguaje
habitual.
Ejemplo: Expresión algebraica
Expresa el perímetro y el área de un terreno rectangular.
Si suponemos que mide x metros de largo e y metros de ancho, tenemos que:
Perím etro 2 x  2 y
Área  x * y
Ejercicios: De las opciones que se te presentan, escribe en lenguaje algebraico que corresponda al
enunciado
Enunciado
(Lenguaje común)
El doble de un numero cualquiera
Pensamos en
(lenguaje algebraico)
Opciones
x, y , z , n
p
2
Un número cualquiera
La suma de dos números cualquiera
x6
2n
La mitad de un numero cualquiera
3(m  n  p)
y
7
3
y3  7
Pedro tiene 6 años más que Luis
El cubo de y disminuido en 7
El triple de la suma de m, n y p
nm
Término: Es una expresión algebraica que consta de un solo símbolo o de varios símbolos no
4a
separados entre sí por el signo + o -. Así, x, a, 4a , 2 son términos.
3x
Elementos de un término. Son cuatro: el signo, el coeficiente, la parte literal y el grado.
Signo: Los términos positivos van precedidos del signo + y lo negativos del signo -. Así, +a, +10y, +7x2
son términos positivos; el signo más suele omitirse delante de los términos positivos, así, 10y
equivale a +10y, 7x2 equivale a +7x2, mientras que, los términos – x, -15z, - 6bc, – 3/4y, -3x/2y, son
términos negativos.
Cuando un término no va precedido de ningún signo, es positivo.
Coeficiente: generalmente es el primer elemento de los factoras del termino, así, el coeficiente de 6 x ,
4
4
5
5
es 6; el de x 2 z , es , el de  a 2 bc es  .
6
3
6
3
Parte literal: las constituyen las letras que haya en el término. Así, la parte literal de
de 8a 2 b 3 c , es a 2 b 3 c ; la del término 
4 2
2
x z es x z ; la
3
5 2
2
a bc , es a bc .
6
El grado: puede ser de dos clases: absoluto y relativo o con relación a una letra.
El grado absoluto de un término es la suma de los exponentes de sus factores literales. Así, el
termino 4 x es de primer grado ya que el exponente del factor literal x es 1. El término ab es de
1
segundo grado porque la suma de los exponentes de sus factores es 1+1=2 y así, a 2 b 3 es de quinto
3
grado porque la suma de los exponentes de la parte literal es 5.
1 2 3
m n ,
3
es de segundo grado con relación a m y de tercer grado con relación a n ; 12x 2 y 3 z 4 , es de
segundo grado con respecto a x , de tercer grado con respecto a y , y de cuarto grado con
relación a z .
El grado del termino con relación a una letra, es el exponente de dicha letra, así, el termino:
Clases de términos:
Término entero:
No tiene
denominador
literal:
5c, 12x 2 y 3 z 4 ,
2a
3
Término
fraccionario:
Tiene
denominador
literal:
2
2a 2
b
Término racional:
No tiene radical,
como los ejemplos
anteriores.
Termino irracional:
Tiene radical:
3y
,
3
4ab
Términos
homogéneos:
Tiene el mismo grado
absoluto: 6 x 5 y 3 y
12x 2 y 6 , ambos son
de octavo grado
absoluto.
2a
Términos
heterogéneos:
Son los de distinto
grado absoluto: 6xy 3
es de cuarto grado
absoluto y 12x 2 y 6
,es de octavo grado
absoluto.
Clasificación de expresiones algebraicas:
Monomio: expresión
algebraica que consta de un solo
termino.
5x  3 y a
5 x,3a, 4a , a  b c,
x2
Polinomio: Expresión algebraica que consta de más de un
término, como: m  n, x  a  y,
Binomio: Polinomio que
consta de dos términos:
x 2 y 4x 2 y
m  n, x  a  y, 3 
,
4a
4a 3
5 x 3  2 x 2  x  8.
x 2 y 4x 2 y

,5 x 3  2 x 2  x  8.
4a 3 4a 3
Trinomio: consta de tres
términos:
m  n  c, x 2  5 x  6,5 x 2  6 y 3 
a2
,
3
5 x 3  2 x 2  8.
Grado de un polinomio: Puede ser de dos clases: absoluto y con relación a una letra.
El grado absoluto de un polinomio es el grado de su término de mayor grado. Así, el polinomio:
x 4  5x 3  x 2  3x, el primer término es de cuarto grado, el segundo de tercer grado, el tercero de de
segundo grado, y el ultimo de primer grado; luego, el grado absoluto del polinomio es de cuarto
grado.
El grado un polinomio con relación a una letra, es el mayor exponente de dicha letra en el polinomio.
así, el polinomio: a 6  a 4 x 2  a 2 x 4 , es de sexto grado con relación a la a y de cuarto grado con
relación a la x .
Ejercicios:
1. Dígase el grado absoluto de los siguientes polinomios:
Polinomio:
a)
x x x
3
2
b) 33 b  a 2 b 2  ab3  b 4
c)
5a  3a 2  4 xa 4  6
d)
x 5  6x 2 y 3  4a 2 b  x 2 y 4  3 y 6
Grado absoluto:
1. Dígase el grado de los siguientes polinomios con relación a cada una de sus letras:
Polinomio:
a)
Grado con relación a cada una de sus letras:
x3  x2  x
b) 33 b  a 2 b 2  ab3  b 4
c)
5a  3a 2  4 xa 4  6
d)
x 5  6x 2 y 3  4a 2 b  x 2 y 4  3 y 6
Términos semejantes: dos o más términos son semejantes cuando tienen la misma parte literal,
es decir, cuando tienen iguales letras afectadas por exponentes iguales.
m 1
m1
Ejemplos: 4x 2 y 10x 2 ; 4 x 2 y y  10x 2 y ; 4 x
y  2x
Reducción de términos semejantes: Es una operación que tiene por objeto convertir en
solo término dos o más términos semejantes. Pueden ocurrir cuatro casos diferentes:
1. Reducción de términos semejantes que tengan el mismo signo:
Regla: suma los coeficientes, escribe delante de esta el mismo signo que tienen todos y escribe la
parte literal.
Ejemplos:
a)
b)
4 x 2  10x 2  14x 2
 4 x 2  10x 2  14x 2
c)
4a m 2  20a m 2  24a m 2
d) 
1
2
1
7
ab  ab  1 ab   ab
2
3
6
6
e)  m  3m  6m  5m  15m
f)
1 2
1
1
7
x y  x2 y  x2 y  x2 y
2
4
8
8
g)
1
2
1
7
ab  ab  1 ab  ab
2
3
6
6
Ejercicios: Reducir:
1 )  4 x 2  10x 2 
2) 12x 2  10x 2 
2
2
ab  ab 
3
3
5)  4m  2m  15m  5m 
3) 2a m 2  25a m 2 
6) 2a 2 b 3  25a 2 b 3 
10)
4) 
 x a 1  8x a 1  4 x a 1  5x a 1  x a 1 
7) 1 x 2 y  2 x 2 y  4 x 2 y 
4
4
8
3
6
8)  ab  ab  5ab 
2
3
9) 2a m  2 
6 m2
a

5
2. Reducción de términos semejantes de distinto signo:
Regla: Se restan los coeficientes poniendo delante de esta diferencia el signo del mayor y a
continuación se escribe la parte literal.
Ejemplos:
d)
e)
4 x 2  10x 2  6 x 2
 4 x 2  10x 2  6 x 2
f)
4a m 2  20a m 2  16a m 2
d)
1
2
1
ab  ab   ab
2
3
6
e)  m  3m  2m
f)
1 2
1
1
x y  x2 y  x2 y
4
8
8
g) 
15
2
1
7
ab  ab  2 ab   ab
5
3
3
3
Ejercicios: Reducir:
1 ) 4 x 2  10x 2 
2
2
ab  ab 
3
3
5) 4m  15m 
2) 12x  10x 
2
7) 1 x 2 y  2 x 2 y 
4) 
2
4
4
8)  6 ab  5ab 
3
3) 2a
m 2
 25a
m 2
10) 0.85mxy a 1 

6)  2a b  25a b 
2
3
2
3
9) 2a m  2 
6 m2
a

5
1
mxy a 1 
2
3. Reducción de más de dos términos semejantes de distinto signo:
Regla: Se restan los coeficientes poniendo delante de esta diferencia el signo del mayor y a
continuación se escribe la parte literal.
Ejemplos:
1) 4 x 2  10x 2  6 x 2  3x 2  3x 2
Reduce los positivos: 4 x 2  6 x 2  10x 2
Reduce los negativos:  10x 2  3x 2  13x 2
Aplica la regla 2 y reduce los términos:
10x 2  13x 2  3x 2
1 2
2
4
5
1
9
x y  x2 y  x2 y  x2 y   2 x2 y   x2 y
4
4
8
2
4
4
1 2
4 2
1 2
1 2
3 2
x y x y  x y x y  x y
4
8
4
2
4
2 2
5 2
1 2
5 2
6
2
 x y  x y   x y  x y   x 2 y   3x y 
4
2
2
2
2
3 2
1 2
9 2
2
x y  3x y   2 x y   x y
4
4
4
2)  4mn  2mn  15mn  5mn  6mn  Reduce los
positivos: 15mn  6mn  21mn
Reduce los negativos:  4mn  2mn  5mn  11mn
Aplica la regla 2 y reduce los términos:
21mn  11mn  10 mn
 x a1  8x a1  4 x a1  5x a1  x a1  7 x a 1
8x a1  5x a1  13x a1
 x a1  4 x a1  x a1   6 x a 1
Ejercicios: Reducir:
13x a1  6 x a1  7 x a 1
1 )  4 x 2  10x 2  5x 2 
7) 1 x 2 y  2 x 2 y  4 x 2 y  3 x 2 y 
4
4
8
4
2) 12 p 2 q  10 p 2 q 10 p 2 q 
8)  4m  2m  15m  5m  15m  8m 
6)  2a 2 b 3  25a 2 b 3  12a 2 b 3  5a 2 b 3 
9)
x a1  8x a1  4 x a1  5x a1  x a1 
4. Reducción de polinomios que contengan términos semejantes de diversas clases:
Ejemplos:
1) Reduce el polinomio: 5a  6b  8c  9a  20c  b  6b  c.
Reduce por separado los de cada clase:
5a  9a  14a
 6b  b  6b  6b  7b   b
8c  20c  c  8c  21c   13c
 5a  6b  8c  9a  20c  b  6b  c  14a  b  13c
3) Reduce el polinomio: 2 x 4  2 x 3 y  3x 4  y 4  5 y 4  0.3x 4  3 x 3 y  6  x 3 y  14  2 1 y 4 .
5
4
6
5
3
2 4
2 4
1 4
4
4
4
Tendremos: x  3 x  0.3x  3 x  0.3x  3 x .
10
5
5
2
3
1
 x3 y  x3 y  x3 y   x3 y
10
4
5
5
1
1
 y 4  y 4  2 y 4  2 y4
6
3
6
 6  14   20 .
2
2
5
3
1
 x 4  x 3 y  3x 4  y 4  y 4  0.3x 4  x 3 y  6  x 3 y  14  2 y 4  3 1 x 4  1 x 3 y  2 1 y 4  20.
5
4
6
5
3
10
10
6
Ejercicios: Reducir los siguientes polinomios:
1 ) a  b  c  b  c  2c  a 
2)  6m  8n  5  m  n  6m  11 
3) 0.3a  0.4b  0.5c  0.6a  0.7b  0.9c  3a  3b  3c 
4)
1 2
4
a c  0.25a 2 c  a 2 y  0.75a 2 c 
4
8
5)
a m2  x m3  5  8  3a m2  5x m3  6  a m2  5x m3 
6) 1 a  1 b  2a  3b  3 a  1 b  3  1 
2
3
4
6
4
2
Tipos de expresiones algebraicas
Hay distintos tipos de expresiones algebraicas.




Dependiendo del número de sumandos, tenemos: monomios (1 sumando) y polinomios (varios
sumandos).
Algunos polinomios tienen nombre propio: binomio (2 sumandos), trinomio (3 sumandos), ...
Dos expresiones algebraicas separadas por un signo
se llama ecuación.
Un caso particular de ecuación es la identidad, en la que los dos lados de la igualdad son
equivalentes.
Ejemplos:
3x 4
,  * r3
5 3
9k  3b  5h (Trinomio)
4 x 2  7 y (Binomio)
3x  4  5 x  1
(a  b)  a 2  2ab  b2
3x 2 ,
Monomios:
Polinomios:
Ecuaciones:
Identidades:
Valor numérico de una expresión algebraica
Si en una expresión algebraica se sustituyen las letras por números y se realiza la operación indicada se
obtiene un número que es el valor numérico de la expresión algebraica para los valores de las letras
dados.
Ejemplo: Valor numérico de una expresión algebraica
4.1. Halla el valor numérico del perímetro y del área de un terreno rectangular cuyos lados miden
50 y 30 m, respectivamente.
Según vimos en el ejemplo anterior: Si
x es el largo e y
el ancho, en metros, tenemos que:
Perimetro 2 x  2 y  2 * 50  2 * 30  160m
Area  x * y  50 * 30  1500m2
b) Halla el valor numérico del polinomio
El valor numérico del polinomio
3x 5  2 x para x  2
3x 5  2 x es: 3 * 25  2 * 2  100
Actividad: Calcula el valor numérico de cada expresión para x = -1.
A.1.5 x  3  2 x 2  4 x  2  8 x
B.8 x  3  4  x 2
C.7 x  6  3 x 2  3  5 x  x
D.  x  5 x  5  4 x 2  11
E..x 3 
4x 8

 2 x  10
2 2x
Actividad 2: Calcula el valor numérico del polinomio a 2  2ax  4 en los casos:
a) a  2, x  3
b) a  2, x  1
1.1.1 Notación y calcificación
1.1.1.1 Definición de algebra,
4.2. Símbolos y lenguaje, elementos de una expresión algebraica, signos y grado de un termino