Tarea 2

Calculo Diferencial e Integral 2
Tarea 2
Integrales Denidas
1. Sea f (x) continua en [0; a], demuestre que:
Za
f (x) dx = a
f
(
x
)
+ f (a , x) 2
0
Sugerencia: Haga el cambio de variable z = a , x y sume la integral resultante
a la integral de arriba.
2. Demuestre la siguiente proposicion:
Sea f integrable en los intervalos adecuados, entonces:
Zb
Z b,c
f (s) ds =
f (x + c)dx
a,c
a
A continuacion verique que:
Z
Z
sin x dx =
0
2
,
2
sin(x + 2 ) dx
3. Determine las siguientes integrales:
Z 4 (1 + ps)1=2
p
ds
s
1
Z =4
0
Z
1
,1
Z
=4
0
cos2(4t , 4 )dt
2x sin(1 , x2 )dx
sec2 (x) dx
(1 + 7 tan x) 32
1
Z4 cos pt
q p dt
t sin t
2
2
36
4. El valor promedio de una funcion sobre el intervalo [a; b] se dene como:
Rb
av(f ) = a f (s) ds
b,a
Calcular el valor promedio de las funciones:
f (x) = mx + d
sobre [,k; k]
p
f (x) = ax
sobre [0; a]
p
5. Suponga que F (x) es una antiderivada de f (x) = 1 + x4 . Exprese:
Z 1p
1 + x4 dx
0
en terminos de F y explique el por que de su respuesta.
dy si:
6. Determine dx
Z 0 dt
y=
1 , t2
cos x
7. Suponga que:
Z2
,2
f (x)dx = 4;
Z5
2
f (x)dx = 3;
Z5
,2
g (x)dx = 2
determine cual de las siguientes armaciones es cierta:
Z
2
5
2
f (x)dx = ,3
(1)
Z
5
,2
(f (x) + g (x)) = 9
f (x) g(x); x 2 [,2; 5]
8. Suponga que x y y estan relacionadas por
Zy
x = p ds 2
0
1 + 4s
d2 y es proporcional a y y determine la constante de proporcionaldemuestre que dx
2
idad.
9. Determine f (4) si:
Z
x2
0
Z
f (s)ds = x cos x
f (x)
0
10. Demuestre que:
Z x Z
0
u
0
t2 dt = x cos x
f (t) dt du =
Z
x
0
f (u)(x , u) du
Sugerencia: Exprese la integral del lado derecho como una diferencia de integrales. Demuestre en seguida que ambos lados de la ecuacion tienen la misma
derivada respecto a x.
11. Graque las siguientes funciones e integrelas luego, sobre sus dominios.
f (x) =
f (x) =
(
x2=3;
,4;
( p
,x;
x2 , 4;
3
,8 x < 0
0x3
,4 x < 0
0x3
p
f (x) = (7x , 6)1,,=x;;
(
1 3
0x<1
1x2
12. Ver el ejemplo 7 de la pagina 363 del texto y evalue:
15 + 25 + : : : + n5
lim
n!1
n6
demostrando que ese lmite es:
Z1
0
x5 dx
evalue dicho lmite.
13. Con los resultados del ejercicio anterior evalue:
13 + 23 + : : : + n3
lim
n!1
n4
14. Sea f (x) una funcion continua. Exprese:
lim 1 f ( 1 ) + f ( 2 ) + + f ( n )
n!1
n
n
n
n
como una integral denida.
15. Utilice el resultado del ejercicio anterior y calcule:
lim n12 [2 + 4 + + 2n]
n!1
1
2
3
n
lim sin n + sin n + sin n + + sin n
n!1 n
1 h115 + 215 + 315 + + n15 i
lim
n!1 n15
4