(Microsoft PowerPoint - CAP\315TULO VI [Modo de compatibilidad])

CAPÍTULO VI
TRANSPORTE DE ENERGÍA
POR RADIACIÓN
6.1 El espectro de radiación
electromagnética
•
El transporte de energía por conducción y convección necesitan la
existencia de un medio material. La conducción tiene lugar cuando hay una
desigualdad de temperatura entre los puntos contiguos del medio. En la
convección, debe existir un fluido con libertad de movimiento, que en su
desplazamiento transporta energía.
•
En este capítulo se considera un tercer mecanismo de transporte de
energía, que es la radiación. Es éste un mecanismo electromagnético, en el
que la energía se transporta con la velocidad de la luz sin necesidad de un
medio material. La velocidad del transporte de energía por radiación entre
dos cuerpos "negros" en el vacío, es proporcional a la diferencia de las
cuartas potencias de sus temperaturas absolutas.
•
Este mecanismo es cuantitativamente muy diferente de los tres procesos
de transporte que se consideran a 10 largo de este libro: transporte de
cantidad de movimiento (en fluidos newtonianos), que es proporcional a un
gradiente de velocidad, transporte de energía (por conducción), que es
proporcional a un gradiente de temperatura y transporte de materia (por
difusión ordinaria), proporcional a un gradiente de concentración.
6.1 El espectro de radiación
electromagnética
• A diferencia de los mecanismos de transferencia de calor por
conducción y convección en los que el transporte de energía
requiere de un medio para llevarse a cabo, el calor puede
propagarse por radiación incluso en el vacío. Aun cuando no se
entiende por completo el mecanismo físico de la radiación en
cuanto a si ésta es transportada por ondas electromagnéticas o por
fotones, sí se sabe que viaja en el vacío a la velocidad de la luz.
• La radiación térmica se define como la energía radiante emitida por
un medio como consecuencia de su temperatura, y la escala de
longitudes de onda, como se muestra en el espectro de la figura
6.1, usualmente está comprendida entre 0.1 y 100 µm. En esta
escala se encuentra parte del ultravioleta (λ < 0.38), la región visible
(0.38 < λ < 0.78) y parte del infrarrojo (λ > 0.78).
6.1 El espectro de radiación
electromagnética
• Fig. 6.2 Espectro de radiación.
6.2 Absorción y emisión en
superficies sólidas
• La emitancia hemisférica monocromática ελ de una
superficie real define como su cociente de la potencia
emisiva monocromática sobre la potencia emisiva
monocromática de un cuerpo negro
ελ =
eλ
e bλ
• De manera análoga, la absortancia hemisférica
monocromática αA de una superficie real se define como
la fracción de radiación incidente sobre ella que se
absorbe. Esto es que para cualquier superficie la
emitancia monocromática es igual a la absortancia
monocromática
ελ =αλ
6.2 Absorción y emisión en
superficies sólidas
• Si se coloca en su interior un pequeño cuerpo 1 en
equilibrio térmico, dicho cuerpo emite a cada longitud de
onda tanta radiación como es capaz de absorber. Un
balance de energía en un elemento de su superficie
indica que en tales condiciones
e λ1 = ε λ1e bλ = α λ1 g bλ
• ebλ, es la potencia emisiva monocromática de un
cuerpo negro a la temperatura T.
• gbλ, es irradiación o radiación monocromática que
incide sobre el cuerpo por unidad de área y tiempo.
6.2 Absorción y emisión en
superficies sólidas
• Si ahora se coloca además un cuerpo 2 en las mismas condiciones
se tiene que
e λ 2 = ε λ 2 e bλ = α λ 2 g bλ
•
Como el cociente gbλ / ebλ es constante
g bλ ε b1 ε b 2
=
=
ebλ α b1 α b 2
• Para un cuerpo negro: ελ = αλ =1. Un consecuencia
ελ =αλ
6.2 Absorción y emisión en
superficies sólidas
•
Por otra parte, la emitancia hemisférica total (una superficie real se
define como
e 1 ∞
ε = = ∫ ε λ ebλd λ
eb eb 0
• Absortancia hemisférica total
∞
g = ∫ g λ (λ f , T f ) d λ
0
• f denota las condiciones de la fuente emisora y la absortancia total es
α (λ f , T f
∫
)=
∞
0
∫
α λ g λ (λ f , T f ) d λ
∞
0
g λ (λ f , T f ) d λ
6.2 Absorción y emisión en
superficies sólidas
• De las ecuaciones anteriores se desprende que la emitancia total es
una propiedad de la superficie, en tanto que la absortancia total es
una función de la radiación incidente. Dicho de otro modo, aun
cuando la relación ελ = αλ siempre es válida, los valores totales de
emitancia ε y absortancia α son en general diferentes. Ambos son
iguales sólo si gλ(λf, Tf ) = ebλ (λ, T ) o sea, cuando la irradiación
tiene la misma distribución espectral de un cuerpo negro a la misma
temperatura de la superficie receptora (T = Tf) o cuando ελ y αλ son
constantes a lo largo de todo el espectro de longitudes de onda.
Las superficies que cumplen este último requisito se denominan
cuerpos grises (Fig. 6.1). Cabe agregar que para un cuerpo gris a
una temperatura determinada, el cociente de su potencia emisiva
monocromática entre la potencia emisiva monocromática de un
cuerpo negro a la misma longitud de onda es constante a través de
todo el espectro, esto es, ελ = ε y αλ = α. Por tanto, para un cuerpo
gris.
e = εσ T 4
6.2 Absorción y emisión en
superficies sólidas
• Figura 6.3, Comportamiento de un cuerpo
negro, un cuerpo gris y una superficie real.
6.3 Ley de distribución de Planck, ley de
desplazamiento de Wien y ley de StefanBoltzmann
• Un cuerpo negro es el que emite y absorbe la máxima cantidad
posible de radiación a cualquier temperatura y en cualquier longitud
de onda. la potencia emisiva espectral, o monocromática, de un
cuerpo negro como función de la longitud de onda para distintas
temperaturas. Según la ley de Planck,
ebλ =
C1
C2
T
λ 5(e λ − 1)
• donde
• ebλ = potencia emisiva monocromática de un cuerpo negro a una
temperatura T, en W/m2 µm
• λ = longitud de onda, en µm
• T = temperatura absoluta del cuerpo negro, en K
• CI = 3.742 x 108 W µm4/m2
• C2 = 1.439 x 104 µmK
6.3 Ley de distribución de Planck, ley de
desplazamiento de Wien y ley de StefanBoltzmann
• En la figura 6.2 se muestra la variación de la potencia
emisiva monocromática de un cuerpo negro como
función de la longitud de onda para distintas
temperatura. A partir de la distribución de Planck puede
determinarse a cada temperatura la longitud de onda
donde la potencia emisiva monocromática es máxima.
Según la ley de desplazamiento de Wien,
•
λ máx T = 2897.8 µmK
6.3 Ley de distribución de Planck, ley de
desplazamiento de Wien y ley de StefanBoltzmann
• Fig. 9.2. Potencia emisiva espectral de un cuerpo negro como
función de la longitud de onda para distintas temperaturas
6.3 Ley de distribución de Planck, ley de
desplazamiento de Wien y ley de StefanBoltzmann
• La potencia emisiva total emitida por un cuerpo negro a
lo largo de todo el espectro de longitudes de onda puede
calcularse integrando la ley de Planck, es decir
∞
eb = ∫0 ebλd λ
4
=
σ
eb
T
• σ es la constante de Stefan-Boltzmann y es igual a 5.67
x 108 W/m2K4
6.3 Ley de distribución de Planck, ley de
desplazamiento de Wien y ley de StefanBoltzmann
• En ciertas circunstancias es necesario calcular la energía emitida
en una banda específica de longitudes de onda; entonces la
ecuación 6.1 puede integrarse entre cualquier límite de longitudes
de onda, es decir,
e
b ,0 - λ
=
∫
λ
0
e
b λ
d λ
• Al dividir la ecuación 6.4 entre la 6.3 se obtiene una expresión que
depende sólo de λT. Realizando esta operación,
λT
e b,0-λ
C 1d(λT)
=
C
σ T 4 ∫0 σ (λT)5( e λT2 - 1)
• Los resultados de esta integral han sido calculados (Fundamentos
de Transferencia de Calor, Incropera y de Witt)
6.4 Radiación directa entre cuerpos negros en el
vacío que están a diferente temperatura
• La ley de Stefan-Boltzmann permite determinar la
potencia emisiva total de un cuerpo negro en todas
direcciones. Sin embargo, en algunas circunstancias se
necesita calcular la cantidad de radiación que emite en
cierta dirección y que posteriormente es interceptada por
otro cuerpo. La cantidad de energía radiante que se
propaga en una dirección se determina mediante la
intensidad de la radiación l. Si nos remitimos a la figura
6.4, la intensidad de la radiación se define como el flujo
de energía que se emite dentro de un ángulo sólido
centrado alrededor de la dirección del haz y por la
unidad de área proyectada de la superficie emisora
normal a la dirección θ.
6.3 Ley de distribución de Planck, ley de
desplazamiento de Wien y ley de StefanBoltzmann
• Fig. 6. Intensidad de radiación.
6.3 Ley de distribución de Planck, ley de
desplazamiento de Wien y ley de StefanBoltzmann
• Al observar la figura 6.5 se aprecia que el hemisferio
que se muestra intercepta toda la radiación emitida por
un elemento de superficie, es decir, toda la potencia
emisiva. Por otra parte, la intensidad I en general es una
función del ángulo θ con la normal y del ángulo azimutal
Ψ. Según la definición de la intensidad de la radiación, y
refiriéndonos a las figuras 6.5 y 6.6, la energía por
unidad de tiempo que emite el elemento de área dA y
que es interceptada por dAs es igual a
de = IdA cos θ dω
6.3 Ley de distribución de Planck, ley de
desplazamiento de Wien y ley de StefanBoltzmann
(a)
(b)
• Fig. 6.(a) Hemisferio que intercepta la radiación emitida por un
elemento de superficie. (b) Área que se observa desde un punto del
hemisferio.
6.3 Ley de distribución de Planck, ley de
desplazamiento de Wien y ley de StefanBoltzmann
• donde el área de la superficie emisora se ha multiplicado por cos θ
y puesto que es el área que se observaría desde un punto del
hemisferio situado a un ángulo θ de acuerdo con la definición de I;
e dω es el ángulo sólido subtendido por la superficie que intercepta
la radiación. Este ángulo sólido es igual al área de la superficie
sobre el hemisferio que es normal al radio vector, dividida por el
cuadrado de la distancia entre las superficies emisora y receptora.
Así, para el elemento superficial de área dAs sobre el hemisferio de
radio r,
dω =
d As
r
2
=
rdθ rsenψ
r
2
= senθ dθ dψ
6.3 Ley de distribución de Planck, ley de
desplazamiento de Wien y ley de StefanBoltzmann
• Al sustituir dω 6.6 e integrar a lo largo de todo el he obtiene que la
potencia emisiva de la superficie está relacionada con la de la
radiación mediante la expresión
•
e=∫
2π
0
∫
π /2
0
I (θ ,ψ ) cos θ senθ dθ dψ
se tiene
e = πI
• Puesto que un cuerpo negro emite de manera perfectamente difusa,
•
eb = πIb
• Esto es, la potencia emisiva total de un cuerpo negro es igual a π
veces la intensidad de la radiación. Desde luego, las ecuaciones
anteriores también son aplicables a la radiación monocromática. En
consecuencia, para superficies difusas.
•
eλ = πIλ
y
ebλ = πIλb
6.3 Ley de distribución de Planck, ley de
desplazamiento de Wien y ley de StefanBoltzmann
• El factor de forma para radiación
• Una vez que se han establecido los
principales parámetros de radiación
conviene analizar el intercambio de
energía radiante entre dos o más cuerpos
a distintas temperaturas. Básicamente, el
problema estriba en determinar la
cantidad de radiación que sale de uno de
ellos y que es interceptada por el otro
6.3 Ley de distribución de Planck, ley de
desplazamiento de Wien y ley de StefanBoltzmann
• Para resolver el problema de intercambio de calor por
radiación se definen lo factores de forma para radiación
como:
• FI2 = Fracción de energía radiante que sale de la
superficie 1 y es interceptada por la 2.
• F21 = Fracción de energía radiante que sale de la
superficie 2 y es interceptada por la 1.
• Según estas definiciones, la energía que sale de la
superficie 1 y es interceptada por la 2 es
• del mismo modo, la energía que sale de la superficie 2 y
llega a la 1 es
6.3 Ley de distribución de Planck, ley de
desplazamiento de Wien y ley de StefanBoltzmann
• Figura 6.9 Determinación del factor de forma
entre dos superficies
6.3 Ley de distribución de Planck, ley de
desplazamiento de Wien y ley de StefanBoltzmann
• Puesto que ambas superficies son negras y toda la radiación que
incide en ellas es absorbida, el intercambio neto de calor por
radiación es
q 2 ⇔1 = A1 eb1 F 21 − A2 eb 2 F 12
•
• En caso de .que ambos cuerpos negros se hallen a la misma
temperatura (T1 = T2) el intercambio neto de calor es igual a cero y,
puesto que , eb1 = eb 2
A1F 21 = A2 F 12
•
• Esta relación se conoce como teorema de reciprocidad. Utilizándolo
puede calcularse el flujo neto de calor como
q 2 ⇔1 = A1 F 12 (eb1 − eb 2) = A2 F 21 (eb1 − eb 2)
• u, opcionalmente,
•
A1F 21 = A2 F 12
6.3 Ley de distribución de Planck, ley de
desplazamiento de Wien y ley de StefanBoltzmann
• Esta relación se conoce como teorema de reciprocidad. Utilizándolo
puede calcularse el flujo neto de calor como
q 2 ⇔1 = A1 F 12 (eb1 − eb 2) = A2 F 21 (eb1 − eb 2)
• u, opcionalmente,
q 2 ⇔1 = A1 F 12 σ (T 14 − T 42) = A2 F 21σ (T 14 − T 42)
•
• Al analizar la expresión 6.27 se observa que el flujo neto de calor
por radiación entre las dos superficies negras está limitado al
conocimiento previo de factor de forma F12 o F21. Para
determinarlo, considérese ahora los elementos de área dA1 y dA2
sobre ambas superficies. Los ángulos θ1 y θ2 están formados por la
1ínea r que une ambos elementos y las normales a cada una de las
superficies. Con las ecuaciones 6.6 y 6.7, el flujo de radiación que
sale de dA1 y es interceptada dA2
dq 2 ⇔1 = I b1 dA1 cosθ 1 d w12
6.3 Ley de distribución de Planck, ley de
desplazamiento de Wien y ley de StefanBoltzmann
• Donde
dw12 =
dA2 cosθ 2
2
r
• Por otra parte, sustituyendo la ecuación la anterior se obtiene
dq1⇔ 2 = eb1 cosθ 1 cosθ 2
dA1 dA1
πr 2
• En forma similar, la radiación que sale del elemento dA2 y es
interceptada por dA1, es
dq 2 ⇔1 = eb 2 cosθ 2 cosθ 1
dA1 dA1
πr 2
6.3 Ley de distribución de Planck, ley de
desplazamiento de Wien y ley de StefanBoltzmann
• En consecuencia, el intercambio neto de calor por radiación es
q 2⇔1 = (eb1 − eb 2) ∫
∫
A1 A2
cos θ 1 cos θ 2
d A1 d A2
π r2
• Al comparar esta expresión con la ecuación 6.26 se desprende que
A1 F 12 = A2 F 21 ∫A
1
∫
A2
cos θ 1 cos θ 2
d A1 d A2
π r2
• La evaluación de esta integral requiere que se conozca la geometría
específica de ambas superficies para entonces evaluar en forma
cuantitativa el flujo neto de radiación.