Último Teorema de Fermat

Ultimo Teorema de Fermat Páginas
Las variables y características base. 1 − 2
Ecuaciones base.. 3 − 5
Posibilidades de que a g y Z tengan factores comunes 6
nnn
Unica posibilidad de que a + g = C 7
Relación de Z , con a y g. 7
Divisores de las ecuaciones.−Factores de Z.. 8
Imposibilidad de , P = (a + g) , sea múltiplo de n. 8
Relación entre P , C , con n 9
nn
Imposibilidad de , L + K + 2 Z = P 10 − 11
xn−1 n
Imposibilidad de , n + L + 2 Z = P .. 12 − 15
xn−1 n n
Imposibilidad de , n K + L + 2 Z = P ................................ 16
El presente estudio intenta demostrar el denominado Ultimo
Teorema de Fermat .
Las bases en que fundamenta , son las siguientes :
nnn
1º.− Su punto de partida.− a + g = C ; a + g = P ; P − C = Z
en el que a g C , son primos entre sí , a g P , también , y por
otra parte , n es un número primo.
2º.− Planteamiento de 5 ecuaciones.−La conexión entre las 3 primeras, es el principal
fundamento del estudio .La existencia de una desigualdad o no validez de alguna
1
de ellas , supondrá la demostración del Teorema .
3º.− Para la validez de las 5 ecuaciones, es preciso que, tanto a como g ,tengan
factores comunes con Z.
4º.− Imposibilidad de que a , g tengan factores comunes con Z .
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
1
nnn
Imposibilidad de que se cumpla la relación a + g = C
En relación con los valores arriba citados , a,g,n,C se pueden dar los
siguientes casos :
1º.− Que n sea número compuesto.
2º− Que n sea número primo.
3º.− Que a, g, C ,tengan divisores comunes.
4º.− Que a, g, C , sean primos entre sí .
nnn
Supongamos que existiese una relación a + g = C , en la que
n fueses un número compuesto. La igualdad no variaría dividiendo el exponente n
hasta convertirlo en número primo, y al mismo tiempo elevando los valores de a,g,C .
Si n fuese una potencia de 2 ,reduciríamos los exponentes n de
a y de g , a la cuarta potencia y el exponente n de C le reduciríamos a
a dos. Pierre de Fermat demostró la imposibilidad de descomponer un cuadrado en
dos cuartas potencias.
De la misma manera , en el caso nº 3 , que a , g , C tengan divisores comu−
nes , les dividiríamos por dichos divisores, hasta que a , g , C , fuesen primos entre sí.
Es decir, que nuestro estudio parte de la posibilidad de que exista :
nnn
2
a+g=C
en la cual los valores a, g , C , son primos entre sí, el exponente n, es un número pri−
mo.
A la suma de las bases a g la llamaremos P . Naturalmente , el va−
lor de C ha de ser inferior a P .− A la diferencia entre P y C la llamaremos Z.
a+g=PP−C=Z
Como quiera que a , g , C son primos entre sí , igualmente a , g , P lo
tendrán que ser. 2
En base a lo expuesto ,plantearemos unas Ecuaciones , cuya validez es necesaria para demostrar la posibilidad
de que :
nnn
a+g=C
De la misma manera consideramos que la existencia de una desigualdad en cualquiera de las Ecuaciones , es
suficiente para demostrar la imposibilidad a que
hace referencia el Ultimo Teorema de Fermat.
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
Ecuación nº 1
a + g = P P − g = a lo elevamos a la potencia n.
n n−1 n−2 2 2 n−2 n−1 n n n
P − n P g + ( ) P g − + .. + − ( ) P g + n P g = a + g = C
Ecuación nº 2
a + g = P P − a = g lo elevamos a la potencia n
n n−1 n−2 2 2 n−2 n−1 n n n
P − n P a + ( ) P a − +..+ − ( ) P a + n P a = a + g = C
Ecuación nº 3
C + Z = P P − Z = C lo elevamos a la potencia n:
n n−1 n−2 2 2 n−2 n−1 n n
3
P − n P Z + ( ) P Z − +.. − ( ) P Z + n P Z − Z = C
3
Ecuación nª 4
Igualamos las ecuaciones nº 1 y nº 3 ,
n−1 n−2 2 2 n−2 n−1
−n P g + ( ) P g + − − ( ) P g + n P g =
n−1 n−2 2 2 n−2 n−1 n
=−nPZ+()PZ−+.−()PZ+nPZ−Z
Ecuación n º 5
Igualamos las ecuaciones nº 2 y nº 3 :
n−1 n−2 2 2 n−2 n−1
− n P a + ( ) P a + − . −( ) P a + n P a =
n−1 n−2 2 2 n−2 n−1 n
=−nPZ+()PZ−+.−()PZ+nPZ−Z
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
La Ecuación nº 4 ,podemos representarla como sigue :
Ecuación 4 B
n−1 n−2 2 2 n−3 3 3
n P (g − Z) − ( ) P (g −Z ) + ( ) P ( g − Z )...+ −.....+
2 n−2 n−2 n−1 n−1 n n n n n n
+ ( ) P (g − Z ) − n P ( g − Z ) = Z = K L p n t
n
Esto nos muestra que Z es múltiplo de P , de n y también de ,
( g − Z ).
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
De la misma manera , la ecuación nº 5 , la representaremos :
4
Ecuación 5 B
4
n−1 n−2 2 2 n−3 3 3
n P (a − Z) − ( ) P ( a − Z ) + ( ) P ( a − Z ) + −.........+
2 n−2 n−2 n−1 n−1 n n n n n n
+()P(a−Z)−nP(a−Z)=Z=KLnpt
n
Igualmente esto nos indica que Z es múltiplo de P , n y
También de ( a − Z ) .
Es decir que :
n
Z=(g−Z)(a−Z)nPY
n2
Z=(ag−Z(a+g)+Z)nPY
n2
Z=(ag−ZP+Z)nPY
n
Z=[ag−Z(P−Z)]nPY
n
Z
=(ag−ZC)nPY
(recordemos que a , g, son primos entre sí con C , y también son primos entre sí con P).
Vemos con ello que a ó g , o ambas tienen divisores comunes con Z .
Podíamos pensar que ( a g − ZC ) = 1 .− Teniendo en cuenta que .
A+g=P=Z+C
para que ( a g − Z C ) = 1 , es preciso que a = g , lo cual no es posible ,puesto que
5
a g sabemos son primos entre sí.
A la última conclusión podemos llegar por un razonamiento más
simple ,
nnnnnn
a+g=Pa+g=Ca=C−g
nnn
a ha de ser divisible por la diferencia de las bases de C − g
n
a=(C−g)XC=P−Z=a+g−Z
nn
a=(a+g−Z)Xa=(a−Z)X5
esto exige , que Z tenga divisores comunes con a .
Empleando el mismo razonamiento , llegamos a la conclusión de
que Z tiene que tener divisores comunes con g .
Con esto creemos demostrar que para que sea posible ,
nnn
a + g = C , es preciso que Z tenga divisores comunes con a y con g .
Posibilidades de que a ó g tengan divisor(es) común(es) con Z
A la vista de la ecuación nº 4 B ,
n−1 n−2 2 2
n P ( g − Z ) − ( ) P ( g − Z ) + ..− +
2 n−2 n−2 n−1 n−1 n n n n n n
+()P(g−Z)−nP(g−Z)=Z=KLnpt
Supongamos que g Z tengan como divisor común K
g = K . M ; Z = K . T ; sustituímos estos valores :
n−1 n−2 2 2 2 n−3 3 3 3
6
nPK(M−T)−()PK(M−T)+()PK(M−T)−+
2 n−2 n−2 n−2 n−1 n−1 n−1 n n
+()PK(M−T)−nPK(M−T)=KT
Ahora pueden darse dos casos :
1º.− Que ( M − T ) no sea divisible por K
2º.− Que ( M − T ) sea divisible por K
En el caso nº 1 , todos los sumandos de la ecuación a excepción del
2
primero, son divisibles por K , lo que indica la no validez de la ecuación.
En el caso nº 2 ( M − T ) , es divisible por K , como el resto de los
sumandos. Esta es la imposibilidad que a continuación en nuestro trabajo , tra −
taremos de demostrar.
Conviene tener en cuenta,que al ser n primo,todos los coeficien−
tes de los sumandos de todas las ecuaciones, ( ) , ( ) , ( ) , son divisibles por
n .6
nnn
Unica posibilidad de que a + g = C
Esta se limita a :
1º .− Que Z tenga factores comunes con a y con g .
2º.− Que las relaciones sean :
g − Z = K g = K . M Z = K L n p t o bien ,
xn−1 x x
g−Z=ng=n.MZ=nLpt
xn−1 n x x
g−Z=nK;g=nKM;Z=nKLpt
y por otra parte , la relación entre a y Z :
7
n
a−Z=La=L.R
Relación entre Z y a g
1º.− Los factores comunes, si son potencias, serán del mismo grado.
2º.− Consecuencia de lo anterior.− Z no puede contener todos los factores de
a ni de g .
3º.− El valor de la diferencia ,
g − Z no podrá ser " 0 ( módulo F )
g − Z solo será " 0 ( mód. K ó (y) n )
7
Divisores de las ecuaciones
A la vista de las ecuaciones nº 1 , 2 y 3 ,
P − C " 0 ( módulos n , P , g , a , Z )
n
Pero mientras que en las 2 primeras ecuaciones el origen de C
nn
es a + g ( imposibilidad que tratamos de demostrar ), en la tercera , procede de
la diferencia entre P − Z .
El fundamento de nuestro estudio no es otro que mostrar la in−
compatibilidad de valores , uniendo las 2 primeras ecuaciones con la tercera.
Factores de Z
El origen del valor de Z. es ,
K y ó n = factor(es) comun(es) con g .
L = factor común con a
p n = contiene siempre estos factores (ver ecuación 4 )
t = resto de valores ( valor desconocido )
8
Z siempre es par. Todos estos factores , a excepción de n ,
(ya lo indicamos al iniciar el estudio) pueden ser primos o compuestos.
Imposibilidad de que P = a + g ,sea múltiplo de n
Observando cualquiera de las 5 ecuaciones base,por ejemplo
la nº 1 ,llegamos a la conclusión de que ,
nn
C " ( módulo P ) , así como que , P = p
8
A la vista de las ecuaciones nº 1 al 3 ,
n n n+1
C " 0 ( mód. p ) , y no " 0 ( mód. p )
nnn
C = p . e ; e = valor desconocido ; C = p . e
en el caso de p fuese múltiplo de n , si dividimos la ecuación por P ,
todos los sumandos de la ecuación serían divisibles por n , a excepción
n
de e . Con esto sabemos que P no contiene el valor n.
Si recordamos que C = P −Z , y que Z es múltiplo de n , C
tampoco es divisible por n
Relación entre P C , con n
Dividiendo la 3ª ecuación por P , queda :
n−1 n−2 n−3 2 n−1 n n
P − n P Z + ( ) P Z +.... +.. + ..+ n Z − Z / P = e
podemos llegar a las siguientes conclusiones ,para que no se anule la ecuación :
n−1 n
P " 1 ( mód. n ) , luego e " 1 ( mód. n )
9
n n−1
e = e . e = ( 8 n j + 1 ) e ; e " 1 ( mód. n )
n 2 n−1 2
e " 1 ( mód. n ), asímismo P " 1 ( mód. n )
n2
P = p " 1 ( mód. n ) ; p " 1 ( mód. n )
Como quiera que tanto P como C son función del valor de
Z , los valores citados son válidos para Z " 0 ( mód. n ) , es decir , pueden ser
x
no válidos para Z " 0 ( mód. n ) , para x > 1 .
Más adelante veremos que es condición necesaria para que Z
xx
sea múltiplo de n , que este n sea el factor común con g .
9
nnn
Imposibilidad de L + K + 2 Z = P = p
En base a que ,
2
P − Z = C ; si P " 1 ( mód. n ) , y además Z " 0 ( mód. n )
n22
obliga a que , C " 1 ( mód. n ) = n J + 1 ; J = valor desconocido
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
Como sabemos, el otro valor de C , es función de los valores de a y de g , será :
n n−1
g=K.M;g=K+KLnpt;M=K+Lnpt
x
10
M=ns+1;
n
a=L.R;a=L+KLnpt;R=L+Knpt
x
R=nf+1
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
xx
KM=g=K(ns+1)=Kns+K=g
xx
LR=a=L(nf+1)=Lnf+L=a
n x n x+1 n
g = ( K n s + K ) = n K q + K ............... (1)
n x n x+1 n
a = ( L n f + L ) = n L w + L .............. (2)
nn2
según sabemos , ( K + L ) " 1 ( mód. n ) , no" 1 ( mód. n )
nnn
K+L+2KLnpt=P=p
nn
sumando los valores arriba reseñados (1)(2) de ( a + g ) es " 1 ( mód. n)
2n
pero no" 1 ( mód . n ) . Este valor de C no coincide con el calculado
n2
en función de P Z , que era de C = n J + 1
Con ello queda demostrada la imposibilidad del enunciado.
10
11
nnxn
Imposibilidad de K + L + 2 K L n p t = P = p
Como vemos , este caso se diferencia del anterior exclusivamente
x
en que Z es divisible por n , en vez de solamente por n .
Teniendo en cuenta que :
nyx
p = P " 1 ( mód. n ) .− Si 2 Z" 0 ( mód. n ) , en la que tanto x como y
son mayores que la unidad , para que sea válida le ecuación tendrá que darse el caso de
nnxóy
que , ( K + L ) " 1 ( mód. n )
A continuación vamos a ver si es posible este caso :
yd
P " 1 ( mód. n ) ; ( K + L ) " 1 ( mód. n )
d
K=nf−(L−1)
n d+1 n
K=nfH+nfL−L+1
n n d+1 2
K + L = n f H + n f L + 1 , que no es múltiplo de n , más
la unidad.
Conviene tener en cuenta , que ( L−1) nunca podrá ser
múltiplo de n ,porque si así lo fuera ,sería necesario que K " 0 ( mód. n ).
Lo que supondría que el factor común entre g Z , sería n. Como sabe−
mos ,en este caso el factor común entre g y Z , es K.
Creemos queda demostrada la imposibilidad a que hace
12
referencia ,
nnx
L+K+2KLnpt=P
11
xn−1 n x n
Imposibilidad de n + L + 2 n L p t = P = p
A continuación vamos a demostrar la imposibilidad de que g sea múltiplo
de n , o lo que es lo mismo , que el factor común de g y Z sea n. Considera−
mos que el factor común entre a , Z , es L .
x xn−1 x xn−1 x
g=n.M;g−Z=n;Z=nLpt;g=n+nLpt
nnx
a=LR;a−Z=L;a=L+nLpt
estos valores de a g , determinan la ecuación del enunciado.
En la página 9 , al tratar de la relación entre P C con n , hicimos
n
constar que p , P , P , son " 1 ( módulo n ) . Ello obliga a que también
n
L " 1 ( módulo n ).
Por otra parte , podemos matizar , según la ecuación nº 4 B , los valores de
Z:
n n n xn n
Z=Lpnt
xn n−1 y
y dividiendo dicha ecuación por n , al ser P " 1 ( mód. n ) , nos
nnny
13
indica que L p t " 1 ( mód. n ) . Según esto , los nuevos valores son :
n xn+x xn x 2x−1 x
Z=n+n;Z=nLpt=Fn+n
Asimismo , en dicha página 9 , y con referencia a la ecuación nº 3 , indica ,
nnn
P−Z=C;C=p.e;C=p.e;
x x−1 x
Si P " 1 ( mód. n ) ............ p " 1 ( mód. n ) , no " 1 ( mód. n )
n−1 x n x x+1
P " 1 ( mód. n ).......... e " 1 ( mód. n ) , no " 1 ( mód. )
n x x−1 x
Si e " 1 ( mód. n ).......... e " 1 ( mód. n ), no" 1 ( mód. n )
x−1 x−1 x
Si p " 1 ( mód. n )....... e " 1 ( mód. n ), no" 1 ( mód. n )
12
x−2 x−1
teniendo en cuenta que , C = p.e , si p = ( n d + n h + 1 ) , y por
x−2 x−1
otra parte , si e = n j + n q + 1 , obliga a que (h + q) = n
Esto último supone que si ,
2x−2 x+1 x x−1
p = n Q + n j + n d + n h + 1; d < n ; h < n
n−1 2x−1 x+3 x+2 x+1 x
P = n H + n j + n u + n (h−d) − n h + 1
2x−2 x+1 x x−1
e=nw+nr+ni+nq+1;i<n
14
n 2x−1 x+2 x+1 x
e=ny+nS+ni+nq+1
n−1 n 2x−1 x+2 x+1
P − e = n B + n D + n ( h −d−i−1 )
n
Dividiendo la ecuación nº 3 por p ,
n−1 n−2 n
P − P n Z +.. + −.. = e
n−2 y
como P " 1 ( mód. n ) ,
n−2 2x+y x+y+1 x+y x+1
"PnZ="(nS+nJ+nF+n)
Resumiendo ,
n−1 n n−2 x+y x+2 x+1
P " e " P n Z = n W + n D + n ( h−d−i−1−1 )
ya hemos indicado que tanto h , como d ,como i son valores menores que n .
Suponiendo que ( h−d−i−1−1 ) = 0
n−1 n n−2 x+2
( P " e " P n Z ) es solo " 0 ( módulo n )
13
el siguiente sumando de la ecuación nº 3 es , ( ya dividido por P ) :
n−3 2 y 2x+2y−2 2 2x+y−1 2x
( n(n−1)/ 2 ) P Z = (n−1)/2 ( n Q + 1 ) ( n F + 2 n + n ) n
2x+1
es decir, que este sumando es " 0 ( módulo n )
Con ello queda demostrada la imposibilidad de la ecuación del enunciado.
15
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
Otra demostración que ratifica la imposibilidad de la ecuación del enun−
ciado , es decir ,
xn−1 n 2x−1 x n
n+L+2nF+2n=p=P
sería :
n
Damos a L el valor ,
n 2x−1 x+2 x+1 x
L = n J + n j + n d + n (h−2) + 1
x 2x−1 x
Ya dijimos que Z = n L p t = n F + n . Teniendo en cuenta estos va−
lores,
n xn−1 2x−1 x+2 x+1 x 2x−1 x
p = n + n J + n j + n d + n (h−2) + 1 + 2 n F + 2 n
según esto , los valores de p , y de L , serían :
2x−2 x+1 x x−1
p=nQ+nj+nd+nh+1
2x−2 x+1 x x−1
L = n H + n j + n d + n (h−2) + 1
2x−2 x−1
y por tanto , ( p − L ) = n ( Q − H ) + 2 n ; Q − H = W
14
elevado a n :
n n x−1 x−1 n
p − L − n p L (p−L)S = [ n ( n w + 2 ) ]
16
n xn−n x n
p=n(nf+nr+2)+L+npL(p−L)S
a la vista de esta ecuación y la del enunciado ,
xn−n x xn−1
n ( n f + n r + 2 ) − n " 0 ( módulo p ) ( * )
pues bién ,
xn−n+x xn−n+1 xn−n xn−1
nf+nr+n2−n"p.B
teniendo en cuenta que ,
2x−2 x+1 x x−1
p=nQ+nj+nd+nh+1
y aunque demos a B los valores ,
xn−n xn−n+1 xn−n
B = n i , para ( i < n ) , ó bien B = n i + n b , (para b <n)
Queda demostrada la imposibilidad a la que este apartado hace referencia .
(*)
f tiene un valor alto , toda vez que ,
xn−n x xn−n xn−n n xn−1
n(nf+nr+2)>nnw>n
15
xn−1 n n x n
Imposibilidad de n K + L + 2 n K L p t = p = P
En este caso los valores serían :
x x xn−1 n
g=nKM;Z=nKLpt;g−Z=nK
nnx
17
a=L.R;a−Z=L;a=L+nKLpt
A la vista de la ecuación nº 4 B , y siguiendo la misma operativa
del apartado anterior , conocemos que, 2x−1 x
Z=nF+n
Otro tanto podemos decir de los valores p , L , con lo que,
n xn−1 n 2x−1 x+2 x+1 x 2x−1 x
p = n K + n J + n j + n d + n (h−2) + 2 n F + 2 n = P
en función de los valores de p , y de L ,
n 2x−2 x−1 n
(p−L)=[nW+2n]
xn−1 n xn−1
de este desarrollo restaríamos n K , en vez de n ,
xn−n+x xn−n+1 xn−n xn−1 n
nf+nr+n2"nK"p.B
por los motivos indicados en el apartado anterior .
nnn
Con esto hemos demostrado la imposibilidad de a + g = C ,
x
cuando los factores comunes de g Z , son n K , y por otra parte, el factor
común entre a Z es L .
16
18