1.2 Comparación de capitales financieros

MODULO 1:
FUNDAMENTOS DE LA INVERSIÓN
Índice
Conceptos básicos de la
inversión
2
Concepto de Capital Financiero
3
Comparación de capitales financieros
3
Ley financiera
8
Capitalización simple
14
Capitalización compuesta
22
Introducción
23
Descuento comercial simple
24
Descuento racional simple
26
Descuento racional compuesto
Tipos de interés y
rentabilidad
32
Tipos de interés
34
Rentabilidad
Rentas Financieras
46
Definiciones
47
Clasificaciones
48
Rentas Financieras Constantes
49
Rentas Financieras Variables
Capitalización
Descuento
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MÓDULO 1: FUNDAMENTOS DE LA INVERSIÓN
Capítulo 1. Conceptos básicos de la inversión
1.1 Fenómeno financiero. Concepto de Capital Financiero
1.2 Comparación de capitales financieros
1.3 Ley financiera
1.3.1 Operación financiera
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1
1.1 Fenómeno financiero.
Concepto de Capital Financiero
Capítulo 1: Conceptos básicos de la inversión
Cuando se dispone de una cantidad de dinero (capital) se puede destinar, o bien a
gastarlo (satisfaciendo alguna necesidad), o bien a invertirlo para recuperarlo en un
futuro más o menos próximo, según se acuerde.
De la misma manera que estamos dispuestos a gastarlo para satisfacer una
necesidad, estaremos dispuestos a invertir siempre y cuando la compensación
económica nos resulte suficiente. En este sentido el principio básico de la
preferencia de liquidez establece que a igualdad de cantidad los bienes más
cercanos en el tiempo son preferidos a los disponibles en momentos más lejanos. La
razón es el sacrificio del consumo.
Este aprecio de la liquidez es subjetivo pero el mercado de dinero le asigna un valor
objetivo fijando un precio por la financiación que se llama interés. El interés se puede
definir como la compensación por la renuncia temporal del dinero o coste de
oportunidad de no disponer del dinero durante un tiempo.
Esta compensación económica se exige, entre otras, por tres razones básicas:
• Por el riesgo que se asume.
• Por la falta de disponibilidad que supone desprenderse del capital durante un tiempo.
• Por la depreciación del valor del dinero en el tiempo.
La cuantificación de esa compensación económica, de los intereses, depende de tres
variables, a saber:
• La cuantía del capital invertido.
• El tiempo que dura la operación.
• El tanto de interés al que se acuerda la operación.
Cuando se habla de capital financiero (C; t) nos referimos a una cuantía (C) de
unidades monetarias asociada a un momento determinado de tiempo (t).
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1.2 Comparación de capitales financieros
Capítulo 1: Conceptos básicos de la inversión
En una operación financiera no tiene sentido hablar de capitales iguales (aquellos en
los que coinciden cuantías y vencimientos), sino que siempre estaremos refiriéndonos
a capitales equivalentes. Hay equivalencia entre dos capitales cuando a su
propietario le resulta indiferente una situación u otra. Es decir, si resulta indiferente
cobrar hoy 1.000 euros a cobrar 1.050 euros dentro de un año, entonces diremos que
ambos capitales (1.000; 0) y (1.050; 1) son equivalentes.
De una manera más general, dos capitales cualesquiera, C1 con vencimiento en t1 y C2
con vencimiento en t2, son equivalentes cuando se está de acuerdo en intercambiar
uno por otro.
El concepto de equivalencia no significa que no haya ganancia o coste en la
operación. Todo lo contrario, la equivalencia permite cuantificar ese beneficio o
pérdida que estamos dispuestos a asumir en una operación concreta.
1.3 Ley financiera
Capítulo 1: Conceptos básicos de la inversión
Para que una operación financiera se realice es necesario que a los intervinientes las
cuantías que dan y reciben les resulten equivalentes. Es necesario que deudor y
acreedor se pongan de acuerdo en cuantificar los capitales de los que se parte y a los
que finalmente se llega. Esto implica elegir un método matemático que permita dicha
sustitución: una ley financiera. La ley financiera se define como un modelo
matemático (una fórmula) para cuantificar los intereses por el aplazamiento y/o
anticipación de un capital en el tiempo.
Conociendo las diferentes leyes financieras que existen y cómo funcionan se podrán
sustituir unos capitales por otros, pudiéndose formalizar las diferentes operaciones
financieras.
1.3.1 OPERACIÓN FINANCIERA
ƒ CONCEPTO:
Se entiende por operación financiera la sustitución de uno o más capitales por
otro u otros equivalentes en distintos momentos de tiempo, mediante la
aplicación de una ley financiera.
En definitiva, cualquier operación financiera se reduce a un conjunto de flujos de caja
(cobros y pagos) de signo opuesto y distintas cuantías que se suceden en el tiempo.
Así, por ejemplo, la concesión de un préstamo por parte de una entidad bancaria a un
cliente supone para este último un cobro inicial (el importe del préstamo) y unos pagos
periódicos (las cuotas) durante el tiempo que dure la operación. Por parte del banco, la
operación implica un pago inicial único y unos cobros periódicos.
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La realización de una operación financiera implica, por tanto, que se cumplan tres
puntos:
1. Sustitución de capitales. Ha de existir un intercambio de un(os) capital(es)
por otro(s).
2. Equivalencia. Los capitales han de ser equivalentes, es decir, debe resultar de
la aplicación de una ley financiera.
3. Aplicación de una ley financiera. Debe existir acuerdo sobre la forma de
determinar el importe de todos y cada uno de los capitales que compongan la
operación, resultado de la consideración de los intereses generados.
ƒ ELEMENTOS
- Personales
En una operación financiera básica interviene un sujeto (acreedor) que pone a
disposición de otra (deudor) uno o más capitales y que posteriormente recuperará,
incrementados en el importe de los intereses.
La acción de entregar por parte del acreedor y de recibir por parte del deudor se
considerará la prestación de la operación financiera. La operación concluirá cuando
el deudor termine de entregar al acreedor el capital (más los intereses); a esta
actuación por ambas partes se le denomina la contraprestación de la operación
financiera.
En toda operación financiera las cantidades entregadas y recibidas por cada una de
las partes no coinciden. El aplazamiento (o adelantamiento) de un capital en el tiempo
supone la producción de intereses que formarán parte de la operación y que habrá que
considerar y cuantificar. Por tanto, prestación y contraprestación nunca son
aritméticamente iguales. No obstante, habrá una ley financiera que haga que resulten
financieramente equivalentes, es decir, que si valorásemos prestación y
contraprestación en el mismo momento, con la misma ley y con el mismo tanto,
entonces sí se produciría la igualdad numérica entre ambas.
Tanto la prestación como la contraprestación pueden estar formadas por más de un
capital que incluso se pueden solapar en el tiempo.
- Temporales
Al momento de tiempo donde comienza la prestación de la operación financiera se le
denomina origen de la operación financiera. Donde concluye la contraprestación de la
operación financiera se le llama final de la operación financiera. Al intervalo de tiempo
que transcurre entre ambas fechas se le denomina duración de la operación
financiera, durante el cual se generan los intereses.
- Objetivos
La realización de la operación financiera exige un acuerdo sobre aspectos tales como:
la cuantía del capital de partida, la ley financiera que se va a emplear y, finalmente, el
tanto de interés (coste/ganancia) unitario acordado.
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ƒ CLASIFICACIÓN
Según la duración:
• A corto plazo: la duración de la operación no supera el año.
• A largo plazo: aquéllas con una duración superior al año.
Según la ley financiera que opera:
• Según la generación de intereses:
1) En régimen de simple: los intereses generados en el pasado no se acumulan y,
por tanto, no generan, a su vez, intereses en el futuro.
2) En régimen de compuesta: los intereses generados en el pasado sí se
acumulan al capital de partida y generan, a su vez, intereses en el futuro.
• Según el sentido en el que se aplica la ley financiera:
1) De capitalización: sustituye un capital presente por otro capital futuro.
2) De actualización o descuento: sustituye un capital futuro por otro capital
presente.
Según el número de capitales de que consta:
• Simples: constan de un solo capital en la prestación y en la contraprestación.
• Complejas (o compuestas): cuando constan de más de un capital en la prestación
y/o en la contraprestación.
Según el interés:
• A interés explícito: cuando en la operación financiera se producen los intereses al
aplicar el tipo de interés. Por ejemplo, un bono a 5 años con pago anual de intereses.
• A interés implícito: cuando los rendimientos se calculan sobre el valor nominal y se
descuentan de dicho valor nominal. Por ejemplo, una Letra del Tesoro a 12 meses.
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MÓDULO 1: FUNDAMENTOS DE LA INVERSIÓN
Capítulo 2. Capitalización
2.1 Capitalización simple
2.1.1
2.1.2
2.1.3
2.1.4
2.1.5
Definición y fórmula general
Magnitudes derivadas
Tantos equivalentes en capitalización simple
Números comerciales: concepto y cálculo
Interés simple anticipado
2.2 Capitalización compuesta
2.2.1 Definición y fórmula general
2.2.2 Magnitudes derivadas
2.2.3 Tantos equivalentes en capitalización compuesta
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2.1 Capitalización simple
Capítulo 2: Capitalización
2.1.1 DEFINICIÓN Y FÓRMULA GENERAL
Las operaciones en régimen de capitalización simple se caracterizan porque los
intereses, a medida que se van generando, no se acumulan y no generan
intereses en períodos siguientes (no son productivos). De esta forma los intereses
que se producen en cada período se calculan siempre sobre el mismo capital – el
inicial –, al tipo de interés vigente en cada período.
Este régimen financiero es propio de operaciones a corto plazo (menos de un año),
salvo que las condiciones de la operación indiquen lo contrario.
ƒ CONCEPTO:
Operación financiera cuyo objeto es la sustitución de un capital presente por otro
equivalente con vencimiento posterior, mediante la aplicación de la ley financiera en
régimen de simple.
ƒ DESCRIPCIÓN DE LA OPERACIÓN:
Partiendo de un capital (C0) del que se dispone inicialmente – capital inicial –, se trata
de determinar la cuantía final (Cn) que se recuperará en el futuro sabiendo las
condiciones en las que la operación se contrata (tiempo “n” y tipo de interés “i”).
ƒ CARACTERÍSTICAS DE LA OPERACIÓN:
Los intereses no son productivos, lo que significa que:
• A medida que se generan no se acumulan al capital inicial para producir
nuevos intereses en el futuro y, por tanto
• Los intereses de cualquier período siempre los genera el capital inicial (C0),
al tanto de interés vigente en dicho período.
Así pues, la fórmula general del valor de los intereses en capitalización simple, en el
caso de que el tipo de interés sea constante, es:
I = C0 · i · n
donde: i = Tipo de interés nominal expresado en tanto por uno y referido a un año.
n = Duración de la operación, expresada en años.
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ƒ DESARROLLO DE LA OPERACIÓN:
El capital al final de cada período es el resultado de añadir al capital existente al inicio
del mismo los intereses generados durante dicho período. De esta forma, la evolución
del montante conseguido es el siguiente:
Cn = Co + I
sustituyendo los intereses por la expresión I = C 0 · i · n
Cn = Co + (Co · i · n)
Cn = C 0 · ( 1 + i · n )
Por tanto:
Siendo el factor de capitalización = (1 + i · n)
Expresión aplicable cuando el tipo de interés de la operación se mantiene constante
todos los períodos.
A partir de la expresión anterior (denominada fórmula fundamental de la capitalización
simple) no solamente se pueden calcular montantes sino que, conocidos tres datos
cualesquiera, se podría despejar el cuarto restante.
Finalmente, hay que tener en cuenta que «n» lo que indica es el número de veces
que se han generado (y acumulado) intereses al capital inicial, por tanto, esa
variable siempre ha de estar en la misma unidad de tiempo que el tipo de interés
(no importando cuál sea).
ƒ CASO TIPO DE INTERÉS VARIABLE:
Si el tipo de interés es variable la expresión para obtener el capital final o montante
sería:
n
C n = C 0 · ( 1 + i1 + i2 + i3 + ... + in ) = C 0 ·( 1 +
∑i)
j
j =1
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►EJEMPLO RESUELTO
Cálculo del montante en C.S. i = cte
Calcular el montante obtenido al invertir 2.000 euros al 8% anual durante 4 años en
régimen de capitalización simple.
Co = 2.000 €
C4= ?
i = 8% = 0,08
0
4 años
Para calcular el montante utilizamos la expresión:
Cn = C0 · ( 1 + i · n )
C4= 2.000 · (1 + 0,08 x 4 ) = 2.640 €
►EJEMPLO RESUELTO
Cálculo del montante en C.S. i = vble
Se quiere conocer qué capital podremos retirar dentro de 3 años si hoy colocamos
1.000 euros al 5% de interés anual simple para el primer año y cada año nos suben el
tipo de interés simple un punto porcentual.
En este caso al ser el tipo de interés variable, para calcular el capital final, aplicaremos
la expresión:
n
Cn = C 0 · ( 1 + i1 + i2 + i3 + ... + in ) = C 0 ·( 1 +
∑i)
j
j =1
C3 = C0 · ( 1+ i1 + i2 + i3 ) = 1000 · ( 1+ 0,05 + 0,06 + 0,07 ) = 1180 €
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2.1.2 MAGNITUDES DERIVADAS
ƒ CÁLCULO DEL CAPITAL INICIAL:
Partiendo de la fórmula del capital final o montante y conocidos éste, la duración de la
operación y el tanto de interés (cte), bastará con despejar de la misma:
Cn = Co · ( 1 + n · i )
despejando C0 resulta:
C0 =
Cn
1+ n · i
►EJEMPLO RESUELTO
Cálculo del capital inicial en C.S. i = cte
¿Cuánto deberé invertir hoy si quiero disponer dentro de 2 años de 1.500 euros para
comprarme un coche, si me aseguran un 6% de interés anual simple para ese plazo?
Co = ?
Cn= 1500 €
i = 6% = 0,06
0
2 años
Cn = C0 ⋅ (1 + n · i) ⇒ 1.500 = C0 ⋅ (1 + 2 · 0,06)
C0 =
1.500
= 1.339,29 €
(1 + 2 · 0,06 )
ƒ CÁLCULO DE LOS INTERESES TOTALES:
Bastará con calcular los intereses de cada período, que siempre los genera el capital
inicial y sumarlos.
Intereses totales = I1 + I2 + … + In = C0 i1 + C0 i2 + … + C0 in
Luego:
n
Intereses totales = C 0 · ( i1 + i 2 + ... + in ) = C 0 ·
∑i
j
j=1
Si i1 = i2 = … = in = i = cte
Intereses totales = I1 + I2 + … + In = C 0 i + C 0 i + … + C 0 i = C 0 ·n·i
Por último, si conocemos los capitales inicial y final: I = Cn - C 0
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►EJEMPLO RESUELTO
Cálculo de los intereses en C.S. i = cte
¿Qué intereses producirán 300 euros invertidos 4 años al 7% simple anual?
Por suma de los intereses de cada período:
Intereses totales = I1 + I2 + I3 + I4 = C0 i + C0 i + C0 i + C0 i = C0 x i x 4 =
= 300 x 0,07 x 4 = 84 €
También se puede obtener por diferencias entre el capital final y el inicial:
In = 384 – 300 = 84 €
C4 = 300 x (1 + 0,07 x 4) = 384
►EJEMPLO RESUELTO
Cálculo de los intereses en C.S. i = cte
¿Qué interés producirán 6.000 euros invertidos 8 meses al 1% simple mensual?
In = C0 · i · n = 6.000 x 0,01 x 8 = 480 €
ƒ CÁLCULO DEL TIPO DE INTERÉS:
Si se conocen el resto de elementos de la operación: capital inicial, capital final y
duración, basta con tener en cuenta la fórmula general de la capitalización simple y
despejar la variable desconocida.
Cn
= 1+ n · i
C0
Cn = C0 · (1 + n · i)
►EJEMPLO RESUELTO
Cn
-1= n·i
C0
Cn
-1
C0
i=
n
Cálculo del tipo de interés en C.S. i = cte
Determinar el tanto de interés anual a que deben invertirse 1.000 euros para que en 5
años se obtenga un montante de 1.500 euros.
DATOS: Co = 1000 €
Cn = 1500 €
Calculamos i: Cn = C0 ⋅ (1 + n ⋅ i)
n = 5 años
1.500 = 1.000 ⋅ (1 + 5 ⋅ i)
1.500
= 1+ 5 ⋅ i
1.000
1.500
−1= 5 ⋅i
1.000
i = 0,10 = 10%
ƒ CÁLCULO DE LA DURACIÓN:
Por último, conociendo C0, Cn y el tipo de interés i, podemos calcular la duración
mediante la expresión:
Cn
-1
C0
Cn - C 0
I
=
=
n=
i
C0 · i
C0 · i
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2.1.3 TANTOS EQUIVALENTES EN CAPITALIZACIÓN SIMPLE
Dos tantos cualesquiera, expresados en distintas unidades de tiempo, son tantos
equivalentes cuando aplicados a un mismo capital inicial y durante un mismo
período de tiempo producen el mismo interés o generan el mismo capital final o
montante.
RELACIÓN DE EQUIVALENCIA entre el tipo de interés anual ( i ) y el tipo de interés
efectivo fraccionado ( ik ):
El montante obtenido utilizando i :
y utilizando ik :
Cn = C0 · (1 + n · i)
Cn = C0 · (1 + n·k · ik)
donde k es la frecuencia de capitalización, que indica el número de partes iguales en
las que se divide el período de referencia que se tome (habitualmente el año).
Igualamos
C0 · (1 + n · i) = C0 · (1 + n·k · ik)
Y simplificando obtenemos la relación de equivalencia:
i = k · ik
Por tanto, los tantos de interés equivalentes en simple son proporcionales.
2.1.4 NÚMEROS COMERCIALES: CONCEPTO Y CÁLCULO
En el caso de una cuenta corriente bancaria es frecuente que, debido a los
movimientos de dinero, el capital (saldo) sea variable.
Cuando se da esta circunstancia, para calcular los intereses usamos los números
comerciales, siendo estos el producto del capital (saldo) por la duración de su
periodo:
Ni = Ci · ni
De esta forma los intereses de una cuenta corriente, con saldos Ci, podemos
calcularlos de la siguiente manera:
I = C1 · i ·n1 + C 2 · i ·n 2 + .... + C n · i ·n n = i·(C1 · n1 + C 2 · n 2 + .... + C n · n n )
Luego: I = i·(N1 + N2 + ... + Nn )
2.1.5 INTERÉS SIMPLE ANTICIPADO
El tipo interés simple es anticipado (prepagable), y lo denotaremos i*, cuando los
intereses son prepagables, es decir, al principio del periodo.
La relación entre el tipo de interés simple anticipado ( i* ) y el tipo de interés al
vencimiento ( i ) para operaciones a un año es la siguiente:
(1 − i * ) × (1 + i) = 1 , de donde i * =
i
1+ i
, o bien, i =
i*
1- i*
Para un plazo distinto al año se obtiene:
i* =
i
1+ i · n
, o bien, i =
i*
1- i* · n
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2.2 Capitalización compuesta
Capítulo 2: Capitalización
2.2.1 DEFINICIÓN Y FÓRMULA GENERAL
Las operaciones en régimen de compuesta se caracterizan porque los intereses,
a diferencia de lo que ocurre en régimen de simple, a medida que se van
generando pasan a formar parte del capital de partida, se van acumulando, y
producen a su vez intereses en períodos siguientes (son productivos). En
definitiva, lo que tiene lugar es una capitalización periódica de los intereses. De esta
forma los intereses generados en cada período se calculan sobre capitales distintos
(cada vez mayores ya que incorporan los intereses de períodos anteriores).
ƒ CARACTERÍSTICAS DE LA OPERACIÓN:
Los intereses son productivos, lo que significa que:
• A medida que se generan se acumulan al capital inicial para producir nuevos
intereses en los períodos siguientes.
• Los intereses de cualquier período siempre los genera el capital existente al inicio de
dicho período.
ƒ DESARROLLO DE LA OPERACIÓN:
El capital al final de cada período es el resultado de añadir al capital existente al inicio
del mismo los intereses generados durante dicho período. De esta forma, la evolución
del montante conseguido en cada momento es el siguiente:
Momento 0: C0
Momento 1: C1 = C0 + I1 = C0 + C0 i = C0 · (1 + i)
Momento 2: C2 = C1 + I2 = C1 + C1 i = C1 · (1 + i) = C0 · (1 + i) · (1 + i) = C0 · (1 + i)2
Momento 3: C3 = C2 + I3 = C2 + C2 i = C2 · (1 + i) = C0 · (1 + i)2 · (1 + i) = C0 · (1 + i)3
Generalizando:
Cn = C 0 ·(1 + i)n
siendo (1+ i )n el factor de capitalización
Al igual que en capitalización simple, la duración (n) siempre ha de estar en la
misma unidad de tiempo que el tipo de interés (i).
Esta expresión:
-
Permite calcular el capital final o montante (Cn) en régimen de compuesta,
conocidos el capital inicial (C0), el tipo de interés (i) y la duración (n) de la
operación.
-
Es aplicable cuando el tipo de interés de la operación es constante. En caso
contrario habrá que trabajar con el tipo vigente en cada período.
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ƒ CASO TIPO DE INTERÉS VARIABLE:
Si el tipo de interés es variable la expresión para obtener el capital final o montante
sería:
n
Cn = C 0 · ( 1 + i1 )·(1 + i2 )·(1 + i3 )...(1 + in ) = C 0 ·
∏ (1 + i )
j
j =1
►EJEMPLO RESUELTO
Cálculo del montante en C.C. i = cte
Calcular el montante obtenido al invertir 200 euros al 5% anual durante 10 años en
régimen de capitalización compuesta.
Co = 200 €
C10= ?
0
10 años
i = 5% = 0,05
C10 = 200 · (1 + 0,05 )10 = 325,78 €
Si se hubiese calculado en simple:
C10 = 200 · (1 + 0,05 · 10) = 300 €
La diferencia entre los dos montantes (25,78 €) son los intereses producidos por los
intereses generados y acumulados hasta el final.
►EJEMPLO RESUELTO
Cálculo del montante en C.C. i = vble
Se quiere conocer qué capital podremos retirar dentro de 3 años si hoy colocamos
1.000 euros al 5% de interés anual compuesto para el primer año y cada año nos
suben el tipo de interés compuesto medio punto porcentual.
En este caso al ser el tipo de interés variable, para calcular el capital final, aplicaremos
la expresión:
n
Cn = C 0 · ( 1 + i1 )·(1 + i2 )·(1 + i3 )...(1 + in ) = C 0 ·
∏ (1 + i )
j
j =1
C 3 = C 0 ·(1 + i1 )·(1 + i 2 )·(1 + i3 ) = 1000·(1 + 0,05 )·(1 + 0,055 )·(1 + 0,06 ) = 1.174,21 €
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2.2.2 MAGNITUDES DERIVADAS
ƒ CÁLCULO DEL CAPITAL INICIAL:
Partiendo de la fórmula de cálculo del capital final o montante y conocidos éste, la
duración de la operación y el tanto de interés, bastará con despejar de la misma:
Cn = C0 · (1 + i)n
C0 =
de donde se despeja C0:
►EJEMPLO RESUELTO
Cn
(1 + i)n
Cálculo del capital inicial en C.C. i = cte
¿Cuánto deberé invertir hoy si quiero disponer dentro de 2 años de 1.500 euros para
comprarme un coche, si me aseguran un 6% de interés anual compuesto para ese
plazo?
Co = ?
Cn= 1500 €
0
2 años
i = 6% = 0,06
Cn = C0 ⋅ (1 + i)n
1.500 = C0 ⋅ (1 + 0,06)2
C0 =
1.500
= 1.334,99 €
(1 + 0,06)2
ƒ CÁLCULO DE LOS INTERESES TOTALES:
Conocidos los capitales inicial y final, se obtendrá por diferencia entre ambos:
I = Cn - C 0
En el caso de i = cte: I = C 0 ·(1 + i)n - C 0 = C 0 ·[ (1 + i)n - 1)
En el casi de i = vble I = C 0 ·
►EJEMPLO RESUELTO
n
n
j=1
j=1
]
∏ (1 + i j ) - C 0 = C 0 · [ ∏ (1 + i j ) - 1 ]
Cálculo de los intereses en C.C. i = cte
¿Qué intereses producirán 300 euros invertidos 4 años al 7% compuesto anual?
Calculamos primero el montante C4 = 300 (1 + 0,07)4 = 393,24 €
Luego, los intereses generados serán In = 393,24 – 300 = 93,24 €
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ƒ CÁLCULO DEL TIPO DE INTERÉS:
Si se conoce el resto de elementos de la operación: capital inicial, capital final y
duración, basta con tener en cuenta la fórmula general de la capitalización compuesta
y despejar la variable desconocida.
1
1
Cn = C0 · (1 + i)n
⎛ C ⎞n
i = ⎜⎜ n ⎟⎟ - 1
⎝ C0 ⎠
⎛ Cn ⎞ n
⎜
⎟
⎜ C ⎟ = (1 + i)
⎝ 0⎠
Cn
= (1 + i)n
C0
►EJEMPLO RESUELTO
Cálculo del tipo de interés en C.C. i = cte
Determinar el tanto de interés anual a que deben invertirse 1.000 euros para que en 12
años se obtenga un montante de 1.601,03 euros.
DATOS: Co = 1000 €
Cn = 1601,03 €
n = 12 años
Calculamos i:
Cn = C0 ⋅ (1 + i)n
1.601,03
= (1 + i)12
1.000
1.601,03 = 1.000 ⋅ (1 + i)12
1
1
1,60103 12 = (1 + i)
i = 1,60103 12 − 1 = 0,04 = 4%
ƒ CÁLCULO DE LA DURACIÓN:
Por último, conociendo C0, Cn y el tipo de interés i, podemos calcular la duración:
Cn = C0 · (1 + i)n
Cn
= (1 + i)n
C0
ln
ln
( ) = n·ln (1 + i)
Cn
C0
►EJEMPLO RESUELTO
( ) = ln (1 + i)
n=
Cn
C0
ln
n
( )
Cn
C0
ln (1 + i)
Cálculo de la duración en C.C. i = cte
Un capital de 2.000 euros colocado a interés compuesto al 4% anual asciende a 3.202
euros. Determinar el tiempo que estuvo impuesto.
DATOS: Co = 2000 €
Cn = 3202 €
3.202 = 2.000 · (1 + 0,04)n
i = 4%
3.202
= (1 + 0,04 )n
2.000
ln (1,601) = n·ln (1,04 )
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ln
(32..202
) = ln (1,04)n
000
n = 12 años
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2.2.3 TANTOS EQUIVALENTES EN CAPITALIZACIÓN COMPUESTA
La definición de tantos equivalentes es la misma que la vista en régimen de simple,
esto es, dos tantos cualesquiera, expresados en distintas unidades de tiempo,
son tantos equivalentes cuando aplicados a un mismo capital inicial y durante
un mismo período de tiempo producen el mismo interés o generan el mismo
capital final o montante.
En capitalización simple se comprobó que los tantos de interés equivalentes son
proporcionales, es decir, cumplen la siguiente expresión:
i = k · ik
Sin embargo, esta relación de proporcionalidad no va a ser válida en régimen de
compuesta, ya que al irse acumulando los intereses generados al capital de partida,
el cálculo de intereses se hace sobre una base cada vez más grande; por tanto,
cuanto mayor sea la frecuencia de capitalización antes se acumularán los intereses y
antes generarán nuevos intereses, por lo que existirán diferencias en función de la
frecuencia de acumulación de los mismos al capital para un tanto de interés dado.
Este carácter acumulativo de los intereses se ha de compensar con una aplicación de
un tipo más pequeño que el proporcional en función de la frecuencia de cómputo de
intereses. Todo esto se puede apreciar en el siguiente ejemplo, consistente en
determinar el montante resultante de invertir 1.000 euros durante 1 año en las
siguientes condiciones:
a) Interés anual del 12%
Cn = 1.000 x (1 + 0,12)1 = 1.120,00
b) Interés semestral del 6%
Cn = 1.000 x (1 + 0,06)2 = 1.123,60
c) Interés trimestral del 3%
Cn = 1.000 x (1 + 0,03)4 = 1.125,51
Los resultados no son los mismos, debido a que la capitalización de los intereses se
está realizando con diferentes frecuencias manteniendo la proporcionalidad en los
diferentes tipos aplicados.
Para conseguir que, cualquiera que sea la frecuencia de capitalización, el montante
final siga siendo el mismo es necesario cambiar la ley de equivalencia de los tantos.
RELACIÓN DE EQUIVALENCIA entre el tipo de interés anual ( i ) y el tipo de interés
efectivo fraccionado ( ik ):
El montante obtenido utilizando i :
y utilizando ik :
Cn = C0 · (1 + i)n
Cn = C0 · (1 + ik) n·k
donde k es la frecuencia de capitalización, que indica el número de partes iguales en
las que se divide el período de referencia que se tome (habitualmente el año).
Igualamos
18
C0 · (1 + i)n = C0 · (1 + ik) n·k
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n
Simplificamos: (1 + i) = (1 + ik)
Despejando:
i = (1 + ik )k 1
n·k
(1 + i) = (1 + ik) k
, o bien, ik
= (1 + i)1/ k 1
ƒ TANTO NOMINAL:
El tanto nominal jk es un tipo de interés anual proporcional al tipo de interés efectivo
fraccionado ik en capitalización compuesta.
Cuando nos den el valor del tanto nominal jk, calcularemos el efectivo fraccionado de
la siguiente forma:
ik =
jk
k
►EJEMPLO RESUELTO
Tantos equivalentes en C.C. i = cte
Un capital de 2.000 euros se invierte durante 10 años al 4% anual nominal
devengando los intereses mensualmente. Determinar:
a) el tipo de interés efectivo mensual
b) el tipo de interés efectivo anual.
c) el montante al cabo de los 10 años.
DATOS: Co = 2000 €
a) i12 =
n = 10 años
j12 = 4%
j12 0,04
=
= 0,00333 = 0,33%
12
12
b) i = (1 + i12 )12 1 = ( 1 +
0,04 12
)
1 = 0,04074 = 4,074%
12
n
nK
c) C10 = C 0 ·(1 + i) = C 0 ·(1 + ik ) = 2000·( 1 +
0,04 120
) = 2981,66 €
12
►EJEMPLO RESUELTO
Tantos equivalentes en C.C. i = cte
Una entidad ofrece un depósito a 2 años con pago de intereses al final de la
operación. Si el efectivo anual que anuncia es un 5% ¿cuál será el nominal anual?
Se pide calcular j1/ 2 ya que la frecuencia de capitalización K=1/2 (1 año es la mitad
del periodo de capitalización).
Calculamos en primer lugar i1/ 2 = (1 +
1
1
i) / 2
− 1 = (1 +
1
1
0,05) / 2
− 1 = 0,1025
Ahora calculamos el nominal j1/ 2 = 21 ⋅ i1/ 2 = 0,05125 = 5,125%
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19
MÓDULO 1: FUNDAMENTOS DE LA INVERSIÓN
Capítulo 3. Descuento
3.1 Introducción
3.2 Descuento comercial simple
3.3 Descuento racional simple
3.3.1 Tipo de interés en las letras del tesoro
3.4 Descuento racional compuesto
3.4.1 Definición y fórmula general
3.4.2 Actualización periódica de los intereses
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21
3.1 Introducción
Capítulo 3: Descuento
El descuento bancario es una operación de activo para las entidades financieras y uno
de los servicios bancarios de financiación a corto plazo más utilizados por las
empresas. La operación consiste en que la entidad financiera adelanta el importe de
un título de crédito no vencido (letra de cambio, pagaré, factura, recibo…),
descontando los intereses que corresponden por el tiempo que media entre la fecha
del anticipo y la fecha de vencimiento del crédito, las comisiones y demás gastos.
Las figuras que aparecen en la operación son: librador es la persona que emite el
documento, tenedor o tomador es la persona legitimada para cobrarlo y librado es la
persona obligada al pago.
En términos financieros, la entidad anticipa al cliente, el valor actual descontado de un
efecto comercial, y a vencimiento, el banco obtendrá el nominal. Se denomina
genéricamente efecto comercial a todo tipo de documento que evidencie que existe un
crédito a favor de la persona que lo posee, como consecuencia de la práctica habitual
de la empresa, contra otra que ha contraído dicha obligación o deuda.
Por tanto, las operaciones de descuento o de descapitalización son operaciones
financieras en las que se cambia un capital futuro por un capital presente, es decir, se
anticipa un capital (Cn,tn) hasta (Co,t0).
Al capital que figura en el documento (letra, factura, pagaré…) o capital futuro se le
denomina valor nominal (Cn).
El capital en el momento presente, se le llama valor actual, valor efectivo o valor
descontado (C0) .
La diferencia entre el valor nominal y el valor descontado es el descuento.
D = Cn – C0
El descuento depende, además de la cuantía del valor nominal, del tipo de interés
nominal aplicado y del tiempo.
Para el cálculo del descuento comercial en días se suele considerar el año comercial
de 360 días. Sin embargo, para operaciones de pasivo las entidades financieras
utilizan el año natural de 365 días.
Vamos a estudiar tres sistemas financieros de descuento:
1. Descuento comercial simple.
2. Descuento racional simple.
3. Descuento racional compuesto o actualización compuesta.
22
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3.2 Descuento comercial simple
Capítulo 3: Descuento
El descuento comercial simple es el más utilizado en la práctica bancaria y se lleva a
cabo para periodos inferiores a un año.
Fórmula general del valor descontado: C0 = Cn ·(1 - n · i)
siendo (1-n·i) el factor de actualización.
Fórmula general del descuento: D = C n
C 0 = Cn Cn ·(1 - n · i) = Cn · n · i
Donde: i = tipo de interés de descuento nominal = tanto de descuento nominal = d
C0 = valor descontado n = periodo de descuento
Cn = valor nominal
►EJEMPLO RESUELTO
Descuento comercial simple
Una entidad financiera descuenta una letra de cambio de 800 euros de nominal 80
días antes de su vencimiento. Sabiendo que el tipo de descuento nominal aplicado es
del 9% anual, se pide:
a) Valor del descuento realizado.
b) Valor descontado o efectivo que abona la entidad.
DATOS: Cn = 800 €
n = 80 días
a) D = Cn · n· i = 800 ·
d=i= 9%
80
· 0,09 = 16 €
360
b) C0 = Cn – D = 800 – 16 = 784 €
►EJEMPLO RESUELTO
Descuento comercial simple
Una entidad financiera descuenta una letra de cambio de 5000 euros de nominal
100 días antes de su vencimiento. Sabiendo que valor descontado o efectivo que
abona la entidad es 4785 €, calcular el tipo de interés nominal utilizado.
DATOS: Cn = 5000 €
n = 100 días
C0 = 4785 €
5000 4785
D = Cn · n · i
D
i=
=
= 0,1548 = 15,48%
5000 · 100 / 360
Cn · n
►EJEMPLO RESUELTO
Descuento comercial simple
Una entidad financiera descuenta una letra de cambio de 1500 euros de nominal
90 días antes de su vencimiento. Sabiendo que el tanto de descuento es del 8% anual,
que la comisión del 0,5% y que los impuestos ascienden a 30 euros, calcular el valor
efectivo de la letra.
0,5
90
E = 1.500 ⋅ (1 − 360
⋅ 0,08) − 1.500 ⋅ 100
− 30 = 1.432,5 €
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23
3.3 Descuento racional simple
Capítulo 3: Descuento
Fórmula general del valor descontado:
Partimos de la capitalización simple: Cn = Co · ( 1 + n · i )
y despejamos el valor de C0 , que sería el valor descontado: C 0 =
siendo
Cn
(1 + n · i)
1
el factor de actualización.
(1 + n · i)
Fórmula general del descuento: D = C n
C 0 = Cn
Cn
Cn · n ·i
=
(1 + n · i) (1 + n · i)
3.3.1 TIPO DE INTERÉS EN LAS LETRAS DEL TESORO
Las Letras del Tesoro son títulos de Deuda Pública emitidos por el Estado para su
financiación. Su plazo de vencimiento suele ser inferior a 18 meses, su valor nominal
es de 1.000 euros y presentan la peculiaridad de que se emiten al descuento. Es
decir, el suscriptor al comprar paga menos que el valor nominal del título, mientras que
en el momento del vencimiento recibe dicho valor nominal. Este menor precio en el
momento de la compra es la rentabilidad que ofrece el título. De esta manera, el
capital invertido será el precio pagado por la letra adquirida y los intereses que se
obtienen serán la diferencia entre ese precio de adquisición y el precio que se
obtenga por la letra cuando se venda o cuando se amortice (1.000 euros). El tipo de
interés en las Letras del Tesoro no se redondea, si no que se trunca en el quinto
decimal (o tercero del porcentaje).
Para calcular la rentabilidad que obtiene el inversor hay que distinguir entre Letras con
vencimiento a menos de 1 año y a más de 1 año:
a) Si se emiten a plazos inferiores o iguales a los 12 meses:
•
Se calculan aplicando las fórmulas del descuento racional simple.
•
Las emitidas a 12 meses (o 52 semanas) tienen una vida exacta de 364
días.
b) Si se emiten a 18 meses:
•
24
Se aplican las fórmulas del descuento racional compuesto.
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►EJEMPLO RESUELTO
Descuento racional simple
Las Letras del Tesoro a 12 meses se adjudicaron a un tipo de interés marginal del
2,975%. ¿Cuál es el precio marginal de la subasta o precio mínimo aceptado?
DATOS: Valor nominal = Cn = 1.000 €
d = n° de días = 364
Utilizamos la ley de descuento racional simple: C 0 =
C0 = P =
1.000
364
· 0,02975
1+
360
i = 2,975%
Cn
(1 + n · i)
= 970,79 euros
►EJEMPLO RESUELTO
Descuento racional simple
El importe que se abonó por una Letra del Tesoro a 12 meses fue de 980,75 euros.
Calcula el tipo de interés de la subasta.
DATOS: Valor nominal = Cn = 1.000 €
d = n° de días = 364
Utilizamos la ley de descuento racional simple: C 0 =
Sustituimos: 980,75 =
P = C0 = 980,75 €
Cn
(1 + n · i)
1000
y despejamos i = 0,01941 = 1,941%
364
· i)
(1 +
360
►EJEMPLO RESUELTO
Descuento racional simple
Un capital de 5000 euros se descuenta 30 días antes de su vencimiento a un 7%
anual. Calcular el descuento racional simple y el descuento comercial simple.
DATOS: Valor nominal = Cn = 5000 €
d = n° de días = 30
i = 7%
30
· 0,07
Cn · n · i
360
=
= 29 €
Descuento racional simple: D =
30
(1 + n · i)
(1 +
· 0,07)
360
5000 ·
Descuento comercial simple: D = C n · n · i = 5000 ·
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30
· 0,07 = 29,17 €
360
25
3.4 Descuento racional compuesto
Capítulo 3: Descuento
3.4.1 DEFINICIÓN Y FÓRMULA GENERAL
En esta ley financiera el descuento se calcula sobre el valor del capital actualizado al
inicio de cada periodo.
Fórmula general del valor descontado:
Partimos de la capitalización compuesta: Cn = C0 · (1 + i)
n
y despejamos el valor de C0 , que sería el valor descontado: C 0 =
Siendo
1
(1 + i)n
Cn
(1 + i)n
el factor de actualización
Fórmula general del descuento: D = C n
C 0 = Cn
►EJEMPLO RESUELTO
Cn
(1 + i)
n
= Cn · ( 1
1
(1 + i)n
)
Descuento racional compuesto
Sea un capital de 5000 euros que vence dentro de 10 años. Calcular el valor
descontado y el descuento utilizando la ley de actualización compuesta, siendo el tipo
de interés el 5% nominal anual.
DATOS: Valor nominal = Cn = 5000 €
Valor descontado: C 0 =
Cn
(1 + i)
n
=
duración = 10 años
5000
(1 + 0,05)10
i = 5%
= 3069,57 €
Descuento = Cn – C0 = 5000 – 3068,57 = 1930,43 €
3.4.2 ACTUALIZACIÓN PERIÓDICA DE LOS INTERESES
►EJEMPLO RESUELTO
Descuento racional compuesto
Sea un capital de 5000 euros que vence dentro de 3 años y medio. Calcular el valor
actual de dicho capital siendo el tipo de interés un 6% nominal actualizable
semestralmente.
DATOS: Valor nominal = Cn = 5000 €
C0 =
Cn
(1 +
26
j2 7
)
2
=
j2 = 6%
duración = 7 semestres
5.000
= 4.065,45 €
(1 + 0,03) 7
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►CUESTIONARIO
Capítulos 1- 3: CAPITALIZACIÓN Y DESCUENTO
1. ¿Cuánto vale una Letra del Tesoro, en tanto por ciento de nominal, si calculamos su
valor al 3% de interés y faltan 45 días para su vencimiento?
A)
B)
C)
D)
97,20 %
99,63 %
98,30 %
100 %
2. Si se realiza un ingreso de 9.000 euros a plazo fijo durante 5 años al 4% nominal anual.
Los intereses se abonan trimestralmente y se reinvierten ¿Cuál es el saldo final de la
operación?
A)
B)
C)
D)
10.981,71 €
11.025,85 €
10.949,87 €
10.988,97 €
3. Si adquiriese Letras del Tesoro a 1 año (exactamente a 360 días en base a 360) por
946€, siendo su valor nominal 1.000€ ¿qué rentabilidad obtendría en cada una de las
Letras a 1 año?
A)
B)
C)
D)
5,400%
5,708%
5,630%
5,880%
4. Nos ofrecen un depósito en el que se estima una rentabilidad nominal anual del 6% y
que trimestralmente abonan los intereses al depósito. Si decidimos aportar 12.000 euros,
¿Cuál será el capital dentro de 4 años?
A)
B)
C)
D)
15.309,86 €
15.227,83 €
15.149,72 €
15.245,87 €
5. En una inversión financiera a un año y a efectos de conseguir la mejor rentabilidad al
finalizar la operación, ¿Cuál de las siguientes operaciones escogería, suponiendo que
las condiciones de la operación se mantengan durante todo el año?
A)
B)
C)
D)
Interés nominal del 4,15% pagadero anualmente.
Interés nominal del 4,05% pagadero bimestralmente.
Interés nominal del 4,10% pagadero trimestralmente.
Interés nominal del 4,07% pagadero mensualmente.
6. En las operaciones de capitalización:
A)
B)
C)
D)
Se adelanta el cobro de un capital.
Se retrasa la disponibilidad de un dinero.
Se realiza un descuento sobre el valor nominal.
Se generan intereses que se van acumulando siempre al capital inicial.
7. Si depositamos un capital de 5.000 € ¿Qué capital final obtendremos, si dicha
imposición es a un plazo de 6 meses y es remunerada al 3% anual?
A)
B)
C)
D)
5.075 €
5.070 €
75 €
Ninguna de las anteriores.
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27
8. Una empresa descuenta una letra de 6.000,00€ que vence dentro de 90 días. La entidad
bancaria abona por la Letra 5.855 €. Calcula el tipo de interés nominal que aplica la
entidad, suponiendo que no existen gastos.
A)
B)
C)
D)
9,67 %
10 %
8,32 %
Ninguna de las anteriores.
9. Sabiendo que el tipo de interés nominal resultante en una subasta de Letras del
Tesoro a 12 meses es 3,645%, calcular el valor efectivo de dicha Letra.
A)
B)
C)
D)
35,55 €
964,45 €
963,55 €
96,445 €
10. ¿Qué capital hay que colocar al 4% de interés nominal anual para obtener, al cabo de
cuatro años, otro de 10.000 €? Se supone que el abono de intereses es trimestral y se va
acumulando al capital inicial.
A)
B)
C)
D)
8.528,21 €
1.471,78 €
8.874,49 €
5.339,08 €
11. Un depósito a plazo de 3 años permite recuperar al inversor 10.500 € por cada 9.000 €
de inversión. Calcula el tipo de interés nominal de dicho depósito, sabiendo que los
intereses se generan cada semestre y se acumulan al capital.
A)
B)
C)
D)
8,01 %
5,20 %
10,54 %
5,50 %
12. En una operación de actualización a interés compuesto, el valor efectivo disminuye a
medida que se hace menor:
A)
B)
C)
D)
La duración de la operación.
El tipo de interés nominal.
La frecuencia anual de actualización.
Ninguna es cierta.
13. Calcular el tipo de interés nominal anual que se está aplicando en un bono cupón
cero a 10 años, con cálculo semestral de intereses, si por un nominal de 1.000 € se
deben pagar 610 €.
A)
B)
C)
D)
6%
4%
5%
Ninguna de las anteriores.
14. El tipo de interés nominal de una imposición a plazo de 3 años es el 4% si los
intereses se acumulan mensualmente al capital. Calcular el tipo de interés efectivo anual
correspondiente.
A)
B)
C)
D)
4%
4,07 %
3,33%
6,01 %
28
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15. Un depósito a plazo ofrece un 5% de interés anual nominal con acumulación
trimestral de intereses. Por un capital inicial de 8.000 €, a los dos años y tres meses
obtendrá un capital final de:
A)
B)
C)
D)
8.952,58 €
8.928,24 €
8.900 €
8.946,34 €
16. Una operación de inversión de 25.000 € a cuatro años al 3,75% nominal con
capitalización mensual obtendrá un capital final de:
A)
B)
C)
D)
29.039,06 €
28.750,00 €
21.522,74 €
29.045,86 €
17. En una operación en que se descuenta un efecto comercial de nominal 6.000 € y
vencimiento a los 60 días a una tasa de descuento del 5% anual, el valor efectivo a
percibir es, suponiendo que se aplica la fórmula del descuento simple comercial:
A)
B)
C)
D)
5.700 €
5.950 €
5.850 €
Ninguna de las anteriores
18. En la misma operación de la pregunta anterior, ¿qué valor efectivo se percibirá si el
descuento es por modalidad matemática o racional?
A)
B)
C)
D)
5.700,00 €
5.950,00 €
5.950,41 €
Ninguna de las anteriores.
19. A que tipo de interés habría que invertir un capital hoy para que se duplique en 10
años:
A)
B)
C)
D)
6,25 %
5,53 %
7,18 %
8,11 %
20. En una operación financiera de 1 año, el tipo de interés a vencimiento es del 3%,
¿cuál es el tipo de interés simple anticipado?
A)
B)
C)
D)
3,09 %
3%
2,91 %
Ninguna de las anteriores.
21. Un cliente abre una cuenta corriente bancaria ingresando 3000 €. El tipo de interés
anual simple es del 4%. Al cabo de 10 días ingresa otros 1000 € más y 40 días después
retira 500 €. Si 30 días después la entidad financiera liquida los intereses, ¿cuál será su
importe?
A)
B)
C)
D)
11800 €
32,33 €
6,03 €
Ninguna de las anteriores.
fikai AULA FINANCIERA
29
22. ¿Cuál es el criterio para aplicar la ley simple o la compuesta en las operaciones de
capitalización?
A)
B)
C)
D)
El plazo.
La frecuencia de pago de intereses.
La reinversión de intereses.
No existe ningún criterio.
23. ¿Cual es el criterio para la aplicación de la ley simple o la compuesta en operaciones
de descuento?
A)
B)
C)
D)
El plazo.
La frecuencia de pago de intereses.
La reinversión de intereses.
No existe ningún criterio.
30
fikai AULA FINANCIERA
MÓDULO 1: FUNDAMENTOS DE LA INVERSIÓN
Capítulo 4. Tipos de interés y rentabilidad
4.1 Tipos de interés
4.1.1 Tasa nominal y efectiva en interés compuesto
4.1.2 Tipos de interés spot y forward
4.2 Rentabilidad
4.2.1
4.2.2
4.2.3
4.2.4
4.2.5
4.2.6
Rentabilidad nominal y real
Rentabilidad Simple
Tasa Anual Equivalente (TAE)
Tasa Interna de Rentabilidad (TIR)
Tasa de Rentabilidad Efectiva (TRE)
Tasa Geométrica de Rentabilidad (TGR)
fikai AULA FINANCIERA
31
4.1 Tipos de interés
Capítulo 4: Tipos de interés y rentabilidad
4.1.1 TASA NOMINAL Y EFECTIVA EN INTERÉS COMPUESTO
El tanto nominal jk es un tipo de interés anual proporcional al tipo de interés efectivo
fraccionado ik en capitalización compuesta.
Por tanto, la relación entre el tanto nominal capitalizable k-esimalmente jk y el tanto
efectivo k-esimal es:
ik =
jk
k
donde k es la frecuencia de capitalización.
Como vimos en el capítulo 2, el tipo efectivo anual compuesto = i = (1 + ik )k
1
Luego sustituyendo:
Tipo efectivo anual compuesto
i = ( 1+
jk k
) -1
k
y despejando jk en función de i :
Tanto nominal
jk = k · [
1
(1 + i) k
-1
]
▪ Si k > 1 el tipo de interés efectivo anual (i) es mayor que el tanto nominal (jk)
▪ Si k = 1, entonces i = j1
▪ Si k < 1 el tipo de interés efectivo anual (i) es menor que el tanto nominal (jk)
►EJEMPLO RESUELTO
Tanto nominal y tanto efectivo
Calcular el tipo de interés efectivo anual correspondiente a una operación de
capitalización al 10% nominal pagadero semestralmente.
DATOS: Tanto nominal pagadero semestralmente = j2 = 10%
SE PIDE: Tanto efectivo anual = i
Utilizamos la expresión: i = ( 1 +
i = ( 1+
32
j2 2
0,10
) - 1= ( 1+
2
2
)2
jk k
) - 1 para k = 2
k
1 = 0,1025 = 10,25% >10% = j2
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4.1.2 TIPOS DE INTERÉS SPOT Y FORWARD
Las operaciones al contado se liquidan a un tipo de interés al contado o “spot” y las
operaciones a plazo, es decir, contratadas en una fecha pero materializadas en una
fecha futura, se liquidan a un tipo de interés a plazo o “forward”.
Para vencimientos superiores al año se aplica el interés compuesto, y para
vencimientos inferiores a un año el interés simple.
La curva de tipos de interés o curva de rendimientos (yield curve) es la
representación gráfica en un eje de coordenadas, de los tipos spot observados en el
mercado (eje vertical) asociadas a los vencimientos de los activos (eje horizontal); en
un momento dado.
La Estructura Temporal de los Tipos de Interés (ETTI) es la curva construida con
los tipos de interés correspondientes a los bonos cupón cero sin riesgo. Esta curva nos
proporciona hoy las expectativas sobre la evolución de tipos futuros, es decir, si la
expectativa es de evolución de tipos al alza (curva ascendente), a la baja (curva
descendente) o de no variación (curva plana).
►EJEMPLO RESUELTO
Tipo de interés spot
Calcular el tipo spot correspondiente a una operación financiera de duración 2 años,
siendo el nominal del activo 1000 euros y el valor efectivo hoy 910,55 euros.
DATOS: Valor nominal = Cn = 1000 € Valor efectivo = C0 = 910,55 €
n = 2 años
El vencimiento del activo financiero es superior al año, luego utilizaremos interés
compuesto:
Cn = C0 · (1+i)n
sustituyendo: 1000 = 910,55 · (1+i)2
Y despejando: tipo spot asociado al plazo de 2 años = i = 0,0479 = 4,79%
►EJEMPLO RESUELTO
Tipo de interés forward
Sean dos activos A y B, el primero con un rendimiento del 6% a 1 año y el B con un
rendimiento del 7% a dos años. ¿Cuál será el tipo forward o implícito para una
inversión a un año, dentro de un año?
iA = 6%
0
iforward = ?
1
2
iB = 7%
Planteamos la siguiente igualdad:
(1 + i A )1·(1 + i forward )1 = (1 + iB ) 2
Sustituimos
(1 + 0,06)1·(1 + i forward )1 = (1 + 0,07) 2 y despejamos i forward = 0,08 = 8%
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33
4.2 Rentabilidad
Capítulo 4: Tipos de interés y rentabilidad
4.2.1 RENTABILIDAD REAL
La rentabilidad real de una inversión considera, además de la rentabilidad financiera,
otras variables tales como la fiscalidad, los gastos de gestión, las comisiones y la tasa
de inflación.
Para calcular la rentabilidad real, teniendo en cuenta estas variables, utilizaremos la
siguiente expresión:
(1 + rREAL ) · (1 + Π ) = (1 + rFF )
Así pues, rREAL =
1 + rFF
1+ Π
siendo
rREAL = La rentabilidad real
Π = La tasa de inflación
rFF = La rentabilidad financiero fiscal
1
►EJEMPLO RESUELTO
Rentabilidad REAL
Calcular la rentabilidad real de una inversión que ha tenido una rentabilidad financierofiscal del 4%, siendo la tasa de inflación del 4,5%.
DATOS:
rFF = 4%
Π = 4,5%
SE PIDE:
rREAL = ?
Para calcular la rentabilidad real utilizamos la expresión :
rREAL =
1 + rFF
1+ Π
1=
1 + 0,04
- 1 = - 0,0048 = - 0,48 % Rentabilidad real negativa.
1 + 0,045
►EJEMPLO RESUELTO
Rentabilidad REAL
Calcular la tasa de inflación sabiendo que una inversión que ha tenido una rentabilidad
financiero-fiscal del 6% y una rentabilidad real del 3%.
DATOS:
rFF = 6%
rREAL = 3%
SE PIDE:
Π= ?
Para calcular la tasa de inflación utilizamos la expresión (1 + rREAL ) · (1 + Π ) = (1 + rFF )
(1 + 0,03) · (1 + Π ) = (1 + 0,06)
34
⇒ Π=
1,06
− 1 = 0,029126 ≈ 2,91%
1,03
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4.2.2 RENTABILIDAD SIMPLE ( RS )
La expresión para determinar la rentabilidad simple RST es:
RS T =
PT + D T - P0
P0
donde
PT:precio del título al final del periodo T
DT:suma de los ingresos percibidos durante el periodo T
P0:precio del título al inicio del periodo
La rentabilidad simple supone que los dividendos y otros rendimientos se perciben al
final del periodo, o que se reinvierten a una tasa del 0% si se perciben antes.
►EJEMPLO RESUELTO
Rentabilidad simple
Hace dos años se adquirieron acciones de una compañía, siendo su cotización 15€.
Calcular la rentabilidad simple de cada uno de los dos años de una acción, sabiendo
que su cotización al final del primer año fue 18€ y al final del segundo año 17,1€.
15€
18€
0
1
17,1€
2
Para conocer en qué porcentaje se ha revalorizado anualmente la acción calculamos
la rentabilidad simple:
RS1 =
18 - 15
= 20%
15
RS 2 =
►EJEMPLO RESUELTO
17,1 - 18
= - 5%
18
Rentabilidad simple
Hace 6 meses compramos 100 acciones a 35 €/acción, pagando 44 € de comisión y
hoy la acción cotiza a 36,50€. Calcular la rentabilidad simple de la acción, sabiendo
que hace 3 meses se cobró un dividendo de 1,20 € por acción.
P0 = 100 × 35 + 44 = 3.544
P1 = 100 × 36,50 = 3.650
D1 = 100 × 1,20 = 120
3.650 + 120 − 3.544
= 6,37%
RS1 =
3.544
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35
4.2.3 TASA ANUAL EQUIVALENTE ( TAE )
El Banco de España, obliga a todas las entidades financieras a incluir este índice
desde el año 1990, en que publica la norma 8/1990 sobre “Transparencia de las
operaciones y protección de la clientela”.
El significado exacto es Tasa Anual Equivalente o Tasa Anual Efectiva. Es un
indicador que, en forma de tanto por ciento anual, revela el coste o rendimiento
efectivo de un producto financiero, ya que incluye el interés y los gastos y
comisiones bancarias.
Así, si una operación financiera no tiene comisiones ni gastos, su TAE coincidiría con
el tipo de interés efectivo anual.
La TAE se calcula de acuerdo con una fórmula matemática estandarizada que tiene en
cuenta el tipo de interés nominal de la operación, la frecuencia de los pagos
(mensuales, trimestrales, etc.), las comisiones y algunos gastos de la operación. En el
caso de los créditos, no se incluyen en el cálculo del coste efectivo algunos
conceptos, como los gastos que el cliente pueda evitar en uso de las facultades que
le concede el contrato, los gastos a abonar a terceros o los gastos por seguros o
garantías (salvo que la entidad imponga su suscripción para la concesión del crédito).
El cálculo de la TAE está basado en el tipo de interés compuesto en la hipótesis de
que los intereses obtenidos se vuelven a invertir al mismo tipo de interés y debe
calcularse con importes brutos (sin tener en cuenta aspectos fiscales).
La TAE es muy útil porque permite comparar distintos productos u opciones de
inversión, con independencia de sus condiciones particulares. Esto es así
especialmente entre productos de igual naturaleza, en los que los restantes
elementos, y en particular el riesgo que tienen, son idénticos.
Las entidades están obligadas a informar sobre la TAE de sus operaciones en la
publicidad que hagan de sus productos, en los contratos que formalicen con sus
clientes, en las ofertas vinculantes que realicen y en los documentos de liquidación
de operaciones activas y pasivas.
►EJEMPLO RESUELTO
TAE
Un cliente solicita un préstamo por 4.000 € que debe devolver a final de año en un sólo
pago que comprende el capital más los intereses (calculados mensualmente). El tipo
de interés nominal del préstamo es del 6% y la entidad financiera deduce los gastos de
gestión, por lo que realmente se entrega al cliente 3.950 €. Calcular la TAE.
Primero calculamos la contraprestación en t=1 (devolución del capital más intereses,
siendo j12 = 6%):
⎛ 0,06 ⎞
Contraprestación = C1 = C 0 ·(1 + i)n = P·(1 + i12 )12 = 4000·⎜1 +
⎟
12 ⎠
⎝
12
= 4246,71 €
Y a continuación, calculamos la TAE planteando la siguiente equivalencia financiera:
3950 =
36
4246,71
1 + TAE
Despejando: TAE = 7,51%
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►EJEMPLO RESUELTO
TAE_RETRIBUCIÓN EN ESPECIE
Un cliente contrata el Depósito iPhone. El producto consiste en que el cliente realiza
una imposición de 20.000 euros y en el momento de la contratación se lleva un
smartphone de los que llevan impresa una manzanita. Al cabo de un año recupera los
20.000 euros. Si la TAE anunciada es del 3%, hallar el valor del iPhone.
El cliente aporta 20.000 euros pero se lleva el iPhone, por lo que realmente está
renunciando a 20.000 menos el valor del regalo (X).
Hallamos X para que 20.000 – X capitalizados un año se conviertan en 20.000:
(20.000 − X) ⋅ (1 + 0,03) = 20.000
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X = 582,52 €
37
4.2.4 TASA INTERNA DE RENTABILIDAD ( TIR )
La Tasa Interna de Retorno o Tasa Interna de Rentabilidad (TIR) de una inversión,
está definida como la tasa de interés con la cual el valor actual neto o valor presente
neto (VAN o VPN) es igual a cero.
El VAN o VPN es calculado a partir de los flujos positivos y negativos de capital,
trasladando todas las cantidades futuras al presente.
La expresión que permite calcular el VAN es:
N
VAN =
D0 +
∑ (1 + i)
Qj
j
j =1
Donde:
VAN = Valor Actual Neto.
Do = Desembolso inicial.
Qj = Flujo de Caja en el periodo j.
i = tasa de descuento o actualización
La obtención del VAN constituye una herramienta fundamental para la evaluación y
gerencia de proyectos, así como para la administración financiera.
La Tasa Interna de Retorno (TIR) es el tipo de descuento que hace igual a cero el
VAN. Así pues, para calcular la TIR plantearemos la siguiente ecuación:
N
D0 +
∑ (1 +QTIR)
i
i
=0
TIR
i =1
Esta tasa interna de rentabilidad TIR corresponde a la rentabilidad del inversor,
asumiendo que los flujos periódicos se reinvierten a una tasa igual a la TIR.
►EJEMPLO RESUELTO
Cálculo de la TIR
Un cliente adquirió 2.000 participaciones de un fondo de inversión que cotizaban a 4 €.
Al cabo de un año vendió 600 participaciones que en ese momento cotizaban a 5 €.
Si al cabo de dos años la cotización de la participación del fondo es de 6 €, calcular la
TIR de esta inversión.
El desembolso inicial de la inversión = Do = 2.000 · 4 = 8.000 €
En t = 1, cobra Q1 = 600 · 5 = 3.000 €
En t = 2, cobra Q2 = 1.400 · 6 = 8.400 €
Para calcular la TIR de este flujo de cobros y pagos planteamos la siguiente ecuación:
N
D0 +
∑ (1 +QTIR)
i
i =1
i
=0
8.000 +
3.000
1
(1 + TIR )
+
8.400
(1 + TIR ) 2
=0
TIR = 22,92%
Nota: La ecuación que resulta, en general, es muy complicada de resolver manualmente por lo que el
cálculo se realiza por tanteo o usando calculadora financiera.
38
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4.2.5 TASA DE RENTABILIDAD EFECTIVA ( TRE )
En el cálculo de la Tasa de Rentabilidad Efectiva (TRE) se considera que un capital
cobrado puede reinvertirse al tipo de interés vigente.
Para calcular la TRE:
Primero, calculamos el montante (Cn) de la inversión capitalizando los flujos de caja al
tipo de interés correspondiente.
A continuación, planteamos la siguiente ecuación:
C n = C 0 ·(1 + TRE)n y despejamos la tasa TRE
1
n
⎞
⎛C
TRE = ⎜⎜ n ⎟⎟
⎝ C0 ⎠
1
Si el tipo de interés de reinversión es menor que la TIR Î TRE < TIR
Si el tipo de interés de reinversión es mayor que la TIR Î TRE > TIR
►EJEMPLO RESUELTO
Cálculo de la TRE
¿Cuál ha sido la rentabilidad efectiva de la siguiente operación si suponemos que el
inversor reinvierte los cupones anuales y amortiza el bono a vencimiento?
Compra:
Vencimiento:
Cupón anual:
Valor nominal:
TIR de adquisición:
Precio de compra:
15-05-2001
15-05-2005
4,5%
1.000 €
6,25%
93,97%
Tipos de interés a un año
15-05-2001:
3,50%
15-05-2002:
3,80%
15-05-2003:
4,70%
15-05-2004:
5,25%
Primero calculamos el valor final de los cupones percibidos y del nominal a
vencimiento utilizando los tipos de interés dados:
Cn=45·(1+0,038)·(1+0,047)·(1+0,0525)+45·(1+0,047)·(1+0,0525)+45·(1+0,0525)+1045=
= 1193,42 €
A continuación, planteamos la siguiente ecuación:
C n = C 0 ·(1 + TRE)n
y sustituyendo: 1193,42 = 939,7 · (1+TRE)4
Despejando la tasa de rentabilidad efectiva: TRE = 0,06157 = 6,16 % < TIR ya que los
tipos de interés de reinversión han sido inferiores a la TIR.
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39
4.2.6 TASA GEOMÉTRICA DE RENTABILIDAD ( TGR )
La Tasa Geométrica de Rentabilidad (TGR) (Time-weighted rate of return) es la
rentabilidad del gestor de la cartera y se calculará realizando la media geométrica de
las rentabilidades simples de los diferentes periodos.
Para ello seguiremos los siguientes pasos:
Primero, determinamos las rentabilidades simples para cada subperiodo de inversión.
A continuación, planteamos la igualdad:
(1 + TGR)n = (1 + RS1 )·(1 + RS 2 )·...·(1 + RSn )
Y por último despejamos la TGR:
1
TGR = [(1 + RS1 )·(1 + RS 2 )·...·(1 + RS n )]n − 1
Esta es la rentabilidad que mide sólo la actuación del gestor quitando la influencia de
las decisiones del inversor de aportar o retirar fondos de la cartera.
Comparando la TIR y la TGR se puede analizar el grado de acierto de la política de
entradas y salidas de capital de la inversión llevada a cabo:
▪ Si TIR > TGR, el inversor ha acertado en sus decisiones.
▪ Si TIR = TGR, el resultado es indiferente de la política llevada a cabo.
▪ Si TIR < TGR, el inversor se ha equivocado en su política
►EJEMPLO RESUELTO
Cálculo de la TGR
Un gestor aconsejó a un inversor adquirir participaciones de un fondo de inversión que
cotizaban a 4 €.
Al cabo de un año las participaciones cotizan a 6 € y a los dos años cotizan a 5 €.
Calcular la tasa geométrica de rentabilidad.
Primero, determinamos las rentabilidades simples para cada año:
RS1 =
6-4
= 0,5 = 50%
4
RS 2 =
5-6
= - 0,1667 = - 16,67%
6
A continuación, hallamos la media geométrica:
1
TGR = [(1 + RS1 )·(1 + RS 2 )] 2
40
1
1 = [(1 + 0,50)·(1 - 0,1667)] 2 1 = 11,8 %
fikai AULA FINANCIERA
►EJEMPLO RESUELTO
Cálculo de la TGR
Las rentabilidades anuales del Kutxabank Bono FI en el periodo 2009 – 2013 han sido
4,44%, 0,78%, 2,92%, 4,55% y 4,44%. Calcular la Rentabilidad Acumulada del fondo y
la Tasa Geométrica de Rentabilidad a 3 y 5 años
En primer lugar calculamos las rentabilidades acumuladas y posteriormente
calculamos las rentabilidades anualizadas:
A 3 años
1 + R ACUM
3 AÑOS
= 1,0292 ⋅ 1,0455 ⋅ 1,0444 = 1,12380
(1 + R ANUAL 3 AÑOS ) 3 = 1,1238
⇒ R ACUM 3 AÑOS = 12,38%
⇒ R ANUAL 3 AÑOS = 0,03967 ≈ 3,97%
A 5 años
1 + R ACUM
5 AÑOS
= 1,0441⋅ 1,0078 ⋅ 1,0292 ⋅ 1,0455 ⋅ 1,0444 ⇒ R 5 AÑOS = 18,25%
(1 + R ANUAL 5 AÑOS ) 5 = 1,1825
fikai AULA FINANCIERA
⇒ R ANUAL 5 AÑOS = 0,03409 ≈ 3,41%
41
►CUESTIONARIO
Capítulo 4: TIPOS DE INTERÉS Y RENTABILIDAD
1. Sean dos activos A y B, el primero con un rendimiento del 8% a 1 año y el B con un
rendimiento del 10% a dos años. ¿Cuál será el tipo forward o implícito para una inversión
a un año, dentro de un año?
A)
B)
C)
D)
El 10%
El 12%
El 11,5%
Ninguno de los anteriores.
2. La rentabilidad efectiva de un bono es mayor que su TIR cuando:
A)
B)
C)
D)
El tipo de interés es superior a su TIR.
El tipo de interés es inferior a su TIR.
El tipo de interés es igual a su TIR.
Ninguna de las anteriores.
3. La TAE de una operación sin comisiones que rinde un 4% nominal acumulable
trimestralmente es:
A)
B)
C)
D)
4%
1%
4,074%
4,06%
4. Una entidad bancaria oferta una póliza de ahorro al 5,35% TAE. ¿Cuál es el interés
nominal aplicado, si el abono de intereses es trimestral?
A)
B)
C)
D)
5,22%
5,25%
5,46%
5,35%
5. Para calcular el coste o la rentabilidad de una operación financiera teniendo en cuenta
la frecuencia de capitalización o descuento y también los gastos y comisiones, se utiliza:
A)
B)
C)
D)
Tipo de interés nominal.
Tipo de interés efectivo.
TAE.
Ninguno de los anteriores.
6. Indica cuál de las siguientes afirmaciones es correcta:
A) La TAE siempre es superior al tipo de interés nominal.
B) La TAE la definen, para cada operación, las propias entidades financieras estableciendo los
criterios para su cálculo.
C) La TAE tiene en cuenta todos los gastos de una operación.
D) La TAE puede coincidir, en algún caso, con el tipo de interés efectivo.
7. La TAE de una operación sin comisiones que rinde un 3% nominal acumulable
bimestralmente es:
A)
B)
C)
D)
3,0000 %
3,0225 %
3,0378 %
0,5000 %
42
fikai AULA FINANCIERA
8. Una persona compra unas acciones por 6.250 €. Al cabo de 1 año recibe unos
dividendos de 180 €, y a los 2 años de 240 €. Si vende las acciones a los 3 años por
7.500€ y paga en ese momento 40 € en concepto de gastos, la ecuación que permite
determinar la TIR, i, de la inversión es:
A)
B)
C)
D)
180
(1+i)
180
(1+i)
+
+
180
(1+i)
180
(1+i)
+
+
240
(1+i)
2
240
(1+i)
2
240
(1+i)
2
240
(1+i)
2
+
+
7.540
(1+i)
3
7.460
(1+i)
+
=
3
= 6.250
= 6.250
7.500
(1+i)
= 6.210
3
7.540
(1+i)
3
+ 6.250
9. En un préstamo hipotecario sin comisión de apertura que cobra una comisión de
cancelación del 1% y cuya tasa de interés nominal es del 6% liquidable mensualmente la
Tasa Anual Equivalente será:
A)
B)
C)
D)
5%
6%
6,17 %
6,37 %
10. La tasa de crecimiento del PIB de un determinado país han sido: 8%, 6%, 4%, 2%, en
los últimos 4 años. Su media geométrica es:
A)
B)
C)
D)
5%
6%
3,98%
4,98%
11. Si las rentabilidades obtenidas por un fondo de inversión durante los últimos 3 años
han sido, respectivamente, 8’12%, - 3’23% y 5’80%, la tasa geométrica de rentabilidad
será:
A)
B)
C)
D)
10,69 %
3,26 %
5,34 %
3,45 %
12. ¿Cuál será la rentabilidad real de una inversión que ha tenido una rentabilidad
financiero-fiscal del 8% y una tasa de inflación del 4%?
A)
B)
C)
D)
4%
3,265 %
3,846 %
3,455 %
13. ¿Cuál es la TIR de un proyecto cuya inversión es de 1.000 € y los flujos de caja son
de 300 € (año 1), 400 € (año 2) y 500 € (año 3)?
A)
B)
C)
D)
20 %
8’90 %
12’50 %
9’18 %
fikai AULA FINANCIERA
43
14. Si ésta es la situación del mercado interbancario de depósitos del Euribor:
Tipos
Tipos
Tipos
Tipos
Tipos
Tipos
a
a
a
a
a
a
1
2
3
6
9
12
mes
meses
meses
meses
meses
meses
2’25 %
2’27 %
2’30 %
2’41 %
2’53 %
2’66 %
¿Qué previsión está haciendo el mercado de cómo van a estar los tipos de interés para
el plazo de 3 meses de hoy en 6 meses?
A)
B)
C)
D)
2’630 %
2’506 %
2’737 %
Ninguna de las anteriores.
15. ¿Qué es la TIR?
A) La tasa de rentabilidad que se va a conseguir en cualquier tipo de inversión,
independientemente del tipo de reinversión.
B) La tasa anual equivalente a una operación de tipo de interés simple, pero sólo el interés es
pospagable o vencido e inmediato.
C) La tasa de actualización que hace que el VAN de una inversión sea cero.
D) La tasa nominal de una inversión.
16. ¿Cuál será la rentabilidad geométrica anualizada de una inversión que genera los
siguientes flujos de caja anuales?
Años
1
2
3
A)
B)
C)
D)
Inicio
de
inversión
200 €
250 €
350 €
la Fin
de
inversión
250 €
350 €
400 €
la
26,40%
18,37%
66,67%
25,99%
17. Una persona compra unas acciones por 6.250 €. Al cabo de 1 año recibe unos
dividendos de 180 €, y a los 2 años de 240 €. Si vende las acciones a los 3 años por
7.500 € y paga en ese momento 40 € en concepto de gastos y considerando que los
dividendos se reinvierten a una tasa del 1’5% anual, la tasa de rentabilidad efectiva de la
operación, expresada en término anual, es:
A)
B)
C)
D)
6,077 %
8,742 %
6,453 %
8,072 %
18. Si la TIR de una cartera en el último semestre ha sido del 8% y la TGR del 13%,
podemos concluir que:
A) El inversor se ha equivocado en la elección de los momentos de compra y venta de los
activos de la cartera.
B) El inversor ha acertado en la elección de los momentos de compra y venta de los activos de
la cartera.
C) El inversor ha acertado en la selección de los títulos que forman la cartera.
D) El inversor se ha equivocado en la selección de los títulos que forman la cartera.
44
fikai AULA FINANCIERA
MÓDULO 1: FUNDAMENTOS DE LA INVERSIÓN
Capítulo 5. Rentas Financieras
5.1 Definiciones
5.2 Clasificación
5.3 Rentas Financieras Constantes
5.4 Rentas Financieras Variables
fikai AULA FINANCIERA
45
5.1 Definiciones
Capítulo 5: Rentas Financieras
RENTA: Un conjunto de capitales (M1; x1) (M2; x2) ...... (Mn; xn) con vencimientos
equidistantes
⎥
x0
Luego
M1
⎥
x1
M2
⎥
x2
M3
⎥
x3
⎥
xn-1
Mn
⎥
xn
x2 - x1 = x3 - x2 =…= xn - xn-1
TERMINO DE LA RENTA: es cada uno de los capitales que la constituyen.
ORIGEN DE LA RENTA: es el momento en el que comienza la operación = x0.
FINAL DE LA RENTA: es el momento en el que se extingue la operación = xn.
DURACION DE LA RENTA: xn - x0
46
fikai AULA FINANCIERA
5.2 Clasificación
Capítulo 5: Rentas Financieras
1. Según el número de términos de que constan las rentas
Temporales: Son aquellas rentas que constan de un número finito de términos.
Perpetuas:
Son aquellas rentas que constan de un número ilimitado de términos.
Un ejemplo de renta perpetua lo representa la pensión de jubilación de
una persona.
2. Según el momento de la valoración de la renta
Inmediatas:
Son aquellas en las que la valoración actual de la renta tiene lugar en el
primer período en el que la duración de la renta se encuentra dividido.
Diferidas:
Son aquellas en las que la valoración actual de la renta tiene lugar en
un número determinado de períodos antes del vencimiento del primer
término de la renta. Este número, que lo indicaremos por d, recibe el
nombre de período de diferimiento.
Anticipadas: Son aquellas en las que la valoración de la renta tiene lugar en un
número determinado de períodos después del vencimiento del último
término de la renta. Este número, que lo indicaremos por f, recibe el
nombre de período de anticipación.
3. Según la naturaleza de la cuantía de los términos
Constantes: Son aquellas cuyos términos son todos de igual cuantía.
Variables:
Son las que están constituidas por términos diferentes y que
normalmente seguirán una determinada ley de variación.
Cuando los términos de la renta son constantes e iguales a la unidad de capital, se
dice que la renta es unitaria
4. Según el vencimiento de los términos de la renta
Prepagables: Son aquellas en las que cada término vence en el extremo inferior del
correspondiente período.
Pospagables: Son aquellas en las que cada término vence en el extremo superior del
correspondiente período.
A las rentas prepagables algunos autores las denominan con pago anticipado, y las
pospagables, rentas con pago por vencido.
fikai AULA FINANCIERA
47
5.3 Rentas financieras constantes
Capítulo 5: Rentas Financieras
5.3.1 RENTA ANUAL, DE TÉRMINOS CONSTANTES, POSPAGABLE,
INMEDIATA Y TEMPORAL
⎥
0
M
⎥
1
M
⎥
2
M
⎥
3
⎥
n-1
▪ Valor Actual = VA = ( Va)n i = M ·
▪ Valor Final = VF = ( Vs)n i = M ·
M
⎥
n
1 - (1 + i) -n
(1 + i)n - 1
= M·
= M·a n i
i
i·(1 + i)n
(1 + i)n − 1
= M·s n i
i
5.3.2 RELACIONES
Valor Actual y Valor Final: Valor Final = Valor Actual × (1 + i)n
Rentas prepagables: VA/VF Prepagable = VA/VF Pospagable × (1 + i) si es anual
Rentas diferidas: VA Diferida = VA Inmediata × (1 + i) − d siendo d = número de
periodos antes del primer periodo de la renta
Rentas anticipadas: VF Anticipada = VF Inmediata × (1 + i) f siendo f = número de
periodos después del ultimo término de la renta
Rentas perpetuas constantes: ( Va)∞ i = M ·
48
1
i
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5.4 Rentas financieras variables
Capítulo 5: Rentas Financieras
5.4.1 RENTA ANUAL, DE TÉRMINOS VARIABLES EN PROGRESIÓN
GEOMÉTRICA, POSPAGABLE, INMEDIATA Y TEMPORAL
⎧
1 − qn ·(1 + i)−n
M
·
⎪ 1
1+ i − q
⎪
▪ Valor Actual = VA = A(M1; q)n i = ⎨
⎪M ·(1 + i)−1n
⎪ 1
⎩
▪ Valor Final = VF = S(M1; q)n i
⎧
(1 + i)n − qn
⎪M1 ·
1+ i − q
⎪
=⎨
⎪M ·(1 + i)n−1 n
⎪ 1
⎩
si q ≠ 1 + i
si q = 1 + i
si q ≠ 1 + i
si q = 1 + i
5.4.2 RENTA ANUAL, DE TÉRMINOS VARIABLES EN PROGRESIÓN
ARITMÉTICA, POSPAGABLE, INMEDIATA Y TEMPORAL
▪ Valor Actual = VA = A(M1; π)n i = (M1 +
▪ Valor Final = VF = S(M1; π)n i = (M1 +
fikai AULA FINANCIERA
nπ
π
+ nπ)·an i −
i
i
nπ·(1 + i)n
π
+ nπ)·S n i −
i
i
49
►CUESTIONARIO
Capítulo 5: RENTAS FINANCIERAS
1. Una familia quiere hacer realidad su sueño de estar viajando durante 6 meses o más,
para ello han calculado que necesitan disponer dentro de 5 años de 30.000 €. Quieren
que se les calcule, en una póliza Universal que les garantiza el 4% de interés nominal
anual, cuál sería la prima mensual que deben invertir (dicha aportación mensual se
realizaría al principio del mes y los intereses se reinvierten con periodicidad mensual).
A)
B)
C)
D)
450’99 €
8.234’34 €
728’65 €
7.638’65 €
2. Don Luis decide comprarse un coche con el ahorro que ha generado durante unos
años. Inicialmente da una entrada y pide un préstamo a 5 años por los 60.000 € que le
quedarían para pagar. El tipo de interés nominal anual que le ofrecen es el 5’25% y la
comisión de apertura es del 1’25% sobre el principal, y la abona de forma separada, ya
que la cifra que recibe por el importe del préstamo es 60.000 €. Quiere saber a cuánto
ascendería la cuota mensual constante.
A)
B)
C)
D)
1.139’16 €
1.625’15 €
7.864’89 €
7.652’34 €
3. Calcula la cuota anual de un préstamo que se amortiza por el sistema francés si el
capital inicial son 15.000 €, el tipo de interés efectivo anual es el 5% y el plazo de 6 años:
A)
B)
C)
D)
2.955,26 €
3.250,00 €
2.500,00 €
Ninguna de las anteriores.
4. ¿Cuántos años hacen falta para devolver un préstamo de 6.750 € si la cuota de
amortización constante es de 843.75 €?
A)
B)
C)
D)
10 años
9 años
8 años
Dependerá del tipo de interés del préstamo.
5. Si un cliente quiere constituir un capital final de 30.000 € en 5 años y le ofertamos un
fondo que tiene una rentabilidad garantizada del 4’074% de TAE. ¿Cuál será la cuota que
deberá ingresar mensualmente por vencido?
A)
B)
C)
D)
452’50 €
5.538’81 €
528’65 €
638’65 €
6. El valor actual de una renta anual pospagable con una duración de 7 años es 25.345 €
(Tipo de interés 3%). ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera?
A)
B)
C)
D)
Su valor final es 31.182,27 €
Su valor actual si fuese prepagable sería 25.998.65 €
Su valor final si fuese prepagable sería 32.106,29 €
Ninguna de las anteriores.
50
fikai AULA FINANCIERA
7. ¿Cuál es el valor inicial de una renta constante, inmediata y pospagable de 9 períodos
anuales cuyo término es de 340 € si el tipo de interés es del 3%?
A)
B)
C)
D)
2.607,82 €
2.647,28 €
2.578,90 €
Ninguna de las anteriores.
8. Si la renta anterior fuera prepagable, ¿cuál sería su valor final?
A)
B)
C)
D)
3.454,10 €
3.557,72 €
3.568,13 €
Ninguna de las anteriores.
9. Hoy es 28-05-06 y un cliente que cumple hoy 51 años, va a abrir un Plan de Pensiones
en el que realizará una aportación anual de 5.000 € un día antes de su cumpleaños, con
una garantía de rentabilidad del 3’8% anual. ¿Cuál será el capital final que tendrá al
cumplir los 65 años?
A)
B)
C)
D)
85.214’83 €
90.214’83 €
93.642’99 €
82.095’21 €.
10. Calcular el valor final de una renta pospagable de 6 períodos y un término de 700 €,
anticipada 4 períodos si el tipo de interés es del 4%.
A)
B)
C)
D)
5.431,75 €
3.688,00 €
4.235,23 €
4.200,00 €
11. Calcular el valor inicial de una renta prepagable de 5 periodos, con un término de
800€, diferida 3 períodos si el tipo de interés es del 4%.
A)
B)
C)
D)
3.166,12 €
3.560,00 €
3.292,77 €
4.000,00 €
12. Calcular el valor inicial de una renta pospagable de 6 períodos, cuyos términos
evolucionan según una progresión aritmética de razón 15 €, siendo el capital inicial de
900 € y el tipo de interés del 4%.
A)
B)
C)
D)
9.397,36 €
9.406,65 €
4.905,52 €
Ninguna de las anteriores.
13. Se ha concedido un préstamo de 18.000 € a 4 años, con un tipo de interés fijo
nominal anual del 7’25% y una comisión de apertura aplicada del 1’5%, que se debe
abonar independientemente del préstamo solicitado el primer día de la operación.
Calcular la cuota mensual a pagar por dicho préstamo.
A)
B)
C)
D)
433’12 €
1.351’98 €
5.344’13 €
426’63 €
fikai AULA FINANCIERA
51
14. Calcular el valor Inicial de una renta pospagable e inmediata de 14 períodos
semestrales y constante, con un término semestral de 750 € utilizando un tipo de interés
semestral del 1,75%.
A)
B)
C)
D)
9.241,50 €
10.500,00 €
4.580,67 €
Ninguna de las anteriores.
15. Definir que tipo de renta sería la descrita a continuación:
• Bono del Estado a 3 años.
• Cupones anuales fijos constantes una vez al año los días 31-5-2009, 31-5-2010 y
31-5-2011.
• Vencimiento 31-5-2011
A) Renta constante, perpetua, vencida y prepagable más un término adicional que es el valor
nominal.
B) Renta variable en progresión aritmética, temporal, vencida y pospagable más un término
adicional que es el valor nominal.
C) Renta constante, temporal, inmediata y pospagable más un término adicional que es el valor
nominal.
D) Renta constante, temporal, inmediata y prepagable más un término adicional que es el valor
nominal.
16. Si se compra un televisor que tiene un valor 1.265 € y hay el compromiso de pagar 11
mensualidades vencidas de 120 €. ¿Cuál es la TAE de la operación?
A)
B)
C)
D)
0’72%
0’79%
8’21 %
8’94%
17. Para disponer de 10.000 € dentro de 3 años se formaliza un depósito a plazo fijo en el
que se realizarán ingresos constantes, trimestrales y anticipados. Si el tanto de interés
del depósito es del 6% nominal acumulable trimestralmente, el importe de cada ingreso
será:
A)
B)
C)
D)
766’80 €
3.141’10 €
755’47 €
778,30 €
18. ¿Qué cantidad nos concederá hoy una entidad financiera que ofrece préstamos al
0,375% de interés efectivo mensual si pactamos devolver 1.300 euros al mes durante 20
años?
A)
B)
C)
D)
203.221,21 €
205.485,07 €
214.500,00 €
Ninguna de las anteriores es correcta.
52
fikai AULA FINANCIERA
►SOLUCIÓN DE LOS CUESTIONARIOS
MODULO 1: FUNDAMENTOS DE LA INVERSIÓN
CAPÍTULOS
1, 2 y 3
1
B
2
A
3
B
4
B
5
C
6
B
7
A
8
A
9
B
10
A
11
B
12
D
13
C
14
B
15
D
16
A
17
B
18
C
19
C
20
C
21
B
22
C
23
A
CAPÍTULO 4
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
B
A
D
B
C
D
C
B
C
D
D
C
B
C
C
D
D
A
CAPÍTULO 5
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
A
A
A
C
A
C
B
B
B
A
C
C
A
A
C
D
C
B
►BIBLIOGRAFÍA
MODULO 1: Fundamentos de la Inversión
▪ ALEGRE ESCOLANO, P. y otros (1990): "Ejercicios resueltos
Matemáticas de las Operaciones Financieras". Ed. AC, Madrid.
de
▪ BETZUEN ZALBIDEGOITIA, Amancio (2001): "Curso de Matemáticas
Financieras: Análisis Financiero Fundamental, Rentas y Constitución de
Capitales". Instituto de Estudios Financiero-Actuariales. Bilbao.
▪ BETZUEN ZALBIDEGOITIA, Amancio (1992): "Curso de Matemáticas
Financieras: Operaciones de Préstamos, Operaciones de Empréstito
obligaciones". Instituto de Estudios Financiero-Actuariales. Bilbao.
▪ BETZUEN, Amancio; BILBAO, Alberto; GOMEZ, Rosalía; DE LA PEÑA,
J.Iñaki(1994): "Matemática Financiera: Ejercicios resueltos". Instituto de
Estudios Financiero-Actuariales. Bilbao.
▪ DE PABLO LOPEZ, A. (1994): "Matemática de las operaciones Financieras".
Vol. 1 y 2. Ed. UNED. Madrid.
▪ GONZALEZ CATALA, V. (1991): "Enfoque práctico de las Operaciones de la
Matemática Financiera". Ed. Ciencias Sociales. Madrid.
▪ Bárcena, M.J.; Fernández, K.; Ferreira, E. y Garín, M.A. (2003). Elementos de
Probabilidad y Estadística Descriptiva. Servicio Editorial de la Universidad del
País Vasco, UPV/EHU.
▪ J. Arteche et al. (2000). Ejercicios de estadística I. Elementos de Probabilidad
y Estadística. Servicio Editorial de la UPV/EHU.
▪ Martín Pliego, F.J.; Ruiz Maya, L. (2004). Estadística I: Probabilidad, Editorial
AC, 2ª edición. Madrid.
▪ Martín Pliego, J.M. Montero Lorenzo y F.J.; Ruiz Maya (2002). Problemas de
Probabilidad, Editorial AC, Madrid.
▪ Tusell, F. y Garín, A. (1991). Ejercicios de Probabilidad e Inferencia
Estadística. TébarFlores, Madrid.
▪ Martín Pliego, F.J. (1994). Introducción a la Estadística Económica y
Empresarial. Editorial AC., Madrid.
▪ “Estadística aplicada a los negocios y la economía”. Allen L. Webster. Tercera
Edición. Mc Graw-Hill: Irwin- Mc Graw-Hill.2000
▪ “Probabilidad y Estadística. Aplicaciones y Métodos”. George C. Canavos.
Editorial Mc Graw Hill. 1997
▪ “Probabilidad y Estadística”. Ronald E. Walpole y Raymond H. Myers. Cuarta
Edición. Editorial Mc Graw Hill.
fikai AULA FINANCIERA