Distribución Normal. Intervalos de confianza para la media usando

Problemas prácticos de distribuciones continuas para la Licenciatura de Negocios y Comercio Internacionales.
Dr. Francisco Javier Tapia Moreno. Abril de 2011.
Distribución Normal.
1.
La distribución de la demanda (en número de unidades por unidad de tiempo) de un producto a menudo
puede aproximarse con una distribución de probabilidad normal. Por ejemplo una compañía de comunicación
por cable ha determinado que el número de interruptores terminales de botón solicitados diariamente tiene una
distribución normal con una media de 200 y una desviación estándar de 50.
a) ¿En qué porcentaje de los días la demanda será menos de 90 interruptores?
b) ¿En qué porcentaje de los días la demanda estará entre 225 y 275 interruptores?
c) Con base en consideraciones de costos, la compañía ha determinado que su mejor estrategia consiste en
producir una cantidad de interruptores suficiente para atender plenamente la demanda en 94% de todos los
días ¿Cuántos interruptores terminales deberá producir la compañía cada día?
2.
La resistencia a la comprensión de una serie de muestras de cemento puede moldearse con una
distribución normal con media 6,000 kilogramos por centímetro cuadrado, y una desviación estándar de 100
kilogramos por centímetro cuadrado.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que la resistencia de una muestra sea menor que 6250 kg/cm2?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que la resistencia de una muestra se encuentre entre 5800 y 5900 kg/cm2?
c) ¿Cuál es el valor de resistencia que excede el 95% de las muestras?
3. El diámetro de una unidad de almacenamiento óptico tiene una distribución normal con media 0.2508
pulgadas y desviación estándar de 0.0005 pulgadas. Las especificaciones del diámetro del eje son 0.2500 ±
0.0015 pulgadas. ¿Qué proporción de ejes cumple con este requisito?
4. El volumen que una máquina de llenado automático deposita en latas de una bebida gaseosa tiene una
distribución normal con media 12.4 onzas de líquido y desviación estándar de 0.1 onzas de líquido.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que el volumen depositado sea menor que 12 onzas de líquido?
b) Si se desechan todas las latas que tienen menos de 12.1 o más de 12.6 onzas de líquido, ¿cuál es la proporción
de latas desechadas?
c) Calcule especificaciones que sean simétricas alrededor de la media, de modo que se incluya al 99% de todas
las latas.
Continuación del Ejercicio 4. La media de la operación de llenado puede ajustarse con facilidad pero la
desviación estándar sigue teniendo el mismo valor, 0.1 onzas de líquido.
d) ¿Qué valor debe darse a la media para que el 99.9% de todas las latas contengan más de 12 onzas de líquido?
e) ¿Qué valor debe darse a la media para que el 99.9% de todas las latas contengan más de 12 onzas de líquido
si la desviación estándar puede reducirse a 0.05 onzas de líquido?
Intervalos de confianza para la media usando la distribución normal.
1. Se sabe que el peso de los ladrillos producidos por una determinada fábrica sigue una distribución normal con
una desviación estándar de 0.12 kilos. En el día de hoy se extrae una muestra aleatoria de 60 ladrillos cuyo peso
medio es de 4.07 kilos.
a) Calcular un intervalo de confianza del 99% para el peso medio de los ladrillos producidos hoy.
b) Sin realizar los cálculos, determinar si un intervalo de confianza del 95% para la media poblacional tendría
mayor, menor o la misma longitud que el calculado en el inciso a).
c) Se decide que mañana se tomará una muestra de 20 ladrillos. Sin realizar los cálculos, determinar si un
intervalo de confianza del 99% para el peso medio de los ladrillos producidos mañana tendría mayor, menor o la
misma longitud que el calculado en el inciso a).
d) Se sabe que la desviación estándar poblacional para la producción de hoy es de 0.15 kilos. Sin realizar los
cálculos, determinar si un intervalo de confianza del 99% para el peso medio de los ladrillos producidos hoy
tendría mayor, menor o la misma longitud que el calculado en el inciso a).
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e) Hallar el tamaño de muestra necesario para calcular un intervalo de confianza del 90% para el peso medio
poblacional de los ladrillos, cuya amplitud a cada lado de la media de la muestra sea igual a 0.01 kilos.
2. Un supervisor de control de calidad en una enlatadora sabe que la cantidad exacta en cada lata varía, pues hay
ciertos factores imposibles de controlar que afectan a la cantidad de llenado. El llenado medio por lata es
importante, pero igualmente importante es la variación s2 de la cantidad de llenado.
Si s2 es grande, algunas latas contendrán muy poco, y otras, demasiado. A fin de estimar la variación del llenado
en la enlatadora, el supervisor escoge al azar 10 latas y pesa el contenido de cada una, obteniendo el siguiente
pesaje (en onzas): 7.96 7.90 7.98 8.01 7.97 8.03 8.02 8.04 8.02. Establezca un intervalo de confianza de
90% para la verdadera variación del llenado de latas en la enlatadora.
3. Es común utilizar aceros inoxidables en las plantas químicas para manejar fluidos corrosivos. Sin embargo,
estos aceros tienen especial susceptibilidad al agrietamiento por corrosión causada por esfuerzos en ciertos
entornos. En una muestra de 295 fallas de aleaciones de acero que ocurrieron en refinerías de petróleo y plantas
petroquímicas en Japón durante los últimos 10 años, 118 se debieron a agrietamiento por corrosión causada por
esfuerzos y a fatiga de corrosión. Establezca un intervalo de confianza de 95% para la verdadera proporción de
fallas de aleaciones causadas por agrietamiento por corrosión debido a esfuerzos.
4. Supongamos que el tiempo en horas dedicado por los estudiantes de una determinada asignatura a
preparar el examen final tiene una distribución normal. Se toma una muestra aleatoria de 6 estudiantes
cuyos resultados son los siguientes: 12.2 18.4 23.1 11.7 8.2 24.
a) Calcular un intervalo de confianza del 99% para la media poblacional.
b) Calcular un intervalo de confianza del 99% para la varianza poblacional.
c) Sin realizar los cálculos, determinar si un intervalo de confianza del 90% tendría una amplitud
mayor o menor que el hallado en el inciso b).
5. Para comparar la estatura media de los habitantes de dos regiones sonorenses, se toman al azar dos
muestras representativas de tamaños 150 y 250. Los resultados obtenidos fueron:
Región 1: media = 1.73; desviación estándar = 0.10; n1 = 150
Región 2: media = 1.70; desviación estándar = 0.12; n2 = 250
Suponga la distribución de la altura como una normal, se pide calcular al nivel de confianza del 98%:
a) Intervalo de confianza de la media poblacional de la región 1.
b) Intervalo de confianza de la media poblacional de la región 2.
c) Compare los resultados obtenidos en los incisos a) y b) y discuta cuál de las dos poblaciones tiene
mayor estatura promedio.
Intervalos de confianza para la diferencia entre dos medias poblacionales.
1. Para comparar la estatura media de los habitantes de dos regiones sonorenses, se toman al azar dos muestras
representativas de tamaños 150 y 250. Los resultados obtenidos fueron:
Región 1: media = 1.73; desviación estándar = 0.10; n1 = 150
Región 2: media = 1.70; desviación estándar = 0.12; n2 = 250
Suponga la distribución de la altura como una normal, se pide calcular al nivel de confianza del 98% un
Intervalo de confianza de la diferencia de medias poblacionales.
2. Construya un intervalo de confianza del 98% para la diferencia real entre las duraciones de dos marcas de
bujías, si una muestra de 40 bujías tomada al azar de la primera marca dio una duración media de 418 horas, y
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una muestra de 50 bujías de otra marca dieron una duración media de 402 horas. Las desviaciones estándares de
las dos poblaciones son 26 horas y 22 horas, respectivamente.
3. Se desea estudiar la influencia que puede tener el tabaco con el peso de los niños al nacer. Para ello se
consideran dos grupos de mujeres embarazadas (unas que fuman y otras que no) y se obtienen los siguientes
datos sobre el peso X, de sus hijos:
Madres fumadoras → n1 = 45 mujeres, 1 = 3.6 Kg, S1 = 0.5 Kg
Madres no fumadoras → n2 = 37 mujeres, 2 = 3.2 Kg, S2 = 0. 8 Kg
En ambos grupos los pesos de los recién nacidos provienen de sendas distribuciones normales de medias
desconocidas, y con varianzas que si bien son desconocidas, podemos suponer que son las mismas. Calcular el
intervalo de confianza para la diferencia entre las dos medias poblacionales.
Intervalos de confianza para la proporción.
1. Un gabinete de investigación quiere estimar la proporción de consumidores que adquirirían antes un
producto de fabricación nacional que uno elaborado por un competidor extranjero. Su intención es
construir un intervalo de confianza para la proporción poblacional con una amplitud máxima a cada
lado de la proporción de muestra de 0,04. ¿Cuántas observaciones se necesitan para alcanzar este
objetivo?
2. En una encuesta hecha por los alumnos y alumnas de una universidad a un total de 100 votantes
elegidos al azar en su ciudad, indica que el 55% volvería a votar por el partido actual en la
administración gubernamental. Calcular un intervalo de confianza del 99% y otro al 99,73% para la
proporción de votantes favorables al partido actual.
3. Un auditor desea tener un nivel de confianza del 95% en las cuentas que va a examinar, para que la
verdadera proporción de error no exceda el 2%. Si la población es muy grande, ¿qué tamaño tendrá la
muestra que va a tomarse si el auditor estima que la proporción de error es del 5% ?
4. ¿Qué tamaño de nuestra es necesario, si se considera una confianza del 90% para la proporción de la
población y el error es del 8%?
Tamaño de la muestra para poder estimar la media o proporción poblacional.
1. ¿Cuáles deben ser los tamaños de muestra en un sondeo, para conocer si las personas volverían a votar por el
mismo partido y tener:
a) Un 99% de certeza de que el partido actual salga reelegido por mayoría absoluta, en el caso de arrojar la
encuesta un 55% a favor del partido actual?
b) Un 99.73% de certeza de que el partido actual salga reelegido por mayoría absoluta, en el caso de arrojar la
encuesta un 65% a favor del partido actual?
2. En una encuesta a 360 alumnos de un centro, elegidos al azar, resultaron 190 a favor de la política del actual
equipo directivo. ¿Cuál es el intervalo de confianza, con nivel del 95%, para la proporción de alumnos que
apoyan a esta dirección?
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3. El Gerente de un almacén desea estimar el promedio de lo comprado mensualmente por los clientes
que usan la cuenta de crédito, con un error de $2,500, y una probabilidad aproximada de 0.95 ¿Cuantas
cuentas deberá seleccionar , si sabe que la desviación estándar es de $30,000, la cual fue obtenida de los
balances mensuales de las cuentas de crédito. Si el ejemplo anterior en poblaciones infinitas dijera que
el total de cuentas a crédito es de 4,000 ¿Cuál sería el tamaño de la muestra?
4. Un investigador está interesado en estimar la ganancia en peso total, en 0 a 4 semanas de 1,000
pollitos alimentados con una ración. Obviamente, pesar cada vez sería tedioso y llevaría demasiado
tiempo. Por lo tanto se debe determinar el número de pollitos a seleccionar en una muestra, para estimar
el total con un límite para el erro de estimación igual a 1,000 gramos. Muchos estudios similares sobre
nutrición de pollitos se han llevado a cabo en el pasado. Usando datos de estos estudios, el investigador
encontró que la varianza es aproximadamente de 36 gramos .Determinar el tamaño de muestra requerido
con confianza del 95%
5. Una empresa de transporte urbano expidió 10,050 tarjetas para que las personas paguen el
combustible; se desea hacer una investigación sobre la utilización: Se Realizó una encuesta preliminar
de 90 tarjetas y encontró que 63 fueron utilizas durante el mes. Por otra parte el total de los gastos
cancelados fueron $2,390,000 y la desviación estándar de $4,000. a) Se desea determinar el tamaño de la
muestra con un error del 2% y una confianza del 95% para estimar proporción de afiliados que utilizan
tarjeta b) gasto promedio mensual cancelado con tarjeta c) total de gasto mensual cancelado con tarjeta
d) que tamaño aconsejaría.
Intervalos de confianza para la diferencia entre dos proporciones poblacionales.
1. Considere un proceso de producción que tiene una fracción defectuosa 1, desconocida. A este
proceso se le realizan unas mejoras para reducir el porcentaje de defectuosos que está produciendo, y
queremos saber si estos cambios sí reducen sustancialmente la proporción de artículos defectuosos del
proceso. Para ello, se toma una muestra de 200 artículos del proceso original, y se encuentran 12
defectuosos, y se examinan 150 artículos del nuevo proceso y se observan 6 defectuosos. Cree Usted
que los cambios efectuados al proceso han reducido el porcentaje de artículos defectuosos? Use un
nivel de confianza del 95%.
2. Con el objeto comparar las proporción de personas que tienen automóvil en la ciudad de Hermosillo con la de
ciudad Obregón, se realizó un muestreo aleatorio simple en ambas ciudades, de tal forma que de los 100
encuestados en Hermosillo, 30 de ellos tienen automóvil, y de los 120 encuestados en ciudad Obregón 25 tienen
automóvil. Calcular un intervalo de confianza del 99% para la diferencia entre las dos proporciones.
3. La Universidad de Sonora desea estimar la diferencia entre la proporción de la Licenciatura en
Finanzas (LF), y la proporción de la Licenciatura Negocios y Comercio Internacionales (LNCI), de
estudiantes que pretenden realizar estudios de doctorado. Se realiza una encuesta a 50 alumnos de cada
carrera, y se obtiene que 12 alumnos de LF y 15 de LNCI pretenden estudiar doctorado. Construya un
intervalo para la diferencia entre las dos proporciones con un nivel de confianza del 90%.
4. En la ciudad de Hermosillo se toma una muestra aleatoria de 98 empresarios de los cuales 48 han sido
poseedores de acciones de Telmex. En la ciudad de Nogales se selecciona otra muestra aleatoria de 127
empresarios, de los cuales 21 han sido poseedores de acciones de Telmex.
a) Obtener un intervalo del 95% de confianza para la diferencia entre las proporciones de empresarios que
han sido poseedores de este tipo de acciones en ambas ciudades.
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b) ¿Qué conclusión puede obtener del intervalo hallado?
Distribución t de Student.
1. El gerente de un auditorio está considerando la posibilidad de aumentar la capacidad de asientos y necesita
conocer el número promedio de personas que asisten a los eventos así como la variabilidad. En la tabla siguiente
se muestra la asistencia (en miles de personas) a 9 eventos deportivos: 8.8; 14.0; 21.3; 7.9; 12.5; 20.6; 16.3; 14.1
y 13.0. Calcula la probabilidad de que la media poblacional sea mayor de 15.23.
2. La resistencia a la tensión para cierto tipo de alambre se distribuye normalmente con media desconocida
µ y varianza desconocida. Se seleccionaron al azar 6 segmentos de alambre de un rollo grande y se midió Xi,
la resistencia a la tensión para el segmento i. Calcula la probabilidad de que la media de muestra esté a lo más a
2S/√n de la verdadera media poblacional µ.
3. Un fabricante de cigarrillos afirma que su producto tiene un contenido promedio de nicotina de 1.83
miligramos. Si una muestra aleatoria de 8 cigarrillos tiene un contenido de nicotina de 2.0, 1.7, 2.1, 1.9, 2.2, 2.1,
2.0 y 1.6. Encuentre la probabilidad de que la media de la muestra sea menor de 2.1.
4. De una población normal con una media μ = 14 se toma una muestra de tamaño 11; si la desviación estándar
de la muestra es S = 14.3. ¿Encuentra la probabilidad de que la media de muestra sea menor que 18?
Intervalos de confianza para la media usando la distribución t de Student.
1. Se ha recogido una muestra aleatoria para prever la inflación en el año, en siete países. Las previsiones han
sido 1.5 2.1 1.9 2.3 2.5 3.2 3.0.
a) Utilizando estos datos, construye un intervalo de confianza al 99% para la media de la previsión de inflación,
en estos siete países. Indica los supuestos que necesitas hacer.
b) Construye un intervalo de confianza, también al 90%, para la desviación estándar
c) Los expertos opinan que el intervalo de confianza calculado para la media es demasiado amplio, y desean
que su longitud total sea de 1,2 puntos. Hallar el nivel de confianza para este nuevo intervalo.
2. De una muestra elegida al azar de 10 cajas de productos para exportación, se obtuvieron los siguientes datos
sobre el peso (en Kg) y la altura (en mts.) de cada uno de los paquetes muestreados.
Peso
Estatura
7.4
2.76
7.9
2.18
8.5
1.8
4.9
1.65
8.3
1.82
7.8
1.97
7.4
2.19
5.4
2.45
6.3
3
6.8
2.7
Calcular, suponiendo que las variables peso y estatura se adecúan a una distribución normal, un intervalo de
confianza para la media de cada variable, con un nivel de confianza del 95%.
3. Se ha realizado un estudio para investigar el efecto del ejercicio físico en el nivel de colesterol en la
sangre. Para ello se midió el nivel de colesterol en 11 personas que no realizan habitualmente ejercicio
físico (grupo 1) y otras 11 personas que sí lo realizan (grupo 2). Las mediciones obtenidas, expresadas
en mg/dl, fueron las siguientes:
Grupo 1
Grupo 2
182
198
232
210
191
194
200
220
148
138
249
220
276
219
213
161
241
210
262
226
480
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Calcule un intervalo de confianza del 95% para cada una de las dos medias poblacionales.
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4. Un fabricante de cigarrillos afirma que su producto tiene un contenido promedio de nicotina de 1.83
miligramos. Si una muestra aleatoria de 8 cigarrillos tiene un contenido de nicotina de 2.0, 1.7, 2.1, 1.9, 2.2, 2.1,
2.0 y 1.6. Calcule un intervalo de confianza del 85% para la media poblacional del contenido de nicotina en los
cigarrillos.
Intervalos de confianza para la diferencia entre dos medias poblacionales usando t de Student.
1. De una muestra elegida al azar de 10 cajas de productos para exportación, se obtuvieron los siguientes datos
sobre el peso (en Kg) y lo largo (en mts.) de cada uno de los paquetes muestreados.
Peso
Largo
7.4
2.76
7.9
2.18
8.5
1.8
4.9
1.65
8.3
1.82
7.8
1.97
7.4
2.19
5.4
2.45
6.3
3
6.8
2.7
Otra muestra de 15 cajas de productos para exportación dejó los siguientes resultados:
Peso
Largo
6.3
1.67
8.4
1. 82
7.5
2
9.4
1.56
3.8
1.28
8.7
1.79
4.7
2.10
4.5
2.15
3.9
2.5
8.6
2.3
5.4
1.95
10.5
2
9.8
0.9
15
1
16
0.5
Calcular, suponiendo que las variables peso y estatura se adecúan a una distribución normal, un intervalo de
confianza para la diferencia de las medias poblacionales de cada variable, con un nivel de confianza del 95%.
¿Existe una diferencia significativa entre las dos medias poblacionales, en ambas variables?
2. El gerente de una refinería piensa modificar el proceso para producir gasolina a partir de petróleo
crudo. El gerente hará la modificación sólo si la gasolina promedio que se obtiene por este nuevo
proceso (expresada como un porcentaje del crudo) aumenta su valor con respecto al proceso en uso.
Con base en experimentos de laboratorio y mediante el empleo de dos muestras aleatorias de tamaño
12, una para cada proceso, la cantidad de gasolina promedio del proceso en uso es de 24.6 con una
desviación estándar de 2.3, y para el proceso propuesto fue de 28.2 con una desviación estándar de 2.7.
El gerente piensa que los resultados proporcionados por los dos procesos son variables aleatorias
independientes normalmente distribuidas con varianzas iguales. Con base en esta evidencia, ¿debe
adoptarse el nuevo proceso?
3. Se desea estudiar la influencia que puede tener el tabaco con el peso de los niños al nacer. Para ello
se consideran dos grupos de mujeres embarazadas (unas que fuman y otras que no) y se obtienen los
siguientes datos sobre el peso X, de sus hijos:
Madres fumadoras → n1 = 35 mujeres, 1 = 3.6 Kg, S1 = 0.5 Kg
Madres no fumadoras → n2 = 27 mujeres, 2 = 3.2 Kg, S2 = 0. 8 Kg
En ambos grupos los pesos de los recién nacidos provienen de sendas distribuciones normales de
medias desconocidas, y con varianzas que si bien son desconocidas, podemos suponer que son las
mismas. Calcular el intervalo de confianza del 90% para la diferencia entre las dos medias
poblacionales..
4. Se ha realizado un estudio para investigar el efecto del ejercicio físico en el nivel de colesterol en la
sangre. Para ello se midió el nivel de colesterol en 11 personas que no realizan habitualmente ejercicio
físico (grupo 1) y otras 11 personas que sí lo realizan (grupo 2). Las mediciones obtenidas, expresadas
en mg/dl, fueron las siguientes:
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Grupo 1
Grupo 2
182
198
232
210
191
194
200
220
148
138
249
220
276
219
213
161
241
210
262
226
480
313
Calcule un intervalo de confianza del 99% para la diferencia entre las dos medias.
Intervalos de confianza para la varianza o desviación estándar con la distribución Ji-cuadrado.
1. Una máquina embotelladora puede regularse de tal manera que llene un promedio de μ onzas por botella, se
supone que las onzas del contenido que vacía la máquina, tienen una distribución normal con varianza
.
Suponga que se desea obtener una muestra aleatoria de 10 botellas y medir el contenido en cada botella. Si se
utilizan estas 10 observaciones para calcular S2, podría ser útil especificar un intervalo de valores que incluyeran
a S2 con una alta probabilidad. Calcule los números a y b tales que
2. Un gurda-bosques que estudia los efectos de la fertilización en ciertos bosques de pino en el sureste, se
interesa en estimar el área promedio de la base de los pinos. Al estudiar las áreas de la base de árboles similares
durante muchos años, descubrió que estas mediciones (en pulgadas cuadradas) tienen una distribución normal
con una desviación estándar de aproximadamente 4 pulgadas cuadradas. Si el guardabosques selecciona una
muestra de
árboles, calcule la probabilidad de que la media de la muestra se desvíe a los más 2 pulgadas
cuadradas de la media de la población.
3. La resistencia a la tensión para cierto tipo de alambre se distribuye normalmente con una media desconocida μ
y una varianza desconocida σ2. Se seleccionaron al azar 6 segmentos de alambre de un rollo grande y se midió Xi
la resistencia a la tensión para el segmento i, en donde i = 1, 2, …,6. La media de la μ y una varianza σ2 se
pueden estimar por
y S2, respectivamente. Ya que
probabilidad aproximada de que
esté a lo más a
puede ser estimada por
. Obtén la
de la verdadera media poblacional μ.
4. Los amperímetros producidos por una compañía en particular se venden en el mercado con la especificación
de que la desviación estándar de las lecturas no es mayor que 0.2 amperios. Se utilizó uno de estos amperímetros
para efectuar 10 lecturas independientes en un circuito de prueba con corriente constante. Si la varianza de las 10
mediciones es de 0.065, y es razonable suponer que las lecturas tienen una distribución normal, ¿indican los
resultados que el amperímetro que se utilizó no satisface las especificaciones del mercado? [Sugerencia: calcule
la probabilidad aproximada de que la varianza de la muestra exceda de 0.065 si la varianza real de la población
es de 0.04?
5. Se ha recogido una muestra aleatoria para prever la inflación en el año, en siete
previsiones han sido 1.5 2.1 1.9 2.3 2.5
90%, para la desviación estándar de la inflación.
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países. Las
3.0. Construye un intervalo de confianza del
Universidad de Sonora.