prima neta nivelada - actuarialestarea

Curso de Matemáticas Actuariales del
Seguro de Personas II
INTRODUCCIÓN:
El curso será teórico-práctico y efectivo se verán a profundidad los temas conforme sean
requerido en el temario para que su comprensión sea del 100% y considerar todo el temario
de estudios.
(SEMESTRE 2013-1)
Prof.: José Fernando Soriano Flores
CONSIDEREACIONES:
Email: [email protected] (Messenger)
Tel Movil: 55-21064804
Tel Oficina: 91577400 Ext. 2122
El curso ahora cuenta con modelos de vida, bajo enfoque continuo. La bibliografía
correspondiente es el libro Actuarial Mathematics, Bowers, ACTEX.
Prof. Adjunto: Christian Arturo Quiroga V.
Email: [email protected]
Para el desarrollo del curso que compete al enfoque discreto, se han preparado estas notas
de clase en formato PDF con el contenido de todo lo que se verá en el semestre, la finalidad
de estas notas es que el alumno no anote ni tome apuntes en clase, simplemente pondrá
atención a la clase y si cree conveniente anotar algo lo hará sobre las mismas notas ya
impresas.
Además se cuenta con un nuevo blog del curso: actuarialestarea.wordpress.com
Este blog contendrá de manera permanente el material de clase a lo largo del semestre
TEMARIO GENERAL:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
Repaso de Matemáticas Actuariales del Seguro de Personas I
Asset Share
Probabilidades para Vida Conjunta y último Sobreviviente
Anualidades para Vida Conjunta y último Sobreviviente
Primas Netas para Vida Conjunta y último Sobreviviente
Ley de Mortalidad Gompertz-Makeham
Tabla de Decrementos Múltiples.
Modelos Contingentes de Vida Bajo el Caso Continuo
(no incluido en este material)
FORMA DE CALIFICAR:



1
EXAMENES
TAREAS
ASISTENCIA
60%
40%
10%
1.- Repaso de Matemáticas Actuariales del Seguro de Personas 1.
1.1 Tabla de Mortalidad
Definición: Una Tabla de Mortalidad es un Cuadro Estadístico que resume el impacto de la
mortalidad en un grupo cerrado de personas (Cohorte Generalmente Ficticia) denotado como
lx .
Clasificación:
 Generada o de Cohorte: Se construye en base a la observación de un grupo
cerrado de personas hasta que dicho grupo desaparezca por la causa de muerte
 Actual: Se construye en un periodo corto de tiempo tomando como referencia dos
censos o observaciones
Tipos:
 Abreviada: Como su nombre lo indica es una tabla abreviada la cual emplea
grupos de edad resumidos generalmente las edades 1, 4, 5, 10, 15, 20, etc.
 Completa: Utiliza edades completas (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, etc.)
eso quiere decir que una persona vivió 5 años entre las edades 25 y 30, otra vivió 4 años
entre las edades 25 y 30, y otra vivió 3 años entre las edades 25 y 30, esto quiere decir que
los años persona vividos entre las edades 25 y 30 fueron de 5+4+3=12 años.
Construcción:
Para construir una tabla de Mortalidad es necesario hacer uso de la siguiente notación:


lx : Número de Vivos de Edad exacta x
d x : Número de muertes ocurridas entre las edades x y x+1, es decir:
Dado el ejemplo anterior podemos decir que los años persona vividos entre las edades x y
x+n es el área bajo la función lx como se muestra en la siguiente figura:
dx lx lx1

n
d x : Número de muertes ocurridas entre las edades x y x+n, es decir:
d lx lxn
n x



px : Probabilidad de que una persona de edad x sobreviva 1 año más, es decir:
l


Casos
Faborables
x

1
p

x

l
Casos
Totales
x 
n
px : Probabilidad de que una persona de edad x sobreviva n años más
lxn
n px 
lx
qx
En el caso de conocer la función lx de manera continua entonces diríamos que:
xn
nL
x  lxdx
x
Como desconocemos dicha función entonces suponemos que la función lx se comporta de
manera lineal entre las edades x y x+n, de tal manera que el área a calcular es de un
: Probabilidad de que una persona de edad x muera entre las edades x y x+1
rectángulo cuya base mide n y altura lx+n, y un triangulo de base n y altura lx – lx+n, de tal
d
Faborables
}
manera que:
xCasos


Casos
Totales
}
q

x
l
x
Es decir:

n
d

l
l
x l
x
x

1
x

1
q



1


1

p
x
x
l
l
l
x
x
x
Lx : Años persona vividos entre las edades x y x+n.
Esta es una de las series más importantes de una tabla de mortalidad y generalmente es la
que menos se entiende, su comprensión y estimación se vuelve esencial para poder
comprender muchos tópicos actuariales, con el fin de que se entienda cuál es la
interpretación de los Años-Persona Vividos considérese el siguiente ejemplo:
Supongamos que tenemos un grupo de tres personas todas de edad 25, y supongamos
también que una de ellas llega con vida a la edad 30, otra a la edad 29 y otra a la edad 28,
2
n
n


 

L

n
l

l

l
l

l
x

n
x
x

n
 
x
x

n
2 TAREA
2
dEMOSTR
n
x
(TAREA 1. DEMOSTRAR ULTIMA IGUALDAD)

Lx : Años persona vividos entre las edades x y x+1
1
L
lxlx1
x 
2

Tx : Años persona vividos entre las edades x y w
w
Lx nLt
tx
valor presente se calcula de la siguiente manera:

ex : Esperanza de vida a la edad x (Número de años que se espera viva una persona
de edad x:
ex 
Tx
lx
En términos generales se puede decir que estas son todas las funciones que componen una
tabla de mortalidad, sin en cambio, el actuario para hacer cálculos financieros se apoya en
funciones adicionales llamados “Valores Conmutados”
w
D

x

t
D
D
N
x

1
x

2 D
w
t

1
x

1
a

E

E



E






x
1
x
2
x
w

x
x
D
D
D
D
x D
x
x
x
x
ax Anualidad Vitalicia Anticipada: Supongamos ahora que se va a dar un pago de 1 u.m.
al principio del año de forma anual a una persona, siempre y cuando esta permanezca con
vida, este valor presente se calcula de la siguiente manera:
Valores Conmutados.

Dx :V lx Donde Vx 1
 i e i = Interés Técnico

Nx :Dt
x
x 
a
x
Nx
Dx
w
tx
x1

Cx :V dx

Mx :Ct
ax:n Anualidad Vencida Temporal n años: Supongamos ahora que se va a dar un pago de
1 u.m. al final del año de forma anual durante n años, a una persona siempre y cuando esta
permanezca con vida, este valor presente se calcula:
w
tx
(TAREA 2. Calcular una tabla de mortalidad en base a la serie lx y un interés técnico
del 5%)
w
x

t
x

t
x

nt

1
t

n

1
x

1 x

2
a

E

E



E





x
:
n
1
x
2
x
n
x
D
D
D
D
x
x
x
x
Es decir:
1.2.- Anualidades Contingentes.
En el curso de matemáticas financieras se estudio este tema como “Anualidades Ciertas”, y
consistía en una serie de pagos “ciertos”, en el caso de Matemáticas Actuariales I se estudia
este tema como Anualidades “contingentes” que consisten en una serie de pagos que
dependen de una contingencia, es decir, la serie de pagos va a depender directamente de la
ocurrencia de una contingencia, en nuestro caso, va a depender de si vive o muere la
persona.
n
Ex Dotal Puro n años: En este caso se dará un solo pago de 1 u.m. (unidad monetaria) a
una persona de edad x si esta llega con vida a la edad x+n, es decir, sobrevive n años, este
valor presente se calcula de la siguiente manera:
x

n

x
V
l

l
n
n
x

nV
x

nD
x

n


E

1

V

P


V


n
x
n
x x 
x

V
l

l
D
x
x
x

V
ax Anualidad Vitalicia Vencida: Supongamos ahora que se va a dar un pago de 1 u.m. al
final del año de forma anual a una persona, siempre y cuando esta permanezca con vida, este
3
w
D

D


D
D
D
N
N
x

1
x

n

1
a
x
:n
D
x
ax:n Anualidad Anticipada Temporal n años: Supongamos ahora que se va a dar un pago
de 1 u.m. al principio de cada año de forma anual durante n años, a una persona siempre y
cuando esta permanezca con vida, este valor presente se calcula, análogamente a lo anterior
de la siguiente manera:
NN
x
n

x:n  x
a
D
x
Hasta ahora se han analizados los casos en los que se entrega una cantidad de unidades
monetarias si una persona llega con vida, o vive determinado numero de años. Toca tiempo
de analizar aquellos casos en los que se entregara una cantidad de unidades monetarias si la
persona muere en un número determinado de años, a este tipo de casos se les llama
“Seguros”.
.2.- Seguros
1.3.PRIMAS
Ax Seguro Ordinario de Vida: Una persona de edad x, contrata un seguro ordinario de
En términos Generales ya se vio este tema, pues el ultimo tema que vimos fue el de
“seguros” denotado en general con una “A”, y dado que es un valor presente, también lo
podemos ver como una “prima neta única”, es decir, a el valor presente de un seguro, se
puede ver como una prima que se pagara en una sola exhibición para cubrir el siniestro
(fallecimiento), pero que pasa si el asegurado no quiere pagar en una sola exhibición el
seguro. Entonces se desprende la siguiente formula general para calcular una Prima Neta
Nivelada:
vida, y así en caso de que fallezca, se le entregara una suma asegurada de 1 u.m. a los
beneficiarios en cuanto la persona fallezca. Este valor presente se calcula de la siguiente
manera:
2
2
x


V
d
d
V
d
d
V
x V
x

1
x V
x

1


A









x
x
l

l
l
l
V
x
x
x
x

w
C

M
x

1
x

2
V
d V
d
CC

1

1
t

x
 x x x x


xx



x
D
D
D
D
V
l
V

l
x
x
x
x
x
x
t
PRIMA NETA NIVELADA
En este caso el asegurado pagara una prima “P” de manera anual y siempre de la misma
cantidad durante la vigencia del seguro, de tal manera que se tiene que cumplir:
  A
P a
Ax:n Seguro Temporal n años: Una persona de edad x, contrata un seguro de vida, y así
en caso de que fallezca antes de los próximos n años, se le entregara una suma asegurada de
1 u.m. a los beneficiarios en cuanto la persona fallezca. Este valor presente se calcula de la
siguiente manera:
Es decir, que la prima P (Serie de pagos periódicos iguales) traída a valor presente debe de
ser igual a la prima que se pagaría en una sola exhibición y finalmente la formula general
quedaría:
P
2
n
2
n
x
 d

V
d
d
V
d
d
V
d
x V
x

1
x

n

1 VV
x V
x

1
x

n

1


A









x
:
n
x

l
l
l
l
l
V l
x
x
x
x
x
x

x

1
x

2
x

n
V
d V
d
V
d
C
C

1

n

1 C

1

n

1
 x x x x

x x
xx


x
D
D
D
Vl
V

l
V

l
x
x
x
x
x
x
w
Px Prima Neta Nivelada para un seguro Ordinario de Vida: Usando la formula general
tenemos que:
Mx
A
D
M
Px  x  x  x
Nx
x
a
Nx
Dx
w
C
C


t
t
M

M
t
x
t
x

n
x

n

x
D
D
x
x
Ax::n Seguro Dotal Mixto n años: Una persona de edad x, contrata un seguro de vida Dotal
Mixto, y así en caso de que fallezca antes de los próximos n años ó llegue con vida, se le
entregara una suma asegurada de 1 u.m. a el o a los beneficiarios. Este valor presente se
calcula de la siguiente manera:
M

M

D
x
x

n
x

n
A

E

A


x
::
n
n
x
x
:
n
D
x
4
A
a
Px:n Prima Neta Nivelada para un seguro Temporal n años: Usando la formula general
tenemos que:
M
M
x
x

n
A
D
M

M
:
n
x
x

n

P
x

x
x
:
n

N

N
a
N

N


x
x

n
x
x

n
x
:
n
D
x
(Tarea 3: Calcular la formula para calcular la prima neta nivelada para un Seguro
Dotal Mixto)
1.4 Reservas:
Para aplicar en la práctica lo visto en este repaso el siguiente tema es:
Sean:
Se pueden encontrar muchas definiciones de Asset Share e incluso la traducción al castellano
es algo ambigua pero, para efectos de este curso lo definiremos como: la simulación de la
rentabilidad que se espera tener por la venta de un seguro .En este caso, un seguro de vida,
para simular dicha rentabilidad nos apoyaremos de la teoría actuarial que ya vimos y en una
hoja de cálculo de Excel, de tal manera que la finalidad de este ejercicio nos ayudara a
dominar esta herramienta tan usada en el mercado laboral y nos dará un ejemplo práctico de
cómo usar los conocimientos adquiridos en nuestra carrera.

VPOCt = Valor Presente de las obligaciones de la compañía en el año t.

VPOAt = Valor Presente de las obligaciones del asegurado en el año t.
Entonces la formula general para calcular una reserva en el año t sería:

V

VPOC
VPOA
t
t
t
Por ejemplo:
tV x Reserva al año t de un seguro Ordinario de Vida contratado a edad x: Usando la
formula general antes vista tenemos que:

 


M
N
x

t
x

t






V
S
.
A
.A
P
a
S
.
A
.

P



t
x
x

t
x
x

t 
x
 











D
D

 
x

t
x

t



VPOC
VPOA
t
t 

1
 
S
.
A
.M
P
N
x

t
x
x

t
D
x

t
V x:n Reserva al año t de un seguro temporal n años contratado a edad x: Nuevamente
t
usando la formula general antes vista tenemos que:



 S.A
.A
P
a
xt:nt 
tV
x
x
x
n 
t:nt
:n
:









VPOA
t
t
 VPOC

 M
 Nxt Nxn 
M
xt 
xn



S.A
.
x
 D
P

xt
xt
  D

 
1
S.A.Mxt MxnPx:nNxt Nxn

D
xt
(Tarea 4.- Calcular la formula para calcular la reserva al año t de un
seguro Dotal Mixto contratado a edad x)
5
2. ASSET SHARE:
Para simular dicha rentabilidad es necesario partir de ciertas hipótesis como por ejemplo el
número de asegurados que tendrá, tasas de inversión, gastos de administración y operación.
En base a esto la Aseguradora pronosticará las ganancias en dinero que tendría por la venta
de algún seguro en específico.
FACTORES DE CANCELACIÓN:
Estos son factores de ajustes y como su nombre lo dice, corresponden a la frecuencia con la
cual los asegurados "cancelan" el seguro, este factor lo calcula la CIA aseguradora en base a
su experiencia i.e. analiza el número de asegurados que cancelan su seguro al pasar la
vigencia de la póliza, en base a eso se calculan los factores de cancelación. Por ejemplo,
supongamos que el factor de cancelación en el año 3 de la vigencia de la póliza es del 0.38,
podemos decir entonces que en el tercer año el 38% de los asegurados cancelan su póliza.
FACTOR DE RESCATE:
Análogamente como la CIA aseguradora calcula los factores de cancelación en base a su
experiencia, los factores de rescate se calculan tomando en cuenta el numero de asegurados
que hacen uso de los valores de rescate (Seguro Saldado, Seguro Prorrogado, etc), i.e.
analiza cuantos asegurados usan el valor de rescate y en base a eso calcula el factor de
rescate.
TASAS DEL FONDO DE INVERSIÓN. i(t )
No es más que la tasa a la que la CIA aseguradora cree invertirá todo el dinero que le entra
ya sea de reserva ó de prima. Que generalmente son mayores al interés técnico.
SEGURO A PRIMA UNICA.
Consiste en calcular un seguro a prima única dependiendo del tipo del seguro que se va a
vender, por ejemplo si queremos calcular un seguro temporal a "n" años a prima única, con
una Suma Asegurada (SA) se calcularía de la siguiente manera:
M

M

n
A

PU
x x
*
SA
x
:
n

D
x
#
Aseg
#
Aseg
*
(
1

Q

Can
)
t
t

1
t

1
t

1
ANUALIDAD ANTICIPADA.
No es mas que calcular la anualidad anticipada de un seguro, como ejemplo si tenemos un
seguro temporal a "n" años con una Suma Asegurada (SA) se calcularía de la siguiente
manera:
NN
x
n
ä
 x
x
:n
D
x
PRIMA NETA NIVELADA.
Es la prima que siempre pagara el asegurado en todas sus anualidades, por ejemplo para un
seguro temporal a "n" años.
M

M
PU
x
x

n
P

PN

*
SA
x
:
n

ä
N

N
x
x

n
x
:
n
PRIMA DE TARIFA.
Esta es la prima que sale al mercado, o prima comercial, en esta prima ya se recargan gastos
de gestión externa (GGE) y los gastos de gestión interna (GGI). Se calcula de la siguiente
manera:
PN
PTarifa

(
1

gge

ggi
)
PRIMA.
En esta colma se calcula, cuanto dinero le entra a la aseguradora en primas i.e.
(
Ptarifa
)
*
(#
Aseg
Prima t
t)
G.G.E.
Estos Son los gastos de gestión externa, en esta columna la aseguradora calcula cuanto
dinero desembolsará por gastos como pago de Agentes de Seguros,
GGEt  Prima t *GGE
G.G.I.
Estos Son los gastos de gestión interna, en esta columna la aseguradora calcula cuanto dinero
desembolsará por Gastos de Administración (Ej. Pago de Nomina de empleados):
GGI t  Prima t *GGI
MORTALIDAD.
En esta columna se calcula el dinero el cual espera pagar la aseguradora en sumas
aseguradas, para ello se tiene que calcular el número esperado de muertos que tendrá.
Muertos
_
esperado

Round
(
#
Aseg
*
Q
,
0
)
t
t
t
En general este producto no da un número entero, de tal forma que se tiene que redondear al
entero más próximo. Entonces el dinero que espera pagar la Aseguradora esta dado de la
siguiente manera:
Mortalidad
(#
Aseg
Q
)
*
SA
t
t*
t
TABLA SELECTA (Qt).
Esta tabla se calcula a partir de la proporción que existe entre las tasas de mortalidad de la
aseguradora y las tasas de la tabla de mortalidad utilizada, es decir, son probabilidades de
muerte ajustadas por la Aseguradora en base a su propia experiencia. Generalmente las tasas
de mortalidad de la tabla selecta son más grandes que las de una tabla de mortalidad.
CALCULO DE LAS FUNCIONES DEL ASSET SHARE:
#Aseg: en esta función se calculan los números estimados de asegurados tendrá la
aseguradora, para calcular esta columna se osan los factores de cancelación para estimar
cuantos asegurados al paso del tiempo van ir cancelando su seguro, se calcula de la siguiente
manera:
6
RESERVA T.
En esta columna se calcula la reserva terminal por asegurado, consiste en calcular la
reserva al tiempo "t" por asegurado, para este efecto se usara el método prospectivo. i.e.
La reserva terminal por asegurado de un seguro temporal a "n" años al año "t" ó en el año
"t" es:
'
1


V
x
n

SA
*
(
M

M
)

P
(
N

N
)
*
t :
x

t
x

n
x

t
x

n
x
:
n

D
x

t
La reserva terminal por asegurado de un seguro ordinario de vida (vida entera) al año "t"
ó en el año "t" es:
1


V
x

SA
*
M
P
*
N
*
x

t
x
x

t

D
x

t
ocurridas fueron entregados a mitad de año.
t
La reserva terminal por asegurado de un seguro dotal al año "t" ó en el año "t" es:
VP PRIMAS.
En esta columna se llevan a valor presente el dinero en
aseguradora, se calcula de la siguiente manera:
(

1
)
(

1
)
(

1
)
VP
Pr
imas

Pr
ima
*
(
1

i
)
*
(
1

i
)
*
.....
*
(
1

i
)
t
t
1
2
t

1
1


V
x
:
n

SA
*
(
M

M

D
)

P
(
N

N
)
*
t
x

t
x

n
x

n
x

t
x

n
x
:
n

D
x

t
VALOR DE RESCATE.
En esta columna se calcula el dinero esperado que piensa pagar la aseguradora por el
concepto de Valor de Rescate, dicho en otras palabras, la Aseguradora hace un estimado de
cuanto dinero piensa desembolsar por que un asegurado decida cancelar su póliza, la forma
de calcular es la siguiente; suponiendo que le devolverá el 95% de su reserva matemática
una ves aplicándole el factor de rescate que le corresponde:
primas que le entraron a la
CONSTRUCCIÓN DE LA TABLA DE VALORES GARANTIZADOS PARA EL
ASEGURADO
Las siguientes columnas si bien no forman parte del Asset Share si son muy importantes
verlas de manera didáctica y se calculan para mostrar un especie de catalogo al asegurado, en
donde se le explique qué puede hacer con su dinero en reserva si decide cancelar su seguro.
VALOR DE RESCATE.
Forma parte de los "valores garantizados", cuando el asegurado decide no continuar con el
Valor
_
de
_
Re
scate
_
Esperado

#
Aseg
*
Can
*
Rva
*
Rcte
*
0
.
95
t
t
t
t
t
RESERVA TERMINAL.
En esta columna la aseguradora calcula cuanto dinero tendrá en reserva por todos sus
asegurados. i.e.
seguro entonces la Aseguradora le devuelve "parte" de la Reserva Matemática, cabe aclarar
que este como todos los valores garantizados solo se tomaran en cuenta cuando el asegurado
ya haya permanecido al menos dos años con la aseguradora. Se calcula de la siguiente
manera:
ValRcte
_
por
_
Aseg
Rva
*
Rcte
*
0
.
95
t
t
t
Re
serva
_
Ter
min
al
#
Aseg
*
Rva
t
t
t
DIVIDENDOS.
Una ves que la aseguradora crea reservas ese dinero lo invierte a una tasa i(t) mayor a la del
Interés Técnico, formando así los llamados "dividendos", la forma de calcularlos es:
El 0.95 corresponde al porcentaje que la aseguradora dará de la reserva que a creado el
asegurado una ves aplicado el factor de rescate que le corresponde.
Dividendos

#
Aseg
*
Rva
*
(
i
*
0
.
90

it
)
t
t
t

1
(
t
)
Suponiendo que dará el 90% de dividendos.
FONDO.
Esta es una de las funciones más importantes de un Asset Share pues hace uso de la mayoría
de las columnas del Asset Share ya que a todas las entradas de dinero a la aseguradora le
resta todas las salidas obteniendo así las ganancias. Se calcula de la siguiente manera:
SEGURO SALDADO
Si el asegurado decide no seguir pagando la prima y desea continuar protegido, el valor de
rescate puede ser utilizados para pagar el plazo que falte de transcurrir de la vigencia del
Contrato.
De esta forma, el asegurado utiliza el Valor de Rescate para pagar una cobertura a prima
única, por le mismo plazo que contrató originalmente, pero con menor suma asegurada.
Supongamos un Seguro Temporal n años, entonces la formula se deduce de la siguiente
1
/
2

[(
GGI

Mortalidad
)
*
(
1

i
)
]

VRscate

Divdendos
t
t
t
t
t
manera:
Fondo

[(
Fondo

Pr
ima

GGE
)
*
(
1

i
)]
t
t

1
t
t
t
Nótese que los GGI y Mortalidad fueron llevados a valor futuro o invertidos medio periodo
eso suponiendo que el dinero que gasto la compañía en nomina de empleados y muertes
7
n
ValRcte
_
por
_
Aseg

A

Seguro
_
Saldado
t
t

x

t
:
n

t 

















VPP

VP
Pr
imas




t
Re
serva
del
Asegurado
Nueva
Suma
Asegurada
Costo
del
Seguro
t
1

1

1

1
(
M

M
)
x

t
x

n
VPF

Fondo
*
(
1

i
)
*
(
1

i
)
*
......
*
(
1

i
)
t

n
(
1
)
(
2
)
(
t
)
ValRcte
_
por
_
Aseg

Seguro
_
Saldado
t
t
D
x

t
PORCENTAJE DE UTILIDAD.
ValRcte
_
por
_
Aseg
t
Seguro
_
Saldado
t
(
M

M
)
x

t
x

n
D
x

t
(Tarea 5, Construir la formula para calcular el Seguro Saldado en el tiempo t para un
seguro Ordinario de Vida)
SEGURO PRORROGADO
Si el asegurado decide no seguir pagando la prima y desea continuar protegido con la misma
Suma Asegurada, el valor de rescate podrá ser utilizado para este fin.
De esta forma, el asegurado utiliza el Valor de Rescate para pagar una cobertura a prima
única, por la misma suma asegurada que contrató originalmente, pero por un plazo menor
(plazo prorrogado).
La deducción de la formula es la siguiente:
VPF
Porcentaje
_
de
_
utilidad
 %
VPP
(Tarea 6, Calcular un Asset Share se anexara Asset en Excel para un
temporal 10 años)
(Tarea 7, Calcular un Asset Share se anexara Asset en Excel para un
temporal 20 años)
(Tarea 8, Calcular un Asset Share se anexara Asset en Excel para un
Ordinario de Vida)
3.- PROBABILIDAD DE VIDA CONJUNTA Y DE ÚLTIMO SOBREVIVIENTE
Recordemos la probabilidad de dos o más independientes que se presentan juntos o en
Seguro
_
prorrogado

 sucesión es el producto de sus probabilidades marginales:
t
ValRcte
_
por
_
Aseg

A



t

x

t
:
1










365


Re
serva
del
Asegurado
Costo
del
Seguro
en
un
año
P
(
A
y
B
)
P
(
A
)P
(
B
)
Entonces:




V
a
l
R
c
t
e
_
p
o
rA
_
s
e
g
t


S
e
g
u
r
o
_
p
r
o
r
r
o
g
a
d
o

*
3
6
5
t
M
M

x

t
x

t

1
*
S
A


D
x

t


Así pues, ¿Cuál es la probabilidad de que dos personas, una de edad “x” y otra de edad “y”
ambas lleguen con vida al siguiente año?, si suponemos que se trata de dos eventos
independientes, es decir, que la muerte de una persona en nada afectará a la otra, tendríamos
que:
px:y px  py
Ó dicho de otra manera:
CUADRO DE RENTABILIDAD.
Finalmente es hora de saber que rentabilidad (que tan rentable fue el seguro que vendió la
aseguradora) tubo la aseguradora con el seguro que vendió. Para ello necesitamos calcular el
Valor Presente del Fondo VPF (cuanto dinero obtuvo al invertir la aseguradora) y el valor
presente de las primas VPP (cuanto dinero en primas entro a la aseguradora traído a valor
presente.)
8
l
lx
1 l
x

1
:y

1
1 y
p

x
:y 
lx ly
lx
:y
Es decir, por notación:

lx1:y1lx1ly1

lx:y lx ly
q

q

q

(
1

p
)

(
1

p
)

1

p

p

p
x
:
y
x
y
x
y
x
y
x
:
y
x
Ahora bien, supongamos que las vidas para edades i con i=1,2,...,m son independientes,
entonces la probabilidad de que un grupo vida conjunta de “m” vidas muera a la edad
Pongamos un ejemplo de lo antes descrito:
xi  n se puede expresar por:
¿Cuál es la probabilidad de que 2 personas una de edad 18 y otra de edad 20 ambas lleguen
con vida al siguiente año?
l l21 l
:
20
p
19
 19
18
:
20
l
l
l
18 20 18
:
20
d
n
x
:
x
:
...
:
x
1
2
m
q 
(
q
)

(
q
)



(
q
)

n
x
m
l
x
:
x
:
...
:
x
1
2
m
n
x
:
x
:
...
:
x
x
x
1
2
mn
1 n
2
Ejemplo: ¿Cuál es la probabilidad de que de un grupo de 3 personas con edades 18, 20 y 22
todas mueran dentro de 3 años?
d
q
(
q
)

(
q
)

(
q
)

l
3
18
:
20
:
22
3
18
:
20
:
22
3
18
3
20
3
22
18
:
20
:
22
Probabilidad de vida conjunta de m participantes:
Otra pregunta interesante podría ser:
Se conoce así por que el grupo se destruye si alguno de los integrantes fallece, ó dicho de
otra manera todos los participantes deben de continuar con vida.
¿Cuál es la probabilidad de que de un grupo de m participantes de edades
entre los años n y r con n < r?
En general supongamos que las vidas para edades xi para i=1,2,...,m son independientes,
entonces la probabilidad de que un grupo vida conjunta de “m” vidas todas sobrevivan n
años más:
p
l
x

n
:
x
n
:
...
:
x
n
1 2 m
l
x
:
x
:...
:
x
1
2
m
nx
:
x
:...
:
x
1
2
m
Ejemplo: ¿Cuál es la probabilidad de que un grupo de 3 personas de edades 18, 19 y 20
todas lleguen con vida dentro de 3 años:
p
l
3
:
19

3
:20

3
18
l
18
:
19
:20
3 18
:
19
:20
Probabilidad de destrucción de un grupo de m participantes
Ya vimos la probabilidad de que de un grupo de m participantes todos sobrevivan, pero cuál
es la probabilidad de que de un grupo de m participantes todos mueran (destrucción del
grupo). Para encontrar dicha probabilidad partamos de lo siguiente:
¿Cuál sería la probabilidad de que en un grupo de 2 personas, una de edad “x” y otra de edad
“y” ninguna llegue con vida al siguiente año:
9
xi todos mueran
d
r

n
x

n
:
x

n
:
...
:
x

n
1
2
m
|q

(
|q
)

(
|q
)



(
|
q
)

n
r

n
x
m
l
x
:
x
:
...
:
x
1
2
m
n
r

n
x
:
x
:
...
:
x
n
r

n
x
n
r

n
x
1
2
m
1
2
Ejemplo: ¿Cuál es la probabilidad de que de un grupo de 3 personas de edades 18, 20, y 22
todas mueran entre los años 6 y 8?
| q
(
|q
)

(
|q
)

(
|q
)
6
8

6
18
:
20
:
22
6
8

6
18
6
8

6
20
6
8

6
22
d
|q
(
|q
)

(
|q
)

(
|q
)

l
d

l
2
18

6
:
20

6
:
22

62
24
:
26
:
28
6
2
18
:
20
:
22
6
2
18
6
2
20
6
2
22
18
:
20
:
22 18
:
20
:
22
Como hemos visto hasta ahora hemos calculado probabilidad de sobrevivencia y destrucción
de un grupo de m participantes los cuales todos en su conjunto deben sobrevivir o
desaparecer. Ahora veremos el caso donde no a todos les tenga que ocurrir la contingencia:
Probabilidad de vida conjunta de último sobreviviente.
Si se recuerda en el capitulo anterior, vida conjunta de m participantes, este era destruido
cuando cualquier participante falleciera, es decir todos los participantes debían continuar con
vida. Por lo tanto el grupo de último sobreviviente, se destruye a la muerte del último
sobreviviente.
¿Cuál es la probabilidad de que en un grupo de 2 personas de edades
llegue con vida el siguiente año?
1
p
x1:x2
1
x1 y x2 al menos una
Finalmente, Cuál es la probabilidad de que en un grupo de m personas de edades
x1 , x2 ,
x3 ,…, xm al menos una llegue con vida el siguiente año?
1
m m
m
m

1
p

p

p

p



(

1
)
p


x
x
:
x
x
:
x
:
x
x
:
x
:

:
x
x
:
x
:

:
x
i 
i
j
i
j
k
1
2
m
1
2
m
i

1
q x1:x2

i

1
i

j
i

1
i

j

k
prob. de que
ambos mueran
Cuál es la probabilidad de que en un grupo de m personas de edades
menos una sobreviva n años más?
 1  (q x1 )(q x2 )
 1  (1  p x1 )(1  p x2 )
1 m
m
x1 , x2 , x3 ,…, xm al
m
m

1
p

p

p

p



(

1
)
p

n
x
n
x
:
x
n
x
:
x
:
x
n
x
:
x
:

:
x
x
:
x
:

:
x
i 
i
j 
i
j
k
1
2
m
1
2
m n
 p x1  p x2  p x1:x2
i

1
i

1
i

j
i

1
i

j

k
2
  p xi  (1) 21 p x1:x2
i 1
Ejemplo:
Ahora, ¿Cuál es la probabilidad de que en un grupo de 3 personas de edades
menos una llegue con vida el siguiente año?
x1 , x2 y x3 al
Cuál es la probabilidad de que en un grupo de 3 personas de edades 18, 20 y 22 al menos una
sobreviva 3 años más?
1
p

1

q

1

(
q
)(
q
)(
q
)

1

(
1

p
)(
1

p
)(
1

p
)
x
:
x
:
x
x
x
x
x
x
x
x
:
x
:
x
1
2
3
1
2
3
1
2
3
1
2
3

p

p

p

p

p

p

p
x
x
x
x
:
x
x
:
x
x
:
x
x
:
x
:
x
1
2
3
1
2
1
3
2
3
1
2
3
3
3
i

1
i

1
i

j
1
3
3
i

1
i

1
i

j
3

1
p

p

p

(

1
)
p

3
3
x
3
x
:
x
3
18
:
20
:
22
18
:
20
:
22
i 
i
j

p

p

p

p

p

p

p
3
18
3
20
3
22
3
18
:
20
3
18
:
22
3
20
:
22
3
18
:
20
:
22
3

1

p

p

(

1
)
p


x
x
:
x
x
:
x
:
x
i
i
j
1
2
3
Ahora nos enfrentamos a otro problema: ¿ Cuál es la probabilidad de que en un grupo de 3
personas de edades 18, 20 y 22 al menos dos sobreviva 3 años más?, o más aún:
Ahora, ¿Cuál es la probabilidad de que en un grupo de 4 personas de edades
x1 , x2 , x3 y
x4 al menos una llegue con vida el siguiente año?
1
px1:x2:x3:x4 1qx1:x2:x3:x4 1(qx1)(
qx2)(
qx3)(
qx4)
1(1px1)(
1px2)(
1px3)(
1px4)
¿ Cuál es la probabilidad de que en un grupo de m personas de edades
xm al menos r sobrevivan n años más?
Para resolver estas preguntas introduciremos el concepto de:
px1 px2 px3 px4
px1:x2 px1:x3 px1:x4 px2:x3 px2:x4 px3:x4
px1:x2:x3 px1:x2:x4 px1:x3:x4 px2:x3:x4 px1:x2:x3:x4
4
4
4
i
1
i
1
ij
i
1
ijk

pxi 
pxi:xj 
pxi:xj:xk (1)41px1:x2:x3:x4
10
x1 , x2 , x3 ,…,
[r]
n
p x1:x2::xm
Que denota la probabilidad de que en un grupo de m personas con edades
xm exactamente r sobrevivan n años más.
Si conociéramos esta probabilidad nuestra pregunta principal:
x1 , x2 , x3 ,…,
Cuál es la probabilidad de que en un grupo de m personas de edades
x1 , x2 , x3 ,…,
xm al menos r sobrevivan n años más sería:
[
r
]
r
[
r

1
]
[
m
]
p 
p 
p 


p
n
n
n
n
x
:
x
:

:
x
x
:
x
:

:
x
x
:
x
:

:
x
x
:
x
:

:
x
1
2
m
1
2
m
1
2
m
1
2
m
n
p
(
1

p
)(
1

p
)

p

p

p

p
x
x
x
x
x
:
x
x
:
x
x
:
x
:
x
1
2
3
1
1
2
1
3
1
2
3

p
(
1

p
)(
1

p
)

p

p

p

p
x
x
x
x
x
:
x
x
:
x
x
:
x
:
x
2
1
3
2
1
2
2
3
1
2
3

p
(
1

p
)(
1

p
)

p

p

p

p
x
x
x
x
x
:
x
x
:
x
x
:
x
:
x
3
1
2
3
1
3
2
3
1
2
3
Sumando:
[r]
Centrémonos entonces en calcular:

p x1:x2::xm
[1]
¿Cuál es la probabilidad de que en un grupo de 2 personas una edad
px1:x2:x3 px1 px2 px2
x1 y otra de edad
2px1:x2 2px1:x3 2px2:x2
x2 exactamente una llegue con vida al siguiente año?
3px1:x2:x3
En este caso recordemos que para dos eventos independientes:
P
(
A
ó
B
)
P
(
A
)

P
(
B
)
x1 y otra de edad x2
una llegue con vida al siguiente año, sería lo mismo que decir que ( x1 ) llegue con vida al
siguiente año y la otra muera ó ( x 2 ) llegue con vida al siguiente año y la otra muera:
p
(
1

p
)
p

p

x
x
x
x
:
x
1
2
1
1
2
Entonces la probabilidad de que en un grupo de 2 personas una edad

p
(
1

p
)
p

p
x
x
x
x
:
x
2
1
2
1
2



2
2

1

p

2
(

1
)
p

x
x
:
x
i
1
2
i

1
x1 , otra de edad
x2 y otra de edad x3 exactamente una llegue con vida al siguiente año?
Usando lo que vimos en el ejemplo anterior tendríamos ahora 3 casos:



Es decir:
11
x1 ó
Solo llegue con vida x 2 ó
Solo llegue con vida x3
Solo llegue con vida
,
i
1
i
1
ij
x2
x3 y x4 exactamente una llegue con vida al siguiente año?
Usando lo que vimos en el ejemplo anterior tendríamos ahora 4 casos:

p

p

p

p

p

p

p

2
p
x
x
:
x
x
x
:
x
x
x
x
:
x
x
:
x
1
1
2
2
1
2
1
2
1
2
1
2
¿Cuál es la probabilidad de que en un grupo de 3 personas una edad
3
¿Cuál es la probabilidad de que en un grupo de 4 personas una edad con edades x1 ,

Finalmente la probabilidad que queríamos encontrar seria:
[
1
]
3

pxi 2
pxi:xj 3(1)31px1:x2:x3


Es decir:
x1 ó
Solo llegue con vida x 2 ó
Solo llegue con vida x3 ó
Solo llegue con vida x 4
Solo llegue con vida
p
(
1

p
)(
1

p
)(
1

p
)

p

p

p

p
x
x
x
x
x
:
x
:
x
:
x
1
2
3
4
1 x
1
2 x
1
3 x
1
4

p

p

p

p
x
:
x
:
x
:
x
:
x
:
x
:
x
:
x
:
x
:
x
1
2
3 x
1
2
4 x
1
3
4 x
1
2
3
4
p
(
1

p
)(
1

p
)(
1

p
)

p

p

p

p

p

p

p
x
x
x
:
x
:
x
:
x
:
x
:
x
:
x
:
x
:
x
:
x
2 x
1
3
4 x
2x
1
2x
2
3x
2
4x
2
1
3x
2
1
4x
2
3
4

p
x
:
x
:
x
:
x
1
2
3
4
p
(
1

p
)(
1

p
)(
1

p
)

p

p

p

p

p

p

p
x
x
x
:
x
:
x
:
x
:
x
:
x
:
x
:
x
:
x
:
x
3 x
1
2
4 x
3x
3
1x
3
2x
3
4x
3
1
2x
3
1
4x
3
2
4

p
x
:
x
:
x
:
x
1
2
3
4
p
(
1

p
)(
1

p
)(
1

p
)

p

p

p

p

p

p

p
x
x
x
:
x
:
x
:
x
:
x
:
x
:
x
:
x
:
x
:
x

4 x
1
2
3 x
4x
4
1x
4
2x
4
3x
4
1
2x
4
1
3x
4
2
3

p
x
:
x
:
x
:
x

1
2
3
4
Finalmente la probabilidad que buscamos es:
px1 px3 qx3 ó
px2 px3 qx1
Y dado que x1=x2=x3=x (pues las edades son iguales) la probabilidad que buscamos es:
[
1
]
[
2
]
2 1
p

p

p

p

p

2
p

2
p

2
p

2
p

2
p

2
p
x
:
x
x
:
x
x
:
x
x
:
x
x
:
x
x
:
x
x
:
x
:
x
:
x



p

p
p
q

p
p
q

p
p
q

3
(
p
p
q
)

3
p
q
1 x
2 x
3 x
4
1
2
1
3
1
4
2
3
2
4
3
4
1
2
3
4 x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
:
x
::
x
1
2
3

3
p

3
p

3
p

3
p

4
p
x
:
x
:
x
x
:
x
:
x
x
:
x
:
x
x
:
x
:
x
x
:
x
:
x
:
x
1
2
3
1
2
4
2
3
4
1
3
4
1
2
3
4
3

2

12 3
3
!

2
2 3

2



 
p
q

p
q
x
x
x
x
2

1

1
2
!
(
3

2
)!
O bien:
Finalmente tenemos que:
[
1
]
4
4
[
2
]
3
p


p

C
q
2
x
x
x
:
x
::
x
4
4

1
p

p

2
p

3
p

4
(

1
)
p



x
x
:
x
x
:
x
:
x
x
:
x
:
x
:
x
x
:
x
:
x
:
x
i
i
j
i
j
k
1
2
3
4
1
2
3
4
i

1
i

1
i

j
i

1
i

j

k
¿Cuál es la probabilidad de que en un grupo de “m” personas de edades
x1,x2,x3,...
,xm, respectivamente exactamente una llegue con vida al siguiente año?
m
m
m
m

1
p

p

2
p

3
p

....

(
m
)(

1
)
P



x
x
:
x
x
:
x
:
x
x
:
x
:
...
:
x
x
:
x
:
....
::
x
i
i
j
i
j
k
1
2
m
1
2
m
i

1
i

1
i

j
i

1
i

j

k
[r]
Pero seguimos sin encontrar
n
p x1:x2::xm , por lo que el último resultado evidencia lo
complejo que es encontrar dicha probabilidad.
¿Cuál es la probabilidad de que de un grupo de tres personas de edades
iguales exactamente dos lleguen con vida?
Para resolver la pregunta hay que analizar los casos posibles:
 Que x1 y x2 lleguen con vida y x3 muera ó
 Que x1 y x3 lleguen con vida y x2 muera ó
 Que x1 y x3 lleguen con vida y x1 muera

px pxqxqx ó

pxqx pxqx ó
pxqxqx px ó


qx px pxqx ó
qx pxqx px ó

qxqx px px

Entonces tenemos que:
[
2
]
4
! 24

242
4

2







p

6
p
p
q
q

p
q

C
p
q
x
x
x
x
x
x
2
x
x
x
:
x
::
x
:
x
1
2
3
4
2
!
(
4

2
)!
Ahora analicemos otro resultado....
x1 , x2 , x3
Ahora que pasa si de ese mismo grupo de personas queremos que exactamente 3 sobrevivan:




px px pxqx ó
px pxqx px ó
pxqx px px ó
qx px px px
Dicho de otra manera:
Finalmente tendríamos que:

12
px1 px2 qx3 ó
3

2
Ahora bien, ¿qué pasa para un grupo de 4 personas de la misma edad x , exactamente 2
lleguen con vida?
Analicemos los casos:
De acuerdo a todo lo anterior.
[
1
]
2
12 3
[
3
]
4
! 34

342
4

3







p

4
p
p
p
q

p
q

C
p
q
x
x
x
x
x
x
3
x
x
x
:
x
::
x
:
x
1
2
3
4
3
!
(
4

3
)!
Entonces:
[r]
m
px:x:...
C
q
r p
x
x
:x 
Lo que podemos concluir es que la probabilidad de que de un grupo de m personas de
la misma edad exactamente r lleguen con vida es:
[
r
]
m
C
1p
r p
x
x
m
m

r
r
m
m

r m

r
k k
C
(
1
)kC
p
r p
x
k 1
x
m

r
m r
r x
x
k
0
m

r
m r
r x
k
0
m

r k
Cp
(
1
)kC
k p
x
Este último resultado nos sirve para encontrar la probabilidad de que de un grupo de m
personas de la misma edad al menos r lleguen con vida:
[
r

1
]
[
r
]
r
m r
m

r 0
m r
m

r 1
m r
m

r 2
C

1
)0C
C

1
)1C
C

1
)2C
rp
x(
0 p
x
rp
x(
1 p
x
rp
x(
2 p
x
[
m
]
p

p

p

...

p
x
:
x
:
...
:
x
x
:
x
:
...
:
x
x
:
x
:
...
:
x
x
:
x
:
...
:
x
1
2m
1
2m
1
2m
m

r
r



p

C
p
q
x
:
x
:
...
:
x
12
m

r
r
m r
m

r m

r


C

1
)mrC
rp
x(
m

rp
x
1
2m
O bien:
Este último resultado solo funciona si las edades de los integrantes del grupo son las mismas,
pero qué pasa si no lo son?
Método Z
Para resolver este problema vamos utilizar un Método conocido como “Z” para aproximar
dicha probabilidad para ello vamos a definir:
[
r
]
m
rm
m

r
r

1
m
m

r
r

2
m

r
m
m
…(2)
p

C
p

C
C
p

C
C
p



(

1
)
C
p
r
x
r
1
x
r
2
x
r
x
x
:
x
:
...
:
x
Por otro lado dado que Zs Simboliza la suma de las combinaciones de probabilidades de
supervivencia de m participantes tomados de s maneras. Entonces podemos suponer que:
m
ms
x
:
x
:
...
:
x
1
2
s
Z
C

C

s
s
sp
x
P
s

1
[r ]
p x1: x2 :...:xm  Z r  k1 Z r 1  k 2 Z r 2    kt Z r t    k mr Z m …(1)
Si sustituimos esto en (1):
Z s : simboliza la suma de las combinaciones de probabilidades de supervivencia al
Llamemos este ultimo resultado Ecuación (3)
[r ]
p x1: x2 :...:xm  Crm p xr  k1Crm1 p xr 1  k 2 Crm2 p xr 2    kt Crmt p xr t    k mr p xm1
Donde:

final del año de m participantes tomados de s maneras

k s : simboliza una constante de ponderación
Encontremos los Valores de Z y de K. Para ello recordemos uno de los resultados que
obtuvimos:
m


p

C
p
q
r
x
x
x
:x
:
...
:
x
[
r
]
r
m

r
Y por otro lado recordemos el teorema del binomio:
n
nn

k k
x
n
y
C

kx y
k

0
O bien:
n
n
k nn

kk


x

y

(

1
)
C
x
y

k
k

0
13
Para encontrar los valores K igualamos miembro a miembro la Ecuación 2 y 3, es decir, qué
valor debe tomar K para que la ecuación 3 sea igual a la ecuación 2?
El primero miembro es exactamente igual:
m r
m r
C
r p
x C
r p
x
El segundo miembro:
mm

r r

1
mr

1

C
k
C
p
rC
1 p
x 
1
r

1
x
Entonces:
m
m

rr

1
m
m

r

C
C

C
C
r

1
r
1p
x
r
1
k
m
m 

C
1
1
r

1
C
p
C
r

1
x
r

1
m
m

rr

2
m
m

r

C
C

C
C
r

2
r
2p
x
r
2
k
mr
m 
C
2
2

2
C
p
C
r

2
x
r

2
O bien:
En ese sentido podemos suponer que
m
m

rr

s
rs x
m
r

s
r

sx
m
m

r
rs
m
r

s

C
C
p
C
C r

s
k



C
s
s
C
p
C
[
r
]
m

r
t r

t
p

(

1
)
C

n
t Z
r

t
x
:
x
:
...
:
x
1
2
m
t

0
Si sustituimos los valores K que acabamos de encontrar en la ecuación 1 hasta m-r tenemos
que:
Ya hemos resuelto casi todas nuestras preguntas, y solo nos falta una:
[
r
]
r

1 r

2
t
r

t
m

r
m
p

Z

C
Z

C
Z



(

1
)
C
Z



(

1
)
C
Z
r
1
r

1
2
r

2
t
r

t
m

r
m

1
x
:
x
:
...
:
x
1
2
m
[
r
]
r
m
[
s
]
m
m

r
ts

t
p 
p 
(

1
)
C



tZ
s

t
n
n
x
:
x
:
...
:
x
x
:
x
:
...
:
x
1
2
m
1
2
m
s

r
s

r
t

0
m

r
t r

t
p

(

1
)
C

t Z
r

t
x
:
x
:
...
:
x
1
2
m
t

0
Con esto podemos encontrar la probabilidad de que en un grupo de m participantes con
edades xi con i=1,2,..,m diferentes exactamente r lleguen con vida.
Ejemplo: ¿Cuál es la probabilidad de que en un grupo de 4 personas con edades
x1, x2 , x3 y x4 exactamente 2 lleguen con vida el siguiente año?
[2
]
4

2
t
0

Z
3
Z
6
Z
2
3
4


3p
p
p
p
x
:x
:x
x
:x
:x
x
:x
:x
x
:x
:x
1
2
3
1
2
4
1
3
4
2
3
4

6
p
x
:x
:x
:x
1
2
3
4
x1, x2 , x3 y x4 exactamente 2 sobrevivan 5 años más?
4

2
2

t
2

0
2

1
2

2

(
1
)tC
C
C
C

5p
t Z
2

t
0 Z
2
1 Z
2

1
2 Z
2

2
x
:x
:x
:x
1
2
3
4
t
0

Z
3
Z
6
Z
2
3
4

p
p
p
p2:x3
p
p3:x4
5
x
:x
:x
:x
5
x
:x
1
2 5x
1
3 5x
1
4 5x
2
4 5x


35p
p
p
p2:x3:x4
x
:x
:x
:x
:x
:x
:x
1
2
3 5x
1
2
4 5x
1
3
4 5x

6
p
5
x
:x
:x
:x
1
2
3
4
14
[
2
]
[
3
]
s

2
[2
]
4

2
[3
]
4

3
[4
]
4

4
2

t
3
4
px1:x2:x3:x4 
(
1
)tC
Z
C
C
t Z
2

t
2
1Z
3
2Z
4
3

t
4
px1:x2:x3:x4 
(
1
)tC
Z
C
t Z
3

t
3
1Z
4
t
0
4

t
px1:x2:x3:x4 
(
1
)tC
Z
t Z
4

t
4
t
0
Ejemplo: ¿Cuál es la probabilidad de que en un grupo de 4 personas con edades

4 [
s
]
t
0

p
p
p
p
p
p
x
:x
x
:x
x
:x
x
:x
x
:x
x
:x
1
2
1
3
1
4
2
3
2
4
3
4
[2
]
2
[
4
]
p

p

p

p

p
x
:
x
:
x
:
x
x
:
x
:
x
:
x
x
:
x
:
x
:
x
:
x
:
x
:
x
:
x
:
x
:
x
1
2
3
4
1
2
3
4
1
2
3
4 x
1
2
3
4 x
1
2
3
4
Calculemos por separado cada una de las probabilidades:
2

t
2

0
2

1
2

2
px1:x2:x3:x4 
(
1
)tC
C
C
C

t Z
2

t
0 Z
2
1 Z
2

1
2 Z
2

2

Pero resolver esta suma aún suena complicado por lo que veremos si hay manera de
reducirla, para ello intentemos calcular la siguiente probabilidad:
Finalmente:
[2]
2
[3]
[4]
px1:x2:x3:x4  px1:x2:x3:x4 px1:x2:x3:x4 px1:x2:x3:x4



 Z2 C13Z3 C24Z4  Z3 C14Z4 Z4
Anualidades para más de 2 personas
Z2 C13Z3 Z3 C24Z4 C14Z4 Z4
4.- Anualidades Vitalicias




Z2 Z3 C13 C03 Z4 C24 C14 C04
Recordemos que en el caso de 1 persona una anualidad vitalicia vencida a edad x se
calculaba de la siguiente manera:
Z2 Z3C12 Z4C23 Z2 C12Z3 C23Z4


x
C01Z2 C12Z3 C23Z4
t
1
2
w

x
a
V
V
p
V
...

V

x
tp
x
x
2p
x
w

xp
x
1 C2211Z2 1 C3321Z3 1 C4421Z4
22
4
32
42
t
1
1
2
w

x
l 
V
lx2


V
lw
1l
2l
w

xl
x

1
x

2
w V

V

V

...

V
 x1
lx
lx
lx
lx
1 C Z
s2
s2
s1
s2 s
2
w

x
x

1
x

2
w
x 1
Vl 
V
lx2


V
lw V
lx1
V
lx2


V
lw
V
 x x1

x
lx
V
V
lx
Generalizando este resultado encontramos la probabilidad tan añorada:
r
D
D
...

D
w N
 x1 x2
 x1
D
D
x
x
m
s

r s

1
p
(

1
)
C
Z
s

r
s
x
:
x
:
...
:
x
1
2
m 
s

r
Como en el valor Z va implícito el número de años de supervivencia:
r
En el caso de dos personas, el valor presente de 1 u.m. de personas de edades x1 y x2 ,
mientras las dos estén con vida sería:
m
s

r s

1
p
(

1
)
C
Z
n
s

r
s
x
:
x
:
...
:
x
1
2
m 

t
a

V

x
:x
tp
x
:x
1
2
1
2
s

r
t
1
Ejemplo: Cuál es la probabilidad de que en un grupo de 4 personas de edades
x1, x2 , x3 y
x4 al menos 2 sobrevivan n años más?
2

Dxx Dxlx
4

DxxxDxlxlx
s

2

N
D

xx
x
t:x
t

Dxy Dxly
s

2 s

1
3

1
4

1
2
3
p

(

1
)
C
Z
Z

C
Z

C
Z
Z

C
Z

C
Z

n
s

2
s
2
3

2
3
4

2
4
2
1
3
2
4
x
:
x
:
x
:
x
1
2
3
4

Z

2
Z

3
Z
2
3
4


t
0

p

p

p

p

p

p
n
x
:
x
:
x
:
x
:
x
:
x
:
x
1
2 nx
1
3 nx
1
4 nx
2
3 nx
2
4 nx
3
4


2
p

p

p

p
n
x
:
x
:
x
:
x
:
x
:
x
:
x
:
x
:
x
1
2
3 nx
1
2
4 nx
1
3
4 nx
2
3
4

3
p
n
x
:
x
:
x
:
x
1
2
3
4
Como podemos ver el método “Z” nos ayuda a encontrar este tipo de probabilidades de
manera rápida.
15
Definimos lo siguiente:
Entonces:


N

N
ä
V
p

D
x
2
1 1
V
V
l

V
l

...D
l

D
l

...
x

1
:
x

1
x

2
:
x

2
x

1
x

1
x

2
x

2
1
2
1
2
1
2
a

1 2
x
:
x
x
1
2
1
V
l
D
l2
x
:
x
x
1
2
1x
n

1
x
:
x
:
...
:
x

n
:
x

n
:
...
:
x

n
t
1
2
m x
1
2
m
tx
:
x
:
..
:
x
x
:
x
:
..
:
x
:
n
1
2
m
1
2
m
t

0
x
:
x
:
..
:
x
1
2
m

D
l


t

1
x

tx

t
1
2
D
l2
x
1x
N
x

1
:
x

1
1 2
D
x
:
x
1
2
En el caso de tres personas:

N
x

1
:
x

1
:
x

1
t
1
2
3
a

V
p


x
:
x
:
x
t
x
:
x
:
x
1
2
3
1
2
3
D
t

1
x
:
x
:
x
1
2
3
Recordemos que hasta ahora solo hemos trabajado con edades iguales, trabajemos con otros
casos:
Por ejemplo cual es la anualidad vitalicia vencida para un grupo de dos personas de edades
diferentes si se desea que exactamente alguna de ellas sobreviva:


[
1
]
[
1
]
t
t
a

V
p

V
p

p

2
p
p

t x
x
x
x
:
x 
:
x 
1
2
1x
2
t x
1
2
Para el caso anticipado:

N
x
:
x
:
...
:
x
t
1
2
m
ä

V


x
:
x
:
..
:
x
tp
x
:
x
:
..
:
x
1
2
m
1
2
m
D
t

0
x
:
x
:
..
:
x
1
2
m
Anualidades Temporales n años:
Recordemos que para el caso de una persona, la anualidad vencida temporal n años se
calcula:
n
N

N
t

1
x

n

1
a

V
x

tp
x
x
:
n
D
t

1
x
Dado los resultados anteriores una anualidad vencida temporal n años para dos personas
sería:
t

1
t

1
N
N
a
V
p


D
Para el caso anticipado:
16
t

1

[
1
]
[
1
]
t
a

V
p


t x
x
:
x
:
x
:
x
:
x
1
2
3
1
2
3
t

1

t

V
p

p

p

2
p
p

2
p
p

2
p
p

3
p
p
p

x
x
x
x
x
x
1
2
3
1x
2
1x
3
2x
3
1x
2x
3
t x


t

1

a

a

a

2
a

2
a

2
a

3
a
x
x
x
x
x
x
:
x
x
x
x
x
x
1
2
3
1
2
1
3
2
3
1
2
3
Finalmente para m personas:
[
1
]
m
m
m
m

1
a

a

2
a

3
a

....

(
m
)(

1
)
a



x
x
:
x
x
:
x
:
x
x
:
x
:
...
:
x
x
:
x
:
....
::
x
i
i
j
i
j
k
1
2
m
1
2
m
i

1
i

1
i

j
i

1
i

j

k
Para el caso de que exactamente r personas lleguen vida:
N

N
x

1
:
x

1
x

n

1
:
x

n

1
1
2
1
2
a
V
p


D
x
:
x
1
2
n
x

1
:
x

1
:
...
:
x

1x

n

1
:
x

n

1
:
...
:
x

n

1
t
1
2
m
1
2
m
tx
:
x
:
..
:
x
x
:
x
:
..
:
x
:
n
1
2
m
1
2
m
t

1
x
:
x
:
..
:
x
1
2
m

Para el caso de tres personas:
[
r
]

[
r
]
t
a

V

tp
x
:x
:
...
:
x
x
:x
:
...
:
x
1
2
m
1
2
m
n
t
tx
:
x
x
:
x
:
n
1
2
1
2
t

1
Para el caso de m personas:

t

1



t
t
t

V
p

V
p

2
V

a

a

a



t x
t x
tp
x
:
x
x
x
x
:
x
1
2
1
2
1
2
1
2
En el caso de m personas:

N
x

1
:
x

1
:
...
:
x

1
t
1
2
m
a

V
p


x
:
x
:
..
:
x
t
x
:
x
:
..
:
x
1
2m
1
2m
D
t

1
x
:
x
:
..
:
x
1
2
m
1
2
t

1
t

1
Ahora bien, cuál es la anualidad vitalicia vencida para un grupo de m personas de edades
diferentes si se desea que exactamente al menos r sobrevivan sobreviva:
r
[
r
]
[
r

1
]
[
m
]
a

a

a

...

a
x
:
x
:
...
:
x
:
x
:
...
:
x
:
x
:
...
:
x
x
:
x
:
...
:
x
1
2
m x
1
2
m x
1
2
m
1
2
m
O dicho de otra manera:
r

r
a

Vp

x
:
x
:
...
:
x
x
:
x
:
...
:
x
1
2
m
1
2
m
t

1
t
t

Cx:y Cxdy

M
C

x
:y 
x

td
y

t

t
0
Entonces la prima neta única de un seguro ordinario de vida para dos personas sería:
Se recomienda usar el Método Z
r
m

C
d

x

t
x

t

1
2
M
x
:
x
t
t

0
A

V
q

12
x
:
x
x
:
x
1
2 
1
2
t

1
D
D
t

0
x
x
:
x
1
2
a

(

1
)C
Z

x
:
x
:
...
:
x
1
2
m
s

r
s

r s

1a
s
s

rs
Ejemplo: Calcula el valor presente de 1 u.m. de un anualidad vitalicia siempre que al menos
2 de 4 integrantes de un grupo de edades x1, x2, x3, y x4 estén vivos:
2
Para 3 personas:

4
a
a
s

2s

1a
3

1a
4

1a
2a
3a
s
3
3
2
4
2
4
a

(

1
)
C
Z
Z
C
Z
C
Z
Z
C
Z
C
Z

s

2
s
2
3

2
3
4

2
4
2
1
3
2
4
x
:
x
:
x
:
x
1
2
3
4
s

2
a
3
3
a
4
4

a

a

a

a

a

a
x
:
x
x
:
x
x
:
x
x
:
x
x
:
x
x
:
x
1
2
1
3
1
4
2
3
2
4
3
4



2
a

a

a

a
x
:
x
:
x
x
:
x
:
x
x
:
x
:
x
x
:
x
:
x
1
2
3
1
2
4
1
3
4
2
3
4

3
a
x
:
x
:
x
:
x
1
2
3
4
C
d

x

tx

t
:
x

t
1
2
3
t

0
A

V
q

x
:
x
:
x
x
:
x
:
x
1
2
3 
1
2
3
t

1
D
t

0
x
:
x
:
x
1
2
3
t

Z
2
Z
3
Z
a
2
2

Para m personas:
M
x
:
x
:
x
123
D
x
:
x
:
x
1
2
3

C
d

t
x

tx

t
:
...
:
x

t
1
2
m
M
x
:
x
:
...
:
x
t

0
1
2
m
A

V
q


x
:
x
:
...
:
x
x
:
x
:
...
:
x
1
2
m
1
2
m
t

1
D
D
t

0
x
:
x
:
...
:
x
x
:
x
:
...
:
x
1
2
m
1
2
m
En el caso de un seguro temporal n años recordemos que para una sola persona:
n
M

M
t

n
A

V
q
x x
x
:
n 
t

1x
D
t

1
x
5. Primas Netas Únicas (Costo del Seguro)
En el caso de dos personas:
M

M
x
:
x
x

n
:
x

n
t
1
2
1
2
A

V
q


x
:
x
x
:
x
:
n
2
1
2
t

11
D
t

0
x
:
x
1
2
n
Recordemos que para el caso de una sola persona, la prima neta única para un seguro
ordinario de vida es:


C

x

t
M
A
V q
x

x
D
D
t
0
x
x
Definamos:
17
t
t
1x
t
0
Para m personas:
n
M

M
x
:
x
:
..
:
x

n
:
x

n
:
..
:
x

n
t
1
2
m x
1
2
m
A

V
q


x
:
x
:
..
:
x
x
:
x
:
..
:
x
:
n
1
2
m
1
2
m
t

1
D
t

1
x
:
x
:
..
:
x
1
2
m
Ejemplos: Cual sería el costo de un seguro con una suma asegurada de 1 u.m. si dicha suma
se entrega si y solo si exactamente 2 participantes de 4 de edades x1, x2, x3 y x4 mueren
antes de n años (utilizando el método Z).
[2]
n
Ax1:x2:x3:x4:n 
Vt
t
1
t
1
En el caso de dos personas caso vida conjunta:
[2]

nqx1:x2:x3:x4
t
V
q

:x
1
2
t
1 x
A
M
x
:x
x
:x
t
1
1
2
1
2
P



x
:
x

12
ä
N
t
x
:x
x
:x
1
2
1
2
V

tp
x
:x
1
2
42
2t A
20 A
2
1 A
22 A
2t
3
2
4

(1
)tC
C
C
t Z
2t C
0 Z
2 
1 Z
3 
2 Z
4
t0
t
1
Z2A2 3Z3A3 6Z4A4
A
A
A
A
A
A
x1:x2:n
x1:x3:n
x1:x4:n
x2:x3:n
x2:x4:n
x3:x4:n

Ax
äx
Px 

3A
A
A
A
x1:x2:x3:n
x1:x2:x4:n
x1:x3:x4:n
x2:x3:x4:n
6A
x1:x2:x3:x4:n
Para m personas:

Vq

t
:
x
:
..
:
x
1
2
m
t

1x
A
M
x
:
x
:
..
:
x
x
:
x
:
..
:
x
t

1
1
2
m
1
2
m
P



x
:
x
:
..
:
x

12 m
ä
N
t
x
:
x
:
..
:
x
x
:
x
:
..
:
x
1
2
m
1
2
m
V

tp
x
:
x
:
..
:
x
1
2
m
t

1
Si se quiere que al menos 2 lleguen con vida:
2
n
t
A
 V
x
:x
:x
:x
:n 
1
2
3
4
t
1
En el caso donde exactamente r llegan con vida:
2
q
[r]
n x
:x
:x
:x
1
2
3
4
t
1
Ax:x:...:x
Px1:x2:...:xm  1 [2r] m
äx1:x2:...:xm
[r]
4
A
A
s

1 A
3

1 A
4

1 A
2 A
3 A
s
3
3
2
4
2
4

(
1
)s2C
Z
Z
C
Z
C
Z
Z
C
C
Z

s

2
s 
2 
3

2
3 
4

2
4 
2 
1Z
3 
2
4
s

2
A
A
A
3
2
4

Z
2
Z
3
Z
2 
3 
4
En el caso donde al menos r llegan con vida:
A

A

A

A

A

A
x
:x
:n
x
:x
:n
x
:x
:n
x
:x
:n
x
:x
:n
x
:x
:n
1
2
1
3
1
4
2
3
2
4
3
4


r
Ax:x:...:x
Px1:x2:...:xm  1 2r m
äx1:x2:...:xm

2A

A

A

A
x
:x
:x
:n
x
:x
:x
:n
x
:x
:x
:n
x
:x
:x
:n
1
2
3
1
2
4
1
3
4
2
3
4
r

3
A
x
:x
:x
:x
:n
1
2
3
4
PRIMAS NETAS NIVELADAS ANUALES
Prima Nivelada para un Seguro Temporal n años
Prima Nivelada para un seguro ordinario de vida
Recordemos que para una persona:
Px:n 
Recordemos que para una persona:
Para el caso de dos personas:
18
Ax:n
äx:n
n
t
V
q

:
x
1
2
A
t

1x
M
M
x
:
x
:
n t
x
:
x
x

n
:
x

n

1
1
2
1
2
P


 12
n
x
:
x
:
n
12
ä
N

N
t
x
:
x
x

n
:
x

n
x
:
x
:
n
1
2
1
2
1
2
V

tp
x
:
x
1
2
t

1
Para m personas:
3
t
V
q:38

t
1 37
A
37
:38
:3
t
1
P

3

37
:38
:3
ä
t
37
:38
:3
Vt p

37
:38
t
1

1
n
t
V
q

x
:
x
:
..
:
x
1
2
m M
A
t

1

M
x
:
x
:
..
:
x
:
n t
x
:
x
:
..
:
x
x

n
:
x

n
:
..
:
x

n

1
1
2
m
1
2
m
1
2
m
P



n
x
:
x
:
..
:
x
:
n
1
2
m
ä
N

N
t
x
:
x
:
..
:
x
x

n
:
x

n
:
..
:
x

n
x
:
x
:
..
:
x
:
n
1
2
m
1
2
m
1
2
m
V
p

t
x
:
x
:
..
:
x
1
2
m
t

1
(1
.04
)d
(1
.04
)2d
(1
.04
)3d
37
:38
38
:39
39
:40

0

1

2
(1
.04
) l37
(1
.04
) l38
(1
.04
) l39
:38
:39
:40
Considerando que:
dxylxylx1:yn,
En el caso donde exactamente r llegan con vida:
[r]
Ax:x:...
:x :n
Px1:x2:...
 1 2[r] m
:xm
:n
äx1:x2:...
:xm
:n
[r]
En el caso donde al menos r llegan con vida:
r
Ax1:x2:...
:xm
:n
Px1:x2:...

:xm
:n
r
äx1:x2:...
:xm:n
r
Para ejemplificar todo lo antes visto, resolvamos el siguiente ejercicio:
Calcular la Prima Nivelada de un seguro temporal 3 años para el grupo de vida conjunta de
dos personas de edades 37 y 38 años respectivamente que desean recibir una Suma
Asegurada de $150,000 considerando una tasa de interés técnico del 4%.
Solución:
Entonces tendríamos que:

1

2

3
(
1
.
04
)
d

(
1
.
04
)
d
(
1
.
04
)
d
37
:
38
38
:
39
39
:
40
P


0

1

2
37
:
38
:
3
(
1
.
04
)
l

(
1
.
04
)l
(
1
.
04
)l
37
:
38
38
:
39
39
:
40

1

2

3






(
1
.
04
)
l

l

(
1
.
04
)
l

l
(
1
.
04
)
l

l
37
:
38
38
:
39
38
:
39
39
:
40
39
:
40
40
:
41

0

1

2
(
1
.
04
)
l

(
1
.
04
)l
(
1
.
04
)l
37
:
38
38
:
39
39
:
40
Como se ve, la Parte II del curso de Matemáticas Actuariales en general, es lo mismo que la
parte I pero extrapolado a 2 o más personas, dado lo complejo que puede llegar a ser se
recomienda usar el método de aproximación Z para encontrar resultados más rápidos.
A continuación veremos el tema de Tabla de Decrementos múltiples para ello hay que
dominar un tópico muy importante:
6. Gompertz-Makeham.
Recordemos que en el repaso anterior, se vio a la tabla de mortalidad, que como
recordaremos era un cuadro estadístico que resume el impacto de la mortalidad en un grupo
cerrado de personas a través del tiempo, dicho estudio lo hacia en el mejor de los casos de
manera anual, es decir, nosotros conocíamos a la serie l x de manera discreta, pues el valor
“x” solo podía tomar valores enteros (x=1,2,3,4,5.....), la cuestión aquí es saber por ejemplo,
cuantos vivos tengo yo a la edad x= 12.00045, ó a la edad x=19.234676, la tabla de
mortalidad no nos lo puede decir, pues sus observaciones son discretas y no continuas.
Gompertz intento resolver este tipo de preguntas y lo que hizo simplemente fue asociarle una
función (un modelo matemático) continua a la función discreta l x de la tabla de mortalidad,
dicha función tenía que cumplir con emular de la manera más exacta a la función discreta.
19


d
(
l)
d
ln(
l)
1





l dx
dx
x
x
(
x
)
por
regla
de
la
cadena
x
Como x es variable muda:
dln(
ly)


(y) 
dy
Intentemos despejar a l y de la ultima expresión,
(y)dydln(
ly)
(y)dydln(
ly)dy
Es así que se presenta su desarrollo.
Recordemos una serie muy particular de la tabla de mortalidad: “Tasa Central de
Mortalidad”:
n
x
x
0
0
x
lx 
(y)dyln(
ly) ln(
lx)ln(
l0) ln
l 

0
 0
0
x
dx
n Lx
mx  n
x
 (y)dy
Es decir, el número de muertos en determinado tiempo, respecto al total de personas
“presentes”,
e0
lx 

ln
l 
 0
e
l
x
l0
Finalmente tenemos que:
x

(y)dy
Partiendo de esta igualdad y recordando que:
lx l0e
h
h
lx hd
hL
x
x
2
0
A esta última ecuación se le conoce como Ecuación Fundamental de la Ciencia Actuarial
Si suponemos que h es un número muy pequeño podemos decir entonces que:
h
Hasta ahora ya hemos encontrado un modelo matemático, una función lx continua, pero solo
conocemos el “radix” y desconocemos la forma que puede tener la tasa instantánea de
mortalidad. Es así que Gompertz también respondió esta pregunta haciendo el siguiente
razonamiento:
Lx  hlx
Por lo que tendríamos:
d

lh
h
x l
m

x x
L
(
h
)(
lx)
h
x
El dijo: “la resistencia del hombre a la muerte, disminuye a una tasa proporcional a ella
misma y decrece con el paso del tiempo”. i.e.
h x
Gracias a esto definimos a la Tasa Instantánea de Mortalidad

x :

l

l 1
l

l 1
l

l

lim
m

lim

lim


lim
(
h
)(
l
)
l
hl
h
x
x

h
x
x

h
x

h
x
(
x
)
h
x
h

0 h

0
h

0
h

0
x x
x
Que por definición de Derivada:
20
 ( y ) la podemos ver como la No resistencia a la muerte a morir de tal manera que
si  ( y ) es muy grande entonces la NO resistencia del hombre a la muerte es muy
grande, esto quiere decir que la SI resistencia del hombre al morir es pequeña.
Entonces:

1  ( y ) la podemos ver como la SI Resistencia a la muerte o bien la resistencia del
hombre a morir ya que si  ( y ) es muy grande entonces, 1  ( y ) , es muy
1




h
y

B

ln

B
2
1



(
y
)


1





h
y

ln

B

B
1
2
(

)
y

pequeña.

Lo que hizo Gompertz entonces es decir que la resistencia del hombre al morir es 1  ( y ) la
cual es proporcional a ella misma, y esta decrece al paso del tiempo. I.e. entre más tiempo
pase la resistencia del hombre es menor.
B
Sea B
1 B
2 ln
1




h
y

ln

ln
B



(
y
)


Sea entonces:

h = constante de proporcional que asegura la hipótesis de Gompertz
1  ( y ) = resistencia del hombre a la muerte
d 1 



= tasa de cambio de la resistencia del hombre a morir
dy
 (y)
 B




h
y
ln


(
y
)



 h
1
d  1 

 
 ( y) dy   ( y) 
B



ln



(
y
)



h

y
B







(
y
)
 

e 
e
Nótese que el factor "h" esta multiplicado por un signo negativo, esto se debe a que la
resistencia del hombre al morir decrece con el paso del tiempo.

(y)ehy B
De esta última expresión ya podemos despejar a  ( y ) , entonces:


(y
)B
ehy
h
1
d  1 

 
 ( y) dy   ( y) 
d 1 




dy
(y
)
 1

d






h

ln

 

1
dy
(
y
)




(y
)
Sea
eh = C

(y)BCy
Donde:


B = Deterioro biológico
C = Proporción en la que se están muriendo
Sustituyendo este último resultado en:
Resolviendo la Ecuación Diferencial tenemos que:

1




hdy

ln

B
1




(
y
)


21

(
y
)
dy

x
1


d






hd

ln
dy
 

(

dy
)

 y

0
l
l
e
x
0
x
y


C
dy
B
0

l
e
0
Resolvemos primero la integral:
x
x
y

C
dy


B
dy
B
C
y
0
0


y
dC
ln
C y
C
Recordemos que:
dy
lx K gC
x
x
y
x


C
B
y




B

C
dy


B
C
dy


B

C





0


ln
C
ln
C


0
0
0
x
x
y
y
y

(y
)A
B
C
, donde A, era el factor de
Tiempo después Makeham propuso que
"azar"

x

y
)
dy
(
0

l

l
e
x
0


x
y


B

C
dy
A
0

l
e
0
Resolvemos primero la integral:
Sea
B
= ln g
ln C
x
x
y

(
A

B
C
)
dy


Ady

BC
dy



0
0
0





 

x
x


C

1


x
y
y
x0 x




B

C
dy

ln
g
C

ln
g
C

C

C

1

ln
g



0


0
 


y
x
C

1


B

C
dy

C

1

ln
g

ln
g

x
x
y


ln
g



y
C

1
C

1


(
A

B

C
)
dy

A
y

ln
g


A

x

ln
g

0
x
x
x
x
0
x
Sea AlnS
0





y
C

1
C

1
x
C



(
A

B

C
)
dy


A

x

ln
g

x

ln
S

ln
g

ln
S

g

x
x
C

1


B
C
dy

ln
g
x

x
y
x
0
0

x

y
x 
C

1


(
A

B

C
)
dy

ln
S

g

x
x
x


C

1

l

l
e 
l
e
l

e
l

g
x
0
0
0
0
x

C

1

(
y
)
dy

B

C
dy 



 

ln
g
0
0
y
x
 

gg


l
g


C

1
C

1
0C

l

l

g

l
g

g

l


g
x
x0
x
0
x
C
x
0




x
x


l
e 
l

S

g
y
x


C

1

(
y
)
dy

(
A

B

C
)
dy



x
x


ln
S

g
xC

1
0
0
x
0
0
0
0

l

l
e
l
e
x
C
gl

0x C

l

l

S

g

l

S
 

S

g
x
xC

1
x
x0
0
l0
K
Sea
g
x
g
g
Sea
x
x
l
C
0 C

l
g
K
g
x 
g

lx Kg
Recapitulando Gompertz propuso que
K
l0
g

lxK
S g
x
Cx
22
0
(y)BCy, y al sustituir este valor obtuvo que
x
C
Esta ultima formula es conocida como la ley de Gompertz –Makeham
x
Hasta aquí, hemos descubierto aquel modelo matemático que nos describe a la función lx en
forma continua, pero, cómo se calculan los parámetros K, S, G y C?
Esta pregunta la resolveremos usando el “Método de los Grupos no Superpuestos”
Calculo de los parámetros de la ley de Gompertz-Makeham.
Método de los Grupos Superpuestos.
Se parte del hecho de tener i = 16 observaciones de la serie
l x de la tabla de mortalidad
distribuidas de igual forma en el tiempo.
m
1
2
3
4
i
x
lx
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
55
60
65
70
75
80
95774
95659
95573
95391
95153
94792
94367
93638
92581
90870
87880
83975
78429
69603
57732
43043
i

1
2
m
i

1
i

1
2
m
2
m
m
i

1
2
m
i

S

ln(
l
(
i
))

ln
K

i

ln
S

C

ln
g




1
i

m

1
3
m
i

m

1
i

m

1
i

m

1
3
m
3
m
3
m
i

S

ln(
l
(
i
))

ln
K

i

ln
S

C

ln
g




2
i

2
m

1
4
m
i

2
m

1 i

2
m

1
4
m
4
m
i

2
m

1
4
m
i
i

3
m

1
i

3
m

1 i

3
m

1
i

3
m

1
m

1
m
(
m

1
) c

c

S

ln(
l
(
i
))

m

ln
K

ln
S

ln
g

0
2
1

c
i

1
m
m

1
2
m


m
(
m

1
)
c

c

m
2



S

ln(
l
(
i
))

m

ln
K

m


ln
s

c

ln
g



1


1

c
 2
 
i

m

1

m

1
3
m


m
(
m

1
)
c

c

2
2
m



S

ln(
l
(
i
))

m

ln
K

2
m


ln
S

c

ln
g



2


1

c
 2
 
i

2
m

1

Sacando diferencias tenemos que:
m

1


c

c
2
m




S

S

S

m

ln
S

c

1

ln
g
0 10


1

c



x
Cx
se muestra en la columna "i" (Ej. Si i=1
entonces estaremos hablando de l5 ). Entonces la formula nos queda de la siguiente manera:
l(i)KSi gC
i
i
C

ln(
l
(
i
))

ln(
K
S
g
)
i

ln(
l
(
i
))

ln
K

i

ln
S

C

ln
g
i
Analizamos y sumando cada uno de los 4 grupos, tenemos que:
23
m
Resolviendo estas sumas, tenemos que:
análisis: Partimos de la ley de Gompertz-Makeham lx K
S g
l x como
m

S

ln(
l
(
i
))

ln
K

i

ln
S

C

ln
g




3
Con las 16 observaciones se hacen m = 4 grupos de igual tamaño. Y se hace el siguiente
Se hace una reetiquetación de la serie
m
i

S

ln(
l
(
i
))

ln
K

i

ln
S

C

ln
g




0
m

1


c

c
2
m
m




S

S

S

m

ln
S

c
c

1

ln
g
121


1

c
 
m

1


c

c
2
2
m
m






S

S

S

m

ln
S

c
c

1

ln
g
2
3
2


1

c
 

m

1


c

c




S


S


S

c

1

ln
g
1
0


1

c


2
0
 
2
m
m

1


2
c

c
2
m
m




S


S


S

c
c

1

ln
g
1 2 1


1

c



De
2 S1 se puede despejar "c"…
1
m
S1 


c
2


S
 0
2
De  S 0 se puede despejar "g"…
2




2
S0



gexp

m

1 
cc 
(cm
1
)2
 1c 





De
S 0
S0
En el repaso que se dio al principio se mencionaba el tema de “tabla de mortalidad”, la cual
como recordaremos, estudiaba a un grupo cerrado de personas y cómo este grupo iba
desapareciendo a través del tiempo por una causa, la de morir. En general un grupo de
personas puede estar expuesto a salir del grupo por muchas causas, como por ejemplo,
supongamos que tenemos a un grupo cerrado de personas en México, y se quiere estudiar
cómo va desapareciendo dicho grupo de personas a través del tiempo, a saber hay dos causas
por las cuales este grupo puede desaparecer, una es que las personas dejen el grupo por
mortalidad, y la otra es que dejen el grupo por migración.
Una Tabla de Decrementos Múltiples es, un cuadro estadístico que estudia a un grupo
cerrado de personas y como éste desaparece a través del tiempo por k causas de salida del
grupo.
Para poder hacer dicho análisis es necesario definir lo siguiente:

se puede despejar "k"…
m

1


m

1
(
m

1
) 
c

c





k

exp
S


ln
S

ln
g




0


m
1

c




 2


l x(T ) : Número de personas vivas de edad exacta “x” sujetas a salir del grupo por
cualquiera de las “m” causas de salida.
se puede despejar "a"…
m

1




1
c

c


m



S

exp

S

(
c

1
)
ln
g




0
2


1

c
m








De
7. TABLA DE DECREMENTOS MULTIPLES.

d x(k ) : Número de personas que dejan el grupo la causa “k” entre las edades x y x+1

d x(T ) : Número de personas que dejan el grupo por cualquier causa entre las edades
x y x+1, es decir:

m
(
T
)
(
1
)
(
2
)
(
3
)
(
m
)
(
k
)
d
d

d
d



d
d

x
x
x
x
x
x
k

1
Por otro lado tenemos que:
)
lx(T
lx(T) dx(T)

1
(Tarea, Dado lo anterior encuentre la formula para calcular los parámetros de la ley
Gompertz)
(Tarea, Dado el cuadro puesto al principio de este capitulo encuentre los parámetros de
la Ley Gompertz-Makeham)
Una de las tantas aplicaciones que se le puede dar a Gompertz es la Tabla de decrementos
Múltiples.

q x(T ) : Probabilidad de que una persona deje el grupo entre las edades x y x+1 por
cualquier causa.
m
(
k
)
x
(
T
)
x
k

1
(
T
)
(
T
)
x
x
d (
1
)
(
2
)
(
m
) m
d
d
d
(
k
)
x d
x
x
q
 





q
x
(
T
)
(
T
)
(
T
) 
l
l
l
l
l
k

1
x
x
x
(
k
)
x
Todos estos resultados son ciertos siempre y cuando se cuenten con tablas de decrementos
simples “limpias”, es decir, siempre y cuando estemos seguros que todas las probabilidades
24
de salida del grupo no estén sobre estimadas o subestimadas, para poner en claro
supongamos este ejemplo:

De 100 personas que hay en México, supongamos que 10 de ellas fallecen, 5 migran de
manera legal, y 5 de ellas migran de manera ilegal, es decir, nadie se entera que dejaron el
país, al fin y al cabo nosotros tendríamos que de 100 personas en un determinado tiempo
solo quedaron 80, y supondríamos que 15 fallecieron (10 que realmente fallecieron más 5
que migraron ilegalmente) y solo 5 migraron, de esta manera estaremos sobre estimando la
probabilidad de muerte y subestimando la probabilidad de migración.
(T )
y

1
l y( T )
x 1
  

d ( l y( T ) )
dy

 d (ln( l y( T ) ))
x 1
(T )
y
dy   d (ln( l y( T ) )) dy
x
x
x 1
  
(T )
y
dy  ln( l
(T )
X 1
)  ln( l
x
Dado que en la práctica no hay tablas de decrementos simples limpias, es necesario hacer un
ajuste a las probabilidades de salida del grupo, este ajuste se hace de dos formas: en base a la
tasa instantánea de mortalidad (visto con Gompertz), y en base a la tasa centrales de
mortalidad.

 exp  

Recordemos:
d
(
l
)
d
(
l)
1
1









l dx
l dx
(
x
)
(
T
)
x
x
(
T
)
x
(
T
)
x
Por otro lado es importante hacer notar que para asegurar que no vamos a subestimar o
sobreestimar alguna probabilidad es necesario que:
(
T
)
(
1
) (
2
) (
3
)
(
m
)
P

P

P

P

...

P
X
X
X
X
X
 
  









1

q

q

...

q

1

q

1

q

...

1

q
k

1

Substituyendo esto:
(
1
)
(
2
)
X X
m
(
1
)
(2
)
(3
)
(m
)




...


x 
x 
x 
x
Por otro lado...
25



x 1
m
(
1
)
(2
)
(m
)
(
lx
) 1 d
(
lx
)
(
lx
)
1 d
1 d

(T) 
(T) 

.....

(T) 
dx lx
dx
dx
lx
lx
 l X( T)1
)  ln  ( T )
 lX
De esta última igualdad tenemos:
(
T
)
(
k
) (
1
) (
2
) (
3
)
(
m
)
l
l
l
l
l
...

l

x
x
x
x
x
x
(k
)
d
(
lx
)
(T
)
d
(
l
)
1
1
(T
)
x
k

1

(T) 

(T) 

x 
dx lx
dx
lx
(T )
X
 l X( T)1
(T )
(T )

dy
x y   l X( T )  P X
 x 1 (T ) 
(T )
 P X  exp     y dy 
 x

x 1


 P X( T )  exp     y(1 )   y( 2 )  ...   y( m ) dy 
 x

x 1
x 1




 exp     y(1 ) dy   exp     y( 2 ) dy   ...
 x

 x

(1 )
(2)
(3)
(m )
 P X  P X  P X  ...  P X
AJUSTE DE LAS PROBABILIDADES DE SALIDA DEL GRUPO PARA UNA
TABLA DE DECREMENTOS MULTIPLES POR MEDIO DEL MÉTODO DE LAS
TASAS INSTANTANEAS (GOMPERTZ)
x
dy
(
T
)
(
1
)
(
2
)
(
m
)
1

q

1

q

1

q

...

1

q
X
X
X
X
(
m
)
X
(
1
)'
X
(
2
)'
X
(
m
)'
X
Donde:

q x(k ) : son las probabilidades ajustadas

q x(k )' : son las probabilidades observadas
Por poner un ejemplo supongamos que m=3





(
1
) (
2
) (
3
)
(
1
)'
(
2
)'
(
3
)'
1

q

q

q

1

q

1

q

1

q
X
X
X
X
X
X

1

q

q

q

q
q

q
q

q
q

q
q
q
(
1
)'
(
1
)'
(
1
)'
(
1
)'
(
2
)'
(
1
)'
(
3
)'
(
2
)'
(
3
)'
(
1
)'
(
2
)'
(
3
)'
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
Es decir:
m
(
T
)
(
1
)
(
2
)
(
3
)
(
m
)
(
k
)
d
d

d
d



d
d

x
x
x
x
x
x
q
q
q
q
q
q
qq 
qq 
qq 
qqq
(
1
)
X
(
2
)
X
(
3
)
X
(
1
)'
X
(
1
)'
X
(
1
)'
X
(
1
)'(
2
)'
X X
(
1
)'(
3
)'
X X
(
2
)'(
3
)'
X X
(
1
)'(
2
)'(
3
)'
X X X
k

1
1(1
)'(
2
)' 1
(
1
)'(
3
)' 1
(
1
)'(
2
)'(
3
)'

q q
q
q
q
X
X q
X
Xq
X
Xq
X
2
2
3
(
2
)' 1(
1
)'(
3
)' 1
(
2
)'(
3
)' 1
(
1
)'(
2
)'(
3
)'

q
q
q
X q
X
Xq
Xq
Xq
X
Xq
X
2
2
3
1
1
1
(
3
)'
(
1
)'(
3
)'
(
2
)'(
3
)'
(
1
)'(
2
)'(
3
)'

q
q
q
Xq
X
Xq
Xq
Xq
X
Xq
X
2
2
3
Por otro lado tenemos que:
(
1
)'
X
)
lx(T
lx(T) dx(T)

1

causa “k”.
m
(
k
)
x
(
T
)
x
k

1
(
T
)
(
T
)
x
x
d (
1
)
(
2
)
(
m
) m
d
d
d
(
k
)
x d
x
x
q
 





q
x
(
T
)
(
T
)
(
T
) 
l
l
l
l
l
k

1
x
x
x
Finalmente distribuyendo esta suma unifórmenle:
(
1
)
(
1
)' 1 (
1
)' (2
)' 1 (
1
)' (3
)' 1 (
1
)' (2
)' (3
)'
q
q
X
Xq
Xq
X q
Xq
X q
Xq
Xq
X
2
2
3
(2
)
(2
)' 1 (
1
)' (3
)' 1 (2
)' (3
)' 1 (
1
)' (2
)' (3
)'
q
q
X
X q
Xq
X q
Xq
X q
Xq
Xq
X
2
2
3
1
1
1
(3
)
(3
)'
(
1
)' (3
)'
(2
)' (3
)'
(
1
)' (2
)' (3
)'
q
q
X
X q
Xq
X q
Xq
X q
Xq
Xq
X
2
2
3
q x(k ) : Probabilidad de que una persona deje el grupo entre las edades x y x+1 por la
(
k
)
x
Pero ahora definiremos nuevas funciones:

d x(  k ) : Número de personas que dejan el grupo por una causa diferente de “k”
entre las edades x y x+1.
m
dx(k) 
dx(i)
(Tarea: Encontrar la relación entre las tasas ajustadas y observadas para 4 causas de
salida del grupo)
i1
ik
(Tarea: construir una tabla de decrementos múltiples)

una causa diferente de “k”.
(Tarea: Encontrar una formula general de la relación entre tasas ajustadas y
observadas)
AJUSTE DE LAS PROBABILIDADES DE SALIDA DEL GRUPO PARA UNA
TABLA DE DECREMENTOS MULTIPLES POR MEDIO DEL MÉTODO DE LAS
TASAS CENTRALES.
Usando las mismas definiciones:

d(k)
qx(k)  xT
lx
Ahora bien recordemos que en el caso anterior, esto solo funciona en teoría, es decir, puede
darse el caso de que las probabilidades de decrementos simples estén sobreestimada o
subestimada, por lo que para construir una tasa de decremento simple mas apegada a la
realidad se tendría que tener:
l x(T ) : Número de personas vivas de edad exacta “x” sujetas a salir del grupo por
(k)
x
q'
cualquiera de las “m” causas de salida.

d x(k ) : Número de personas que dejan el grupo la causa “k” entre las edades x y x+1

d x(T ) : Número de personas que dejan el grupo por cualquier causa entre las edades
q x(  k ) : Probabilidad de que una persona deje el grupo entre las edades x y x+1 por
dx(k)
 (k)
lx
Es decir, las muertes ocurridas por la causa “k” entre el total de personas expuestas a salir
(k )
del grupo solo por la causa k, pero, ¿quién es l x ?. Bueno, esta se puede estimar restándole
(T )
a lx
todas aquellas personas que salieron del grupo por causa distinta de “k”:
x y x+1, es decir:
1 (k)
(k)
(T
)
lx

lx
d
x
2
26
Nótese que a las personas que dejaron el grupo por causa diferente de “k” se multiplicaron
por un medio, esto suponiendo que se da una distribución uniforme de salida del grupo en el
lapso de un año.
Ahora bien hay que notar que tenemos entonces un sistema tres ecuaciones con tres
incógnitas, es decir:
1
1
q'(x1) qx(1)  q'(x1) qx(2)  q'(x1) qx(3)
2
2
1
1
q'(x2) qx(2)  q'(x2) qx(1)  q'(x2) qx(3)
2
2
1
1
q'(x2) qx(3)  q'(x3) qx(1)  q'(x3) qx(2)
2
2
Con esto último podemos obtener una relación entre tasas ajustadas y observadas. Es decir:
(
k
)
d
x
(
k
)
(
k
)
(
T
)
(
k
)
d
l
q
k
) d
x
x
x
x
q
'(




x
(
k
)
(
T
)
(

k
)
1
l
l
d
1
(
T
) 1
(

k
)
(

k
)
x
x
x
l

d
1

q

x
x
x
(
T
)
(
T
)
2
2
2
l
l
x
x
Por lo tanto:
Tal ves no es claro ver el sistema de ecuaciones, por lo que hay que acomodarlo:
(k)
x
q
q'(xk) 
1
1 qx(k)
2
1 (1) (2) 1 (1) (3)
(1
)
qx
 q
'x qx  q
'x qx
2
2
1 (2) (1)
1 (2) (3)
(2)
q
'(x2)  q
'x qx 
qx
 q
'x qx
2
2
1 (3) (1) 1 (3) (2)
(3
)
q
'(x2)  q
'x qx  q
'x qx 
qx
2
2
q
'(x1) 
En donde como en el caso anterior las tasas que tienen apostrofe son las tasas observadas y
las que no tienen apostrofe son las ajustadas. Ahora bien para ejemplificar lo anterior,
supongamos que tenemos solo 3 causas de salida del grupo, es decir m = 3, entonces:
(1
)
q
x
q
'(x1)
1 (2) (3) ;
1
 q
q
x 
x
2
(3
)
q
x
q
'(x3)
1 (1) (2)
1
 q
q
x 
x
2




(2
)
q
x
q
'(x2)
1 (1) (3) ;
1
 q
q
x 
x
2


(1)
q ' (x1 )
O dicho de otra manera si trabajamos para la causa 1:


q ' (x2 )
1
1


(
2
) (
3
)
(
1
)
(
1
)
(
2
)1
(
1
)
(
3
)
q

q
'
1

q

q

q
'

q
'
q

q
'
q

x
x
x
x
x
x
x
2

 2 2
(
1
) (
1
)
x x
Finalmente:
1
(
1
)(
2
) 1
(
1
)(
3
)
q
'
q

q
'
q
'
xq
x
xq
x
2
2
(
1
)
x
(
1
)
x
Y para las otras dos causas:
(2
) 1 (2
(
1
) 1 (2
(3
)
q
'(x2)
q
'x)q
'x)q
x q
x q
x
2
2
(3
) 1 (3
(
1
) 1 (3
(2
)
q
'(x2)
q
'x)q
'x)q
x q
x q
x
2
2
27
(2)
(3)
En donde desconozco las tasas ajustadas qx ,qx ,qx , y todo lo demás si lo conozco por
lo que solo resta resolver el sistema de ecuaciones:
q ' (x3 )
q
(1 )
x

1
1 (2)
q 'x
2
1 (3)
q 'x
2
Y finalmente:
1 (1 ) 1 (1 )
q 'x
q 'x
1
q ' (x1 )
2
2
1 (2)
1 (2)
1
q 'x
q 'x
q ' (x2 )
2
2
1 (3)
1 (3)
q 'x
1
q 'x
q ' (x3 )
2
2
(2)
; qx 
1 (1 ) 1 (1 )
1 (1 )
q 'x
q 'x
1
q 'x
2
2
2
1 (2)
1 (2)
1
q 'x
q 'x
1
2
2
1 (3)
1 (3) 1 (3)
q 'x
1
q 'x
q 'x
2
2
2
1 (1 )
q 'x
2
1 (2)
q 'x
2
1
1 (1 )
q 'x
2
1 (2)
q 'x
2
1
1
q x( 3 ) 
1 (2)
q 'x
2
1 (3)
q 'x
2
1
1 (2)
q 'x
2
1 (3)
q 'x
2
1 (1 )
q 'x
2
q ' (x1 )
1
q ' (x2 )
1 (3)
q 'x
q ' (x3 )
2
1 (1 ) 1 (1 )
q 'x
q 'x
2
2
1 (2)
1
q 'x
2
1 (3)
q 'x
1
2
Faltaría solo resolver los determinantes para llegar a una formula general que relacione las
tasas ajustadas y observadas de una tabla de decrementos múltiples para tres causas.
(Tarea: Encontrar la relación entre las tasas ajustadas y observadas para 4 causas de
salida del grupo)
(Tarea: construir una tabla de decrementos múltiples)
(Tarea: Encontrar una formula general de la relación entre tasas ajustadas y
observadas)
28