Problema 17

17.- La empresa Frescor del Polo, S.L. produce dos tipos de pasta de dientes: Normal y
“2 en 1” con Elixir. El proceso de producción de pasta “2 en 1” es el doble de costoso
que el de pasta normal, costando este último 3 u.m. por kg. de pasta producida, y el
presupuesto diario de gasto que tiene la empresa es de 70 u.m.
Además, el proceso de producción de ambos tipos de pasta requiere de la utilización de
dos máquinas distintas, teniendo limitados los tiempos de utilización diaria de cada
máquina según la siguiente tabla:
Pasta Normal
Pasta “2 en 1”
Máximo dispon.
Máquina I
1
1
20
Máquina II
2
3
40
Dadas estas condiciones, el empresario nos plantea los siguientes deseos, según niveles
de importancia:
Primero: Obtener un beneficio, como mínimo, de 100 u.m., sabiendo que cada kg de
pasta normal genera un beneficio unitario de 6 u.m. y cada kg de pasta “2 en 1” de 8
u.m.
Segundo: Desea que el coste de la producción no supere el 90% del presupuesto diario
de 70 u.m.
Tercero: Debido a necesidades de demanda, la producción de pasta normal no debe
superar al triple de la producción de pasta “2 en 1”.
a) Formule el modelo de Programación por Metas Lexicográficas apropiado a los
deseos de la empresa, e indique el problema a resolver en cada nivel.
b) ¿Fabricar 12 kgs de pasta normal y 4 kgs de pasta “2 en 1” al día satisface todos los
deseos del empresario? ¿Por qué?
c) ¿Cómo se llaman a las soluciones de un problema de Programación por Metas?
¿Son también soluciones eficientes?
Solución:
a) Denominamos x1 a los kg. de pasta normal y x2 a los kg. de pasta “2 en 1”con
Elixir. Sabiendo que el proceso de producción de pasta “2 en 1” es el doble de costoso
que el de pasta normal, costando este último 3 u.m. por kg. de pasta producida, tenemos
que:
Coste: 3x1 + 6x2
También sabemos que el presupuesto diario de gasto que tiene la empresa es de 70 u.m.,
por tanto, tenemos la siguiente restricción:
3x1 + 6x2 ≤ 70
Teniendo en cuenta las limitaciones de los tiempos de utilización diaria de cada
máquina tenemos las siguientes restricciones:
Máquina I:
x1 + x2 ≤ 20
Máquina II:
2x1 + 3x2 ≤ 40
Primer nivel de prioridad: Obtener un beneficio, como mínimo, de 100 u.m., sabiendo
que cada kg de pasta normal genera un beneficio unitario de 6 u.m. y cada kg de pasta
“2 en 1” de 8 u.m.
La meta será:
6x1 + 8x2 ≥ 100
tras introducir las correspondientes variables de desviación tenemos que:
6x1 + 8x2 + n1 – p1 = 100
la variable no deseada es n1, y la función de realización será: h1(n1, p1) = n1
Segundo nivel de prioridad: Desea que el coste de la producción no supere el 90% del
presupuesto diario de 70 u.m. La meta será:
3x1 + 6x2 ≤ 63
tras introducir las correspondientes variables de desviación tenemos que:
3x1 + 6x2 + n2 – p2 = 63
la variable no deseada es p2, y la función de realización será: h2(n2, p2) = p2
Tercer nivel de prioridad: Debido a necesidades de demanda, la producción de pasta
normal no debe superar al triple de la producción de pasta “2 en 1”.
La meta será:
x1 ≤ 3 x2
Æ
x1 – 3 x2 ≤ 0
tras introducir las correspondientes variables de desviación tenemos que:
x1 – 3 x2 + n3 – p3 = 0
la variable no deseada es p3, y la función de realización será: h3(n3, p3) = p3
En estas condiciones el problema de programación por metas a resolver es:
Lexmin { n1, p2, p3 }
s.a.
3x1 + 6x2 ≤ 70
x1 + x2 ≤ 20
2x1 + 3x2 ≤ 40
6x1 + 8x2 + n1 – p1 = 100
3x1 + 6x2 + n2 – p2 = 63
x1 – 3 x2 + n3 – p3 = 0
x1, x2, ni, pi ≥ 0 i = 1, 2, 3
Nivel 1:
Min n1
s.a.
3x1 + 6x2 ≤ 70
x1 + x2 ≤ 20
2x1 + 3x2 ≤ 40
6x1 + 8x2 + n1 – p1 = 100
x1, x2, n1, p1 ≥ 0
Nivel 2:
Min p2
s.a.
3x1 + 6x2 ≤ 70
x1 + x2 ≤ 20
2x1 + 3x2 ≤ 40
6x1 + 8x2 + n1 – p1 = 100
n1 = 0
3x1 + 6x2 + n2 – p2 = 63
x1, x2, n1, p1, n2, p2 ≥ 0
Nivel 3:
Min p3
s.a.
3x1 + 6x2 ≤ 70
x1 + x2 ≤ 20
2x1 + 3x2 ≤ 40
6x1 + 8x2 + n1 – p1 = 100
n1 = 0
3x1 + 6x2 + n2 – p2 = 63
p2 = 0
x1 – 3 x2 + n3 – p3 = 0
x1, x2, x3, n1, p1, n2, p2 , n3, p3 ≥ 0
b) Para que el punto (12, 4) sea solución satisfactoria, debe verificar todas las
restricciones del problema y además satisfacer las metas. Comprobémoslo,
sustituyéndolas en dicho punto.
Restricciones del problema:
36 + 24 = 60 ≤ 70
12 + 4 = 16 ≤ 20
24 + 12 = 36 ≤ 40
Primera meta:
72 + 32 = 104 ≥ 100
Segunda meta:
36 + 24 = 60 ≤ 63
Tercera meta:
12 – 12 = 0 ≤ 0
Puesto que se ha comprobado que el punto (12, 4) verifica todas las restricciones del
problema y además satisface las metas, podemos afirmar que es solución satisfactoria.
c) Son soluciones satisfacientes y no tienen por qué ser eficientes.