ecuaciones - robinanguizaca

ECUACIONES
IGUALDAD.- Una igualdad es un enunciado que establece que dos expresiones matemáticas
tienen el mismo valor.
Existen 2 tipos de igualdades:
 Igualdades absolutas (se las llama identidades)
 Igualdades condicionales (se las llama ecuaciones)
IDENTIDAD.- una identidad o igualdad absoluta, es un enunciado que compara dos expresiones
matemáticas con el símbolo “=” y es verdadero para todos los valores de las variables del conjunto
referencial que corresponda.
Ejemplo:
42 = 16
(a + b)2 = a2+2ab+b2
ECUACIÓN.- Una Ecuación o igualdad condicional, es aquella que es verdadera solo que algún
o algunos valores de las variables del conjunto referencial que corresponda. La incógnita de una
ecuación se suele expresar con la letra x.
Ejemplo:
X – 2 = 17, es una igualdad siempre y cuando x=19
3x + 2 = 7, es una igualdad siempre y cuando x =5/3
SOLUCIÓN O RAÍZ DE UNA ECUACIÓN.- Los valores de la incógnita x que hacen que la ecuación
se convierta en una igualdad, se denominan soluciones o raíces de la misma.
El proceso para determinar las soluciones de una ecuación se denomina resolución de la ecuación..
ECUACIONES EQUIVALENTES.- dos ecuaciones son equivalentes cuando
solución.
tienen la misma
ELEMENTOS DE UNA ECUACIÓN
Miembros.- los miembros de una ecuación son cada una de las expresiones que
aparecen a ambos lados del signo igual.
Términos.- Los términos de una ecuación son los sumandos que forman los miembros
de una ecuación.
PROPIEDADES DE LAS IGUALDADES
1. Propiedad Aditiva: toda igualdad puede sumársele o restársele un mismo valor tanto
en el primer miembro, como en el segundo miembro sin alterar la igualdad.
Ejemplo: Resuelva la siguiente ecuación aplicando esta propiedad:



X+2=3
X+2–2=3–2
X=1
2. Propiedad de la Multiplicación.- toda igualdad puede multiplicarse o dividirse un
mismo valor tanto en el primer miembro, como en el segundo miembro sin alterar la
igualdad.
Ejemplo: Resuelva la siguiente ecuación aplicando esta propiedad:
 2X = 10
 2x(1/2) = 10(1/2)
 x=5
3. Propiedad del Exponente.- toda igualdad puede elevarse a un exponente de un
mismo valor tanto en el primer miembro, como en el segundo miembro sin alterar la
igualdad.
ECUACIONES DE 1er GRADO
1
X+3
2 =
5x-20
5(x-4)-2(X+3)
1
3x -2
2 =
x+3
1 x +3
3((x+3)-3.3 (x-4)
= 2
5(x+3)- (X-4)
=
3(x-4) (x+3)
2
- 2
5(x-4)
3
3(x-4)
5x-20-2x-6
3x
=
2
5(x+3) (X-4)
2
5
2
3
6(3x-26)= -9x+57
6
6(3x-26)5(-9x+57)
18x-156=45x+285
18x+45x=156+285
=
6
+
9 - 6x + 24
2
3(x-4) (x+3)
3x +9-2+48 = -9x +57= 3x-26 = -9x +57 = 3x-26 = -9x +57 =
2
2 =
x+3
=
63x=441
X=
447
63
X=
7
respuesta
5x-27x - 1 = x-6 =
(x) 5x2 -27x-(5x+3) = x-6
5x+3
(5x+3) (x)
x
5x3-27x2-5x-3=(x-6) (5x+3) (x)
5x3-27x2-5x-3= (5x2+3x-30x-18) (x)
5x3-27x2-5x-3= 5x3+3x2-30x2-18x
-27x2-5x+27x2+18x=3
13x=3
X= 3
respuesta
13
2 x+2
-3
(x-2) =
X-2
2x+3
x2 + 78
2x2 -x-6
(2x+4) (2x+3 - (3x- 6) (x-2)
=
(x-2) (2x+3)
4x2+6x+18x+12-(3x2-66-16+12) =
4x2+14x+12-3x2+12x-12 = x2+78
X2+26x= x2+78
26 x =78
X=
78
26
X=
3
respuesta
= 2x-4 - 3x-6 = x2 +78
x-2
2x+3
x2+78
=
(x-2) (2x+3)
2x2-x-6
=
Ecuaciones de 1er grado con literales
2(x-c) = 2x +c
(4x-b)
= 2(x-c) [4(x-b)] = (2x +c) (4x-b)
4(x-b)
8(x-c) (x-b) = 8x2-2bx +4cx-bc
8x2-8bx -8cx+8bc = 8x2 -2bx + 4cx –b c
-8bx-8cx +2bx-4ac = -b c - 8bc
-6bx -12cx=-9bc
-6x (b-2 c ) =- 9bc
X=
9bc
6(b-2 c)
X=
3bc
respuesta
2(b+2c)
1
X+a
+ x2
a2+ ax
= X+a
=
a
(X+a) (X+a)-(x-a) (X+a) =
(x-a) (X+a)
X2+ ax +ax +a2-(x2-ax- ax +a2)
X2+ ax+ ax+ a2 –x2+ ax+ ax- a2= 2ax +a2 b
4ax=2ax +a2 b
4ax -2ax =a2 b
2ax =a2 b
X = a2b
2a
X =
ab
respuesta
2ax + a2 b =
(x-a) (X+a)
3 x+x
= 1
4 b a
3
3 (ax+ bx
4
(x – x)
3
3ax +3bx
4ba
=
5a +13b =
b a
= 1 ax-b x
ba
+
12a
+ 5a +13b =
ba
ax-b x
12 a
+ 5a +13 b
3ba
3ax+3bx
12a
= 4 ax- 4 b x +5ab+13b2
4ab
12ab2
9ax+9bx-4ax +4bx = 5a b + 13b
5ax + 13bx= b (5a+13b)
X (5a + 13b ) = b (5 a + 13b)
X= b
respuesta
ECUACIONES LITERALES DE PRIMER GRADO
1.- 2(x-c)
4x-b
2x+c
4(x-b)
2(x-c)[4(x-b)] = (4x-b) (2x+c)
8(x-c) (x-b) = 8x2 -2bx+4cx-bc
-8x2-8bx-8cx+8bc = 8x2 -2bx+4cx-bc
-8bx-8cx+2bx-4cx = -bc-8bc
-6bx-12cx=-9bc
-6x(b+2c)=-9bc
X= 9bc
x= 3bc
6(b+2c)
2(b+2c)
c.-
1
x+a
x2
a 2+ax-
x+a
a
R.
x2
a(a+x)
1
x+a
a+x2
a(a+x)
x+a
a
a+x2 = (x+a)(x+a)
-2ax = a+a2
3.-
x+a
x-a
-
a+ x2 = x2+2ax+a2
x = a(1-a)
2x
=
x-a
x+a
x+a
a
=
x=
-a
-2
R.
a(2x+ab)
x2-a2
(x+a)2 - (x-a)2
=
a(2x+ab)
(x-a) (x+a)
(x-a)(a+a)
x2 +2ax+a2 –x2+2ax-a2 = 2ax+a2
4ax =2ax+ a2b
4ax-2ax = a2b
2ax= a2b
x = a2b
x= ab
R.
2a
2
4.-
3/4(x/b + x/a) = 1/3(x/b – x/a) + 5x+13b
12a
3/4 ax+bx
ab
3ax+3bx =
4ab
= 1/3
ax-bx
ab
4ax-4bx+5ab+13b2
12ab
+ 5+13b
3ax+3bx = ax-bx + 5+13b
12a
4ab
3ab
12a
2
9ax+9bx =4ax-4bx+5ab+13b
9ax+9bx -4ax+4bx = 5ab+13b2
5ax+13bx = b(5a+13b)
x(5a+13b) = b(5a+13b)
x =b R.
PLANTEAMIENTO DE ECUACIONES
Para rea lizar un problemas de ecuaciones en primer lugar lo tenemos que expresa r en
lenguaje algeb ráico y posteriormente resolver la ecuación resultante.
Expresiones algebraicas comunes:
El doble o duplo de un número: 2x
El trip le de un número: 3x
El cuádruplo de un número: 4x
La mitad de un número: x/2.
Un tercio de un número: x/3.
Un cuarto de un número: x/4.
Un número es proporcional a 2, 3, 4, ...: 2x, 3x, 4x,..
Un número al cuadrado: x 2
Un número al cubo: x 3
Dos números consecu tivos: x y x + 1.
Dos números consecutivos pares : 2x y 2x + 2.
Dos números consecutivos impares : 2x + 1 y 2x + 3.
Descomponer 24 en d os partes: x y 24 − x.
La suma de dos números es 24: x y 24 − x.
La diferencia de dos números es 24: x y 24 + x.
El producto de dos números es 24: x y 24/x.
El cocien te de dos números es 24; x y 24 · x.
Ejercicio de Planteamiento de ecuaciones de 1er grado
La suma de la tercera y la cuarta parte de un número equivale el duplo de un número disminuido en
17. ¿Hallar el número?
X=?
X + x = 2x -17
2
4
4x +3x
= 2x-17
12
4x +3x =
24x -204
7x -24 x =
-204
-17 x
- 204
X
=
=
204
-17
X
=
12
respuesta
Hallar el número que aumentando en 5 equivale a su triplo disminuyendo en 14
6
X + 5x
= 3x -14
6
11x = 3x-4
= 6x +5x = 3x – 14 =
6
6
11x
= 6 (3x -14)
11x
= 18x -84
11x - 18x = -84
-7x
= -84
X
= 84
7
X
=
12
respuesta
3.- La suma de tres números consecutivos es 72. Encuentre el mayor de ellos
DATOS:
X= 1er número
X+1= 2do número
X+2= 3er número
x+x+1+x+2=72
3x=72-3
x= 69
x=23
x+1=23+1=24
x+2=23+2=25 R.
3
X= 23
4.-Un estudiante debe leer una novela en una semana. Entre lunes y martes lee 1 /5 del libro y el miércoles
lee 1/3 del resto si para los días de la semana todavía le queda 64 pag. de la lectura. ¿Cuál es el número
total de páginas del libro?
DATOS:
Numero de pag. = x
Lunes y martes= 1/5
Miércoles =1/3 de 45
El resto=64
.
x= 1/5x + 1/3 (4/5x) + 64
x= 1/5x+4/5x+64
x=-1/5x-4/15x=64
15x-3x34x = 64
15
8x=64(15)
x= 960
8
x= 100 R.
Una solución de sal se hizo al 10% y otra al 25% ¿Cuántos litros de cada una se debe mezclar para obtener 20
litros de solución al 16% de sal?
Litros x
20-x
0.1x+0.25(20-x) =0.16(20)
DATOS:
0.1x+5-0.25x=320
10%
x=?
0.1x-0.25x=3.20-5
10
25
25% 20-x=?
-0.15x=-1.80
%
%
c
X= -1.80
12litros a 10%
0.15
8litros a 25%
x= 12 R.
16
20litros a 16%
%
20litros
6.- David puede pintar una habitación en 6 horas. Su amigo José puede pintar la misma habitación en 8
horas. ¿Cuanto demoraran en pintar si trabajan juntos?.
DATOS:
1/x =1/6 +1/8
cDavid= 6horas
Jose= 8horas
N° de horas = x
1/x = 4+3
24
24x = 7
x= 7
R.
24
7.- Encontrar un numero tal que sustraído en cuatro y agregado en 9/4 es igual al 1/3 de sí mismo.
x-4+9/4 = 1/3x
x-1/3x= 4-9/4
3x-x
=
16-9
3
4
4(2x)= 3(7)
8x =21
x= 21
8
R.