2º BACHILLER MCCSS el resultado. clase…

2º BACHILLER MCCSS
CONCEPTOS BÁSICOS
EXPERIMENTO ALEATORIO: Llamamos experimento aleatorio a un fenómeno del que no se puede predecir
el resultado.
Ejemplo: lanzamiento de un dado, lanzamiento de una moneda, elegir al azar un alumno de una
clase…
En general, utilizaremos juegos de azar como ejemplos, pero hay muchos experimentos aleatorios
relacionados con la medicina, la biología, etc…
ESPACIO MUESTRAL: Es el conjunto de todos los resultados posibles de un determinado experimento
aleatorio. Se designa con la letra E
Ejemplo: Al experimento de lanzar un dado le corresponde el conjunto formado por los seis
resultados siguientes “sale un 1”; “sale un 2”…. que resumiremos así E={1,2,3,4,5,6}
SUCESO ELEMENTAL: es cada uno de los elementos del espacio muestral
Ejemplo: En el experimento anterior obtenemos seis sucesos elementales: {1}, {2}, {3}, {4}, {5}, {6}
SUCESO: es un conjunto formado por sucesos elementales
Ejemplo: En el caso del dado, además de los sucesos elementales: {1},{2},{3}…. Podemos también
considerar el suceso A=”sale un nº par” A={2,4,6} o el suceso B=”sale un nº menor que 4”
B={1,2,3}
ESPACIO DE SUCESOS: conjunto formado por todos los posibles sucesos de un experimento. Hay que incluir
también al suceso imposible (que designaremos por φ) y al suceso seguro o suceso cierto
que será el conjunto formado por todos los posibles resultados: E.
El espacio de sucesos es un conjunto de conjuntos y, normalmente, tiene demasiados
elementos para enumerarlos. Se designa con la letra Ω
Ejemplo: En el experimento de lanzar un dado Ω tendría 26 elementos. Enumeramos algunos de ellos:
Ω={φ, {1}, {2},…{1,2},…{2,5}…{2,3,4,5}…E}
Veamos ahora tres experimentos aleatorios y el espacio muestral en cada uno de ellos:
EXPERIMENTO 1: En una urna hay tres bolas, una azul, otra blanca y otra verde. El
experimento consiste en extraer una bola y ver su color.
Los posibles resultados serán:” la bola extraída es azul” que designaremos con la letra a;
del mismo modo usaremos las letras b o v si la bola es de color blanco o verde.
Espacio muestral E={a, b, v} Espacio de sucesos Ω={φ, {a},{b},{v},{a,b},{a,v},{b,v},E}
EXPERIMENTO 2: En una clase hay cuatro alumnos (Pepe, Alicia, Juan y Marta) y hay que
elegir a un representante al azar.
E={Pepe, Alicia, Juan, Marta}
No describiremos todos los sucesos, pero veamos algunos ejemplos: X=”el alumno elegido
es chico” X={Pepe, Juan} Y=”El alumno elegido no es María” Y={Pepe, Juan, Alicia}
EXPERIMENTO 3: Se extrae una carta de una baraja que tiene cuatro palos (oros, copas,
espadas y bastos) y 12 números de cada palo.
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El espacio muestral estaría compuesto por todas las cartas que podríamos representar así:
E={1O,2O,3O,4O,5O,6O,7O,8O,9O,10O,11O,12O,1C,2C,3C…..}
El suceso A=”sale un 3” será A={3O, 3C, 3E, 3B}.
Hasta ahora hemos considerado experimentos simples como lanzar un dado o extraer una
carta de la baraja. Si el experimento es “lanzamos dos veces un dado” o “extraemos dos
cartas de una baraja” diremos que se trata de un experimento compuesto y el espacio
muestral es mucho mayor y es más complejo enumerar todos los sucesos elementales.
UNIÓN E INTERSECCIÓN DE SUCESOS. DIFERENCIA. SUCESO CONTRARIO.
Como hemos definido los sucesos como conjuntos, podemos hacer la unión y la intersección de dos
sucesos:
Unión AUB: ocurre cuando ocurre A ó ocurre B (es decir se realiza si
A
se realiza al menos uno de los dos).
B
AUB
Intersección A∩B : ocurre cuando ocurren A y B simultáneamente.
Diremos que dos sucesos son incompatibles si A∩B=φ, es decir, si no pueden ocurrir a la vez. Serán
compatibles en caso contrario.
A
Ā
A
A∩B
A
A-B
B
B
Contrario o complementario de un suceso A: Es el suceso que ocurre cuando no ocurre A. Se designa
por AC, A´ o Ā
Diferencia de dos sucesos: A-B= Suceso que ocurre cuando ocurre A y no ocurre B. Observamos la
siguiente equivalencia A-B=A∩BC
La unión e intersección de sucesos tienen una serie de propiedades entre las que destacamos:
(1) (AC)C=A
(2) (A∩B)C=ACUBC
(3)(AUB)C=AC∩BC (2 y 3 son llamadas leyes de De Morgan)
Ejemplo: en el experimento de lanzar un dado, se consideran los sucesos A: “obtener nº par”;
B: “obtener nº mayor que 4” Y C: “obtener nº impar”
A={2,4,6}, enumera B y C y obtén los siguientes conjuntos:
AUB “obtener un nº par o mayor que 4”
A∩B: “obtener un nº par y mayor que 4”
A∩C: “obtener un nº par e impar”
BC: “obtener un nº que no sea mayor que 4” , o sea “obtener un nº menor o igual que 4”
Obtén, también los conjuntos AUC; BUC; B∩C; C’
¿Son compatibles o incompatibles los sucesos A y B? ¿Y A y C? ¿B y C?
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PROBABILIDAD
Hasta ahora no hemos hablado de probabilidad pero todos nos imaginamos que si el experimento
que estamos realizando es lanzar un dado, la probabilidad de sacar un 2 será 1/6 o si lanzamos una moneda,
la probabilidad de obtener cara será 1/2 siempre y cuando la moneda y el dado sean “legales”.
Si consideramos un experimento aleatorio, una vez tenemos claros los sucesos elementales del
espacio muestral, podemos pasar a asignar una probabilidad a cada suceso. Hay dos formas básicas de
obtener la probabilidad de un suceso: la regla de Laplace y las frecuencias relativas. En general, podemos
asociar probabilidades en un experimento utilizando los axiomas de Kolmogorov.
Regla de Laplace: Si el espacio muestral tiene n elementos (sucesos elementales) equiprobables (o sea, que
todos tienen las mismas posibilidades de ocurrir) a cada suceso elemental le asignaremos
una probabilidad de 1/n y si un suceso A está formado por k sucesos elementales
𝑃(𝐴) =
𝑘
𝑐𝑎𝑠𝑜𝑠 𝑓𝑎𝑣𝑜𝑟𝑎𝑏𝑙𝑒𝑠
=
𝑛
𝑐𝑎𝑠𝑜𝑠 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑏𝑙𝑒𝑠
Ejemplo: en el experimento de lanzar un dado, se consideran los sucesos A: “obtener nº par”;
B: “obtener nº mayor que 4” Y C: “obtener nº impar”
a) Calcula p(A); p(B); p(C)
b) P(AUB) o sea p(obtener un nº par o mayor que 4)
c) P(A∩B):probabilidad de obtener un nº par y mayor que 4
d) P(A∩C): “obtener un nº par e impar”
e) P(Ā): “obtener un nº que no sea par”
f) P(B’): “obtener un nº que no sea mayor que 4” , o “obtener un nº menor o igual que 4”
Obtén, también las probabilidades de AUC; BUC; B∩C; C’
Ejemplo: en el experimento de lanzar dos dados, consideramos los siguientes sucesos A: “la
suma de las puntuaciones obtenidas es 11” B: “la suma de las puntuaciones es 8”; C:
“la suma de las puntuaciones es menor o igual que 4”. Halla p(A), p(B) y p(C)
Podemos considerar el espacio muestral E={(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6), (2,1), (2,2),
(2,3), (2,4), (2,5), (2,6), (3,1)……} ¿cuántos elementos tiene?
Un detalle importante: los sucesos (1,3) y (3,1) son indistinguibles para nosotros (a menos
que los dados tengan diferente color o lancemos primero uno y luego otro) pero tenemos
que considerarlos como sucesos separados si queremos aplicar la fórmula de Laplace, ya que
los sucesos (1,3), (3,1) y (1,1) son equiprobables pero no lo serían “sale un 1 y un 3” y “salen
dos unos”
P(A)=2/36=1/18
p(B)=5/36
p(C)=6/36=1/6
No siempre podemos aplicar la fórmula de Laplace. Si sospechamos que los sucesos
elementales no son igual de probables, no podremos utilizarla. Veamos un ejemplo
Ejemplo: Un dado trucado es lanzado 1000 veces, obteniendo los siguientes resultados. 1: 115
veces; 2: 345 veces; 3: 200 veces; 4: 150 veces; 5: 90 veces y 6: 100 veces.
¿Cuáles serían las probabilidades de los sucesos: par; menor que 6; {1,2}
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Frecuencias absolutas y relativas de un suceso. Otra forma de asignar probabilidades a los sucesos es
realizar el experimento muchas veces (n veces). Si un determinado suceso ocurre k veces,
diremos que k es la frecuencia absoluta del suceso A. La frecuencia relativa se define como
fr(A)=k/n
Si n es un número muy grande (es decir, realizamos el experimento muchas veces):
p(A)=fr(A)=k/n
Ambas formas de obtener la probabilidad de un suceso son equivalentes. En la fórmula de Laplace “me
imagino” que pasaría si realizásemos el experimento muchas veces.
En general podemos asignar una probabilidad a los sucesos elementales (que no tendría que ser, en
principio, la misma para todos ellos como en la fórmula de Laplace) y, después, para obtener la probabilidad
de cualquier suceso, podemos sumar las probabilidades de los sucesos que lo componen. Esto puede
hacerse siempre y cuando se cumplan unas condiciones, llamadas axiomas de Kolmogorov.
Axiomas de Kolmogorov: llamamos probabilidad a un número que asociamos a cada suceso A, resultado
posible del experimento. Este número, que designaremos por p(A), debe cumplir los tres
axiomas siguientes:
1) P(A)≥0, siendo A cualquier suceso.
2) p(E)=1
3) Si A y B son dos sucesos incompatibles (es decir A∩B=φ) entonces p(AUB)=p(A)+p(B)
Estos axiomas son bastante “lógicos”. Los axiomas 1 y 2 sólo me dicen que la probabilidad de
cualquier suceso está comprendida entre 0 y 1, siendo 1 la probabilidad del suceso E (que es
el suceso cierto, formado por todos los posible resultados del experimento).
El axioma 3 sólo se cumple en el caso de que los sucesos sean incompatibles. En el
experimento consistente en lanzar un dado, se A=”el nº es par” y B= “el nº es mayor o igual
que 4” p(A)=1/2 p(B)=1/2 p(AUB)=4/6=2/3
De los axiomas anteriores se deducen una serie de propiedades entre las que destacan:
Probabilidad del suceso contrario: p(AC)=1-p(A)
Probabilidad de la unión de sucesos: p(AUB)=p(A)+p(B)-p(A∩B)
Ejemplo: Lanzamos dos dados. Como vimos el espacio muestral consta de 36 elementos. Sea el
suceso A: “la suma de los dos números es mayor que 3”.
Para calcular p(A) será más fácil calcular los casos favorables del suceso contrario (porque
hay menos)
AC= “la suma es menor o igual que 3”={(1,1), (1,2), (2,1)}
p(AC)=3/36
P(A)=1-p(AC)=1-3/36=11/12
Ejemplo: En un determinado experimento el espacio muestral es E={a,b,c}. Se consideran las
siguientes funciones. Indicar si pueden ser funciones de probabilidad:
a) p({a})=1/6 p({b})=1/6 p({c})=2/3 p({a,b})=1/3 p({a,c})=5/6 p({b,c})=5/6
b) p({a})=1/2 p({b})=1/4 p({c})=1/4 p({a,b})=1/2 p({a,c})=1/2 p({b,c})=1/2
c) p({a})=1/3 p({b})=1/3 p({c})=1/3 p({a,b})=2/3 p({a,c})=2/3 p({b,c})=2/3
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Ejemplo: Un caso típico. En cierta ciudad, el 35% de los habitantes lee el periódico P, el 45% el
periódico Q y el 5% lee ambos periódicos. Se elige un ciudadano al azar. Calcula las
probabilidades de los siguientes sucesos:
a) A=”el ciudadano elegido lee alguno de los dos periódicos”
b) B=”lee el periódico P pero no lee el periódico Q”
c) C= “lee Q pero no lee P”
d) D=”no lee ninguno de los dos periódicos”
Si llamamos P al suceso “el ciudadano lee el periódico P” y Q al suceso: “el ciudadano lee Q”, obtenemos
P(A)=p(PUQ)=p(P)+p(Q)-p(P∩Q)=0,35+0,45+0,05=0,75
25 P
30
P∩Q
5
5
Si nos fijamos en el gráfico adjunto donde hemos reflejado la ciudad como
si tuviera 100 habitantes, vemos claramente las probabilidades que nos
40
piden:
p(A)=(30+5+40)/100=0,75 p(B)=30/100=0,3
Q
p(C)=0,4 p(D)=25/100=0,25
Y observamos que el suceso D=PC∩QC=(PUQ)C por las leyes de De Morgan
p(D)=1-p(A)=0,25
PROBABILIDAD CONDICIONADA
Para introducir el concepto de probabilidad condicionada, veamos primero un ejemplo muy similar al
anterior. Este ejercicio aparecía en el examen de selectivo de la Comunidad Valenciana (junio 2011)
Se realiza un análisis de mercado para estudiar la aceptación de las revistas A y B. Este
refleja que del total de entrevistados que conocen ambas revistas, al 75% les gusta la
revista A, al 30% no les gusta la revista B y si les gusta la revista A y al 15% no les gusta
ninguna de las dos. Suponiendo que estos datos son representativos de toda la población y
que se ha elegido al azar un individuo que conoce ambas revistas, se pide
a) La probabilidad de que le gusten las dos revistas.
b) La probabilidad de que le guste la revista B.
c) Si sabemos que le gusta la revista A, la probabilidad de que no le guste la revista B.
Los datos que nos da el enunciado del problema son: p(A)=0,75; p(BC∩A)=0,3; p(AC∩BC)=0,15
Los apartados a) y b) podemos resolverlos como en el ejercicio anterior.
a) Nos piden p(A∩B).
15
A
Observamos: A=( A∩BC)U(A∩B)
C
A∩B
10
P(A)=p( A∩B )+p(A∩B); por tanto p(A∩B)=0,75-0,3=0,45
30
45
b) Para hallar p(B) hacemos: P(AUB)=1-p((AUB)C)=1-0,15=0,85
B
5
P(AUB)=P(A)+P(B)- p(A∩B); por tanto p(B)=0,85-0,75+0,45=0,55
Todos estos resultados se pueden ver en el diagrama adjunto.
c) Para hacer el apartado c, observemos que el experimento, de alguna forma, ha cambiado. Los
resultados posibles ya no son 100, puesto que sabemos que al ciudadano lo estamos eligiendo de los
75 que hay en el conjunto A, por tanto p(Bc sabiendo A)=30/75=0,4
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Probabilidad condicionada
Al suceso “que ocurra B sabiendo que ha ocurrido A” se le llama “B condicionado a A” , se designa B/A y se
define la probabilidad de la siguiente manera:
𝑝(𝐴 ∩ 𝐵)
𝑝(𝐵⁄𝐴) =
𝑝(𝐴)
Esta fórmula se aplicará a experimentos compuestos (lanzar dos dados, extraer dos cartas de una baraja,
extraer varias bolas de una urna….) y normalmente, como es más fácil obtener la probabilidad condicionada
que la de la intersección, la usaremos así
p(A∩B)=p(A)·p(B/A)=p(B)·p(A/B)
Ejemplos
1) Se extraen dos cartas de una baraja de 40, sin reemplazamiento. Calcula la probabilidad
de obtener dos reyes.
Sean R1=”la 1ª carta extraída es un rey” y R2=”la 2ª carta es un rey”
P(R1∩R2)=p(R1)p(R2/R1)=(4/40) ·(3/39)=1/130
2) De una urna que contiene 9 bolas blancas y cinco negras se extraen sucesivamente dos
bolas (sin reemplazamiento). Halla las probabilidades de los siguientes sucesos:
A=”las dos bolas son negras”; B=”las dos bolas son blancas”; C=”la primera es blanca y la
segunda negra”; D=”son de distinto color”
Llamamos N1 al suceso: “la 1ª es negra”; N2: “la 2ª es negra”; B1: “la 1ª es blanca”; y B2: “la 2º es
blanca”
P(A)=p(N1∩N2)=p(N1)·p(N2/N1)=(5/14)·(4/13)=10/91
P(B)=p(B1∩B2)=p(B1)·p(B2/B1)=(9/14)·(8/13)=36/91
p(C)=p(B1∩N2)=p(B1)·p(N2/B1)=(9/14)·(5/13)=45/182
p(D)=p(N1∩B2)+p(B1∩N2)=p(N1)·p(B2/N1)+45/182=90/182=45/91
Observa el siguiente esquema. En cada línea ponemos las probabilidades condicionadas. En los
cuadros ponemos los posibles resultados del experimento, normalmente en orden cronológico.
Extraemos primera bola: puede ser blanca o negra. Si la primera ha sido negra, la
segunda…..multiplicando los números de las líneas obtenemos las probabilidades de la intersección.
4/13
Bola negra N2
P(N1∩N2)=(5/14)·(4/13)
9/13
Bola blanca B2
P(N1∩B2)=(5/14)·(9/13)
5/13
Bola negra N2
P(B1∩N2)=(9/14)·(5/13)
8/13
Bola blanca B2
P(B1∩B2)=(9/14)·(8/13)
Bola negra N1
5/14
9/14
Bola blanca B1
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Sucesos independientes. Se dice que dos sucesos A y B son independientes si: p(A/B)=p(A), es decir, la
realización de un suceso no influye para nada en la realización del otro. En los ejemplos anteriores,
si cambiamos ligeramente el experimento y después de extraer la primera carta la reintegramos al
mazo, barajamos y extraemos la segunda, los sucesos “sale rey en la 1ª” y “sale rey en la 2ª” serán
independientes. Lo mismo pasará con las bolas si vuelvo a meter la primera en la urna antes de
extraer la segunda (entonces se dice con reemplazamiento).
Si dos sucesos son independientes, entonces p(A∩B)=p(A)·p(B)
TEOREMA DE LA PROBABILIDAD TOTAL
Sean A1, A2, A3 …(pueden ser 2, 4 …) un conjunto de sucesos que cumplen:
E= A1UA2UA3 y son incompatibles dos a dos (Ai∩Aj=φ)
Entonces se cumple
P(B)=p(B∩A1)+p(B∩A2)+ p(B∩A3)+..
A2
A1
A3
P(B)= p(B/A1)p(A1) p(B/A2)p(A2)+ p(B/A3)p(A3)+…
Los sucesos que llenan todo el espacio y no tienen intersección como A1, A2 y A3 se dice que forman un
sistema completo de sucesos. Un sistema completo de sucesos puede estar formado por un solo suceso y su
contrario A y AC
Este teorema ya lo hemos aplicado para calcular la probabilidad de D en el ejemplo anterior. Un diagrama de
árbol puede ser de gran ayuda.
Ejemplo: se sabe que la probabilidad de que un autobús de la línea Madrid-Burgos sufra un accidente en un
día nublado es de 0,09 y en un día seco 0,005. Durante un periodo de 100 días ha habido 70 días
secos y 30 nublados.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que se produzca un accidente?
b) Sabemos ahora que se produjo un accidente ¿Cuál es la probabilidad de que fuera en un día
nublado?
0,005
Accidente **
0,995
No accidente
seco
0,7
0,3
0,09
Accidente**
0,91
No accidente
nublado
a) P(A)=p(A/S)p(S)+p(A/N)p(N)=0,7·0,005+0,3·0,09=0,0305
b) 𝑝(𝑁⁄𝐴) =
𝑝(𝐴∩𝑁)
𝑝(𝐴)
=
𝑃(𝐴/𝑁)𝑃(𝑁)
𝑃(𝐴)
=
0,09·0,3
0,7·0,005+0,3·0,09
= 0,885
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FÓRMULA DE BAYES
En el apartado b de este ejemplo estamos aplicando el teorema de Bayes que es una especie de
“probabilidad a posteriori” y no es una nueva fórmula sino la misma que ya hemos visto en la definición de
probabilidad condicionada, utilizando la fórmula de la probabilidad total:
𝑝(𝐴𝑖 ⁄𝐵) =
𝑝(𝐴𝑖 ∩ 𝐵) 𝑃(𝐵/𝐴𝑖 )𝑃(𝐴𝑖 )
𝑃(𝐵/𝐴𝑖 )𝑃(𝐴𝑖 )
=
=
⁄
)𝑃(𝐴
)
𝑝(𝐵)
𝑃(𝐵)
𝑃(𝐵 𝐴1
1 + 𝑃(𝐵 ⁄𝐴2 )𝑃(𝐴2 ) + 𝑃(𝐵 ⁄𝐴3 )𝑃(𝐴3 )+. .
Ejemplo: Se tienen dos urnas, U y U´, con la siguiente composición: U contiene 10 bolas blancas,
7 negras y 5 rojas y U´ contiene 24 blancas, 4 negras y 9 rojas. Se extrae una bola de
U y, sin mirarla, se mete en U´. Se extrae a continuación una bola de U´ que resulta ser
negra. Halla la probabilidad de que la bola que pasamos de U a U´ haya sido blanca
Llamamos a los sucesos:
“extraigo una bola blanca de U”= pB; “extraigo bola negra de U”= pN; “extraigo roja de U”= pR
“extraigo una bola blanca de U’ ”= eB; “extraigo bola negra de U’”= eN; “extraigo roja de U’”= eR
La probabilidad pedida es:
p(pB/eN)=
𝑃(𝑒𝑁/𝑝𝐵)𝑃(𝑝𝐵)
𝑃(𝑒𝑁)
Para calcular estas probabilidades utilizaremos el diagrama de árbol (que no hace falta completar)
P(eN)=(10/22)·(4/38)+(7/22)·(5/38)+(5/22)·(4/38)=95/836
P(eN/pB)·p(pB)=(4/38)·(10/22)=40/836
P(pB/eN)=40/95=0,42105
4/38
Negra de U’
Blanca de U
10/22
7/22
5/38
Negra de U’
Negra de U
4/38
5/22
Roja de U
Negra de U’
Ejemplo (selectivo junio 2002) En un aparato de radio hay presintonizadas tres emisoras A, B y
C que emiten durante todo el día. La emisora A siempre ofrece música, mientras que la
B y la C lo hacen la mitad del tiempo de emisión. Al encender la radio se sintoniza
indistintamente cualquiera de las tres emisoras.
a) Obtener de forma razonada la probabilidad de que al encender la radio escuchemos
música.
b) Si al poner la radio no escuchamos música, calcular de forma razonada cuál es la
probabilidad de que esté sintonizada la emisora B.
1
música
Sintonizo A
1/3
1/3
1/2
música
Sintonizo B
1/2
1/3
Sintonizo C
música
8