Método de Laplace

Circuitos y Sistemas Dinámicos
Ejercicios tema 3
Método de la transformada de Laplace
3.1 Resolver mediante el método de la transformada de Laplace el problema 1.1.
3.2 Resolver mediante el método de la transformada de Laplace el problema 1.2.
3.3 Intentar resolver mediante el método de la transformada de Laplace el problema 1.4 d). ¿Qué
dificultad se plantea?
3.4 Resolver mediante el método de la transformada de Laplace el problema 1.5.
3.5 Calcular la expresión instantánea de la tensión v del circuito RLC paralelo de la figura sabiendo que
C = 0,2 µF, L = 50 mH, V0 = 12 V, I0 = 30 mA. Considerar los siguientes casos:
a)
R = 200 Ω
b)
R = resistencia crítica
c)
R = 312,5 Ω
d)
R = 1000 Ω
Io C
L
v(t)
R
Vo
3.6 En el circuito del problema anterior y para cada uno de los casos planteados:
a)
Determinar la expresión instantánea de la intensidad en cada uno de los elementos del
circuito a partir de la transformada de Laplace de la tensión.
b)
Comprobar los valores iniciales y finales de todas las magnitudes mediante los
correspondientes teoremas.
3.7 En el circuito RLC serie de la figura determinar la expresión de las tensiones e intensidades en cada
uno de los elementos. C = 0,1 µF, L = 100 mH, R = 560 Ω, V0 = 100 V, I0 = 0 mA.
Io
L
i(t)
C
Vo
R
3.8 Resolver mediante el método de la transformada de Laplace el problema 1.9
3.9 Resolver mediante el método de la transformada de Laplace el problema 1.10
3.10 En el circuito de la figura, se supone que los condensadores están inicialmente descargados.
Suponiendo que el interruptor se cierra en el instante t=0:
a)
Determinar la transformada de Laplace de la tensión U.
b)
Calcular la tensión para R1 = 20 kΩ, C1 = 0,1 µF, y R2 = 82 kΩ, C2 = 5,6 nF
t=0 C1
R2
1
1V +
-
Ua
R1
U
C2
3.11 Se quiere comparar los resultados del problema anterior con los obtenidos al medir la tensión de
salida con un osciloscopio. Se supone que los condensadores están inicialmente descargados. Suponiendo
que el interruptor se cierra en el instante t = 0:
a) Determinar la transformada de Laplace de la tensión U.
b) Calcular la tensión para R1 = 20 kΩ, C1 = 0,1 µF, y R2 = 82 kΩ, C2 = 5,6 nF, Ro = 1 MΩ
c) Comparar con el resultado obtenido anteriormente la expresión de la tensión, el valor máximo
obtenido y el instante en que se alcanza.
t=0 C1
R2
1
Ro
1V +
U
Ua
-
C2
R1
3.12 Resolver el problema 3.10 sin despreciar la influencia de una etapa sobre la otra. Comparar con el
resultado obtenido anteriormente la expresión de la tensión, el valor máximo obtenido y el instante en que
se alcanza.
t=0 C1
R2
1V +
U
Ua
-
C2
R1
3.13 El circuito RLC serie de la figura se alimenta con una fuente senoidal. Se supone que el interruptor
se cierra en el instante que la tensión de la fuente pasa por 0 V con pendiente positiva. Calcular la
expresión de i(t) mediante el método de la transformada de Laplace.
Io=0
t=0
+
100V
960Hz -
i(t)
L
C
Vo=0
R
3.14 Suponiendo condiciones iniciales nulas, determinar la expresión de i(t) y de la tensión en la
resistencia de 42 Ω.
t=0
336V
+
i(t)
-
10H
8.4H
42Ω
3.15 En el circuito de la figura y suponiendo
condiciones iniciales nulas, determinar:
a) El valor de R para que el circuito
tenga factor de amortiguamiento 1. e(t) +
b) La función de transferencia
I(s)/E(s)
c) Determinar i(t) si e(t) es una rampa
desde 5 V y que decrece 1 V/ms.
Escuela Técnica Superior de Ingeniería (ICAI)
Departamento de Electrotecnia y Sistemas
48Ω
R
12H
4H
i(t)
3µF
Circuitos y Sistemas Dinámicos
3.16 (Examen Febrero 99)Sea el circuito de la figura:
C2
C
Ie
L
R
Io
t=0
ve
vs
+
C1
L1
-
R1
Io
vs
Circuito 2
Circuito 1
a) Para el circuito 2, demostrar que si inicialmente no hay energía almacenada en los condensadores y
I
a partir de t = 0 la fuente proporciona una rampa v e (t) = e t , entonces se cumple que la tensión
C2
vs(t) coincide con la obtenida como respuesta a un escalón de intensidad Ie en un circuito paralelo
RLC con la misma intensidad inicial en la autoinducción.
b) Para la misma expresión de ve(t) que en el apartado anterior, y suponiendo que C2 = 2nF; determinar
los valores que deben tomar R1, C1 y L1 para que el valor de vs(t) obtenido en el circuito 2 sea
idéntico al obtenido para el circuito 1 como respuesta a un escalón de intensidad Ie.
3.17 (Examen Febrero 99)
1
vi
+
L1
R1
-
R2
L2
vo
El circuito de la figura está formado por dos etapas comunicadas a través de un amplificador ideal de
ganancia 1. Se pide:
V
a) Calcular la función de transferencia o en el dominio de Laplace en función de los parámetros del
Vi
circuito. (Escribirla en forma de cociente de polinomios de forma que el término de grado superior
tenga como coeficiente la unidad.)
b) Particularizar para R1 = 3 kΩ, L1 = 0,3 H, R2 = 4 kΩ, L2 = 0,2 H.
c) Calcular Vo(s) si vi es un escalón de 1 V que se produce en el instante t = 0.
d) Calcular vo(t) para este mismo escalón, particularizando para los valores de b).
e) Determinar la relación que deberían guardar los parámetros del circuito para que la respuesta natural
del circuito sea críticamente amortiguada.
En los siguientes apartados se supone que se sustituye el amplificador por una conexión directa tal y
como muestra la figura:
vi
+
R2
L1
-
R1
L2
vo
En esta nueva situación calcular, sin hacer ninguna aproximación:
V
f) La función de transferencia o en el dominio de Laplace en función de los parámetros del circuito.
Vi
(Escribirla en forma de cociente de polinomios de forma que el término de grado superior tenga
como coeficiente la unidad.)
Escuela Técnica Superior de Ingeniería (ICAI)
Departamento de Electrotecnia y Sistemas
Circuitos y Sistemas Dinámicos
g) Particularizar para R1 = 3 kΩ, L1 = 0,3 H, R2 = 4 kΩ, L2 = 0,2 H.
h) Comparar las raíces del denominador de las funciones obtenidas en los apartados b) y g) y extraer
conclusiones.
3.18 (Examen Septiembre 99)
t=0
En este problema se realizará
el estudio de la conexión de
una fuente de tensión senoidal
a una carga constituida por
una resistencia en serie con
una autoinducción. El circuito
corresponde con el
representado en la figura. Se
supone que la conexión se
produce en el instante t = 0.
R
L
+
-
v(t ) = 2 .200.sen(ωt )
i(t)
I0
a) Sea la siguiente función en el dominio de Laplace s, en la que a, b y c representan constantes
positivas:
H(s) =
a
c
(s
2
+a
2
)
 b
s + 
c

Se pide, utilizando las técnicas habituales para esta
transformación, demostrar que su transformada inversa de Laplace es la siguiente función del
tiempo t:
h(t) =
−b
ac 
ac

sen  at − arctg  + 2
ec
2 2
2
2 2
b

 b +a c
b +a c
1
t
b) Calcular la transformada de Laplace I(s) de la corriente i(t) en función de los parámetros R, L y ω,
suponiendo condiciones iniciales nulas en la autoinducción.
c) Determinar i(t) en las mismas condiciones del apartado b), particularizando para R = 1000 Ω,
L = 1 H y ω = 1000 rad/s , y representarla gráficamente de forma aproximada. (Usar transformada
del apartado a)
d) Calcular la transformada de Laplace I(s) de la corriente i(t) para un valor genérico de intensidad
inicial en la autoinducción I0 (con el criterio de signos indicado en la figura) y en función de los
parámetros R, L y ω.
e) Determinar i(t) en las mismas condiciones del apartado b), particularizando para R = 1000 Ω,
L = 1 H, ω = 1000 rad/s e I0 = 0,25 A. Representarla gráficamente de forma aproximada. (Usar
transformada del apartado a)
f) Hallar el valor de I0 que hace que la intensidad i(t) sea únicamente una función senoidal.
3.19 (Examen Febrero 2000) El circuito de la
figura está constituido por una fuente de tensión
de resistencia interna r conectada a una carga
(representada por una resistencia R), a través de
un filtro.
El filtro está constituido por un condensador en
paralelo con una autoinducción tal y como se
muestra en la figura. Ambos elementos del filtro
se considerarán ideales.
C
r
L
i
+
vi
R
Fuente
Escuela Técnica Superior de Ingeniería (ICAI)
Departamento de Electrotecnia y Sistemas
t=0
Filtro
Carga
Circuitos y Sistemas Dinámicos
I(s)
Vi (s)
b) Determinar cuál es el objetivo que cumple el filtro.
a) Calcular la función de transferencia
c) Calcular la expresión de la intensidad i en régimen permanente si la fuente tiene una expresión
 t 
instantánea: vi (t) = U sen 

 LC 
d) Calcular la transformada de Laplace de i(t) para la conexión en el instante t = 0 de una fuente como
la del apartado c) y suponiendo condiciones iniciales nulas en el condensador y en la autoinducción.
Exprésese en forma normalizada.
e) Calcular i(t) particularizando para los siguientes valores: R = 2 kΩ , r = 83,3 Ω, ω0 = 1300 rad/s,
1
C = 200 nF, L = 2 , U = 160 V.
ω0 C
f) Calcular la transformada de Laplace de i(t) para la conexión de una fuente con una expresión
1
instantánea: vi (t) = Usen ( ωt ) en la que ω ≠
y suponiendo condiciones iniciales nulas en el
LC
condensador y en la autoinducción. Exprésese en forma normalizada.
g) ¿Qué forma tiene la expresión i(t) en las condiciones del apartado f)? (Se pide sólo la expresión
general de la función, no es necesario calcular los residuos).
h) Calcular el valor final de i(t) en las condiciones del apartado c) y en las condiciones del apartado f).
i) Obtener cuál es la tensión de entrada vi(t) que hace que la intensidad a la salida sea un escalón de
1
valor Ie. Particularizar para : R = 2 kΩ , r = 83,3 Ω, ω0 = 1300 rad/s, C = 200 nF, L = 2 ,
ω0 C
Ie = 10mA.
3.20 (Examen Septiembre 2000). Para el circuito de la
figura, en el que el amplificador operacional diferencial
es ideal y los condensadores están inicialmente
descargados, se pide hallar la función de transferencia
Y(s)
.
U(s)
R1
–
C1
U
3.21 (Examen Septiembre 2000). En el circuito de
la figura, obtener por el método que se estime más
oportuno la ecuación diferencial de i1 para
condiciones iniciales nulas.
+
R
+
-
Y
M
L1
e
i1
Escuela Técnica Superior de Ingeniería (ICAI)
Departamento de Electrotecnia y Sistemas
R2
C2
. .
C
L2
i2
Circuitos y Sistemas Dinámicos
3.22 (Examen Septiembre 2000). En el
circuito de la figura las dos resistencias son
iguales, los dos condensadores son iguales y
las dos autoinducciones son iguales.
i2
R
La fuente de tensión puede conectarse o
desconectarse del circuito mediante el
interruptor representado. Se pide:
C
L
L
C
+
u -
i
a) Si se sabe que L/C = 4R2 (sólo en este apartado), calcular v1 en función de R, L y C cuando se
aplica un escalón desde la fuente cerrando el interruptor en el instante t = 0. Considerar
condiciones iniciales nulas. (Puede hacerse sin tranformada de Laplace).
b) Calcular I2(s) (transformada de Laplace de la intensidad i2) suponiendo que en el instante t = 0 el
interruptor se abre. Suponer que el condensador de la izquierda (por el que circula i2) tiene una
carga inicial V0 y que el resto de los elementos tienen condiciones iniciales nulas.
c) Comprobar que si se cumple L/C = R2 la respuesta calculada en el apartado anterior es de segundo
orden.
d) Calcular i2(t) suponiendo que se cumple la condición del apartado anterior para C = 0,1 µF,
L = 100 mH, V0 = 100 V.
e) Hallar la función de transferencia I(s)/U(s). (Condiciones iniciales nulas.)
f) Calcular el valor inicial y final de i(t) en respuesta a un escalón en u. (Condiciones iniciales
nulas.)
3.23 (Examen Febrero 2001) En el circuito de la figura, el interruptor lleva cerrado un tiempo largo y se
abre en el instante t = 0.
L2
.
.
L1
Vb
M
i1
R
ve
C
t=0
a)
Dibujar un circuito equivalente en el dominio de Laplace.
b) Calcular i1(t) a partir de t = 0 particularizando para Vb = 12 V, R = 4 Ω, L 1 = 3 mH, C = 0,4 µF,
M = 0,3 H, L 2 = 30 H.
c)
Calcular la tensión máxima en el condensador para los valores del apartado anterior.
d) Determinar la transformada de Laplace de la tensión ve. Expresarla en función de Vb, R, L1, L 2, C y
M sin particularizar los valores numéricos. Expresarla como cociente de polinomios.
Escuela Técnica Superior de Ingeniería (ICAI)
Departamento de Electrotecnia y Sistemas
Circuitos y Sistemas Dinámicos
R
v1
3.24 (Examen Septiembre 2001)
I1
R1
R2
R3
C4
V4
V1
V5
R5
Del circuito de la figura, que fue inventado por Antoniou, se pide lo siguiente utilizando la transformada
de Laplace:
a) Tensión en V5(s) en función de V1 (s).
b) Función de transferencia V1/I1.
c) Dada la función de transferencia anteriormente calculada, indicar la posible utilización práctica del
circuito.
d) Deducir la expresión en función del tiempo de la tensión que hay que aplicar en V1 para que en V4 se
obtenga una rampa de tensión ( v4(t) = t ).
3.25 (Examen Febrero 2002) Supóngase que se desea representar en el osciloscopio una señal ue (t ) que
puede tomar valores máximos de hasta 100 V. Dado que el rango de tensiones admisibles en la entrada
del osciloscopio es sólo de unos pocos voltios, es necesaria la utilización de una sonda atenuadora (por
ejemplo ×10, ×50, etc.). Sin embargo, no sirve cualquier pareja sonda-osciloscopio, sino que deben
cumplirse unas determinadas condiciones de diseño.
Como es bien sabido, el osciloscopio presenta una
impedancia de entrada muy alta, pero no infinita,
constituida por una resistencia R1 del orden de
megaohmios en paralelo con un condensador C1 de unos
pocos picofaradios. Así pues, el esquema equivalente
sería el indicado.
Osciloscopio
Sonda
ue (t )
C1
R1
us (t )
Para que la representación en la pantalla del osciloscopio refleje fielmente la señal que se desea medir, es
necesario que la señal a la salida de la sonda, us (t ) , tenga la misma forma que la señal de entrada,
ue (t ) , afectada únicamente por un factor de escala que no dependa de la frecuencia.
Suponiendo que la sonda fuera simplemente una resistencia R2, se pide:
a) Expresar en forma normalizada la función de transferencia
H (s) = U s (s) / U e (s) .
b) ¿Por qué no es válido este diseño de sonda?
Osciloscopio
ue (t )
R2
us (t )
R1
c) Si la entrada es un impulso unitario [ ue(t) = δ0(t) ] ¿cuál sería la
expresión temporal de la señal representada en la pantalla del osciloscopio?
Escuela Técnica Superior de Ingeniería (ICAI)
Departamento de Electrotecnia y Sistemas
Circuitos y Sistemas Dinámicos
C1
d) Esbozar el diagrama de Bode de amplitud y de fase de la función de transferencia H ( s ) ,
indicando el valor de la pulsación de esquina en función de C1, R1 y R2.
En el caso de que la sonda estuviera constituida por una resistencia R2 en paralelo con un condensador
C2, se pide:
C2
e) Expresar en forma normalizada la función de transferencia
H (s) = U s (s) / U e (s) .
f) ¿Qué condición deben verificar los componentes C1, R1, C2 y R2
para que la pareja sonda-osciloscopio sea válida?
L1 L2 , de forma
que se dice que se trata de un acoplamiento perfecto cuando
ue (t )
i1 (t )
3.26 (Examen Septiembre 2002) Supóngase que se tiene el
circuito de la figura. Como es bien sabido, el coeficiente de
acoplamiento verifica siempre que M ≤
Osciloscopio
R2
u (t )
i2 (t )
M
R1
L2
L1
M = L1 L2 .
Se pide:
a) La intensidad i1 (t ) se rige por una determinada ecuación diferencial. Por simple inspección del
circuito, indicar el orden de dicha ecuación cuando el coeficiente de acoplamiento es nulo
( M = 0 ).
b) Sean I1 ( s ) y U ( s ) las transformadas de Laplace de la intensidad i1 (t ) y de la tensión u (t ) ,
respectivamente. Obtener la función de transferencia que relaciona la salida I1 ( s ) con la entrada
U ( s ) , expresándola de forma normalizada con los términos independientes iguales a la unidad.
c) Obtener la expresión de la ecuación diferencial homogénea de la intensidad i1 (t ) a partir de la
función de transferencia obtenida en el apartado anterior. Justificar además cuál es el orden de
dicha ecuación para los tres casos siguientes: acoplamiento perfecto, M =
L1 L2 / 2
y
M = 0 . En este último caso, vigílese la coherencia entre esta respuesta y la dada en el apartado
a).
Se desea estudiar la respuesta dinámica de la intensidad i1 (t ) en función de diversas señales de entrada
u (t ) . Sin embargo, en el laboratorio no se dispone de la inductancia mutua mostrada en el esquema. Un
alumno aventajado de una prestigiosa escuela de ingeniería propone utilizar el siguiente circuito,
prometiendo que es realizable físicamente sean cuáles sean los parámetros del circuito inicial. Se pide:
d) Obtener las expresiones de los parámetros
del nuevo circuito en función de los del
esquema inicial.
e) Demostrar que el alumno tiene razón.
Escuela Técnica Superior de Ingeniería (ICAI)
Departamento de Electrotecnia y Sistemas
i1 (t )
u (t )
R4
R3
L3
C1
R1
us (t )
L4
Circuitos y Sistemas Dinámicos
R2
3.27 (Examen Febrero 2003) El circuito de la figura
consiste en una fuente real de tensión que se conecta
mediante un interruptor a una carga formada por una bobina
(L) y una resistencia (R2). Adicionalmente existe un
condensador (C) que puede conectarse a voluntad a través
de otro interruptor.
De dichos elementos se conocen los siguientes datos: V es una fuente senoidal de 50 Hz y valor
120cos(ωt) V ; R1 = 10 Ω ; R2 = 200 Ω; L = 2 H y C = 20 µF. Se pide lo siguiente utilizando el método
de Laplace:
a) Para condiciones iniciales nulas se cierra el interruptor principal en t1 = 0 s, manteniendo el
condensador desconectado. Obtener la evolución temporal de la corriente i(t) suministrada por la
fuente V a partir de t = 0 s. ¿De qué tipo de respuesta transitoria se trata?
b) Hallar V1(t) una vez que se ha alcanzado el régimen permanente (el transitorio se considerará
extinguido al cabo de cinco constantes de tiempo). Se tomará la tensión V como origen de ángulos.
c) Una vez se alcanza el régimen permanente, se conecta el interruptor del condensador en un instante t2
tal que la tensión en el punto V1 en ese instante es nula. Se pide lo siguiente:
c1)
Instante t2. (Elegir uno cercano a t = 0 s)
c2)
Intensidad suministrada por la fuente en función del tiempo i(t) a partir del instante en
el que se cierra el interruptor del condensador.
3.28 (Examen Febrero 2003)
a)
Escuela Técnica Superior de Ingeniería (ICAI)
Departamento de Electrotecnia y Sistemas
hallada
•
u
Para el circuito de la figura, obtener la función
de transferencia U(s)/I(s).
b) Comprobar que la expresión
dimensionalmente correcta.
M
i
A
L1
es
•
R
L2
B
Circuitos y Sistemas Dinámicos
C
SOLUCIONES
3.1
a) –16 A
b) 1,28 J
c) 2,5 ms
d) i(t) = −16 e −400t A
e)
f)
e(t) = 1,28 e-800t J
98,17%
a)
i(t) = −16 + 16 e −239,23 t A
b)
i(t) = −16 + 18 e −239,2t A
3.2
t
3.4
−
R
− R2
v( t ) =
v s + ( 2 v s + v c0 ) ⋅ e R 2C
R1
R1
3.5
2, 4 ⋅10−6 s − 0, 03
; v(t) = −14 e −5000 t + 26 e −20000 t V
0, 2 ⋅10−6 s 2 + 0, 005 s + 20
a)
V(s) =
b)
R cr = 250Ω ; v(t) = 12 e −1⋅10 t − 27 104 t e −1⋅10 t V
c)
v(t) = 12 e −8000 t cos(6000 t) − 41 e −8000 t sen(6000 t) V
d)
v(t) = 12 e −2500 t cos(9682, 4584 t) − 18,5903 e −2500 t sen(9682, 4584 t) V
a)
i R ( t ) = −0,07 ⋅ e −5000⋅t + 0,13 ⋅ e −20000⋅t A
4
4
3.6
i L ( t ) = 0,056 ⋅ e −5000⋅t − 0,026 ⋅ e −20000⋅t A
i C ( t ) = 0,014 ⋅ e −5000⋅t − 0,104 ⋅ e − 20000⋅t A
b)
i R ( t ) = 0,048 ⋅ e −1⋅10
i L ( t ) = 0,03 ⋅ e −1⋅10
4
4
⋅t
⋅t
iC ( t ) = −0,078 ⋅ e−1⋅10
c)
4
− 1080 ⋅ t ⋅ e −1⋅10 ⋅t A
4
+ 540 ⋅ t ⋅ e −1⋅10 ⋅t A
4
⋅t
4
+ 540 ⋅ t ⋅ e−1⋅10 ⋅t A
i R ( t ) = 0,0384 ⋅ e −8000⋅t ⋅ cos(6000 ⋅ t ) − 0,1312 ⋅ e −8000⋅t ⋅ sen(6000 ⋅ t )A
i L ( t ) = 0,03 ⋅ e −8000⋅t ⋅ cos(6000 ⋅ t ) − 0,08 ⋅ e −8000⋅t ⋅ sen(6000 ⋅ t )A
i C ( t ) = −0,0684 ⋅ e −8000⋅t ⋅ cos(6000 ⋅ t ) + 0,0512 ⋅ e −8000⋅t ⋅ sen(6000 ⋅ t )A
d)
i R ( t ) = 0,012 ⋅ e −2500⋅t ⋅ cos(9682,6 ⋅ t ) − 0,0186 ⋅ e −2500⋅t ⋅ sen(9682,6 ⋅ t )A
i L ( t ) = 0,03 ⋅ e −2500⋅t ⋅ cos(9682,6 ⋅ t ) − 0,0325 ⋅ e −2500⋅t ⋅ sen(9682,6 ⋅ t )A
i C ( t ) = −0,042 ⋅ e −2500⋅t ⋅ cos(9682,6 ⋅ t ) − 0,0139 ⋅ e −2500⋅t ⋅ sen(6000 ⋅ t )A
Escuela Técnica Superior de Ingeniería (ICAI)
Departamento de Electrotecnia y Sistemas
Circuitos y Sistemas Dinámicos
3.7
i(t) = −0,1042 e −2800 t sen(9600 t) A
u R (t) = −58,33 e−2800 t sen(9600 t) V
u L (t) = −100 e −2800 t cos(9600 t) + 29,1667 e −2800 t sen(9600 t) V
u C (t) = 100 e −2800 t cos(9600 t) + 29,1667 e−2800 t sen(9600 t) V
3.8
Son los cálculos previos de la práctica 4. La solución, en el laboratorio.
3.9
a)
i L (t) = 24 − 32 e −20000 t + 8 e −80000 t mA
u L (t) = 16 e −20000 t − 16 e−80000 t V
b)
i L (t) = 24 − 960000 t e−40000 t − 24 e−40000 t mA
u L (t) = 960 000 t e −40000 t V
c)
i L (t) = 24 − 24 e −32000 t cos(24000 t) − 32 e −32000 t sen(24000 t) mA
u L (t) = 40 e −32000 t sen(24000 t) V
3.10
1
1
1
C 2 R 2 ⋅ (s +
) ⋅ (s +
)
C1 R 1
C2R 2
a)
U(s) =
b)
u(t) = 1, 298 e−500 t − 1, 298 e −2177,7 t V
a)
U(s) =
b)
u(t) = 1,1732 e −500 t − 1,1732 e −2356,27 t V
a)
U(s) =
b)
u(t) = 1,1664 e −466,733 t − 1,1664 e −2332,9 t V
3.11
1
R + R2
1
C1 R 1C 2 R 2 ⋅ (s +
) ⋅ (s + 0
)
C1 R 1
R 0C2R 2
3.12
R1 ⋅ C1
(C1R1C2 R 2 ⋅ s 2 + (C1R1 + C2 R 2 + C2 R1 ) ⋅ s + 1)
3.13
I(s) =
U(s)
1
s⋅L+
+R
s⋅L

1 


 L⋅ω−

C
⋅ ω 
i( t ) =
⋅ sen ω ⋅ t − arctg

2


R
1 




R2 + L ⋅ ω −




C
⋅
ω


2 ⋅ Vg
Para L = 5 H; C = 5 nF; R = 3 kΩ :
i(t) = 33,34 sen(6031,9 t + 0, 7851) − 23,57 e −300 t cos(6317 t) − 23, 64 e −300 t sen(6317 t) mA
Escuela Técnica Superior de Ingeniería (ICAI)
Departamento de Electrotecnia y Sistemas
Circuitos y Sistemas Dinámicos
3.14
i(t) = 15 − e −12 t − 14 e−2 t A
u(t) = 336 − 235, 2 e −2 t − 100,8 e−12 t V
3.15
a)
b)
c)
R = 2 kΩ
I(s)
0, 083 s
=
E(s) (s + 333, 3) 2
(
)
i(t) = 0, 6 t e −333,3 t + 7,5 ⋅10−4 e −333,3 t − 7,5 ⋅10−4 u 0 (t) A
3.16
a) Demostración.
b) R 1 = R = 2083,33Ω
L1 = L = 50mH
C1 = C − C 2 = 6nF
3.17
a)
b)
c)
Vo (s)
=
Vi (s)
R1
s
L1
R R  R R
s2 +  1 + 2  s + 1 2
L1L 2
 L1 L 2 
10000 ⋅ s
V0 (s)
=
Vi (s) s 2 + 3 ⋅ 10 4 ⋅ s + 2 ⋅ 10 8
10000
Vo (s) = 2
s + 3 ⋅ 10 4 ⋅ s + 2 ⋅ 10 8
d)
v o (t) = (e −10000 t − e −20000 t ) u 0 (t) V
e)
R1 R 2
=
L1 L 2
Vo
R 1L 2 s
=
Vi R 1 R 2 + (R 1 L 2 + R 2 L1 + R 1 L1 )s + L1 L 2 s 2
Vo
10000 ⋅ s
g)
=
Vi s 2 + 4,5 ⋅ 10 4 + 2 ⋅ 10 8
h) Raíces de b): s = −10000; s = −20000
Raíces de g): s = −5000; s = −40000
f)
3.18
a)
b)
c)
d)
e)
f)
Demostración.
I(s) =
U(s)
V⋅ω
=
R + Ls (R + Ls) ⋅ (s 2 + ω2 )
π

i(t) = 0, 2 sen 1000 t −  + 0,14 e −1000 t A
4

ω
V⋅ 2
− L ⋅ Io
U(s) − I o ⋅ L
ω + s2
=
I(s) =
( R + L ⋅ s)
(R + L ⋅ s)
π

i(t) = 0, 2 sen 1000 t −  − 0,11 e −1000 t A
4

I 0 = 0,14 A
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Departamento de Electrotecnia y Sistemas
Circuitos y Sistemas Dinámicos
3.19
ω0 =
a)
1
LC
( s2 + ω02 )
I(s)
1
=
⋅
Vi (s) ( R + r )  2

s
+ ω02 
 s +
(R + r)C


b) Se trata de un filtro que elimina la pulsación ω0 y que deja pasar el resto.
c)
La intensidad pedida es nula.
d)
I(s) =
e)
i(t) = 0, 2 e −1200 t sen(500 t) A
f)
I(s) =
g)
U ω0
1
⋅
R
+
r

(
)  2
s
2
 s + ( R + r ) C + ω0 


Uω
⋅
(R + r)
(s
(s
2
2
+ ω02 )


s
+ ω2 ) ⋅  s 2 +
+ ω02 
R
+
r
C
(
)


i(t) = ( K1 cos ( ωt + θ1 ) + K 2 e − a t cos ( b t + θ2 ) ) u 0 (t)
h) 0 en el primer caso y no existe en el segundo.
i)
vi (t) = ( 20,833 + 38, 4619 sen(1300 t) ) u 0 (t) V
3.20
R R C C s 2 + (R 1C1 + R 2 C 2 ) s + 1
Y(s)
=− 1 2 1 2
U(s)
R 1C 2 s
3.21
(L1L 2 − M 2 ) C
d 3i1 (t)
d 2 i1 (t)
di1 (t)
d 2 e(t)
R
L
C
L
R
i
(t)
L
C
+
+
+
=
+ e(t)
2
1
1
2
dt
dt 3
dt 2
dt 2
3.22
t
a)
v1 ( t ) = U ⋅ (1 +
t
−
−
t
⋅ e RC − e 2⋅R ⋅C )
2⋅R ⋅C
L

LC s 2 +  RC +  s + 1
R

b) I 2 (s) = −V0 ⋅ C
L
L



L2 C2 s 4 +  2RC +  LC s3 + 4LC s 2 +  2RC +  s + 1
R
R


c) Comprobación.
d) i 2 (t) = 0,1155 e −5000 t sen(8660 t) A
e)
I(s) LC s 2 + 2RC s + 1
=
U(s) RLC s 2 + L s + R
f)
Valor inicial = valor final =
U
R
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3.23
a)
b)
i1 (t) = 3 e −666,67 t cos(28860 t − 0, 0231) A
c)
v C (t * ) = 262, 43 V
t * = 55, 22 µs
d)
R
M 
1
s2 +  −
s +
L
R
L
C
L
1 
1C
 1
Ve (s) = Vb

R
1 
s  s2 + s +

L1
L1C 

3.24
a) V5(s) = V1 (s)
V1 R1R 3 R 5 C4 s
b)
=
I1
R2
c) El cociente entre tensión e intensidad (impedancia) resulta ser igual a una constante por la
variable “s”, por lo que el circuito se comporta como una bobina.
t
−


d) V1 (t) = C 4 R 5  1 − e R 5 C4  u 0 (t)




3.25
a) H ( s ) =
U s ( s )  R1 
1
=

U e ( s )  R1 + R2   R1 R2C1 

 s +1
+
R
R
 1
2 
b) Porque la función de transferencia depende de s y por tanto, para distintas frecuencias la ganancia sería
distinta.
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 R +R 
 1  − R11R2C21 t
c) us (t ) = 
e
R
C
 2 1
f)
p1
0
U ( s )  R1 
R2C2 s + 1
H (s) = s
=

U e ( s )  R1 + R2   R1 R2 (C1 + C2 ) 

 s +1
R1 + R2


R1C1 = R2C2
ω
[rad/s]
3 dB
20·log K
d)
e)
dB
d)
−20 dB/dec
rad
0
−
−
p1
10
p1
10 ⋅ p1
π
4
π
2
3.26
a)
La ecuación diferencial es de orden 1.
L2
+1
R2
1
1
=
b) H ( s ) =
Z ( s ) R1 2  L1 L2 − M 2   L1 L2 
s 
 + s  +  +1
 R1 R2   R1 R2 
s
c)
Respectivamente: 1º orden, 2º orden y 1º orden.
d)
R3 = R1
L3 = L1
2
L 
R4 = R2  1 
M 
LL

L4 = L1  1 22 − 1
M

e)
Es físicamente realizable por resultar todos los valores positivos.
3.27
a) Respuesta de primer orden:
i(t) = (181,1 cos (100πt + 1, 25 ) + 57, 4 e −105t ) u 0 (t) mA
b)
V1∞ (t) = 119,14 cos (100πt + 0, 014 ) V
c)
t2 = 55 ms;
i(t) = 746 cos (100π t − 0, 048 ) + 3,8 e −105,1t − 749 e −4995 t + 181,1 cos (100π t + 3, 45 ) mA; para t = t − t 2 > 0
3.28
L1L 2 − M 2 2
s + L1s
R
L
L2C s2 + 2 s + 1
R
( L1L2 − M 2 ) C s3 +
a)
U(s)
=
I(s)
b)
[ V ] = [ Ω] + [Ω] + [Ω] = Ω
[ ]
[ A ] [i] + [i] + [i]
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