Solución

S OCIEDAD
E CUATORIANA DE
M ATEMÁTICA
ETAPA CLASIFICATORIA
"VII EDICIÓN DE LAS O LIMPIADAS DE LA S OCIEDAD
E CUATORIANA DE M ATEMÁTICA "
Soluciones - Primer Nivel Juvenil
01 de abril de 2010
1. El vocal de deportes de tu curso tiene que comprar 22 botellas de jugo de naranja para el equipo
de fútbol. Cada caja de 6 botellas de jugo de naranja cuesta 9 dólares; pero si se compra por
unidades, cada botella de jugo tiene un costo de un dólar con 80 centavos. ¿Cuántos dólares
tendrá que pagar el vocal de deportes por las 22 botellas de jugo de naranja de forma tal que el
precio de todas las botellas sea el menor posible?
a) 9.00
b) 10.80
c) 34.20
d) 36.00
e) 39.60
Solución. Si el vocal de deportes comprara las 6 botellas de jugo de naranja individualmente, gastaría
6 × 1.80 = 10.80 dólares, que es más caro que comprar una caja de 6 botellas. Por lo tanto, se debe
comprar la mayor cantidad de cajas posible. Para tener las 22 botellas de jugo de naranja, el vocal deberá
comprar 3 cajas y 4 botellas de jugo de naranja individualmente, en cuyo caso, gastará 3 × 9 + 4 × 1.80 =
34.20 dólares, que es el costo mínimo.
Por lo tanto, la respuesta correcta es la opción c).
2. El muro de la siguiente figura:
se construirá con 14 ladrillos de colores amarillo, azul y verde. El costo de cada ladrillo depende
de su color: uno de color amarillo cuesta 6 dólares; uno de color azul, 7 dólares; y uno de color
verde, 8 dólares. El muro debe construirse de manera que dos ladrillos que estén en contacto
sean de diferente color. ¿Cuál es el costo mínimo de este muro?
a) 84
b) 91
c) 96
d) 98
e) 112
Solución. Como se quiere formar el muro al menor costo posible, daremos siempre preferencia a los
ladrillos más baratos; es decir, a los de color amarillo en primer lugar, luego a los de color azul y, por
último, a los de color verde.
1
Empecemos a indicar los colores de los ladrillos desde el ladrillo de la esquina izquierda de la fila inferior.
Para esa fila, los colores de los ladrillos serán: amarillo, azul, verde y amarillo, respectivamente, lo que
nos da un costo para esa fila de 27 dólares,y que es el mínimo que cumple con la condición de que dos
ladrillos en contacto no pueden tener el mismo color.
Para la segunda fila desde abajo, hay una única posibilidad para el color de sus ladrillos; de izquierda a
derecha: verde, amarillo y azul, lo que genera un costo de 21 dólares.
La tercera y cuarta filas son idénticas a la primera y segunda filas, respectivamente. Entonces, el costo
total es:
27 + 21 + 27 + 21 = 96
dólares.
Por lo tanto, la respuesta correcta es la opción c).
3. En una tienda, durante la semana del primero de marzo, una docena de huevos costó lo mismo
que 10 panes. Una semana después, la del 8 de marzo, el precio de los huevos subió en un 10 %
mientras que el del pan bajó un 2 %. En la semana del 8 de marzo, ¿en qué porcentaje aumentó
el costo de comprar una docena de huevos y 10 panes?
a) 2 %
b) 4 %
c) 10 %
d) 12 %
e) 15 %
Solución. Supongamos que una docena de huevos costaba x dólares en la semana del primero de marzo;
entonces, 10 panes también costaban x dólares en esa semana. Como el precio de los huevos subió en un
10 %, el nuevo valor de los huevos, en la semana del 8 de marzo, es de 1.1x dólares. En la semana del 8
de marzo, el precio del pan disminuyó un 2 %, por lo tanto su nuevo precio 0.98x dólares.
Podemos observar que en la semana del primero de marzo se gastó x + x = 2x dólares en la compra de
una docena de huevos y de 10 panes, mientras que, en la semana del 8 de marzo, se gastó 1.1x + 0.98x =
2.08x dólares por la misma compra; entonces, el aumento es de 0.08x dólares que corresponde al
0.08x
× 100 % = 4 %.
2x
Por lo tanto, la respuesta correcta es la opción b).
4. ¿Cuál es el valor de
a)
99
1 000
1
1
1
1
−
+
−
?
10 100 1 000 10 000
b)
909
1 000
999
1 000
c)
d)
909
10 000
e)
999
10 000
Solución. Si se multiplica tanto al numerador como al denominador de las tres primeras fracciones por
1 000, 100 y 10, respectivamente, se obtiene:
1 000
100
10
1
1 000 − 100 + 10 − 1
909
−
+
−
=
=
.
10 000 10 000 10 000 10 000
10 000
10 000
Por lo tanto, la respuesta correcta es la opción d).
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
5. Sobre una hoja de papel cuadriculado, se marcan doce puntos como se muestra en la figura:
2
¿Cuál es el número máximo de cuadrados que pueden formarse con esos doce puntos?
a) 4
b) 5
c) 9
d) 11
e) 12
Soluciones. Como se ilustra a continuación, hay once cuadrados:
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
5 cuadrados
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
4 cuadrados
b
b
b
2 cuadrados
Por lo tanto, la respuesta correcta es la opción d).
6. ¿Qué figura ocupa la posición número 999 999 en la siguiente secuencia?
△,
a) △
♣,
♦,
♠,
♥,
△,
b) ♣
♣,
♦,
♠,
♥,
c) ♦
△,
...
d) ♠
e) ♥
Solución. Las cinco posiciones iniciales de la secuencia están ocupadas por el triángulo, el trébol, el
rombo, el corazón negro y el corazón blanco; desde la sexta posición, esta primera secuencia de cinco
figuras se repite. Esto significa que cada seis posiciones, encontraremos la misma figura. Esto también
significa que podemos averiguar la figura que ocupa una posición dada con tan solo saber el residuo de
dividir el número de la posición por 6.
Así, como al dividir 1 000 por 6 el residuo es 4, la figura que ocupa la cuarta posición en la secuencia de
las cinco primeras posiciones es el corazón negro, la posición número 1 000 está ocupada por esta figura.
Por lo tanto, la respuesta correcta es la opción d).
7. El huerto de Francisco tiene árboles de: manzana, pera, naranja, limón y mandarina, dispuestos
en cinco filas paralelas, cada fila con una variedad única de fruta, de modo que:
(a) los árboles de naranja están junto a los de limón;
(b) los árboles de pera no están ni junto a los de naranja ni a los de limón;
(c) los árboles de manzana están junto a los árboles de pera, pero no a los de limón ni a los de
naranja.
¿En qué fila están los árboles de mandarina?
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5
Solución. De las dos últimas condiciones, los árboles de manzana y pera no pueden estar junto a los
árboles de naranja y limón; por lo tanto, la única opción es que los árboles de mandarina sirvan de
barrera entre los dos pares de árboles; esto significa que los árboles de mandarina ocupan la posición 3.
Por lo tanto, la respuesta correcta es la opción c).
8. Cada uno de los 7 discos X, Z, A, M, I, G, O de la siguiente figura:
3
X
I
13
6
M
A
O
8
7
Z
G
tienen un peso diferente, desde 1 g hasta 7 g. El número que se muestra en la intersección de
dos discos es la suma de los pesos de esos dos discos. ¿Cuál es la suma de los pesos de los cinco
discos A, M, I, G, O?
Solución. Queremos calcular la suma de los pesos de los círculos A, M, I, G y O y no los pesos individuales de cada uno. Es inmediato que la suma de los pesos de los círculos M, I, G y O es 14, porque el
peso conjunto de I y O es 6, y el de M y G es 8. Falta, entonces, averiguar el peso de A.
Para ello, nótese que el peso conjunto de X y de A es 13; esto significa que A solo puede pesar 6 o 7.
Ahora bien, no puede ser 7, porque 7 es el peso conjunto de A y de Z, con lo que el peso de A debe
ser menor que 7. Entonces, el peso de A es 6. En resumen, el peso conjunto de los cinco círculos es
6 + 14 = 20.
9. Sobre las casillas libres de la siguiente tabla:
3
5
1
2
2
5
1
2
escribe fracciones de modo que la suma de los tres números en cualquier fila, en cualquier
columna y en cualquier diagonal sea siempre la misma.
Demostración. Observemos que una de las diagonales tiene todas sus casillas llenas y que su suma es
2 1 3
15
3
+ + =
= .
5 2 5
10
2
Entonces, la suma de los números en todas las filas, columnas y la otra diagonal de la tabla debe ser
3
igual a .
2
Ahora bien, es obligatorio que en la segunda casilla de la primera fila debe colocarse 21 (para que la suma
de la segunda columna 32 ), con lo que se hace obligatorio que en la primera casilla de la primera fila, se
coloque el número 32 − 12 − 53 = 25 .
Hasta el momento, la tabla se vería así:
2
5
1
2
1
2
2
5
1
2
4
3
5
De manera similar se pueden completar las otras casillas. Se obtiene, entonces, la siguiente tabla que
cumple con lo requerido.
2
5
1
2
3
5
7
10
1
2
3
10
2
5
1
2
3
5
10. Sean x, y, y z tres dígitos diferentes de cero tales que ( xy)2 = zxy, donde xy no representa el
producto de x con y, sino el número formado por los dígitos x y y, y zxy representa el número
formado por los dígitos x, y y z. ¿A qué es igual la suma de los tres dígitos x, y y z?
Solución. Dado que el cuadrado del número de dos dígitos xy es un número de tres cifras, x no puede ser
un dígito mayor que 3, y, en el caso de que lo fuera, y solo podría ser el número 1. Pero 312 = 961 6= z31,
para cualquier dígito z. Entonces, x puede tomar únicamente los valores 2 y 1.
Por otro lado, como el último dígito del número de tres cifras es igual al último dígito del número
que se eleva al cuadrado, x, éste solo puede ser uno de los siguientes dígitos: 1, 5 y 6, pues 12 = 1,
52 = 25 y 62 = 36 (el último dígito del cuadrado es igual al número que se eleva al cuadrado). Esto
reduce los posibles valores del número de dos cifras a los siguientes: 11, 15, 16, 21, 25 y 26. De estas seis
posibilidades es fácil ver que si x = 2 y y = 5, entonces z = 6, pues 252 = 625.
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