Lecture 4: Simulación
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Simulación. Conceptos básicos Software de simulación Prácticas de simulación Lecture 4: Simulación Arnau Dòria-Cerezo Institut d’Organització i Control de Sistemes Industrials Universitat Politècnica de Catalunya Posgrado en Automatización Modelado y Simulación de Sistemas de Control Junio 2006. Universidad de Cuenca, Ecuador Modelling and Simulation of Control Systems Lecture 4: Simulación Simulación. Conceptos básicos Software de simulación Prácticas de simulación Outline 1 Simulación. Conceptos básicos 2 Software de simulación 3 Prácticas de simulación Modelling and Simulation of Control Systems Lecture 4: Simulación Simulación. Conceptos básicos Software de simulación Prácticas de simulación Métodos numéricos de integración Métodos de paso fijo Métodos de paso variable Principales problemas Simulación. Conceptos básicos La simulación, en nuestro caso, será la resolución numérica del sistema de EDOs, ẋ = f (x) + g(x)u, o, en el caso de los port-controlled Hamiltonian Systems ẋ = (J (x) − R(x))∇H T + g(x)u. Modelling and Simulation of Control Systems Lecture 4: Simulación Simulación. Conceptos básicos Software de simulación Prácticas de simulación Métodos numéricos de integración Métodos de paso fijo Métodos de paso variable Principales problemas Métodos numéricos de integración Esta resolución se realiza mediante los métodos numéricos Los métodos numéricos no resolveran el sistema de forma explı́cita. La solución serán valores aproximados a la solución explı́cita. El proceso consiste en dividir el tiempo en intervalos ∆t (no tienen porque ser iguales). En función del método varı́a, la complejidad de resolución y la aproximación a la solución analı́tica. Para la resolución siempre será necesario asignar las condiciones iniciales. Modelling and Simulation of Control Systems Lecture 4: Simulación Simulación. Conceptos básicos Software de simulación Prácticas de simulación Métodos numéricos de integración Métodos de paso fijo Métodos de paso variable Principales problemas Métodos numéricos de integración Método de Euler Método de paso fijo: ∆tn = ∆tn+1 Consiste en definir las siguientes ecuaciones, y repetir para n = 1...N , dónde N = ∆tt n y t es el tiempo de simulación. dxn = f (xn ) xn+1 = xn + dxn ∆t Ejemplo: Resolver ẋ = x con x(0) = 1 y ∆t = 0.5. Modelling and Simulation of Control Systems Lecture 4: Simulación Simulación. Conceptos básicos Software de simulación Prácticas de simulación Métodos numéricos de integración Métodos de paso fijo Métodos de paso variable Principales problemas Métodos numéricos de integración El resultado obtenido és: Resultado: t 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 xn 1 1.5 2.75 4.125 6.1875 9.28125 13.921875 Modelling and Simulation of Control Systems dxn 1 1.5 2.75 4.125 6.1875 9.28125 13.921875 Lecture 4: Simulación Simulación. Conceptos básicos Software de simulación Prácticas de simulación Métodos numéricos de integración Métodos de paso fijo Métodos de paso variable Principales problemas Métodos numéricos de integración Si escogemos un paso de integración menor, h = 0.125, y si obtenemos la solución analı́tica (x = et ), Resultado: t 0 0.125 0.25 0.375 0.5 0.625 0.750 xn , h = 0.5 1 1.5 - xn , h = 0.125 1 1.25 1.26562 1.42382 1.60180 1.80203 2.02728 x = et 1 1.23148 1.28402 1.45499 1.64872 1.86824 2.11700 La solución obtenida tiene un error, y este error también és funcion del paso de integración. Modelling and Simulation of Control Systems Lecture 4: Simulación Simulación. Conceptos básicos Software de simulación Prácticas de simulación Métodos numéricos de integración Métodos de paso fijo Métodos de paso variable Principales problemas Error Tipos de error Error de discretización: resulta de sustituir la solución exacta del problema por la aproximación. Error de redondeo, en las operaciones aritméticas. Mejora del error El error de discretización se puede disminuir con un paso de integración menor. Si bien entonces augmentan los errores de redondeo, ya que augmenta el numero de operacines. Modelling and Simulation of Control Systems Lecture 4: Simulación Simulación. Conceptos básicos Software de simulación Prácticas de simulación Métodos numéricos de integración Métodos de paso fijo Métodos de paso variable Principales problemas Métodos de paso fijo Métodos de paso fijo Método de Euler. Método de Taylor. Métodos de Runge-Kutta. Métodos de Adams-Bashforth (multipaso). Caracterı́sticas ∆tn = ∆tn+1 . Algoritmos de resolución sencilla. Modelling and Simulation of Control Systems Lecture 4: Simulación Simulación. Conceptos básicos Software de simulación Prácticas de simulación Métodos numéricos de integración Métodos de paso fijo Métodos de paso variable Principales problemas Métodos de paso variable Métodos de paso variable Métodos de Vode-Adams. Métodos de Runge-Kutta-Fehlberg. Backward Differentiation Formula (BDF). Caracterı́sticas ∆tn 6= ∆tn+1 . Algorimos de resolución compleja. Modelling and Simulation of Control Systems Lecture 4: Simulación Simulación. Conceptos básicos Software de simulación Prácticas de simulación Métodos numéricos de integración Métodos de paso fijo Métodos de paso variable Principales problemas Principales problemas Estabilidad La solución del método de integración numérica és inestable, aunque la solución del sistema és estable. Solución: reducir el paso de integración, cambiar de método de integración. Stiffness Problema: el modelo contiene dinámicas rápidas y lentas. Solución: utilizar métodos apropiados, cómo BDF o Vode-Adams. Modelling and Simulation of Control Systems Lecture 4: Simulación Simulación. Conceptos básicos Software de simulación Prácticas de simulación Métodos numéricos de integración Métodos de paso fijo Métodos de paso variable Principales problemas Principales problemas Sistemas DAE DAE: Equación diferencial algebráica, preséncia de ecuaciones implı́citas. Por ejemploCuando tenemos causalidad diferencial Solución: utilizar métodos de integración implı́cita. Modelling and Simulation of Control Systems Lecture 4: Simulación Métodos numéricos de integración Métodos de paso fijo Métodos de paso variable Principales problemas Simulación. Conceptos básicos Software de simulación Prácticas de simulación Principales problemas Discontinuidades El modelo no sólo és funcion del tiempo, si no también de eventos (ejemplo: bouncing ball). Solución: utilizar métodos de paso variable. Ball trajectory and the events 25 20 height 15 10 5 0 0 5 10 15 20 25 time Modelling and Simulation of Control Systems Lecture 4: Simulación 30 Simulación. Conceptos básicos Software de simulación Prácticas de simulación Matlab 20sim Matlab Principales caracterı́sticas Probablemente el programa más utilizado por los inegieros de control Dispone de muchas librerias, y del Simulink y el Control System Toolbox Modelling and Simulation of Control Systems Lecture 4: Simulación Simulación. Conceptos básicos Software de simulación Prácticas de simulación Matlab 20sim 20sim Principales caracterı́sticas Permite la representación de Bond Graph. Dispone de 10 algoritmos de resolucion numérica. Programa relativamente nuevo, y sencillo, de fácil uso. Modelling and Simulation of Control Systems Lecture 4: Simulación Simulación. Conceptos básicos Software de simulación Prácticas de simulación Prácticas de simulación P1 Rutinas de integración de Matlab P2 Edificio con control activo de terremotos P3 Propagación de la causalidad P4 Modelado, simulación y control de un sistema de levitación magnética Modelling and Simulation of Control Systems Lecture 4: Simulación
