Tema 3: Sesión 1

SISTEMAS LINEALES
Tema 3. Análisis y caracterización de
sistemas continuos empleando la
transformada de Laplace
21 de octubre de 2010
F. JAVIER ACEVEDO
[email protected]
TEMA 3
Contenidos.
• Autofunciones de los sistemas LTI.
• Transformada de Laplace de una Señal. Región de
convergencia
• Diagrama polos y ceros. Propiedades de la ROC.
• Propiedades de la Transformada de Laplace.
• Transformada inversa. Descomposición en fracciones
simples.
• Caracterización de los sistemas con T. de Laplace. Función
de transferencia.
• Propiedades de los sistemas a partir de la función de
transferencia.
• Interconexión de sistemas.
• Transformada unilateral. Resolución de ecuaciones
diferenciales.
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SISTEMAS LINEALES.
AUTOFUNCIONES DE UN SISTEMA LTI
Se denomina autofunción de un sistema a una señal para la cuál, ante dicha señal
como entrada, la respuesta del sistema es la misma señal multiplicada por una
constante, denominada autovalor.
x (t)
y (t) = Kx(t)
Sistema tiempo
continuo
Para sistemas LTI de tiempo continuo las exponenciales complejas son
autofunciones del sistema:
x(t) = es0 t
s0 es un número complejo.
La salida del sistema será:
y(t) =
e
s0 t
R∞
s0 τ
e
−∞
R∞
h(t − τ )dτ =
R∞
s0 (t−τ )
e
−∞
h(τ )dτ =
−s0 τ
e
h(τ )dτ = x(t)H(s0 )
−∞
R∞
s0 t −s0 τ
e
e
h(τ )dτ =
−∞
El autovalor depende de la respuesta al impulso y del valor del número complejo.
Conclusión: Si a la entrada de un sistema LTI tenemos una exponencial compleja, a
la salida de dicho sistema tendremos la misma señal multiplicada por una constante.
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AUTOFUNCIONES DE UN SISTEMA LTI
Utilizando la idea anterior, si a la entrada de un sistema tenemos una señal que
puede ser expresada como una combinación lineal de exponenciales complejas, la
salida la podemos calcular como misma combinación lineal sabiendo que cada
exponencial compleja queda a la salida multiplicada por su autovalor.
Ejemplo:
h(t) = u(t)
x(t) = 3e(2+j)t + e(1+3j)t + e(1−j)t
La salida tendrá la forma:
y(t) = H(2 + j)3e(2+j)t + H(1 + 3j)e(1+3j)t + H(1 − j)e(1−j)t
Pudiendo calcular los autovalores mediante:
H(s0 ) =
R∞
−s0 t
e
−∞
H(2 + j) =
1
2+j
h(t)dt =
R∞
0
H(1 + 3j) =
e−s0 t dt = − s10 e−s0 t |∞
0 =
1
1+3j
H(1 − j) =
1
1−j
En general
x(t) =
n
P
k=1
ck e
sk t
→ y(t) =
n
P
H(sk )ck esk t
k=1
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1
s0
AUTOFUNCIONES DE UN SISTEMA LTI
Para sistemas LTI, si proyectamos la señal de entrada sobre un conjunto de
exponenciales complejas (transformamos la señal) la salida puede encontrarse
mediante la propiedad anterior.
Tiempo continuo:
Si utilizamos exponenciales complejas con parte real y parte imaginaria:
est s = σ + jω
Transformada de Laplace
Si utilizamos exponenciales complejas solo con parte imaginaria:
est s = jω
Transformada de Fourier
Tiempo discreto:
Si utilizamos exponenciales del tipo:
z n z = rejΩ
Transformada Z
Si utilizamos exponenciales del tipo:
Transformada Fourier
z n z = ejΩ
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TRASNFORMADA DE LAPLACE DE UNA SEÑAL
La transformada de Laplace de una señal se define como:
X(s) =
R∞
−st
x(t)e
dt
−∞
La expresión anterior es la transformada bilateral. Más adelante vermos la
transformada unilateral que es la que se utilizó en análisis de circuitos.
Para que exista la transformada anterior debe converger, esto es:
|X(s)| < ∞
No todas las señales tienen transformada de Laplace. Ej: x(t) = 1
Veamos un ejemplo de una señal que sí tiene transformada de Laplace:
x(t) = u(t)
R∞
−st
x(t)e dt =
−∞
¡ 1 −0s ¢ 1
0
1 −∞s
= s
− −se
−se
X(s) =
L{x(t)} =
R∞
0
1
s
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e−st dt = − 1s e−st |∞
0 =
REGIÓN DE CONVERGENCIA
En el ejemplo anterior nos hemos basado en:
− 1s e−s∞ = 0
¿es eso realemente cierto? Recordemos que s es una variable
del tipo: s = σ + jω
Para valores de σ < 0
ej: s = −2 + 3j tendremos
− 1s e−(−2+3j)∞ = 1s e−(−2)∞ e(+3j)∞ = ∞
∞
Por lo que no convergería. Por tanto, solo existe un conjunto de valores de la
variable s que aseguran que la transformada anterior converge. Es la Región de
Convergencia (ROC).
Por tanto, no basta con dar la función en s de la transformada, sino que también hay
que conocer su ROC.
L{u(t)} =
1
s
Re {s} > 0
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REGIÓN DE CONVERGENCIA
Ahora vamos a ver por qué, además de por razones de convergencia, es necesario
conocer la ROC.
Calcular la transformada de x(t) = −u(−t)
X(s) =
R∞
−st
x(t)e dt =
−∞
¡ 1 −s(−∞) ¢
1 0s
=
se − se
R0
1
s
1 −st 0
−st
e
dt
=
+
|−∞ =
se
−∞
0 si Re |s| < 0
L{−u(−t)} =
1
s
Re {s} < 0
Por tanto, tenemos dos señales ( u(t), −u(−t)) que tienen la misma transformada y
solo se diferencian por su ROC. Es imprescindible conocer la ROC.
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REGIÓN DE CONVERGENCIA
Otro ejemplo:
Obtener la transformada de x(t) = e−3t u(t)
X(s) =
R∞
R∞
−st
−3t −st
x(t)e dt = 0 e e dt =
−∞
³
´
1
1
1
− s+3 e−∞(s+3) − − s+3 e−0s = s+3
0 si Re |s| > −3
L{e−3t u(t)} =
1
s+3
X(s) =
−st
x(t)e
−∞
dt =
R0
−3t −st
−e
−∞
e
³
´
1
1
e0(s+3) − + s+3
e−∞(s+3) =
+ s+3
dt = −
1
s+3
0
1
e−(s+3)t dt = − s+3
e−(s+3)t |∞
0 =
Re {s} > −3
Obtener la transformada de x(t) = −e−3t u(t)
R∞
R∞
R0
1
−(s+3)t
−(s+3)t 0
e
dt
=
+
e
|−∞ =
s+3
−∞
0 si Re |s| < −3
L{−e−3t u(−t)} =
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1
s+3
Re {s} < −3
DIAGRAMA DE POLOS Y CEROS
Si quisiéramos representar la transformada de x(t) = e−3t u(t)
X(s) =
1
s+3
Re {s} > −3 Debemos tener en cuenta que s es una variable compleja
y considerar por tanto los valores de σ > 0 y de ω .
En general, para cada valor particular s0 tendremos X(s0 ) ∈ C
Por tanto, deberíamos representar el módulo y la fase de X(s) en función de los
posibles valores de s.
ρ
X(s)
|X(s)|
2
2.5
1
2
1.5
0
1
0.5
-1
0
-0.5
-2
10
-1
-1.5
10
}
{s
Im
5
5
10
0
5
-5
0
-10
-5
R e{
s}
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10
0
5
-5
0
-10
-5
DIAGRAMA DE POLOS Y CEROS
En la práctica, no se representan las señales transformadas tal como hemos visto
anteriormente, sino que se representa el plano s y se marcan:
X Polos: Ceros del denominador. Donde exista una cruz indicará que el módulo
de la señal transformada se hace infinito.
Ceros: Ceros del numerador. Donde exista un cero indicará que el módulo de la
señal transformada se hace nulo.
Ejemplo:
X(s) =
1
s+3
Re {s} > −3
jω
Im {s}
x
-3
Re {s}
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x
-3
σ
DIAGRAMA DE POLOS Y CEROS
Ejemplo:
X(s) =
(s−1)(s+2)
(s+4)(s2 +2s+2)
Re {s} > −1
jω
3
2
x
1
x
-4
-3
-2
x
Ejemplo:
1
-1
σ
3
2
-1
Re {s} < −2
X(s) = 4 s(s2(s−2)
+4s+8)
jω
3
No afecta a la hora de
dibujar el diagrama de
polos y ceros
x
2
1
x
-4
-3
-2
1
-1
2
3
-1
x
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σ
DIAGRAMA DE POLOS Y CEROS
Ejemplo: Obtener X(s) sabiendo que su diagrama de polos y ceros es el
mostrado y que es racional:
jω
x
X(s) =
3
2
1
x
-4
-3
-2
1
-1
2
3
σ
-1
x
Número de polos y ceros en el infinito: Dada una señal transformada
n
X(s) =
Π (s−si )
Si m>n tendremos m-n ceros en el infinito.
Π (s−sp )
Si n>m tendremos n-m polos en el infinito.
i=1
m
p=1
En el ejemplo anterior no tenemos información de la ROC. Vamos a ver las
propiedades de la misma para determinar qué posibles ROC tenemos.
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PROPIEDADES DE LA ROC
1. La ROC consiste en bandas paralelas al eje jω
Ejemplo: X(s) =
1
s+3
jω
Re {s} > −3
Como se ha visto, solo afecta la
parte real de s y no la parte
imaginaria.
x
-3
σ
2. Para transformadas racionales, la ROC no contiene ningún polo.
ERROR!!!
jω
La ROC es el conjunto de valores para
los cuales
|X(s)| < ∞
Si la ROC contiene un polo
estaríamos
diciendo
que
contiene un valor para el que
X(s) se hace infinito.
x
x
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σ
PROPIEDADES DE LA ROC
3. Si x(t) es de duración finita y si existe un valor de s para el cuál converge,
entonces la ROC es todo el plano s
jω
Ejemplo:
t1
X(s) =
t2
R∞
x(t)e
−∞
−st
dt =
σ
R t2
t1
x(t)e−st dt
Si converge para un valor, lo
hará para todos
4. Si x(t) es una señal derecha (tiene principio pero no fin) y la línea Re {s} = σ0 está
dentro de la ROC, todos los valores para los cuales σ1 >σ0 también están dentro de la
ROC. Esto implica que si la señal es derecha la ROC será la región del plano que se
jω
extiende hacia la derecha desde el polo más a la derecha.
x
x x
t1
σ
x
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PROPIEDADES DE LA ROC
5. Si x(t) es una señal izquierda y la línea Re {s} = σ0 está dentro de la ROC, todos
los valores para los cuales σ1 < σ0 también están dentro de la ROC. Esto implica que si
la señal es izquierda la ROC será la región del plano que se extiende hacia la
izquierda desde el polo más a la izquierda.
jω
x
t1
x
x
σ
x
6. Si x(t) es infinita y existe algún valor de s para el cuál converge, entonces la ROC
es una franja que contiene a ese valor de s.
jω
x
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x
σ
PROPIEDADES DE LA ROC
7. La ROC no puede ser discontinua. Esta propiedad se deduce de las propiedades
anteriores, ya que todas las señales están comprendidas en los anteriores casos.
ERROR!!!!
jω
x
x
x
σ
x
Obtener las posibles ROC a partir del diagrama de polos y ceros. Deducir cómo
sería la señal que se ha transformado en cada caso.
jω
x
X (s) =
3
Posibles ROC:
2
1
x
-4
-3
-2
-1
1
2
3
σ
-1
x
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PROPIEDADES DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE
1. Linealidad. Si de dos señales x1(t) y x2(t) conocemos sus transformadas (X1(s) y
Xe(s) respectivamente) y podemos expresar x3(t) como una combinación lineal de las
señales x1(t) y x2(t) la transformada X3(s) será la misma combinación utilizando X1(s) y
X2(s). La ROC será, al menos, la intersección de las ROC anteriores.
jω
Ejemplo. Calcular la transformada de Laplace de:
x(t) = 2u(t) + 4e−3t u(t)
−3t
L{e
L{u(t)} →
u(t)} →
1
s+3
1
s
Re {s} > 0
x
σ
jω
Re {s} > −3
x
σ
jω
1
s+1
X(s) = 2 1s + 4 s+3
= 6 s(s+3)
Re {s} > 0
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x
σ
PROPIEDADES DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE
2. Desplazamiento en el tiempo. Si de una señal x1(t) conocemos su transformada
X1(s), la señal desplazada en el tiempo tendrá una transformada:
x1 (t − t0 ) → X1 (s)e−st0
Ejemplo: Calcular la transformada de la señal
x(t) = u (t − 3)
Dado que conocemos la transformada de la señal u(t) →
La transformada pedida será: u(t − 3) → 1s e−3s
1
s
Hay que tener en cuenta que el diagrama de polos y ceros
coincide en ambos casos!!!
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PROPIEDADES DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE
3. Desplazamiento en el dominio de Laplace. Si de una señal x1(t) conocemos su
transformada X1(s), y esa señal se multiplica por una exponencial compleja en el
tiempo, la transformada queda desplazada:
x1 (t) → X1 (s)
es0 t x1 (t) → X1 (s − s0 )
Demostración: R ∞
s0 t −st
x (t)e
−∞ 1
e
dt =
R∞
−(s−s0 )t
x
(t)e
dt
1
−∞
La nueva ROC será: Re {s} = Re {s}old + s0
4. Escalado en el tiempo.
x1 (t) → X1 (s)
1
x1 (at) → |a|
X1 ( as )
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Re {s} = aRe {s}old
PROPIEDADES DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE
5- Convolución de dos señales en el tiempo. Sean dos señales (x1(t) y x2(t)), cuyas
transformada son conocidas (X1(s) y X2(s)), la convolución de ambas señales dará
como resultado:
x1 (t) ∗ x2 (t) → X1 (s)X2 (s)
T
La nueva ROC será al menos:
ROC = ROC1 ROC2
Ejemplo: Obtener la transformada de la convolución de las señales:
x1 (t) = e−3t u(t)X1 (s) =
x2 (t) = u(t) =
1
s
1
s+3
Re {s} > −3
L{x1 (t) ∗ x2 (t)} =
Re {s} > 0
1
s(s+3)
Re {s} > 0
Veremos un poco más adelante, que la transformada inversa de la anterior señal,
con la ROC indicada, da como resultado:
−1
L
1
{ s(s+3)
}
=
1
3
¡
¢
−3t
1−e
u(t)
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PROPIEDADES DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE
6. Derivación en el tiempo. Si de una señal x1(t) conocemos su transformada X1(s),
la derivada de x1(t) con respecto del tiempo da como resultado:
x1 (t) → X1 (s)
x01 (t) → sX1 (s)
La nueva ROC contiene la anterior.
Ejemplo: Sabiendo que
L{u(t)} =
1
s
d(u(t))
dt
= δ(t) Calcule la transformada de la función delta
L{δ(t)} = s 1s = 1 ∀ s
Re {s} > 0
7. Integración en el tiempo. Si de una señal x1(t) conocemos su transformada X1(s),
la integral de x1(t) da como resultado:
x1 (t) → X1 (s)
Rt
1
x
(τ
)dτ
→
1
s X1 (s)
−∞
La nueva ROC será:
ROC = ROC1
T
Re {s} > 0
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PROPIEDADES DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE
6. Derivación en el dominio de Laplace. Si de una señal x1(t) conocemos su
transformada X1(s), la derivada de X1(s) con respecto a s está relacionada con x1(t) da
como resultado:
x1 (t) → X1 (s)
1 (s)
tx1 (t) → − dXds
La nueva ROC es igual a la anterior.
Ejemplo:
Calcule la transformada de la función x (t) = tu(t)
L{u(t)} =
1
s
Re {s} > 0
7. Teorema del valor inicial.
8. Teorema del valor final.
L{tu(t)} =
lim sX(s) = lim x(t)
s→∞
t→0+
lim sX(s) = lim x(t)
s→0
t→∞
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d 1s
−s ds
=
1
s2
Re |s| > 0
PROPIEDADES DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE
Tabla Resumen de Propiedades:
SEÑAL
TRANSFORMADA
ROC
x( t )
X(s)
R
x1 ( t )
X1 (s)
R1
x 2 (t)
X 2 (s)
R2
ax1 ( t ) + bx 2 ( t )
aX1 ( s) + bX 2 (s)
Al menos R1 ∩ R 2
x( t − t 0 )
e − st 0 X(s)
R
e s0 t x( t )
X( s − s 0 )
Versión desplazada de R
x( at )
1 ⎛ s⎞
X⎜ ⎟
a ⎝ a⎠
ROC escalada
X1 ( s) X 2 (s)
Al menos R1 ∩ R 2
sX(s)
Al menos R
d
X( s)
ds
R
x 1 ( t )∗ x 2 ( t )
d x( t )
dt
−tx( t )
t
∫−∞
x( τ ) dτ
1
X(s)
s
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Al menos R ∩ { Re{s} > 0}
ALGUNAS TRANSFORMADAS BÁSICAS
1. Señal Escalón: (ya demostradas)
u(t) → 1s Re {s} > 0
−u(−t) → 1s Re {s} < 0
2. Delta de Dirac: (demostrada a partir de la propiedad de derivación en el tiempo)
δ(t) → 1 ∀ s
3. Multiplicación del escalón por la señal tiempo elevado a la enésima potencia.
(demostración a partir de la derivada en s)
tn−1
(n−1)! u(t)
→
tn−1
− (n−1)! u(−t)
1
sn
→
1
sn
Re {s} > 0
Re {s} < 0
4. Exponenciales en el tiempo (ya demostrada para a=3)
e−at u(t) →
1
s+a
−e−at u(−t) →
Re {s} > −a
1
s+a
Re {s} < −a
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ALGUNAS TRANSFORMADAS BÁSICAS
5. Exponencial multiplicada por el tiempo elevado a la enésima potencia.
tn−1 −at
u(t)
(n−1)! e
→
tn−1 −at
− (n−1)! e u(−t)
6. Coseno x(t) = cos (ωt) u(t)
1
sn
→
Re {s} > −a
1
sn
Re {s} < −a
¡ jω t
¢ −st
−jω0 t
0
e
e dt =
X(s) = −∞ cos (ωt) u(t)e dt = 0
+e
³
Para que |X(s)| < ∞
−1
−1
1
−(s+jω0 )t ∞
−(s−jω0 )t ∞
e
|
+
e
|
)
0
0
2 s+jω0
s−jω0
Re {s} > 0
R∞
X(s) =
1
2
³
R∞
−st
2s
(s+jω0 )(s−jω0 )
´
=
s
s2 +ω02
1
2
Re {s} > 0
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ALGUNAS TRANSFORMADAS BÁSICAS
7. Función seno. (se demuestra a partir de la propiedad de derivación en el tiempo)
sin(ω0 t)u(t) →
− sin(ω0 t)u(−t) →
ω0
2
s +ω02
ω0
2
s +ω02
Re {s} > 0
Re {s} < 0
8. Funciones senoidales multiplicadas por una exponencial decreciente. (se
demuestra mediante la propiedad de desplazamiento en s)
e−at sin(ω0 t)u(t) →
ω0
(s+a).2 +ω02
−e−at sin(ω0 t)u(−t) →
e−at cos(ω0 t)u(t) →
ω0
(s+a).2 +ω02
s+a
(s+a).2 +ω02
−e−at cos(ω0 t)u(−t) →
Re {s} > −a
Re {s} < −a
Re {s} > −a
s+a
(s+a).2 +ω02
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Re {s} < −a
TRANSFORMADA INVERSA
La transformada de Laplace tiene la propiedad, además de las que hemos visto y
teniendo en cuenta la ROC, de ser unívoca y reversible.
L{x(t)} → X(s)
L−1 X(s) → x(t)
Podemos calcular la transformada inversa mediante:
x(t) =
1
2πj
σ+j∞
R
σ−j∞
X(s)est ds ∀ Re {s} = σ ∈ ROC
Dado que la anterior integral puede resultar complicada de calcular, podemos
recurrir a las funciones que ya hemos calculado. Dado que se trata de un número
limitado de transformadas, deberemos proceder a descomponer nuestra señal
transformada en fracciones simples, de forma que podamos hacer la transformada
inversa como la suma de las transformadas inversas.
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TRANSFORMADA INVERSA
1. Descomponemos en fracciones simples. (Anexo para el cálculo de residuos)
2. Teniendo en cuenta la ROC para cada fracción simple calculamos la
transformada inversa con ayuda de las tablas.
Ejemplo 1: Calcular la transformada inversa de
X(s) =
1
(s+1)(s+2)
Re {s} > −1
Descomponemos en fracciones simples:
X(s) =
X(s) =
1
(s+1)(s+2)
1
(s+1)(s+2)
=
=
A
(s+1)
1
(s+1)
+
¢
¡ −t
−2t
u(t)
x(t) = e − e
+
B
(s+2)
−1
(s+2)
1
A = s→−1 (s + 1)X(s) = s→−1 (s+2)
=1
1
B = s→−2 (s + 2)X(s) = s→−1 (s+1)
= −1
L
−1
1
{ (s+1)
}
e−t u(t) si Re {s} > −1
−e−t u(−t) si Re {s} < −1
−2t
e
u(t) si Re {s} > −2
1
−1
L { (s+2) }
−e−t u(−t) si Re {s} < −2
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TRANSFORMADA INVERSA
Ejemplo 2: Calcular la transformada inversa de la siguiente señal.
X(s) =
s+1
(s+2)(s2 +2s+2)
− 2 < Re {s} < −1
Descomponemos en fracciones simples (no hace falta la ROC):
X(s) =
A
s+2
+
Bs+C
(s+1)2 +1
s+1
A = lim (s + 2)X(s) = lim s2 +2s+2
= −0.5
s→−2
s→−2
³
´
A
Bs+C
0+1
+ (s+1)
lim X(s) = lim s+2
2 +1
(0+2)(0+0+2) =
s→0
s→0
C=1
lim X(s) = lim
s→1
2
15
=
s→1
−0.5
3
X(s) =
+
³
B+1
5
−0.5
s+2
+
A
s+2
+
Bs+C
(s+1)2 +1
B = 0.5
´
1+1
(1+2)(12 +2+2)
0.5s+1
(s+1)2 +1
ITT Sistemas Telecomunicación
SISTEMAS LINEALES.
A
2
=
+
C
12 +1
A
2+1
+
1
4
=
B+C
(1+1)2 +1
−0.5
2
+
C
2
TRANSFORMADA INVERSA
X(s) =
L
−1
−0.5
0.5s+1
+
s+2
(s+1)2 +1
1
{ (s+2)
}
1
s+2
1
= −0.5 s+2
+0.5 (s+1)
2 +1 = −0.5 s+2 +0.5
h
s
(s+1)2 +1
e−2t u(t) si Re {s} > −2
−e−2t u(−t) si Re {s} < −2
L−1 { (s+1)s 2 +1 }
1
L−1 { (s+1)
2 +1 }
e−t cos(t)u(t) si Re {s} > −1
−e−t cos(t)u(−t) si Re {s} < −1
e−t sin(t)u(t) si Re {s} > −1
−e−t sin(t)u(−t) si Re {s} < −1
x(t) = −0.5e−2t u(t) − 0.5e−t cos(t)u(−t) − e−t sin(t)u(−t)
ITT Sistemas Telecomunicación
SISTEMAS LINEALES.
+ 2 (s+1)1 2 +1
i