APUNTES_DE_L_GICA - universidad césar vallejo

LÓGICA PROPOSICIONAL
 
PRESENTACIÓN
La Lógica considerada como la ciencia que estudia los
principios, leyes y reglas para el razonamiento correcto ha sido
la semilla que ha hecho al hombre capaz de razonar.
Desde hace muchos siglos, desde la aparición del hombre
primitivo, él ha sobresalido del resto de animales por su
capacidad de razonar, pero ¿Qué es razonar? Pues es la facultad
que se tiene para pensar, deduciendo y ordenando ideas en la
mente para llegar a una conclusión. En la vida los seres humanos
razonamos diariamente para poder resolver problemas, actuar de
manera acertada o realizar cualquier tipo de actividad.
Es por eso que la Lógica nos ayuda a cuestionar el razonamiento
con cualquier margen de error para cualquier dificultad,
problema o conflicto, no sólo en la matemática sino también en
la vida diaria.
En el siguiente documento estudiaremos de manera compleja el
concepto, reglas y todo lo referido a Lógica aplicada en la
Matemática presentando ejemplos de la vida diaria, para así
aprender a saber si actuamos mediante un razonamiento correcto.
EL AUTOR
2
ÍNDICE
1.
Presentación
--------------------------------------- 2
2.
Índice
--------------------------------------- 3
3.
Capítulo I
Lógica --------------------------------- 4
4.
capítulo II
Proposiciones Lógicas ------------------ 7
5.
Capítulo III
Conectivos u Operadores Lógicos y tipo
De Proposiciones ---------------------- 12
6.
Capítulo IV
Formalización ------------------------- 21
7.
Capítulo
Circuitos Lógicos --------------------- 32
8.
Capítulo VI
Verdad Formal
9.
Capítulo VII
Equivalencias Lógicas ----------------- 42
V
----------------------- 36
10. Capítulo VIII Inferencias Lógicas
---------------- 48
11. Ejercicios Propuestos---------------------------------62
3
CAPÍTULO I
LÓGICA
El término “lógica” viene del griego “lógike”, derivado de
“lógicos”, que se refiere al logos. Para los griegos esa palabra
tenía varias sentidos, pero principalmente se refería a la
palabra, al pensamiento o a la razón. Por ello, en un sentido
general y común de “lógica” se refiere a lo relacionado con el
pensamiento o la razón, esto nos presenta un rasgo esencial del
ser humano: la racionalidad. “el ser humano es un animal
racional, la característica que distingue a los humanos del
resto de los animales es la razón o logos. Los seres humanos
somos animales con logos.
La semilla de la lógica aparece desde el surgimiento del primer
hombre con la capacidad de razonar, pero, ¿Qué es lógica?, la
lógica es el estudio de los métodos y los principios usados para
distinguir el razonamiento correcto del incorrecto.
La razón se rige por tres principios lógicos fundamentales:
 Identidad (A es A)
 No contradicción (A no puede ser no A)
 Tercero excluido (o A o no A)
Por eso, pensar con lógica y racionalmente es pensar a base a
esos principios.
El pensamiento de los seres humanos está ligado al lenguaje, a
la palabra; las cuales son signos lingüísticos que tiene dos
elementos: el significante y el significado.
 El significante es la parte material del signo.
 El significado o concepto es la parte mental.
4
Tener
logos
significa
racionalmente
por
que
razonamientos.
que
los
seres
humanos
pensamos
utilizamos
conceptos,
juicios
y
 CONCEPTOS: representaciones mentales de los rasgos comunes
de conjuntos de objetos o de un solo ser, es la forma
mínima del pensamiento, la unidad lógica básica que
presenta al objeto. Todo concepto se manifiesta en los
términos.
 JUICIOS: representaciones mentales que relacionan los
conceptos de manera determinante, de modo que uno (sujeto)
determina a otro (predicado), es decir, es la forma del
pensamiento en la cual se establece una relación
determinante entren dos o más conceptos
 RAZONAMIENTOS O ARGUMENTOS: representaciones mentales que
relacionan conceptos y juicios (premisas) de modo que
permiten derivar otros juicios (conclusiones), es decir, es
una operación discursiva por medio de la cual se obtiene un
conocimiento
nuevo,
inferido,
partiendo
de
otros
conocimientos. Se explican mediante argumentos.
La lógica general se divide en:
 Lógica Dialéctica: Estudia el contenido de las formas del
pensamiento (lo esencial, contextual del concepto, juicio y
raciocinio), en correspondencia con la realidad objetiva
que es dinámica. Su objetivo es encontrar la veracidad o
verdad relativa – absoluta de los pensamientos.
 Lógica Formal: estudia la estructura o forma de los
conceptos, juicios y raciocinios, sus relaciones de
validez,
métodos,
reglas,
principios
y
leyes,
con
abstracción del contenido material de los pensamientos.
La lógica formal se divide en:

Lógica Proposicional: considera la proposición
como base para la determinación de la validez de los
razonamientos.

Lógica Cuantificacional: su objeto es la cantidad,
la cualidad y las relaciones de las proposiciones
categóricas.
5

Lógica de Clases: utiliza diagramas de Venn Euler
para determinar la validez de los razonamientos.

Lógica Modal: utiliza las relaciones lógicas entre
las afirmaciones de posibilidad e imposibilidad de
necesidad y contingencia.
Hoy en día la lógica formal se ha tornado Lógica Matemática cuyo
objetivo es Demostrar la VALIDEZ de los argumentos simbólicos y
formalizados.
6
CAPÍTULO II
PROPOSICIONES LÓGICAS
Sabemos que una forma de pensamiento es el juicio, pero éste
ocurre únicamente en el proceso de pensar de cada persona (plano
mental). El lenguaje a su vez traslada esta forma de pensamiento
del plano mental al real a través de una oración (conjunto de
palabras con sentido completo), existen dos clases de oraciones:
 Oraciones
Declarativas o Aseverativas: son aquellas que
afirman o niegan algo de alguien o algo: La tierra gira
alrededor del sol.
 Oraciones
Expresivas o No Aseverativas: son aquellas que
expresan emociones, opiniones, pensamientos, etc.: concédeme
este deseo por favor.
Una frase, oración o expresión es un enunciado. Ejemplo:
o
o
o
o
o
o
Piura es una ciudad del Perú.
2x-3=9
¿cuántos hermanos tienes?
Manuel es futbolista o pesista.
4+7=11
¡viva el Perú!
La proposición es un enunciado cerrado, es la expresión
lingüística del juicio, cuya propiedad fundamental es de ser
verdadero o falso, pero no ambos simultáneamente.
Los enunciados cerrados o proposiciones pueden ser afirmativas o
negativas y ellas verdaderas o falsas como:
7
PROPOSICIÓN
SOLUCIÓN
 El 2 es un número Primero
verificamos
la
afirmación:
El
verbo es significa
que
está
afirmando,
luego
verificamos si en
realidad 2 es un
número par
la
 El 5 es un número Verificamos
afirmación:
el
par
verbo es significa
que
es
una
afirmación, luego
si en realidad 5
es un número par
Verificamos que el
 El 0 no es par
verbo
está
acompañado de un
no,
entonces
deducimos que es
una
negación,
luego constatamos
que 0 no es par
Verificamos que el
 El 5 no es par
verbo
de
igual
manera
está
acompañado de un
no, entonces es
una
negación,
luego cercioramos
que 5 no es par
AFIRMACIÓN NEGACIÓN
V
X
F
V
F
par
X
X
X
Observaciones:
1) Aquellos enunciados que indican una pregunta, una orden o
una exclamación, son expresiones no proposicionales o se
les conoce también como Enunciados Indeterminados.
Ejemplos:
8
a) ¿Qué es la Geometría?
b) Prohibido fumar
c) ¡Hola que tal!
d) X es mayor que 8
e) ¡Siéntate!
f) ¡ojala me case pronto!
Los Enunciados Indeterminados son las expresiones que no afirman
ni niegan, tampoco son verdaderas o falsas.
2) Los enunciados que usan las palabras “el”, “ella” y los
símbolos x, y, z. no tienen la propiedad de ser verdadero
o falso, es decir, no son proposiciones. Sin embargo, si
una de estas palabras y símbolos se le asigna un
determinado objeto o valor, llamado constante, el
resultado es una proposición. A este tipo de enunciados
se les denomina Enunciados Abiertos.
Ejemplos:
a) Él está estudiando ingeniería
b) X + 4 > 9
Así en (a), si la variable se reemplaza por la constante
Manuel tenemos “Manuel está estudiando ingeniería”; que es
una proposición cuyo valor de verdad (V o F), depende de
que si Manuel está estudiando o no. De igual manera en (b),
si la variable X se reemplaza por un número mayor que 5 el
enunciado se convierte en una proposición verdadera, o si
el reemplazo se hace por un número menor que 5, la
proposición resulta falsa.
Los Enunciados Abiertos son las expresiones que pueden ser
afirmativas o negativas pero no verdaderas o falsas, entre ellas
tenemos por ejemplo a las ecuaciones e inecuaciones.
Pero existen expresiones que no son proposiciones:
Ejemplo:
1. Para toda acción existe una reacción.
2. La proposición lógica se caracteriza por ser ambigua
3. Otelo fue el hombre más celoso que existió
En los ejemplos:
9
 Son proposiciones lógicas: 1. por ser una oración
aseverativa (afirma o niega algo o alguien) y además ser
una ley científica y 2. por ser una oración aseverativa.
 No es proposición lógica 3. por hacer referencia a un
personaje literario.
Para poder entender mejor, presentamos algunos casos cuando las
expresiones son proposiciones:
Son proposiciones
 Enunciados aseverativos
 Leyes científicas
 Formulas matemáticas
 Formulas lógicas
 Enunciados cerrados
No son proposiciones
 Personajes
o
hechos
literarios
 Supersticiones
 Dudas,
suplicas,
deseos,
órdenes.
 Refranes, proverbios
 Enunciados abiertos
 Creencias religiosas
 Enunciados interrogativos
 Apreciaciones personales
 Personajes ficticios
 Absurdos
Cabe citar que a la veracidad o falsedad de una proposición
se le denomina Valor veritativo o Valor de Verdad.
Proposición
Valor de la Verdad
a.
p : 3+5> 2 + 3
V
b.
q : el número 450 es F
divisible por 4
b.
r : el ángulo recto
V
mide 90º
c.
s : 15 – 8 =9
F
El valor de verdad es la relación entre la realidad objetiva
y lo que se dice o piensa, el cual puede ser verdadero o
falso. Será verdadero (V) cuando lo que se piensa o dice
10
coincide con la realidad, en el caso contrario será falso
(F).
Ejemplo:
 Para toda acción existe una reacción. ( es verdadero
pues coincide con la realidad)
 La proposición lógica se caracteriza por ser ambigua
(es falso pues no corresponde a la definición de una
proposición lógica)
Las proposiciones se representan simbólicamente por letras
minúsculas tales como p, q, r, etc. (llamadas variables
proposicionales) y metalingüísticas constituidas por letras
mayúsculas desde A hasta Z. sirven para hacer operaciones,
enunciar reglas y también para enunciar esquemas moleculares.
Ejemplo:
p:
de
q:
de
la psicosis es un desorden Variable proposicional
la personalidad
la anarquía es toda falta Variable proposicional
gobierno en un estado
Variable metalingüística
A
B = ¬A
B
LEY DE EQUIVALENCIA
11
CAPÍTULO III
CONECTIVOS U OPERADORES LÓGICOS Y
TIPOS DE PROPOSICIONES
Son términos funcionales que unen o enlazan las proposiciones
simples para formar proposiciones compuestas. Los conectores
lógicos además
de enlazar o conectar proposiciones
establecen determinadas operaciones entre ellas.
Los términos “y”, “O”, “no”; “si… entonces…”y “Si y sólo si”, se
llaman Conectivos Lógicos porque sirven para UNIR dos o más
proposiciones simples o compuestas.
Existen dos clases de operadores:
 Monádicos: son los que afectan a una sola proposición
simple: negador
 Diádicos: enlazan a dos proposiciones simples: Conjuntor,
Disyuntor Inclusivo, Disyuntor Exclusivo, Implicador,
Replicador, Biimplicador, estos operadores tienen un doble
alcance, hacia la derecha y hacia la izquierda, es decir,
afectan a las dos variables.
Ejemplo:
Sean las proposiciones simples:
p: El pensamiento se expresa por medio del lenguaje.
q: El pensamiento se identifica con el lenguaje.
En el siguiente cuadro observaremos los tipos de proposiciones
compuestas que se forman al usar distintos conectores:
OPERADOR
NEGADOR
CONJUNTOR
TÉRMINO
NO
Y
SIGNIFICADO
Cambia el valor de
la verdad de una
proposición
simple.
Indica
que
se
EJEMPLO
El
pensamiento
no se expresa
por medio del
lenguaje.
El pensamiento s
12
DISYUNTOR
INCLUSIVO
(DÉBIL)
O
DISYUNTOR
EXCLUSIVO
(FUERTE)
O SÓLO
IMPLICADOR
SI… ENTONCES
REPLICADOR
…SI…
BIIMPLICADOR
SI Y SOLO SI
deben dar las dos e expresa por
proposiciones
medio
del
lenguaje y se
identifica
con
éste.
Da la posibilidad El
pensamiento
de
que
se
den se expresa por
ambas
medio
del
proposiciones a la lenguaje o se
vez.
identifica
con
éste.
Excluye
la El
pensamiento
posibilidad de que se expresa por
se
den
ambas medio
del
proposiciones a la lenguaje o solo
vez
se
identifica
con éste
Indica
en
las Si
el
proposiciones una pensamiento
se
relación de causa expresa
por
–efecto.
medio
del
lenguaje
entonces
se
identifica
con
éste.
Indica
en
las El
pensamiento
proposiciones una se expresa por
relación de causa medio
del
– efecto.
lenguaje si se
identifica
con
éste.
Indica que se da El
pensamiento
una
relación
de se expresa por
causaefecto
y medio
del
viceversa en dos lenguaje si y
proposiciones
solo
si
se
identifica
con
éste
Algunas
expresiones
que
se
usan
para
representativos de diferentes conectores son:
los
términos
13
OPERADOR
DISYUNTOR
INCLUYENTE
CONJUNTOR
TÉRMINO
REPRESENTATIVO
O
EXPRESIONES EQUIVALENTES
Y
A la vez B
A al igual que B
A al mismo tiempo que B
A pesar B
A así como B
A así también B
A aun cuando B
A aunque B
A de la misma forma B
A de la misma manera B
A del mismo modo B
A empero B
A es compatible B
A junto a B
A a menos que B
A a no ser que B
A excepto que B
A o B
A o en todo caso B
A o incluso B
A o también B
A salvo que B
A salvo que también B
A y bien, o también B
A ya bien, o incluso B
A y/o B
A menos que A, B
A o bien B
A o B(pero no ambos)
A salvo que sólo B
A salvo que únicamente B
A o solamente B
A o sólo B
A o tan sólo B
A
y
bien,
o
también
únicamente B
O A o B
O bien A o bien B
O sólo A o bien B
14
IMPLICADOR
SI … ENTONCES
A incluso B
A igualmente B
A tal como B
A también B
A tanto como B
A vemos que también B
A y B
A y también B
Conjuntamente A con B
No sólo A también B
Siempre ambos A con B
Tanto como A como B
Tanto A cuanto B
A condición de que A, B
A de ahí que B
A de manera que B
A de modo que B
A en consecuencia B
A es suficiente para B
A es condición suficiente
para B
A implica B
A luego B
A por consiguiente B
A por lo tanto B
A sólo si B
Cada vez que A, B
Cada
vez
que
A,
consiguientemente B
Como quiera que A por lo
cual B
Con la condición de A esto
trae consigo B
Con tal que A es obvio que B
Cuando A, B
Cuando A así pues B
Dado A por eso B
De A concluimos en B
De A deducimos B
De A derivamos B
De A deviene B
En cuanto A por tanto B
15
En el caso que A así pues B
En el caso que A en tal
sentido B
En virtud de que A es
evidente B
Es suficiente A para B
Es una condición suficiente
A para B
Para A es necesario B
Para A es una condición
necesaria B
Porque A, B
Puesto que A, así pues B
Se supone A para B
Si A, B
Si A entonces B
Siempre
que
A
por
consiguiente B
Siempre que A por tanto B
Toda
vez
que
A
en
consecuencia B
Ya que A entonces B
Ya que A es evidente que B
REPLICADOR
…SI…
A a condición de que B
A cada vez que B
A dado que B
A esta implicado por B
A es una condición necesaria
para B
A porque B
A puesto que B
A se concluye de B
A, si B
A, siempre que B
A supone que B
A ya que B
Es A condición necesaria
para B
Para A es suficiente B
Para A es una condición
suficiente B
16
BIIMPLICADOR SI Y SÓLO SI
NEGADOR
NO
Sólo si A, B
Tan sólo si A, B
Una
condición
suficiente
para A es B
A cada vez que y sólo si B
A cuando y sólo cuando B
A entonces y sólo cuando B
A equivale a B
A equivale lógicamente a B
A es necesaria y suficiente
para B
A es suficiente y necesario
para B
A es equipolente a B
A es equivalente a B
A implica y está implicando
a B
A por lo cual y según lo
cual B
A se define como B
A se define lógicamente como
B
A según lo cual y según lo
cual B
A se de la forma B
A siempre y cuando B
A siempre que y sólo cuando
B
A si y sólo si B
Es negable A
Es no cierto que A
Es objetable que A
Es refutables que A
Es totalmente falso que A
Imposible que sea A
Jamás se cumple que A
Jamás se da que A
Jamás se verifica que A
No acaece que A
No es cierto que A
No es concebible que A
No acaece que A
17
No es cierto que A
No es concebible que A
No es el caso que A
No es verdad que A
Carece de todo sentido que A
Definitivamente no se da que
A
De ninguna forma se da que A
De ninguna manera se da que
A
En absoluto se da que A
En modo alguno se da que A
Es absurdo que A
Es erróneo que A
Es falaz que A
Es falso que A
Es imposible que A
Es inaceptable que A
Es inadmisible que A
Es incierto que A
Es inconcebible que A
Es incorrecto que A
Es insostenible decir que A
Es inverosímil que A
Es mentira que A
Es imposible que A
Es mentira que A
Es imposible que A
No es veraz que A
No es verosímil que A
No ocurre que A
No se cumple que A
No se da la posibilidad de
que A
No se da que A
No tiene sentido que A
Nunca jamás A
Nunca se da que A
Para nada se da que A
Se rechaza que A
18
TIPOS DE PROPOSICIONES
Las proposiciones pueden ser de dos tipos:
 Proposiciones simples o atómicas: una proposición es simple
o atómica si en ella no existe conectivo alguno, es decir,
carecen de conectores lógicos.
p: la puerta es de madera……………………………………..(V)
q: -6 es un número natural…………………………………....(F)
r: 8+7=15…………………………………………………….. (V)
s: el cuadrado tiene 5 lados …………………………………..(F)
Las proporciones simples a su vez se clasifican en:
 Proposiciones simples predicativas: constan de sujeto
y predicado, pudiendo indicar una cualidad o una
circunstancia. Ejemplo:
o Proposiciones que expresan una cualidad:
 Bertrand Russell tuvo un gran talento para la
escritura.
 Bertrand Russell fue un crítico social.
o Proposiciones que expresan una circunstancia:
 Bertrand Russell nació en Inglaterra.
 Bertrand Russell murió a la edad de 97 años.
 Proposiciones simples relacionales: constan de dos o
más sujetos vinculados entre sí. Ejemplo:
 2 y 4 son números pares consecutivos.
 El agua y el aceite se mezclan.
En los ejemplos se observa que los sujetos se vincular y
que la expresión no puede separase, ya que las
proposiciones resultantes no tendrían sentido.
 Las proposiciones compuestas o moleculares: una proposición
es compuesta o molecular si en su conformación existe al
menos un conectivo lógico, se clasifican en:
 Proposiciones
Negativas:
la
negación
de
una
proposición p se escribe “¬p” y se lee “no p”.
o Bertrand Russell no tuvo un gran talento para la
escritura.
o No es cierto que Miguel es estudioso.
o No es verdad que Bertrand murió a ladead de 97 años.
 Proposiciones Conjuntivas: dados dos proposiciones p,
q se le simboliza “p^q” y se lee “p y q”.
19
o 2 y 4 son números enteros
o Cuatro es menor que siete y diez es mayor que seis.
o Bertrand Russell fue miembro de la Cámara de los
Lores pero fue un luchador social.
 Disyuntivas Débiles o disyunción inclusiva: consiste
en, dados dos proposiciones p; q, construir una
tercera que se escribe “p \/ q” y se lee “p ó q”.
o Bertrand Russell fue miembro de la Cámara de los
Lores o fue un luchador social.
o 5 + 6 = 11 \/ 16 – 4 = 12
o 4 es número par o incluso entero.
 Disyuntivas
Fuertes:
consiste
en,
dados
dos
proposiciones p; q, construir una ternera que se
escribe “p \/ q” y se lee “ó p ó q”.
o O Bertrand Russell fue miembro de la cámara de los
Lores o fue un luchador social.
o O cuatro es menor que siete y diez es mayor que
seis.
o 4 es número par o incluso entero.
 Implicativa o Condicional: dadas las proposiciones p,
q, la implicación es una proposicion compuesta se
escribe “p => q” y se lee “si p, entones q”.
o Si Bertrand Russell tuvo gran talento para la
escritura entonces ganó un premio Nóbel.
o 4 es número par luego es número entero.
o 4 es número par también entero.
 Replicativas: dadas las proposiciones p, q, la
replicación es una proposición compuesta que se
escribe “p <= q”, y se lee “p si q”.
o Bertrand Russell ganó un premio Nobel si tuvo gran
talento para la escrita.
o 4 es número par si es número entero.
 Biimplicativas o Equivalentes: una equivalencia de las
proposiciones p y q que se escribe “pq” y se lee: “p
si, sólo si q” es; por definición, la conjunción de
una implicación y su reciproca.
o 4 es número par si y sólo si es entero.
20
CAPITULO IV
FORMALIZACIÓN
La Formalización Lógica es el proceso por el cual se expresan
claramente todos los elementos que dan corrección puramente
formal a los razonamientos, de forma que el contenido
semántico de los términos empleados no infiera en la validez
de dicho razonamiento.
La Formalización de proposiciones permite la formación de
esquemas lógicos, los cuales pueden agruparse por la
combinación de dos clases de símbolos lógicos: variables y
constantes (operadores).
a) Variables:
i. Proposicionales: p, q, r, etc.
ii. Predicativas: F, F, H, etc.
iii. Individuales: a, b, c, etc.
iv. Indeterminadas: x, y, z, etc.
En
lógica
matemática
solo
se
utilizan
las
variables
proposicionales, que son símbolos que reciben varios valores o
interpretaciones, representan proposiciones simples y se emplean
las letras minúsculas de la segunda parte del alfabeto.
b) Constantes:
i. Proposicionales:
1. La Conjunción “y”, su símbolo es: “^”
2. La Disyunción “o”
a. Débil o incluyente, su símbolo es: “v”
b. Fuerte i excluyente, su símbolo es “v”
3. El condicional “si… entonces…”, su símbolo es
“=>”
4. El Bicondicional “…si y sólo si…”, su símbolo es
“”
5. La Negación “ no”, su símbolo es “¬”
ii. No Proposicionales:
1. Universal “todos”, su símbolo es: “x”
2. Existencial “algunos”; su símbolo es: “x”
En lógica matemática se utilizan los conectores, operadores o
constantes lógicas, que son símbolos que tienen un valor o
21
significado único, representan las diferentes relaciones que
existe entre las proposiciones y tienen un significado
invariable, permanente en las proposiciones compuestas y su
reemplazo equivocado alteraría automáticamente el sentido de las
mismas.
CONECTOR
LÓGICO
NEGACIÓN
CONJUNCIÓN
DISYUNCIÓN
INCLUSIVA
(DÉBIL)
DISYUNCIÓN
EXCLUSIVA
(FUERTE)
IMPLICADOR
REPLICADOR
BIIMPLICADOR
OPERADOR
ESQUEMA
SE LEE
,,
,,,,
,,
p
p  q
p q
No p
p y q
p o q
,,,,
, 
p  q
O p o q
,,
pq
,,
,,,,†
pq
pq
Si p entonces
q
p si q
Los
siguientes
operadores
equivalencias lógicas:
se
CONECTOR
OPERADOR
LÓGICO
Daga
de

Sheffer
Barra de Nicod

ESQUEMA
p si y sólo si q
usan
especialmente
SE LEE
p  q
Ni p y ni q

No p o no q
p
para
q
Pasos para formalizar:
1º Identificar las proposiciones simples asignándoles una
variable proposicional: p, q, r, etc. en orden alfabético
teniendo en cuenta que a las proposiciones con el mismo
significado deberá corresponderle la misma variable
proposicional. Ejemplo:
22
1. watson y skinner fueron psicólogos.
Proposiciones simples:
p: watson fue psicólogo.
q: Skinner fue psicólogo.
2. Leonardo estudia la carrera de Derecho y se
especializará en Derecho penal de ahí que terminará en
6 años si esta carrera la estudia.
Proposiciones simples:
p: Leonardo estudia la carrera de derecho.
q: Leonardo se especializará en derecho penal.
r: Leonardo terminará la carrera de derecho en 6 años.
2º
identificar las palabras conectores en las proposiciones
compuestas sustituyéndolas por los operadores lógicos.
De los ejemplos anteriores:
1.
Watson y Skinner fueron psicólogos.
Conector
símbolo
2.
3º
y

Leonardo estudia la carrera de derecho y se
especializará en derecho penal de ahí que terminara
en 6 años si esta carrera la estudia.
Conector y
De
ahí si
que
Símbolo



Formalizar
escribiendo
las
variables
proposicionales de izquierda a derecha.
de los ejemplos anteriores:
1. Watson y Skinner fueron psicólogos.
Formalización
2.
y
operadores
p  q
Leonardo estudia la carrera de derecho y se
especializará en derecho penal de ahí que terminara
en 6 años si esta carrera la estudia
formalización (p  q)  (r  p)
23
Formalización de proposiciones simples:
a. El lápiz es de caucho.
Formalización: p
b. Ana Lucía y Daniela son parientes
Formalización: p
c. El periódico se creó en Inglaterra
Formalización: p
d. 13 y 17 son números primos entre sí.
Formalización: p
en
el
siglo
XVIII.
Formalización de proposiciones compuestas
1. negadores: “no A” A
Las construcciones usadas habitualmente son: “no A”, “ni A”,
etc.
El uso de negadores varía si éste es externo o interno.
Negadores
internos(NI)
Ni
No
Nunca
Jamás
Tampoco
NEGADORES EXTERNOS(NE)
Es
Es
Es
Es
No
falso que
mentira que
falaz que
objetable que
es verdad que
Los NO afectan siempre a una proposición simple, en tanto que
so NI afectan a proposiciones compuestas colocándola delante
del signo de agrupación que la encierra y dependiendo del
caso se pueden convertir en NO.
Existen diferentes casos que existen para formalizar
proposiciones cuando se usa el NI y/o NO.
Caso 01: cuando un NI y NO afecta a una sola proposición
respectivamente.
Ejemplo:
El lápiz no es de caucho =
es mentira que el lápiz está
hecho de caucho.
p: el lápiz es de caucho.
Formalización:  p
24
Para
los
siguientes
casos
sobre
uso
de
negadores,
consideramos que las variables proposicionales p y q son:
p: Luis Alberto es egresado de la escuela de ingeniería de
sistemas.
q: Carlos es egresado de la escuela de Ing. Industrial.
Caso 02: cuando las proposiciones simples que forman parte de
una proposición compuesta tienen la misma clase de negadores.
Ejemplos:
1. no p y no q
se formaliza p  q
2. es mentira que p y es falso que q se formaliza: p q
Caso 03: cuando un NO y NI afectan a cada proposición
conformante
respectivamente
dentro
de
una
proposición
compuesta y viceversa, utilizando o no paréntesis.
Ejemplo:
1. no p y es falaz que q se formaliza: p  q
2. es falaz que p y no q
se formaliza: (p  q)
Caso 04: cuando un NO se ubica al inicio de una proposición
compuesta usando o no coma requiere del uso del paréntesis.
Ejemplo:
1. es falso que p y q
se formaliza: p  q
2. es falso que, p y q
se formaliza: ( p  q)
Caso 05: de acuerdo a la estructura de una proposición compuesta
5.1. De acuerdo a la estructura de la disyunción:
O… o…
Ejemplos:
1. o es falso que p o no q
se formaliza:p   q
2. es falso que o p o no q
se formaliza:( p 
q)
5.2. de acuerdo a la estructura de la implicación: Si … entonces
…
Ejemplos:
1. si es falso que p entonces no q se formaliza:p  q
2. es falso que si p entonces no q se formaliza:( p  q)
Caso 06: cuando en una proporción compuesta aparece el uso de
negadores afirmadores de la misma clase a la vez.
Ejemplos:
1. es mentira que p y es verdad que q. se formaliza:p  q
2. es verdad que p y es mentira que q. se formaliza: p  q
3. es mentira que, p y es verdad que q. se formaliza:(p q)
4. p y no q.
se formaliza: p  q
25
Caso 07: negación de antonimia absoluta (*)
ejemplos
1. Alejandro llena la piscina Olímpica así como la vacía
Proposición simple: p: Alejandro llena la piscina Olímpica
Formalización p q
*caliente frió, ir- venir, inflar- desinflar, llenar
vaciar, etc.
–
Caso 08: negación por prefijos (**): a, anti, contra, dis, des,
extra, im, in, ir
Ejemplos:
1. José
francisco
Crousillat
radico
ilegalmente
en
argentina.
Proposición simple:
p: José francisco Crousillat radico ilegalmente en argentina
Formalización: p
**atípico,
agramatical,
antideportivo,
contracultura,
discontinuo, ilegal, etc.
2. conjunción: “ A y B” AB
Solo tendrá sentido cuando conecte a dos proposiciones
simples o compuestas. La conjunción indica que ambas
proposiciones se cumplen a la vez. Las construcciones usadas
habitualmente son: “A así como B”, “A del mismo modo que B”,
“A pero B”, etc.
Ejemplos:
1. Albert Pinten nació en 1879 así como murió en 1955
Formalización: p q
2. la materia se crea y a la vez se destruye
Formalización: pq
3. Marisela estudia en la universidad Cesar Vallejo de
Chiclayo pero vive en Pomalca.
Formalización: pq
4. Manuel estudia medicina y psicología. Amáis estudia
ciencias de la comunicación e idiomas.
Formalización: (pq)(rs)
3.
disyunción débil o incluyente: “A o B”
AB
26
Sólo tendrá sentido cuando conecte dos proposiciones simples
o compuestas. La disyunción incluyente da la posibilidad que
ambas proposiciones puedan cumplirse a la vez.
Las construcciones usadas habitualmente son “A salvo que B”,
“A excepto que B”, “A o también B”, etc.
Ejemplos:
1. Chan Chan es considerada la ciudad prehispánica de barro
más grande del mundo o es patrimonio del Perú
Formalización: pq
2. el reloj es un instrumento de tiempo a menos que de lujo.
Formalización: pq
3. Manuel saca la basura o de lo contrario tiende su cama.
Formalización
pq
4. Pitágoras estudio geometría y astronomía.
Pitágoras estudio idiomas a menos que natación.
Formalización:
(pq)(rs)
Salvo
que
4. disyunción fuerte o excluyente: “O A o B”  A  B
Sólo tendrá sentido cuando conecte dos proposici9ones simples
o compuestas.
La disyunción excluyente descarta la posibilidad de que ambas
proposiciones puedan cumplirse a la ve.
Las construcciones usadas habitualmente son: “O A o B”, “o
bien A o bien B”, “ya que A salvo que B”, etc.
Presenta tres casos:
 por su estructura: “OA o B”
ejemplos:
1. o Roxana asiste a la fiesta de ingresantes
universidad o a la ceremonia de bienvenida.
Formalización:
p  q
2. o duermo o estudio lógica
Formalización:
p  q
a
la
 por su contenido: A o B (Se analiza l contenido de
exclusión de las proposiciones)
27
Ejemplos:
1. cesar vallejo nació en santiago de Chuco o en
Lambayeque.
Formalización:
p  q
2. el perro de Adriano es macho a menos que sea hembra.+ç
Formalización:
p  q
 por el termino que modifica al conector: A o + TM B
Estos términos modificadores (TM) podrían ser: solo,
solamente, únicamente, exclusivamente, necesariamente,
etc.
Ejemplos:
1. el lenguaje tiene significación o solo sentido.
Formalización:
p  q
2. resuelves
la
ecuación
de
segundo
grado
factorización o únicamente completando cuadrados.
Formalización:
p  q
por
5. implicador: “si A entonces B”  A B
Determina que una expresión es condicion suficiente para que
dé otra. Las expresiones “Si A entonces B”, “si A, B”, “A
solo si B”, “Cuando A entonces B”, etc.
Ejemplos:
1. cuando los zapatos son nuevos, me hieren los pies.
Formalización:
p q
Observemos:
Que los zapatos sean nudos, es suficiente para que me hieran
los pies.
6. replicador: “A si B”  A B
Determina que una expresión es una condición necesaria para
que se dé otra. Las expresiones usadas habitualmente son “A
si B”, “A dado que B”, “para A es una condición suficiente
B”, etc.
Ejemplos:
1. es necesario que llueva para que haya buenas cosechas.
Formalización:
pq
7. Biimplicador: “A si y solo si B” AB
Determina que una expresión es una condición suficiente y
necesaria para que se dé la otra. Las construcciones usadas
28
habitualmente son: “A cuando y solo cuando B”, “A cada vez
que y solo si B”, “A es necesario y suficiente para B”.
Ejemplos:
1. 4 X 4 = 16 si y sólo si 16  4 = 4
Símbolos auxiliares
Signos de puntuación:
Pueden ser conectores en algunos casos dependiendo del
sentido de la expresión en le lenguaje natural. Ejemplos:
1. la matemática es una ciencia formal. La lógica estudia la
validez del razonamiento.
Proposiciones simples:
p: la matemática es una ciencia formal.
q: la lógica estudia la validez del razonamiento.
Conector Formalización

p  q
2. si la matemática es una ciencia formal, la lógica estudia
la validez del razonamiento.
Proposiciones simples:
p: la matemática es una ciencia formal.
q: la lógica estudia la validez del razonamiento.
Conector
Formalización
Si …, …  
p  q
. Aquí la coma no es ningún conector
3. la matemática es una ciencia formal, y la lógica estudia la
validez del razonamiento.
Proposiciones simples:
p: la matemática es una ciencia formal
q: la lógica estudia la validez del razonamiento...
Conector
Y  
Formalización
p q
4. la asertividad, empatía y proactividad son capacidades.
Proposiciones simples:
p: la asertividad es una capacidad.
q: la empatía es una capacidad.
r: la pro actividad es una capacidad.
Conectores
Formalización
29
,  
Y  
p q r
5. la observación, hipótesis o la experimentación son etapas
del método científico.
Proposiciones simples:
p: la observación es un paso del método científico.
q: la hipótesis es un paso del método científico.
r: la experimentación es un paso del método científico.
Conectores
Formalización
, 
p q r
o
SIGNOS DE AGRUPACIÓN PROPOSICIONAL:
 Paréntesis “( )”, corchetes “[ ]” o llaves “{ }”,
pueden ayudar a delimitar donde comienza una parte del
esquema o formula y donde acaba para empezar la
siguiente.
 De un punto a otro siempre hay una proporción: simple
o compuesta; lo cual indica que debemos usar un signo
de agrupación para encerar dicha información.
 El punto seguido mayormente si es que no hay un
termino conector adjunto, es un conjuntor “”
 Según la estructura de la proposicion compuesta
podemos usar signos de agrupación.
Ejemplo:
1. o 3√-27 Q o 1. Términos que si √4 =2, 22 = 4
Proposiciones simples:
p: 3√-27 Q
q: 3√-27 1
r: Tenemos que √4 =2
s: 22 = 4
Conectores
O…o …
 
Formalizació
n
(pq)(rs)
.  
Si … , …  
Jerarquía de conectores lógicos:
30
Se usa (de menor a mayor jerarquía) para casos especiales en los
cuales no queda explicito la formalización, haciendo uso de
signos de agrupación:
Jerarquía
1º
2º
3º
4º
5º
6º
Conector lógico
Negador
Biimplicador
Disyunción exclusiva
Impliclador – Replicador
Disyunción inclusiva
conjunción
Simbólico



,


La jerarquía del negador () dependerá si este es interno o
externo.
Ejemplo:
No es verdad que Sergio es egresado de la escuela de música si
no sabe tocar violín y no compone melodías.
Proposiciones simples:
p: Sergio es egresado de la escuela de música
q: Sergio sabe tocar el violín
r: Sergio compone melodías
observamos que: no es verdad que p si no q y no r.
se formaliza: ¬[p(q¬r)]
Los conectores lógicos recién el nombre de operadores cuando se
utilizan en operadores lógicos. Los operadores lógicos se
revisarán en VERDA FORMAL.
La formalización y utilización de tablas de verdad nos permites
conocer cuando una inferencia está bien planteada, o bien
diseñada, y a la vez, conocer las circunstancias lógicas que
harán verdadera o falsa la proposición.
31
CAPÍTULO V
CIRCUITOS LÓGICOS
Un circuito lógico es un conjunto de símbolos y operaciones que
satisfacen las reglas de la lógica, simulando el comportamiento
real de un circuito eléctrico.
d. Circuitos en serie: dos interruptores se encuentran
conectados en serie, cuando lo están uno tras otro (en una
misma línea).
Sean los interruptores o llaves de luz p y q; su conexión en
serie estará dado por:
p
q
En este circuito pasara corriente sólo en el caso en que p y q
se encuentran cerrados, en cualquier otro caso no hay paso de
corriente. De aquí tenemos el comportamiento de la conjunción de
las proposiciones p y q. por tanto:
a. p q representa un circuito cerrado en serie, que deja
pasar corriente si los interruptores o llaves de luz
están cerrados a la vez. Diremos que solo en este estado
p q es verdadero.
p
q
p q
b. ¬p ¬q: representa un circuito abierto en serie que no
deja pasar corriente. Diremos entonces que en este
estado ¬p ¬q es falsa.
p
q
¬p ¬q
Representación de un interruptor mediante una proposicion p.
Interruptor cerrado:
32
p
. el interruptor o llave de luz esta cerrado (pasa corriente),
si la posición “p” es verdadera.
Interruptor abierto:
q
. El interruptor o llave de luz está abierto
corriente), si la proposiciones “q” es falsa.
(no
pasa
Conjunción:
p
V
V
F
F
q
V
F
V
F
p q
V
F
F
F
Circuitos en serie:
--p–q-Se enciende la lámpara
p q
-- p–/q-- No
se
enciende
la
p ¬q
lámpara
--/p–q-No
se
enciende
la
¬p q
lámpara
--/p–/q-- No
se
enciende
la
¬p ¬q
lámpara
Como se muestra en el cuadro, el circuito estará cerrado o
pasará corriente soplo cuando los interruptores estén cerrados y
e circuito esta abierto si uno de los interruptores esta
abierto.
e. Circuitos en paralelo:
Dos interruptores p y q se encuentran conectados en paralelo,
cuando tengan una disposición, como se muestra en la figura:
P
q
33
Se observa en el circuito que hay paso de corriente cuando
uno de los interruptores o ambos están cerrados:
No hay paso de corriente cuando los dos interruptores están
abiertos.
Tenemos
entonces,
el
comportamiento
de
la
disyunción de las posiciones p y q. la falsedad de p v q, es
decir, el hecho de que no pase corriente, sólo se verifica en
el caso de la falsedad simultánea de p v q. Por tanto:
a. p v q representa un circuito cerrado en paralelo que
deja pasar corriente si por lo menos uno de los
interruptores eléctricos está cerrado. Diremos que sólo
en este estado p v q es verdadero.
p v q
b. ¬p v ¬q: representa un circuito abierto en paralelo que
deja pasar corriente, por lo que es este estado ¬p v ¬q
es falso.
¬p v ¬q
Estas representaciones nos permite diseñas o simbolizar redes
de circuitos eléctricos conectados en serie y en paralelo, o
tambien simplificar circuitos muy complicados haciendo uso de
las ya conocidas equivalencias notables.
Disyunción:
p
q
V
V
F
F
V
F
V
F
p
q
V
V
V
F
v
34
Circuitos en paralelo:
p v q
p
Se enciende la
lámpara
p
se enciende la
lámpara
/p
se enciende la
lámpara
/p
No se enciende
/q la lámpara
q
p v ¬q
/q
¬p v q
q
¬p v ¬q
Como se muestra en e cuando el circuito estará cerrado cuando
uno o ambos interruptores estén cerrados y el circuito estará
abierto cuando los dos interruptores estén abiertos.
V
35
CAPITULO VI
VERDAD FORMAL
En este capitulo determinaremos la verdad o falsedad de una
argumento a partir de su respectivo esquema molecular,
dependiendo de los valores de verdad que independientemente
tomen dada una de las proposiciones que lo conforman.
A la variable que representa una proposición verdadera (V)
tambien podemos darle el valor uno (1) y la variable que
representa una proposicion falsa (F) le podemos llamar (0).
ESQUEMA MOLECULAR:
Son
fórmulas
proposicionales
compuestas
de
variables,
operadores lógicos y signos de agrupación (en algunos casos)
que se pueden clasificar por su operación principal o por su
matriz principal.
 Esquemas moleculares por su operador principal
Se dan dos casos:
a. En
esquemas
sin
signos
de
agrupación,
su
clasificación l determina el operador de mayor
jerarquía.
Jerarquía de operadores lógicos:
Jerarquía 1º
operador 
2º
Δ
3º
,
4º

5º

6º

Ejemplo:
p  q  r  ¬s  t
replicativo
,
es
un
esquema
molecular
b. En esquemas con signos de agrupación, su nombre lo
determina el operador principal que une los bloques.
Ejemplo:
[(pq) v r] ^ (s Δ t) , es un esquema molecular
36
conjuntivo
 Esquemas moleculares por su matriz principal
Según los resultados que se obtengan en la matriz principal
en la tabla de verdad, los esquemas moleculares se
clasifican en:
ESQUEMAS TAUTOLOGICOS: se caracterizan porque en su matriz
principal los valores que lo forman son sólo verdaderos, o
tiene el valor de uno.
p
V
V
F
F
q
V
F
V
F
(p q) 
V
V
F
V
V
V
V
V
¬p V q
F
V
V
F
F
F
V
V
V
V
V
F
Matriz principal
Las tautológicas, son intencionalmente verdaderas para todo
mundo posible, son compatibles con cualquier situación
posible.
 Esquemas contingentes: se caracteriza porque en su matriz
principal los valores que lo conforman son verdaderos y
falsos, es decir son unos y ceros
p
V
V
F
F
q
V
F
V
F
(p & q) 
V
V
F
V
F
F
F
F
¬p
F
F
V
V
V
q
V
V
F
F
V
V
V
F
Matriz principal
Los valores verdaderos y falsos pueden estar ubicados de
diferente manera, del mismo modo pueden haber a lo mas un
valor verdadero dentro de muchos falso y viceversa.
En las contingencias, su verdad (y su falsedad) es posible
sólo en alguno de los casos; la fórmula lógica establece la
posibilidad de que el enunciado sea verdadero, no que
realmente lo sea.
37
 Esquemas contradictorios: se caracterizan porque en su
matriz principal sólo existen valores falsos es decir
todos los valores son ceros.
p q (p & ¬q) 
p  q
1 1 1
0 0
0
1
1 0 1
1 1
0
0
0 1 0
0 0
0
1
0 0 0
0 1
0
1
Matriz principal
TABLAS DE VERDAD:
Es un conjunto ordenado de valores de verdad de proposiciones
compuestas (argumentos) que resultan de la aplicación de reglas
de operación sobre los valores de verdad de las proposiciones
simples que las componen:
Una tabla de verdad tiene elementos, estos son:
Esquema
Arreglos
p
V
V
F
F
q
V
F
V
F
(p q) 
V
V
F
V
V
V
V
V
¬p
F
F
V
V
V
V
F
V
V
q
V
F
V
F
Variables
molecular
Matriz principal
Pasos para determinar la matriz principal de un esquema
molecular:
1. Se formaliza la proposicion compuesta o argumento,
obteniéndose el esquema molecular.
2. Se determina el número de variables distintas. (n) que
tiene el esquema molecular.
3. Se determina el número de arreglos por columna, haciendo
uso de la fórmula:
Nº de arreglos por columna= 2n
Donde n es el número de variables distintas que tiene el
esquema molecular.
38
Ejemplo: si el esquema molecular tiene 2
distintas.
Nº de arreglos por columna= 22, que es igual a 4
variables
Estos 4 arreglos deben ser distribuidos para cada variable,
de tal manera que lleguemos a un valor intercambiado. Como se
muestra a continuación:
Valores para p
valores para q
1
1
0
0
1
0
1
0
4. Se evalúa el esquema molecular haciendo uso de las reglas
de operadores lógicos
Reglas de Operadores Lógicos:
p
V
V
F
F
q
V
F
V
F
p^q
V
F
F
F
pvq
V
V
V
F
pΔq
F
V
V
F
pq
V
F
V
V
pq
V
V
F
V
pq
V
F
F
V
pq
F
V
V
V
pq
F
F
F
V
Ejemplo: Recordemos el argumento propuesto inicialmente:
“si el todo no es mayor que cualquiera de sus partes, el
conjunto de los números enteros esta incluido en el conjunto de
los números naturales; por lo tanto el conjunto de los números
enteros no esta incluido en el conjunto de los números naturales
o tan solo el todo es mayor que cualquiera de sus partes
39
Formalización:
(p q)
(q p)………… esquema molecular
Nº de variables distintas: 2
Nº de arreglos:
2 = 4
Usando las reglas de operadores lógicos
p
1
1
0
0
q
1
0
1
0
(¬p
0
0
1
1

1
1
1
0
q)
1
0
1
0

1
0
0
1
(¬q
0
1
0
1
Δ
1
0
0
1
p)
1
1
0
0
Como la matriz principal tiene valores verdaderos y falsos,
entonces el esquema molecular es contingente.
Ahora contestamos las preguntas iniciales:
¿Cómo podríamos saber si lo que se esta diciendo en el argumento
anterior tiene un valor de verdad verdadero o un valor de verdad
falso?
Respuesta: determinando su valor de verdad
Determinar el valor de verdad del argumento consiste en conocer
si lo que se dice es verdadero o falso. Para esto se debe tener
en cuenta el valor de la verdad de las proposiciones simples que
lo componen y las reglas de operadores lógicos.
Ejemplo: para el argumento propuesto inicialmente:
PROPOSICIONES
El todo es mayor que cualquiera
de sus partes.
El conjunto de los números
naturales incluye al conjunto
de los números enteros
VARIABLE
p
VALORE DE LA VERDAD
V=1
q
F=0
40
Determinado el valor de la
(¬p  q) 
(1  0)
(0  0) 
1

0
verdad:
(q Δ p)
(0 Δ 1)
(1 Δ 1)
0
El resultado nos indica que lo que se esta diciendo es falso.
¿Cómo podríamos hacer para determinar todos los posibles valores
de verdad que tendría el argumento?
Respuesta: evaluando el esquema molecular.
Evaluar el esquema molecular consiste en determinar su matriz
principal. Es decir, determinar todos los posibles valores de
verdad del esquema que dependen del valor de verdad de las
proposiciones simples que lo componen.
Para el ejemplo:
p
1
1
0
0
q
1
0
1
0
(¬p
0
0
1
1

1
1
1
0
q)
1
0
1
0

1
0
0
1
(¬q
0
1
0
1
Δ
1
0
0
1
p)
1
1
0
0
Esto nos indica que:
- el valor de verdad del argumento será verdadero cuando lo
valores de p y q sean iguales (ambos verdaderos o ambos
falsos).
- El valor de verdad del argumento será falso cuando los
valores de verdad de p y q sean diferentes (p: 1; q:0
o
p:0 ; q:1).
41
CAPITULO VII
EQUIVALENCIAS LOGICAS
La riqueza del idioma español queda explicita en las sucesivas
incorporaciones de términos al cúmulo ya existente de la Real
Academia Española. Asimismo, nuestra comunicación diaria, oral o
escrita, incorpora permanentemente una variedad de términos y/o
expresiones lingüísticas que se avocan, mucos de ellos, a
explicar un mismo suceso y/o actividad.
Proposiciones Equivalentes
Decir:
“Es falso que el Neoliberalismo y el Keynesianismo son
corrientes Ideológicas”,
¿Tendrá el significado equivalente a
“El Neoliberalismo no es una corriente ideológica salvo que el
Keynesianismo tampoco lo sea”?
Es claro
diferentes
visualizar
de verdad.
que, aunque ambas expresiones son aparentemente
guarden entre si una relación
y esta se puede
si analizamos formalmente haciendo uso de las tablas
Veamos:
p q
¬ (pq)
p  ¬q
p
q
(p
1
1
0
0
0
1
1
1
0
0
1
1
1
1
0
0
1
0
1
0
0
1
1
1
1
0
1
0
1
0
0
0
0
1
1
1
0
1
0
1
q) 
1
1
1
1
¬p  ¬ q
0
1
1
1
Tautología
42
Por tanto, dos proposiciones si tienen el mismo valor de verdad
en toda situación posible, es decir, si sus matrices finales son
idénticas de tal manera que al unirlas biimplicativamente su
resultado es una Tautología.
Es común trabajar con esquemas moleculares complejos que
requieren de inmensas tablas de verdad para probar la
equivalencia o no de sus enunciados. Pero podemos encontrar una
verdad de proposiciones compuestas que guardan entre si la misma
estructura simbólica y que permiten trabajarlas de forma igual
independientemente de las proposiciones simples que en ella
intervienen. Estas estructuras repetitivas forman de “leyes de
equivalencias lógicas”.
Equivalencias Notables
Así como la ley de equivalencia que encierra el ejemplo
anterior, existen adicionalmente muchas estructuras simbólicas
que al someterlas a una tabla de verdad siempre cumplen el
requisito obligatorio de ser Tautológicas.
Es prudente dar una pauta sobre la utilización óptima de las
leyes de equivalencia:
1- Leyes que mantienen el número de proposiciones iniciales.se utilizan comúnmente para determinar equivalencias
verbales. Tenemos:
f. Doble negación
g. De morgan
h. Conmutación
i. Contraposición
j. Definición del Implicador
k. Definición del Biimplicador
l. Definición del Disyuntor Excluyente
2-
Leyes que sirven para reducir fórmulas o esquemas
complejos.son
importantes
especialmente
para
el
tratamiento de circuitos lógicos. Tenemos:
m. Asociación
n. Distribución
43
o. Absorción
p. Identidad, Complemento e Idempotencia.
A continuación
aplicación:
Nombre
Doble negación
Leyes de Morgan
describiremos
estas
leyes
así
Representación Significado
Simbólica
Es la afirmación
misma Proposición
AA
(AB)AB
(AB)AB
Conmutación
AB  B A
A B = B A
Contraposición
AB B   A
como
su
de
la
Es la disyunción de dichas
variables negativas.
Es la conjunción de dichas
Variables negativas.
Si
se
permutan
las
variables el resultado no
se ve afectado.
Se permutan las variables y
Cada
uno
se
niega
simultáneamente
Definición
Implicador
del A  B A  B
Definición
Disyuntor
excluyente
del AΔB(AB)(AB) Es la conjunción de dos
proposiciones disyuntivas,
teniendo una de ellas sus
Variables negativas
Se niega el antecedente se
cambia el implicador por el
disyuntor incluyente y el
Consecuente permanece final
Variable
Definición
del AB(AB)(AB) Es la conjunción de un
Biimplicador
implicador y un replicador
44
Nombre
Representación
Simbólica
Asociación
A(BC)  (AB) C
A(B C)  (AB)C
Distribución
A(BC)(AB)(AC)
A(BC)(AB)(AC)
Absorción
A(AB) A
A(AB) A
A(AB)  AB
A(AB) AB
A(A B) AB
Significado
Las variables se agrupan
aprovechando
la
igualdad
de conectores
Se distribuye la variable
fuera del paréntesis con
las restantes
Se
aplica
cuando
hay
encadenamiento
de
conjunción con disyunción
débil o viceversa, donde la
primera
proposición se
repite
A V A;
A F  F;
Identidad
complemento
Idempotencia
AV  V Se evalúa una proposición a
AF  A lado de una Tautología o
una contradicción
Se evalúa una proposición
A 
A  F;
con su respectiva negación
A 
A  V
Se reducen las variables
A  A  A;
redundantes
A A  A
Aplicaciones de las leyes equivalentes
Ley
Doble negación
Proposición base
Es incorrecto que
el niño no viva
aislado del mundo
que lo rodea.
De No es el caso que
la herencia es la
transmisión
de
características
físicas
o
Su equivalencia
El niño vive aislado
mundo que lo rodea.
Leyes
de
Morgan
La
herencia
no
es
la
transmisión
de
características físicas y
tampoco
de
estructuras
nerviosas de los padres a
del
45
estructuras de los
padres a los hijos.
Conmutación
El pensamiento se
expresa por medio
del lenguaje y se
identifica
con
éste.
Contraposición Si la psicosis es
un desorden de la
personalidad
entonces
la
introspección es un
método psicológico.
Definición del Si la psicología es
Implicador
el
estudio
científico
del
comportamiento
entonces
los
psicólogos quieren
explicarlo.
Definición del O
el
lenguaje
Disyuntor
universitario
es
técnico
o
está
excluyente
influenciado por la
televisión.
Definición del
Biimplicador
Asociación
Distribución
La comunicación es
una función natural
del hombre si y
sólo si es capaz de
comunicarse
los hijos.
El
pensamiento
se
identifica con el lenguaje
además se expresa por medio
de éste.
Si la introspección no es
un método psicológico luego
la
psicosis
no
es
un
desorden
de
la
personalidad.
La psicología no es el
estudio
científico
del
comportamiento a menos que
los
psicólogos
quieran
explicarlo.
El lenguaje universitario
es técnico salvo que este
influenciado
por
la
televisión,
además
el
lenguaje universitario no
es técnico a menos que no
éste influenciado por la
televisión.
Si la comunicación es una
función natural del hombre
entonces él es capaz de
comunicarse, además si el
hombre
es
capaz
de
comunicarse
luego
la
comunicación es una función
natural del hombre.
El hombre es racional y
crítico además creativo.
El
hombre
es
racional, crítico y
creativo.
Chan Chan es ciudad Chan
Chan
es
ciudad
prehispánica a no prehispánica o patrimonio
ser
que
sea cultural, así como Chan
46
Absorción
Idempotencia
patrimonio cultural
y
potencial
arqueológico.
El aprendizaje es
un fenómeno social,
o incluso es social
así
también
individual.
El conocimiento es
universal además el
conocimiento
es
universal.
Chan es ciudad prehispánica
o potencial arqueológico.
El
aprendizaje
fenómeno social.
El
conocimiento
universal.
es
un
es
47
CAPÍTULO VIII
Inferencias Lógicas
Al inicio del estudio de este capitulo, señalamos, que la lógica
general es entendida como la ciencia que estudia tanto la
estructura como el contenido del pensamiento, a su vez, éste se
divide en tres formas: concepto, juicio y razonamiento. Es
precisamente esta última forma del pensamiento la que
desarrollaremos a continuación.
Recordemos que, razonamiento; es la operación discursiva por
medio de la cual se obtiene un conocimiento nuevo, inferido,
partiendo de otros conocimientos nuevos. De ahí que un
razonamiento
es
una
inferencia.
Existen
dos
tipos
de
razonamientos: inductivo y deductivo, con el razonamiento
inductivo observamos patrones para resolver problemas. Ahora con
el razonamiento deductivo determinamos la validez de los
argumentos lógicos.
Por lo tanto una inferencia es un conjunto de proposiciones
tales que una de ellas llamada conclusión debe ser consecuencia
de las otras llamadas premisas(suposiciones, leyes, ampliamente
aceptadas u observaciones). O lo que es lo mismo, que la
conclusión debe estar implicada por la conjunción de las
premisas.
Cuando esto ocurre hablamos de una inferencia válida:
razonamiento correcto, cuando esto no ocurre hablamos de una
inferencia no válida: razonamiento incorrecto
Forma Vertical
P1
P2
:
Pn
C
Forma Horizontal
P1 P2
……….Pn  C
Conclusión
48
Inferencias Válidas y no Válidas
Verdad y Validez; es muy importante notar que “válido” y
“verdadero” no es lo mismo.
Primero, debe aclararse que si afirmamos que una determinada
inferencia es válida, no por eso su conclusión debe ser
verdadera.
Ejemplo:
P1: todas las cosas caras son deseables
P2: todas las cosas deseables hacen que te sientas bien
P3: todas las cosas que hacen sentir bien te hacen vivir más
C : todas las cosas caras hacen que vivas más
En segundo lugar, debe quedar claro que verdad o falsedad se
aplican sólo a proposiciones, y una inferencia no es una
proposición sino una relación entre proposiciones.
Tercero, puede ocurrir que la inferencia sea no válida, y que
tanto la premisa como la conclusión sean verdaderas.
Ejemplo:
P1: Las manzanas son comestibles
P2: El sol sale por el este
C : Aristóteles fue un filósofo
Todas las proposiciones son verdaderas, pero si lo analizamos
lógicamente es obvio
Que se tiene una inferencia válida
Procedimiento para determinar la validez de una inferencia
Para determinar la validez de una argumentación, la lógica
cuenta con procedimientos de varios tipos. Estos procedimientos
pueden agruparse en dos clases: a) procedimientos algorítmicos y
b) procedimientos no algorítmicos.
49
a)
procedimientos algorítmicos, que vinculan la noción de
“validez” con
“la verdad formal” llamados algorítmicos
porque constan de un número finito y éstos son:
a.1. Método de la tabla de la verdad: cuando se trata de
determinar la validez de un razonamiento o inferencia, se
procede de la siguiente manera:
Ejemplo: comprobar a validez de la siguiente inferencia:
Si el clima es seco, entonces el enfermo se mejora. Si el
enfermo se mejora, la familia Gasta menos dinero. Luego, si el
clima es seco, la familia gasta menos dinero.
1º
se formaliza
P
q
p



q
r
r
2º se concluye su implicador asociado (formalización horizontal)
[(p q)  (q  r)] (p
r)
3º
p
1
1
1
1
0
0
0
0
Se procede a evaluar
q
1
1
0
0
1
1
0
0
r
1
0
1
0
1
0
1
0
[(p q) 
1
1
1
0
0
0
0
0
1
1
1
0
1
1
1
1
(q r)] (p 
1
1
1
0
1
0
1
1
1
1
1
0
1
1
1
0
1
1
1
1
1
1
1
1
r)
El argumento es tautológico, luego la inferencia es válida,
lo mismo, es un razonamiento correcto.
o
50
a.2. Método abreviado de la tabla de verdad; cuando el número de
variables pasa de tres, el proceso se forma engorroso con el
método de la tabla de la verdad. Para superar este
inconveniente, se usa el método abreviado o también llamado de
invalidez que resulta mucho más corto.
Efectivamente, tratándose de una inferencia, su argumentación
será siempre una forma implicativa, por lo que sabemos que es
falsa si y sólo si su antecedente es verdadero y su consecuente
falso. Por lo tanto su procedimiento es el siguiente:
1º
se supone verdadero el antecedente (1) y falso
el
consecuente (0)
2º
se determina los valores de verdad de las variables del
consecuente de manera que expresen la falsedad de este.
3º se trasladan estos valores al antecedente y se designan los
valores de las demás variables tratando de hacer verdadero el
antecedente.
4º
si se comprueba la hipótesis, la inferencia es no válida,
de lo contrario será válida.
Ejemplo: aplique el método abreviado de la tabla de verdad:
tomando del ejemplo 1 del método de la tabla de verdad
[p q)  (q
 r)]
(p 
r)
Procedemos:
1º
se supone “1”el antecedente y “0” el consecuente
1
[p q)  (q
0
 r)]
(p 
r)
2º se determina el valor de las variables del consecuente
1
[p q)  (q
0
 r)]
(p 
1
r)
0
51
0
3º
Se trasladan estos valores al antecedente y se designan los
valores a las demás variables
1
0
[p q)  (q
1
1
1
1
0
 r)]
0
0
11
(p  r)
1
0
0
4º
se observa que, al falsear el consecuente se ha falseado
una premisa y, falseando una premisa se ha falseado todo el
antecedente, lo que demuestra que la Inferencia es válida.
c) Procedimientos
no
algorítmicos,
proceden
solo
por
transformación de las expresiones formalizadas aplicando a las
premisas una serie de reglas o leyes lógicas. Es no algorítmico
porque el número de pasos no puede prescribirse previamente en
su totalidad. Su eficiencia va de acuerdo a la capacidad
natural del que lo aplica.
Éstos son:
b.1. Leyes de inferencia por definición; en este grupo se
encuentran todas las Leyes de
de Equivalencia. Podemos
reconocer
los siguientes pasos:
1º
Se formaliza el argumento o inferencia.
2º Se construye su implicador asociado (solo si se
formalizado verticalmente)
3º Si el antecedente del implicador es equivalente
consecuente, entonces la inferencia es válida.
Ejemplo: determina la validez de la inferencia:
ha
al
La ansiedad es inherente al ser humano así como la depresión,
por lo tanto la depresión
Es
inherente
al
ser
humano
así
como
la
ansiedad
1º Se formaliza:
p ^ q
q ^ p
52
2º
Se
construye
horizontal)
su
implicador

(p ^ q)
asociado
(formalización
(q ^ p)
3º Observamos que el antecedente (p ^ q) equivale al consecuente
(q^p) por la ley de la conmutación.
Por consiguiente el argumento corresponde a una inferencia
válida.
b.2. Leyes de inferencia mediante reglas; para las conclusiones
de las inferencias se utilizan razonamientos válidos elementales
a los que indistintamente se les llama leyes o reglas. Por tanto
conviene señalar que una cosa es la ley y otra cosa es regla.
Cada ley le corresponde una regla. La ley permanece en el plano
teórico mientras que la regla se sitúa en el plano práctico.
Estas leyes utilizan simbolismos ya conocidos y se pueden
clasificar en dos grupos:
Modos directos: son aquellos que van de:
AFIRMAR
NEGAR
A
A
AFIRMAR
NEGAR
Modos indirectos: son aquellos que van de:
AFIRMAR
NEGAR
A
A
NEGAR
AFIRMAR
MODOS DIRECTOS
1. Modus Ponendo Ponens: significa,”modo afirmado afirmo”
REGLA: es una proposición implicativa, si afirman el
antecedente, se afirma el consecuente.
Sólo se puede aplicar en una proposición implicativa
además de la biimplicativa.( , )
P1:
p 
q
53
P2:
C :
p
q
si afirma el antecedente
se afirma el consecuente
P1 :
p 
p
P2 :
q
q
C :
p
P1 :
p
P2:
C .

q
q
Ejemplo: determinar la validez de la inferencia:
Siempre que las personas respetan las leyes por consiguiente
viviremos en una sociedad Justa. Las personas respetan las
leyes, por consiguiente viviremos en una sociedad justa.
Formalización vertical
P :
p

Formalización horizontal
q
[(p
P :
p
C :
q

q)  p ] 
q
Si la formalización del argumento responde a la ley del Ponendo
Ponens, concluimos que la inferencia es válida
2. MODUS TOLENDO TOLLENS: significa, “modo negando niego”
REGLA: es una proposición implicativa, si niegan el
consecuente, se niega el antecedente.
Sólo se puede aplicar en una proposición implicativa además
de la biimplicativa. (
)
P1 :
p
P2 :
C :
q
P1:
p
p
P2:
q
q
C :
q
p
54
Ejemplo: determinar si el argumento responde a una inferencia
válida:
Si la vida humana tiene derecho a la vida. El concebido no tiene
derecho a la vida.
Por lo tanto la vida humana no comienza con la concepción.
Formalización Vertical
P1 :
p
P2:
q
C :
p
q
Si la formalización del argumento responde a la ley del
Tollendo Tollens, la inferencia es
Válida.
MODOS INDIRECTOS
MODUS PONENDO TOLLENS: Significa, “modo afirmando niego”
Regla: En una proposición disyuntiva excluyente; si afirman una
variable de la primera premisa, se niega la otra variable.
Sólo se puede aplicar esta ley en proposiciones disyuntivas
fuertes. (∆)
P1: p ∆ q
P1: p ∆
P2: p
si afirman una variable
P2: q
C: ¬ q
se niega la otra variable
C: ¬ p
Ejemplo 1: Determinar si el argumento corresponde a una
inferencia válida:
O Juan se dedica a la matemática o se dedica a la
filosofía.
Sabemos que Juan se dedica a la matemática. Por tanto Juan
No se dedica a la filosofía.
Formalización:
P1: p ∆ q
P2: p
55
C: ¬ q
Por lo tanto la inferencia es válida, pues corresponde a la ley
del Ponendo Tollens.
Ejemplo 2:
argumento:
Determine
la
conclusión
correcta
del
siguiente
O bien Fujimori nació en Perú o bien nació en Japón.
Fujimori nació en Japón. Por lo tanto Fujimori
No nació en el Perú.
Formalización:
P1: p ∆ q
P2: q
C: ¬ p
: Fujimori no nació en el Perú
MODUS TOLLENDO PONENS: Significa, “modo negando afirmo”
Regla: En una proposición disyuntiva excluyente o incluyente; si
se niega una variable, se afirma la otra variable.
Esta ley sólo se aplica en los dos tipos de proposiciones
señaladas anteriormente. (V; ∆)
P1: p ∆ q
P2: ¬ p
C: q
P1: p ∆ q
si niegan una variable
P2: ¬ q
se afirma la otra variable
C: p
P1: p v q
P2: ¬ p
C: q
Ejemplo 1: Determinar
inferencia válida:
P1: p v q
P2: ¬ q
C: p
si
el
argumento
corresponde
a
una
La representante de la defensoría del Pueblo estudió Leyes
Internacionales o incluso estudió Ciencias políticas. Sabemos
que no estudió Ciencias políticas. Por lo tanto estudió Leyes
Internacionales.
56
Formalización:
P1: p v q
P2: ¬ q
C: p
Por lo tanto la inferencia es válida, pues corresponde a la ley
del Tollendo ponens.
Ejemplo 2:
argumento:
Determine
la
conclusión
correcta
del
siguiente
El Estado Peruano pide la repatriación de Fujimori para ser
juzgado y sentenciado por los delitos de lesa humanidad
cometidos durante su gobierno, o únicamente pide esclarecer la
verdadera nacionalidad de Fujimori. Por consiguiente el Estado
Peruano pide la repatriación de Fujimori para ser juzgado y
sentenciado por los delitos de lesa humanidad cometidos durante
su gobierno.
Formalización:
P1: (p ˄ q) ∆r
P2: ¬r
C: p ˄ q
SILOGISMO HIPOTÉTICO PURO: O ley de la transitividad
Regla: Dado dos proposiciones implicativas en donde los términos
extremos o los términos medios son iguales se infiere otra
proposición implicativa formada por los términos medios o
extremos, respectivamente.
Esta ley sólo se aplica en proposiciones implicativas o
biimplicativas. (→; ↔)
P1: p → q
P2: q → p
C: p → r
P1: p → q
P2: r → p
Términos medios
Términos extremos
57
C: r → q
P1: p ↔ q
P2: q ↔ r
C: p ↔ r
P1: p ↔ q
P2: r ↔ p
C: r ↔ q
Ejemplo: Determina la conclusión correcta de las siguientes
premisas y construye la inferencia válida:
Ya que el Perú acepta el Tratado de Libre Comercio con los
Estados Unidos por lo tanto aumentarán las exportaciones. Si
aumentan las exportaciones entonces habrá más trabajo para los
peruanos. De lo contrario se concluye, si el Perú acepta el
Tratado de Libre Comercio con los Estados Unidos entonces habrá
más trabajo para los peruanos.
Aplicación de ley:
P1: p → q
P2: q → r
C: p → r
DILEMAS: Son razonamientos a partir de tres premisas pueden ser
constructivos o destructivos. Ambos caracterizan por tener una
premisa disyuntiva débil y dos premisas implicativas.
DILEMA CONSTRUCTIVO: Cuando las variables de la premisa
disyuntiva débil, afirman a los antecedentes de las premisas
implicativas, entonces la conclusión es también una proposición
disyuntiva débil formada por la afirmación de los consecuentes
de las premisas implicativas.
P1: p → q
1 Premisa implicativa
P2: r → s
2 Premisa implicativa
P3: p v r Premisa disyuntiva débil
C: q v s
Ejemplo: Determine la conclusión correcta y construya
inferencia válida aplicando la ley del Dilema Constructivo.
la
58
Si la crisis aumenta, habrá más pobreza. Si hay desempleo
entonces habrá más delincuencia. La crisis aumenta o bien hay
desempleo. En consecuencia habrá más pobreza o bien habrá más
delincuencia.
Formalización:
P1: p → q
P2: r → s
P3: p v r
C: q v s
DILEMA DESTRUCTIVO: Cuando las variables de la premisa
disyuntiva débil, niegan a los consecuentes de las premisas
implicativas, entonces la conclusión es también una proposición
disyuntiva débil formada por la negación de los antecedentes de
las premisas implicativas.
P1: p → q
P2: r → s
P3: ¬q v ¬s
C: ¬p v ¬r
Ejemplo: Determine la validez de la inferencia:
Si el Tratado de Libre Comercio se cumple, habrá más
exportación. Si hay más ingresos al fisco entonces habrá menos
recesión económica. Sabemos que no habrá más exportación o bien
es falso que haya menos recesión económica. De ahí se infiere
que el Tratado de Libre Comercio no se cumple o bien no hay más
ingresos al fisco.
Formalización:
P1: p → q
P2: r → s
P3: ¬q v ¬s
C: ¬p v ¬r
59
La inferencia es válida porque responde a la ley del Dilema
Destructivo.
INFERENCIAS MEDIATAS
Hasta ahora hemos visto tipos de inferencias a partir de dos o
más premisas, pero existen razonamientos a partir de una
premisa. Así tenemos:
SIMPLIFICACIÓN: Es válido sólo para la conjunción.
P1: p ˄ q
C:
p
P1: p ˄ q
C: q
Ejemplo: Determine la conclusión correcta de:
La adolescente y la niñez son etapas del desarrollo del hombre.
Se concluye que la adolescencia es una etapa del desarrollo del
hombre.
Formalización:
P1: p ˄ q
C: p
ADICIÓN O NUEVO FACTOR
P1: p
C: p v q
q es la nueva variable o factor
Ejemplo: Determine la validez de la inferencia
George Boole es el creador de la lógica simbólica. Por lo tanto
George Boole es creador de la lógica simbólica o bien fue el
primero que utilizó el lenguaje de símbolos
Formalización:
P1: p
C: p v q
60
Como la formalización corresponde a la ley del factor nuevo,
entonces la inferencia es válida.
CONJUNCIÓN
P1. p
P2: q
C: p ˄ q
Ejemplo: Determine la conclusión correcta de:
El agua está compuesta por átomos de hidrógeno y oxígeno. Su
fórmula es H2O. Luego el agua está compuesta por átomos de
hidrógeno y oxígeno y su fórmula es H2O.
Formalización:
P1. p
P2: q
C: p ˄ q
61
Ejercicios Propuestos
1.
Teniendo en cuenta que si el psicoanálisis introdujo el
estudio del inconsciente y a la vez irrumpió en el campo
médico consiguientemente Freud es el fundador del
Psicoanálisis. De modo que el psicoanálisis no introdujo
el estudio de la personalidad o Watson es el fundador del
psicoanálisis.
Analizando el argumento:
Proposiciones simples que componen el
Argumento
p: El psicoanálisis introdujo el estudio de
inconsciente.
q: El psicoanálisis irrumpió en el campo
médico.
r: Freud es el fundador del Psicoanálisis.
s: El psicoanálisis introdujo el estudio de la
personalidad.
t: Watson es el fundador del psicoanálisis.
Valor de
Verdad
V
F
V
V
F
Analiza los siguientes argumentos y descomponlos en sus
proposiciones simples, indicando sus respectivos valores de
Verdad.
1. El niño es una parte de la naturaleza, incluso su conducta
sigue leyes de ésta a menos que no esté aislado del mundo
que lo rodea. Por lo tanto la naturaleza es imprescindible
en la vida del niño
2. El aprendizaje no sólo es un fenómeno individual, sino
social; por tanto se apoya en conocimientos ya existente en
el contexto social o sólo cultural.
3. las construcciones de arquitectura mesopotámica estaban
basadas en piedra, o únicamente ladrillo cocido y adobe.
Por lo tanto, los materiales tuvieron escasa suntuosidad.
2.
Formalizar las siguientes proposiciones:
1. Es mentira que el agua hierve a la temperatura de 0º C y
se congela a 100º C.
62
2. 2x así como 5x son términos semejantes
3. La sede para el mundial de fútbol de 2006 será Alemania,
Brasil o únicamente Australia.
4. Chiclayo sería una ciudad limpia y hermosa si y sólo si
sus habitantes tomasen cursos intensivos de higiene o la
policía municipal emprendiera una campaña de limpieza.
3.
Dadas las proposiciones:
p: la palabra lógico se usa en el mismo sentido que
razonable.
q: el razonamiento es la única forma del pensamiento.
r: los juicios se expresan por medio de las proporciones.
s: la lógica formal demuestra la validez de los argumentos
simbólicos.
Y los esquemas moleculares:
1. (pq)(pq)
2. [(pq)¬s]¬r
3. (pq)(rp)
4. (¬pq)¬r
4.
El director del instituto Infantil de Aprendizaje de
Idiomas Extranjeros “La aldea Global” dialoga con dos
instructores y les manifiesta: “Los niños no tienen
problemas en el aprendizaje ya que nuestra metodología es
especial”. Uno de los instructores responde: “No es
verdad que los niños tienen problemas en el aprendizaje
sin embargo nuestra metodología es especial”. El segundo
instructor prosigue diciendo: “Nuestra metodología no es
especial
si
los
niños
tienen
problemas
en
el
aprendizaje”.
¿Cuál de los instructores le dio la razón al director del
instituto?
5.
mediante el método de la tabla de verdad determine la
validez de las siguientes inferencias:
63
1. O el satélite entra en órbita, o, si falla el mecanismo
impulsor, caerá al mar. El satélite no cae al mar. Por
ello, o el satélite entra en orbita o no falla el mecanismo
impulsor.
2. la adhesión a una doctrina debe ser racional. Ahora bien,
si comienzas prestando fe a una doctrina y la adhesión a
una doctrina debe ser racional, entonces su actitud es
dogmática. Luego, no puedes comenzar prestando fe a una
doctrina.
3. o la enfermedad del SIDA es transmisible o no lo es, sin
embargo no es el caso que la enfermedad no sea
transmisible. Por lo tanto la enfermedad del sida es
transmisible.
64