Bloque 1 Los conjuntos numericos

BLOQUE 1. Aritmética y álgebra
LOS CONJUNTOS NUMÉRICOS
Los números naturales, enteros y racionales. Operaciones
El conjunto de los números naturales es N; 0, 1,3, 202…
El conjunto de los números enteros es Z; -8, -3, 6, 8…
El conjunto de los números enteros son las fracciones y se representa con Q; 3025/100
Son números enteros:
1,25; Decimal exacto
1,33333…; Periódico puro
1,233333…; Periódico mixto
El mínimo común múltiplo se obtiene con los comunes y no comunes al mayor exponente.
El máximo común divisor se obtiene con los comunes al menor exponente.
Las operaciones con fracciones se pueden realizar con la calculadora fácilmente.
Los números irracionales
Son números con cifras decimales infinitas no periódicas y por lo tanto no pueden escribirse en
forma de fracción.
Son números irracionales:
0,04032589238…
Pi
Todas las raíces no enteras (de cualquier índice); raíz de 2, raíz de 3, raíz de 5….
El conjunto de números reales. La recta real. Ordenación.
Valor absoluto. Distancia. Intervalos
Todo número real queda representado por un número en la recta.
Los números mayores que 0 son los que van a la derecha mientras que los menores a la
izquierda.
El valor absoluto de un número representa la distancia del mismo al cero.
El valor absoluto de a se representa: /a/
La distancia entre dos números reales, a y b, es el valor absoluto de su diferencia.
Los intervalos pueden ser:
Cerrados: Los extremos pertenecen al intervalo; (8,34)
Abiertos: Los extremos no pertenecen al intervalo; )8,34(
Semiabiertos: Un extremo pertenece al intervalo y otro no; (8,34(
Acotado superior: Longitud infinita; )…,34)
Acotado inferior: Longitud infinita; (8,…(
Aproximación de números reales. Estimación, truncamiento y redondeo.
Niveles de precisión y error
Una aproximación es por defecto si es menor que el número exacto y por exceso si es mayor.
-Truncamiento es cuando nos quedamos con x cifras.
-Redondeo es cuando modificamos la cifra dependiendo si la anterior es mayor o
menos que 5.
El error absoluto es la diferencia positiva entre el valor exacto y el aproximado:
Valor real es 27,3 y lo aproximamos a 27. (27.3-27)= 0,3 es el error absoluto.
A menudo es difícil saberlo por la cantidad infinita de decimales que tiene el número
2/7= 0,2857142….: aproximamos por redondo a 0,29.
2/7-0,29= -0,00428… (Podemos afirmar que 0,29 tiene un error menor que 5 milésimas)
El error relativo es el cociente entre el valor absoluto y el valor exacto y se mide en %:
Valor real es 27,3 y lo aproximamos a 27. (0,3/27)*100= 1,11%.
Proporcionalidad. Magnitudes directa e inversamente proporcionales
Magnitudes directamente proporcionales
Como son proporcionales se cumple el cociente de 2 cantidades es constante, a esto se le
llama razón.
A/a1 = b/b1 = c/c1… = k (constante)
3 camisetas cuestan 14,43€
7 camisetas costaran X
X = (14,43x7)/3 = 33,67€
Aumentos y disminuciones porcentuales
Compramos un vestido de 60,10€ con un descuento del 20% ¿Cuál es el descuento?¿Cuanto
paga?
60,10x0,20 = 12,02 descuenta
60,10x0,80 = 48,08 pagamos
Compramos una enciclopedia por 753,72€ y valía 856,20€ ¿Qué descuento se aplicó?
Precio pagado/Precio venta
753,72/856,20 = 0,88 = 88%
100%-88% = 12% es el descuento que se aplicó.
Magnitudes inversamente proporcionales
Con el agua de un depósito llenamos 60 bidones de 5 litros ¿Cuántas botellas de 0,75 litros
llenaremos?
*Cuantos más litros tenga el recipiente menos recipientes usaremos (Inversamente
proporcional)
Se llenan 60 bidones de 5 litros
Se llenan x botellas de 0,75 litros
X = (5x60)/0,75 = 400 botellas
Regla de 3 compuesta
Piscina de adultos tiene una capacidad de 168m3 y 6 grifos y se llena en 12 horas.
La infantil tiene una capacidad de 28m3 y 2 grifos ¿Cuánto tardará en llenarse?
*Cuanto más grande sea la piscina más tardara en llenarse (Proporcional)
* Cuantos más grifos tenga menos tardara en llenarse (Inversamente proporcional)
168-12h-6grifos
28-Xh-2grifos
168/28x2/6 = 336/168
(12x168)/336 = 6 horas
Repartos directamente proporcionales
Las obras han costado 3.150.000€ y lo deben pagar los ayuntamientos A, B y C de manera
proporcional a su número de habitantes que son 800, 625 y 575. ¿Cuánto paga cada uno?
A+b+c / 800 + 625 + 575 =
3.150.000 / 2.000 = 1.575
1.575x800 = 1.260.000 paga el ayuntamiento A
1.575x625 = 984.375 paga el ayuntamiento B
1.575x575 = 905.625 paga el ayuntamiento C
Repartos inversamente proporcionales
330€ para repartir entre los 3 corredores ¿Cuánto recibe cada uno?
X/1 = y/1/2 = z/1/3 =
330/ 11/6 = 180
*Se suman los denominadores
1º = 180x1 = 180€
2º = 180x1/2 = 90€
3º = 180x1/3 = 60€
Notación científica. Operatoria con notación científica
Al multiplicar una cantidad por una potencia de base 10, ésta mueve la coma tantos lugares
como indique el exponente, hacia la derecha si es positivo y hacia la izquierda si es negativo.
5'98 · 1024 = 5980000000000000000000000
1'6726 · 10-27 = 0'0000000000000000000000000016726
0'00000000006193 = 6'193 · 10-11
58923400000000 = 5'89234 · 1013
Potencias y raíces
Potencias
An ;
A = base N = exponente
Si la base es mayor de 0 el número es positivo
Si la base es menor que 0 y par el número es positivo
Si la base es menor que 0 e impar el número es negativo
Potencias de exponente negativo:
Reglas de las potencias:
an x am = a n+m
an / am = a n-m
(an)m = a nxm
a0 = 1
an x bn = (a x b)n
an / bn = (a / b)n
Raíces
N= Índice del radical
A= Radicando
B=Raíz
Al símbolo se le llama Radical
La utilidad de las raíces es el poder despejar la base desconocida de una potencia conocida:
-Las raíces de índice par solo están definidas para radicandos positivos. No tiene sentido
aplicar raíces pares en números negativos.
-Las raíces de índice impar están definidas para números tanto positivos como negativos.
Exponente fraccionario
3
Vx2 = 6Vx4
Son equivalentes porque 2/3 = 4/6 independientemente del número del radicando.
Introducción y extracción de factores;
5
Vx13 = x2 5Vx3
Reducir a índice común;
6
V2 y 10V3
-Se saca el mínimo común múltiplo = 30, el 30 se coloca en el índice, y además se divide entre
el antiguo índice para ponerlo en el exponente del radicando.
30
V25 y 30V33
Radicales semejantes;
Se dice que dos radicales son semejantes cuando tienen el mismo índice y el mismo radicando.
2 3V4 y 7 3V4
Calculo de raíces;
Se factoriza el numero radicando y se extraen todos los factores posibles, y después
resolvemos con los factores extraídos, si se pueden extraer todos los factores la raíz es exacta.
Reglas de las raíces;
Simplificar un radical;


El índice y el exponente sean primos entre sí.
No se pueda extraer ningún factor del radicando.
6
V8 = 6V23 = V2
Operaciones con radicales;
Suma o resta:
Solamente pueden sumarse o restarse cuando dos radicales son semejantes (mismo radicando
e índice)
Producto de radicales:
Si tienen el mismo índice se multiplican los radicando y se deja el mismo índice.
Si tienen distinto índice se reduce al máximo común y luego se multiplican.
División de radicales:
Si tienen el mismo índice se dividen los radicandos y se deja el mismo índice.
Si tienen distinto índice se reduce al máximo común y luego se dividen.
Racionalizar radicales;
Consiste en quitar los radicales del denominador, lo que permite facilitar el cálculo de
operaciones como la suma de fracciones.
Distinguimos 3 casos:
Logaritmos
La utilidad de los logaritmos es la de poder despejar el exponente desconocido de una
potencia conocida:
si 5x = 35 entonces x = log5 35
Es decir, x es el número al que hay que elevar 5 para obtener 35.
El cambio de base nos va a permitir calcular el ejemplo de arriba:
log5 35 =
Los logaritmos tienen las siguientes reglas o propiedades:
*Los logaritmos decimales son los que tienen base 10, muchas veces esta se omite porque
queda implícita.