ESTADÍSTICA INFERENCIAL

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Sesión No. 7
Nombre:
Distribuciones
de
probabilidad
para
variables
aleatorias continuas
Contextualización
Al igual que la distribución
binomial, la distribución
de Poisson puede
aproximarse a una normal para procesos de cálculo de probabilidades cuando el
parámetro λ (literal griega lambda) es suficientemente grande. Este tipo de
aproximación permite extender el ámbito de aplicación de la distribución de
Poisson. La distribución exponencial de probabilidad guarda una importante
relación con la distribución de Poisson, sin embargo, debe destacarse que se
orienta a cálculos relacionados con la confiabilidad de sistemas y procesos, por
lo que es de gran utilidad en ingeniería, ciencias sociales, naturales y
administrativas.
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Introducción al Tema
Actualmente la estadística y los medios que se han desarrollado gracias a esta,
ayudan a determinar muchos conocimientos basados en las matemáticas y a
reforzar las formas en que se puede establecer un elemento.
En este caso la aproximación y la distribución son una forma de establecer los
parámetros numéricos con el uso de formulas del calculo integral y diferencial lo
que ayuda a comprobar los resultados para no determinar un error que pueda
ser catastrófico en el medio en que se aplica, se sabe que la estadística no es
100% exacta, por lo que cuenta con un margen de error que es mínimo y
representa la tolerancia que se tiene ante alguna situación, ya sea por el
redondeo de cifras o por la aproximación que se pueda tener.
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Explicación
Aproximación normal de probabilidades de Poisson
La distribución de Poisson cuantifica la ocurrencia de un evento específico por
unidad de tiempo, área o volumen, considerando que la probabilidad de
ocurrencia del evento por unidad de medida es idéntica para el total de las
unidades y que el número de ocurrencias del evento específico es independiente
entre cada unidad de medida. Los fenómenos que siguen este comportamiento
se denominan procesos de Poisson. En consecuencia, dado que el recuento de
ocurrencias de un evento en particular que se presenta por unidad de tiempo,
área o volumen sigue una distribución de Poisson, se presenta el siguiente
resultado denominado reproductividad de la ley de Poisson con respecto al
parámetro λ.
Si X1, X2,... Xn son variables aleatorias independientes tales que Xi p(k; λ),, i=
1,..., n (es decir, la variable aleatoria Xi sigue una distribución de Poisson con
parámetro λ), entonces:
Si λ es lo suficientemente grande (mayor que cinco), la distribución de Poisson
puede aproximarse mediante la distribución normal. La aproximación de la
distribución de Poisson a través de la distribución normal se expresa de la
siguiente manera:
• Sea X una variable aleatoria que sigue una distribución de Poisson, Xi (k; λ)
y >5, entonces:
En este sentido, la variable aleatoria X puede considerarse como el número de
veces que ocurre un evento específico de un proceso de Poisson con tasa λ
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dentro de un intervalo unitario. Esto significa que la variable aleatoria X puede
descomponerse como la suma de n variables que contabilizan la ocurrencia de
un evento específico presentado en cada intervalo ((i −1)/ n,i / n),i =1,2,...,n , con
lo que se obtiene:
Siendo X1,... Xn variables aleatorias independientes idénticamente distribuidas
p(k; λ) . Para n →∞, el Teorema del límite central establece que:
En donde el símbolo
N(0,1) significa que se aproxima a una normal
estandarizada. Para calcular la probabilidad de Poisson mediante aproximación
a la distribución normal se tiene que:
Ejemplo: Supóngase que una editorial imprime un texto que contiene erratas al
azar con una tasa λ de 0.5 erratas por página. Calcular la probabilidad de que en
200 páginas se encuentren más de 80 erratas.
Solución: Se tiene la variable aleatoria X= número de erratas en 200 páginas de
texto. Ésta sigue una distribución de Poisson con λ =0.5(200)=100. Dado que
λ>5, es posible realizar la aproximación a la distribución normal:
En donde
el valor
corresponde al área en tablas de la distribución normal para
y que es igual a 0.4744 por lo tanto, P (X>80)=
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Distribución exponencial de probabilidad
La distribución exponencial es un modelo matemático que se aplica con
frecuencia en teoría de la confiabilidad, es decir, en el estudio de la confiabilidad
de elementos y sistemas susceptibles de fallo.
Definición
Una variable aleatoria continua X que puede tomar todos los valores no
negativos tiene una distribución exponencial de probabilidad con parámetro
(literal griega alfa) positivo si su función de densidad de probabilidad está dada
por:
f (x) =e −x ,
x>0 =0 para cualquier otro valor.
El comportamiento de esta distribución puede mostrarse gráficamente. Por
ejemplo, para =5 se obtiene la siguiente gráfica:
5 exp (-5x)
Cálculo de probabilidades con la distribución exponencial
La función de distribución acumulativa está dada por:
F (x)= P(X≤ x)=
En consecuencia, P(X > x)=
=0, para cualquier otro valor.
.
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Conclusión
El uso de fórmulas matemáticas dentro de esta rama de estudio es importante,
pues con estas se facilita la forma de obtener resultados de algún medio en el
que se trabaja. Si no se cuentan con las formulas adecuadas, es necesario
conocer todos los elementos que se desean descifrar y de un procedimiento mas
laborioso y repetitivo que servirá para determinar el resultado.
Estas mismas formulas sirven para poder graficar en un rango ya establecido, es
decir, solamente requieren de la sustitución de variables y la resolución de la
ecuación, lo que dará los puntos cardinales útiles para marcar el comportamiento
del objeto de estudio dentro de un plano cartesiano ya enumerado.
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Aplicaciones de cómputo. Aplicación de una hoja de cálculo
para calcular probabilidades con distribución normal
La hoja de cálculo Excel dispone de la función DISTR.NOR M.ESTAND(x), la
cual devuelve la probabilidad P( X < x) siempre y cuando X sea una variable
aleatoria normal estandarizada, con media µ= 0 y desviación estándar =1,
Ejemplo:
Sea X una variable aleatoria normal estandarizada. Utilizando la función DISTR.
NOR M.ESTAND(x) de Excel®, calcular las siguientes probabilidades:
Soluciones:
1.
Se introduce el valor 2 en la celda A1.
Posteriormente, en la celda
M.ESTAND( ).
A2 se introduce la función
DISTR. NOR
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Con el argumento A1, es decir, DISTR.NOR M.ESTAND(A1), se obtiene como
resultado el valor 0.977249868.
2. Se introduce el valor 2 en la celda A1.
Posteriormente, en la celda A2 se introduce la fórmula: =(1-DIST. NOR
M.ESTAND(A1)). Con lo que se obtiene 0.022750132 como resultado.
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3.
Se introduce el valor 2 en la celda A1. Una vez hecho lo anterior, se introduce
en la celda A2 la fórmula: =(DISTR.NOR M.ESTAND(A1)-0.5). Con lo que se
obtiene 0.477249868 como resultado.
4. Se introduce el valor 0 en la celda A1. Posteriormente, se introduce en la
celda A2 la fórmula: =(DISTR.NORM.ESTAND(A1)). Con lo que se obtiene 0.5
como resultado.
5. Se introduce el valor 1 en la celda A1. Posteriormente, se introduce en la
celda A2 la fórmula: =((DISTR.NORM.ESTAND(A1)-0.5)*2). Con lo que se
obtiene 0.682689492 como resultado.
6. Se introduce el valor 2 en la celda A1.
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Posteriormente, se introduce en la celda A2 la fórmula: =(1-DISTR.
NORM.ESTAND(A1)). Con lo que se obtiene 0.022750132 como resultado.
7. Primero se introducen por simetría, los valores 2 y 2.5 respectivamente en las
celdas
A1
y
A2.
Luego
=DISTR.NORM.ESTAND(A1)
se
introduce
y
en
la
en
celda
la
A4
celda
A3
la
la
fórmula
fórmula
=DISTR.
NORM.ESTAND(A2).
Finalmente, se introduce en la celda A5 la fórmula =(A4-A3), con lo que se
obtiene como resultado 0.01654047.
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Actividad de Aprendizaje
Instrucciones: en base a lo visto anteriormente, resuelve los siguientes
elementos. Recuerda que puedes utilizar formulas de apoyo las cuales se
han explicado a lo largo de las sesiones.
1. El tiempo en que un cajero automático dispensa efectivo a los clientes sigue
una distribución exponencial con un parámetro de =0.5 minutos. Calcular la
probabilidad de que un usuario tenga que esperar más de 0.65 para recibir su
efectivo.
2. Una editorial imprime un texto que contiene erratas al azar con una tasa λ
de 0.5 erratas por página. Calcular la probabilidad de que en 200 páginas
se encuentren más de 85 erratas.
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Bibliografía
García, M. (2005). Introducción a la teoría de la probabilidad. México: Fondo de
Cultura Económica.
Hernández, A. y O. Hernández (2003). Elementos de probabilidad y estadística.
México: Sociedad Matemática Mexicana.
Meyer, P. (1986). Probabilidad y aplicaciones estadísticas. E.U.: Addison-Wesley
Iberoamericana.
Ulloa, V. y V. Quijada (2006). Estadística aplicada a la comunicación. México:
UNAM.
Lipschutz, S. (1988). Probabilidad. México: McGraw-Hill.
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