Factorizaciones primas y parametrización de controles

Pontificia Universidad Católica del Perú
ICA624: Control Robusto
11. Factorización Prima Sobre RH∞
Parametrización de Controles Estabilizantes
Hanz Richter, PhD
Profesor Visitante
Cleveland State University
Mechanical Engineering Department
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Polinomios primos e identidad de Bézout
Polinomios
primos e
identidad de
Bézout
Factorizaciones
derecha e
izquierda sobre
RH∞
Ejemplo
Estabilidad interna
en base a
factorizaciones
Parametrización
de Controles
Estabilizantes
Parametrización
de Controles
Estabilizantes en
base a
Factorizaciones
Comentarios
Finales del Curso
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Se dice que 2 polinomios son primos entre sí si no tienen raíces
comunes (o divisores comunes): por ejemplo s2 + s + 1 y s + 1
(cociente x, residuo 1). Dos polinomios m(s) y n(s) son primos
si existen otros dos polinomios x(s) e y(s) tales que
xm + yn = 1 (identidad de Bézout).
Dos funciones de transferencia m(s) y n(s) de RH∞ son primas
sobre RH∞ si existen x, y ∈ RH∞ tales que
x(s)m(s) + y(s)n(s) = 1
Encontrar x(s) e y(s) para m(s) = s2 + s + 1 y n(s) = s + 1
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Factorizaciones derecha e izquierda sobre RH∞
Polinomios primos
e identidad de
Bézout
Factorizaciones
derecha e
izquierda sobre
RH∞
Ejemplo
Estabilidad interna
en base a
factorizaciones
Parametrización
de Controles
Estabilizantes
Parametrización
de Controles
Estabilizantes en
base a
Factorizaciones
Comentarios
Finales del Curso
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En base a lo anterior, se definen conceptos similares para matrices de
RH∞ :
Las matrices M y N de RH∞ son primas por la derecha si tienen el
mismo número de columnas y si existen Xd , Yd ∈ RH∞ tales que
M
[Xd Yr ]
= Xd M + Yd N = I
N
Las matrices M̃ y Ñ de RH∞ son primas por la izquierda si tienen el
mismo número de filas y si existen Xi , Yi ∈ RH∞ tales que
Xi
[M̃ Ñ ]
= M̃ Xi + Ñ Yi = I
Yi
Estas definiciones son equivalentes a decir que [M T N T ]T es invertible por la
izquierda y [M̃ T Ñ T ]T es invertible sobre la derecha, con inversas en RH∞ .
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Factorizaciones derecha e izquierda...
Polinomios primos
e identidad de
Bézout
Factorizaciones
derecha e
izquierda sobre
RH∞
Ejemplo
Estabilidad interna
en base a
factorizaciones
Parametrización
de Controles
Estabilizantes
Parametrización
de Controles
Estabilizantes en
base a
Factorizaciones
Comentarios
Finales del Curso
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Sea P (s) una matriz de transferencia propia y real-racional. Una
factorización prima derecha (fpd) de P es una descomposición de
la forma P = N M −1 donde M y N son primas por la derecha
en RH∞ .
Una factorización prima izquierda (fpi) de P es una
descomposición de la forma P = M̃ −1 Ñ donde M̃ y Ñ son
primas por la izquierda en RH∞ .
P tiene factorización prima doble si tiene factorizaciones derecha
e izquierda y existen Xd , Yd , Xi , Yi tales que
Xd Yd
M −Yi
=I
N
Xi
−Ñ M̃
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Factorizaciones derecha e izquierda...
Polinomios primos
e identidad de
Bézout
Factorizaciones
derecha e
izquierda sobre
RH∞
Ejemplo
Estabilidad interna
en base a
factorizaciones
Parametrización
de Controles
Estabilizantes
Parametrización
de Controles
Estabilizantes en
base a
Factorizaciones
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Finales del Curso
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Teorema (Zhou y Doyle): Sea P (s) una matriz de transferencia
propia y real-racional con realización (A, B, C, D) detectable y
estabilizable. Sean F y L tales que A + BF y A + LC son
estables. Entonces P = N M −1 = M̃ −1 Ñ constituye una
factorización prima doble con:


A + BF B L
M −Yi
= 
F
I 0 
N
Xi
C + DF D I


A + LC −(B + LD) L
Xd Yd
= 
F
I
0 
−Ñ M̃
−D
I
C
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Ejemplo
Polinomios primos
e identidad de
Bézout
Factorizaciones
derecha e
izquierda sobre
RH∞
Ejemplo
Estabilidad interna
en base a
factorizaciones
Parametrización
de Controles
Estabilizantes
Parametrización
de Controles
Estabilizantes en
base a
Factorizaciones
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Finales del Curso
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El siguiente código genera la factorización izquierda de un
sistema con 4 estados, 2 entradas y 2 salidas:
sis=[tf(1,[1 -1]) tf(1,[1 -2]);tf(2,[1 0]) tf(1,[1
2])];
[A,B,C,D]=ssdata(sis);rank(ctrb(A,B)),rank(obsv(A,C))
F=-place(A,B,[-1;-3;-5;-7]);
L=-place(A’,C’,[-2;-4;-6;-8])’; Ai=A+B*F;Ad=A+L*C;
M=ss(Ai,B,F,eye(2));N=ss(Ai,B,C+D*F,D);
minreal(zpk(N/M)),zpk(sis)
Completar el código para encontrar la factorización derecha y
Xd , Yd , Xi , e Yi
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Estabilidad interna en base a factorizaciones
Polinomios primos
e identidad de
Bézout
Factorizaciones
derecha e
izquierda sobre
RH∞
Ejemplo
Estabilidad
interna en base
a
factorizaciones
Parametrización
de Controles
Estabilizantes
Parametrización
de Controles
Estabilizantes en
base a
Factorizaciones
Comentarios
Finales del Curso
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Consideremos factorizaciones de la planta y el compensador de la
forma P = N M −1 = M̃ −1 Ñ y −K = K̂ = U V −1 = Ṽ −1 Ũ .
Entonces las siguientes condiciones son equivalentes:
1. El sistemaen lazo cerrado es internamente estable
M U
2.
es invertible en RH∞ .
N V
Ṽ
−Ũ
es invertible en RH∞ .
3.
−Ñ M̃
4. M̃ V − Ñ U es invertible en RH∞ .
5. Ṽ M − Ũ N es invertible en RH∞ .
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Parametrización de Controles Estabilizantes
Polinomios primos
e identidad de
Bézout
Factorizaciones
derecha e
izquierda sobre
RH∞
Ejemplo
Estabilidad interna
en base a
factorizaciones
Parametrización
de Controles
Estabilizantes
Parametrización
de Controles
Estabilizantes en
base a
Factorizaciones
Comentarios
Finales del Curso
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El estudio del problema H∞ requiere una descripción del espacio
de controladores admisibles (aquellos que producen estabilidad
interna), de tal modo que la optimización se haga sólo sobre ése
espacio. Consideremos la interconexión:
z
w
P
y
u
K
Tomemos G = P con

A
G(s) =  C1
C2
B1
D11
D21

B2
D12 
D22
Se asume que (A, B2 ) es estabilizable y (A, C2 ) es detectable.
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Parametrización de Controles Estabilizantes...
Polinomios primos
e identidad de
Bézout
Factorizaciones
derecha e
izquierda sobre
RH∞
Ejemplo
Estabilidad interna
en base a
factorizaciones
Parametrización
de Controles
Estabilizantes
Parametrización
de Controles
Estabilizantes en
base a
Factorizaciones
Comentarios
Finales del Curso
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Es fácil ver que la estabilidad interna queda determinada por la
transferencia en lazo cerrado de u a y (G22 ) y de y a u (K). Es
decir, sólo hace falta estudiar la estabilidad interna de
G22 = (A, B2 , C2 , D22 ).
Parametrización de Youla-Kučera:
Cuando G ∈ RH∞ , el conjunto de controles estabilizantes se
describe como:
K = Q(I + G22 Q)−1
para cualquier Q ∈ RH∞ con I + D22 Q(∞) invertible.
Ejemplo: Usar la parametrización para encontrar cualquier
compensador estabilizante para
1
G22 (s) =
(s + 1)(s + 2)
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Parametrización de Controles Estabilizantes...
Polinomios primos
e identidad de
Bézout
Factorizaciones
derecha e
izquierda sobre
RH∞
Ejemplo
Estabilidad interna
en base a
factorizaciones
Parametrización
de Controles
Estabilizantes
Parametrización
de Controles
Estabilizantes en
base a
Factorizaciones
Comentarios
Finales del Curso
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Si G22 es inestable, se necesita un resultado más general en
forma de espacio de estados.
Teorema (Zhou y Doyle) Sean F y L tales que A + LC2 y
A + B2 F son estables. Entonces todos los controladores K que
estabilizan internamente a G se parametrizan como
u = Ky = Fi (J, Q)y para cualquier Q ∈ RH∞ con
I + D22 Q(∞) invertible y


A + B2 F + LC2 + L22 F −L B2 + LD22

J =
F
0
I
−(C2 + D22 F )
I
−D22
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Ejemplo
Polinomios primos
e identidad de
Bézout
Factorizaciones
derecha e
izquierda sobre
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Ejemplo
Estabilidad interna
en base a
factorizaciones
Parametrización
de Controles
Estabilizantes
Parametrización
de Controles
Estabilizantes en
base a
Factorizaciones
Comentarios
Finales del Curso
Para el sistema de 4 estados, 2 entradas y 2 salidas anterior, usar
la parametrización de Youla para encontrar un compensador
estabilizante cualquiera. Verificar la estabilidad interna.
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Parametrización de Controles Estabilizantes en base a
Factorizaciones
Polinomios primos
e identidad de
Bézout
Factorizaciones
derecha e
izquierda sobre
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Ejemplo
Estabilidad interna
en base a
factorizaciones
Parametrización
de Controles
Estabilizantes
Parametrización
de Controles
Estabilizantes
en base a
Factorizaciones
Comentarios
Finales del Curso
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Teorema (Zhou y Doyle) Dada la siguiente factorización
G22 :


B2 −L
A + B2 F
M Uo
= 
F
I
0 
N Vo
C2 + D22 F D22
I

A + LC2 −(B2 + LD22 )
Ṽo −Ũo
= 
F
I
−Ñ
M̃
C2
−D22
doble de

L
0 
I
El conjunto de controles estabilizantes se parametriza como
K = Fi (Jy , Qy ), donde Qy = M −1 (U Z −1 − Uo ), con
Z = M̃ V − Ñ U y Jy = J del teorema anterior.
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Ejemplo
Polinomios primos
e identidad de
Bézout
Factorizaciones
derecha e
izquierda sobre
RH∞
Ejemplo
Estabilidad interna
en base a
factorizaciones
Parametrización
de Controles
Estabilizantes
Parametrización
de Controles
Estabilizantes
en base a
Factorizaciones
Comentarios
Finales del Curso
Para el sistema de 4 estados, 2 entradas y 2 salidas anterior, usar
la parametrización de Youla en base a factorizaciones para
encontrar un compensador estabilizante cualquiera. Verificar la
estabilidad interna.
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Comentarios Finales del Curso
Polinomios primos
e identidad de
Bézout
Factorizaciones
derecha e
izquierda sobre
RH∞
Ejemplo
Estabilidad interna
en base a
factorizaciones
Parametrización
de Controles
Estabilizantes
Parametrización
de Controles
Estabilizantes en
base a
Factorizaciones
Comentarios
Finales del
Curso
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Temas fundamentales no cubiertos:
1. Ecuaciones de Riccati
2. Estudio completo de las soluciones óptimas y subóptimas del
problema H∞
3. Conformación de lazo H∞ MIMO
4. Reducción de orden para compensadores
Críticas a los métodos lineales robustos:
1. ¿Robustos frente a qué? No se contempla dinámica no lineal.
2. Hagamos lo que hagamos, el resultado no es más que un
compensador K(s) lineal, posiblemente demasiado grande. Se
perderán ciertas propiedades al efectuar reducción de orden.
3. En general, no es recomendable considerar los efectos
no-lineales como una incertidumbre más. Es preferible
modelarlos tanto cómo sea posible y usar técnicas de control
no lineal (las hay robustas: modos deslizantes y otras).
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