Problemas resueltos - Raquel Serrano Lledó

Propiedades mecánicas
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PROBLEMA 1
Un monocristal de 2 cm x 1 cm se somete a una carga de tracción de 10.000 kg.
Determinar la tensión cortante crítica si el deslizamiento se observó en un plano a 30° con
respecto a la fuerza y en una dirección de 56° con el eje de tracción.
La expresión general para la tensión cortante en un plano inclinado con respecto a la
fuerza aplicada es:
τ = σ cos α cos λ
donde α es el ángulo formado entre la fuerza aplicada y la perpendicular al plano, y λ el
formado entre la fuerza y la dirección del deslizamiento.
Como el deslizamiento es en un plano a 30° con respecto a la fuerza, α sera el
complementario, 60°. Luego sustituyendo valores, tendremos :
τ=
10000
10000
cos 60 cos 56 =
⋅ 0.5 ⋅ 0.56 = 13.97 kg 2
m
20 ⋅ 10
20 ⋅ 10
PROBLEMA 2
Determinar el alargamiento y la energía absorbida por una barra de acero de ∅
15 mm y longitud de 1 m, al dejarla caer sobre un eje una carga de 0.1 Tm desde 0.5 m de
altura, considerando que la deformación producida es elástica.
La expresión de la energía absorbida por unidad de volumen en la zona elástica es:
Wv=
como sabemos ε =
Δl
σε
2
=
E ε2 σ 2
=
2
2E
, sustituyéndolo en la expresión anterior, y multiplicando por el volumen
l0
para obtener la energía total, tendremos que:
Problemas de Ciencia de Materiales
2
WT =
E ε2
E ⋅ Δ l 2 ⋅ l0 ⋅ s E ⋅ Δ l 2
⋅
=
⋅s
s
=
l0
2 ⋅ l0
2
2 ⋅ l02
La energía comunicada al eje será:
W T = 1000 N ⋅ 0.5 m = 500 Julios Combinando
las
ecuaciones anteriores, tendremos:
2
⎛ π 15 ⋅ 10-3 ⎞
210000 MPa ⋅ Δ l ⎜
⎟
6
-4
2
4
⎝
⎠ = 210 10 ⋅ 1.76 10 Δ l
500 J =
2
2
2
Despejando ahora Δl :
Δ l2 =
2 ⋅ 500 J m
210 106 ⋅ 1.76 10-4
N
m
2
= 0.027 m 2
m
2
Δl = 0.027m 2 = 0.1645 m
PROBLEMA 3
Una placa de vidrio contiene una grieta de 0,1 mm. Si la energía superficial es γs =
0,3 J/m2 y E = 69.000 MPa. Determinar la tensión crítica de fractura frágil.
σc aplicando el criterio de Griffith es:
σc=
2γ s E
πa
donde a es la semilongitud de la grieta. Sustituyendo valores, tendremos:
2 (0.3) ⋅ 69000 ⋅ 106
= 1.62 ⋅ 107 Pa = 16.2 MPa
σc=
-4
π (0,5 ⋅ 10 )
Propiedades mecánicas
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PROBLEMA 4
Determinar la resistencia teórica de cohesión para un material frágil, si γ = 1 J/m2,
a0 = 3 Å y E = 100 GPa.
La resistencia teórica se puede obtener por la expresión:
σ max =
γ ⋅E
a0
donde a0 es la distancia entre planos cristalográficos. Sustituyendo valores tendremos:
σ max =
1J
⋅ 100 ⋅ 109 Pa
N
m2
= 1.8 1010 2 = 1.8 104 MPa
-10
3 10 m
m
PROBLEMA 5
Un hilo de cobre rompe en un ensayo de tracción a 300 MPa con respecto a la
sección inicial. La estricción ha sido de 77 %. Calcular la tensión de rotura verdadera:
Hay que buscar una expresión de la tensión verdadera en función de la estricción o
reducción de sección (r) que por definición es:
-A
A
r = A0
=1=1- r
A0
A0
Suponiendo una reducción de sección uniforme:
A0 l o = A l ⇒
A
= l0
A0 l
⇒
l
l0
=
1
1- r
La expresión de la tensión verdadera es:
σv=
l
F F l
⎛ 1 ⎞
= ⋅ =σ ⋅ =σ ⎜
⎟
A A0 l 0
⎝1- r ⎠
l0
⎛ 1 ⎞
⎛ 1 ⎞
⎟ = 300 ⋅ ⎜
⎟ = 1304 MPa
⎝1- r ⎠
⎝ 1 - 0.77 ⎠
σ v = 300 ⋅ ⎜
Problemas de Ciencia de Materiales
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PROBLEMA 6
Una probeta de ∅ 8 mm y longitud entre puntos de 25 mm, se ensaya a tracción.
Después del ensayo se obtienen los siguientes resultados: Carga máxima: 3000 Kg, carga
al cambiar la pendiente de la curva: 2300 Kg, carga en el momento de la rotura: 2000 Kg,
∅f: 6.2 mm; lf = 30.7 mm. Calcular: a) Resistencia a la rotura. b) Límite elástico, decir qué
tipo de límite es el calculado. c) Alargamiento a la rotura para una probeta normalizada.
d) Estricción a la rotura.
Determinamos primero las secciones inicial y final.
∅ 8 mm; l 0 = 25 mm ⇒ S 0 = 50,26 mm2
2
∅ f 6,2 mm; l f = 30,7 mm ⇒ S f = 30,16 mm
El límite elástico calculado con la carga al cambiar la pendiente de la curva es el límite elástico
aparente. La resistencia a la rotura y el límite elástico serán:
a)
b)
kg
3000 3000
= 596.9 MPa
= 59.69
=
2
2
50.26
d
mm
π
4
2300 2300
kg
=
= 45.76
= 457.6 MPa
2
2
50.26
d
mm
π
4
Calculamos previamente la ley de semejanza de la probeta para ver si es normalizada o no.
Ki =
25
= 3,52
50,26
como se ve la relación no es la de las normas UNE, que es de 5,65, luego, habrá que calcular el
alargamiento unitario del ensayo, y posteriormente transformarlo al correspondiente a la
probeta normalizada. La expresión que dan las normas para transformar alargamientos con
distintas leyes de semejanza es:
0,4
Ai = ⎛ k f ⎞
⎜ ⎟
Af ⎝ ki ⎠
Calculamos por tanto el alargamiento del ensayo:
Propiedades mecánicas
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A=
30,7mm - 25mm
= 0,228 = 22,8 %
25mm
Aplicando la fórmula de cambio de ley de semejanza, tendremos para K=5,65:
0,4
⎛ 5,65 ⎞
⎟ = 18,86 %
A f = 22,8 ⎜
⎝ 3,52 ⎠
La estricción a la rotura será:
R%=
50,26 - 30,16
= 0,3993 = 39,93 _%
50,26
PROBLEMA 7
Determinar qué tensión habría que aplicar en la dirección [001] para producir
deformación plástica en un monocristal CCC en un plano ( 111) - y en la dirección [101]
sobre ese plano, si la tensión crítica de cizallamiento es de 1 MPa.
La expresión general es:
σ=
F
τ
=
A cos φ cos λ
donde φ y λ, son los ángulos formados por la
fuerza aplicada y; la perpendicular a al plano
y
la
dirección
de
la
deformación
Los valores de φ y λ
respectivamente.
son:
cos φ =
cos λ =
a
a 3
a
a 2
= 0,577
= 0,707
Substituyendo los valores anteriores en la
expresión general, se obtiene:
σ = 2,45 MPa
Problemas de Ciencia de Materiales
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PROBLEMA 8
Una aleación de Al tiene un módulo de elasticidad de 70000 MPa y un límite
elástico de 275 MPa. Se pide: a) ¿Cuál será la máxima carga que puede soportar un
alambre de 2.75 mm de diámetro, de esta aleación, sin alcanzar deformaciones
permanentes?. b) Si este alambre tiene una longitud de 30.5 m y se carga con 44 Kg, ¿Cuál
será su alargamiento total?
a) Carga máxima
La fuerza máxima que podrá soportar se obtiene al despejar la fuerza de la definición de
la tensión en el límite elástico.
σ=
F
⇒ F =σ ⋅ S
S
sustituyendo valores se obtiene:
F = 275 MPa π (0,00275mm/2 )2 = 1632,5 N
2) Alargamiento
El alargamiento unitario es: ε = σ/E. Calculamos primero la tensión soportada por el
alambre, esta será:
σ=
F
44 • 9,8
=
_ = 72,63 MPa
S π (0,00275/2 )2
Sustituyendo en la expresión del alargamiento:
ε=
σ
E
=
72,63
= 0,00104
70000
El alargamiento total que experimenta será:
A = ε L = 0,00104 • 30,5 = 32 mm
Propiedades mecánicas
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PROBLEMA 9
Si el módulo de elasticidad de un acero es 205000 MPa, ¿Cuál será el alargamiento
de un alambre de este acero, de 2.5 mm de diámetro y 3 m de longitud, cuando soporta un
carga de 500 Kg?
Sabemos que el módulo elástico E es el cociente entre la tensión σ y el alargamiento ε,
dentro del periodo de deformaciones elásticas. E =
σ=
σ
ε
F
500 • 9,8
=
= 998 MPa
S π • _(0,0025/2 )2
El alargamiento unitario es:
ε=
σ
E
=
998
= 0,005
205000
El alargamiento total, será:
A = ε L = 0,005 • 3000 mm = 15 mm
PROBLEMA 10
Se tiene un hilo de acero de 0.89 mm de diámetro . El límite elástico es σe= 980 MPa y la
tensión de rotura σR=1130 MPa. Se dispone también de una aleación de aluminio de σe=
250 MPa y σR= 400 MPa. Se pide cual será la variación en % del peso de un hilo de
aluminio:
a)
Para que soporte 40 Kg con la misma deformación elástica que el acero.
b)
Para que soporte la misma carga que el acero sin deformarse plasticamente.
c)
Para que soporte la misma carga máxima sin romperse.
DATOS: aluminio: E=70 GPa, ρ=2.7 gr/cm3
acero:E=210 GPa, ρ=7.8 gr/cm3
Problemas de Ciencia de Materiales
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a) Ambos hilos soportan 40 Kg con la misma deformación elástica, luego:
ε=
σ
σ Fe
E
E Fe
=
σ Al
E Al
⇒
F
F
=
S Fe E Fe S Al E Al
⇒
S Al E Fe
=
S Fe E Al
Luego:
E ρ
masa hilo aluminio L S Al ρ Al
210 ⋅ 2.7
= 1.04
=
= Fe Al =
masa hilo acero
70 ⋅ 7.8
L S Fe ρ Fe E AL ρ Fe
Es decir, el hilo de aluminio es 1.04 veces más pesado que el de acero.
b) Ambos hilos soportan la misma carga sin deformarse plásticamente:
F =σ
e)
Fe
⋅ S Fe = σ
e)
Al
⋅ S Al
⇒
S Al σ e )Fe
=
S Fe σ )
e Al
masa hilo aluminio L S Al ρ Al σ e )Fe ρ Al 980 ⋅ 2.7
=
=
=
= 1.35
L S Fe ρ Fe σ ) ρ Fe 250 ⋅ 7.8
masa hilo acero
e Al
Es decir, el hilo de aluminio es 1.35 veces más pesado que el de acero.
c) Ambos hilos soportan la misma carga sin romperse.
Con un razonamiento idéntico al anterior sustituyendo límite elástico por tensión de rotura se
obtendría que el hilo de aluminio tiene una masa 0.98 veces el de acero, en este caso es más
ligero.
Propiedades mecánicas
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PROBLEMAS PROPUESTOS
1.- Cual es la tensión crítica de cizallamiento de un monocristal que comienza a deformarse
plásticamente en el plano (1,1,1) y en la dirección [1,1,0], al aplicarle una tensión normal de 3
MPa en la dirección [1,0,0].
2.- En un hilo de una aleación de magnesio de 1,05 mm de diámetro, la deformación plástica
comienza cuando se carga con 10,5 Kg. La deformación total con una carga de 12,1 Kg es de
0,0081. Calcular a) ¿Cual será la deformación plástica con la carga de 12,1 Kg.? b) Si se carga
con 35 Kg un hilo de 2 mm de diámetro y 20 m. de longitud, ¿cual será el alargamiento total
que experimenta ?
3.-Calcular la resistencia teórica de cohesión y la real (Griffith) para un material frágil y
comparar los resultados, suponiendo que los defectos internos son del orden de 0,002 mm.
γs=14 J/m2, E=72500 MPa, y la separación entre planos de clivaje es a=0,25 nm.
4.- A un monocristal de Cu de sección cilíndrica de 1 mm de diámetro, se le aplica una fuerza
de 1 Kg. en la dirección del eje [ 101] 1. a) Que tensión normal soporta una sección transversal.
b) Que tensión cortante se produce en el plano ( 111) 2 en la dirección [ 110] . c) Si se aplica
una tensión de 123 MPa en la dirección [110], que tensión cortante aparece en el sistema
(010)[101].
5.- Los datos obtenidos en el ensayo a tracción de una
probeta de 12 mm de diámetro de un cierto material se
representan en la tabla adjunta. Tras la fractura la
longitud final de la probeta fue 32.61 mm y el diámetro
final 11.74 mm. Dibujar la curva de comportamiento y
calcular:
a) el módulo de elasticidad
b) límite elástico convencional
c) tensión de rotura
d) alargamiento a la rotura y estricción.
e) Deformación elástica y plástica para una carga de 26
KN.
Carga
(KN)
0
5
10
15
20
25
26.5
27
26.5
25
Longitud de la
probeta (mm)
30.0000
30.0296
30.0592
30.0888
30.1500
30.5100
30.9000
31.5000
32.1000
32.7900
6.- Se desea diseñar un eje de sección circular y longitud un metro que cumpla los
siguientes requerimientos: peso inferior a 3 Kg, diámetro máximo de la sección 30 mm,
tensión dentro del campo elástico y alargamiento longitudinal máximo del eje 2 mm. Para
ello se dispone de los siguientes materiales:
Acero: E= 210 GPa, σe= 345 MPa, ρ= 7.8 gr/cm3.
Problemas de Ciencia de Materiales
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Aluminio: E= 70 GPa, σe= 215 MPa, ρ= 2.7 gr/cm3.
Titanio: E= 113 GPa, σe= 250 MPa, ρ= 4.5 gr/cm3.
Decir qué material o materiales elegiría, valor del diámetro de la barra, tensión a que está
sometida y alargamiento sufrido.
7.- La tensión crítica de fractuar por clivaje de un cristal ccc en los planos {1 1 0} es de 90
MPa, y la tensión crítica de cizallamiento en el plano (111) y en la dirección [101] es de 10
MPa. Decir si se romperá dúctil o frágilmente, si se le aplica una carga en la dirección [001].
Cual sería el valor de la tensión que produce la rotura o el deslizamiento ?
8.- Una probeta de Φ = 8 mm y longitud entre puntos de 25 mm, se ensaya a tracción. Después
del ensayo se obtienen los siguientes resultados: Carga máxima =3000 Kg. Carga al cambiar la
pendiente de la curva=2300 Kg. Carga en el momento de la rotura =2000 Kg Φf=6.2 mm
lf=30.7 mm. Calcular: a) Resistencia a la rotura. b)Límite elástico, decir que tipo de límite es el
calculado. c) Alargamiento a la rotura para una probeta normalizada. d) Estricción a la rotura.
9.- Una probeta de d=20mm. y l=60mm. se somete a un ensayo de tracción. A los 120.000 N
comienza la fluencia. La carga máxima soportada es de 245.000 N y la longitud total con esa
carga es de 68mm. Determinar: a) La deformación real producida con 120.000 N. b) La
deformación real y el i un momento antes de la rotura. c) La deformación de rotura
normalizada si la longitud final es de lf=72 mm.
10.- Un cristal Al desliza sobre los planos (111) en la dirección [1 1 0], cuando se aplica una
tensión de 5,5 Mpa en la dirección [1 1 1]. ¿Cual será la resistencia de cizallamiento del
material?
11.- Una barra de Cu tiene solamente deformación elástica con tensiones inferiores a 95 Mpa.
¿Qué sección transversal será necesaria para soportar 1340 Kg, sin sobrepasar el límite
elástico? Si la barra es de sección circular y tiene una longitud de 1,5 m., calcular cual sería la
tensión real soportada con esa misma carga?. E=110000 Mpa.
12.- En un ensayo de tracción se han tomado los siguientes datos:
8836 N
31809 N
53014 N
56549 N
61850 N
67151 N
70686 N
77754 N
0.046 mm
0.167 mm
0.278 mm
0.54 mm
0.93 mm
1.32 mm
1.58 mm
2.1 mm
Dibujar la curva de tensión - Deformación. Calcular el módulo de elasticidad. Calcular el límite
elástico convencional. Que carga habría que aplicar para obtener una deformación permanente
de 1.2 mm. Calcular el alargamiento a la rotura. La probeta tiene inicialmente 15 mm de
diámetro y es normalizada.
13.- Una barra de acero aleado de 12 mm de diámetro y distancia entre marcas de 70 mm se
ensaya a tracción obteniéndose que la deformación plástica comienza cuando se carga con
Propiedades mecánicas
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9000 Kg, la deformación total con una carga de 11000 Kg es de 0,0081. Calcular la
deformación plásica para los 11000 Kg. Una vez roto la distancia entre marcas es de 73 mm,
calcular el alargamiento a la rotura normalizado. Ensayado el material para medir su dureza
Rockwell C se obtiene que con la precarga el penetrador avanza 30 μm, con la carga total el
avance total del penetrador es de 200μm y al quitar la sobrecarga recupera 80 μm,
determinar la dureza HRC.
14.- Una probeta de φ 8 mm y longitud entre puntos de 25 mm, se ensaya a tracción. Después
del ensayo se obtienen los siguientes resultados: Carga máxima =3000 Kg. Carga al cambiar la
pendiente de la curva=2300 Kg. Carga en el momento de la rotura =2000 Kg φf=6.2 mm
lf=30.7 mm. Calcular: a) Resistencia a la rotura. b)Límite elástico, decir que tipo de límite es el
calculado. c) Alargamiento a la rotura para una probeta normalizada. d) Estricción a la rotura.
15.- Una probeta de d=15mm. y l=70mm. se somete a un ensayo de tracción. A los 75.000 N
comienza la fluencia. La carga máxima soportada es de 135.000 N y la longitud total con esa
carga es de 75 mm. Determinar: a) La deformación real producida con 75.000 N. b) La
deformación real y el ∅ un momento antes de la estricción. c) El alargamiento a la rotura
normalizada si la longitud final es de lf= 83 mm.
16.-En el comportamiento mecánico de materiales puede suponerse con bastante
aproximación que en el rango de deformaciones plásticas la tensión real que actúa sobre una
sección y la deformación real total (elástica más plástica) cumplen la siguiente
relación: σ real = kε real . Al aplicar una carga de tracción a una probeta metálica de 7.5 mm
de diámetro y 50 mm de longitud se obtuvo la siguiente información: para una carga de 10.5
kN el incremento de longitud total fue de 2 mm y para carga de 11.1 kN el incremento de
longitud fue de 9.5 mm. a)Calcular los valores de k y n. b) Se puede demostrar que el punto
de carga máxima, que coincide con la formación de la estricción, corresponde al valor de
dσ
=σ .
tensión real que cumple:
dε
Calcular empleando la relación anterior el valor de la carga máxima aplicada durante el ensayo,
así como la tensión de rotura del material (referida a la sección inicial).
n
17. Se tienen dos chapas de hierro y cobre unidas soportando
una carga de tracción de 1000 Kg. Si ambas chapas sufren el
mismo alargamiento, calcular cuanto vale dicho alargamiento y
comprobar que la tensión que soporta cada chapa es inferior al
límite elástico del Fe y el Cu respectivamente.
EFe = 210 GPa; ECu = 120 GPa.
Límite elástico Fe: 250 MPa
Límite elástico Cu: 100 Mpa
1000 Kg
Fe Cu
10 mm 10 mm
espesor 5 mm