Capítulo 7 CONCLUSIONES - Pàgina inicial de UPCommons

7. CONCLUSIONES
89
Capítulo 7
CONCLUSIONES
7.1. RESULTADOS OBTENIDOS.
La idea de este apartado es realizar un análisis crítico del cálculo vectorial discreto que
aquí se propone, así como de los resultados que hemos obtenido.
Podríamos empezar diciendo que, en cuanto a su concepción teórica, el cálculo vectorial
discreto tiene un desarrollo impecable. Yo diría incluso magnífico, pues nos permite
trabajar de forma análoga al continuo siguiendo un proceso natural. Los conceptos pueden ser más o menos abstractos, y las ecuaciones más o menos complejas, pero al fin y
al cabo trabajamos con matrices y vectores. Esto significa que a pesar de los formalismos necesarios para que la estructura matemática sea rigurosa, la teoría es simple en su
concepción. Y este es uno de los puntos fuertes del método. De forma sencilla somos
capaces de obtener con suficiente precisión soluciones a los problemas diferenciales
elípticos más importantes de la física e ingeniería. Otros métodos, por ejemplo, incluyen
cálculos y técnicas sofisticadas que oscurecen en algunas ocasiones las soluciones que
queremos encontrar. Con el cálculo vectorial discreto, en cambio, los algoritmos de cálculo resultan muy sencillos. Al fin y al cabo sólo se trata de “echar las cuentas”, es decir, sumas, restas y algunos productos.
Por otro lado, con esta nueva concepción en la estrategia numérica hemos conseguido
dar una nueva visión del método de las diferencias finitas gracias al teorema de equivalencia. No sólo eso, se ha conseguido dotarlo de una coherencia y naturalidad que antes
no tenía. Podríamos decir que el método de las diferencias finitas constituía un recetario
de esquemas particulares, sin saber muy bien porqué en un determinado caso se hacía
uso de un operador en diferencias u otro.
Ahora, con el nuevo cálculo vectorial discreto, los esquemas en diferencias se obtienen
de forma natural como elecciones particulares de las matrices y vectores del operador
discreto. Con esto no sólo se recuperan todos los esquemas en diferencias ya existentes
hasta la fecha, sino que proporciona una técnica para generar muchos más. Es el caso de
las retículas triangulares en 2D, donde muy pocos autores han elaborado esquemas prácticos de resolución de edp’s. Aquí es donde el método toma ventaja, pues además estos
esquemas representan sus propiedades de simetría, positividad y consistencia en función
de determinadas estructuras de la matriz de admitancias A. Es decir, con un solo vistazo
de la matriz ya sabremos si el esquema de cálculo es simétrico, de qué orden de consistencia y si es de tipo positivo. A continuación me gustaría mostrar precisamente estos
resultados para que se visualice con claridad la idea. Se trata, pues, de dar algunos esquemas en diferencias para las retículas triangulares en 2D, con la estructura particular
de la matriz de admitancias A y el vector de flujo b. Para simplificar escogeremos
7. CONCLUSIONES
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θ = π 2 , esto es, los vectores w 1 y w 2 de la base W de la retícula son ortogonales. Así
la expresión de los vectores de adyacencia, los vectores de términos cruzados y la matriz de cambio será la definida en (6.27).
En las condiciones anteriores, el operador Lh ( u ) = − div A∇u + ( b , ∇u ) + qu , donde la
matriz de admitancias adopta la estructura:
7(k11 + k12 )
0


0
−7 k12


a
0
−
1
A= 
−a
6  ( k11 + k12 ) − hk1 + a

−a
−k12 + a


0
−a

−a
( k11 + k12 ) + hk1 + a
0
7 ( k22 + k12 )
−a
0
0
−a
7( k11 + k12 )
0
( k22 + k12 ) + hk2 + a
−a
−a


− k12 + a
−a

−a
( k22 + k12 ) + hk2 + a 

0
−a


0
−7 k12


0
7 ( k22 + k12 )

0
siendo a ∈ un parámetro libre, y donde el vector de flujo y el parámetro q se definen
como:
1 
 2 k1 


b =  0  q = k0
(7.2)
1 
 k2 
2 
aproxima con cuarto orden de consistencia (la demostración puede hallarse en el anexo
1) a la ecuación diferencial en derivadas parciales dada por la expresión (1.48):
L ( u ) = − div K∇u + ( k , ∇u ) + k0u
Este operador discreto Lh ( u ) equivale a su vez al siguiente esquema en diferencias:
1 
 4
Lh ( u ) =  2 ( k11 + k12 ) − 2 a  ( 2u ( x) − u ( x1 ) − u ( x4 ) )
6h 
 3h
1 
 4
−  2 k12 + 2 a  ( 2u ( x) − u ( x2 ) − u ( x5 ) )
6h 
 3h
1 
 4
+  2 ( k22 + k12 ) − 2 a  ( 2u ( x) − u ( x3 ) − u ( x6 ) )
h
h 
3
6

 1

k + k12 + a )  ( 2u ( x) − u ( z1 ) − u ( z4 ) )
−
2 ( 11
h
12


(7.3)
1
1
( k12 − a )( 2u ( x) − u ( z2 ) − u ( z5 ) ) −  2 ( k22 + k12 + a )  ( 2u ( x) − u ( z3 ) − u ( z6 ) )
12
12h 2
 h

1
+ 2 a ( 6u ( x) − u ( y1 ) − u ( y2 ) − u ( y3 ) − u ( y4 ) − u ( y5 ) − u ( y6 ) )
6h
2
2
+ hk1 [u ( x1 ) − u ( x4 ) ] + hk2 [u ( x3 ) − u ( x6 )]
3
3
1
1
− hk1 [u ( z1 ) − u ( z4 )] − hk2 [u ( z3 ) − u ( z6 ) ] + k0u ( x)
12
12
−
(7.1)
7. CONCLUSIONES
91
Este esquema es simétrico si k1 = k2 = 0 , es decir, si el vector k es nulo. En estas circunstancias el operador L ( u ) se dice que es autoadjunto. Además en ningún caso el
esquema es de tipo positivo. En el anexo 1 también se demuestra que para las retículas
triangulares no es posible obtener esquemas de quinto orden de consistencia.
Tomando k = 0 , a = 0 y k12 = 0 en el esquema anterior, se obtiene el esquema de cuarto orden para la retícula rectangular:
4
4
k 2u ( x) − u ( x1 ) − u ( x4 ) ) + 2 k22 ( 2u ( x) − u ( x3 ) − u ( x6 ) )
2 11 (
3h
3h
1
1
−
k 2u ( x) − u ( z1 ) − u ( z4 ) ) −
k22 ( 2u ( x) − u ( z3 ) − u ( z6 ) ) (7.4)
2 11 (
12h
12h 2
+ k0u ( x)
Lh ( u ) =
Para el lector interesado, un desarrollo extenso de los diferentes esquemas en diferencias para las retículas rectangulares se encuentra en [5], donde queda patente la diferente
estructura de la matriz A y el vector b para cada uno de ellos.
Ahora imaginemos que queremos resolver el Laplaciano en la retícula triangular. Entonces tenemos que:
L ( u ) = − div K∇u + ( k , ∇u ) + k0u = div ∇u = ∆u
(7.5)
lo cual implica que K = − Id , k = 0 y k0 = 0 . Por tanto k11 = −1 , k12 = 0 , k22 = −1 ,
k1 = 0 y k2 = 0 . Sustituyendo en (7.3) se llega a:
1 
 4
Lh ( u ) =  2 + 2 a  ( u ( x1 ) + u ( x4 ) − 2u ( x) )
 3h 6h 
1
+ 2 a ( u ( x2 ) + u ( x5 ) − 2u ( x) )
6h
1 
 4
+  2 + 2 a  ( u ( x3 ) + u ( x6 ) − 2u ( x) )
 3h 6h 
1 
 1
−
−
a ( u ( z1 ) + u ( z4 ) − 2u ( x) )
2
2
12h 12h 
1
−
a ( u ( z2 ) + u ( z5 ) − 2u ( x) )
12h 2
1 
 1
−
a ( u ( z3 ) + u ( z6 ) − 2u ( x) )
−
2
2
12h 12h 
1
− 2 a ( u ( y1 ) + u ( y2 ) + u ( y3 ) + u ( y4 ) + u ( y5 ) + u ( y6 ) − 6u ( x) )
6h
Y la matriz A, el vector b y el parámetro q quedarán de la forma:
(7.6)
7. CONCLUSIONES
0
a 1− a a
0 
 7


0
0
a
a 
−a
 0
0
7
0
a 1− a 
1 a
A=− 

0
7
0
a 
6 1 − a a
 a
a
0
0
0 
−a


a 1− a
a
0
7 
 0
92
b=0
q=0
(7.7)
Así, para cualquier valor del parámetro a, el esquema aproximará al Laplaciano con
cuarto orden de consistencia.
El último ejemplo muestra un esquema de segundo orden de consistencia que es casisimétrico para cualquier valor de k. Además es de tipo positivo si K es una M-matriz
estrictamente definida positiva y k0 ≥ 0 .
1
( k11 + k12 )( 2u ( x) − u ( x1 ) − u ( x4 ) )
h2
1
− 2 k12 ( 2u ( x) − u ( x2 ) − u ( x5 ) )
h
1
+ 2 ( k22 + k12 )( 2u ( x) − u ( x3 ) − u ( x6 ) )
h
1
1
− k1 ( u ( x1 ) − u ( x4 ) ) − k2 ( u ( x3 ) − u ( x6 ) )
2h
2h
+ k0 u ( x )
Lh ( u ) =
(7.8)
Que corresponde a la siguiente estructura para la matriz A, el vector b y el parámetro q:
 k11 + k12

 0
 0
A=
 0
 0

 0
0
0
0
0
−k12
0
0
0
0
k22 + k12
0
0
0
0
k11 + k12
0
0
0
0
−k12
0
0
0
0


1 
0 
 2 k1 

0


 b =  0  q = k0
0 
1 
 k2 
0 
2 

k22 + k12 
0
(7.9)
Si como antes queremos aproximar el Laplaciano, sustituyendo valores obtenemos el
esquema clásico de 5 puntos de las retículas rectangulares.
Lh ( u ) =
1
( u ( x1 ) + u ( x2 ) + u ( x3 ) + u ( x4 ) − 4u ( x) )
h2
(7.10)
7. CONCLUSIONES
93
Es importante comentar que los resultados de esta tesina se han obtenido para retículas
uniformes, y por tanto sin ningún tipo de irregularidad. Aunque, como ya se ha visto, las
retículas uniformes son las que computacionalmente más nos van a interesar por sus
propiedades particulares. Así que esto no resulta un gran impedimento en la práctica.
Por otro lado también es cierto que se ha omitido el análisis en la frontera, aunque esto
lo analizaremos con mayor detalle más adelante.
Viendo las fórmulas generales uno podría pensar que todo el artificio de vectores de
adyacencia, plantilla de cálculo, matriz ξ , etc., no hacen más que complicar innecesariamente el cálculo. Pero hay que tener presente que este estudio es a nivel teórico y
tiene como voluntad representar el mayor número de casos posibles. Esto significa que
en la práctica nosotros dispondremos de las expresiones de las fórmulas particularizadas
a elecciones concretas de las matrices de vectores F y G, la matriz de cambio M y la
matriz ξ de nodos en orden de adyacencia 2. Por lo tanto ya dejará de ser una dificultad,
más bien pasará a ser una incomodidad. Hay que comentar que aunque las fórmulas son
extensas, no son complejas en el sentido que se pueden sistematizar con algoritmos de
cálculo muy sencillos.
Un aspecto que debe quedar muy claro es que esta tesina sólo se refiere a la construcción propiamente dicha del cálculo vectorial discreto. Es decir, hemos obtenido los algoritmos de cálculo, pero nada se ha dicho de cómo debemos resolverlos. Sabemos que
estos algoritmos van a dar lugar a un sistema lineal, donde la matriz del mismo se obtiene por ensamblaje de estos esquemas de cálculo a nivel local, y su solución va a ser la
que buscamos para nuestro problema diferencial. Pero cómo resolver este sistema lineal
no es materia de esta tesina. Para ello ya hay suficiente bibliografía especializada como
para llenar una habitación entera. Aunque en algunos momentos se ha comentado la
idoneidad de los esquemas de tipo positivo para poder resolver con mayor facilidad el
sistema lineal asociado.
Respecto al análisis de consistencia podríamos decir que es un tema aparte. El haberlo
hecho para cualquier dimensión del espacio y cualquier tipo de conectividad de la retícula es algo sin precedentes. Con ello hemos conseguido estudiar no sólo la consistencia
de unos cuantos esquemas, sino de todos ellos, sin excepción. Por tanto éste es un hecho
relevante del estudio, y es algo que permitirá desarrollar futuros estudios en el tema. Es
importante remarcar que este estudio de la consistencia es igualmente válido para operadores diferenciales de mayor grado, pues sólo se requiere dar la expresión de la función de correspondencia de parámetros k̂ ( ε ) .
Ya hemos visto que el cálculo vectorial discreto que proponemos es equivalente al método de las diferencias finitas, pero hay que remarcar que a priori vamos a tener un ventaja añadida. Se trata del estudio de estabilidad. Para demostrar la estabilidad de las discretizaciones miméticas del medio continuo, que se obtienen con este cálculo vectorial
discreto, bastará con demostrar las ecuaciones de conservación propias del medio continuo. Por ejemplo, la conservación de la energía. Así pues, podremos olvidarnos de realizar un análisis numérico tedioso de la estabilidad. Y además evitaremos demostrar la
convergencia del método gracias a la equivalencia de Lax, tal y como se expone en el
capítulo 4.
7. CONCLUSIONES
94
Sería de justicia terminar comentando los aspectos quizá más flojos del estudio. Así, en
primer lugar, encontraríamos el no realizar el análisis en la frontera, teniendo en cuenta
la gran importancia de las condiciones de contorno en los problemas diferenciales. Pero
como ya se comenta en el capítulo 2, el desarrollo teórico en la frontera es motivo de un
estudio detallado que se propone para futuros desarrollos. Sin embargo se puede aventurar que para una geometría irregular del contorno seguramente perderemos algo de consistencia, aunque eso no debe implicar necesariamente una pérdida de la convergencia.
De hecho hay trabajos en esta línea que demuestran que el orden de convergencia global
del método se conserva, aún perdiendo la consistencia en la frontera. Este fenómeno
recibe el nombre de superconvergencia.
Otros aspectos criticable del método es no haber analizado las edp’s con coeficientes
variables, o no haber hecho experiencias numéricas para llevar a la práctica todo el cálculo. Pero debemos recordar que podemos recuperar todo el trabajo ya realizado para el
método de las diferencias finitas, ya que así lo permite el teorema de equivalencia.
Además, los métodos miméticos son un campo en plena expansión. Por tanto lo lógico
resulta ir avanzando poco a poco pero con paso firme, y a medida que se obtienen resultados lógicos y aceptables, continuar con mayor complejidad. Es por eso que me ha parecido interesante introducir una sección referente a los posibles desarrollos futuros,
indicando a mi juicio cuáles podrían ser los próximos avances en el tema.
7.2. VERIFICACIÓN DE LOS OBJETIVOS.
Puedo asegurar con cierta satisfacción que los objetivos que se habían marcado para
esta tesina se han alcanzado. Es más, en un principio la tesina nacía con el propósito de
estudiar únicamente las retículas triangulares 2D. Y esto no sólo se ha conseguido sino
que se ha superado con creces. Ahora las retículas triangulares en 2D han pasado a un
segundo plano como caso particular de la formulación general que aquí se propone. Ya
no nos restringimos a las retículas triangulares, ni tan siquiera a las retículas en 2D.
Ahora nos situamos en retículas uniformes de n y con una conectividad libre para la
imaginación. Es un salto cualitativo importante. Pero es que además, este paso al genérico nos permite obtener propiedades generales que de la otra forma no hubiéramos encontrado, y abre el camino a nuevos desarrollos teóricos sobre este campo.
Uno de los conceptos que más me ha ayudado en mi propósito ha sido el establecer los
vectores de adyacencia, la matriz ξ y la función de verificación de nodo. Ha sido la
clave de todo el estudio para poder trabajar en genérico. Todo lo demás ha ido surgiendo como la continuación de un proceso análogo al continuo. Primero definiendo las retículas uniformes con sus propiedades, luego estableciendo los elementos básicos del
cálculo vectorial discreto, los operadores básicos de primer orden, los de segundo orden
y por último haciendo un análisis numérico de sus propiedades: simetría, positividad y
consistencia.
También me gustaría remarcar el trabajo realizado para definir las retículas uniformes
como medios discretos tipo de este análisis. El hecho de trabajar en espacio de dimensión n me obligó a replantear toda la concepción de las retículas con la voluntad de establecer un análogo al continuo de la forma más simplificada posible. El tener que defi-
7. CONCLUSIONES
95
nir nodos interiores, nodos frontera, etc., sugería la posibilidad de establecer algún tipo
de relación topológica en el medio discreto. Y esto al final se ha conseguido con la relación de conexión y la molécula computacional.
Así pues, uno por uno se han cumplido los objetivos, y en la medida de lo posible he
tenido la voluntad de aclarar todos los conceptos expuestos con ejemplos sencillos, buscando siempre el símil con el caso continuo. Veamos, pues, una lista de los resultados
más representativos de esta tesina:
•
•
•
•
Se han definido las retículas uniformes como análogos a los espacios métricos
del continuo. Se han podido establecer relaciones topológicas análogas gracias a
la relación de conexión y a la plantilla de cálculo (o molécula computacional),
que tiene una función similar a la bola de radio epsilon del continuo.
Los operadores diferenciales elípticos de la forma:
L ( u ) = − div K∇u + ( k , ∇u ) + k0u
tienen un operador análogo en el medio discreto dado por la expresión:
Lh ( u ) = − div A∇u + ( b , ∇u ) + qu , donde la matriz de admitancias A, el vector
b y el parámetro q dependen de la frecuencia de paso de la retícula h y de los coeficientes K, k y k0 .
Gracias al teorema de equivalencia mostrado en el capítulo 5, este operador discreto Lh ( u ) constituye en realidad un esquema en diferencias finitas que nos
permite obtener la solución aproximada de la edp.
Además, todas las propiedades de los esquemas en diferencias equivalen a determinadas estructuras de la matriz A y el vector b. Así, por ejemplo, el esquema
en diferencias será simétrico si y sólo si el vector b es igual a cero y la matriz A
tiene la siguiente estructura:
A
A= 1
 A2
•
•
•
•
A2 
T
T
 con A1 = A1 y A 2 = A 2 matrices cuadradas de orden m
A1 
Se ha realizado un estudio genérico de la consistencia para cualquier retícula
uniforme. Así, conociendo la matriz A, el vector b y el parámetro q del operador
discreto, no tendremos más que sustituir valores en las ecuaciones genéricas ψ
y φ ( ε ) , y comprobar cuál es su orden de consistencia, informándonos del error
de aproximación que estemos cometiendo.
La formulación genérica permite establecer propiedades y enunciados de carácter general, dotando de mayor potencia al método, y además abre la puerta a futuros desarrollos.
Todo el proceso de construcción del cálculo se ha sistematizado para una futura
aplicación computacional. Es el caso, por ejemplo, de las funciones Η y Φ .
Se ha ejemplificado el cálculo para las retículas triangulares 2D, mostrando algunos de los esquemas en diferencias que podemos obtener para este tipo de retículas.
7. CONCLUSIONES
96
7.3. DESARROLLOS FUTUROS.
En esta tesina se han conseguido estudiar las retículas uniformes generales, con grado
de conectividad arbitrario. Es decir, se ha conseguido superar la dificultad propia del
medio discreto. Esto constituye un hito importante, pero quedan muchos otros por superar. Esta sección tiene el objetivo de mostrar aquellos estudios que a mi juicio podrían
seguir desarrollando este campo del análisis numérico.
Ya se ha comentado la necesidad de realizar un estudio detenido en la frontera y estudiar edp’s elípticas de coeficientes variables. Es un tema que está claro. Se trata, pues,
de dar otras ideas. Así, por ejemplo, podríamos plantearnos la resolución de problemas
parabólicos o hiperbólicos. En realidad esto no debería suponer un gran problema pues
el único cambio sustancial sería la aparición de derivadas respecto el tiempo. Y esto lo
podremos solucionar sin más que usar una discretización en diferencias finitas para la
variable temporal, por ejemplo el método de Crank-Nicolson. De aquí la importancia de
haber analizado primero los operadores elípticos, pues nos han proporcionado un modelo de discretización espacial. Aunque tal y como se ha definido todo el aparato teórico
del método, la aparición de la variable tiempo también podríamos interpretarla considerando un espacio de dimensión n+1 en vez de dimensión n. Es decir, introduciendo el
tiempo como una variable espacial más. Actuando así el único obstáculo que encontraríamos sería al definir las condiciones de contorno y las condiciones iniciales de nuestro
problema diferencial.
Otro punto importante sería definir nuevos operadores vectoriales discretos análogos a
los del continuo, por ejemplo, el rotacional. Y sería muy importante definir el cálculo
integral y demostrar los teoremas integrales. Pero esto ya estaría en un plano más teórico. De cara a una aplicación práctica del método, resultaría interesante hacer un estudio
de la influencia de la matriz A y el vector b para corregir irregularidades de las retículas. O estudiar la idoneidad de unas retículas uniformes frente a otras en determinados
problemas diferenciales, lo cual nos obligaría a hacer ensayos numéricos a modo de
experimentación. Además, con estos ensayos, podríamos estudiar las propiedades de
convergencia en fronteras con geometrías distintas, y realizar un análisis comparativo.
En fin, se podrían citar muchos más, pero estos creo que son quizá los más inmediatos.
Me gustaría terminar esta tesina haciendo una reflexión. Después de todo lo visto y estudiado me quedo con la sensación de que no hay una técnica numérica definitiva para
la resolución de edp’s. Es una guerra que tiene múltiples frentes, donde eminentes matemáticos y científicos trabajan desde hace muchos años. Hay diferentes vías de abordarlo, cada una de ellas con sus ventajas e inconvenientes, y lo único cierto es que son
métodos inciertos.
Por otro lado, un método que lleva tantísimo tiempo en vigor, como es el caso de las
diferencias finitas, debe ser necesariamente bueno. Y aunque hoy en día existan estrategias numéricas más sofisticadas, las diferencias finitas siempre han estado allí, nunca
han dejado de usarse, lo cual es un hecho remarcable.