capítulo 4 planteamiento general del problema elástico

CAPÍTULO 4
PLANTEAMIENTO GENERAL
DEL PROBLEMA ELÁSTICO
INCÓGNITAS Y ECUACIONES DEL PROBLEMA ELÁSTICO
Incógnitas: Desplazamientos (u,v,w), Tensor de tensiones (σx,σy,σz,τxy,τxz,τyz)
y Tensor de Deformaciones (εx,εy,εz,γxy,γxz,γyz)
¡15 incógnitas!
Ecuaciones:
Equilibrio interno:
Compatibilidad:
∂2ε
∂γ ⎫ ∂2γ
2ε
⎧ ∂γ
∂γ
∂2ε
∂
∂
yz
xy
⎪
⎪
xy
x
xz
yz
y
z +
X+ x +
+ xz = 0 2 ∂y∂z = ∂x ⎨− ∂x + ∂y + ∂z ⎬
=
∂x
∂y
∂z
∂y 2
∂z 2
⎩⎪
⎭⎪ ∂y∂z
∂τ
∂σ
∂τ
∂2γ
∂2ε
∂2ε
∂2ε
∂γ
∂γ ⎫
⎧
xy
y
yz
∂γ
zx =
x +
z
∂ ⎪ yz
y
xz + xy ⎪
+
+
=0 2
Y+
=
−
⎨
⎬
∂z∂x
∂x
∂y
∂z
∂z 2
∂x 2
∂z∂x ∂y ⎪ ∂x
∂y
∂z ⎪
⎩
⎭
2γ
2ε
∂τ
2ε
∂τ
∂σ
∂
∂
∂
2
yz
∂γ
∂γ ⎫
xy
y
∂ ε
x
Z + xz +
+ z =0
∂ ⎧⎪ yz ∂γ xz
xy ⎪
=
+
z
=
+
−
2
⎨
⎬
∂x∂y
∂x
∂y
∂z
∂x 2
∂y 2
∂x∂y ∂z ∂x
∂y
∂z
∂τ
∂σ
∂τ
⎪⎩
Constitutivas:
ε
ε
ε
x
y
z
σ
x − ν (σ + σ )
z
E E y
σ
y ν
=
− (σ + σ )
z
E E x
σ
ν
= z − (σ + σ )
y
E E x
=
γ
γ
γ
xy
zx
yz
=τ
=τ
=τ
xy
zx
yz
σ
/G
/G
/G
ó
σ
σ
x
y
z
= λe + 2Gε
v
x
= λe + 2Gε
v
y
= λe + 2Gε
v
z
⎭⎪
τ
τ
τ
xy
zx
zy
= Gγ
= Gγ
= Gγ
xy
zx
zy
¡15 ecuaciones!
FORMULACION EN DESPLAZAMIENTOS:
ECUACIONES DE NAVIER:
Incógnitas: Los desplazamientos u,v,w en
cualquier punto del sólido
r
∂
X + (λ + G) (div δ) + G∆u = 0
∂x
r
∂
Y + (λ + G) (div δ) + G∆v = 0
∂y
r
∂
Z + (λ + G) (div δ) + G∆w = 0
∂z
donde:
r
r r
δ = ui + vj + wk
r
Claude Louis
Marie Henri
NAVIER
(1785-1836)
Ecuación fundamental
de la Elasticidad:
r
r
r
r r
f + (λ + G) gra d (div δ) + G∆δ = 0
v
John Henry MICHELL
(1863-1940)
FORMULACION EN TENSIONES:
ECUACIONES DE MICHELL Y BELTRAMI
Incógnitas: Las tensiones σx,σy,σz,τxy,τxz,τyz
en cualquier punto del sólido
Ecuaciones de Michell:
2σ
r
ν
∂X
1 ∂ I1
∆σ +
=−
div f − 2
x 1+ ν
v
∂x
1− ν
∂x 2
2σ
r
1 ∂ I1
ν
∂Y
div f − 2
∆σ +
=−
y 1+ ν
v
1− ν
∂y
∂y 2
2Iσ
∂
r
1
ν
∂Z
1
div f − 2
∆σ +
=−
z 1+ ν
v
1− ν
∂z
∂z 2
2Iσ
∂
1
1 = −( ∂Y + ∂Z )
∆τ +
yz 1 + ν ∂y∂z
∂z ∂y
2Iσ
∂
1
1 = −( ∂Z + ∂X )
∆τ +
zx 1 + ν ∂z∂x
∂x ∂z
2σ
1 ∂ I1
∂X ∂Y
∆τ +
= −(
+
)
xy 1 + ν ∂x∂y
∂y ∂x
Ecuaciones de Beltrami:
fV
Eugenio BELTRAMI
(1835-1900)
= constante
∂2Iσ
1 =0
(1 + ν )∆σ +
x
∂x 2
∂2Iσ
1 =0
(1 + ν )∆σ +
y
∂y 2
∂2Iσ
1 =0
(1 + ν )∆σ +
z
∂z 2
∂2Iσ
1 =0
(1 + ν )∆τ +
yz ∂y∂z
∂2Iσ
1 =0
(1 + ν )∆τ +
zx ∂z∂x
∂2Iσ
1 =0
(1 + ν )∆τ +
xy ∂x∂y
ENERGÍA DE DEFORMACIÓN
x
F
Consideremos un muelle sometido a una fuerza F.
F es proporcional al desplazamiento x: F=k.x
Determinemos el trabajo realizado por la fuerza cuando F= Fo:
1
W = Fo xo
2
Esta energía (trabajo) es almacenada por el muelle y liberada
cuando la fuerza cesa de actuar.
Si repitiéramos la misma experiencia con una barra:
l = lo +∆lo
T = U = ∫l =l
o
1
F ⋅ dl = Fo ∆lo
2
F0
Carga
Trabajo realizado por la fuerza externa (U) =
Energía potencial almacenada en el sólido
Trabajo
externo
Elongación
∆l0
Area = A
Volumen = Al0
F
l = l +∆lo
T = U = ∫l = l o
o
F ⋅ dl =
1
Fo ∆lo
2
∆l0
Fo = σA o
1
U = σ ε l 0 A0
2
∆l o = ε l o
l0
F
1
ω = σε
2
Como
σ = Eε
1 2 σ2
ω = Eε =
2
2E
F0/A
Tensión
densidad de energía ω =
energía elástica almacenada
por unidad de volumen:
Densidad
de energía de
E deformación,
ω
Deformación ∆l0 /l0
ENERGÍA DE DEFORMACIÓN POR CORTANTE
y
Consideremos un cubo de material
sometido a una tensión cortante τxy que
causa una deformación angular γxy
a
a
a
x
(
y
τxy
)
1
1
2
U = τ xy ⋅ a ⋅ (γ xy a ) = τ xyγ xy a 3
2
2
1
1
3
3
ω = τ xyγ xy a / a = τ xyγ xy
2
2
γxy
x
δ = γxya
DENSIDAD DE ENERGÍA (CASO GENERAL)
1
ω = (σ xε x+σ yε y + σ z ε z+τ xyγ xy + τ yzγ yz + τ xzγ xz )
2
Expresando las deformaciones en función de las tensiones (Leyes de Hooke):
ω=
ν
1
1 2
σ x2 + σ y2 + σ z2 − (σ xσ y + σ yσ z + σ zσ x ) +
τ xy + τ yz2 + τ xz2
2E
E
2G
(
)
(
)
Expresando las tensiones en función de las deformaciones (Ecuaciones de Lamé):
1 2
1
2
2
2
ω = λe V + G ( ε x + ε y + ε z ) + G ( γ 2xy + γ 2yz + γ 2xz )
2
2
eV = εx + ε y + εz
ω≥0
UNICIDAD DE LA SOLUCION DE UN PROBLEMA ELASTICO
Consideremos un sólido sobre el que actúan fuerzas internas (X,Y,Z) por unidad
de volumen y fuerzas sobre su contorno (X,Y,Z). Supongamos que existen dos
soluciones diferentes:
Solución 1
σ 'x ,......., τ'xy ,.........
Ecs. Equilibrio interno
(Solución 1)
X+
∂σ ' x ∂τ' xy ∂τ' xz
+
+
=0
∂y
∂z
∂x
.....................
.....................
Ecs. Equilibrio contorno
(Solución 1)
Solución 2
σ''x ,......., τ''xy ,.........
Ecs. Equilibrio interno
(Solución 2)
X+
∂σ ' ' x ∂τ' ' xy ∂τ' ' xz
+
+
=0
∂y
∂z
∂x
.....................
.....................
Ecs. Equilibrio contorno
(Solución 2)
X = σ ' x l + τ' xy m + τ' xz n
X = σ ' ' x l + τ' ' xy m + τ' ' xz n
.....................
.....................
.....................
.....................
+ Ecs. Compatibilidad
(Solución 1)
+ Ecs. Compatibilidad
(Solución 2)
Restando las ecuaciones anteriores:
∂ ( σ ' x −σ ' ' x ) ∂ ( τ' xy −τ' ' xy ) ∂ ( τ' xz −τ' ' xz )
+
+
=0
∂x
∂y
∂z
.....................
.....................
' )m + (τ ' − τ '' )n = 0
(σ 'x − σ 'x' )l + (τ 'xy − τ 'xy
xz xz
.....................
.....................
+ 6 Ecs. Compatibilidad que contienen
ε 'x − ε ''x ,........., γ 'xy − γ ''xy ,..........
El resultado que hemos obtenido es equivalente a decir que se ha encontrado una
nueva distribución tensional (diferencia entre los estados tensionales de las
soluciones 1 y 2), que verifica todas las ecuaciones del problema elástico, para el
caso de que el sólido se encuentre libre de cargas actuantes sobre él (fuerzas
internas y de contorno nulas). Esto implica que el trabajo realizado por tales fuerzas
es nulo, ya que las fuerzas actuantes resultan ser nulas y, por tanto, la energía
elástica almacenada, o su correspondiente densidad de energía, debiera ser
también nula, por lo que:
1
1
,,2 + γ ,,,2 + γ ,,,2 ) = 0
ω = λev,,,2 + G(ε ,x,,2 + ε ,y,,2 + ε ,z,,2 ) + G(γ ,xy
yz
xz
2
2
Donde:
' ' ' = γ ' − γ '' ,......... .
ε x' ' ' = ε x' − ε x'' ,......... , γ xy
xy xy
''' = 0 ⇒ γ ' = γ '' ,..........
ε x''' = 0 ⇒ ε x' = ε x'' ,........., γ xy
xy
xy
' = τ ''
σ x' =σ x'' ,.......,τ xy
xy
¡no pueden existir dos soluciones distintas para un mismo problema elástico!
PRINCIPIO DE SUPERPOSICION
z
y
x
ESTADO 1
ESTADO 2
σ' x ...............τ' xy ..................
σ' ' x ...............τ' ' xy ..................
ε' x ................γ' xy ...................
ε' ' x ................γ' ' xy ...................
ESTADO 1+2
σ x = σ' x +σ' ' x ...............τ xy = τ' xy +τ'' xy ...............
ε x = ε' x +ε'' x ................γ xy = γ' xy + γ' ' xy ...............
EJEMPLO:
q
q
PRINCIPIO DE SAINT-VENANT
Supongamos un mismo sólido sometido, en las mismas
regiones, a dos sistemas de cargas mecánicamente
equivalentes:
F1
F2
SAINT VENANT
(1797-1886)
F4
F3
F5
Principio de Saint-Venant: los estados tenso-deformacionales producidos por ambos
sistemas de cargas en cualquier punto del sólido suficientemente alejado de la zona en
la que se aplican ambos sistemas (a distancias muy grandes en relación con las propias
dimensiones de la zona de la superficie sobre la que actúan el sistema de cargas 1 ó
el 2), son, a efectos prácticos, idénticos.
F
d
M
ESTADOS TENSO - DEFORMACIONALES IDENTICOS
SI M = F.d