Máster en Estadística e Investigación Operativa

Máster en Estadística e
Investigación Operativa
Título: Inferencia estadística para el equilibrio de Hardy-Weinberg en
estudios de genotipado con datos faltantes.
Autor: Lic. Milagros Sánchez Mayor
Director: Dr. Jan Graffelman
Departamento: Departamento de Estadística e Investigación Operativa.
Universidad: Universitat Politècnica de Catalunya
Convocatoria: 2012
Índice general
Índice general
I
1
Introducción
1.1. Objetivos del trabajo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2. Estructura del estudio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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2
Conceptos básicos de la genética
2.1. ¿Qué son los SNPs? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2. La genética Mendeliana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3. Principio de Hardy-Weinberg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.1. Posibles desviaciones del Equilibrio Hardy-Weinberg . . . . . .
2.4. Pruebas estadı́sticas para las Proporciones de Hardy-Weinberg . . . . .
2.4.1. La prueba χ2 de Pearson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.2. Test exacto de Levene-Haldane . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.3. Test de Razón de Verosimilitud (LRT) . . . . . . . . . . . . . .
2.5. Mı́nima frecuencia alélica (MAF) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.6. Coeficiente de endogamia (f ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.7. Potencia de las pruebas para detectar HWE . . . . . . . . . . . . . . .
2.7.1. Los cálculos de potencia de las pruebas clásicas para HWE . . .
2.7.2. Los cálculos de potencia de una prueba de HWE para la asociación marcadores-enfermedad . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.8. Importancia y aplicación del Equilibrio de Hardy-Weinberg . . . . . . .
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3
Descripción de la base de datos
3.1. Motivación por esta Base de Datos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2. Estructura de la base de datos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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4
Introducción a los Missing Data
4.1. Breve descripción del problema de los Missing Data en los SNPs . . . .
4.2. Missing Data en los SNPs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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I
21
22
ÍNDICE GENERAL
II
4.3. Terminologı́as . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3.1. Mecanismos de Respuestas en Marcadores Genéticos . . . .
4.3.2. Patrones de Missing Data . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4. Teorı́a general de la imputación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4.1. Imputación Múltiple (IM) . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4.2. Modelos de Imputación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4.3. Modelo de Localización General (GLM) . . . . . . . . . .
4.5. Análisis de sensibilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.6. Metodologı́a de nuestro estudio de los Missing Data en el contexto
HWE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Análisis de los resultados
5.1. Estadı́stica Descriptiva de los SNPs completos . . . . . . . . . . . . . .
5.2. Inspeccionando los Missing Data . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2.1. Mecanismo de Patrones de Missing Data . . . . . . . . . . . .
5.3. Imputación Simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.4. Creando las imputaciones bajo MAR . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.4.1. Creando las imputaciones con MICE . . . . . . . . . . . . . .
5.4.2. Selección de la matriz predictora . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.4.3. Chequeando el diagnóstico de los Missing . . . . . . . . . . . .
5.4.4. Evidencia de sesgos en las imputaciones bajo MICE . . . . . .
5.4.5. Creando las imputaciones con CAT . . . . . . . . . . . . . . .
5.4.6. Chequeando el diagnóstico de los Missing . . . . . . . . . . . .
5.4.7. Evidencia de sesgo en las imputaciones bajo CAT . . . . . . . .
5.4.8. Creando las imputaciones con MIX . . . . . . . . . . . . . . .
5.4.9. Chequeando el diagnóstico de los Missing . . . . . . . . . . . .
5.4.10. Evidencia de sesgo en las imputaciones bajo MIX . . . . . . . .
5.4.11. Comparando las Imputaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.5. Pooling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.6. Creando las imputaciones bajo MNAR. Análisis de sensibilidad . . . .
5.6.1. Chequeando el diagnóstico de los Missing . . . . . . . . . . . .
5.7. Comparación de modelos de imputación respecto a HWE . . . . . . . .
5.8. Número de Marcadores significativos bajo imputación . . . . . . . . .
5.9. Cálculo de la potencia y tamaño muestral . . . . . . . . . . . . . . . .
5.9.1. Potencia de las pruebas clásicas de HWE . . . . . . . . . . . .
5.9.2. Potencia de la prueba de HWE para la asociación marcadoresenfermedad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Discusión y conclusión
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Bibliografı́a
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87
ÍNDICE GENERAL
III
Índice de figuras
91
Índice de tablas
93
Dedicatoria
A mis padres que son el centro de mi universo y a mi sobrino que es como un hijo...
A Julian por entregarme tanto de ti y estar siempre presente...
1
Agradecimientos
Agradezco a mis padres que son la razón de mi vida, a mi madre por todo su amor,
a mi padre por ser mi guı́a.
A mi tutor Dr. Jan Graffelman, no tengo palabras para expresarle todo mi agradecimiento y cariño que siento, porque ha sido incondicional conmigo. Siento mucho orgullo
de haberlo conocido, porque es excelente profesional y excelente persona. Por haberme
llevado de la mano en este largo viaje de 2 años y en nuestro trabajo, sin dejar que perdiera el rumbo. Porque más que un tutor ha sido un amigo y me ha sabido orientar en
mis desconocimientos. Ha sido una de las personas que ha hecho que mi mentalidad
cambiase respecto a este mundo fuera de mi paı́s. Gracias por todo.
A mi gran amigo cubano, Deivy Wilson, por ser un ejemplar amigo y un gran cubano.
A mis amigos españoles: Belchin Adriyanov Kostov, Nuria Planell, Sara Fisas, Susana Santiago, Xavier Puerta y Juan Carlos Martı́n, que siempre me tienen presente y
han logrado que yo viese otros horizontes.
A todos mis profesores del máster, en especial a los profesores Marta Pérez, Jan
Graffelman, Tomás Aluja, Mónica Bécue y Eric Cobo, por la intensidad de sus clases
que hacı́an que me sintiera muy bien en ellas.
Al Dr. Victor Moreno que nos ha proporcionado los datos. A Samantha Cook (Post.PhD),
por orientarnos en nuestros inicios de este trabajo.
A mis amigos que están en Cuba, que dı́a a dı́a se comunican conmigo para darme
ánimos y fuerzas para seguir este largo camino.
A mi paı́s que me formó como profesional y que además extraño mucho.
Gracias por todo a todos.
3
Capı́tulo 1
Introducción
Las razones para que existan los Missing Data pueden ser diversas, particularizando en el ámbito de la genética el hecho de los Missing Data se asocian a causas como:
problemas coligados a la calidad del marco del muestreo, fallos en los instrumentos de
medida, pérdida de la muestra, los sujetos no asisten a la consulta (en diseños longitudinales pueden abandonar el estudio en un momento concreto).
Otras causas son los errores informáticos, un ejemplo puede ser a la hora de entrar
los datos a el software provocando pérdidas de los datos o desajustes de las variables, o
cuando se concatenan bases de datos, etc. De aquı́ que la presencia de Missing Data es
un problema común a cualquier investigación, que cada vez va en aumento y por tanto
no puede ser ignorado en el estudio que se desea realizar.
Ignorar los Missing Data puede tener o no repercusiones graves, en caso positivo
estas repercusiones van desde la pérdida de potencia del estudio por la eliminación de
observaciones, de variables y por tanto la reducción de la capacidad de detectar las relaciones reales de los datos, etc., hasta la aparición de sesgos inaceptables. La eliminación
de sujetos y por ende la reducción del tamaño muestral, la imputación de valores sin
criterio, etc., limita la validez interna y de ahı́ su representatividad o validez externa de
los resultados del estudio.
En nuestro trabajo nos basaremos en las variaciones genéticas y la repercusión de la presencia de
Missing Data en ellos, donde la mayorı́a de estas
variaciones humanas se ven influenciadas por los
genes y estos se remontan a los SNPs, figura 1.1,
es decir, a los polimorfismos de nucleótido simple
(SNP). El SNP es el marcador genético más sencillo, que consiste en una variación en la secuencia
5
Figura 1.1: Comparación entre ADN’s
6
CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN
de ADN que afecta a una sola base (adenina (A), timina (T), citosina (C) o guanina (G))
de una posición en la secuencia del genoma.
Los SNPs se producen una vez cada 300 nucleótidos en promedio, lo que significa
que hay aproximadamente 10 millones de SNPs en el genoma humano. Pueden actuar
como marcadores biológicos o comúnmente llamados marcadores genéticos para localizar aquellos genes que pueden afectar a la respuesta de los individuos a enfermedades,
bacterias, virus, productos quı́micos, fármacos, vacunas, etc. Los SNPs también sirven
para el análisis de los patrones de variación genética molecular para reconstruir la historia evolutiva de las poblaciones humanas, dicho de otra manera, los SNPs han pasado
a ser uno de los marcadores más importantes de la investigación genética, especı́ficamente en la investigación biomédica, ya que proporcionan pistas para nuevos objetivos,
principalmente en la comparación de regiones del genoma entre las cohortes, etc.
1.1.
Objetivos del trabajo
Los marcadores genéticos, los SNPs entre ellos, cumplen en general una ley básica,
la ley de Hardy Weinberg (HWE) y existen varios procedimientos estadı́sticos para comprobar si marcadores genéticos concuerdan con esta ley o no. En las pruebas estadı́sticas
para HWE siempre se descartan los genotipos faltantes. El objetivo de este trabajo consiste en llevar a cabo inferencia para HWE teniendo en cuenta los datos faltantes.
1.2.
Estructura del estudio
Hemos planteado un capı́tulo referente a los conceptos básicos de la genética (Capı́tulo 2), en él hemos descrito la mayorı́a de las técnicas de estadı́stica descriptivas comúnmente usadas para el tratamiento de los SNPs. El Capı́tulo 3 es concerniente a la base de
datos referente a pacientes de Cáncer de Colon; aquı́ explicamos muy detalladamente la
estructura de dicha base de datos, para qué se usó y con qué objetivo la tomamos, también hacemos una pequeña referencia de dónde se obtuvo. El capı́tulo siguiente (4) se
dedica a los missing data y toda una teorı́a basada en ellos. El último capı́tulo (5) expone
los resultados de los análisis. Al final se presentan las referencias en una bibliografı́a.
Capı́tulo 2
Conceptos básicos de la
genética
2.1.
¿Qué son los SNPs?
Polimorfismos de nucleótido simple (SNP), son el tipo más común de variación
genética entre las personas o dentro de una misma persona. Cada SNP representa una
posición en la cadena del ADN que muestra variabilidad. [1]
Los nucleótidos son moléculas orgánicas que están formados por 3 componentes
fundamentales:
1. Bases nitrogenadas:
? Purı́nicas: Adenina (A) y la Guanina (G). Ambas forman parte del ADN y ARN.
? Pirimidı́nicas: Timina (T), Citocina (C) y el Uracilo (U). La Timina y Citocina intervienen en la formación del ADN. En el ARN aparecen la Citocina y el Uracilo.
? Isoaloxacı́nicas: Flavina (F). No forma parte del ADN ni ARN.
2. Pentosa: Es el azúcar de 5 átomos de carbono.
3. Ácido Fosfórico: Cada nucleótido puede contener de 1 a 3 grupos fosfato.
Por lo tanto los SNPs son variaciones en la secuencia del ADN, que esta ocurre cuando una de las bases nitrogenadas del nucleótido que intervienen en el ADN (A, G, T, C)
es alterada y por ende es alterada la secuencia del Genoma. [1]
7
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CAPÍTULO 2. CONCEPTOS BÁSICOS DE LA GENÉTICA
Estas diferencias pueden existir entre miembros de una misma especie, [2] como se
puede ver en la figura 2.1
Figura 2.1: 2 SNPs mostrando variabilidad entre individuos de una misma especie
Las diferencias también pueden manifestarse en pares de cromosomas en un mismo
individuo, es decir, si una posición muestra variabilidad, también será posible observar
variabilidad dentro de un mismo individuo, si se trata de un heterocigoto, figura 2.2
(concepto que explicaremos más adelante):
Figura 2.2: Un individuo que es heterocigoto para un determinado SNP
El ser humano tiene un total de 23 pares de cromosomas por lo que hablamos de
individuos diploides, 22 pares que son autosomas y 1 par referente al sexo. En total hay
46 cromosomas. Los organismos diploides tienen 2 copias de cada gen, una ubicado en
el cromosoma recibido de la madre y otro en el cromosoma recibido del padre.
2.2.
La genética Mendeliana
En la práctica casi todos los SNPs son bi-alélicos, esto significa que para 2 fragmentos de una secuencia de ADN en diferentes individuos, por ejemplo: AAGCCTA -
9
2.3. PRINCIPIO DE HARDY-WEINBERG
AAGCTTA, contiene una diferencia en un nucleótido simple, en estos casos decimos
que hay 2 alelos: C y T.
Una variación alélica en una posición (locus) se manifiesta al nivel de individuos por
la existencia de 3 tipos de individuos, es decir, por ejemplo para 2 alelos: A y T, tenemos
3 tipos de combinaciones en individuos diploides:
√
2 Alelos: AA (Homocigótico para el alelo A)
√
2 Alelos: TT (Homocigótico para el alelo T)
√
Un Alelo A y un Alelo T: AT (Heterocigótico A y T)
Tipos de Alelos
Los alelos describen las diversas formas que adopta un gen detectado como diferentes fenotipos, que estas formas difieren en secuencia o función.
• Los alelos que varı́an en secuencia tienen diferencias en el ADN debido a deleciones, inserciones o sustituciones. En general lo más común son las sustituciones.
• Los alelos que difieren en función pueden o no tener diferencias conocidas en las
secuencias, pero se evalúan por la forma en que afectan al organismo.
En función de su expresión en el fenotipo se pueden dividir en:
• Alelos dominantes: aquellos que aparecen en el fenotipo de los individuos heterocigotos o hı́bridos para un determinado carácter, además de en el homocigoto.
• Alelos recesivos: los que quedan enmascarados del fenotipo de un individuo heterocigoto y sólo aparecen en el homocigoto, siendo homocigótico para los genes
recesivos.
2.3.
Principio de Hardy-Weinberg
El principio de hardy-Weinberg fue
formulado en el 1908 independientemente por Godfrey Harold Hardy un
eminente matemático inglés y por Wilhelm Weinberg un médico alemán (figura 2.3); Hardy conocido por sus logros en la teorı́a de números y el análisis matemático y Weinberg un médico gineco-obstetra que ejercı́a en Stuttgart.
Figura 2.3: Hardy (arriba) Weinberg (abajo)
10
CAPÍTULO 2. CONCEPTOS BÁSICOS DE LA GENÉTICA
El principio de Hardy-Weinberg está basado en las frecuencias alélicas y genotı́picas
de una población donde este se define en que estas frecuencias se mantengan constantes
de generación en generación, es decir, se encuentren en equilibrio a menos que se introduzcan influencias perturbadoras [3].
Este equilibrio genético es un estado ideal que ofrece una lı́nea para medir el cambio entre generaciones, por eso se dice que es imposible en la naturaleza. Con la ley de
Hardy-Weinberg se asentaron los cimientos de la genética de poblaciones, según la cual,
la alteración genética de una población sólo puede darse por factores como mutaciones, selección natural, influencias casuales, convergencias o divergencias individuales,
de modo que el cambio genético implica la perturbación del equilibrio establecido por
la ley de Hardy-Weinberg, que seguidamente explicaremos.
El Principio de Hardy-Weinberg relaciona las frecuencias alélicas con las frecuencias genotı́picas en una población de individuos diploides o poliploides.
Caso diploide: El caso diploide es el caso más simple. Denominemos un alelo como A y otro como T y sean p y q sus frecuencias respectivamente. Bajo la condición
p + q = 1 tendrı́amos, si la población está en equilibrio, la siguiente tabla:
Figura 2.4: frecuencias de Hardy-Weinberg
Donde p2 es la frecuencia para AA (homocigotos), q 2 es la
frecuencia para TT (homocigotos) y 2pq es la frecuencia para
AT (heterocigotos). Se alcanza el
equilibrio en una sola generación
de apareamiento aleatorio.
Estas frecuencias son las llamadas frecuencias de Hardy-Weinberg o Proporciones
de Hardy-Weinberg.
Como habı́amos comentado, podemos bajo la condición p + q = 1 expresar las
frecuencias genotı́picas como la expansión binomial
(p + q)2 = 1 ⇐⇒ p2 + 2pq + q 2 = 1
(2.1)
Generalización para el caso de más de 2 alelos: Consideraremos un alelo extra,
con frecuencia r, entonces la expansión trinomial serı́a:
(p + q + r)2 = 1 ⇐⇒ p2 + q 2 + r2 + 2pq + 2pr + 2qr = 1
(2.2)
Sucesivamente podemos extenderlo a n alelos, es decir, sean A1 , . . . , An alelos y sus
respectivas frecuencias alélicas p1 , . . . , pn
2.3. PRINCIPIO DE HARDY-WEINBERG
11
Para el caso de alelos múltiples en un locus diploide tenemos las proporciones
Hardy-Weinberg siguientes:
F rec(Ai Ai ) = p2i =⇒ dado para homocigotos
F rec(Ai Aj ) = 2pi pj =⇒ dado para heterocigotos
(2.3)
El número de posibles genotipos G con un número de alelos n está dado por la expresión: G = [n(n + 1)]/2
Generalización para poliploide: El caso poliploide consta cuando un organismo
tiene más de 2 copias de cada cromosoma, para la cual se cumple también el Equilibrio
de Hardy-Weinberg.
Sean c el número de ploidı́a por lo tanto para el caso poliploide tenemos la expansión
polinomial (p + q)c
Generalización completa: Sean n alelos en c-ploidı́a, las frecuencias genotı́picas en
el Equilibrio de Hardy-Weinberg están dadas por la expansión multinomial de: (pi +. . . +pn )c
X
c
(pi + . . . + pn )c =
(2.4)
pk1 · · · pk1n
k1 , . . . , kn 1
k1 ,...,kn ∈ℵ:k1 +...+kn =c
2.3.1.
Posibles desviaciones del Equilibrio Hardy-Weinberg
La ley de Hardy-Weinberg se basa en una serie de supuestos que enumeramos a
continuación [3]:
1. Apareamiento Aleatorizado: Cuando no ocurre el apareamiento aleatorizado las proporciones de Hardy-Weinberg no existen y estás sólo estarán dadas en las frecuencias
de los genotipos después de una generación de apareamiento aleatorizado dentro de
la población. El apareamiento no aleatorizado puede ocurrir de 3 maneras:
a. Endogamia: La que provoca un aumento de la homocigosidad para todos los genes.
b. Apareamiento selectivo: Provocando un aumento de la homocigosidad sólo para
los genes implicados en el rasgo que es selectivamente acoplado.
c. Población de tamaño pequeño: Conlleva un cambio aleatorio en las frecuencias
genotı́picas. Llamado Desvı́o Genético.
Las demás suposiciones afectan a las frecuencias alélicas, pero no afectan por sı́ mismas al apareamiento aleatorio. Si una población viola alguna de estas, la población
seguirá teniendo proporciones de Hardy-Weinberg en cada generación, pero las frecuencias alélicas cambiarán con esa fuerza.
12
CAPÍTULO 2. CONCEPTOS BÁSICOS DE LA GENÉTICA
2. Ausencia de Selección Natural: Causa un cambio en las frecuencias alélicas muy
rápidamente, mientras que la selección direccional al final conduce a la pérdida de
todos los alelos excepto el favorecido. Hay dos tipos de selección:
a. Selección de Mortalidad: Ciertos genotipos son menos eficaces que otras para
sobrevivir hasta el final de su periodo reproductivo. Selección de Mortalidad es
simplemente otra manera del criterio de aptitud de Darwin: La Supervivencia.
b. Selección de Fecundidad: Ciertos fenotipos (por lo tanto genotipos) pueden hacer una contribución desproporcionada de la siguiente generación, es decir, un
número desproporcionado de jóvenes en la próxima generación. La Selección de
Fecundidad es otra forma del criterio de aptitud de Darwin: Tamaño de la Familia.
3. Ausencia de Mutación: Este tendrá un efecto muy sutil en las frecuencias alélicas.
Las tasas de mutación son del orden de 10−4 a 10−8 por locus por generación. La
Mutación recurrente mantendrá los alelos en la población, incluso si hay una fuerte
selección en contra ellos.
4. Ausencia de Migración: Genéticamente une 2 o más poblaciones en conjunto. En
general las frecuencias alélicas se harán más homogéneas entre las poblaciones. Algunos modelos de migración incluyen inherentemente el apareamiento no aleatorio,
para estos modelos las proporciones de Hardy-Weinberg no suelen ser válidos.
5. Ausencia de Flujo de Genes: Es simplemente el flujo de genes entre las especies en
lugar de dentro de una misma especie. Esta desviación aumenta la variabilidad de los
genes, mediante la hibridación, introgresión, etc.
6. No hay Errores de genotipado: Confusión entre homocigotos y heterocigotos a la
hora de la clasificación del genotipo.
2.4.
2.4.1.
Pruebas estadı́sticas para las Proporciones de HardyWeinberg
La prueba χ2 de Pearson
La comprobación de la desviación de las Proporciones de Hardy-Weinberg (PHW)
se suele llevar a cabo utilizando la prueba χ2 de Pearson [4], mediante las frecuencias
genotı́picas observadas que se han obtenido de los datos y las frecuencias genotı́picas
esperadas bajo equilibrio [5].
El planteamiento de la hipótesis nula, es que en la población existen las proporciones de Hardy-Weinberg y la alternativa es que no existen las proporciones de HardyWeinberg en la población [2]. Definamos primero los números observados de genotipos [5].
2.4. PRUEBAS ESTADÍSTICAS PARA LAS PROPORCIONES DE HARDY-WEINBERG 13
n = nAA + nAT + nT T

o

nAA = N Observado de Homocigotos AA
= nAT = No Observado de Heterocigotos AT

 n = No Observado de Homocigotos TT
TT
(2.5)
El procedimiento a seguir serı́a:
1. Calcular las frecuencias alélicas.
2 nAA + nAT
2 [nAA + nAT + nT T ]
2 nAA + nAT
q =1−p=1−
2 [nAA + nAT + nT T ]
2 nT T − nAT
=
2 [nAA + nAT + nT T ]
p=
(2.6)
2. Calcular los valores esperados de Hardy-Weinberg:
E [AA] = np2
E [AT ] = 2npq
(2.7)
E [T T ] = nq 2
3. Calcular los grados de libertad (gl):
NG: Número de Genotipos
NA: Números de Alelos
gl=NG-NA
4. Por lo tanto la prueba χ2 de Pearson serı́a:
X2 =
X
AA,AT,T T
(Obs - Esp)2
Esp
(2.8)
Donde para el caso de los SNPs bialélicos X 2 sigue una distribución χ2 con un grado de libertad y para los sistemas en los que hay un gran número de alelos, esto puede
ofrecer datos con muchos genotipos de frecuencias cero y poca cantidad de genotipos,
porque a menudo no hay suficientes individuos en la muestra para representar adecuadamente todas las clases genotı́picas. Si este es el caso, entonces la suposición asintótica de
la distribución χ2 no se sostendrá y puede ser necesario utilizar el test exacto de LeveneHaldane.
Veamos el procedimiento descrito mediante un ejemplo.
14
CAPÍTULO 2. CONCEPTOS BÁSICOS DE LA GENÉTICA
1. Calcular las frecuencias alélicas.
2. Calculamos los valores esperados:
E [AA] = 94 · 0,6063832 = 34,56383
E [AT ] = 2 · 94 · 0,606383 · 0,393617 = 44,87234
E [T T ] = 94 · 0,3936172 = 14,56383
3. Calcular los grados de libertad (gl):
NG = 3 tipos de Genotipos
NA = 2 Alelos
gl = 1
4. Por lo tanto la prueba χ2 de Pearson serı́a:
(38 − 34,56383)21 (38 − 44,87234)2 (18 − 14,56383)2
+
+
= 2,2049
X =
34,56383
44,87234
14,56383
2
El nivel de significancia del 5 % para un grado de libertad es de 3.84, como el valor
obtenido es menor, implica que no podemos rechazar la hipótesis nula de que la muestra
indicada está en equilibrio de Hardy-Weinberg.
El valor p de la prueba es P (χ21 ≥ 2,2049) = 0,1376
2.4.2.
Test exacto de Levene-Haldane
El test exacto se puede aplicar para comprobar si existen proporciones de HardyWeinberg. Como el test está condicionado por las frecuencias alélicas, p y q, el problema
se puede entender como la comprobación del número adecuado de heterocigotos. De esta
forma, la hipótesis de las proporciones de Hardy-Weinberg queda violada si el número
de heterocigotos es muy grande o muy pequeño. Las probabilidades condicionadas para
el heterocigoto, dadas las frecuencias alélicas, las proporciona Emigh [4] de la forma:
n
h
i
nAA , nAT , nT T nAT
Prob nAT nA =
2
(2.9)
2n
nA
2.4. PRUEBAS ESTADÍSTICAS PARA LAS PROPORCIONES DE HARDY-WEINBERG 15
Donde nAA , nAT , nT T son los números observados para los 3 fenotipos AA, AT,
TT y nA es el número de alelos A, cuyas expresiones son nA = 2nAA + nAT y
nT = 2n − nA , además para una muestra, el máximo número de heterocigotos está dada
por la expresión min(nA , nT ).
Si realizamos el test para el ejemplo anterior obtenemos para los heterocigotos observados posibles sus probabilidades exactas en la siguiente tabla.
No Heterocigotos
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
22
24
26
28
30
32
34
36
Nivel Significancia
0.0000
0.0000
0.0000
0.0000
0.0000
0.0000
0.0000
0.0000
0.0000
0.0000
0.0000
0.0000
0.0000
0.0000
0.0002
0.0009
0.0032
0.0099
0.0253
No Heterocigotos
38
40
42
44
46
48
50
52
54
56
58
60
62
64
66
68
70
72
74
Nivel Significancia
0.0533
0.0934
0.1365
0.1662
0.1686
0.1423
0.0997
0.0577
0.0275
0.0107
0.0034
0.0009
0.0002
0.0000
0.0000
0.0000
0.0000
0.0000
0.0000
Haciendo los cálculos pertinentes para este ejemplo tenemos:
nA = 2 · 38 + 38 = 114
nT = 2 · 94 − 114 = 74
min(nA , nT ) = min(114, 74) = 74
Donde el p − value = 0,1355035 de la prueba es la probabilidad de observar el
número de heterocigotos observados o una cantidad de heterocigotos más extrema, teniendo en cuenta las dos colas de la distribución.
Manualmente podemos realizar el cálculo del p − valor, este se determina como
la suma de todas aquellas probabilidades menores o iguales que la probabilidad de los
heterocigotos observados, es decir, la probabilidad de los heterocigotos observados (38)
16
CAPÍTULO 2. CONCEPTOS BÁSICOS DE LA GENÉTICA
es 0.0533, pues la suma de todas las probabilidades menores o iguales que esta, donde
quedarı́a la siguiente expresión.
p−valor = 0,0002+0,0009+0,0032+0,0099+0,0253+0,0533+0,0275+0,0107+
0,0034 + 0,0009 + 0,0002 u 0,1356
Por lo tanto no podemos rechazar la hipótesis nula de que haya equilibrio de HardyWeinberg. Observemos la distribución de los heterocigotos para ver su comportamiento,
figura 2.5.
Figura 2.5: Distribución de los heterocigotos
Notamos que el soporte de la distribución son los números pares (0, 2, 4, . . . , min(nA , nB ))
ya que el máximo de heterocigotos es par (74), si por el contario el máximo de heterocigotos fuese impar, entonces el soporte de la distribución serı́a (1, 3, 5, . . . , min(nA , nB )).
2.4.3.
Test de Razón de Verosimilitud (LRT)
El test de razón de verosimilitud es un test estadı́stico para tomar decisiones entre 2
hipótesis basadas en el valor de esta razón [6].
Esta razón no es más que el cociente de las verosimilitudes bajo cada una de las
hipótesis planteadas, que sobre el tema que nos concierne, la verosimilitud de una muestra de conteos genotı́picos está dada por la distribución multinomial de la siguiente forma
si estamos bajo la hipótesis alternativa:
2.5. MÍNIMA FRECUENCIA ALÉLICA (MAF)
LA =
n
AA nAT nT T
pnAA
pAT pT T
nAA , nAT , nT T
17
(2.10)
Y el estimador máximo verosı́mil está dado por las frecuencias genotı́picas muestrales. Bajo la hipótesis de que existe equilibrio de Hardy-Weinberg, la verosimilitud tiene
la siguiente expresión:
L0 =
n
nAA , nAT , nT T
nA 2nAA nA nT nAT nT 2nT T
2
2n
2n 2n
2n
(2.11)
Donde −2 veces el logaritmo de la razón de las verosimilitudes está dado por la
expresión:
2
G = −2ln
L0
LA
= −4nAA · ln
nA
nA · nT
nT
− 2nAT · ln
− 4nT T · ln
2np
4n2 pq
2nq
(2.12)
Y este estadı́stico tiene asintóticamente una distribución χ21 . Asintóticamente, el test
de razón de verosimilitud es equivalente al test χ2 para HWE.
Continuando con el ejemplo y sustituyendo los valores que anteriormente fueron calculados, obtenemos que:
G2 = 2,195173
p − valor = 0,1384437
Para el ejemplo estudiado, vemos que los 3 test ( χ21 , Exacto y LRT) dan valores p
muy parecidos, (0.1376, 0.1355, 0.1384) y que conducen a la misma conclusión.
2.5.
Mı́nima frecuencia alélica (MAF)
Dentro de una población, a los SNPs se les puede asignar una mı́nima frecuencia
alélica, es decir, la menor frecuencia de alelos en un locus que se observa en una población en particular. Esto es simplemente la menor de las dos frecuencias de los alelos del
SNP.
Sean pA y pB las frecuencias alélicas de un SNP determinado. Por cada SNP conocemos que pA + pB = 1 por lo tanto se define como la mı́nima frecuencia alélica de la
siguiente forma:
18
CAPÍTULO 2. CONCEPTOS BÁSICOS DE LA GENÉTICA
MAF = min (pA , pB ) ⇒ 0 ≤ MAF ≤ 0,5
(2.13)
Para el ejemplo que hemos estado analizando tenemos que la menor frecuencia alélica la presenta pB = 0,39361
2.6.
Coeficiente de endogamia (f )
La endogamia es la reproducción de la unión de 2 individuos relacionados genéticamente cuyo resultado es un incremento a favor de la homocigosis, que pueden aumentar
las posibilidades de que la descendencia se vean afectados por los genes recesivos, en
otras palabras, la endogamia puede dar lugar a un mayor número de expresión fenotı́pica
de los genes recesivos dentro de una misma población. Este se computa como un porcentaje de posibilidades de que dos alelos sean idénticos por descendencia. Este porcentaje
se denomina “coeficiente de endogamia”.
El coeficiente de endogamia tiene la siguiente expresión [3]:
f=
Esp(fAT ) − Obs(fAT )
Obs(fAT )
=1−
Esp(fAT )
Esp(fAT )
(2.14)
es decir, es uno menos la frecuencia observada de los heterocigotos sobre lo esperado en equilibrio de Hardy-Weinberg. En la literatura, f también es conocido como el
coeficiente de correlación intraclase y puede estimarse mediante el método de máxima
verosimilitud de la siguiente forma:
4nAA nT T − n2AT
fˆ =
nA nB
(2.15)
Cuya varianza está dada por la siguiente expresión [2]:
1
f (1 − f )(2 − f )
V ar(fˆ) = (1 − f )2 (1 − 2 f ) +
n
2 n pA (1 − pA )
Donde si f = 0 ⇒ V ar(fˆ) =
(2.16)
1
n
También conocemos que para 2 alelos, el coeficiente de endogamia tiene la siguiente
relación con las frecuencias genotı́picas [2]:
pAA = p2A + pA pT f
pAT = 2 pA pT (1 − f )
pT T = p2T + pA pT f
El dominio de estas frecuencias está dado por las siguientes expresiones:
(2.17)
19
2.6. COEFICIENTE DE ENDOGAMIA (F )
0 ≤ pAA ≤ pA
0 ≤ pAT ≤ min(2 · pA , 2 · pT )
(2.18)
y para f
−min(pA ,pT )
1−min(pA ,pT )
≤f ≤1
(2.19)
Analizando estas expresiones en dependencia de los posibles valores que tome f podemos definir ciertos rangos:
- Para f
- Para f
- Para f
- Para f
= 0 Equilibrio de Hardy-Weinberg
= 1 Ausencia de Heterocigotos
< 0 Exceso de Heterocigotos
> 0 Déficit de Heterocigotos
Estas condiciones determinan lo que justamente decı́amos en la introducción de este tema, en el caso de selección a favor de heterocigotos, es decir, donde el genotipo
de mayor adaptabilidad es el heterocigoto y ambos homocigotos son afectados por la
selección en contra, pero generalmente en proporciones muy diferentes, esta condición
determina un equilibrio de las frecuencias alélicas muy especial. Por ejemplo en un caso
extremo donde ambos homocigotos no pasen sus genes a la siguiente generación (letalidad completa a los homocigotos), es decir, sólo se reproducirı́an los heterocigotos entre
sı́, generando una frecuencia alélica de 0.5 para los dos alelos. Las consecuencias de este
hecho por ejemplo, serı́a que si un alelo es el responsable de una enfermedad genética, al
pasar a la siguiente generación con una frecuencia de 0.5, pues el hecho de ser portador
de esta enfermedad es del 75 %, es decir, la probabilidad de ser portador es del 75 %
(50 % los heterocigotos, más 25 % homocigotos BB) entre los neonacidos.
El test de chi-cuadrado para el equilibrio de proporciones de Hardy-Weinberg es
equivalente a un test con H0 : f = 0. El estadı́stico X 2 se relaciona con el coeficiente
de endogamia estimado mediante la expresión:
X 2 = nfˆ2
Si proseguimos con el mismo ejemplo, tenemos:
f =1−
38
= 0,1531539
44,87238
X 2 = 94 · 0,15315392 = 2,204875
(2.20)
20
CAPÍTULO 2. CONCEPTOS BÁSICOS DE LA GENÉTICA
Podemos comprobar que los valores obtenidos tanto en la prueba χ2 tradicional como usando el coeficiente de endogamia son casi idénticos.
El coeficiente de endogamia es inestable cuando los valores esperados son próximos
a cero y esto no es útil para alelos raros o muy comunes.
2.7.
Potencia de las pruebas para detectar HWE
Es posible calcular la potencia de las diferentes pruebas estadı́sticas para HWE. Con
respecto a los datos estudiados en este proyecto, hay dos ámbitos en los que los cálculos
de potencia son relevantes, y estos se describen brevemente a continuación.
2.7.1.
Los cálculos de potencia de las pruebas clásicas para HWE
El cálculo de potencia para la clásica prueba χ2 ha sido descrito por Weir [2, cap.3].
Bajo la hipótesis nula, el estadı́stico X 2 tiene una χ21 , bajo la hipótesis alternativa (Desequilibrio) el estadı́stico X 2 tiene una distribución no-central χ1,ν con un parámetro de
nD2
no-centralidad ν = p2 (1−p
2 , donde n es el tamaño muetral, pA es la frecuencia alélica
A)
A
y D es el parámetro de desequilibrio de Weir. La última está estrechamente relacionada
con el coeficiente de endogamia presentado en la sección 2.6. Usando la distribución
de χ2 no-central, para un tamaño muestral dado, nivel de significación y grado de desequilibrio D, la potencia del test χ2 puede ser calculada. Estos cálculos de potencia son,
como se indica en Weir [2], aproximados y sólo son válido para pequeñas desviaciones
de equilibrio. A la inversa, también se puede utilizar este resultado para calcular el tamaño de las muestras necesarias para obtener una potencia dada.
Cálculos de potencia para la prueba exacta para HWE también son posibles, pero computacionalmente mucho más intensivas. Con el fin de calcular la potencia de la
prueba exacta, la distribución del número de heterocigotos dado el menor conteo alélico,
dado en la ecuación 2.9, bajo la hipótesis alternativa es necesaria. El grado de desequili2 /(P
brio puede ser parametrizado por θ = PAB
AA · PBB ). Bajo HWE, nosotros tenemos
θ = 4. Valores de θ > 4 implica exceso de heterocigotos mientras θ < 4 significa déficit
de heterocigotos. Por la selección de diferentes valores de θ, el grado de desequilibrio
(el tamaño del efecto) puede ser especificado. Con esta parametrización, la distribución
condicional de le número de heterocigotos, dado antes en la sección 2.4.2 puede ser reescrita en términos de θ. La potencia del Test Exacto dado los valores de θ y dado el
menor conteo alélico, se puede calcular exactamente por la suma de las probabilidades
de acuerdo con esta distribución condicional para todas las muestras que tienen un valor
de p por debajo del nivel de significación especificado α.
21
2.7. POTENCIA DE LAS PRUEBAS PARA DETECTAR HWE
2.7.2.
Los cálculos de potencia de una prueba de HWE para la asociación marcadores-enfermedad
Lee [7] ha sugerido que una prueba para HWE se puede utilizar para la prueba de
asociación genética entre el marcador y la enfermedad, utilizando una base de datos
de los individuos afectados. Una población se suponı́a que debı́a empezar (al nacer) en
HWE, pero después los genotipos AA, AB y BB pueden tener diferentes riesgos relativos φ1 (AB/BB) y φ2 (AA/BB). Estos factores de riesgo modifican las frecuencias de
los genotipos y las frecuencias alélicas, lo que provoca desequilibrio de Hardy-Weinberg
con parámetro de desequilibrio D = ((q(1 − q)/R)2 )(φ2 − φ21 ), donde q es la frecuencia
alélica en la población inicial y R = q 2 φ2 + 2q(1 − q)φ1 + /(1 − q)2 , D será generalmente no-cero si φ2 6= φ21 .
Lee [7] utiliza la raı́z cuadrada del estadı́stico X 2 clásico para HWE como un test
estadı́stico y muestra que bajo equilibrio de Hardy-Weinberg, es decir, H0 : D = 0,
es asintóticamente distribuido como una normal estandar. Estos resultados pueden ser
utilizados para calcular el tamaño de la muestra y de la potencia para el test de HWE
para la asociación de marcadores-enfermedad. Brevemente resumimos los tamaños de
muestras calculados por Lee para obtener 80 % de potencia para frecuencias alélicas y
los riesgos relativos dados de los diferentes modelos de enfermedad (aditivo, recesivo y
dominante). Véase tabla 2.1 referida a la tabla 1 del artı́culo [7]. Estos resultados serán
usados en la sección 5.9.
γ
4.0
q
Aditivo
Recesivo
Dominante
0.01
0.10
0.50
0.80
97,643 (0.80)
2,343 (0.80)
2,096 (0.80)
13,134 (0.80)
57,643 (0.80)
958 (0.79)
427 (0.80)
2,187 (0.80)
40,191 (0.80)
830 (0.80)
412 (0.81)
1,752 (0.80)
439,088 (0.80)
6,004 (0.80)
1,369 (0.80)
5,063 (0.80)
366,616 (0.80)
5,436 (0.80)
1,362 (0.81)
4,621 (0.80)
1,660,984 (0.80)
21,431 (0.80)
3,802 (0.80)
11,950 (0.80)
1,494,425 (0.80)
20,106 (0.80)
3,798 (0.80)
11,389 (0.80)
2.0
0.01
0.10
0.50
0.80
1.5
0.01
0.10
0.50
0.80
1,663,335 (0.80)
25,537 (0.80)
8,581 (0.80)
38,628 (0.80)
Tabla 2.1: En esta tabla vemos que los tamaños de muestra son necesarios a fin de obtener una potencia del 80 % para
la detección de asociación mediante la prueba de HWE
22
CAPÍTULO 2. CONCEPTOS BÁSICOS DE LA GENÉTICA
2.8.
Importancia y aplicación del Equilibrio de HardyWeinberg
El modelo de Hardy-Weinberg siendo una proposición teórica es muy valioso para
evaluar los factores evolutivos que están operando en las poblaciones. Si una población
no presenta estructura genética según este equilibrio, es porque están actuando algunos
de los factores evolutivos. Según la relación entre homocigotos o heterocigotos, esperados y observados, se pueden deducir varias desviaciones.
En términos de marcadores podemos remarcar 2 aplicaciones importantes en el Equilibrio de Hardy-Weinberg:
I. Con él detectar errores de genotipado.
II. Si un marcador está asociado a una enfermedad, se espera desequilibrio de HardyWeinberg (sección 2.7.2 y sección 5.9), es decir, el equilibrio de Hardy-Weinberg
para un determinado marcador puede indicar que este marcador esté en un gen involucrado con la enfermedad. En estudios de Caso-Control, se espera desequilibrio
para los Casos, pero no necesariamente para los Controles [7].
Capı́tulo 3
Descripción de la base de datos
El cáncer colorrectal provoca 13.000 muertes anuales y es el primer tumor en incidencia y el segundo en mortalidad. Las causas exactas que lo producen se desconocen, aunque se han identificado factores de riesgo que favorecen su aparición, como
los dietéticos (dieta rica en grasas y pobre en frutas y verduras), hábitos de vida no
saludables, dolencias predisponentes, como pólipos o enfermedad inflamatoria intestinal (Crohn o colitis ulcerosa), historia previa de cáncer colorrectal, factores genéticos o
historia familiar de cáncer de colon.
3.1.
Motivación por esta Base de Datos
El cáncer colorrectal, también
llamado cáncer de colon, se produce
debido al estilo de vida, aumento de
la edad y sólo una minorı́a de casos
asociados con trastornos subyacentes
genéticos.
Las personas con antecedentes
familiares tienen mayor riesgo de
tener la enfermedad y este grupo representa alrededor del 20 %
de los casos con cáncer de colon.
Una serie de sı́ndromes genéticos
también están asociados con mayores tasas de cáncer colorrectal. El más
Figura 3.1: Cáncer de Colon
23
24
CAPÍTULO 3. DESCRIPCIÓN DE LA BASE DE DATOS
común de éstos es el sı́ndrome de Lynch que está presente en alrededor del 3 % de las
personas con cáncer colorrectal. Otros sı́ndromes que están fuertemente asociados son:
el sı́ndrome de Gardner, y la poliposis adenomatosa familiar (PAF) en el que el cáncer
casi siempre se produce y es la causa de 1 % de los casos.
Asimismo, desde el 2008 está disponible un catalogo de publicaciones
de estudios sobre asociación de esta
enfermedad en una gama del Genoma
en la página web del Instituto Nacional de Investigación sobre le Genoma Humano. Hasta ahora hay reportado 30 SNPs coligados fuertemente
al Cáncer de Colon, estos situados en
diferentes genes por diferentes cromosomas, ası́ como aquellos alelos
de mayor riegos [8].
Figura 3.2: Estadı́os del cáncer de Colon
3.2.
Estructura de la base de datos
La base de datos, objeto de estudio de este proyecto de fin de máster, fue proporcionada por el Doctor Victor Moreno del Hospital de Bellvitge. Se trata de una base de
datos de 99 individuos, todos enfermos de cáncer de colon, donde fueron genotipados
para 1000 marcadores genéticos (SNPs).
Tenemos la siguiente estructura, la primera parte es la medida de la intensidad para
la base nitrogenada A (IA), es decir, 1000 medidas de intensidades A para 99 individuos, la segunda parte es la medida de la intensidad para la base nitrogenada B (IB), con
dimensión 1000 x 99 y la tercera parte, el genotipo, es el resultado de la clasificación y
consta de 1000 SNPs para 99 individuos. Las partes de las medidas de las intensidades
(IA e IB) están declaradas las variables como continuas y los SNPs son variables categóricas. Dentro de las variables categóricas, tenemos 912 SNPs politómicas y el resto
son dicotómicas.
Recordemos que existen 4 bases nitrogenadas y cuando nos referimos en este caso
A y B es sólo de forma representativa ya que el algoritmo de clasificación automática
asigna el genotipo de acuerdo con los alelos que tiene en cada gen y sus respectivos
cromosomas.
3.2. ESTRUCTURA DE LA BASE DE DATOS
La codificación de los SNPs en este caso ha sido establecida de la siguiente manera:
1 = AA para homocigotos
2 = AB para heterocigotos
3 = BB para homocigotos
NA = Missing Data
25
Capı́tulo 4
Introducción a los Missing Data
4.1.
Breve descripción del problema de los Missing Data en los SNPs
Desde el enfoque estadı́stico los motivos de los Missing Data para una variable pueden ser muy diversos y pueden ir desde la total aleatoriedad hasta una fuerte dependencia
de los valores reales de las variables [9], brevemente explicados en la introducción del
trabajo.
Para el punto de vista de las proporciones de Hardy-Weinberg esta pérdida de datos
pueden traer consigo sesgos en las pruebas para HWE (χ2 o test exacto incorrectos)
sobre todo si las tasas de pérdidas de datos es distinta para homocigotos y heterocigotos.
4.2.
Missing Data en los SNPs
Cuando la presencia de Missing Data ocurre por razones ajenas al investigador, es
necesario establecer supuestos acerca de las causas que generaron estos Missing, contrastando la posibilidad de las hipótesis respecto al comportamiento de los datos observados.
Un sistema por el cual los Missing Data se generan en los SNPs es mediante la
mala clasificación de los genotipos a través de las medidas de la intensidad de cada base
nitrogenada. El proceso de asignación del genotipo se realiza de la siguiente forma:
o Se toma la intensidad de cada base nitrogenada.
o Mediante un algoritmo de clasificación automática a través de combinación de
Clustering y clasificación, el sistema asigna el genotipo en dependencia de las
27
28
CAPÍTULO 4. INTRODUCCIÓN A LOS MISSING DATA
potencias de las intensidades de las bases nitrogenadas medidas y estas son proyectadas en un ’Call Plot’.
o En general, una intensidad alta para A y baja para B corresponde a un homocigoto
AA; una intensidad alta para B y baja para A, representa a un homocigoto BB
y 2 intensidades entre media y alta para ambas intensidades, se califica como un
heterocigoto AB.
o Si el sistema detecta incoherencia entre las potencias de las intensidades clasifica
el genotipo como perdido, es decir, declara un Missing Data. Figura 4.1.
En el siguiente gráfico podemos observar un ejemplo de medida, clasificación y asignación de los genotipos para 99 individuos en un SNPs determinado.
Figura 4.1: (a) Medida de Intensidad A, (b) Medida de Intensidad B, (c) Genotipado
Los puntos marcados con una cruz son declarados según el sistema utilizado como
Missing Data. Estas pérdidas de valores traen consigo imperfecciones negativas en el
mapeo genómico y por ende problemas en el análisis comparativo del genoma. Se observa que hay una tendencia a que los missing se produzcan sobre todo en la frontera del
grupo de heterocigotos.
29
4.3. TERMINOLOGÍAS
4.3.
Terminologı́as
Sea Ynxp una matriz de variables respuestas parcialmente observable en una muestra
de tamaño n. En el presente caso, p = 1000 y n = 99, donde las columnas son:
Y1 : SN P1
Y2 : SN P2
··· : ···
Y1000 : SN P1000
Sea Znxq una matriz de covariables observables, para el problema de marcadores
genéticos nosotros tenemos que q = 2000 donde las primeras 1000 columnas son referentes a la medida de intensidad A por cada SNP y el resto de las columnas a la medida
de intensidad de B.
IA1 : Intensidad de A para el SN P1 — IB1 : Intensidad de B para el SN P1
IA2 : Intensidad de A para el SN P2 — IB2 : Intensidad de B para el SN P2
············
IA1000 : Intensidad de A para el SN P1000 — IB1000 : Intensidad de B para el SN P1000
4.3.1.
Mecanismos de Respuestas en Marcadores Genéticos
Esta terminologı́a está basada en el marco estándar dado por Rubin [10] y Little y
Rubin [11]. Sean Yobs y Ymis que denotan las partes observadas y missing de Y , es decir,
Y = (Yobs , Ymis ), nomenclatura conveniente pero imprecisa. En adición, asumimos
cada unidad independiente i = (1, . . . , n) que representan los individuos y por cada j
(SNP), j = (1, . . . , p), podemos definir el indicador de Missing Data Rnxp como una
matriz binaria, descrita de la siguiente manera:
(
1 si Yij es observado
Rij =
0 si Yij no se observa
(4.1)
Definiendo P (Rij = 0|Yij ) = P (Yij no observado|Yij ) = pij entonces Rij es
sujeto a una distribución de probabilidad P (R|Y, ψ) regido por ψ.
La parametrización de la distribución conjunta de R y Y puede expresarse mediante
3 modelos:
p(Y, R|Z, θ, ψ) = p(Y |Z, θ)p(R|Y, ψ) =⇒ Modelos de selección
p(Y, R|Z, θ, ψ) = p(Y |R, Z, θ)p(R|Y, ψ) =⇒ Modelos de patrones de mixtura
p(Y, R|Z, θ, ψ) = p(Y |R, Z, θ, β)p(R|Y, ψ, β) =⇒ Modelos de parámetros compartidos
30
CAPÍTULO 4. INTRODUCCIÓN A LOS MISSING DATA
Diferentes supuestos concernientes a la relación entre R con Yobs , Ymis y Z define
diferentes tipos de mecanismos de respuestas. Explicaremos más adelante aquellos que
son relevantes para nuestro estudio basado en los SNPs.
Se distinguen tres tipos de mecanismos de pérdida de datos [12]:
= MCAR (Missing Completely At Random): Si p(R|(Yobs , Ymis ), ψ) = p(R|ψ), es
decir, el Missingness es independiente de la respuestas (Observado y Missing).
= MAR (Missing At Random): Si p(R|(Yobs , Ymis ), ψ) = p(R|Yobs , ψ),es decir, el
Missingness es independiente de la respuesta Missing dado los valores observados.
= NMAR (Not Missing At Random): Si p(R|(Yobs , Ymis ), ψ) 6= p(R|Yobs , ψ), es
decir, el Missingness depende de ambas respuestas, Observados y Missing.
En términos de probabilidades un patrón de no respuesta se dice que es completamente aleatorio (MCAR) si las probabilidades de observación de algunas componentes
y de no observación de otras no depende ni de los datos observados ni de los no observados. Si estas probabilidades solamente dependen de los datos observados entonces el
patrón de no respuesta se dice que es aleatorio (MAR), sin embargo si estas probabilidades dependen de los valores no observados entonces el patrón de no respuesta se dice
que es no ignorable (MNAR) y por lo tanto las inferencias no serán correctas si no se
tiene en cuenta este hecho.
Los dos conjuntos de parámetros θ y ψ se dicen ser distintos si: (1) desde una perspectiva frecuentista, el espacio paramétrico conjunto de (θ, ψ) es el producto cruzado
cartesiano de los espacios paramétricos de θ y ψ. (2) desde una perspectiva Bayesiana,
la distribución a priori conjunta de (θ, ψ) pueden ser factorizado en las distribuciones
marginales a priori independientes para θ y ψ.
Si θ y ψ son distintos, por [10] y [11] definimos que L(θ, ψ|(Yobs , Ymis ), R) p((Yobs , Ymis ), R|θ, ψ) donde p((Yobs , Ymis ), R|θ, ψ) puede ser reemplazada por p(Yobs |θ)
ignorando el mecanismo de respuesta de missing y además si nuestras inferencias están
basadas en θ entonces L(θ|Yobs ) p(Yobs |θ)
Podemos especificar 5 mecanismos de respuestas aplicados a los marcadores genéticos, RSN Pj , de SNPs incompletos:
(I) Mecanismo MCAR. Cuando por separados los valores observados y no observados por cada SNP tienen la misma distribución respecto a otras variables (otros
marcadores o intensidades).
31
4.3. TERMINOLOGÍAS
1. Missing=Heterocigotos. La figura 4.1 insinua que la mayorı́a de los missing
se produce en las fronteras del grupo de heterocigotos, esto sugiere que quizás
el problema esté a la hora de asignar el heterocigoto debido a incordialidades
entre las medidas de las intensidades.
(II) Mecanismo MAR en Yobs . La probabilidad de asignación del genotipo en un SNP
tiene cierta asociación con marcadores observados completamente desde el punto
de vista multivariado o si analizamos el caso univariado que la probabilidad de
este SNP dependa de los casos observados del mismo.
(III) Mecanismo MAR en Z. La probabilidad de no respuesta está dada por las medidas
de las intensidades de las bases nitrogenadas.
1. Mecanismo MAR diferenciado. Existe posibilidad de que el porcentaje de significativos no tiene porque ser exactamente igual con la intensidad de A y con
la intensidad de B. Lo cual se podrı́a contrastar si estos porcentajes difieren
de manera significativa. La prueba t-Student sugiere que existe esta diferencia.
(Ver figura 5.7)
(IV) Mecanismo MNAR. Que los SNPs con Missing estén condicionados por otros
SNPs con Missing.
Ambos modelos MAR pueden ser útiles combinados en un mecanismo MAR, p(R|Yobs , Z),
es decir, condicionado a todos los datos observados.
4.3.2.
Patrones de Missing Data
De manera general podemos clasificar 2 tipos de patrones para las variables con missing data, donde 1 = Valores Observados y 0 = Valores No Observados.
Patrones Monótonos (Dropouts):
Una secuencia de valores observados y
a partir de una determinada posición o
tiempo, esta secuencia se deja de observar hasta el final. Como se muestra en la
figura 4.2
Figura 4.3: Un patrón no monótono de Missing Data
Figura 4.2: Un patrón monótono de Missing Data
Patrones no Monótonos: Una secuencia de observaciones donde existen
missing en diferentes posiciones o tiempos, sin seguir una pauta, es decir, entre
observaciones podemos tener valores no
observados. Figura 4.3.
32
CAPÍTULO 4. INTRODUCCIÓN A LOS MISSING DATA
Problemas que surgen con los patrones no monótonos
Los patrones no monótonos complican mucho la modelación, estimación y el proceso para la imputación de los Missing Data [10]. La modelación es mucho más difı́cil
debido a que los diagnósticos estándares no son apropiados, el mismo problema surge
con la estimación ası́ como a la imputación de los valores perdidos incluso con valores
conocidos del parámetro debido a la necesidad de encontrar la distribución condicional
no explı́citamente formulada en la modelación.
Estos problemas están basados en modelos explı́citos aunque análogamente surgen
estos problemas cuando usamos modelos implı́citos para la imputación de patrones no
monótonos, por lo tanto es necesario desarrollar herramientas buenas para el caso de
estos patrones.
Existen 5 soluciones generales [10]:
I. Descartar algunos datos para crear un patrón monótono.
II. Asumir independencia condicional entre bloques de variables para crear patrones
monótonos.
III. Usar un modelo explı́cito, analı́ticamente tratable pero posiblemente no totalmente
adecuado.
IV. Aplicar iterativamente métodos para patrones monótonos con modelos explı́citos.
V. Usar el algoritmo de SIR (Sampling/Importancia Resampling) para modelos explı́citos apropiados.
4.4.
Teorı́a general de la imputación
El objetivo de cualquier técnica de imputación es producir un conjunto de datos
completos, para ser tratados usando métodos inferenciales de datos completos [13]. Dos
tipos de métodos de imputaciones son los más usados: Imputación Simple e Imputación
Múltiple. En [10] y [11] los métodos de imputación se clasifican como se muestra a
continuación:
♥ Análisis de datos completos (listwise)
♥ Análisis de datos disponibles (pairwise)
♥ Imputación por medias no condicionadas
♥ Imputación por medias condicionadas mediante métodos de regresión
♥ Máxima Verosimilitud (MV)
33
4.4. TEORÍA GENERAL DE LA IMPUTACIÓN
♥ Imputación Múltiple (MI)
Las bondades de los procedimientos de imputación no deben valorarse por el sólo
hecho de que permiten completar información para hacer inferencia sobre hipótesis y
análisis de regresión. Los criterios para evaluar la eficacia de un método estadı́stico fueron establecidos por Neyman y Pearson (1933) y Neyman (1937) y guardan relación
con el error cuadrático medio (ECM) y no sólo con el sesgo del estimador [14], es decir, si dado un SNP que contenga Missing Data y si la imputación que se realiza es la
adecuada, entonces supongamos que analizamos el coeficiente de endogamia f de este
SNP, por tanto el estimador f̂ será cercano al verdadero valor del parámetro f en muestras repetidas. De esta manera se logra minimizar el sesgo, la varianza y la desviación
estándar de f̂, de otra manera, el sesgo y la varianza se combinan en la medida ECM que
se computa como el promedio de la distancia entre (f̂ − f)2 sobre muestras repetidas; por
tanto el ECM (f ) = Sesgo(fˆ)2 + V ar(f̂) [15]. Por lo que podemos decir que, el sesgo,
la varianza y el ECM describen el comportamiento de un estimador. El error estándar
(se) deberı́a ser parecido a la desviación estándar, en tanto que los intervalos de confianza deben incluir al verdadero valor del parámetro f con probabilidad cercana a la tasa
nominal, por lo que obtendrán intervalos más pequeños lo cual reduce la probabilidad
de error tipo II [14].
4.4.1.
Imputación Múltiple (IM)
Imputación Múltiple es una técnica
que reemplaza cada Missing con 2 o más
valores aceptables representando una distribución de probabilidades. Véase figura
4.4. La idea fue originalmente propuesta
por Rubin en 1977. La estrategia a seguir
mediante esta técnica se describe a través
de 4 pasos:
Figura 4.4: Imputación Múltiple
1. Especificar la densidad posterior predictiva p(Ymis |X, R), donde X es un conjunto
de variables predictoras, dado el mecanismo de no-respuesta, p(R|Y, Z) y el modelo
de datos completos p(Y, Z).
2. Elaborar las imputaciones a partir de esta densidad para producir m conjuntos de
datos completos.
3. Desarrollar m análisis de datos completos en cada matriz de datos ccompletados.
4. Realizar la combinación de los m análisis (el “Pooling”) del paso anterior resultando
finalmente los estimadores para los parámetros y sus varianzas.
34
CAPÍTULO 4. INTRODUCCIÓN A LOS MISSING DATA
Describiendo los pasos anteriores según el marco dado por [10] y [11]. Sea θ̂l los
estimadores de datos completos de un parámetro de interés, por ejemplo el coeficiente
de endogamia en genética, Ŵl , l = 1, . . . , M , sus respectivas varianzas asociadas para θ
calculadas desde las M imputaciones repetidas bajo un modelo determinado.
El análisis del conjunto de datos obtenidos a través de imputación múltiple es bastante directo. La combinación estimada para θ es:
θ̄M =
M
X
θ̂l
M
l=1
La variabilidad asociada con f tiene 2 componentes: el promedio de la varianza intraimputación:
M
X
Ŵl
W̄M =
(4.2)
M
l=1
y la componente entre-imputación:
PM
− θ̄M )2
M −1
l=1 (θ̂l
BM =
(4.3)
La varianza total asociada con θ̄M es
TM = W̄M +
M +1
· BM
M
donde (MM+1) es un ajuste para un M finito. Con el scalar θ, la distribución de referencia
es una t-student
−1/2
(θ − θ̄M )TM :tv
(4.4)
donde los grados de libertad
v = (M − 1) 1 +
M
W̄M
·
M + 1 BM
2
(1−γ)
M
el resultado W̄
donde γ es la fracción de información missing
BM estima la cantidad
γ
sobre θ debido a la no respuesta. Esta fracción está dada por la expresión:
γM
2
rM + v+3
=
rM + 1
donde rM es el incremento relativo de la varianza B cuya expresión es
rM =
M + 1 BM
M W̄M
Para la realización de este estudio nuestro parámetro de interés será el coeficiente
de endogamia (f), donde en la sección 2.6 se describió una breve reseña sobre su teorı́a,
35
4.4. TEORÍA GENERAL DE LA IMPUTACIÓN
importancia y aplicación.
Otra cuestión importante que debemos destacar es cuántas veces debemos imputar,
ya que este hecho es muy fundamental para la eficiencia de nuestros estimadores. Rubin
[10] señala que para tasas de respuestas inusualmente altas sólo requiere generar entre
5 y 10 imputaciones, aunque afirma que el método de Imputación Múltiple es capaz
de generar resultados robustos con un número más pequeño de iteraciones. En nuestro
trabajo usaremos m = 10 para una mejor convergencia y eficiencia. Esta eficiencia
γ −1
puede ser calculada como (1 + M
) , donde γ es la fracción estimada de la información
Missing, donde tanto en [10, p.114] y [16, p.110] podemos encontrar la tabla que a
continuación exponemos:
γ
m
2
3
5
10
20
0.1
95
97
98
99
100
0.3
87
91
94
97
99
0.5
80
86
91
95
98
0.7
74
81
88
93
97
0.9
69
77
85
92
96
Tabla 4.1: Eficiencia relativa ( %) de la estimación mediante Imputación Múltiple por número de imputaciones y
fracción de información Missing
4.4.2.
Modelos de Imputación
Varios modelos de imputación han sido desarrollados en diferentes contextos. En
general la estrategia para construir modelos de imputación caen en 2 categorı́as [17],
[18].
1. Modelación Conjunta: El enfoque de la Modelación Conjunta implica especificar una
distribución multivariada para los Missing Data y elaborar las imputaciones desde
sus distribuciones condicionales mediante técnicas de simulación de Monte Carlo vı́a
Cadenas de Markov. Dentro de la modelación conjunta encontramos los Modelos de
Localización General, que serán descrito más adelante. Estos métodos comienzan por
especificar la densidad multivariada paramétrica para los datos, dados los parámetros
del modelo. Bajo una apropiada distribución a priori de los parámetros, es posible
derivar el submodelo adecuado por cada patrón de Missing Data, para el cual las
imputaciones son creadas. El enfoque de modelación conjunta en teorı́a es buena
pero puede carecer de la flexibilidad necesaria para representar estructuras de datos
complejas que surgen en muchos estudios, en tal caso, la estrategia de modelación
conjunta es difı́cil de implementar debido a que las especificaciones de las distribuciones multivariadas no son suficientemente flexibles para acomodar estas funciones.
36
CAPÍTULO 4. INTRODUCCIÓN A LOS MISSING DATA
2. Imputación Múltiple de Regresión Secuencial, SRMI: también referido como Imputación Múltiple a través de Chained Equations [19]. Los datos multivariados son caracterizados por modelos condicionados separados por cada variable incompleta. Esto es, el modelo de imputación es especificado separadamente por cada variable, con
otras variables como predictoras. En cada paso de este algoritmo, las imputaciones
son generadas por los valores Missing de una variable, estos valores imputados son
usados en la imputación de la próxima variable y este proceso se repite hasta que se
alcanza la convergencia.
Comparando el algoritmo SRMI con el enfoque de la Modelación Conjunta, una caracterı́stica atractiva de SRMI es que es relativamente fácil de acomodar las caracterı́sticas de datos complejos en los modelos de regresión univariante. Las variables dicotómicas se pueden modelar mediante regresión logı́stica y las variables categóricas con más
de dos categorı́as a través de modelos politómicos. La construcción de estos modelos de
regresión pueden seguir las pautas comunes de un modelo de regresión aplicado a los
datos disponibles.
4.4.3.
Modelo de Localización General (GLM)
En la práctica generalmente los datos envuelven variables de diversos tipos. Existen
métodos multivariados que relacionan estos datos mixtos. El Modelo de Localización
General discutido por Little y Schluchter (1985) es uno de ellos, cuyo desarrollo se basa en la relación entre las funciones de verosimilitudes de estas variables. En presencia
de Missing Data este método proveé un relativo y computacionalmente simple método
Expectation-Maximization (EM) ası́ como otros métodos, por ejemplo Data Augmentation (DA).
El marco de la terminologı́a está basada en Schafer [15] y Rubin y Little [11].
Describiendo y definiendo la figura 4.5
sea W1 , W2 , . . . , Wp un conjunto de variables categóricas y Z1 , Z2 , . . . , Zq un
conjunto de variables continuas. Si estas
variables son recolectadas por una muestra de tamaño n, el resultado es una matriz de nx(p+q) cuya nomenclatura podemos definirla de la siguiente forma: Y =
(W, Z), donde W representa la parte categórica y Z la parte continua.
Figura 4.5: Conjunto Datos con Missing Data
4.4. TEORÍA GENERAL DE LA IMPUTACIÓN
37
Verosimilitud de los datos completos
Podemos escribir la función de verosimilitud de los datos completos como el producto de las verosimilitudes de la siguiente manera:
L(θ|Y ) L(π|W ) · L(µ, Σ|W, Z)
(4.5)
Esta fórmula también puede ser factorizada desde el enfoque de la inferencia Bayesiana el cual simplifica la estimación de los parámetros, asumiendo independientemente
distribuciones a priori para π y (µ, Σ) cuyos conjuntos también serán independientes en
sus distribuciones a posteriori. Schafer en su libro [15] explica los 2 algoritmos que aplicaremos para el estudio de los Modelos de Localización General, los métodos EM y DA.
El método EM es muy bien conocido, cuya idea general se basa grosso modo en repetir
estos 2 pasos:
1. Expectación o E-Step, que no es más que encontrar la LogVerosimilitud esperada de
θ.
2. Maximización o M-Step, en el cual θ(t+1) es encontrado maximizando la LogVerosimilitud esperada de θ.
El proceso termina cuando |θ(t+1) − θ(t) | < T OL donde la condición de parada
T OL o llamado también criterio de prueba para convergencia está dada por el investigador. En genética usualmente encontramos 10−6 o 10−7 .
En términos iterativos podemos decir que esta metodologı́a consta de 5 pasos a seguir:
1. Reemplazar los valores missing por los valores estimados.
2. Estimar con la nueva muestra los parámetros.
3. Reestimar los valores missing asumiendo que el nuevo parámetro estimado es
correcto
4. Reestimar los parámetros dado el paso anterior.
5. Repetir los pasos 3-4 hasta el criterio de prueba de convergencia.
Por otro lado, la idea general del método Data Augmentation surge naturalmente en
problemas de Missing Data [20], [21], cuyo fundamento está basado en un esquema de
aumentar los datos observados, como bien lo indica su nombre. Este método en conjunto
con el método EM tiene grandes ventajas para la solución de los problemas de máxima
verosimilitud. En situaciones cuando la verosimilitud no puede ser aproximadamente
cercana a una verosimilitud normal, los estimadores máximos verosı́miles y los errores
estandar asociados no suelen dar inferencias válidas.
38
4.5.
CAPÍTULO 4. INTRODUCCIÓN A LOS MISSING DATA
Análisis de sensibilidad
Un malentendido común acerca de la imputación múltiple es que está restringida a
MAR [19, p.52]. Si bien es cierto que las técnicas de imputación comúnmente asumen
MAR, la teorı́a de la imputación múltiple es completamente general y se aplica también
a MNAR.
Una alternativa sensible es la creación de una serie de escenarios posibles e investigar las consecuencias de cada una de ellas sobre las inferencias finales. En Rubin [10]
existen un número de técnicas básicas. En nuestro estudio realizaremos aquellos modelos que expusimos en el punto IV de la sección 4.3.1 como modelos contraparte de los
modelos MAR aplicados, es decir, tomaremos aquellos modelos MAR y les incluiremos
otros SNPs que no se observaron completamente. En adición sobre los modelos MAR,
llevamos a cabo otro enfoque al análisis de sensibilidad utilizando estrategias alternativas de modelado.
4.6.
Metodologı́a de nuestro estudio de los Missing Data en el contexto de HWE
Para el estudio de los Missing Data es necesario confeccionar un esquema para el
diagnóstico de los modelos de imputación ası́ como el chequeo de estos. En nuestro
estudio usamos diferentes paquetes de modelación, sumarizando en cada uno varios pasos envueltos en el proyecto de la imputación múltiple. Este proyecto tiene implı́cito
diferentes pasos claves:
(a) Análisis del Equilibrio de Hardy-Weinberg de las variables observadas completamente.
(b) Para las variables incompletas hicimos un estudio sobre los patrones de Missing
Data ası́ como la comprobación del mecanismo de Missing seguido por estas.
(c) Hicimos apropiados supuestos para el mecanismo de Missing Data, explicados en la
enumeración de la sección 4.3.1 referente a los mecanismos de respuestas aplicados
a los marcadores genéticos.
(d) Identificamos las variables a ser incluidas en el proceso de imputación. La estrategia
general será explicada en la sección 5.4.2 mediante 2 criterios.
(e) Construimos los modelos de imputación basados en modelos conocidos, factibles y
sofisticados, implementados en el software R y explicados en la sección 4.4.2.
(f) Seguidamente se realizó un diagnóstico de las imputaciones, ası́ como el análisis del
sesgo producidos por los casos completos respecto a las imputaciones.
4.6. METODOLOGÍA DE NUESTRO ESTUDIO DE LOS MISSING DATA EN EL
CONTEXTO DE HWE
39
(g) Post-Imputación se calculó cada componente del Pooling y se realizó el análisis de
sensibilidad por cada coeficiente de endogamia estimado para los SNPs escogidos.
(h) Como objetivo final se realizó el estudio para el Equilibrio de Hardy-Weinberg.
Capı́tulo 5
Análisis de los resultados
5.1.
Estadı́stica Descriptiva de los SNPs completos
Comenzaremos todo el análisis de lo que hemos expuesto en los capı́tulos 2 y 4.
Iniciaremos la estadı́stica descriptiva para el análisis de los SNPs sin Missing Data.
El principio de Hardy-Weinberg se puede aplicar de dos maneras, ya sea una población que supone que tiene proporciones de Hardy-Weinberg, en la que las frecuencias de
los genotipos pueden calcularse, o si las frecuencias de los tres genotipos son conocidos,
donde pueden ser probados que las desviaciones son estadı́sticamente significativas. En
nuestro caso lo reduciremos al segundo objetivo.
Existen 376 SNPs de datos completos a
los cuales les aplicaremos las pruebas estadı́sticas descritas en el capı́tulo 2. Comenzamos con la representación gráfica de
la Mı́nima Frecuencia Alélica, gráfico 5.1,
que se refiere a la frecuencia con la que
el alelo menos común de los SNPs se produce en una población dada, más general,
debido a las variaciones entre las poblaciones humanas, un alelo de mı́nima frecuencia en un SNP que es común en un grupo
geográfico o étnico puede ser mucho más
raro que en otros grupos.
Figura 5.1: MAF
El hecho de que haya un pico cerca del 0 indica que hay relativamente más marcadores con frecuencias alélicas extremas, que es lo más común en este fenomeno, ya que
41
42
CAPÍTULO 5. ANÁLISIS DE LOS RESULTADOS
se suelen observar en bases de datos de SNPs, como una ley de validez empı́rica en un
lugar del genoma.
Realicemos los 3 Tests: el test de χ2 , el test Exacto y el test LRT para comprobar
si existe el equilibrio de Hardy-Weinberg o no entre las proporciones. Debido a la dimensionalidad de los datos, no expondremos los valores de los test, sólo realizaremos
los Q − Q Plots y el número de SNPs significativos por cada test. Existen varias representaciones gráficas que permiten explorar el grado de cumplimiento del HWE de
los marcadores; el qqplot, el diagrama ternario y diagramas bivariantes de frecuencias
genotı́picas.
Chi−square Q−Q Plot HWE_LRatio_test
80
100
Chi−square Q−Q Plot HWE_Chisquare_test
●
60
●
●
●
●
●
40
●
●
●
●
20
●
●
●
●
●
●
●
40
Sample Chisquare quantiles
60
●
●
20
20
40
60
80
100
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
0
20
Theoretical Chisquare quantiles
(a) Q-Q plot Chi-Square
15
●
●
●
●
●
●
●
10
−log(Observed p value)
60
(b) Q-Q plot Log-LikeliHood Ratio
Q−Q plot HWE_Exact_test
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
0
40
Theoretical Chisquare quantiles
5
0
0
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
0
0
Sample Chisquare quantiles
80
●
5
10
15
−log(Expected p value)
(c) Q-Q plot H-W Exact Test
Figura 5.2: Q-Q Plots de los 3 test
80
5.1. ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA DE LOS SNPS COMPLETOS
43
Referente a los Q−Q plots de los valores p de cualquiera de las pruebas de equilibrio
de Hardy-Weinberg (gráfico 5.2c), son los valores p empı́ricos versus los cuantiles de los
p valores teóricos de la distribución que siguen cada una de las pruebas. Para hacer este
Q − Q plot más comparable con los del test χ2 y LRT, es mejor usar −10log10 de los
valores p. Ası́ mismo los Q − Q plots para las pruebas χ2 y LRT (gráficos 5.2a-5.2b),
muestran los cuantiles muestrales versus a los cuantiles teóricos, permitiendo observar
cuán cerca está la distribución de un conjunto de datos a la distribución de referencia
bajo la hipótesis nula.
Podemos observar que según los 3 test que exponemos, existe homogenidad en cuanto a la cantidad de SNPs significativos, es decir, se encontró por cada test evidencia de
que podamos rechazar la hipótesis de que estén en equilibrio de Hardy-Weinberg. El
número de SNPs significativos resultó ser entre 15-23 SNPs en fuerte desequilibrio para
las 3 pruebas.
Los Q − Q plots de los marcadores completamente observados parecen a primera
vista indicar que el equilibrio de Hardy-Weinberg no se cumple para esta base de datos
ya que hay 23 SNPs muy significativos. Sin embargo, el número esperado de resultados significativos es, al nivel del 5 %, aproximadamente 0,05 · 376 ≈ 19 SNPs y es del
mismo orden en magnitud que el número de significativos observados. Si empleamos un
nivel de significación del 1 %, se esperan unos 4 SNPs significativos, mientras que encontramos 23 SNPs. Eso pone de manifiesto que los marcadores que salen significativos
tienden a ser muy siginificativos, sea por error de genotipado o por otra causa.
Como habı́amos comentado, existen otras 2 vı́as de analizar el equilibrio entre las
proporciones de Hardy-Weinberg que son mediante un plot ternario y diagramas de Dispersión, representados en la figura 5.3.
Las composiciones genotı́picas de 3 vı́as (AA, AB,BB), se pueden exponer en un
diagrama ternario y además se puede representar la región de aceptación de las diferentes pruebas de equilibrio de Hardy-Weinberg en el mismo [22]. Esto permite una prueba
gráfica de un gran conjunto de marcadores (SNPs por ejemplo) para HWE, el significado
(o no) de la prueba para HWE se puede deducir de la posición del marcador en el plot
ternario.
Diferentes pruebas estadı́sticas para HWE se puede hacer gráficamente: la prueba
ordinaria de Chi cuadrado, la prueba de Chi cuadrado con corrección de continuidad y
la prueba exacta de Levene-Haldane. En el Plot Ternario de la figura 5.3a la región de
confianza está basada en la prueba Chi cuadrado ordinaria.
Los scatterplots realizan diagramas de dispersión de la frecuencia de AB o BB en
44
CAPÍTULO 5. ANÁLISIS DE LOS RESULTADOS
comparación con la frecuencia de AA y representan una curva que indica la condición
de equilibrio de Hardy-Weinberg.
(a) Plot Ternario
(b) Scatterplot
(c) Scatterplot
Figura 5.3: Diagrama ternari y ScatterPlots de las frecuencias genotı́picas
En todos los gráficos estudiados se observa que los marcadores tienden acercarse a
la curva de HWE, en el diagrama ternario, figura 5.3a, se encontraron 23 SNPs fuera de
la región de aceptación, lo cual está en correspondencia con los marcadores expuestos
en la figura 5.2a. Como información adicional, podemos decir que aquellos marcadores
significativos, que se encuentran por debajo de la curva presentan un déficit de heterocigotos y por encima de la curva un exceso de heterocigotos. Para los datos estudiados,
los marcadores en desequilibrio suelen presentar una falta de heterocigotos.
45
5.2. INSPECCIONANDO LOS MISSING DATA
5.2.
Inspeccionando los Missing Data
Comenzaremos el estudio del comportamiento de los missing en la base de datos
Cáncer de Colon. Para esto veremos la tabla de patrones de Missing. Examinaremos los
patrones de Missing a través de ambas intensidades A y B, donde el número de Missing
puede ser contado y visualizado de las siguientes maneras.
Realizaremos inicialmente un plot de frecuencias de los Missing por cada SNP en la
figura 5.4.
Observamos que existen:
# mis Frec: SNPs
0
376
1
199
2
105
3
59
4
44
5
29
6
27
7
25
8
24
9
10
El resto de los SNPs presentan más de
un 10 %, lo cual analizaremos para averiguar en qué tipo de mecanismos de pérdida de datos estamos presentes. En total
hay 3873 missings en toda la Base de Datos representando estos el 4 % de toda la
información genotı́pica.
Figura 5.4: Conteo de Missing por SNPs
El diagrama de frecuencias de los
Missing por Individuos lo podemos observar en la figura 5.5. Observamos que
existen:
# mis Frec: Ind
19
4
27
3
32
2
19
2
El resto de los individuos varı́an en números de missings donde todos presentaron
missings, es decir, si eliminamos los individuos con casos missing perdemos la
muestra completa.
Figura 5.5: Conteo de Missing por Individuos
46
CAPÍTULO 5. ANÁLISIS DE LOS RESULTADOS
Hemos indagado anteriormente sobre el comportamiento de los missing de nuestros
datos, pero no hemos explicado el por qué se generan para esta base de datos en concreto. Como describimos en el capı́tulo 4.2, una de las causas de los Missing Data en
genética es la mala clasificación del genotipado a la hora de la asignación del genotipo
mediante las medidas de las intensidades, comenzaremos exponiendo 4 ejemplos para
ver la relación entre las intensidades y la asignación del genotipo.
(a) SNP 52
(b) SNP 71
(c) SNP 80
(d) SNP 125
Figura 5.6: Diagramas bivariantes de intensidades para 4 SNPs
La figura 5.6 muestra 4 ejemplos de “Call Plot ” para 4 SNPs de la base de datos. En
el gráfico 5.6a para el SNP 52, observamos el caso ideal de clasificación de genotipado
pues no hay presencia de casos perdidos y hay una buena separación de los 3 genotipos,
47
5.2. INSPECCIONANDO LOS MISSING DATA
para el SNP 71, gráfico 5.6b, se observa que para bajas intensidades de B, el sistema
clasificó a todos los individuos como AA y los SNPs 80, gráfico 5.6c y 125, gráfico 5.6d,
representan casos con missings, donde los individuos entre la nube de heterocigotos y
homocigotos son clasificados como Missing.
Análisis de los patrones de Missing Data
Podemos observar los patrones tanto por SNPs como por Individuos. Por individuos
sólo se pudo reducir a 92 patrones de 99 (No de individuos) y por SNPs 451 patrones
de 1000 (No de SNPs). En ambos los patrones son no monótonos. Vemos que existen
patrones repetidos, por ejemplo, si analizamos desde el espacio de los individuos, sólo
11 individuos compartieron iguales patrones, 4 de un tipo, 3 de otro, 2 y 2, coincidiendo
entre ellos tanto en números de missing como en sus posiciones respectos a los SNPs,
el resto cada uno tenı́a su propio patrón particular. En mismo análisis podemos ver en
el espacio de las variables SNPs, hubo 376 patrones completos, 16 SNPs con un sólo
missing en la posición del individuo 3, etc.
El individuo que más aportó missing, fue el individuo 87, con un total de 117 missing
de 1000 SNPs analizados y el que menos el individuo 39 con sólo 8 missing. Para el caso
de los SNPs, el que más aportó fue un SNP con un total de 94 missing de 99 individuos,
véase figura 5.4. En el estudio hemos eliminados aquellos SNPs con más de 50 % de la
información perdida, siendo un total de 5 SNPs.
5.2.1.
Mecanismo de Patrones de Missing Data
Para el estudio del comportamiento de los Missing y para la comprobación sobre
cuál mecanismo de Patrones de Missing Data tenemos presente, usamos 2 pruebas, las
pruebas t de Student y la T 2 de Hotelling. Estos métodos son simples procedimientos
para comparar en una misma variable las medias de la distribución de los casos observados y los casos Missing en el caso del t de Student ası́ como para la prueba T 2 -Hotelling
pero vista como vector de p componentes, donde tales tests son útiles para comprobar
si son MCAR las variables pero tienen ciertas limitaciones en cuanto a la potencias si
la muestra de los casos incompletos es pequeña [11]. Por lo tanto, escogimos los SNPs
que contuvieran entre un 10 % y un 50 % de Missing, alcanzando 97 SNPs. Se calculó el
intervalo de confianza del 95 % para la diferencia de medias µobs − µnoobs , tanto para la
intensidad A (figura 5.7a) como para la intensidad B (figura 5.7b)
Tests Univariado y Multivariado aplicado a 97 SNPs
Intensidad A
T.T est
T 2 Hotelling
Intensidad B
61 Significativos 50 Significativos
74 Significativos
48
CAPÍTULO 5. ANÁLISIS DE LOS RESULTADOS
●
●
●
●
●
●
●
● ●
●
●●
●
●
−1500
●
20
40
60
Marcadores
(a) CI: Intensidad A
●
●
80
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
● ●
●
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●
0
1500
●
●
●
●
●
500
●
−1500
−500
0
CI
500
1000
●
●
●
●
0
1500
● ●
●
1000
●
●
●
−500
●
T.Test−−Intensidad B
CI
2000
T.Test−−Intensidad A
100
●●
●
● ●
●
●
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●●
● ●
●
●
●
● ●
●
●
●
●
0
20
40
60
80
100
Marcadores
(b) CI: Intensidad B
Figura 5.7: Pruebas Mecanismo de los Patrones Missing Data
Para muchos SNPs la diferencia de medias resulta ser significativas. Para los 61
SNPs de los 97 (aproximadamente 63 %) se descarta igualdad de intensidad de A para
genotipos observados y no observados. Para intensidad B, se encontraron 50 SNPs significativos (aproximadamente 52 %). Si los datos fueran MCAR, hubiéramos esperado
solamente un 5 % de signficativos por efecto del azar. Los porcentajes de significativos
son mucho más grandes, indicando esto que podemos rechazar la hipótesis de que nuestros datos de forma global no son MCAR, por lo tanto asumimos que estamos bajo el
modelo MAR. Las pruebas para igualdad de vectores de medias con la T 2 Hotelling tienen un porcentaje de significativos todavı́a más elevado y también ponen de manifiesto
que los datos multivariados no son MCAR .
La figura 5.7 muestra los intervalos de confianza del 95 % para la diferencia teórica
entre las medias de los intervalos de los individuos para los genotipos observados y no
observados. Como se puede observar en el gráfico para un porcentaje sustancial de los
marcadores (>> 5 %) el intervalo no cubre el cero, indicando gráficamente que los datos no son globalmente MCAR.
Otra forma de ver el estudio de los patrones es calculando el número de observaciones por patrones de missing para todos los pares de variables, ası́ como el número de
observaciones perdidas, es decir, ver los patrones desde el punto de vista por ejemplo:
(SN P 784obs , SN P 235obs ) y (SN P 784miss , SN P 235miss ), también se pudieran analizar 2 patrones más, que serı́an: (SN P 784obs , SN P 235miss ) y (SN P 784miss , SN P 235obs ),
en general existen 4 tipos de patrones por pares de variables, aunque sólo expondremos
los 2 primeros.
49
5.2. INSPECCIONANDO LOS MISSING DATA
Comencemos el estudio realizando los cálculos descritos en el párrafo anterior, tomando una representación de 10 SNPs de los 97, es decir, cogamos aleatoriamente 10
SNPs que tengan entre un 10 % y 50 % de observaciones Missing.
SNP645
SNP294
SNP9
SNP194
SNP297
SNP417
SNP680
SNP594
SNP510
SNP197
SNP645
70
53
51
52
52
53
56
55
55
54
SNP294
53
70
51
50
54
55
58
58
53
54
SNP9
51
51
70
51
54
52
56
54
55
57
SNP194
52
50
51
73
54
59
58
58
58
56
SNP297
52
54
54
54
75
58
58
58
59
61
SNP417
53
55
52
59
58
77
59
60
63
59
SNP680
56
58
56
58
58
59
78
63
64
58
SNP594
55
58
54
58
58
60
63
78
59
60
SNP510
55
53
55
58
59
63
64
59
78
60
SNP197
54
54
57
56
61
59
58
60
60
78
Tabla 5.1: SNPs que menos Observaciones aportaron
La tabla 5.1 se interpretarı́a como aquellos SNPs que menos observaciones tuvieron.
En la diagonal se observan la cantidad de observaciones en cada SNP y en los demás
elementos de la matriz observamos aquellas coincidencias de todos los valores observados entre los SNPs por individuos.
Analicemos por ejemplo el SNP 645 que menos observaciones presentó y crucémoslo con el SNP 197. En la intercepción de ambos SNPs se muestran 54 observación coincidente, esto quiere decir, que entre los 2 SNPs, tuvieron por filas, 54 observaciones
coincidentes, expresándolo de otra manera, hubo 54 individuos, al que se le observaron
los SNPs 645 y 197 conjuntamente y se pudo obtener el genotipo en dichos locus, es
decir, hubo respuesta y ningún Missing para ambos SNPs.
SNP645
SNP294
SNP9
SNP194
SNP297
SNP417
SNP680
SNP594
SNP510
SNP197
SNP645
29
12
10
8
6
5
7
6
6
5
SNP294
12
29
10
6
8
7
9
9
4
5
SNP9
10
10
29
7
8
4
7
5
6
8
SNP194
8
6
7
26
5
8
6
6
6
4
SNP297
6
8
8
5
24
5
4
4
5
7
SNP417
5
7
4
8
5
22
3
4
7
3
SNP680
7
9
7
6
4
3
21
6
7
1
SNP594
6
9
5
6
4
4
6
21
2
3
SNP510
6
4
6
6
5
7
7
2
21
3
SNP197
5
5
8
4
7
3
1
3
3
21
Tabla 5.2: SNPs que más Missing aportaron
La tabla 5.2 por el contrario a la tabla 5.1 esta refleja aquellos SNPs que más Missings aportaron a nuestro ejemplo. Como mismo explicamos, en la diagonal vemos la
cantidad de valores perdidos por cada SNP y por encima y debajo de esta, aquellos Missings coincidentes entre los individuos. Sigamos con el ejemplo anterior.
50
CAPÍTULO 5. ANÁLISIS DE LOS RESULTADOS
Figura 5.8: Proporción de Missing y Combinaciones
El SNP 645 presenta 29 observaciones perdidas de 99 individuos registrados, el SNP
197 tiene 21, pero entre ellos hay 5 individuos que coinciden en cuanto a que no se pudo obtener el genotipo en esa posición de esos SNPs. De manera general, esta tabla
representa los datos Missing por SNPs y la relación entre aquellos individuos según la
cantidad de Missings coincidentes por SNPs.
La figura 5.8 resume lo descrito en las tablas 5.2 y 5.1. En el panel izquierdo vemos
el porcentaje de Missings por cada SNP y que está en correspondencia con lo descrito en
la tabla 5.2 y en el panel derecho las combinaciones entre los SNPs, tanto de los datos
observados y no observados por cada individuo. En este panel se comprueba el estado de
la no monotonı́a de nuestros datos, ası́ como la variabilidad de missings en los diferentes
locus.
Gráficamente podemos también inspeccionar los Missing mediante pares de patrones
Missing. Veámoslo a través de 4 ejemplos de combinaciones de SNPs de los 4 patrones
anteriormente usados y mostrados en los gráficos de la figura 5.9.
El área que contiene los puntos azules representa aquellas observaciones para los
cuales ambos SNPs fueron observados. En el caso de los SNPs 645-294 podemos ver
que hay 53 valores observados conjuntamente, tabla 5.9a, representado por las combinaciones de genotipos (genotipo=0, genotipo=0), (genotipo=0, genotipo=1), (genotipo=0,
genotipo=2), (genotipo=1, genotipo=0), (genotipo=1, genotipo=1), (genotipo=2, genotipo=0), (genotipo=2, genotipo=1), (genotipo=2, genotipo=2). El área de los puntos rojos
tanto en el sentido vertical como horizontal, son aquellas combinaciones entre valores
missing y observados por SNP.
51
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
2.0
●
●
●
●
●
●
●
●
●
29 ●
12 29
●
●
●
●
●
●
0.0
0.5
1.0
1.5
1.0
SNP417
0.5
0.0
1.0
0.5
0.0
SNP294
●
1.5
●
1.5
2.0
5.2. INSPECCIONANDO LOS MISSING DATA
22 ●
5 24
2.0
0.0
0.5
SNP645
1.5
2.0
2.0
(b) SNPs 297-417
●
●
●
●
●
●
●
●
●
21 ●
3 21
●
●
●
●
●
●
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1.0
● ●
0.5
0.0
SNP594
0.4
0.0
0.2
SNP197
0.6
1.5
0.8
1.0
(a) SNPs 645-294
●
1.0
SNP297
●
●
21 ●
6 21
●
0.0
SNP510
●
0.5
1.0
●
1.5
2.0
SNP680
(c) SNPs 510-197
(d) SNPs 680-594
Figura 5.9: Plots Marginales
El SNPs 645 presenta 29 Missing y el SNPs 294 tiene 29 Missing, también entre
ellos existen 12 observaciones en que ambos SNPs coinciden siendo Missing. Los BoxPlots en azules resumen la distribución marginal de los SNPs correspondientes a los
valores observados e igualmente los BoxPlos en rojo pero para los valores missing. Bajo
MCAR, se espera que ambas distribuciones sean idénticas, es decir, las resumidas en
los BoxPlots rojos y azules por cada SNP. Resumiendo los gráficos de la figura 5.9 se
aprecian diferencias en los boxplots marginales, indicando que los marcadores no son
MCAR respecto a otros marcadores.
52
5.3.
CAPÍTULO 5. ANÁLISIS DE LOS RESULTADOS
Imputación Simple
Esta metodologı́a descrita en el punto I de la sección 4.3.1 es válida bajo MCAR. Nos
argumentamos para implementar este modelo debido a estos gráficos que a continuación
exponemos que nos sugieren este problema. Ya habı́amos descartado la posibilidad de
que los datos multivariados sean MCAR, sólo realizamos esta imputación como criterio extremista y además la teorı́a sugiere que este método introduce sesgos en el valor
estimado y en su varianza. Para implementar este modelo procederemos directamente a
imputar los Missing como heterocigotos, es decir, asignamos el mejor posible valor para
los 5 SNP’s que seguidamente presentamos.
Figura 5.10: SNP 645
Figura 5.11: SNP 294
Figura 5.12: SNP 9
Figura 5.13: SNP 194
53
5.3. IMPUTACIÓN SIMPLE
SNP645
SNP294
SNP9
SNP194
SNP297
1
16
53
28
70
24
2
12
9
33
2
36
3
42
8
9
1
15
NA’s
29
29
29
26
24
Figura 5.14: SNP 297
En la figura 4.1 también veı́amos claramente la aparición de los missing en la frontera de los heterocigotos, al igual que en las figuras 5.6c y 5.6d. Aunque los SNPs 9 y
297 (Gráficos 5.12 y 5.14), no tienen bien definidos las diferentes clases de categorı́as,
es decir, la clasificación de los homocigotos y heterocigotos están muy mezclados, los
gráficos indican por sus posiciones pues una tendencia muy estrechas entre ellas, no como habı́amos visto para los demás SNPs, cuyas categorı́as están muy bien definidas, lo
cual resultarı́a un problema según el supuesto que nos habı́amos planteado sobre la mala
clasificación cuando se trataba de la categorı́a de los heterocigotos.
Evidencia de sesgo en las imputaciones
En la figura 5.15 podemos visualizar las diferencias entre los coeficientes de endogamia obtenidos por los casos observados y casos imputados
de 10 SNPs, 5 de ellos visualizados en los gráficos anteriormente expuestos. Los SNPs marcados
con los puntos rojos, son aquellos que resultaron
significativos para la prueba χ2 de Pearson de los
casos observados de los 10 SNPs que estamos analizando. Excepto por el SNP198 vemos la marcada distancia que existen entre los SNPs y la recta,
indicando en general, la evidencia de sesgo resultante respecto a descartar missings, es decir, omitir
aquellos casos no observados.
Figura 5.15: Evidencia de sesgo entre la
Imputación Simple y los Casos
Observados
54
CAPÍTULO 5. ANÁLISIS DE LOS RESULTADOS
5.4.
Creando las imputaciones bajo MAR
Imputaciones plausibles pueden dar razonables predicciones para los Missing Data y
la variabilidad entre ellas debe reflejar un apropiado grado de incertidumbre. Rubin [10]
recomienda que las imputaciones deban realizarse a través de un argumento bayesiano.
Especificar un modelo paramétrico para los datos completos bajo MAR, asume una distribución a prior para los parámetros desconocidos del modelo y simula múltiples imputaciones independientes a partir de la distribución condicional de los Missing Data dado
los valores observados por el teorema de Bayes.
5.4.1.
Creando las imputaciones con MICE
Mice es un paquete de R [19], que imputa datos multivariados incompletos vı́a Chained Equations, explicadas en la sección 4.4.2. A pesar de que previamente podemos
tener conocimiento sobre los tipos de variables que analizamos ası́ como conocimientos
sobre los criterios estadı́sticos fundamentales para la elección del método de imputación,
es necesario realizar estudios a priori sobre los datos observados ası́ como analizar las
relaciones entre las variables respuestas y covariables.
5.4.2.
Selección de la matriz predictora
Como requisito previo para la aplicación de los algoritmos de imputación que utilizan modelos de regresión, es necesario ajustar los modelos propuestos y verificar la
significancia estadı́stica de los parámetros asociados a las covariables, es decir, son 2 pasos lo que envuelve la creación de las imputaciones, uno, la especificación del modelo de
imputación, que es el paso más complejo en la imputación múltiple, ya que no siempre
es conocido la distribución de las variables a imputar, y 2, la selección de los predictores
que posiblemente sea el proceso más difı́cil.
Existen criterios sobre la selección de dichos predictores. Veremos 2 metodologı́as.
Criterio I
Una estrategia es la comentada por [23] que consiste en 4 pasos a seguir, la cual
enumeramos a continuación:
1. Incluir todas las variables que aparecen en el modelo de datos completos. De no
hacerlo, puede sesgarse el análisis de datos completos, especialmente si el modelo de
datos completos contiene fuertes relaciones predictivas. En particular esto significa
que todos aquellos SNPs que se observaron completamente y todas las covariables
son siempre parte del conjunto de predictores, por ejemplo las intensidades.
2. En adición, incluir los factores que son conocidos y que tienen influencias sobre la
ocurrencia de los missing data (Estratificación, razones para la no-respuesta) deben
55
5.4. CREANDO LAS IMPUTACIONES BAJO MAR
ser incluidas con motivos. Otras variables de interés son aquellas para las cuales las
distribuciones difieren entre los grupos de respuestas y no respuestas. Estas pueden
ser encontradas inspeccionando sus correlaciones respecto al indicador de respuesta
de la variable con missings, es decir, la variable a ser imputada. Si la magnitud de
esta correlación excede a cierto nivel, entonces la variable es incluida.
3. Incluir también aquellas variables que explican una considerable cantidad de varianza
de la variable a imputar. Tales predictores ayudan a reducir la incertidumbre de las
imputaciones. Ellas son crudamente identificadas por sus correlaciones con la variable a imputar.
4. Eliminar aquellas variables mencionadas en los 3 puntos anteriores que correspondan
con las variables a imputar y que contengan muchos missing entre los subgrupos de
casos incompletos. Un simple indicador es el porcentaje de casos observados dentro
de este grupo, es decir, el porcentaje de casos utilizables.
Criterio II. Análisis mediante regresión
Como hemos descrito inicialmente, asumimos que estamos bajo el mecanismo MAR.
Pero el hecho de asumir este mecanismo no es suficiente para continuar el proceso de
imputación sin antes verificar que realmente admitir tal hipótesis se basa en algún fundamento. Realicemos la modelación de regresión logı́stica multinomial para un SNP observado completamente, incluyendo como predictores sus intensidades correspondiente.
0.8
0.6
Probability
0.0
0.2
Tabla 5.3: Regresión Logı́stica Multinomial
BB
AB
AA
0.4
1:(intercept)
2:(intercept)
1:IA
2:IA
1:IB
2:IB
1.0
SNP 994
Estimate Std. Error t-value Pr(> |t|)
6.41 15538.70
0.00
1.00
2.01 22041.91
0.00
1.00
0.02
4.91
0.00
1.00
0.03
6.92
0.00
1.00
-0.01
5.42 -0.00
1.00
-0.04
7.99 -0.00
1.00
−2
0
2
4
Intensity A
Figura 5.16: Regresión Logı́stica Multinomial
Como se observa en la tabla 5.3 las intensidades no parecen ser predictores significativos para el SNP 994, cosa que nos ha extrañado mucho puesto que la obtención del
genotipo es calculada por las medidas de las intensidades. La cuestión es que ocasionalmente cuando se ejecuta una regresión logı́stica podemos encontrarnos con el problema
de la llamada separación completa o separación casi completa. Una separación completa
56
CAPÍTULO 5. ANÁLISIS DE LOS RESULTADOS
ocurre cuando la variable respuesta separa una variable de predicción o una combinación
de variables predictoras completamente o viceversa.
La separación completa o predicción perfecta puede ocurrir por varias razones, en
nuestro caso, es debido a que la asignación del genotipo es dado según la cantidad de
intensidad calculada por los 2 alelos medidos, por lo que esta está particionada por rangos, tal y como se explica en la sección 4.2.
También podemos percatarnos en la tabla 5.3 que los errores estándar de los parámetros estimados son demasiado grandes, esto generalmente indica un problema de convergencia o algún grado de separación de datos [24].
Todo lo mentado anteriormente se puede corroborar con la figura 5.16 que expresa la
relación entre el SNP 994 y su respectiva intensidad A, donde se describe que para baja
intensidad de A, el genotipo resultante de mayor probabilidad es BB, para valores medios de A son los heterocigotos AB y para altas intensidades el genotipo AA. Viéndose
claramente la separación de cada categorı́a respuesta. En las imputaciones se han incluido las intensidades a pesar de no ser significativas porque es evidente que guarda una
relación casi determinista con la respuesta.
Matriz Predictora
La forma general de la matriz predictora quedarı́a de la siguiente manera como la
de este ejemplo, las covariables Intensidades, son todas predictoras según su respectivo
SNP y todos aquellos SNPs que fueron observados completamente, entiéndase que estos
SNPs fueron seleccionados por la ubicación en la base de datos y no por su relación
respecto a su posición fı́sica en el cromosoma. El conjunto de predictores serı́a X =
[SN Pobs , IA, IB].
SNP645
SNP294
SNP9
SNP194
SNP297
SNP645
SNP294
SNP9
SNP194
SNP297
SNP645
0
0
0
0
0
A645
1
0
0
0
0
SNP294
0
0
0
0
0
A294
0
1
0
0
0
SNP9
0
0
0
0
0
A9
0
0
1
0
0
SNP194
0
0
0
0
0
A194
0
0
0
1
0
SNP297
0
0
0
0
0
A297
0
0
0
0
1
SNP8
1
1
1
1
1
B645
1
0
0
0
0
Tabla 5.4: Matriz Predictor
SNP192
1
1
1
1
1
B294
0
1
0
0
0
SNP292
1
1
1
1
1
B9
0
0
1
0
0
SNP298
1
1
1
1
1
B194
0
0
0
1
0
SNP647
1
1
1
1
1
B297
0
0
0
0
1
5.4. CREANDO LAS IMPUTACIONES BAJO MAR
57
La matriz 5.4 debe analizarse de forma horizontal y nos indica aquellas variables que
son predictoras de las otras o no, donde aquellas variables que no son predictoras están
sujetas por los investigadores si se dejan en el modelo o no debido a su interés cientı́fico.
En particular si analizamos el SNP 194 podemos ver que los SNPs 645, 294, 9 y 297 no
son predictores para él, ni entre ellos y ası́ sucesivamente por cada SNP.
Bajo el mecanismo MAR, la probabilidad de un patrón de no respuesta depende de
los valores observados y sus covariables, es decir, p(R|Yobs , Z), por lo que se analizarán
los modelos comentados en la sección 4.3, todos derivados de esta matriz predictora.
M ICEY Y = p(R|Yobs ) ⇒ Modelo con predictores Yobs
(5.1a)
M ICEY Z = p(R|Z) ⇒ Modelo con predictores IA e IB
(5.1b)
M ICEY Y Z = p(R|Yobs , Z) ⇒ Modelo con predictores Yobs , IA e IB
(5.1c)
Entiéndase para el modelo 5.1a como aquel que sólo contiene SNPs como predictores, para el modelo 5.1b que sólo contiene las Intensidades de A y B del SNP correspondiente y para el modelo 5.1c ambos modelos anteriores combinados.
5.4.3.
Chequeando el diagnóstico de los Missing
Existen 2 técnicas de chequeo para valorar si nuestras imputaciones están correctas
o al menos siguen una pauta adecuada en dependencia de la distribución de los datos
observados. Una consta a través del chequeo del diagnóstico de las imputaciones y la
otra mediante representaciones gráficas.
1
−1
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0.5
0.5
2.0
0.0
1.5
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0.0
−0.5
−0.5
0.0
−2
−1
−1
0.5
0
0
1.0
1
1
2
2
2.5
1.0
3
3
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1.0
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
3.0
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0
0.0
−1
−2
−2
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
−0.5
−1
0
0
0
0.5
2
1
1.0
1
2
1.5
2
4
2
3
2.0
Comprobar el diagnóstico de los datos imputados proporciona una manera de verificar la plausibilidad de las imputaciones, expresado de otra manera, el chequeo del
diagnóstico debe ser un paso importante luego de la imputación, ya que verifica y evalúa
si dichas imputaciones son plausibles. Un método de imputación mal seleccionado puede traer consigo malas imputaciones, veamos un ejemplo con un método de imputación
para variables numéricas.
La figura 5.17 demuestra el caSNP645
SNP294
SNP9
SNP194
SNP297
so tı́pico de selecionar un método de
imputación no adecuado a los datos.
Los puntos azules representan a los
datos observados y los rojos son los
imputados. Las imputaciones deben
adquirir los valores que se podrı́an
SNP417
SNP680
SNP594
SNP510
SNP197
haber obtenido si no se hubieran perdido, es decir, deben estar alrededor
de los datos observados. Las imputaciones que son claramente imposibles, por ejemplo: recuentos negati0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Imputation number
Figura 5.17: Método Regresión Lineal Bayesiana
58
CAPÍTULO 5. ANÁLISIS DE LOS RESULTADOS
vos, no deben ocurrir en los datos imputados. En general, las imputaciones deben respetar las relaciones entre las variables y reflejar la cantidad apropiada de la incertidumbre
sobre sus verdaderos valores. En este ejemplo observamos que los puntos rojos fluctúan
mucho entre los puntos azules, además los valores que asume llegan a ser negativos algunas veces; era de esperar debido a que elegimos un método de respuesta numérica.
Verifiquemos lo anteriormente expuesto al SNP 645, por cada modelo planteado.
Cada fila de las tablas 5.5, 5.6, 5.7 corresponden a una entrada missing en el SNP645,
excepto las 3 últimas de cada tabla, que resumen la cantidad de veces que se imputó cada categorı́a en cada iteración. Podemos ver que las imputaciones creadas por los tres
modelos son plausibles.
Id
3
6
7
13
18
22
23
24
25
26
27
29
31
33
38
45
50
56
59
72
77
79
81
84
85
87
88
95
98
1
2
3
1
1
1
1
2
2
2
2
1
2
1
2
1
1
1
2
2
1
2
2
2
1
1
1
2
2
2
1
2
2
13
16
0
2
1
2
1
1
3
2
1
1
2
2
2
1
1
1
2
2
1
2
2
2
2
2
1
1
2
2
1
2
2
12
16
1
3
2
2
1
1
2
1
1
1
2
2
2
1
1
1
2
2
1
2
2
2
2
2
1
1
1
2
1
1
2
14
15
0
4
2
2
1
1
2
2
1
2
1
3
2
1
1
1
2
2
3
1
2
2
2
3
1
1
1
2
1
2
1
13
13
3
5
1
2
1
2
3
2
1
1
2
2
2
1
1
1
2
2
1
2
2
2
1
3
1
1
3
2
1
2
3
12
13
4
6
1
2
1
1
3
2
1
1
2
3
1
1
1
1
2
2
1
3
2
2
2
3
1
1
1
2
1
1
3
15
9
5
7
2
1
1
2
2
1
2
1
2
2
2
1
1
1
2
2
2
2
2
2
1
2
1
1
3
2
1
2
2
11
17
1
8
1
1
1
1
2
2
2
2
2
2
2
1
2
2
2
2
1
2
2
2
2
2
1
2
2
2
1
1
1
10
19
0
9
2
2
1
2
3
1
1
1
1
2
2
1
3
1
2
2
1
2
2
2
2
1
2
1
3
2
1
2
3
11
14
4
10
1
1
1
2
3
2
1
2
2
3
2
1
1
1
2
2
1
3
2
2
2
2
1
1
1
2
1
1
1
14
12
3
Tabla 5.5: MultiLogit M ICEY Y Z
Id
3
6
7
13
18
22
23
24
25
26
27
29
31
33
38
45
50
56
59
72
77
79
81
84
85
87
88
95
98
1
2
3
1
3
2
3
3
1
3
3
2
3
3
3
3
2
3
2
1
1
1
2
3
1
2
3
2
1
1
3
3
2
7
8
14
2
3
3
3
2
2
3
3
3
1
3
3
2
2
3
2
3
1
1
3
2
2
2
1
3
2
2
3
3
3
4
10
15
3
3
1
3
3
3
3
2
3
1
3
2
1
1
3
1
3
3
1
3
2
3
1
3
3
3
2
3
1
3
8
4
17
4
1
2
3
2
1
2
3
3
3
3
2
1
2
3
2
3
3
1
3
1
2
3
1
1
1
2
3
3
3
8
8
13
5
3
2
3
2
3
3
3
1
3
2
3
3
1
3
1
3
3
2
1
1
3
3
3
3
1
3
3
3
3
6
4
19
6
3
3
3
3
1
2
3
1
3
1
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
2
3
3
3
3
3
2
24
7
3
3
3
3
3
2
1
3
3
3
3
3
3
1
3
3
3
3
3
2
1
1
3
3
2
3
3
3
1
5
3
21
8
2
2
3
2
3
3
1
1
3
3
3
1
1
3
3
2
3
3
1
1
3
1
3
2
3
1
2
3
3
8
6
15
9
3
3
3
3
3
2
1
1
2
3
3
3
3
3
3
3
3
2
1
3
3
3
3
3
3
2
1
3
3
4
4
21
Figura 5.18: Modelo M ICEY Y Z
10
2
2
3
1
3
1
1
1
3
3
3
3
3
3
2
3
3
1
1
1
3
1
3
1
1
3
3
3
3
10
3
16
Tabla 5.6: MultiLogit M ICEY Y
Figura 5.19: Modelo M ICEY Y
59
5.4. CREANDO LAS IMPUTACIONES BAJO MAR
Id
3
6
7
13
18
22
23
24
25
26
27
29
31
33
38
45
50
56
59
72
77
79
81
84
85
87
88
95
98
1
2
3
1
2
1
2
1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
2
2
3
3
25
1
2
2
1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
3
2
2
2
2
2
2
26
1
3
2
1
1
2
2
2
2
1
2
3
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
3
2
2
2
3
2
4
22
3
4
2
2
2
1
2
2
2
2
2
2
3
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
3
2
2
2
2
2
2
1
2
25
2
5
1
2
2
2
2
1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
3
2
2
2
2
2
2
3
2
25
2
6
2
1
1
2
3
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
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3
2
3
2
2
3
2
2
2
23
4
7
2
2
1
1
2
1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
3
26
0
8
2
1
2
2
2
2
2
1
1
2
2
2
2
2
2
1
2
2
2
2
1
3
1
2
2
2
2
2
3
6
21
2
9
3
2
2
2
3
2
2
2
2
2
2
2
2
1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
3
1
25
3
10
2
2
1
1
2
1
2
2
2
2
2
1
2
2
2
2
2
2
2
2
1
3
2
3
2
2
2
2
3
5
21
3
Tabla 5.7: MultiLogit M ICEY Z
Figura 5.20: Modelo M ICEY Z
Representando gráficamente las densidades tanto de los valores observados (curvas
azules) e imputados (curvas rojas) de todas las variables se puede ver si las imputaciones son razonables (Gráficos 5.18, 5.19, 5.20). Diferencia significativa en las densidades
entre los valores observados e imputados puede sugerir un problema que necesita ser
revisado.
Bajo MCAR, las distribuciones univariadas de los datos observados y los datos imputados se espera a que sean idénticos, sin embargo, bajo MAR ellos pueden ser diferentes,
tanto en localización como en dispersión, pero su distribución multivariada se supone
que es idéntica. Podemos observar en las tablas 5.5, 5.6 y 5.7 las últimas 3 filas de cada
una de ellas, que están en correspondencias con lo que se visualiza en los gráficos 5.18,
5.19 y 5.20, es decir, en los modelos donde se incluyeron las intensidades hubo más
tendencia a imputar heterocigotos (Modelos M ICEY Y Z y M ICEY Z ), sin embargo en
el modelo donde sólo se incluyen los SNPs observados pues las densidades siguen la
misma pauta de los datos observados (Modelo M ICEY Y ), es decir, imputó sobre las
tres categorı́as y siempre predominando el genotipo BB.
Respecto a los modelos M ICEY Y Z y M ICEY Z , podemos decir que el modelo
M ICEY Y Z , tuvo cierta inclinación a equilibrar aquellas categorı́as de menos valores
observados, llegando a igualar los genotipos AA y AB, todo lo contrario al modelo
M ICEY Z que sus mayor propensión fue imputar heterocigotos, este modelo refleja lo
comentado en la sección 5.3, donde veı́amos gráficamente el problema de la generación
de Missing en las fronteras entre los homocigotos y heterocigotos.
Todo lo descrito podemos observarlo en las tablas 5.8, 5.9 y 5.10.
60
CAPÍTULO 5. ANÁLISIS DE LOS RESULTADOS
Imp
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
AA
29
28
30
29
28
31
27
26
27
30
AB
28
28
27
25
25
21
29
31
26
24
BB
42
43
42
45
46
47
43
42
46
45
Tabla 5.8: M ICEY Y Z
5.4.4.
Imp
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
AA
23
20
24
24
22
19
21
24
20
26
AB
20
22
16
20
16
14
15
18
16
15
Tabla 5.9: M ICEY Y
BB
56
57
59
55
61
66
63
57
63
58
Imp
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
AA
19
18
20
18
18
18
19
22
17
21
BB
43
43
45
44
44
46
42
44
45
45
Tabla 5.10: M ICEY Z
Evidencia de sesgos en las imputaciones bajo MICE
(a) M ICEY Y Z
AB
37
38
34
37
37
35
38
33
37
33
(b) M ICEY Y
(c) M ICEY Z
Figura 5.21: Evidencia de sesgo en las imputaciones realizadas al SNP645
61
5.4. CREANDO LAS IMPUTACIONES BAJO MAR
Schafer (1999) [25], da respuesta algunas interrogantes que surgen sobre el procedimiento Imputación Múltiple, dentro de estas, se encuentra el hecho de eliminar aquellos
casos no observados. Nosotros hemos analizado los sesgos que se generan en el proceso
de inferencia cuando la falta de respuesta es importante y comparado con las imputaciones realizadas por los distintos modelos, como mismo se hizo en la sección 5.3 bajo el
método de Imputación Simple.
En los gráficos de la figura 5.21 podemos observar la evidencia de sesgo resultante
de las imputaciones realizadas por cada método respecto a descartar los missings. En
el modelo que menos sesgo se observa fue el M ICEY Y donde sus predictores fueron
aquellos SNPs observados completamente, dado en el gráfico 5.21b.
En términos del coeficiente de endogamia, podemos observar en cada gráfico el
pooling obtenido de la combinación de las 10 imputaciones realizadas. En los modelos M ICEY Y Z y M ICEY Z el coeficiente baja respecto al coeficiente de los casos
observados, que es lo mismo decir que se imputan relativamente más heterocigotos.
(a) M ICEY Y Z
(b) M ICEY Y
(c) M ICEY Z
Figura 5.22: Evidencia de sesgo en las imputaciones para diferentes SNPs
62
CAPÍTULO 5. ANÁLISIS DE LOS RESULTADOS
Si analizamos todos los SNPs en conjunto, podemos ver que el modelo M ICEY Z
(gráfico 5.22a) tuvo el mismo comportamiento para todos ellos. Todos se encuentran por
debajo de la recta y = x indicando la ausencia de heterocigotos. El modelo M ICEY Y Z
(gráfico 5.22c) tiene un comportamiento similar excepto por el SNP194 que presentó una
sobreimputación de heterocigotos y el modelo M ICEY Y (gráfico 5.22b) como ya habı́amos
comentado tuvo la tendencia de crear imputaciones muy similares a la de los datos completos, por esto vemos que casi todos SNPs coinciden sobre la recta.
En términos de sesgo podemos decir que, el modelo M ICEY Z fue el que más
mostró evidencia de sesgo resultante de las imputaciones realizadas respecto a descartar
los missings, indicando de manera general para todos los SNPs analizados que el hecho
de imputarlos pues influye en la inferencia estimada del coeficiente de endogamia.
5.4.5.
Creando las imputaciones con CAT
El paquete ’CAT’ [26], realiza análisis de variables categóricas con valores Missing,
sus métodos de imputación están basados en los descritos por Joseph L. Schafer [15].
Existen diversas metodologı́as para el trato de Datos Categóricos Multivariantes Incompletos. Aplicaremos 2 técnicas combinadas entre sı́, el Algoritmo EM y Algoritmo DA
explicados en la sección 4.4.3.
Los pasos a seguir son:
a. Crear por cada SNPs un patrón monótono, por ende, se implementó el proceso de
imputación SNPs por SNPs, convirtiéndose en un mecanismo univariado.
b. Se aplicó el algoritmo EM para encontrar los estimadores máximos verosı́miles de
las probabilidades bajo el modelo multinomial saturado.
c. Se implementó el algoritmo DA a partir de las probabilidades estimadas en (b).
d. Se desarrollan imputaciones aleatorias simples de los Missing Data usando los estimadores encontrados en (c).
e. Se repiten los pasos (c)-(d) hasta obtener m-imputaciones.
En nuestro caso, usaremos el método de DA monótono (MDA), es decir, como imputaremos SNP a SNP pues al convertirse en patrones monótonos el MDA tiende a converger más rápidamente que el método DA. Este procedimiento es lo que conocemos como
“Aplicar iterativamente métodos para patrones monótonos”, creado por Tanner y Wong
(1987) y Li (1985) cada uno con objetivos diferentes y que comentamos en la sección
4.4.3.
63
5.4. CREANDO LAS IMPUTACIONES BAJO MAR
5.4.6.
Chequeando el diagnóstico de los Missing
En términos de probabilidades podemos
plantear el modelo
Imp
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
AA
26
21
24
24
20
22
21
22
20
21
AB
18
17
17
15
19
13
15
15
17
15
BB
55
61
58
60
60
64
63
62
62
63
CATY Y = p(R|Yobs )
(5.2a)
La idea básica es, mediante el método
EM encontrar los estimadores máximos verosı́miles de los parámetros y con estos elaborar las imputaciones al azar en virtud de
su distribución predictiva dados los datos
observados y el valor actual de θ luego mediante el método de simulación de Monte
Tabla 5.11: CATY Y
Carlo vı́a Cadenas de Markov encontrar la
distribución posteriori de los parámetros y
ası́ hasta la cantidad de veces que se desea imputar.
En la tabla 5.11 observamos que la categorı́a que menos se imputó fue la de heterocigotos. Dentro de cada genotipo por cada imputación se observa similitud en cuanto al
número de imputación.
5.4.7.
Evidencia de sesgo en las imputaciones bajo CAT
(a) CATY Y para el SNP645
(b) Pooling CATY Y
Figura 5.23: Evidencia de sesgo en las imputaciones para diferentes SNPs
Observando el gráfico 5.23a notamos que los valores del coeficiente de endogamia
imputados son aproximadamente cercanos al valor del coeficiente obtenido descartando
los datos no observados. Dicha conclusión también se extrapola al pooling realizado a
todos los SNPs analizados que aparecen en el gráfico 5.23b.
64
5.4.8.
CAPÍTULO 5. ANÁLISIS DE LOS RESULTADOS
Creando las imputaciones con MIX
El paquete ’MIX’ [27], es un soft que realiza estimación e imputación múltiple de
datos mixtos con variables categóricas y continuas. Nosotros aplicaremos 2 combinaciones de técnicas como en la sección 5.4.5. Utilizaremos los métodos EM y DA para
modelos de localización general sin restricciones. Dichos métodos se basan en el marco
de Schafer [15] y Rubin [11].
Los pasos a seguir son parecidos a los mencionados en la sección 5.4.5, la diferencia
es que junto a la variable a imputar se incluyen todas aquellas variables continuas que
pueden inferir en la imputación:
a. Se aplicó el algoritmo EM para encontrar los estimadores máximos verosı́miles de
las variables a imputar.
b. Se implementó el algoritmo DA a partir de las probabilidades estimadas en (a).
c. Se desarrolla imputaciones aleatorias simples de los Missing Data usando los estimadores encontrados en (b).
d. Se repiten los pasos (b)-(c) hasta m-imputaciones.
La idea básica de este procedimiento consiste en aplicar el método de Monte Carlo
vı́a Cadena de Markov para generar los valores a posteriori de los parámetros del modelo
de localización general sin restricción. Inicialmente en cada paso, los Missing Data son
aleatoriamente imputados, primero encontrando los parámetros con el método EM y
unos nuevos valores de los parámetros son buscados mediante el método DA, es decir,
estos a través de la distribución a posteriori dado los valores completos.
5.4.9.
Chequeando el diagnóstico de los Missing
Imp
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
AA
16
16
16
17
16
16
16
16
16
16
AB
40
40
40
38
40
41
39
40
41
35
BB
43
43
43
44
43
42
44
43
42
48
Se nota que el sistema no imputó sobre las
categorı́a 1 y 3 en casi ninguna iteración.
Las imputaciones intra genotipos son muy
similares, también existe mucha similaridad entre los genotipos BB y AB. Véase tabla 5.12.
Tabla 5.12: M IXY Z
El modelo a plantear mediante este sistema de imputación lo llamaremos M IXY Z =
p(R|Z), donde ya habı́amos realizado una modelación similar pero basado en el soft
MICE. Comparémosla a ver la diferencia entre los sistemas de imputación.
65
5.4. CREANDO LAS IMPUTACIONES BAJO MAR
Imp
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
AA
16
16
16
17
16
16
16
16
16
16
AB
40
40
40
38
40
41
39
40
41
35
BB
43
43
43
44
43
42
44
43
42
48
Tabla 5.13: M IXY Z
Imp
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
AA
19
18
20
18
18
18
19
22
17
21
AB
37
38
34
37
37
35
38
33
37
33
BB
43
43
45
44
44
46
42
44
45
45
SNP 645
AA
AB
BB
NA
16
12
42
29
Tabla 5.15: Descriptiva
Tabla 5.14: M ICEY Z
Podemos observar que los 2 métodos imputan muy similarmente, uno a través de
Chained equation (MICE) y el otro a través de la combinación de los métodos EM y
AD (MIX). En uno se declara inicialmente los predictores y se imputa usando el modelo
multinomial saturado y el otro a través del modelo de localización general, respectivamente. También podemos comentar que ambas metodologı́as crean las imputaciones
corroborando lo que habı́amos comentado en la imputación simple, donde casi todos los
missing se imputaron en la categorı́a de los heterocigotos.
5.4.10.
Evidencia de sesgo en las imputaciones bajo MIX
(a) M IXY Y para el SNP645
(b) Pooling M IXY Y
Figura 5.24: Evidencia de sesgo en las imputaciones para diferentes SNPs
En la figura 5.24 podemos observar que la inclusión de las intensidades conduce
a estimaciones más bajas del coeficiente de endogamia. Esta conclusión la podemos
extender a todos los SNPs analizados, como se observa en el gráfico 5.24b. Este modelo
presentó el mismo comportamiento que el modelo M ICEY Z .
66
5.4.11.
CAPÍTULO 5. ANÁLISIS DE LOS RESULTADOS
Comparando las Imputaciones
Sigamos usando el mismo ejemplo basado en el SNP 645, hagamos una sencilla
comparación entre las imputaciones por los diversos modelos planteados.
Imp
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
AA
29
28
30
29
28
31
27
26
27
30
AB
28
28
27
25
25
21
29
31
26
24
BB
42
43
42
45
46
47
43
42
46
45
Imp
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Tabla 5.16: M ICEY Y Z
Imp
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Tabla 5.19: CATY Y
AA
23
20
24
24
22
19
21
24
20
26
AB
20
22
16
20
16
14
15
18
16
15
BB
56
57
59
55
61
66
63
57
63
58
Imp
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Tabla 5.17: M ICEY Y
AA
26
21
24
24
20
22
21
22
20
21
AB
18
17
17
15
19
13
15
15
17
15
BB
55
61
58
60
60
64
63
62
62
63
AA
19
18
20
18
18
18
19
22
17
21
AB
37
38
34
37
37
35
38
33
37
33
BB
43
43
45
44
44
46
42
44
45
45
Tabla 5.18: M ICEY Z
Imp
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
AA
16
16
16
17
16
16
16
16
16
16
AB
40
40
40
38
40
41
39
40
41
35
BB
43
43
43
44
43
42
44
43
42
48
Tabla 5.20: M IXY Z
Como habı́amos comentado las imputaciones realizadas por M ICEY Z y M IXY Z
están más en correspondecia con la tabla 5.15, ya que hubo pocas imputaciones sobre los
homocigotos indicando esto el problema al que hacı́amos referencia sobre la asignación
de genotipado en la frontera de los heterocigotos. Ambos modelos están condicionados por las intensidades de el mismo SNP, por lo que esto contrasta el hecho de que si
sólo utilizamos las intensidades, se imputan más heterocigotos a que si incluimos en los
modelos las intensidades y otros SNPs. También podemos cerciorarnos que M IXY Z
imputa más heterocigotos que M ICEY Z
El modelo CATY Y no hizo casi imputaciones sobre los heterocigotos, repartiendo
todos los Missing en las categorı́as de los homocigotos, todo lo contrario a lo comentado
en la sección 5.3. Por otro lado el modelo M ICEY Y , es un modelo multivariado que usa
como predictores para las imputaciones a otros SNPs observados completamente. Este
modelo aunque realizó más imputaciones sobre los heterocigotos tuvo la misma tendencia que el modelo CATY Y , aumentar el número de homocigotos. Esto pudiera ser un
indicador de que aquellos missing que se encuentran entre las fronteras de homocigotos
y heterocigotos pues tienen más posibilidades de ser homocigotos. Visto con otro enfo-
67
5.5. POOLING
que pudiéramos decir que las imputaciones basadas desde el punto de vista multivariado
como univariado tienden a ser las mismas, indicando que el hecho de incluir o no otros
SNPs al modelo tienen el mismo efecto.
Por lo contrario el modelo M ICEY Y Z imputó casi todos los Missing generalmente
en los genotipos AA y AB, cuyas imputaciones entre estos 2 genotipos son casi iguales
entre ellas, además fue muy conservativo en las imputaciones intra categorı́as. La tendencia de este modelo fue equilibrar las categorı́as de menos conteo. Habı́amos hecho
referencia en la sección III, al modelo que describe que el porcentaje de significativos
no tiene porque ser exactamente igual con la intensidad de A y con la intensidad de B y
justamente es lo que reflejan las imputaciones basadas en M ICEY Y Z , donde hubo más
tendencia a imputar aquellos Missing relacionados con la Intensidad A.
5.5.
Pooling
Nuestra variable de interés es el coeficiente de endogamia y a través de él realizaremos los test para el HWE.
fˆcc
fˆis
fˆ
std.err
df
p value
CI Inf
CI Sup
rM
γ
Inferencia Múltiple Imputación
SNP645 SNP294 SNP9 SNP194 SNP297
0.60
0.56 -0.018
0.49
0.026
0.11
0.032
-0.30
-0.1
-0.22
0.45
0.11
91.18
0.00
0.24
0.67
0.46
0.33
0.44
-0.02
0.12
0.11
135.45 278.20
0.00
0.87
0.19
-0.24
0.68
0.20
0.35
0.22
0.27
0.19
0.61
0.11
48.40
0.00
0.38
0.84
0.76
0.45
-0.02
0.11
329.48
0.86
-0.24
0.20
0.20
0.17
fˆcc
fˆis
fˆ
std.err
df
p value
CI Inf
CI Sup
rM
γ
Tabla 5.21: Modelo M ICEY Y Z
fˆcc
fˆis
fˆ
std.err
df
p value
CI Inf
CI Sup
rM
γ
0.28
-0.04
0.13
0.11
200.99 399.22
0.03
0.72
0.03
-0.25
0.53
0.17
0.27
0.18
0.22
0.15
0.45
0.16
23.83
0.01
0.12
0.77
1.59
0.64
Tabla 5.23: Modelo M ICEY Z
0.57
0.10
147.62
0.00
0.38
0.76
0.33
0.26
0.59
-0.05
0.24
0.10
3256.12 1913.06
0.01
0.63
0.12
-0.25
1.07
0.15
0.06
0.07
0.05
0.07
0.49
0.17
26.10
0.01
0.15
0.84
1.42
0.62
0.02
0.11
1325.67
0.87
-0.19
0.22
0.09
0.08
Tabla 5.22: Modelo M ICEY Y
Inferencia Múltiple Imputación
SNP645 SNP294 SNP9 SNP194 SNP297
0.60
0.56 -0.018
0.49
0.026
0.11
0.032
-0.30
-0.1
-0.22
0.25
0.10
617.03
0.02
0.05
0.46
0.14
0.12
Inferencia Múltiple Imputación
SNP645 SNP294
SNP9 SNP194 SNP297
0.60
0.56
-0.018
0.49
0.026
0.11
0.032
-0.30
-0.1
-0.22
-0.05
0.11
655.04
0.64
-0.26
0.16
0.13
0.12
fˆcc
fˆis
fˆ
std.err
df
p value
CI Inf
CI Sup
rM
γ
Inferencia Múltiple Imputación
SNP645 SNP294 SNP9 SNP194 SNP297
0.60
0.56 -0.018
0.49
0.026
0.11
0.032 -0.30
-0.1
-0.22
0.62
0.10
276.63
0.00
0.42
0.81
0.22
0.19
0.55
0.14
48.58
0.00
0.27
0.82
0.76
0.45
-0.01
0.13
65.11
0.96
-0.26
0.25
0.59
0.39
0.47
0.25
368.44
0.06
-0.03
0.97
0.19
0.16
Tabla 5.24: Modelo CATY Y
0.00
0.12
80.18
0.06
-0.24
0.25
0.50
0.35
68
CAPÍTULO 5. ANÁLISIS DE LOS RESULTADOS
fˆcc
fˆis
Inferencia Múltiple Imputación
SNP645 SNP294 SNP9 SNP194 SNP297
0.60
0.56 -0.018
0.49
0.026
0.11
0.032
-0.30
-0.1
-0.22
fˆ
0.13
std.err
0.10
df 18261.05
p value
0.22
CI Inf
-0.08
CI Sup
0.33
rM
0.02
γ
0.02
0.13
-0.12
0.11
0.10
1286.94 675.58
0.22
0.24
-0.08
-0.33
0.35
0.08
0.09
0.13
0.09
0.12
0.13
0.15
39.25
0.40
-0.18
0.44
0.92
0.50
-0.08
0.10
7011.61
0.40
-0.28
0.12
0.04
0.04
Tabla 5.25: Modelo M IXY Z
Figura 5.25: Posiciones relativas para los estimados de fˆ. cc: Casos Observados. is: Imputación Simple. m1:
M ICEY Y Z . m2: M ICEY Y . m3: M ICEY Z . m4: CATY Y . m5: M IXY Z
Las componentes que vemos en cada tabla, son las descritas en Rubin [10]:
- fˆcc es el estimador del coeficiente de endogamia de los casos observados por cada SNP.
- fˆis es el estimador del coeficiente de endogamia de la imputación simple.
- fˆ es el promedio del estimador del coeficiente de endogamia de las m-imputaciones.
- std.err es el error estándar incorporando ambas varianzas de fˆ, la varianza intra imputación y entre imputación. Que no es más que la raı́z cuadrada de la varianza total.
- df son los grados de libertad asociados con la distribución tStudent .
- pV alue de dos colas para H0 : f = 0
- CIInf y CISup son los intervalos de confianza de fˆ del (100 ∗ (1 − α)) %
- rM : es el incremento relativo en varianza debido a la no respuesta.
- γ: es la fracción estimada de la información Missing.
5.5. POOLING
69
La figura 5.25 muestra la posición relativa de los estimadores de fˆ para los distintos
modelos que se exponen. En ellos podemos ver las similitudes de los distintos modelos.
(1) Los estimadores de los casos observados (cc), los modelos m2 y m4 coinciden en
todos los SNPs analizados en cuanto a sus cercanı́as, (2) los modelos ImpSim (is, caso
más extremista) y m5 en todos los SNPs tuvieron el comportamiento más cercano a 0
y siempre en el extremo izquierdo. (3) Los modelos m1 y m3 no tienen ningún patrón
definido, aunque m3 suele estar por debajo de m1. Esto resume lo visto en las imputaciones que se comentaron en la sección 5.4.11.
El modelo m5 representarı́a el caso que lleva las estimaciones más cercanas al HWE.
Según los valores de fˆ y los pV alues asociados podemos decir que aceptamos que estos
SNPs están bajo HWE.
Si analizamos en conjunto los estimadores de los SNPs podemos observar que se
formaron 2 grupos en cuanto al valor estimado del coeficiente de endogamia, un grupo
compuesto por los SNPs: SNP645, SNP294 y SNP194, y el otro por el resto. Esto puede
deberse a lo comentado en la sección 5.3, constatando que la eficacia de los procedimiento depende de la variable de análisis, de la tasa de no respuesta y de su distribución
en la muestra y permite afirmar que si una técnica de imputación resultó adecuada para
una variable, no significa que su uso se debe generalizar sin analizar las condiciones en
que se generó la falta de respuesta en otras variables de interés [14].
Concretando lo que queremos decir, podemos ver que en todos los métodos que
aplicamos, los SNPs 9 y 297 tuvieron un comportamiento muy similar, donde los coeficientes de endogamia estimados están muy alrededor del valor cero. El mismo comportamiento en cuanto a cercanı́as de los modelos y las posiciones de sus valores estimados
del coeficiente de endogamia, la tuvieron los SNPs 645 y 294. El SNP194 tuvo un patrón
de posición más similar a estos últimos pero con ciertas diferencias a los valores tomados por el parámetro de interés, cuya peculiaridad es que según el gráficos 5.13, las
categorı́as de homocigotos están muy desequilibradas ya que en el genotipo AA sólo
existe un valor clasificado.
En términos de los valores obtenidos en las tablas 5.21 -5.25 iniciaremos explicando
que tomamos M = 10, cuya justificación comentamos en la sección 4.4.1 de que el
hecho de usar tantas iteraciones, es debido a que nuestras variables, algunas tienen un
alto porcentaje de Missing.
Schafer [15] declara que en aplicaciones, los cálculos de rM y γ son altamente recomendados ya que son muy interesantes y útiles en el diagnóstico para la evaluación de
70
CAPÍTULO 5. ANÁLISIS DE LOS RESULTADOS
cómo los datos faltantes contribuyen a la incertidumbre inferencial sobre f .
Referente a rM que como habı́amos escrito anteriormente, es el incremento relativo
en varianza debido a la no respuesta, llamada ası́ porque W̄ (ecuación 4.2) representa
la varianza total estimada cuando no hay información missing sobre f , es decir, cuando
B = 0 (ecuación 4.3), para M grande y/o rM pequeño, los grados de libertad serán
grandes y la ecuación 4.4.1 será aproximadamente normal. Este elemento es de mucha
utilidad ya que nos indicarı́a que las diferentes categorı́as en cada SNP están idénticamente distribuidas y son estadı́sticamente independientes [15]. Podemos observar que
excepto en el SNP194; los demás SNPs, para los modelos M IXY Z y M ICEY Z en este
orden, presentan grados de libertad altamente grandes y rM relativamente pequeños.
En términos de eficiencia, en Rubin [10, p.114] se muestra que la eficiencia de un
γ −1
estimador en m-imputaciones es aproximadamente (1 + M
) , donde γ es la fracción
estimada de la información Missing, dicha fracción cuantifica cuánto más precisa es la
estimación que podrı́a haber sido si los datos no hubieran sido Missing. Si nos remitimos
a las tablas 5.21 -5.25 planteadas, podemos observar que aquellos modelos cuyos estimadores que más eficiencia alcanzaron fueron, en primer lugar, M IXY Z y en segundo
M ICEY Z excepto por el SNP194, con una eficiencia relativa entre un 98-99 % para 10
imputaciones, véase tabla 4.1.
5.6.
Creando las imputaciones bajo MNAR. Análisis de
sensibilidad
En la sección 4.3.1 hicimos referencias a una series de modelos que podı́amos plantear para marcadores genéticos. En esta sección analizaremos el descrito en el punto IV
de la sección 4.3.1. De este modelo podemos derivar 2 modelos más, uno al cual lo notaremos como M N AR1 , como contraparte del modelo M ICEY Y Z (ecuación 5.1a) y
el otro, M AN R2 , como contraparte del modelo M ICEY Y (ecuación 5.1c).
Los modelos a los que hacemos referencia lo implementaremos a través del soft
MICE. Ya habı́amos explicado que el Soft MICE trabaja con el sistema de Chained
Equations, cuya primera definición es la matriz predictora e hicimos referencia que esta
trabaja con 2 matrices de correlaciones.
En general el procedimiento calcula por cada par de variables, 2 tipos de correlaciones, usando todos los casos válidos por pares. La primera correlación usa los valores
de la variable respuesta y los predictores. La segunda correlación usa el indicador de
respuesta (R) de la variable respuesta y los valores predictores. Si el valor de estas correlaciones (en valor absoluto) superan el punto umbral declarado por el investigador,
5.6. CREANDO LAS IMPUTACIONES BAJO MNAR. ANÁLISIS DE SENSIBILIDAD
71
entonces los predictores serán incluidos para el proceso de imputación.
En adición el procedimiento elimina los predictores el cual la proporción de casos
usables no cumple con el mı́mimo especificado que por lo general es el 50 %.
Variables
r(SNP645) r(SNP294) r(SNP9) r(SNP194) r(SNP297) r(R645 )
SNPs: SNPs Incompletos
SNP645
1.00
0.05
-0.03
-0.07
-0.14
SNP294
0.05
1.00
-0.13
-0.11
0.08 -0.144
SNP9
-0.03
-0.13
1.00
0.19
0.06 -0.007
SNP194
-0.07
-0.11
0.19
1.00
-0.04 -0.091
SNP297
-0.14
0.08
0.06
-0.04
1.00 -0.153
SNPs: SNPs Completos
SNP8
0.12
-0.10
-0.10
-0.06
0.01
SNP192
0.16
0.00
-0.06
0.06
-0.00
SNP292
-0.20
-0.06
-0.02
0.02
SNP298
-0.04
-0.10
0.04
0.05
0.03
SNP647
-0.03
-0.23
0.04
-0.11
0.05
Covariables
IA645
0.89
0.11
-0.01
-0.08
-0.06
IB645
-0.82
0.02
-0.00
-0.01
0.18
IA294
0.05
0.92
-0.30
-0.08
0.05
IB294
0.11
-0.72
0.08
0.07
-0.01
IA9
0.16
-0.00
0.52
0.05
-0.09
IB9
0.16
0.11
-0.78
-0.08
-0.02
IA194
0.05
-0.06
0.08
0.96
0.04
IB194
0.20
0.06
0.06
-0.23
-0.02
IA297
0.23
0.18
-0.05
0.03
0.57
IB297
0.30
0.01
-0.05
0.04
-0.85
Tabla 5.26: Resumen de las variables que son usadas para la imputación. Las columnas de la 2-6 contiene las
correlaciones de las variables filas respecto a los SNPs Missing. Columna 7 es un ejemplo de la correlación
entre el indicador de respuesta y los datos del SNP 645. Columna 8 es el porcentaje de casos usables que es
igual al porcentaje de los datos observados de las variables filas entre el subgrupo de casos que tienen
Missing para el SNP 645
En la tabla 5.26 reflejamos lo descrito anteriormente. Las 2 últimas columnas son
referidas al ejemplo con el SNP 645 que es el que ilustraremos, pero para cada SNP con
%
58.6
65.5
72.4
79.3
72
CAPÍTULO 5. ANÁLISIS DE LOS RESULTADOS
Missing se debe realizar el mismo proceso. Los SNPs con Missing serán predictores si
cumplen simultáneamente tener en valor absoluto un r(RSN P ) > 0,1 y más del 50 % de
casos utilizables y para las intensidades pues serán predictores para sus correspondientes
SNPs. Seguidamente expondremos cómo quedarı́a la matriz predictora para el caso de
los 5 SNPs.
SNP645
SNP294
SNP9
SNP194
SNP297
SNP645
SNP294
SNP9
SNP194
SNP297
SNP645
0
0
1
1
1
A645
1
0
0
0
0
SNP294
1
0
1
1
0
A294
0
1
0
0
0
SNP9
0
1
0
1
1
A9
0
0
1
0
0
SNP194
0
1
1
0
1
A194
0
0
0
1
0
SNP297
1
0
1
0
0
A297
0
0
0
0
1
SNP8
1
1
1
1
1
B645
1
0
0
0
0
SNP192
1
1
1
1
1
B294
0
1
0
0
0
SNP292
1
1
1
1
1
B9
0
0
1
0
0
SNP298
1
1
1
1
1
B194
0
0
0
1
0
SNP647
1
1
1
1
1
B297
0
0
0
0
1
Tabla 5.27: Matriz Predictora: MNAR
5.6.1.
Chequeando el diagnóstico de los Missing
Imp
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
AA
35
31
36
30
32
36
34
35
29
34
AB
21
25
20
26
22
21
21
19
27
21
BB
43
43
43
43
45
42
44
45
43
44
fˆ
std.err
df
p value
CI Inf
CI Sup
rM
γ
Tabla 5.29: M N AR1
Tabla 5.28: M N AR1
Imp
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
AA
28
24
26
26
21
27
26
21
27
25
AB
16
19
13
19
16
16
13
19
16
16
BB
55
56
60
54
62
56
60
59
56
58
Tabla 5.30: M N AR2
SNP645 SNP294 SNP9 SNP194 SNP297
0.54
0.43
0.01
0.59
0.05
0.10
0.11
0.11
0.11
0.11
80.03 1408.79 1275.06 69.94 705.35
0.00
0.00
0.94
0.00
0.67
0.34
0.21
-0.20
0.37
-0.16
0.75
0.66
0.21
0.81
0.26
0.50
0.09
0.09
0.56
0.13
0.35
0.08
0.09
0.38
0.12
fˆ
std.err
df
p value
CI Inf
CI Sup
rM
γ
SNP645 SNP294 SNP9 SNP194 SNP297
0.63
0.49 -0.05
0.60
0.03
0.10
0.21 0.11
0.19
0.11
87.22 717.03 230.16 16.19 368.69
0.00
0.02 0.66
0.01
0.82
0.44
0.09 -0.27
0.19
-0.19
0.82
0.90 0.17
1.02
0.24
0.47
0.13 0.25
2.93
0.19
0.34
0.11 0.20
0.77
0.16
Tabla 5.31: M N AR2
5.6. CREANDO LAS IMPUTACIONES BAJO MNAR. ANÁLISIS DE SENSIBILIDAD
73
Si proyectamos los valores de estos nuevos modelos en el gráfico 5.25 observaremos
el comportamiento de estos respecto a los demás planteados bajo el mecanismo MAR.
Figura 5.26: Posiciones relativas para los estimados de fˆ. cc: Casos Observados. is: Imputación Simple. m1:
M ICEY Y Z . m2: M ICEY Y . m3: M ICEY Z . m4: CATY Y . m5: M IXY Z . m6: M N AR1 . m7:
M N AR2
La figura 5.26 muestra la posición relativa de los estimadores de fˆ para los distintos
modelos que se exponen como mismo vimos en la figura 5.25. En ellos podemos ver
las similitudes de los nuevos modelos M N AR0 s. Excepto en el SNP645, en el resto
podemos observar la asociación que tienen con el modelo M ICEY Y Z , cosa que parece
contradictoria pues el modelo M N AR2 es la contraparte del modelo M ICEY Y y se
esperaba que el estimador estuviera más cercano a este, sin embargo no resultó ası́ en
todos los SNPs. Esto nos indica que el hecho de incluir los SNPs con Missings pues
tiene el mismo efecto que si analizamos el modelo sin incluirlos, es decir, el parámetro
estimado bajo MNAR como MAR son muy aproximados.
En términos de los errores estándares, al
SNP645 SNP294 SNP9 SNP194 SNP297
secc
0.10
0.13 0.12
0.32
0.16
comparar los valores de estos, generados
seis
0.10
0.10 0.09
0.07
0.10
por los diversos métodos de imputación a
seMICEY Y Z
0.11
0.12 0.11
0.11
0.11
cada SNPs, se podrı́a argumentar que toseMICEY Y
0.10
0.24 0.10
0.17
0.11
dos los métodos generan un error estándar
seMICEY Z
0.10
0.13 0.11
0.16
0.11
seCATY Y
0.10
0.14 0.13
0.25
0.12
similar por cada SNPs y si nos dejáramos
seMIXY Z
0.10
0.11 0.10
0.15
0.10
llevar por esta simple conclusión pudiéraseMNAR1
0.10
0.11 0.11
0.11
0.11
mos decir que cualquiera de estos métodos
seMNAR2
0.10
0.21 0.11
0.19
0.11
se pudiera utilizar para imputar, sim embarTabla 5.32: Errores Estándares
go se debe analizar más a fondo con respecto a la forma de imputar cada uno de ellos.
74
5.7.
CAPÍTULO 5. ANÁLISIS DE LOS RESULTADOS
Comparación de modelos de imputación respecto
a HWE
Por cada SNPs se especificaron un conjunto de métodos de imputación y se realizaron los pooling por cada uno de estos usando el parámetro del coeficiente de endogamia
y a través de la metodologı́a aplicada por Rubin [10], además se llegó a que el mejor
modelo y más eficiente fue el M IXY Z (sección 5.5). Existen diversas técnicas para la
realización del pooling, muy similar a la explicada por Rubin, estas constan a través de
la combinación de estadı́sticos la cual explicaremos seguidamente y tomamos como referencia [28, p.26], [15, p.115]. Conocemos que el coeficiente f se puede expresar por
la ecuación 2.20, que es equivalente si planteamos la expresión:
Z = sign(fˆ) ·
p
χ2
(5.3)
Es decir, supongamos que tenemos k-estadı́sticos X 2 , uno por cada conjunto de datos con k-ésima imputaciones múltiples; podemos calcular k-estadı́sticos Z como en la
ecuación 5.3 que bajo la hipótesis nula cada Zi :N (0, 1). Si tomamos Z̄ 2 y B (ecuación
Z̄ 2
4.3) como la varianza entre las Z 0 s entonces bajo la hipótesis nula el estadı́stico 1+B
Z
tiene aproximadamente una χ21 con lo que podemos calcular el pvalue y comprobar si se
cumple la hipótesis de que nuestro parámetro f = 0.
fˆ
fˆM ICEY Y Z
Parámetros
Z
se
X2
p(χ21 ≤ X 2 )
SNP645
4.51
1.17
14.86
0.00
SNP294
4.37
1.18
13.72
0.00
SNP9
-0.18
1.10
0.027
0.87
SNP194
6.07
1.24
23.96
0.00
SNP297
-0.20
1.09
0.034
0.86
fˆM ICEY Y
Z
se
X2
p(χ21 ≤ X 2 )
5.70
1.11
26.37
0.00
5.88
1.14
26.60
0.00
-0.49
1.04
0.22
0.63
4.92
1.63
9.11
0.00
0.17
1.04
0.027
0.87
fˆM ICEY Z
Z
se
X2
p(χ21 ≤ X 2 )
2.50
1.06
5.56
0.02
2.78
1.16
5.74
0.02
-0.38
1.08
0.12
0.72
4.44
1.57
7.99
0.00
-0.49
1.06
0.21
0.64
fˆCATY Y
Z
se
X2
p(χ21 ≤ X 2 )
5.96
1.07
31.03
0.00
5.91
1.27
21.66
0.00
0.51
1.13
0.20
0.65
4.45
1.15
14.97
0.00
-0.07
1.30
0.002
0.96
fˆM IXY Z
Z
se
X2
p(χ21 ≤ X 2 )
1.26
1.01
1.56
0.21
1.43
1.01
2.01
0.16
-1.11
1.06
1.09
0.29
1.20
1.49
0.65
0.42
-0.66
1.01
0.43
0.51
fˆM N AR1
Z
se
X2
p(χ21 ≤ X 2 )
5.41
1.17
30.25
0.00
4.32
1.05
16.47
0.00
0.08
1.04
0.19
0.94
5.86
1.19
9.49
0.00
0.46
1.06
0.053
0.67
fˆM N AR2
Z
se
X2
p(χ21 ≤ X 2 )
6.27
1.14
21.38
0.00
4.91
1.21
16.93
0.00
-0.49
1.11
0.006
0.66
6.01
1.95
24.25
0.00
0.25
1.09
0.19
0.81
Tabla 5.33: Combinación de estadı́sticos
5.8. NÚMERO DE MARCADORES SIGNIFICATIVOS BAJO IMPUTACIÓN
75
Podemos observar en la tabla 5.33 que el único modelo que no es significativo es el
M IXY Z , es decir, aceptamos la hipótesis de que para estos SNPs analizados, ellos se
encuentran bajo equilibrio.
Todos los demás modelos rechazan equilibrio para los SNPs 645, 294 y 194 y aceptan equilibrio para 9 y 297. Esto evidencia que el hecho de aplicar un modelo determinado a un SNP este mismo no sea satisfactorio a el resto de los SNPs en cuestión de
alcanzar HWE.
Si nos remitimos a las figuras 5.10-5.14 ya habı́amos comentado que estos SNPs
tiene sus categorı́as definidas de diferentes formas, esto puede indicarnos que quizás debemos ser más cuidadosos a la hora de escoger el método de imputación en dependencia
de cómo están distribuidas las categorı́as en el “CallPlot” y tener en cuenta las medidas
de las intensidades si queremos llegar a tener conteos bajo equilibrio.
5.8.
Número de Marcadores significativos bajo imputación
En la sección 5.1 expusimos el diagrama ternario de las composiciones genotı́picas
de los SNPs observados completamente sobre la región de aceptación, donde hicimos
referencia que de 376 SNPs se encontraron 23 de ellos que no cumplı́an con la condición
de equilibrio de Hardy-Weinberg. Ahora realizaremos el plot ternario para todos los
SNPs descartando los Missing.
Figura 5.27: Diagrama ternario de las frecuencias genotı́picas para los SNPs descartando Missing.
También habı́amos comentado que eliminamos 5 SNPs de los 1000 que estamos analizando por presentar más de un 50 % de casos no observados. Por lo tanto, la figura 5.27
76
CAPÍTULO 5. ANÁLISIS DE LOS RESULTADOS
representa el diagrama ternario de 995 SNPs donde 103 de ellos resultaron significativos,
aproximadamente representa un 11 %. Si analizamos al nivel del 5 %, deberı́amos haber
obtenido 50 SNPs significativos como máximo para poder decir que nuestra base de datos, descartando los missing por cada SNP, presentarı́a equilibrio de Hardy-Weinberg,
donde la cifra obtenida es el doble de esta, lo cual indica que de manera global nuestros
datos no están en equilibrio para este caso. También observamos que de nuevo se repite
el patrón de déficit de heterocigotos.
Para la imputación multivariada usamos el modelo M ICEY Z debido a que en el
modelo M IXY Z hemos presentado problemas con el software y se está trabajando en
base a ello.
SNPs
# de SNPs
Sin Missing
376
# de Significativos
Omitiendo Missing
23
% respecto al # de
SNPs
6.11 %
% de Significativos
respecto al total
2.31 %
Con Missing
619
80
12.92 %
8.04 %
<10 %
>10 %
522
97
51
29
9.77 %
29.9 %
5.12 %
2.92 %
Total
995
103
58.70 %
10.35 %
SNPs
# de SNPs
% respecto al # de
SNPs
6.11 %
% de Significativos
respecto al total
2.31 %
Sin Missing
376
# de Significativos
Imputados
23
Con Missing
619
74
11.95 %
7.43 %
<10 %
>10 %
522
97
51
23
9.77 %
23.71 %
5.12 %
2.31 %
Total
995
97
51.54 %
9.74 %
Tabla 5.34: Comparativa de porcentajes respecto a omitir e imputar missing
En la tabla 5.34 podemos observar que existe casi el doble de SNPs con Missing
respecto a los SNPs observados completamente, dentro de aquellos no observados hemos estratificado 2 categorı́as, los SNPs con menos de un 10 % de Missing y aquellos
SNPs con más de este mismo umbral. En la columna 4 observamos que el hecho de
incrementar el # de missing aumenta el porcentaje de significativos respecto al número de SNPs, por lo tanto esto puede ser un indicador de evidencia de error en genotipado.
Aunque esperábamos menos SNPs significativos, sin embargo, sabemos que imputando fˆ suele bajar, pero no siempre acaba de traspasar el umbral entre significativo y
no-significativo en todos los SNPs, como bien veı́amos en la tabla 5.23 referente al método M ICEY Z . Según los resultados, probablemente con el modelo M IXY Z hubiéramos
5.8. NÚMERO DE MARCADORES SIGNIFICATIVOS BAJO IMPUTACIÓN
77
encontrado menos significativos.
(a) 995 SNPs
(b) < 10 Missing
(c) > 10 Missing
Figura 5.28: fcc vs fimp
La figura 5.28 muestra lo descrito en la tabla 5.34. En el gráfico 5.28a tenemos la representación general de todos aquellos SNPs con Missing, en el gráfico 5.28b los SNPs
con menos de 10 % de Missing y en el gráfico 5.28c aquellos con 10 % y más de Missing.
Podemos observar que los marcadores con más 10 % Missing se encuentran en general por debajo de la recta y = x esto indica que la estimación del coeficiente de
endogamia baja cuando se imputa. De manera general, es un indicador de que cuando se
descartan los Missing las estimación de éste coeficiente está sesgado, es decir, se rechaza
el equilibrio más a menudo de lo que se deberı́a.
En los 3 gráficos, observamos los puntos de color verde y rojos; los verdes son
aquellos para los cuales tanto el coeficiente de endogamia de los SNPs, eliminando los
78
CAPÍTULO 5. ANÁLISIS DE LOS RESULTADOS
casos no observados como imputados, pues no resultaron significativos y para los puntos
rojos lo contrario.
TopTen de los más significativos
SNP110
SNP179
SNP197
SNP229
SNP240
SNP274
SNP280
SNP365
SNP370
SNP542
AA
AB
BB
NA
fcc
fimp
5
1
75
5
41
78
52
80
0
1
36
10
3
28
34
14
41
13
15
31
56
79
0
66
13
3
6
1
84
67
2
9
21
0
11
4
0
5
0
0
0.80
1
0.82
1
1
0.93
0.81
0.79
1
1
0.80
1
0.82
1
1
0.88
0.81
0.79
1
1
En la tabla 5.35 consideramos los 10 SNPs
más significativos con sus respectivas estimaciones del coeficiente de endogamia tanto descartando missing como imputándolos. Pudiéramos considerar que estos marcadores sean los candidatos más probables
para declarar error de genotipado o bien
que están más asociados a la enfermedad.
Cabe indicar que estos SNPs más significativos no fueron los que más missing tenı́an.
Tabla 5.35: Marcadores más significativos
5.9.
Cálculo de la potencia y tamaño muestral
A la luz de la base de datos estudiada en este capı́tulo, presentamos algunos cálculos respecto a la potencia de los tests. Hacemos la misma distinción entre las pruebas
clásicas para HWE y pruebas para HWE en relación con una enfermedad genéticamente
determinada como ya se ha presentado en la Sección 2.7.
5.9.1.
Potencia de las pruebas clásicas de HWE
Como mencionamos en la sección 2.7 podemos calcular la potencia del test χ2 dado
un tamaño muestral, un nivel de significación y un grado de desequilibrio D, pero también a la inversa, es decir, el tamaño de la muestra necesaria para obtener una potencia
dada. También podemos realizar el cálculo de la potencia para la prueba exacta dado el
mı́nimo conteo alélico.
En nuestra base de datos tenemos 99 individuos que bajo diferentes escenarios del
grado de desequilibrio y conteos alélicos, podemos observar la potencia que adquieren el
test Exacto y la prueba χ2 , a través de la figura 5.29. Estos cálculos revelan lo siguiente:
1. Bajo HWE, tenemos θ = 4. En esta situación, la potencia alcanza exactamente el
error de tipo I. El gráfico 5.29c muestra que la clásica prueba de Chi-cuadrado puede
exceder la tasa de rechazo nominal, en particular para las frecuencias de los alelos
más bajas.
79
0.6
0.3
Power
0.0
0.0
0.1
0.2
0.2
0.4
Power
0.6
0.4
0.8
0.5
1.0
5.9. CÁLCULO DE LA POTENCIA Y TAMAÑO MUESTRAL
0
20
40
60
80
100
0
20
40
Minor allele count
60
80
100
80
100
Minor allele count
(b)
0.00
0.02
0.04
Power
0.06
0.08
0.10
(a)
0
20
40
60
80
100
Minor allele count
1.0
0.8
0.6
Power
0.4
0.2
0.0
0.0
0.1
0.2
Power
0.3
0.4
0.5
(c)
0
20
40
60
80
100
0
20
Minor allele count
40
60
Minor allele count
(d)
(e)
Figura 5.29: Test Exacto (rojo) y Test
χ2
(verde)
80
CAPÍTULO 5. ANÁLISIS DE LOS RESULTADOS
2. La prueba exacta tiene una tasa de rechazo que siempre es inferior a la tasa nominal,
y es a veces muy por debajo de la tasa nominal. Por lo tanto, la prueba exacta es una
prueba conservadora de HWE.
3. La potencia suele ser mejor para una frecuencia alélica menor de 0.5, pero obtiene
peores potencias para muy bajas frecuencias alélicas.
4. La prueba de chi-cuadrado tiene una potencia ligeramente mejor que la prueba exacta,
pero la desventaja de esto es, como se ha mencionado antes, que incrementa la tasa
de error de tipo I.
5. Para el tamaño de la muestra dada de n = 99, la potencia de detectar “moderadas ”
desviaciones de HWE (θ = 2 o θ = 8) es baja, y en general no excederá el 0.4.
6. Para desviaciones extremas de HWE (θ = 1 o θ = 16), una potencia razonable de
0.8 se puede conseguir si la frecuencia del alelo es por encima de 0.25.
5.9.2.
Potencia de la prueba de HWE para la asociación marcadoresenfermedad
Figura 5.30: Potencia en función de la frecuencia alélica q
5.9. CÁLCULO DE LA POTENCIA Y TAMAÑO MUESTRAL
81
Cálculos para el tamaño de la muestra y una fórmula del cálculo de potencia para
el test de HWE para asocación marcadores-enfermedad se han descrito por Lee [7] y se
resumieron en la Sección 2.7.
La figura 5.30 presenta las funciones de la potencia para el tamaño de la muestra de
la base de datos estudiada en este capı́tulo, n = 99. Dos niveles de significación fueron
utilizados, α = 0,05 (fila de paneles superiores) y α = 0,0001 (fila de paneles inferiores).
Tomar α = 0,05 corresponde a un nivel de significancia estándar para probar un
sólo marcador, mientras que 0.0001 es un nivel más estricto que se utiliza cuando muchos marcadores se ponen a prueba. El riesgo relativo dado en Lee [7] γ se fijó en 4,
2 y 1.5. La potencia fue calculada para los modos de herencia aditivo (azul), recesivo
(verde) y dominante (rojo).
La figura muestra que con alfa = 0.0001, la potencia de la prueba es muy baja, y
no excede de 0.3, incluso con un fuerte efecto de enfermedad (γ = 4). La potencia es
razonable (≥ 0,80), cuando α = 0,05 y un efecto de la enfermedad fuerte y frecuencias
alélicas intermedias. Los modelos dominante y recesivo se consideran que tienen más
potencia que el modelo aditivo.
En el contexto del análisis de nuestra base de datos sobre el cáncer de colon, 1000
marcadores fueron probados, y una corrección para múltiples pruebas se indicó, a un
nivel de significación de 0.0001 o incluso menor pudiera realizarse. Esto implica que,
con los datos que tenemos, la potencia para detectar asociación marcadores-enfermedad
por medio de una prueba de HWE es muy baja.
Capı́tulo 6
Discusión y conclusión
El objetivo de este trabajo ha sido realizar inferencia estadı́stica sobre el equilibrio de
Hardy-Weinberg en presencia de datos genotı́picos faltantes. Para alcanzar este objetivo,
la prueba clásica de chi-cuadrado para equilibrio se ha reformulado como un problema
de estimación de parámetros, en este caso la estimación del coeficiente de endogamia.
Nos planteamos evaluar la sensibilidad de este coeficiente a través de distintos procedimientos de sustitución de datos omitidos, es decir, inferencia sobre f para HWE
teniendo en cuenta los datos faltantes.
Indagamos sobre el tipo de patrón de los Missing Data, donde mostramos que estábamos en presencia de un patrón no-monótono, por lo que todos los procedimientos para
la imputación de los datos faltantes se basaron en algoritmos de imputación múltiple.
Debido a que este coeficiente es obtenido mediante el cálculo de las frecuencias alélicas y éstas por los conteos genotı́picos y que además tienen una relación estrecha con las
medidas de las intensidades alélicas; nos postulamos varios modelos a imputar. En cada
uno de ellos estudiamos el respectivo sesgo que producen las imputaciones respecto al
análisis de los datos descartando los missings; el comportamiento de los métodos analizados respecto a los valores que tomaron y su tendencia a incrementar o decrementar
nuestro parámetro de interés.
No hay peor modelación que la que no se hace, por esto en nuestro estudio nos
planteamos diferentes modelos bajo 2 categorı́as: Modelación Conjunta e Imputación
Múltiple de Regresión Secuencial.
La eficacia de los modelos utilizados en la imputación depende de las covariables incluidas. Se han incorporado las intensidades del marcador a imputar y otros marcadores
83
84
CAPÍTULO 6. DISCUSIÓN Y CONCLUSIÓN
genéticos. Las intensidades resultaron ser predictoras fuertes de los marcadores a imputar. La inclusión de otros marcadores con datos completos como covariables cambiaba
la estimaciones del coeficiente de endogamia. Los 5 marcadores escogidos no han sido
los más adecuados para la imputación, por falta de conocimiento de su ubicación fı́sica.
En trabajo futúro se considera utilizar solo marcadores fı́sicamente cercanos y correlacionados con el SNP a imputar ası́ como adicionar otras covariables de interés para la
enfermedad del cáncer de colon, como la edad del paciente, antecedentes cancerı́genos
entre otros.
Para el estudio usamos diferentes paquetes implementados en el software R. Estos
son MICE, CAT y MIX. A través del curso del estudio, hicimos comparaciones de las
diferentes metodologı́as que usan cada paquete de estos. Llegamos a que la modelación usando MICE (imputación multivariada) y CAT (imputación univariada) incluyendo sólo SNPs tuvieron la misma tendencia, imputar sobre aquella categorı́a de mayor
conteo. Los modelos implementados incluyendo las intensidades solamente a través de
MICE y MIX, siguieron el mismo patrón de imputación, aumentar la categorı́a de los
heterocigotos y los modelos donde incluimos tanto las intensidades como los SNPs observados y no observados, sus categorı́as se equilibraban.
Como habı́amos comentado el principal objetivo de la imputación fue generar estimaciones del coeficiente de endogamia haciendo uso de criterios estadı́sticos, donde la
elección del método debiera sustentarse en la sensibilidad de los estimadores. La teorı́a
avala que los estimadores generados por los métodos de imputación múltiple son robustos y la sustitución de valores omitidos se realiza en forma estocástica, lo que garantiza
que no se introducen sesgos de asignación. Las propiedades estadı́sticas de los estimadores se sustentan en técnicas bayesianas de probada utilidad, ası́ como en procedimientos
estocásticos de cadenas de Markov.
De las varias alternativas, vimos cuál de éstas completaba los datos faltantes y justificara mejor los fundamentos teóricos de los procedimientos aplicados, llegamos a que
el Modelo de Localización General era la metodologı́a más eficiente implementado en el
programa MIX. Sin embargo, la gran parte de las imputaciones se ha realizado utilizando el modelo multinomial logit implementado en el software MICE y queda pendiente
resolver algunos problemas computacionales con el programa MIX.
Vimos también que si la selección del método de imputación se sustenta únicamente
en criterios estadı́sticos, como el análisis del error estándar, es posible concluir que cualquiera de las metodologı́as analizadas generan distribuciones equivalentes y que cualquiera podı́amos aplicar para la imputación general, pero a pesar de estas similitudes
observamos que en dependencia del SNPs pues se debı́a aplicar una alternativa u otra.
El análisis de sensibilidad realizado entre las diferentes metodologı́as de imputación
85
sobre MAR, obtuvimos que los resultados a través de Imputación Múltiple de Regresión
Secuencial como con la Modelación Conjunta son muy similares. Ası́ como el análisis
de sensibilidad entre mecanismos de respuestas MAR y MNAR, tuvieron estimadores
muy cercanos.
Coincidimos que tanto por la regla de Rubin para el pooling del estimador como a
través del pooling de estadı́sticos se llega al mismo resultados, donde el modelo más
eficiente es el aplicado a través del Modelo de Localización General.
Se observo que, para SNPs con un porcentaje substancial de missings, el coeficiente
de endogamia estimado mediante métodos con imputación múltiple fue en general, más
bajo que la estimación obtenido descartando los datos faltantes. Eso surgiere que las
pruebas para HWE que descartan missing pueden estar sesgadas.
El número de SNPs significativos encontrado en el estudio es en general más alto
de lo que se esperaba por efectos del azar solo. Es difı́cil valorar si esto es debido a la
asocicación entre marcadores y enfermedad o a errores de genotipado. El hecho de haya
más significativos entre los marcadores con muchos missings sugiere que los errores de
genotipado es un factor importante.
Aunque expusimos que el Modelo de Localización General fue en nuestro estudio
el más efectivo, no debemos generalizar que este sea el mejor ya que existe evidencia
reciente [29] que bajo la modelación no paramétrica las estimaciones pueden resultar
más eficientes en estos tipos de datos. Por lo que sugerimos como un estudio futuro, la
modelación bajo este esquema.
Hemos usado del coeficiente de endogamia para el estudio, este hecho ha implicado
que para la inferencia sobre equilibrio usáramos la prueba clásica de chi-cuadrado. En la
actualidad, las pruebas exactas se han puesto de moda. Otra vı́a de hacer inferencia para
HWE en presencia de missings, que ha quedado pendiente de explorar, es mediante la
combinación de pruebas exactas de juegos de datos imputados.
Sugerimos que para estudios futuros, principalmente estudios de casos-controles, se
realice el análisis de sensibilidad basados en los riesgos relativos genotı́picos para el
caso de esta enfermedad. Existe evidencia que estos riesgos tienen alta relación con el
desequilibrio de Hardy-Weinberg y este desequilibrio con el tamaño muestral; por lo
que se debe escudriñar en este perfil para una mejor conclusión referente al equilibrio de
Hardy-Weinberg [7].
Una vez imputados los missings, surgió la pregunta de cuál era la potencia de los
tests utiltizados, tanto para las pruebas clásicas para equilibrio como para una prueba
86
CAPÍTULO 6. DISCUSIÓN Y CONCLUSIÓN
HWE orientado a detectar asociación con la enfermedad. Se ha cuantificado en ambos
casos la potencia de las pruebas HWE para una muestra como la observada. A la vista
del gran número de marcadores en estudio, se considera que la potencia de los test para
HWE es baja en ambos casos y que se necesitarı́an tamaños muestrales más grandes.
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has been submitted, pp. 1–13, 2011. [Online]. Available: www.stat.ethz.ch/CRAN
[cited at p. -]
Índice de figuras
1.1. Comparación entre ADN’s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.
2.2.
2.3.
2.4.
2.5.
2 SNPs mostrando variabilidad entre individuos de una misma especie
Un individuo que es heterocigoto para un determinado SNP . . . . . .
Hardy (arriba) Weinberg (abajo) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
frecuencias de Hardy-Weinberg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Distribución de los heterocigotos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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8
8
9
10
16
3.1. Cáncer de Colon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2. Estadı́os del cáncer de Colon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
23
24
4.1.
4.2.
4.3.
4.4.
4.5.
(a) Medida de Intensidad A, (b) Medida de Intensidad B, (c) Genotipado
Un patrón monótono de Missing Data . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Un patrón no monótono de Missing Data . . . . . . . . . . . . . . . . .
Imputación Múltiple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Conjunto Datos con Missing Data . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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28
31
31
33
36
5.1.
5.2.
5.3.
5.4.
5.5.
5.6.
5.7.
5.8.
5.9.
5.10.
5.11.
5.12.
5.13.
MAF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Q-Q Plots de los 3 test . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Diagrama ternari y ScatterPlots de las frecuencias genotı́picas
Conteo de Missing por SNPs . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Conteo de Missing por Individuos . . . . . . . . . . . . . . .
Diagramas bivariantes de intensidades para 4 SNPs . . . . . .
Pruebas Mecanismo de los Patrones Missing Data . . . . . . .
Proporción de Missing y Combinaciones . . . . . . . . . . . .
Plots Marginales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
SNP 645 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
SNP 294 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
SNP 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
SNP 194 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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41
42
44
45
45
46
48
50
51
52
52
52
52
91
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5
92
ÍNDICE DE FIGURAS
5.14. SNP 297 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
5.15. Evidencia de sesgo entre la Imputación Simple y los Casos Observados . . 53
5.16. Regresión Logı́stica Multinomial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
5.17. Método Regresión Lineal Bayesiana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
5.18. Modelo M ICEY Y Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
5.19. Modelo M ICEY Y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
5.20. Modelo M ICEY Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
5.21. Evidencia de sesgo en las imputaciones realizadas al SNP645 . . . . . . . . 60
5.22. Evidencia de sesgo en las imputaciones para diferentes SNPs . . . . . . . . 61
5.23. Evidencia de sesgo en las imputaciones para diferentes SNPs . . . . . . . . 63
5.24. Evidencia de sesgo en las imputaciones para diferentes SNPs . . . . . . . . 65
5.25. Posiciones relativas para los estimados de fˆ. cc: Casos Observados. is: Imputación Simple. m1: M ICEY Y Z . m2: M ICEY Y . m3: M ICEY Z . m4: CATY Y .
m5: M IXY Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
5.26. Posiciones relativas para los estimados de fˆ. cc: Casos Observados. is: Imputación Simple. m1: M ICEY Y Z . m2: M ICEY Y . m3: M ICEY Z . m4: CATY Y .
m5: M IXY Z . m6: M N AR1 . m7: M N AR2 . . . . . . . . . . . . . . . . 73
5.27. Diagrama ternario de las frecuencias genotı́picas para los SNPs descartando
Missing. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
5.28. fcc vs fimp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
5.29. Test Exacto (rojo) y Test χ2 (verde) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
5.30. Potencia en función de la frecuencia alélica q . . . . . . . . . . . . . . . . 80
Índice de tablas
2.1. En esta tabla vemos que los tamaños de muestra son necesarios a fin de
obtener una potencia del 80 % para la detección de asociación mediante la
prueba de HWE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21
4.1. Eficiencia relativa ( %) de la estimación mediante Imputación Múltiple por
número de imputaciones y fracción de información Missing . . . . . . . . .
35
5.1. SNPs que menos Observaciones aportaron
5.2. SNPs que más Missing aportaron . . . . .
5.3. Regresión Logı́stica Multinomial . . . . .
5.4. Matriz Predictor . . . . . . . . . . . . . .
5.5. MultiLogit M ICEY Y Z . . . . . . . . . .
5.6. MultiLogit M ICEY Y . . . . . . . . . .
5.7. MultiLogit M ICEY Z . . . . . . . . . .
5.8. M ICEY Y Z . . . . . . . . . . . . . . . .
5.9. M ICEY Y . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.10. M ICEY Z . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.11. CATY Y . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.12. M IXY Z . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.13. M IXY Z . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.14. M ICEY Z . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.15. Descriptiva . . . . . . . . . . . . . . . .
5.16. M ICEY Y Z . . . . . . . . . . . . . . . .
5.17. M ICEY Y . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.18. M ICEY Z . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.19. CATY Y . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.20. M IXY Z . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.21. Modelo M ICEY Y Z . . . . . . . . . . .
5.22. Modelo M ICEY Y . . . . . . . . . . . .
5.23. Modelo M ICEY Z . . . . . . . . . . . .
49
49
55
56
58
58
59
60
60
60
63
64
65
65
65
66
66
66
66
66
67
67
67
93
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ÍNDICE DE TABLAS
5.24. Modelo CATY Y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.25. Modelo M IXY Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.26. Resumen de las variables que son usadas para la imputación. Las columnas
de la 2-6 contiene las correlaciones de las variables filas respecto a los SNPs
Missing. Columna 7 es un ejemplo de la correlación entre el indicador de
respuesta y los datos del SNP 645. Columna 8 es el porcentaje de casos
usables que es igual al porcentaje de los datos observados de las variables
filas entre el subgrupo de casos que tienen Missing para el SNP 645 . . . .
5.27. Matriz Predictora: MNAR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.28. M N AR1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.29. M N AR1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.30. M N AR2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.31. M N AR2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.32. Errores Estándares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.33. Combinación de estadı́sticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.34. Comparativa de porcentajes respecto a omitir e imputar missing . . . . . .
5.35. Marcadores más significativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
67
68
71
72
72
72
72
72
73
74
76
78