EJERCICIOS RESUELTOS DE ESTADÍSTICA BIDIMENSIONAL

Grado Administración y Gestión
Facultad Ciencias Económicas y Empresariales
Departamento de Economía Aplicada
Profesor: Santiago de la Fuente Fernández
EJERCICIOS RESUELTOS DE
ESTADÍSTICA BIDIMENSIONAL
EJERCICIOS RESUELTOS DE VARIABLE ESTADÍSTICA BIDIMENSIONAL
1. Dada la variable estadística bidimensional (X, Y) con la tabla de frecuencias
X \ Y
1
3
5
1
2
3
0
2
0
1
1
4
1
0
0
6
1
1
5
Se pide:
3
4
3
4
i=1
j =1
a) ∑∑ nij
b) f23 , f34 , f21
c) ∑ ni• y ∑ n• j
e) a10 y a01
f) a11
g) sxy
i =1 j=1
d) f (xi / Y = 2) y f (y j / X = 3)
Solución:
a)
3
4
3
∑∑ nij = ∑ [ ni1 + ni2 + ni3 + ni4 ] = [ n11 + n12 + n13 + n14 ] + [ n21 + n22 + n23 + n24 ] + [ n31 + n32 + n33 + n34 ] =
i =1 j=1
i=1
= [ 2 + 0 + 1 + 1] + [ 3 + 1 + 0 + 1] + [ 0 + 1 + 0 + 5] = 15
b) Cada nij representa la frecuencia absoluta del par (xi , y j ) , la frecuencia relativa se define fij =
3
4
donde N = ∑∑ nij = 15
i =1 j =1
f23 =
n23 0
= =0
N 15
f34 =
n34 5
=
N 15
f21 =
n21 3
=
N 15
c)
X \ Y
1
3
5
n• j
3
1
2
3
0
5
2
0
1
1
2
4
1
0
0
1
3
6
1
1
5
7
4
∑ ni• = [n1• + n2• + n3• ] = [4 + 5 + 6] = 15 = ∑∑ nij
i=1
4
i=1 j=1
3
4
∑ n• j = [n•1 + n•2 + n•3 + n•4 ] = [5 + 2 + 1 + 7] = 15 = ∑∑ nij
j =1
i =1 j = 1
ni•
4
5
6
15
nij
N
,
d)
X \ Y
1
3
5
1
2
3
0
2
0
1
1
4
1
0
0
6
1
1
5
ni•
4
5
n3• = 6
n• j
5
n•2 = 2
1
7
15
Las frecuencias relativas condicionadas f (xi / Y = 2) y f (y j / X = 3) :
f (xi / Y = 2) =
X
n(xi / Y = 2)
1
2
3
0
1
1
n•2 = 2
Y
n(y j / X = 3)
1
2
4
6
0
1
0
5
n3• = 6
n(xi / Y = 2)
n•2
0
1/2
1/2
1
f (y j / X = 3) =
n (y j / X = 3)
n3•
0
1/6
0
5/6
1
e)
3
4
3
∑∑ xi nij
a10 =
=
i=1 j=1
=
N
∑ xi [ni1 + ni2 + ni3 + n14 ]
i =1
N
1
( [x1 n11 + x1 n12 + x1 n13 + x1 n14 ] +
N
+ [x2 n21 + x2 n22 + x2 n23 + x2 n24 ] + [x 3 n31 + x 3 n32 + x 3 n33 + x 3 n34 ] ) =
=
[1.2 + 1.0 + 1.1 + 1.1] + [3.3 + 3.1 + 3.0 + 3.1] + [5.0 + 5.1 + 5.0 + 5.5] = 49 = 3,26
15
3
o también, a10 =
∑ xi ni•
i=1
N
=
1.4 + 3.5 + 5.6
49
==
= 3,26
15
15
4
∑ y j n• j
a01 =
j=1
=
N
1.5 + 2.2 + 4.1 + 6.7 55
=
= 3,6
15
15
f)
3
4
∑∑ x i y j nij
a11 =
i=1 j=1
N
=
15
=
[1.1.2 + 1.2.0 + 1.4.1 + 1.6.1] + [3.1.3 + 3.2.1 + 3.4.0 + 3.6.1] + [5.1.0 + 5.2.1 + 5.4.0 + 5.6.5] = 205 = 13,66
15
15
g) sxy = a11 − a10 a01 = 13,66 − 3,26 . 3,6 = 1,924
2. Las calificaciones obtenidas por un grupo de alumnos en Estadística (E) y Macroeconomía (M):
3
5
E
M
4
5
6
8
7
7
5
7
8
9
7
10
3
4
5
7
4
4
8
10
5
5
5
7
8
9
8
10
8
5
5
7
a) Hallar la tabla de frecuencias
b) Hallar las distribuciones marginales, media y varianza de las mismas
c) Covarianza
Solución:
a) La variable E (Estadística) toma seis valores diferentes. La variable M (Macroeconomía) toma siete
valores distintos, por lo que para formar la tabla bastará hacer el recuento de las veces que se repite
cada par.
E \ M
3
4
5
6
7
8
n• j
4
1
1
5
1
1
1
6
7
8
9
10
2
2
1
2
3
ni•
2
2
5
1
2
5
17
4
1
1
1
4
2
0
5
1
b)
•
Ei
ni•
Ei ni•
E2i ni•
Mj
n• j
Mj n• j
M2j n• j
3
4
5
6
7
8
2
2
5
1
2
5
17
6
8
25
6
14
40
99
18
32
125
36
98
320
629
4
5
6
7
8
9
10
2
4
0
5
1
2
3
17
8
20
0
35
8
18
30
119
32
100
0
245
64
162
300
903
Distribución Marginal de Estadística:
6
E = a10 =
∑ Ei ni•
i =1
N
6
=
99
= 5,82 a20 =
17
∑ E2i ni•
i =1
N
=
629
2
= 37 sE2 = a20 − a10
= 37 − 5,822 = 3,13
17
•
Distribución Marginal de Macroeconomía:
7
7
∑ Mj n• j
M = a01 =
j=1
=
N
119
= 7 a02 =
17
∑ M2j n• j
j =1
N
=
903
2
= 53,11 sM
= a02 − a201 = 53,11 − 72 = 4 ,11
17
c) Para hallar la covarianza: sxy = a11 − a10 a01
6
7
∑∑ Ei Mj nij
3.4.1 + 3.5.1 + 4.4.1 + 4.5.1 + 5.5.1 + 5.7.4 + 6.8.1 + 7.7.1 + 7.10.1 + 8.5.1 + 8.9.2 + 8.10.2
17
a11 =
i =1 j =1
a11 =
739
= 43,47 sxy = a11 − a10 a01 = 43,47 − 5,82 . 7 = 2,73
17
=
N
3. Dada la tabla de correlaciones. Hallar n21 para que las dos variables sean estadísticamente
independientes y calcular su covarianza en este caso.
X \ Y
100
200
5
8
n21
7
4
6
Solución:
X \ Y
100
200
n• j
5
8
n21
7
4
6
ni•
12
n21 + 6
n21 + 8
10
n21 + 18
Por ser independientes: 4
12
10
120
=
→ 4=
→ 4 [n21 + 18] = 120 →
n21 + 18 n21 + 18 n21 + 18
n21 + 18
covarianza: sxy = a11 − a10 a01
X \ Y
100
200
n• j
5
8
12
20
a10 = x =
2
i =1
N
i=1 j=1
N
=
ni• n• j
∀ i, j
.
N N
n21 =
120 − 72
= 12
4
ni•
12
18
30
7
4
6
10
100 . 12 + 200 . 18
=
= 160 a01 = y =
30
∑ y j n• j
j=1
N
=
5. 20 + 7.10
= 5,67
30
2
∑∑ xi y j nij
a11 =
N
=
2
2
∑ xi ni•
nij
100 . 5. 8 + 100 . 7 . 4 + 200 . 5.12 + 200 . 7 . 6 27200
=
= 906,67
30
30
sxy = a11 − a10 a01 = 906,67 − 160 . 5,67 = − 0,53
4. A partir de la siguiente distribución bidimensional (Xi , Yj ; nij ), calcular: x , y , s 2x , s 2y y s xy . ¿Son
independientes las variables X e Y?
X \ Y
‐1
0
1
1
0
1
0
2
1
0
1
3
0
1
0
Solución:
X \ Y
‐1
0
1
n• j
1
0
1
0
1
2
1
0
1
2
ni•
1
2
1
4
3
0
1
0
1
Las variables X e Y son independientes
n ⎛ n ⎞⎛ n ⎞
cuando se verifica ij = ⎜ i• ⎟ ⎜⎜ • j ⎟⎟ ∀ i, j
N ⎝ N ⎠⎝ N ⎠
No son independientes porque no se verifica la relación: 3
3
∑∑ xi y j nij
a11 =
i = 1 j =1
N
=
1
[− 1.2.1 + 1.2.1] = 0
4
3
3
a10 = x =
∑ xi ni•
i=1
N
=
1
[− 1.1 + 0.2 + 1.1] = 0 a20 =
4
2
s2x = a20 − a10
= 0,5 − 0 = 0,5 a sx =
∑ x2i ni•
i =1
N
[
]
2
1
(−1)2 .1 + 0.2 + 12.1 = = 0,5
4
4
3
∑ y j n• j
∑ y2j n• j
1
[1.1 + 2.2 + 3.1] = 2 a02 = j=1
N
4
N
2
2
2
s y = a02 − a01 = 4 ,5 − 2 = 0,5 a s y = 0,5 = 0,7
j=1
=
0,5 = 0,7
3
a01 = y =
0 2 2
⎡n
⎛ n ⎞ ⎛ n ⎞⎤
≠ . ⎢ 22 ≠ ⎜ 2• ⎟ ⎜ •2 ⎟⎥
4 4 4
⎣ N ⎝ N ⎠ ⎝ N ⎠⎦
=
=
[
]
18
1 2
= 4 ,5
1 .1 + 22.2 + 32.1 =
4
4
covarianza s xy = a11 − a10 . a01 = 0 − 0 . 2 = 0
Adviértase que la covarianza es cero por la simetría de la distribución.
Si (X , Y) independie ntes a s yx = 0
Si s yx = 0
a (X , Y) No independie ntes
5. Se han observado, durante un mes determinado, el gasto en el teléfono móvil y el ingreso total en
seis familias. Los resultados obtenidos, expresados en unidades monetarias corrientes, han sido:
Gasto teléfono móvil
2
3
6
9
10
11
Familia 1
Familia 2
Familia 3
Familia 4
Familia 5
Familia 6
Ingreso total (miles euros)
4
6
8
10
12
20
a) Calcular la covarianza entre el gasto y el ingreso. A la vista de este resultado, ¿puede afirmar que
las variables sean dependientes e independientes?
b) Para estas 6 familias ¿Qué variable se distribuye de forma más homogénea, el gasto en móvil o en
los ingresos totales?
Solución:
a)
Gasto teléfono móvil Ingreso total
yi
2
3
6
9
10
11
41
xi
x2i
y2i
xi . yi
4
6
8
10
12
20
60
16
36
64
100
144
400
760
4
9
36
81
100
121
351
8
18
48
90
120
220
504
6
La primera columna ( yi ), gasto del teléfono móvil,
corresponde a la variable que se estudia, dependiendo
de la variable ingreso total de las familias ( x i )
6
∑ yi
41
a01 = y =
=
= 6,83
N
6
i=1
6
a02 =
∑ y2i
i=1
N
s2y = a02 − a201 = 58,5 − 6,832 = 11,85
351
=
= 58,5
6
6
∑ xi
60
a10 = x =
=
= 10
N
6
i=1
∑ x2i
2
s2x = a20 − a10
= 126,67 − 102 = 26,67
760
a20 =
=
= 126,67
N
6
i=1
6
a11 =
∑ x i . yi
i=1
N
=
504
= 84
6
s xy = a11 − a10 .a01 = 84 − 10. 6,83 = 15,7 covarianza
b)
y = 6,83
s y = 11,85 = 3,44
x = 10
sx = 26,67 = 5,16
CVy =
sy
CVx =
y
=
3,44
= 0,5037 (50,37% de dispersión)
6,83
s x 5,16
=
= 0,516 (51,6% de dispersión)
x
10
Se distribuye de forma más homogénea el ingreso total de las familias.
6. Un psicólogo afirma, basándose en los datos obtenidos, que a medida que el niño crece menores
son las respuestas inadecuadas que da en el transcurso de una situación experimental:
Edad
2
3
4
4
5
5
6
7
Número respuestas
inadecuadas
11
12
10
13
11
9
10
7
Edad
7
9
9
10
11
11
12
Número respuestas
inadecuadas
12
8
7
3
6
5
5
a) Determinar la validez de las conclusiones del psicólogo
b) María, de diez años y medio, participa en el experimento, ¿cuál es el número de respuestas
inadecuadas que se puede predecir para ella?
c) Hallar la varianza residual
Solución:
a) La validez de la afirmación se obtendrá en función del coeficiente de correlación: r =
s xy
sx sy
Como no hay pares repetidos se entiende que son 15 pares de la forma (xi , y j ) que representará
xi : edad e yi : número respuestas inadecuada s de modo que la frecuencia de cada par es la unidad.
xi
yi
2
11
3
12
4
10
4
13
5
11
5
9
6
10
7
7
7
12
15
a11 =
∑ xi yi
i =1
N
=
2.11 + 3.12 + 4.10 + L + 11.5 + 12.5 789
=
= 52,6
15
15
15
a10 = x =
∑ xi
i =1
N
=
2 + 3 + 4 + 4 + 5 + L + 11 + 11 + 12 105
=
=7
15
15
=
11 + 12 + 10 + 13 + L + 6 + 5 + 5 129
=
= 8,6
15
15
15
a01 = y =
∑ yi
i =1
N
En consecuencia, s xy = a11 − a10 a01 = 52,6 − 7 . 8,6 = −7,6
Para el cálculo de las desviaciones típicas (sx , s y ) :
9
8
9
7
10
3
11
6
11
5
12
5
15
a20 =
∑ x2i
i =1
N
=
22 + 32 + 42 + 42 + 52 + L + 112 + 112 + 122 877
=
= 58,46
15
15
=
112 + 122 + 102 + 132 + L + 62 + 52 + 52 1237
=
= 82,46
15
15
15
a02 =
∑ y2i
i=1
N
2
s2x = a20 − a10
= 58,46 − 72 = 9,46 a s x = 9,46 = 3,07
s2y = a02 − a201 = 82,46 − 8,62 = 8,5 a s y =
El coeficiente de correlación: r =
s xy
sx sy
=
8,5 = 2,91
− 7,6
= −0,85 correlación inversa del 85%
3,07 . 2,91
La validez solicitada es del 85% en correlación inversa, es decir, a medida que aumenta la edad del
niño (X) disminuye las respuestas inadecuadas (Y).
b) Para poder predecir el número de respuestas para cada edad determinada (caso de María) será
necesario hallar la ecuación de regresión de Y (nº respuestas inadecuadas) sobre X (edad del niño):
y−y =
sxy
s2x
(x − x ) pendiente de la recta ≡ coeficiente de regresión: b yx =
sxy
s2x
Adviértase que la pendiente de la recta o coeficiente de regresión byx viene determinado
por el signo de la covarianza sxy
byx =
sxy
s2x
=
− 7,6
= −0,80 (recta de regresión decreciente)
9,46
La ecuación de la recta de regresión será: y − 8,6 = −0,80 (x − 7) a y = 14 ,2 − 0,80 x
En consecuencia, para la edad de María (x = 10,5) el número de respuestas inadecuadas que se puede
predecir será:
y = 14,2 − 0,80 .10,5 = 5,8 ≅ 6 respuestas inadecuadas.
c) La varianza residual sr2 = s 2y ( 1 − r 2 )
Coeficiente de Determinación: r 2 = (−0,85) 2 = 0,7225
s r2 = s 2y ( 1 − r 2 ) = 8,50 (1 − 0,7225) = 2,35875
% var iaciones no exp licado = 100
sr2
2,35875
= 100
= 27,75%
2
8,50
sy
7. De una variable estadística bidimensional (X, Y) se conoce sx = 3 :
1
¾ Recta de regresión de Y sobre X: y = 2 + x
2
¾ Recta de regresión de X sobre Y: x = −4 + 2 y
a) Hallar el coeficiente de correlación
b) Si x = 2 , determinar y , a20 , a02 y a11
Solución:
1
a) La recta de regresión de Y sobre X: y = 2 + x puede escribirse:
2
1
1
1
y = 2 + x a y − 0 = (4 + x) ⇒ b yx =
2
2
2
Análogamente, la recta de regresión de X sobre Y: x = −4 + 2 y
x = −4 + 2 y a x − 0 = 2 (−2 + y) ⇒ bxy = 2
s xy 1
sxy 1
⎧
⎪ b yx = 2 = 2 → 9 = 2 → s xy = 4 ,5
sx
⎪
Sabemos que ⎨
sxy
4 ,5
4 ,5
⎪ bxy =
= 2 a 2 = 2 a s2y =
= 2,25 a s y =
2
2
⎪⎩
sy
sy
r=
s xy
sx sy
=
2,25 = 1,5
4 ,5
= 1 con lo que existe una dependencia funcional, cosa que no es de extrañar por
3 . 1,5
1 ⎫
⎧⎪
y =2+ x ⎪
tratarse de única recta de regresión. Adviértase que las rectas: ⎨
2 ⎬ son la misma recta,
⎪⎩x = −4 + 2 y ⎪⎭
basta con multiplicar la primera recta por 2 y despejar la x:
⎡ 1 ⎤
2 y = 2 ⎢2 + x ⎥ = 4 + x a x = −4 + 2 y
⎣ 2 ⎦
x}
=2
1
1
1
b) y = 2 + x a y = 2 + x a y = 2 + 2 = 3
2
2
2
2
s2x = a20 − a10
a 32 = a20 − 22 a a20 = 32 + 22 = 13
s2y = a02 − a201 a 2,25 = a02 − 32 a a02 = 2,25 + 32 = 11,25
sxy = a11 − a11 a01 a 4 ,5 = a11 − 2 . 3 a a11 = 4 ,5 + 6 = 10,5
8. En una experimentación sobre el sector turístico se han observado dos caracteres cuantitativos (X,
Y), obteniéndose los siguientes resultados:
(0, 2), (1,6), (3, 14), (‐1, ‐2), (2, 10)
a) Hallar las distribuciones marginales
b) Correlación entre ambos caracteres
c) ¿Cómo completaríamos los pares (‐3, •), (•, 4)?. Utilizar para ello la recta de regresión ajustada a
los datos observados.
Solución:
a) Como no hay repetición de los pares, la tabla de doble entrada de frecuencias absolutas vendrá
dada de la forma:
X \ Y
0
1
3
‐1
2
n• j
2
1
6
14
‐2
ni•
1
1
1
1
1
5
10
1
1
1
1
1
1
1
1
1
Las distribuciones marginales de la X e Y, respectivamente, serán:
xi
0
1
3
‐1
2
yj
2
6
14
‐2
10
ni•
1
1
1
1
1
n• j
1
1
1
1
1
b) Para estudiar la correlación se forma la tabla adjunta, donde no figura la columna de las
frecuencias absolutas por ser la unidad para todos los pares
xi
yi
xi yi
0
1
3
‐1
2
5
2
6
14
‐2
10
30
0
6
42
2
20
70
x2i
0
1
9
1
4
15
y2i
4
36
196
4
100
340
5
a11 =
∑ xi yi
i=1
N
=
70
= 14
5
5
x = a10 =
∑ xi
i=1
N
5
=
5
=1
5
a20 =
∑ x2i
i=1
N
=
15
=3
5
2
s2x = a20 − a10
= 3 − 12 = 2
sx =
2 = 1,41
5
5
∑ yi
30
y = a01 =
=
=6
N
5
i=1
a02 =
∑ y2i
i =1
N
s2y = a02 − a201 = 68 − 62 = 32
340
=
= 68
5
s xy
r=
s xy = a11 − a10 a01 = 14 − 1. 6 = 8
s 2x s 2y
=
sy =
32 = 5,66
8
=1
2 . 32
Como el coeficiente de correlación es igual a 1, indica que existe una dependencia funcional entre las
variables (X, Y) estudiadas.
c) Para completar el par (‐3, •) hay que hallar la ecuación de la recta de regresión de Y sobre X.
Análogamente, para completar el par (•, 4) hay que hallar la ecuación de la recta de regresión de X
sobre Y.
♦ Recta de regresión de Y sobre X:
y−y =
sxy
s2x
(x − x ) , donde el coeficiente de regresión b yx =
x = 1 y = 6 b yx =
s xy
s2x
=
sxy
s2x
(pendiente de la recta)
8
=4
2
y−y =
s xy
s2x
(x − x) a y − 6 = 4 (x − 1) a y = 2 + 4 x
El par (‐3, •) se completa: y = 2 + 4 (−3) = −10 → (−3, − 10)
♦ Recta de regresión de X sobre Y:
x−x =
sxy
s2y
(y − y) , donde el coeficiente de regresión bxy =
x = 1 y = 6 bxy =
sxy
s2y
=
x−x =
s2y
(pendiente de la recta)
8 1
=
32 4
sxy
El par (•, 4) se completa: x =
sxy
s2y
(y − y) a x − 1 =
1
1
(y − 6) a x = ( − 2 + y)
4
4
1
[− 2 + 4] = 1 → ⎡⎢ 1 ,
2
4
⎣2
⎤
4⎥
⎦
9. Se desea estudiar la relación que existe entre la variable X (porcentaje de la población urbana en
las distintas provincias) e Y (renta media por hogar). La tabla adjunta contiene datos referentes a
treinta provincias:
X \ Y
10 ‐ 19
19 ‐ 28
28 ‐ 37
37 ‐ 45
1 ‐ 16
1
16 ‐ 31
1
8
3
2
31 ‐ 46
1
3
7
3
46 ‐ 60
1
a) Calcular las rectas de regresión
Solución:
a)
X \ Y
10 ‐ 19
19 ‐ 28
28 ‐ 37
37 ‐ 45
n• j
1 ‐ 16
1
16 ‐ 31
1
8
3
2
14
1
31 ‐ 46
1
3
7
3
14
ni•
3
11
11
5
30
46 ‐ 60
1
1
♦ Las distribuciones marginales de X e Y, respectivamente:
Intervalos
xi
ni•
xi ni•
x2i ni•
10 ‐ 19
19 ‐ 28
28 ‐ 37
37 ‐ 45
14,5
23,5
32,5
41
3
11
11
5
30
43,5
258,5
357,5
205
864,5
630,75
6074,75
11618,75
8405
26729,25
4
∑ xi ni•
4
864,5
= 28,81
N
30
2
s2x = a20 − a10
= 890,975 − 28,812 = 60,959
x = a10 =
i=1
=
a20 =
sx =
Intervalos
yj
n• j
y j n• j
y2j n• j
1 ‐ 16
16 ‐ 31
31 ‐ 46
46 ‐ 60
8,5
23,5
38,5
53
1
14
14
1
30
8,5
329
539
53
929,5
72,25
7731,5
20751,5
2809
31364,25
4
j=1
N
26729,25
= 890,975
N
30
60,959 = 7,807
i =1
=
4
∑ y j n• j
y = a01 =
∑ x2i ni•
=
929,5
= 30,98
30
∑ y2j n• j
a02 =
j =1
N
=
31364,25
= 1045,475
30
s2y = a02 − a201 = 1045,475 − 30,982 = 85,7146
sy =
85,7146 = 9,258
♦ La distribución conjunta
xi \ y j
8,5
23,5
38,5
14,5
23,5
32,5
41
1
1
8
3
2
1
3
7
3
53
1
4
a11 =
∑ xi yi nii
i=1
N
=
14 ,5. 8,5. 1 + 14 ,5. 23,5.1 + 14 ,5. 38,5.1 + 23,5. 23, 5.8 + L + 41. 38,5. 3 27589,5
=
= 919,65
30
30
s xy = a11 − a10 a01 = 919,65 − 28,81. 30,98 = 27,1162
9 Recta de regresión de Y sobre X: y − y =
sxy
s2x
(x − x) a y − 30,98 =
Coeficiente de regresión: b yx =
y = 18,30 + 0,44 x
m11 27,1162
=
= 0,44 > 0 (recta de regresión creciente)
60,959
σ2x
9 Recta de regresión de X sobre Y: x − x =
sxy
s2y
(y − y) a x − 28,81 =
Coeficiente de regresión: bxy =
27,1162
(x − 28,81)
60,959
sxy
s2y
=
27,1162
(y − 30,98)
85,7146
x = 19,20 + 0,31 y
27,1162
= 0,31 > 0 (recta de regresión creciente)
85,7146
10. Justifique las razones por las cuales debe aceptarse o rechazarse que las dos rectas siguientes
sean, respectivamente, las líneas de regresión mínimo‐cuadráticas de Y sobre X y de X sobre Y de una
serie de observaciones.
Y/X: Y = 2X + 1
X/Y: X = −5Y + 10
Solución:
⎧ Y = 1 + 2X
⎨ X = 10 − 5 Y
⎩
→ byx = 2 > 0
→ bxy = −5 < 0
Los coeficientes de regresión deben tener el mismo signo, al
depender ambos de la misma covarianza.
Con lo cual, no pueden ser rectas de regresión.
11. Justifique las razones por las cuales debe aceptarse o rechazarse que las dos rectas siguientes
sean, respectivamente, las líneas de regresión mínimo‐cuadráticas de Y sobre X y de X sobre Y de una
serie de observaciones.
Y/X: Y = 2X + 1
X/Y: X = −5Y + 10
Solución:
→ b yx = 2 > 0
⎧ Y = 1 + 2X
⎨
⎩ X = 10 + 5 Y → bxy = 5 > 0
Los coeficientes de regresión tienen el mismo signo, lo que es
lógico al depender ambos de la misma covarianza.
De otra parte, el coeficiente de correlación: r =
b yx . b xy =
2 . 5 = 3,16 , resultado absurdo cuando
el coeficiente de correlación − 1 ≤ r ≤ 1 , concluyendo que no pueden ser rectas de regresión.
12. El coeficiente de correlación entre dos variables X e Y es 0,6. Sabiendo además que,
sx = 1,5 y = 20 s y = 2
x = 10
a) Hallar las rectas de regresión de Y/X y de X/Y
b) Calcular la varianza residual para las dos regresiones anteriores
Solución:
¾ Recta de regresión de Y sobre X: y − y =
sxy
¾ Recta de regresión de X sobre Y: x − x =
sxy
El coeficiente de correlación: r =
En consecuencia, byx =
sxy
s2x
=
s2x
s2y
b yx . b xy =
(x − x) a byx =
(y − y) a bxy =
s xy
sx .sy
a 0,6 =
sxy
s2x
sxy
s2y
(coeficiente regresión)
(coeficiente regresión)
s xy
1,5 . 2
a s xy = 1,8
s
1,8
1,8
= 0,8 bxy = xy
= 2 = 0,45
2
2
sy 2
1,5
Las rectas de regresión serán: Y / X : y − 20 = 0,8 (x − 10) → y = 12 + 0,8 x
X / Y : x − 10 = 0,45 (y − 20) → x = 1 + 0,45 y
[
]
1 − r2
[
]
1 − r2
⎧ Y/X s =s
⎧ Y / X s r2 = s 2y 1 − r 2
r
y
⎪⎪
⎪
b) Varianza residual ⎨
Error típico estimación ⎨
⎪ X / Y s2 = s2 1 − r2
⎪X/Y s =s
r
x
r
x
⎪⎩
⎩
[
]
⎧ Y / X sr2 = 22 1 − 0,62
a sr2 = 2,56 → sr = 2,56 = 1,6
⎪
por tanto, ⎨
⎪ X / Y s2 = 1,52 1 − 0,62 a s2 = 1,44 → s = 1,44 = 1,2
r
r
r
⎩
[
]
13. En una distribución bidimensional se conoce:
R = 0,7
s x = 1,2
y=4
X / Y : X = 0,6 + 0,44 Y
Obtener:
a) Media de X
b) Recta de regresión de Y/X
c) Varianza de Y
d) Covarianza de ambas variables
Solución:
⎧ X = 0,6 + 0,44 Y
a) Recta de regresión de X sobre Y: X = 0,6 + 0,44 Y a ⎨
⎩X = 0,6 + 0,44 . 4 = 2,36
b) La recta de regresión de Y/X:
⎧ a = 0,6
siendo X = 0,6 + 0,44 Y a ⎨
⎩ bxy = 0,44
r 2 = b yx . b xy
a 0,72 = b yx . 0,44 a b yx =
0,72
= 1,114
0,44
b
con lo cual, la recta de regresión de Y sobre X: y − y =
yx
}
sxy
(x − x ) será: y − 4 = 1,114 (x − 2,36)
s2x
y = 1,370 + 1,114 x
c) Varianza de la Y: Sabemos que, s x = 1,2
b yx =
m11
a
σ2x
1,114 =
recurriendo a bxy =
sxy
s2y
sxy
2
1,2
bxy = 0,44
b yx = 1,114
a s xy = 1,114 .1,22 = 1,604
a 0,44 =
1,604
a
s2y
s2y =
1,604
= 3,645
0,44
d) La covarianza de ambas ya se ha calculado: sxy = 1,604
14. Sean las variables estadísticas bidimensionales (X, Y), donde X = "PIB per cápita (en miles de
dólares) e Y = "Tasa natural de crecimiento demográfico de 162 países del mundo". Se conocen los
datos siguientes:
∑ x = 978,9
∑ x2 = 17569,9
∑ y = 2886,4
∑ y2 = 172291,2
∑ xy = 8938,4
a) Obtener la recta de regresión que pretende explicar la tasa natural de crecimiento en función de la
renta del país.
b) Interpretar los coeficientes de la recta estimada.
c) Obtener una medida de bondad del ajuste e interpretar si éste es bueno.
Solución:
b
a) Se trata de encontrar la recta de regresión de Y sobre X: y − y =
yx
}
sxy
x 978,9
x2 17569,9
a10 = x = ∑ =
= 6,04 a20 = ∑ =
= 108,456
N
162
N
162
s2x
(x − x )
2
s2x = a20 − a10
= 108,456 − 6,042 = 71,97
y 2886,4
y2 172291,2
a01 = y = ∑ =
= 17,82 a02 = ∑ =
= 1063,526
N
162
N
162
s2y = a02 − a201 = 1063,526 − 17,822 = 745,97
x y 8938,4
a11 = ∑ =
= 55,175 s xy = a11 − a10 a01 = 55,175 − 6,04 . 17,82 = − 52,46
N
162
El coeficiente de regresión de Y sobre X (pendiente de la recta): byx =
sxy
s2x
=
− 52,46
= − 0,729
71,97
Adviértase que la pendiente de la recta (− 0,729) en el signo depende de la covarianza (sxy ) , al ser
negativa la recta de regresión será decreciente, esto es, a medida que aumenta los valores de la
variable X (PIB per cápita) disminuyen los valores de la variable Y (tasa natural de crecimiento
demográfico).
La recta de regresión solicitada será: y − 17,82 = −0,729 (x − 6,04) a
c) El Coeficiente de determinación lineal: r 2 = b yx . b xy
bxy =
sxy
s2y
=
− 52,46
= − 0,07
745,97
con lo que, r 2 = (−0,729) . (−0,07) = 0,051 ( 5,1% grado de fiabilidad)
y = 22,22 − 0,729 x
El coeficiente de correlación lineal: r =
0,051 = 0,226 (no existe apenas correlación lineal entre las
variables, pudiendo existir otro tipo de correlación)
15. La siguiente distribución bidimensional se expresa en la siguiente tabla de correlaciones. La
variable X representa los ingresos familiares mensuales en unidades de 10 euros. La variable Y
representa, a su vez, los metros cuadrados de la vivienda familiar.
X/ Y
50 ‐ 100
100 ‐ 200
200 ‐ 350
350 ‐ 500
> 500
< 60
20
25
5
0
0
60 ‐ 80
18
40
10
5
1
80 ‐ 100
2
30
15
15
2
100 ‐ 150
1
2
25
20
7
> 150
0
1
3
8
10
a) Calcular la distribución marginal de las dos variables. ¿Son independientes los ingresos familiares
y el tamaño de la vivienda donde habitan?
b) Obtener la distribución de la superficie de la vivienda condicionada al intervalo modal de los
ingresos familiares.
c) Calcular la distribución de los ingresos condicionada al intervalo mediano de la vivienda familiar.
Solución:
a)
X/ Y
< 60
60 ‐ 80
80 ‐ 100
100 ‐ 150
> 150
ni•
50 ‐ 100
100 ‐ 200
200 ‐ 350
350 ‐ 500
> 500
n• j
20
25
5
0
0
50
18
40
10
5
1
74
2
30
15
15
2
64
1
2
25
20
7
55
0
1
3
8
10
22
41
98
58
48
20
N= 265
0,189
0,279
0,242
0,208
0,083
1
f• j =
n• j
N
fi • =
ni•
N
0,155
0,370
0,219
0,181
0,075
1
Para que los ingresos familiares (X) y el tamaño de la vivienda familiar (Y) sean independientes debe
n ⎛ n ⎞⎛ n ⎞
verificarse ij = ⎜ i• ⎟ ⎜⎜ • j ⎟⎟ ∀ i, j
N ⎝ N ⎠⎝ N ⎠
n
n n
15
48 64
No son independientes porque 43 ≠ 4• •3 a
≠
N
4 N
265 265 265
DISTRIBUCIÓN MARGINAL DE LA VARIABLE X
Intervalos
xi
ni•
ci
50 ‐ 100
100 ‐ 200
200 ‐ 350
350 ‐ 500
> 500
75
150
275
425
‐‐‐‐‐
41
98
58
48
20
265
50
100
150
150
‐‐‐‐‐
ni•
N
0,155
0,370
0,219
0,181
0,075
1
fi• =
Fi• =
Ni
Ni•
N
41
139
197
245
265
0,155
0,525
0,744
0,925
1
Nj
F• j =
hi =
ni
ci
0,82
0,98
0,39
0,32
‐‐‐‐‐
f• j =
Intervalos
yj
n• j
cj
< 60
60 ‐ 80
80 ‐ 100
100 ‐ 150
> 150
‐‐‐‐‐
70
90
125
‐‐‐‐‐
50
74
64
55
22
265
‐‐‐‐‐
20
20
50
‐‐‐‐‐
n• j
N
0,189
0,279
0,242
0,208
0,083
1
50
124
188
243
265
N/2=132,
DISTRIBUCIÓN MARGINAL DE LA VARIABLE Y
N• j
N
0,189
0,468
0,71
0,918
1
hj =
nj
cj
‐‐‐‐‐
3,7
3,2
1,1
‐‐‐‐‐
mediano
b) X = "ingresos familiares" e Y = "metros cuadrados de la superficie"
yj
n j / 50 − 100
nj / 100 − 200
nj / 200 − 350
n j / 350 − 500
nj / > 500
< 60
60 ‐ 80
80 ‐ 100
100 ‐ 150
> 150
20
18
2
1
0
41
25
40
30
2
1
98
5
10
15
25
3
58
0
5
15
20
8
48
0
1
2
7
10
20
Con los datos disponibles no se puede calcular el intervalo modal de la variable X, al no poder calcular
todas las densidades de frecuencias marginales, es imposible hacerlo en el tramo (> 500) que tiene
una amplitud ilimitada.
c) La distribución condicionada de la variable X al intervalo mediano de la Y (vivienda familiar):
X / Y
50 ‐ 100
100 ‐ 200
200 ‐ 350
350 ‐ 500
> 500
< 60
20
25
5
0
0
60 ‐ 80
18
40
10
5
1
80 ‐ 100 100 ‐ 150
2
1
30
2
15
25
15
20
2
7
> 150
0
1
3
8
10
Intervalos
50 ‐ 100
100 ‐ 200
200 ‐ 350
350 ‐ 500
> 500
ni3 (ni• / 80 − 100)
2
30
15
15
2
⎧ Y / X : Y = 3 + 2X
⎩ X / Y : X = 2 + 0,3 Y
= 3,2 . Obtener la varianza residual de las dos rectas de regresión.
16. Se conocen las regresiones ⎨
Sabiendo además que s xy
Solución:
xy = 3,2
⎧⎪ b = s / s2 ⎯s⎯
⎧ byx = 2
⎯
⎯→ s2x = 3,2 / 2 = 1,6
⎧ Y / X : Y = 3 + 2X
yx
xy
x
a
a
⎨
⎨
⎨
s xy = 3,2
2
⎩ X / Y : X = 2 + 0,3 Y
⎯→ s2y = 3,2 / 0,3 = 10,67
⎩ bxy = 0,3
⎪⎩ bxy = sxy / s y ⎯⎯ ⎯
Por otra parte, el coeficiente de determinación: R2 = b yx .bxy = 2. 0,3 = 0,6
[
]
[
]
⎧ Y / X : s r2 = s 2y 1 − r 2 → s r2 = 10,67 [ 1 − 0,6] = 4 ,268
⎪
Varianza residual ⎨
⎪ X / Y : s 2 = s 2 1 − r 2 → s 2 = 1,6 [ 1 − 0,6] = 0,64
r
x
r
⎩
⎧ Y/X: s =s
r
y
⎪⎪
Error típico estimación ⎨
⎪ X/Y: s =s
r
x
⎪⎩
1 − r2
→ sr =
4 ,268 = 2,066
1 − r2
→ sr =
0,64 = 0,8
17. Sean las siguientes ecuaciones las rectas de regresión de una variable bidimensional (Y, X; nij)
⎧ X − 2Y = 3
⎨
⎩ X − 4Y = 2
a) ¿Cuál de estas rectas corresponde a la regresión de Y/X y cuál a la regresión de X/Y?
b) Hallar las medias aritméticas de Y sobre X
c) ¿Cuánto vale el coeficiente de correlación lineal?
Solución:
a)
•
⎧
⎪
recta regresión X / Y
⎪ X − 2Y = 3 ⎯⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯⎯→
Sea ⎨
recta regresión Y / X
⎪ X − 4 Y = 2 ⎯⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯⎯→
⎪
⎩
⎧
⎧a = 3
⎪ X = 3 + 2Y a ⎨
⎪
⎩bxy = 2
a signo (bxy ) = signo (b yx )
⎨
⎧⎪a' = −1 / 2
1
1
⎪Y = − + X a
⎨
⎪
2 4
⎪⎩ b yx = 1 / 4
⎩
1
Coeficiente de determinación r 2 = b xy . b yx = 2 . = 0,5 < 1
4
•
⎧
⎪
recta regresión Y / X
⎪ X − 2Y = 3 ⎯⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯⎯→
Sea ⎨
recta regresión X / Y
⎪ X − 4 Y = 2 ⎯⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯⎯→
⎪
⎩
⎧
⎧a = −3 / 2
3 1
⎪Y = − + X a ⎨
2 2
⎪
⎩b yx = 1 / 2
a signo (b yx ) = signo (bxy )
⎨
⎧ '
⎪ X = 2+ 4Y a ⎪ a = 2
⎨
⎪
⎪⎩bxy = 4
⎩
1
Coeficiente de determinación r 2 = b yx . b xy = . 4 = 2 > 1 cosa que no es posible (0 ≤ r 2 ≤ 1)
2
⎧
⎪ X / Y : X = 3 + 2Y
⎪
En consecuencia ⎨
⎪
1 1
⎪⎩ Y / X : Y = − 2 + 4 X
18. En una distribución bidimensional (Xi, Yj , nij) se conoce x = 10 y sxy = 10 . Ambas rectas de
regresión pasan por el punto (0, 0). ¿Cuál es el grado de bondad del ajuste?.
Solución:
Las rectas de regresión de Y/X e X/Y se cortan en (x , y) , en este caso en el punto (10, y) .
Por otra parte, según el enunciado se cortan en (0, 0), por lo que se puede concluir que ambas rectas
coinciden al tener dos puntos distintos en común.
En consecuencia, R2=1 → R=1 (100% grado de ajuste).
19. A partir de un conjunto de datos sobre las variables X e Y se ha calculado la regresión de Y sobre
X, obteniéndose los siguientes resultados:
Y = 10 + 0,45 X
r2 = 0,9
x = 20
Calcular los parámetros de regresión de X sobre Y
Solución:
Y = 10 + 0,45 X
⎧a = 10
0,9
r2 = byx .bxy
= 2 (pendiente recta)
a ⎨
⎯⎯ ⎯
⎯
⎯→ r2 = 0,9 = 0,45.bxy ⇒ bxy =
0,45
⎩b yx = 0,45
byx
}
y = a + b. x
De otra parte, y = a + b . x ⎯⎯ ⎯⎯→ y = 10 + 0,45 . 20 = 19
bxy
b
}
}xy
x = a' + b'. y
Análogamente, x = a'+ b' . y ⎯⎯ ⎯ ⎯
⎯→ a' = x − b' . y ⇒ a' = 20 − 2.19 = −18
La recta de regresión de X/Y: Y = −18 + 2 X
20. ¿Cuáles de los siguientes pares de posibles rectas de regresión de Y/X y de X/Y realmente
pueden serlo?. Razone la respuesta.
a) Y = 3 + 4X siendo X = 2 + Y
b) Y = 3 + 2X siendo X = 2 − 0,3 Y
c) Y = 3 + 2X siendo X = 2 + 0,2 Y
Solución:
ƒ
a=3
⎧
⎪Y / X : Y = 3 + 4 X a
b yx = 4 > 0
⎪
⎨
⎪X / Y : X = 2 + Y a a' = 2
⎪
b xy = 1 > 0
⎩
ƒ
a=3
⎧
⎪Y / X : Y = 3 + 2X a
byx = 2 > 0
⎪
⎨
⎪X / Y : X = 2 − 0,3 Y a a' = 2
⎪
bxy = −0,3 < 0
⎩
a signo (b yx ) ≠ signo (bxy ) contradicción
ƒ
a=3
⎧
⎪Y / X : Y = 3 + 2X a
b yx = 2 > 0
⎪
⎨
⎪X / Y : X = 2 + 0,2 Y a a' = 2
⎪
b xy = 0,2 > 0
⎩
⎧ signo (b yx ) = signo (b xy ) ⎫
a ⎨2
⎬ coeficientes coherentes
⎩r = b yx . b xy = 2 . 0,2 = 0,4 < 1⎭
⎧ signo (b yx ) = signo (b xy )
a ⎨ 2
⎩ r = b yx . b xy = 4.1 = 4 > 1 contradicción
21. Comprobar si son coherentes los resultados obtenidos al ajustar la recta de regresión:
a) Y = A + b X a s xy = 20
s2x = 10
y =8
x =4
b) Y = A + b X a s2y = 4
s xy = 4
2
= 0,4
sry
s2x = 5
a=3
Solución:
a)
s xy 20
⎧
⎪ b = b yx = 2 = 10 = 2
sx
⎪
Y = A + bX a ⎨
⎪ y = a + b x a a = y − b x = 8 − 2. 4 = 0 ≠ 3
⎪
⎩
⎯
⎯→
Los datos no corresponden
a la recta de regresión
b) Los datos no corresponden a una recta de regresión como puede observarse.
⎧
⎪ 2
⎪ sry = s2y (1 − r2 ) a 0,4 = 4 (1 − r2 ) a 0,1 = (1 − r2 ) a r2 = 0,9 a r = 0,94
⎪⎪
s xy 4
Y = a + b X a ⎨ b = b yx = 2 = = 0,8
sx 5
⎪
2
2
2
⎪ 2
s xy
sry
sry
42
0,4
2
a
r
=
=
1
−
r
=
=
0
,
8
≠
1
−
= 1−
= 0,9
⎪
2 2
2
2
5. 4
4
sy
sx .s y
sy
⎪⎩
22. En una distribución bidimensional (X, Y) se ha ajustado una regresión lineal entre las dos
variables. Se sabe que r = 0,8, s x = 4 , y = 2 y que la recta de regresión de X sobre Y ajustada es
Y = 4X . Se pide:
a) Calcular los valores de sxy , s2y y x
b) Calcular la recta de regresión de Y sobre X
c) Calcular la varianza residual en la regresión de X sobre Y
Solución:
a)
Recta de regresión de X sobre Y
Y = 4X
sxy
⎧
⎪ x − x = 2 (y − y)
sy
⎪
⎨
⎧ a' = 0
=a'+b'y
⎪X = 1 Y ⎯x⎯
⎯
⎯→ ⎨
⎪
4
⎩ b' = bxy = 1 / 4 (pendiente recta)
⎩
b }
b'
}
⎧
1
2
⎪ r = b yx .bxy a 0,82 = b yx .
a b yx = 2,56
⎪
4
covarianza (sxy ) ⎨ b
}
⎪ b = sxy a s = b . s2 a s = (2,56). 42 = 40,96
xy
yx x
xy
⎪⎩ yx s2x
Varianza Y (s2y )
Media X (x)
b'
}
sxy
sxy
bxy = 2 a s2y =
bxy
sy
a s2y =
40,96
= 163,84
1/4
r
1
E[x ]=E[a'+b'y ] a x =a'+b'y
x = a'+b' y ⎯⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯⎯→ x = 0 + . 2 = 0,5
4
b)
Recta de regresión de Y sobre X
c)
Varianza residual de X:
b=byx
⎧
}
⎪
s
⎪ y − y = xy (x − x ) a y = a + b x
⎨
s2x
⎪
40,96
⎪y − 2 = 2 (x − 0,5) a y = 0,72 + 2,56 x
4
⎩
2
2
srx
= s2x (1 − r2 ) a srx
= 16 (1 − 0,64) = 5,76
23. Se desea estudiar la repercusión que tiene los días de lluvia en el número de visitas al zoo. Para
ello, se observaron las siguientes variables, durante los últimos diez años, siendo Y="nº visitas
anuales, en miles" y X="nº de días de lluvia al año":
Año
X
Y
1994
18
107
1995
26
105,5
1996
30
105
1997
33
104,4
1998
38
104,3
1999
39
104
2000
42
103,7
2001
44
103,4
2002
46
103,1
2003
49
103
a) Coeficiente de correlación lineal e interpretar el resultado.
b) Recta de regresión que explique el número de visitas anuales en función del número de lluvia.
c) ¿Qué previsión de visitas habrá para el año próximo si el Instituto Meteorológico informa que
lloverá 40 días?. ¿Qué grado de fiabilidad tendrá esta predicción?.
d) Hallar la varianza residual del número de visitas anuales.
e) Obtener la recta de regresión X/Y.
Solución:
Año
xi
yi
xi . yi
1994
1995
1996
1997
1998
1999
2000
2001
2002
2003
10
18
26
30
33
38
39
42
44
46
49
365
107
105,5
105
104,4
104,3
104
103,7
103,4
103,1
103
1043,4
1926
2743
3150
3445,2
3963,4
4056
4355,4
4549,6
4742,6
5047
37978,2
x2i
324
676
900
1089
1444
1521
1764
1936
2116
2401
14171
y2i
11449
11130,25
11025
10899,36
10878,49
10816
10753,69
10691,56
10629,61
10609
108881,96
Distribución marginal de X
10
10
∑ xi
365
= 36,5
a10 = x = i=1 =
N
10
∑ x2i
14171
= 1417,1
a20 = i=1 =
N
10
2
⎧⎪s2x = a20 − a10
= 1417,1 − 36,52 = 84 ,85
⎨
⎪⎩ s x = 84 ,85 = 9,21
Distribución marginal de Y
10
a01 = y =
∑ yi
i=1
N
10
=
1043,4
= 104,34
10
a02 =
⎧⎪s2y = a02 − a201 = 10888,196 − 104,342 = 1,36
⎨
⎪⎩ s y = 1,36 = 1,17
∑ y2i
i=1
N
=
108881,96
= 10888,196
10
Covarianza ‐ Coeficientes regresión lineal ‐ Coeficiente correlación lineal
10
a11 =
∑ xi . yi
i=1
N
=
37978,2
= 3797,82
10
Covarianza: s xy = a11 − a10 . a01 = 3797,82 − 36,5 . 104,34 = −10,59
b
}
⎧
sxy − 10,59
⎪Y / X : b yx = 2 =
= −0,125
84 ,85
sx
⎪
Coeficientes regresión lineal: ⎨
b'
}
⎪X / Y : b = sxy = − 10,59 = −7,79
xy
⎪
1,36
s2y
⎩
r = b yx .bxy = (−0,125)(−7,79) = 0,986
Coeficiente de correlación lineal:
Observando la gráfica de la nube de puntos a más días de lluvia
menor número de visitas. El grado de ajuste entre la nube de
puntos y la recta de regresión es del 98,6%.
b) Recta de regresión de Y sobre X:
b=byx
y − y =
}
s yx
s2x
(x − x) a y − 104,34 = −0,125 (x − 36,5) a y = 108,90 − 0,125x
c) Si en 2007 se estiman 40 días de lluvia se estiman un número de visitas:
y = 108,90 − 0,125 (40) ≈ 104 días
d) La varianza residual de la Y:
2
2
sry
= s2y (1 − r2 ) a sry
= 1,36 (1 − 0,9862 ) = 0,0378 (3,78% causas ajenas a la regresión)
e) Recta de regresión de X sobre Y:
b'=bxy
x − x =
}
s yx
s2y
(y − y) a x − 36,5 = −7,79 (y − 104,34) a x = 849,31 − 7,79 y
X / Y : x = 849,31 − 7,79 y a ŷ =
849,31 − x
7,79
NOTA.‐ Para representar conjuntamente en EXCEL las dos rectas de regresión (Y/X, X/Y) se han de
introducir dos series: Serie1 (X, Y), Serie2 (X, Ŷ)
24. Las notas en Estadística (X) y en Matemáticas (Y) obtenidas por 10 alumnos elegidos al azar en un
grupo de primer curso de la Facultad de Ciencias Económicas y Empresariales han sido las siguientes,
según el orden de selección de la muestra:
Nº orden
X
Y
1º
9
8
2º
7
5
3º
3
4
4º
6
2
5º
7
9
6º
5
6
7º
10
10
8º
8
9
9º
3
1
10º
5
5
a) Representar la nube de puntos correspondiente a esta distribución. ¿Qué hipótesis pueden
hacerse a la vista de la representación?.
b) Estimar los parámetros de la recta de regresión Y/X. Interpretar los coeficientes calculados.
c) Estimar los parámetros de la recta de regresión de X/Y y comparar ambas rectas.
d) Representar las dos rectas de regresión junto a la nube de puntos.
e) Calcular la varianza residual en la regresión Y/X. ¿Coincidirá con la varianza residual en la
regresión X/Y?
f) Para un alumno que haya obtenido un 7 en Matemáticas, ¿qué nota se le pronosticaría en
Estadística?
g) Para un alumno que haya obtenido un 4 en Estadística, ¿qué nota se le pronosticaría en
Matemáticas?
Solución:
a)
Observando la nube de puntos (diagrama de dispersión) se
puede establecer la hipótesis de que existe correlación lineal
creciente entre las variables.
b) Estimar los parámetros de la recta de regresión Y/X
Nº orden
xi
yi
xi . yi
x2i
1º
9
8
72
81
2º
7
5
35
49
3º
3
4
12
9
4º
6
2
12
36
5º
7
9
63
49
6º
5
6
30
25
7º
10
10
100
100
8º
8
9
72
64
9º
3
1
3
9
10º
5
5
25
25
63
59
424
447
y2i
64
25
16
4
81
36
100
81
1
25
433
Distribución marginal de X
10
a10 = x =
∑ xi
i=1
N
10
=
63
= 6,3
10
a20 =
∑ x2i
i=1
N
=
447
= 44 ,7
10
2
⎧⎪s2x = a20 − a10
= 44 ,7 − 6,32 = 5,01
⎨
⎪⎩ sx = 5,01 = 2,24
Distribución marginal de Y
10
a01 = y =
∑ yi
i=1
N
10
=
59
= 5,9
10
a02 =
∑ y2i
i=1
N
=
433
= 43,3
10
⎧⎪s2y = a02 − a201 = 43,3 − 5,92 = 8,49
⎨
⎪⎩ s y = 8,49 = 2,91
Covarianza ‐ Coeficientes regresión lineal ‐ Coeficiente correlación lineal
10
a11 =
∑ xi . yi
i=1
N
=
424
= 42,4
10
Covarianza: s xy = a11 − a10 .a01 = 42,4 − 6,3 . 5,9 = 5,23
Parámetros regresión lineal Y/X
Y = a + b X a Y = −0,677 + 1,044 X
⎧
s xy 5,23
= 1,044 > 0
⎪ b = b yx = 2 =
s x 5,01
⎪⎪
⎨ y = a + b x a a = y − b x = 5,9 − 1,044 . 6,3 = −0,677
⎪ 2 s xy s xy 5,23 5,23
.
= 0,643 a r = 0,643 = 0,80
⎪r = 2 . 2 =
s x s y 5,01 8,49
⎪⎩
El coeficiente de regresión b es positivo, con lo
que a mayor nota en estadística mayor nota en
matemáticas. De otra parte, el coeficiente de
correlación r es 0,80, con lo que la fiabilidad del
modelo es del 80%.
c)
Parámetros regresión lineal X/Y
X = a' + b' Y a X = 2,665 + 0,616 Y
s xy 5,23
⎧
= 0,616 > 0
⎪ b' = bxy = 2 =
8
,
49
s
y
⎪⎪
⎨ x = a' + b' y a a' = x − b' y = 6,3 − 0,616 . 5,9 = 2,665
⎪ 2 sxy sxy 5,23 5,23
.
= 0,643 a r = 0,643 = 0,80
⎪r = 2 . 2 =
s x s y 5,01 8,49
⎪⎩
El coeficiente de regresión b' es positivo, con lo que a
mayor nota en matemáticas mayor nota en estadística.
X − 2,665
se
De otra parte, X = 2,665 + 0,616 Y a Ŷ =
0,616
utiliza para representar en Excel la serie (X , Ŷ) , que junto
a la serie (X, Y), permite la gráfica conjunta de la nube de
puntos y las dos rectas de regresión.
d) Para representar en Excel las dos rectas de regresión junto a la nube de puntos.
X
Y
Ŷ
9
8
10,28
7
5
7,04
3
4
0,54
6
2
5,41
7
9
7,04
5
6
3,79
10
10
11,91
8
9
8,66
3
1
0,54
5
5
3,79
Diagrama dispersión: Series (X, Y), (X, Ŷ)
Ŷ = (X − 2,665) / 0,616
e) Varianzas residuales
Varianza residual de Y/X: r2 = 0,643 s2y = 8,49
2
2
sry
= s2y (1 − r2 ) a sry
= 8,49 (1 − 0,643) = 3,03
Varianza residual de X/Y: r2 = 0,643 s2y = 5,01
2
2
srx
= s2x (1 − r2 ) a srx
= 5,01 (1 − 0,643) = 1,79
f) Un alumno con un 7 en Matemáticas (•, 7) para pronosticar la nota en Estadística habría que
recurrir a la recta de regresión de X/Y: X = 2,665 + 0,616 Y
X = 2,665 + 0,616.7 = 6,98 en estadística
g) Un alumno con un 4 en Estadística (4 , •) para pronosticar la nota en Matemáticas habría que
recurrir a la recta de regresión de Y/X: Y = −0,677 + 1,044 X
Y = −0,677 + 1,044 . 4 = 3,50 en matemáticas