6.10. Análisis de sistemas LIT en el campo transformado

6.10. Análisis de sistemas LIT en el campo transformado
6.10.
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Análisis de sistemas LIT en el campo transformado
Ejercicio 1. Para el filtro digital de la figura,
1. Determine la relación entrada/salida y la respuesta impulsiva h[n].
2. Calcule y grafique la magnitud j H (e jω )j y la fase \ H (e jω ) del filtro, y encuentre qué
frecuencias son completamente bloqueadas por el filtro.
3. Cuando ω 0 = π/2, calcule la salida y[n] si x [n] = cos(π/3n + π/6),
∞ < n < ∞.
Ejercicio 2. Para el sistema lineal e invariante en el tiempo con respuesta impulsiva
h[n] = (1/4)n cos (πn/4) u[n],
1. Calcule la función de sistema H (z).
2. ¿Es posible implementar este sistema utilizando un número finito de multiplicadores
y retardos unitarios? Si la respuesta es afirmativa, ¿cómo lo haría?
3. Esboce la respuesta en frecuencia j H (e jω )j en base al diagrama de polos y ceros.
4. Calcule la respuesta del sistema a la entrada x [n] = (1/4)n u[n].
Ejercicio 3. Para el sistema descripto por la ecuación a diferencias y[n] = (1/2) y[n
1] + x [n] + (1/2) x [n 1],
1. Determine la respuesta impulsiva.
2. Calcule la respuesta en frecuencia.
3. Calcule la salida si la entrada es x [n] = cos(π/2n + π/4).
Ejercicio 4. Esboce aproximadamente la magnitud de la respuesta j X (e jω )j de los siguientes diagramas de polos y ceros.
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Ejercicio 5. La función de sistema de un filtro de primer orden es
H (z) = k
1+az
1 az
1
,
1
a, k reales.
1. ¿Para qué rango de valores de a el filtro es un pasabajos estable? Esboce j H (e jω )j.
2. Calcule k para que la ganancia del filtro sea unitaria en ω = 0.
3. Compute la respuesta impulsiva h[n] del filtro.
4. Determine el rango de valores de a en el cual el filtro es un pasaaltos estable.
1
Ejercicio 6. El filtro con ecuación a diferencias y[n] = M
∑kM=0 1 x [n k ] se llama filtro
promediador, porque su salida es el promedio de las M muestras anteriores de la entrada.
La función de sistema (para M = 9) es:
H (z) =
1 1
+ z
9 9
1
1
+ z 8.
9
+
1. Calcule y grafique la respuesta al escalón del sistema.
2. Calcule la respuesta en frecuencia (magnitud y fase).
3. Si la frecuencia de muestreo es f s = 1 kHz, determine las frecuencias (analógicas)
de las señales que serán bloqueadas por el filtro.
Ejercicio 7. La ecuación diferencial de un diferenciador analógico es y (t) = dx (t) /dt,
donde x (t) es la señal de entrada e y(t) la señal de salida.
1. Determine la respuesta en frecuencia Hc ( jΩ).
2. El diferenciador discreto ideal se define como H (e jω ) = jω, jω j π. Justifique esta
definición comparando las respuestas en frecuencia j H (e jω )j y \ H (e jω ) con las del
inciso anterior.
3. Muestre que el sistema discreto y[n] = x [n] x [n 1] es una buena aproximación
al diferenciador del inciso 2, al menos para bajas frecuencias.
4. Calcule la respuesta del sistema del inciso 3 a una entrada x [n] = A cos(ω 0 n + θ ),
∞ < n < ∞, para ω 0 pequeño.
Ejercicio 8. Un SLIT causal está definido por la ecuación a diferencias
y[n] = y[n
1] + y [ n
2] + x [ n
1].
1. Determine la función de sistema H (z) = Y (z)/X (z). Dibuje los polos y ceros de
H (z) indicando la región de convergencia.
2. Calcule la respuesta impulsiva h[n] del sistema.
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3. Si el sistema es inestable, encuentre una respuesta al impulso estable (no causal)
que sastifaga la ecuación a diferencias.
Ejercicio 9. La función de sistema de un SLIT causal es
X (z) =
1 a 1z 1
,
1 az 1
a real.
1. Determine para qué valores de a el sistema es estable.
2. Si 0 < a < 1, dibuje el diagrama de polos y ceros. Indique la región de convergencia.
3. Demuestre que el sistema es un pasatodo (el módulo de la respuesta en frecuencia
H e jω es constante para todo ω).
Ejercicio 10. Si el sistema y[n] = 0,2y[n 1] + x [n] 0,3x [n 1] + 0,02x [n 2] y el sistema y[n] = x [n] 0,1x [n 1] se excitan con la misma señal de entrada, se obtiene una
salida idéntica en ambos casos. ¿Es posible? ¿Por qué?
Ejercicio 11. Cuando la entrada a un sistema lineal e invariante en el tiempo es x [n] =
(1/2)n u[n] + (2)n u[ n 1], la salida es y[n] = 6 (1/2)n u[n] 6 (3/4)n u[n].
1. Encuentre la función de sistema H (z). Grafique los polos y los ceros de H (z) e
indique la región de convergencia.
2. Calcule la respuesta impulsiva del sistema h[n].
3. Escriba la ecuación a diferencias que caracteriza el sistema.
4. Determine si el sistema es
a) estable;
b) causal.
I
Ejercicio 12. Una sucesión x [n] tiene transformada-z X (z) = P(z)/Q(z), donde P(z) y
Q(z) son polinomios en z. Si x [n] es absolutamente sumable, y si todas las raíces de Q(z)
están dentro del círculo unidad, ¿puede afirmar que x [n] es causal?. Si la respuesta es
afirmativa, explique detalladamente. Si la respuesta es negativa, dé un contraejemplo.
Ejercicio 13. Un transmisor emite una señal x (t) con espectro X ( jΩ) como se muestra en
la Fig. (a). Debido a los rebotes en el camino de propagación, el receptor recibe una señal
y (t) = x (t) + αx (t TR ), con α < 1 [Fig. (b)]. En el receptor esta señal se muestrea cada
T = TR /N segundos, y[n] = y(nT ).
1. Calcule el espectro Y ( jΩ) de la señal y (t) en función del espectro de la señal X ( jΩ).
2. Dibuje el espectro Y e jω de y[n], indicando las escalas de amplitud y tiempo.
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3. Calcule H (z) = Y (z)/X (z), y dibuje el diagrama de polos y ceros.
4. Calcule analíticamente la respuesta en frecuencia H e jω y exprésela de la forma
más sencilla posible.
5. Dibuje el módulo y la fase de la respuesta en frecuencia, indicando los puntos singulares de los diagramas.
6. Determine y justifique si el sistema es
a) causal;
b) estable;
c) invariante en el tiempo.
7. Calcule la función de sistema de un compensador G (z), un sistema que conectado
a la salida del receptor permita recuperar x [n]. Note que H (z) G (z) = 1.
8. Encuentre todas las respuestas impulsivas g[n] tales que y[n] = h[n] g[n] = x [n].
9. Para las respuestas impulsivas del inciso anterior demuestre –evaluando explícitamente la convolución– que si x [n] = δ[n], entonces y[n] = δ[n].
10. Especifique la región de convergencia de G (z) según los resultados del inciso (6).
11. Determine (justificando su respuesta) si el sistema G (z) es
a) causal;
b) estable.
12. Este método de compensación, ¿puede aplicarse en un sistema real? ¿Por qué?
Ejercicio 14. Para cada una de las siguientes funciones de sistema, determine y justifique
si corresponden o no a sistemas de mínima fase.
(a)
H1 (z) =
(c)
H3 (z) =
(1
(1
2z
1
3z
(1
(1
j
2z
1 )(1 + 1 z 1 )
2
,
1 )(1 + 1 z 1 )
3
1
1
3z )
,
1 )(1 + j z 1 )
2
(b)
H2 (z) =
(d)
H4 (z) =
(1
(1
(1
1
1
4 z )(1 +
2
1
3 z )(1 +
z 1 (1 13 z
j
1
2 z )(1 +
1
1
4z )
,
2
1
3z )
1)
j
1
2z )
.
Ejercicio 15. Un filtro de fase lineal es aquel cuya respuesta en frecuencia puede expresarse como H e jω = A(ω )e jωα , donde A(ω ) es una función real y no negativa de ω, y
α es una constante real.
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1. Determine si cada cada una de las respuestas impulsivas de la figura corresponden
a sistemas de fase lineal generalizada. Si la respuesta es afirmativa, calcule A(ω ), α
y β.
2. Para los filtros con fase lineal generalizada determine si cumplen con la condición
más exigente de ser de fase lineal.
I
Ejercicio 16. ¿Es posible que un filtro FIR de fase mínima tenga respuesta de fase lineal
generalizada? Dé un ejemplo en caso afirmativo, y justifique en caso contrario.
Ejercicio 17. Para las respuestas impulsivas de la figura correspondientes a sistemas de
fase lineal generalizada, encuentre el retardo de grupo asociado con cada sistema.
I
Ejercicio 18. Una señal x [n] con transformada z X (z) es tal que:
1. x [n] es real, y de fase mínima.
2. x [n] es nula fuera del intervalo 0
n
4.
3. X (z) tiene un cero en z = 21 e jπ/4 y un cero en z = 12 e j3π/4 .
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En base a esta información, responda las siguientes preguntas:
1. ¿Es X (z) una función racional? Justifique.
2. Grafique el diagrama de polos y ceros de X (z) y especifique su región de convergencia.
3. Si x [n] y[n] = δ[n], e y[n] es una sucesión derecha, dibuje el diagrama de polos y
ceros de Y (z) y determine su región de convergencia
Ejercicio 19. Los sistemas lineales e invariantes en el tiempo H1 e jω y H2 e jω son sistemas con fase lineal generalizada. Determine si las siguientes combinaciones de dichos
sistemas son sistemas de fase lineal generalizada:
1. G1 e jω = H1 e jω + H2 e jω
2. G2 e jω = H1 e jω H2 e jω
3. G3 e jω =
1
2π
Z π
H1 e jθ H2 e j(ω
θ)
dθ
π
Ejercicio 20. La función de sistema de un SLIT causal es
H (z) =
(1
0,5z 1 )(1 + 4z
(1 0,64z 2 )
1)
.
1. Encuentre expresiones para un sistema de mínima fase H1 (z) y un sistema pasatodos H pt (z) tal que H (z) = H1 (z) H pt (z).
2. Derive expresiones para un sistema de fase mínima H2 (z), distinto de H1 (z) y un
sistema FIR de fase lineal generalizada Hlin (z) tal que H (z) = H2 (z) Hlin (z).
Ejercicio 21. Para el SLIT con función de sistema
H ( z ) = (1
0,9e j0,6π z
1
)(1
0,9e
j0,6π
z
1
)(1
1,25e j0,8π z
1
)(1
1,25e
j0,8π
z
1
).
1. Encuentre todas las funciones de sistema causales que tienen el mismo módulo de
la respuesta en frecuencia que H (z), y cuya respuesta impulsiva es real y de la
misma longitud que la respuesta impulsiva h[n] de H (z) (son cuatro). Identifique
cuál de esos sistemas es de mínima fase.
2. Calcule las respuestas impulsivas de cada una de las funciones de sistema halladas
en el inciso previo.
3. Para cada una de las respuestas del inciso anterior, calcule y grafique la energía
parcial E[n] = ∑nm=0 (h[n])2 , para 0
n
5. Indique qué gráfica corresponde al
sistema de mínima fase.
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Ejercicio 22. Sea x [n] una sucesión que se anula para n < 0 y n > 5. Si la transformada z
de x [n] es
X (z) = 3 1
1
1
5z
1 + 21 z
1
+ 45 z
2
1 + 25 z
1
2
1
2z
¿cuántas otras sucesiones, que también se anulan para n < 0 y n > 5 y que tienen el
mismo valor inicial que x [n] tienen la misma fase?
Ejercicio 23. Cada uno de los diagramas de polos y ceros de la figura, junto con la especificación de la región de convergencia, describen un sistema lineal e invariante en el tiempo con función de sistema H (z). Responda si los siguientes postulados son verdaderos o
no.
1. El sistema tiene fase nula.
2. El sistema tiene fase lineal generalizada.
3. El sistema tiene una inversa Hi (z) estable.
Ejercicio 24. Encuentre un sistema de fase mínima que tenga la misma magnitud de la
respuesta en frecuencia que el sistema
H (e jω )
2
=
5
4
10
9
cos ω
2
3
cos ω
.
Ejercicio 25. La sucesión compleja x [n] es nula para n < 0 y n > N 1. Determine
el número de sucesiones diferentes de longitud N, y con el mismo valor de la muestra
inicial, que tienen el mismo módulo de la transformada de Fourier que x [n].
Ejercicio 26. La figura muestra el diagrama de polos y ceros de tres SLIT causales con
respuestas impulsivas h[n] reales. Determine si cada uno de ellos satisface las siguientes
propiedades: estable, FIR, IIR, fase mínima, pasatodos, fase lineal generalizada, retardo
de grupo positivo para todo ω.
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Ejercicio 27. Si H (z) y G (z) son funciones de sistema racionales que son de mínima fase,
explicar si (i) H (z) G (z) y (ii) H (z) + G (z) también son de mínima fase.
Ejercicio 28. Una sucesión causal de fase no mínima tiene transformada z
X (z) =
1
3
1
2z
(1
1 + 13 z
z
1 )2
1
1
1 + 35 z
1
1
4z
1
.
¿Para qué valores de α la sucesión y[n] = αn x [n] es de fase mínima?
I
Ejercicio 29. Un SLIT estable tiene la transformada de Fourier con parte imaginaria nula
que se muestra en la figura. ¿El sistema puede tener una inversa estable?
I
Ejercicio 30. Un sistema lineal, causal e invariante en el tiempo con función de sistema
H (z) y respuesta impulsiva real, tiene la respuesta en frecuencia H e jω = H (z)jz=e jω
que se muestra en la figura.
1. Dibuje el diagrama de polos y ceros de H (z), mostrando toda la información posible
acerca de la ubicación de los polos y los ceros que puede inferirse a partir de la
figura.
2. El sistema ¿es FIR o IIR? Justifique.
3. El sistema ¿tiene fase lineal? ¿Por qué?
4. ¿El sistema es estable? Justifique.
Ejercicio 31. Si h[n] y H (z) son la respuesta impulsiva y la función de sistema de un SLIT
estable tipo pasatodos, y hi [n] la respuesta impulsiva del sistema inverso (también LIT y
estable), muestre que hi [n] = h[ n]. Suponga que h[n] es real.
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Ejercicio 32. ¿Es cierto que un sistema no puede tener fase lineal generalizada si la función de sistema H (z) tiene polos en cualquier lugar del plano z excepto en z = 0 o en
z = ∞? Justifique si la respuesta es verdadera, y dé un contraejemplo si es falsa.
Ejercicio 33. Determine la función de sistema H (z) de un filtro pasatodos que posea fase
lineal generalizada.
Ejercicio 34. El filtro FIR de la figura compensa las pérdidas de alta frecuencia en receptores de TV (corrección de apertura). Se conectan en cascada dos de estos circuitos, uno para
corregir la apertura horizontal y otro para corregir la apertura vertical. En el primer caso
el retardo ∆ es la duración de una línea, mientras que en el segundo es de 70 ns (según
el estándar CCIR). La ganancia k permite ajustar la cantidad de corrección. Calcule la
función transferencia y grafique el módulo de la respuesta en frecuencia para diferentes
valores de k.
Ejercicio 35. La figura muestra un circuito mejorado de corrección de apertura. El retardo
es de 70 ns (estándar CCIR) y las dos ganancias k1 > 0 y k2 < 0 permiten ajustar la
cantidad de corrección. Determine la función de sistema de este circuito y grafique el
módulo de la respuesta en frecuencia para diferentes valores de k1 y k2 .
Ejercicio 36. La señal y[n] está formada por una señal primaria x [n] y dos ecos de la
misma:
1
1
y [ n ] = x [ n ] + x [ n n d ] + x [ n n d ].
2
4
Calcule un filtro realizable que permita recuperar x [n] a partir de y[n].
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Ejercicio 37. En muchas aplicaciones es necesario recuperar una señal que ha sido distorsionada por un proceso de convolución. Este fenómeno puede modelarse como un
filtrado lineal, donde la señal deseada x [n] es “distorsionada” por un filtro con respuesta impulsiva h[n], dando lugar a la señal “corrupta” y[n]. Suponga que h[n] = 1 para
0 n M 1, y que vale cero para cualquier otro valor de n.
1. Una manera de recuperar x [n] a partir de y[n] es usando un filtro inverso: la señal
1
y[n] se filtra por un sistema cuya respuesta en frecuencia es Hi e jω = H e jω
,
jω
donde H e
es la transformada de Fourier de h[n]. Para la respuesta impulsiva
especificada, discuta los problemas que presenta la implementación del filtro inverso.
2. Debido a las dificultades del filtrado inverso, una solución habitual es procesar la
señal corrupta y[n] con el sistema que muestra la figura, cuya salida w[n] permite
extraer una réplica mejorada de x [n].
Las respuestas impulsivas de los sistemas son
Q
h1 [ n ] =
∑ δ[n
kM],
h2 [ n ] = δ [ n ]
δ[n
1].
k =0
Explique en detalle el funcionamiento de este sistema, y en particular, en qué condiciones
se puede recuperar exactamente x [n] de w[n]. Ayuda: considere la respuesta impulsiva del
sistema completo (desde x [n] a w[n]).
Este procesamiento se utiliza para restaurar imágenes “movidas” (blurred en ingles) –por
ejemplo, las fotografías tomadas desde un automóvil que se desplaza con cierta velocidad, o las fotografias de la corteza terrestre tomadas por los satélites– y se conoce como
deblurring.
Ejercicio 38. No es posible diseñar un compensador perfecto (un sistema inverso causal
y estable) para un sistema de no mínima fase. Una forma de compensar la magnitud de
la respuesta en frecuencia se estudia en este problema. El sistema SLIT estable de no
mínima fase con función de sistema racional H (z) se conecta en cascada con un sistema
compensador Hc (z). La función de sistema G (z) de la cascada es G (z) = H (z) Hc (z).
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1. ¿Cómo debe elegirse Hc (z) para que sea estable y causal y tal que G (e jω ) = 1?
(Recuerde que H (z) siempre puede representarse como H (z) = H pt (z) Hmı́n (z).)
2. Caracterice las funciones de sistema Hc (z) y G (z).
3. Suponga que
H ( z ) = (1
0,8e j0,3π z
1
)(1
0,8e
j0,3π
z
1
1,2e j0,7π z
)(1
1
)(1
1,2e
j0,7π
z
1
).
Encuentre Hmı́n (z), H pt (z), Hc (z) y G (z) para este caso, y grafique los diagramas de
polos y ceros de cada función de sistema.
Ejercicio 39. Los inversores de frecuencia han sido utilizados durante mucho tiempo como
una manera sencilla de enmascarar la voz, ya que una señal vocal se vuelve casi ininteligible si su espectro se invierte, tal como se ve en la figura.
1. Determine cómo se puede efectuar la inversión de frecuencia en el dominio tiempo.
Nota: las operaciones requeridas son muy sencillas, y se pueden efectuar fácilmente
en tiempo real.
2. Diseñe un desenmascarador.
3. Usando las funciones de sonido de M ATLAB, pruebe a leer un archivo *.WAV cualquiera,
enmascárelo, y reprodúzcalo.
M
Ejercicio 40. Ecos y reverberaciones
Se puede generar una señal y[n] formada por ecos y reverberaciones “sintéticos” de una
señal x [n] sumando réplicas retardadas y escaladas de la misma
∞
y[n] =
∑ gi x [ n
i D ],
(6.74)
i =1
donde D es un entero positivo, y j gk j > j gk+1 j .
1. Muestre que el filtro “peine”
H (z) =
1
1
az
D
puede ser utilizado como un reverberador, calculando la respuesta al impulso, y
comparándola con la respuesta impulsiva del sistema (6.74).
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2. Para construir reverberadores digitales se colocan en cascada de tres a cinco filtros
“peine” pasatodo, cuya función tranferencia es
H (z) =
z
1
D
az
a
D
,
eligiendo adecuadamente los parámetros a y D. Calcule (con M ATLAB, utilizando
la función impz) y grafique la respuesta impulsiva de dos de tales reverberadores,
obtenido cada uno de ellos al colocar en cascada tres secciones con los siguientes
parámetros:
Reverberador “A”
Sección D
a
1
50 0,70000
2
40 0,66500
3
32 0,63175
Reverberador “B”
Sección D
a
1
37 0,70000
2
17 0,77000
3
11 0,84700
3. Grafique la función transferencia (módulo y fase) de los reverberadores “A” y “B”
utilizando el comando freqz, y comente sobre ellas.
4. Analice la respuesta impulsiva h[n] de los reverberadores en los dos casos que se
detallan a continuación.
a) los retardos D1 , D2 y D3 no son primos (similar al caso del Reverberador “A”);
b) los retardos D1 , D2 y D3 son números primos (como en el Reverberador “B”).
5. La diferencia entre el eco y la reverberación es que con el eco se producen repeticiones claras de la señal a intervalos de tiempo uniformes. La reverberación, en
cambio, puede pensarse como un sinfín de ecos de diferente duración interactuando entre sí. ¿Cuál de los prototipos es mejor reverberador?
Más detalles acerca de esta aplicación pueden econtrarse en J. A. Moorer, “Signal processing aspects of computer music: a survey”, Proceedings of the IEEE, vol. 65, No. 8, Agosto
de 1977, pp. 1108-1137.
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