Cálculo de la altura de un objeto vertical sin recurrir a su sombra

Tema 8. Teorema de Pitágoras. Semejanza
8.1. Teorema de Pitágoras
El Teorema de Pitágoras establece que en todo triángulo rectángulo
el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los
catetos.
𝑐 y 𝑏 son los catetos.
𝑎 es la hipotenusa.
Atendiendo al Teorema de Pitágoras:
𝑎2 = 𝑏 2 + 𝑐 2
Esto se cumple si el triángulo es rectángulo (los dos catetos forman
un ángulo de 90°).
Si lo comparamos con otros tipos de triángulos se cumple que:
 Si 𝑎2 = 𝑏 2 + 𝑐 2 , el triángulo es rectángulo.(Hay un ángulo de 90°).
 Si 𝑎2 < 𝑏 2 + 𝑐 2 , el triángulo es acutángulo.(Los tres ángulos son < 90°).
 Si 𝑎2 > 𝑏 2 + 𝑐 2 , el triángulo es obtusángulo.(Tiene un ángulo > 90°).
Calculamos la hipotenusa
Conociendo los dos catetos podemos conocer la hipotenusa.
𝑎 2 = 𝑏 2 + 𝑐 2 → 𝑎 = √𝑏 2 + 𝑐 2
Ejemplo: problema resuelto página 167.
Calculamos uno de los dos catetos
Conociendo uno de los catetos y la hipotenusa, podemos conocer el
otro cateto.
𝑎 2 = 𝑏 2 + 𝑐 2 → 𝑏 2 = 𝑎 2 − 𝑐 2 → 𝑏 = √𝑎 2 − 𝑐 2
Ejemplo: problema resuelto página 167.
1
Tema 8. Teorema de Pitágoras. Semejanza
Página 166→Actividad nº 1, apartados a, b, c.
Página 167→Actividad nº 2, 3, 4 y 5.
8.2. Aplicaciones del teorema de
Pitágoras
Recordamos cuál es el Área de algunas figuras planas.
Podemos calcular el área o perímetro de una figura plana si
conocemos la hipotenusa y los catetos.
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Tema 8. Teorema de Pitágoras. Semejanza
Ejemplos resueltos:
1. La diagonal de un rectángulo mide 89 cm, y uno de los lados, 80
cm. Calcular su área.
𝑑 = 89𝑐𝑚; b=80cm
𝐴=𝑏∙𝑎
𝑐 2 = 𝑎2 + 𝑏 2
Del Teorema de Pitágoras calculamos la altura, y calculamos el
área.
𝑎 = √892 − 802 = √1521 = 39 cm
Ahora podemos calcular el área.
𝐴 = 80 ∙ 39 = 3120 𝑐𝑚2
Solución: el área mide 3120 𝑐𝑚2 .
2. Las diagonales de un rombo miden 10 cm y 24 cm. Hallar su
perímetro.
𝐷 = 24 𝑐𝑚;
𝐴=
𝑑 = 10 𝑐𝑚
𝐷∙𝑑
𝑐 2 = 𝑎2 + 𝑏 2
2
𝑃 =4∙𝑙
La mitad de la diagonal mayor y menor son los catetos de un
triángulo rectángulo, luego con el Teorema de Pitágoras podemos conocer
la hipotenusa.
𝑐 = √122 + 52 = √169 = 13
Como la hipotenusa coincide con un lado, podemos conocer el
perímetro.
𝑃 = 4 ∙ 13 = 52𝑐𝑚
Solución: el perímetro mide 52𝑐𝑚.
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Tema 8. Teorema de Pitágoras. Semejanza
3. Las bases de un trapecio rectángulo miden 25 cm y 38 cm, y la
altura 19 cm. Hallar su perímetro.
𝑎 = √132 + 192 = √530 = 23,02
El lado oblicuo mide 23 cm.
Ahora calculamos el perímetro.
𝑃 = 23 + 25 + 19 + 38 = 105𝑐𝑚
Solución: el perímetro mide 105 𝑐𝑚.
4. Hallar el área de un trapecio isósceles cuyas bases miden 30 cm y
48 cm, y el lado oblicuo, 41 cm.
𝐴=
(𝑏+𝑏′ )∙ℎ
2
Con el Teorema de Pitágoras
Calculamos la altura.
ℎ = √412 − 92 = √1600 = 40
𝐴=
(48+30)∙40
2
= 1560 𝑐𝑚2
Solución: el área mide 1560 cm2.
5. Calcular el área de un triángulo equilátero de lado 8 cm.
𝐴=
𝑏∙ℎ
2
ℎ = √82 − 42 = √48 = 6,9
𝐴=
4
8 ∙ 6,9
2
= 27,6 𝑐𝑚2
Tema 8. Teorema de Pitágoras. Semejanza
6. Calcular el área y el perímetro de un pentágono regular cuya
apotema mide 16,2 cm, y el radio, 20 cm.
𝐴=
𝑃𝑒𝑟í𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜 ∙ 𝑎𝑝𝑜𝑡𝑒𝑚𝑎
2
𝑏
2
𝑃 =5 ∙𝑏
= √202 − 16,22 = √137,56 = 11,7
𝑏 = 11,7 ∙ 2 = 23,4𝑐𝑚
Una vez conocida la base, podemos calcular
el perímetro.
𝑃 = 5 ∙ 23,4 = 117𝑐𝑚
Ahora podemos calcular el área.
𝐴=
117 ∙16,2
2
= 947,7 𝑐𝑚2
7. Hallar el perímetro y el área de una circunsferencia en la que se
trazado una cuerza de 6,6 cm a 5,6 cm del centro.
𝑟 = √(3,3)2 + (5,62 ) = √42,25 = 6,5
El radio mide 6,5 cm2.
𝑃𝑒𝑟í𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜 = 2 ∙ 𝜋 ∙ 𝑟 = 40,82𝑐𝑚
Á𝑟𝑒𝑎 = 𝜋 ∙ 𝑟 2 = 132,665𝑐𝑚2
Página 169→Actividad nº 1, 2, 3, 4, 5, 6
8.3. Figuras semejantes
Dos figuras distintas son semejantes cuando solo difieren en su
tamaño. Los segmentos correspondientes son proporcionales, y el
cociente de esos dos segmentos nos da la razón de semejanza.
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Tema 8. Teorema de Pitágoras. Semejanza
Ejemplo:
a. En un papel dibujamos un rectángulo de medidas a’ y b’, y en una
fotocopiadora reducimos el dibujo a las dimensiones a y b.
Determinar la reducción que hemos realizado.
Calcula la razón de semejanza de dos rectángulos.
Calculamos la razón de semejanza:
Lado b:
𝑏
𝑏′
Lado a:
=
𝑎
𝑎′
7
14
= 0,5
5
=
10
=0,5
En una fotocopiadora esta reducción sería del 50%.
b. Calcula la razón de semejanza de estas dos figuras, ¿cuál ha sido la
reducción?
Fig. 1
Fig. 2
Dividiendo cualquier segmento de la fig. 2 con la fig. 1,
obtenemos la razón de semejanza.
Segmento de la izquierda →
Segmento de arriba →
6,4
8
16
20
= 0,8
= 0,8
Segmento de la derecha →
10
12,5
= 0,8
La reducción será del 80%.
c. En las cercanias de la Torre Eiffel hay puestos en los que se venden
reproducciones suyas de tamaños diferentes. Nos fijamos en dos de
ellos: una mide 30 cm de altura y la otra mide 12 cm de altura.
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Tema 8. Teorema de Pitágoras. Semejanza
a. ¿Son figuras semejantes? ¿Cuál es la razón?.
Sí, son semejantes porque tienen la misma forma, es
decir,solo difieren en el tamaño.
La razón de semejanza es:
30
12
= 2,5
b. El lado de la base de la mayor es 10 cm. ¿Cuál es el lado de la
base de la pequeña?
10
10
= 2,5 → 𝑥 =
= 4𝑐𝑚
𝑥
2,5
El lado de la base pequeña mide 4 cm.
c. Si el lado de la base de la auténtica Torre Eiffel es 108 m,
¿cuál es su altura?
108𝑚
𝐶𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑙𝑎 𝑟𝑎𝑧ó𝑛:
= 10,8 𝑚⁄𝑐𝑚
10𝑐𝑚
𝑥
𝐶𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑙𝑎 𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎:
= 10,8 𝑚⁄𝑐𝑚
30𝑐𝑚
𝑥 = 10,8 𝑚⁄𝑐𝑚 ∙ 30𝑐𝑚 = 324𝑚
Página 171 → Actividad nº 2 y 3.
8.4. planos, mapas y maquetas
Un Plano es la representación gráfica a escala de un objeto real.
Un Mapa es una representación gráfica o métrica de una porción de
territorio.
Un plano o un mapa es una representación gráfica semejante a la
realidad que representa; en ellos, importan los tamaños y las distancias,
por eso llevan una escala.
Una Escala es la relación que existe entre las dimensiones del dibujo
y las dimensiones que representa la realidad sobre un plano o un mapa.
𝐸𝑠𝑐𝑎𝑙𝑎 =
𝑟𝑒𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑐𝑐𝑖ó𝑛
𝑟𝑒𝑎𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑
Las escalas se escriben en forma de razón de semejanza entre la
reproducción y la realidad.
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Tema 8. Teorema de Pitágoras. Semejanza
Las escalas que nos vamos a encontrar son del tipo:
1:100; 1:500; 1:1000; 1:5000; ……..
Calculamos longitud o distancia real
Ejemplo:
En el mapa del estrecho de Gibraltar, la escala 1:4.500.000 significa
que cada distancia de la realidad se obtiene multiplicando la distancia que
indica el mapa por 4.500.000.
Distancia en el mapa Málaga-Melilla es de 46 mm.
Aplicamos regla de tres directa.
Reproducción
1
46
Realidad
4.500.000
𝑥
Distancia real: 46𝑚𝑚 ∙ 4.500.000 = 207.000.000 𝑚𝑚 = 207𝐾𝑚
Obtención de la escala
La escala la podemos calcular conociendo las dimensiones del
objeto tanto en la representación como en la realidad.
Ejemplo:
En el plano de una cocina, la pared donde está la vitrocerámica
mide 4 cm, y al medirlo en la realidad nos da 4 m; una vez conocidos estos
datos podemos obtener la escala que está realizado el plano.
𝐸𝑠𝑐𝑎𝑙𝑎 =
4𝑐𝑚
4𝑐𝑚
1
=
=
= 1 ∶ 100
4𝑚
400𝑐𝑚 100
Página 173 → Actividades nº 1, 2 y 3.
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Tema 8. Teorema de Pitágoras. Semejanza
8.5. Semejanza de triángulos
Dos triángulos son semejantes si tienen sus ángulos
respectivamente iguales y sus lados proporcionales.
Los triángulos ABC y A’B’C’ son semejantes si:
 Ángulos A=A’; B=B’; C=C’
 Proporcionalidad
𝑎
𝑎′
;
𝑏
𝑏′
;
𝑐
𝑐′
Teorema de Tales
Si por un triángulo se traza una línea paralela a cualquiera de sus
lados, se obtienen dos triángulos semejantes.
Los triángulos ABD y ACE están en posición
de Tales, luego son dos triángulos semejantes.
Si las rectas BD y CE son paralelas,
entonces los segmentos que determinan son
proporcionales.
𝐴𝐵
𝐵𝐶
=
𝐴𝐷
𝐷𝐸
Página 174→Actividad nº 1
Semejanza entre triángulos rectángulos
Dos triángulos rectángulos que tengan un ángulo agudo (<90°) igual
son triángulos rectángulos semejantes, luego se pueden poner en posición
de tales.
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Tema 8. Teorema de Pitágoras. Semejanza
Triángulos Semejantes en Posición de Tales
Por lo tanto, dos triángulos rectángulos son semejantes si tienen:
 Sus dos catetos proporcionales,
 O bien, un cateto y la hipotenusa proporcionales.
Página 175→Actividad nº 1, 2, 3, 4 y 5.
8.6. Aplicaciones de la semejanza de
triángulos
Cálculo de la altura de un objeto vertical a partir de su sombra
Los datos que conocemos son:
 Altura de la estaca, A’.
 Longitud de la sombra de la
estaca, B’.
 Longitud de la sombra del
árbol, A.
Sabemos que forman triángulo rectángulos semejantes porque:
 El ángulo que forma la estaca y el árbol con el suelo es de 90°.
 Como el rayo de sol incide de la misma forma sobre la estaca y el árbol,
el ángulo que forma con ambas sombras va a ser el mismo.
Aplicando el Teorema de Tales, conocemos la altura del árbol.
Ejemplo resuelto página 176.
Página 176→Actividad nº 1 y 2.
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Tema 8. Teorema de Pitágoras. Semejanza
Cálculo de la altura de un objeto vertical sin recurrir a su sombra
Los datos que conocemos son:
 Altura edificio pequeño, h.
 Distancia al edificio
pequeño, d.
 Distancia al edificio grande,
D.
Sabemos que forman triángulo rectángulos semejantes porque:
 El ángulo que forma el edificio pequeño con la vista y el edificio grande
con el suelo es de 90°.
 Sus catetos son proporcionales.
Aplicando el Teorema de Tales, conocemos la altura del edificio grande,
H.
Ejemplo resuelto página 177.
Página 177 → Actividad nº 3.
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