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PRISMAS
1. Definición: Un prisma es un poliedro que tiene dos caras poligonales congruentes
y paralelas, que son las bases del prisma. El resto son las caras laterales y tienen
la forma de paralelogramos.
Un prisma será triangular, pentagonal, hexagonal, etc. Según sus bases sean
triángulos, cuadriláteros, pentágonos, hexágonos, etc. Respectivamente
PARALELEPIPEDO:
𝐴𝐿 = 2𝑎𝑐 + 2𝑏𝑐
𝐴 𝑇 = 2𝑎𝑏 + 2𝑎𝑐 + 2𝑏𝑐
𝑉 = 𝑎𝑏𝑐
𝐷 = √𝑎 2 + 𝑏 2 + 𝑐 2
Ejemplo:
1. Encontrar el área de la superficie lateral de un prisma triangular regular, su arista
lateral mide 4 y su arista básica mide 2.
Solución:
Como el prisma es triangular regular, la base es un triángulo equilátero.
𝐴𝐿 = 𝑃𝐵 . ℎ
𝐴𝐿 = 6(4)
𝐴𝐿 = 24
PRACTIQUEMOS…
1. Los lados de la base de un paralelepípedo rectangular miden 3 y 4, su diagonal
mide 13. Hallar el volumen del paralelepípedo.
a)
b)
c)
d)
e)
140
124
145
136
144
2. Una de las caras laterales de un prisma triangular tiene por área igual a 24, la
distancia de esta cara a la arista lateral opuesta es 6. Hallar el volumen del prisma.
a) 60
b) 74
c) 72
d) 64
e) 80
3. La altura de un prisma triangular regular mide 3√3, el desarrollo de su superficie
lateral es un rectángulo cuya diagonal mide 6. Hallar su volumen.
a) 81/4
b) 80/3
c) 20
d) 82/5
e) 83/4
4. Encontrar el volumen de un paralelepípedo rectangular, las diagonales de sus caras
miden √34, √58 𝑦 √74
a) 75
b) 85
c) 95
d) 105
e) 40
PIRAMIDES
1. Definición: “Se llama pirámide al solido que se encuentra limitado por un polígono
plano llamado base y por tres o más triángulos que tienen un vértice común
llamados caras laterales.
Se le llama altura de la pirámide a la perpendicular que se traza por su vértice al
plano de la base.”1
TRONCO DE PIRAMIDE
Ejemplo
1. Encontrar el volumen de una pirámide hexagonal regular, sus aristas laterales
miden 6 y forman con el plano de la base ángulos que miden 30°.
SOLUCION
1
𝑉 = 𝐵ℎ
3
2
1 (3√3)
𝑉 = (6
√3) 3
3
4
𝑉 = 70,1
PRACTIQUEMOS…
1. La base de una pirámide es un rectángulo de lados igual a 12 y 8, su altura mide
10 y cae en el centro de la base. Encontrar la arista lateral.
a) 3.08
1
Coveñas, M. (2010).
b) 6.16
c) 9.24
d) 1.54
e) 12.32
2. Encontrar la apotema de una pirámide pentagonal regular, su arista básica mide 6
y su área lateral es 315.
a) 19
b) 20
c) 21
d) 22
e) 23
3. Encontrar el área de la superficie total de una pirámide cuadrangular regular, la
altura mide √3 y el área de una de las caras laterales es igual al área de la base.
a) 8
b) 6
c) 9
d) 4
e) 5
4. Una pirámide cuyo volumen es 48, es dividida en dos partes por un plano paralelo
a su base y que pasa por el punto medio de su altura. Hallar el volumen de la parte
mayor.
a) 32
b) 34
c) 40
d) 36
e) 42
CILINDROS
1. Definición: “Se llama cilindro de revolución al solido engendrado por un rectángulo
cuando gira una vuelta completa alrededor de uno de sus lados.”2
Ejemplo.
2
Santillana. (2004)
1. Un cilindro de revolución es generado por un rectángulo cuya área de su región es
10. Hallar el área de la superficie lateral del cilindro.
SOLUCION
En el rectángulo: 10 = 𝑟ℎ
𝐴𝐿 = 2𝜋𝑟𝑔
𝐴𝐿 = 2𝜋(10)
𝐴𝐿 = 20𝜋
PRACTIQUEMOS…
1. Un tarro de leche cilíndrico se encuentra sobre el piso de un cuarto, su proyección
sobre el techo tiene un área de 9𝜋 y su proyección sobre una de las paredes tiene
un área de 24. Hallar el volumen del tarro.
a) 35 𝜋
b) 36 𝜋
c) 34 𝜋
d) 28 𝜋
e) 38 𝜋
2. Calcular el volumen de un cilindro de revolución, su altura es igual al diámetro de su
base, su área total es 12 𝜋.
a) 4√2 𝜋
b) 2√2 𝜋
c) 5√2 𝜋
d) 5√3 𝜋
e) 4√3 𝜋
3. Encontrar el volumen de un cilindro de revolución circunscrito a un cubo de 8 cm3 de
volumen.
a) 2 𝜋
b) 6 𝜋
c) 8 𝜋
d) 10 𝜋
e) 4 𝜋
4. Calcular el volumen de un cilindro equilátero, el área de la superficie total es 12 𝜋.
a) 4√2 𝜋
b) 2√2 𝜋
c) 5√2 𝜋
d) 5√3 𝜋
e) 4√3 𝜋
5. Un cilindro de revolución de 8 cm de radio de la base contiene agua hasta su mitad,
se introduce un pedazo metálico de forma cubica y el nivel del agua sube 8 cm. Hallar
la arista del pedazo metálico.
3
a) 7 √𝜋
3
b) 6 √𝜋
3
c) 9 √𝜋
3
d) 8 √𝜋
3
e) 12 √𝜋
6. ¿Cuánto pagará Manuel para que le caven un pozo cilíndrico de 12 m de profundidad
y 5 m de diámetro en su chacra de Piura, si le cobran S/. 0.40 por m3? (usar 𝜋 =
3.14)
a) 94.2
b) 94.5
c) 90.5
d) 92.5
e) 93.5
CONO DE REVOLUCION
1. Definición: Se llama cono de revolución al solido engendrado por un triángulo
rectángulo cuando gira una vuelta completa alrededor de uno de sus catetos.
TRONCO DE CONO
Ejemplo:
1. La hipotenusa de un triángulo rectángulo isósceles mide 6√2. Encontrar el área de
la superficie total del cono que se engendra cuando el triángulo rectángulo gira una
vuelta completa alrededor de uno de sus catetos.
SOLUCION
En el triángulo isósceles: h=r=6
Encontramos el área total:
𝐴 𝑇 = 𝜋𝑟(𝑔 + 𝑟)
𝐴 𝑇 = 𝜋(6)(6√2 + 6)
𝐴 𝑇 = 90𝜋
1. Encontrar la altura de un cono de revolución sabiendo que su área lateral es 16√5𝜋
y el radio de la base mide 4.
a) 5
b) 3
c) 10
d) 8
e) 9
2. El área total de un cono de revolución es 13(√5 + 1)𝜋, el radio de la base y la
altura se encuentran en la relación de 1 a 2. Hallar la altura del cono.
a) 2√14
b) 3√13
c) 2√13
d) 5√13
e) 1,5
3. Un cono de revolución se construye de papel, cortando un sector circular de radio
3cm y 120° de ángulo central, además cortando un círculo. Encontrar el área total
del cono.
a) 𝜋
b) 2𝜋
c) 4𝜋
d) 3𝜋
e) 8𝜋
4. Un barquillo tiene la forma de un cono de 12 cm de altura y de 6cm la radio de la
base. Se llena el barquillo de helado, exterior al barquillo se forma una semiesfera.
Hallar el volumen del helado.
a) 290 𝜋 cm3
b) 275 𝜋 cm3
c) 296 𝜋 cm3
d) 288 𝜋 cm3
e) 286 𝜋 cm3
ESFERA
1. Definición: Se llama esfera al solido engendrado por un semicírculo cuando gira
una vuelta completa alrededor de u diámetro.
ZONA Y SEGMENTO ESFERICO
CASQUETE Y SEGMENTO ESFERICO
HUSO Y CUÑA ESFERICA
Ejemplo
1. Encontrar el área total de una semiesfera de radio R.
SOLUCION
𝐴 𝑇 = 𝐴𝑠𝑒𝑚𝑖𝑒𝑠𝑓𝑒𝑟𝑎 + 𝐵
1
𝐴 𝑇 = (4𝜋𝑅2 ) + 𝜋𝑅2
2
𝐴 𝑇 = 3𝜋𝑅2
PRACTIQUEMOS…
1. Dos esferas cuyos radios miden 4 y 6 son tangentes exteriores y se encuentran
apoyados sobre una mesa. Hallar la distancia entre los puntos de apoyo.
a) 4√6
b) 2√6
c) √6
d) 3√6
e) 4√3
2. La diagonal de una de las caras de un cubo mide 8. Hallar el área de la esfera
inscrita en el cubo.
a) 30𝜋
b) 32𝜋
c) 28𝜋
d) 24𝜋
e) 36𝜋
3. Hallar el radio de la esfera inscrita en un tetraedro regular cuya arista mide 12.
a) √6
b) 2√3
c) 3√2
d) 2√6
e) 4√6
4. Tres esferas de radios 4; 9 y 16 se encuentran sobre una mesa tangentes exteriores
dos a dos. Hallar el perímetro del triángulo que se forma al unir los puntos de
tangencia de las esferas con la mesa.
a) 50
b) 55
c) 56
d) 52
e) 51
MISCELANEA
1. Calcular el volumen de un tronco de prisma regular triangular, si el lado de la base
mide √3 cm y las aristas laterales 5 cm, 6 cm y 7 cm.
a)
b)
c)
d)
7 √3
2
8 √3
2
9√ 3
2
9√ 2
2
11√2
2
e)
2. Un tronco de prisma triangular recto tiene por aristas básicas a segmentos cuyas
longitudes son 8, 12, y 6. Las aristas laterales opuestas a estos lados miden 15, 5 y
10 respectivamente, halle el área lateral del tronco.
a) 220
b) 250
c) 270
d) 3000
e) 320
3. Un rollo de papel, cuyo diámetro es de 30 cm consiste en 500 vueltas de papel
fuertemente enrollado en un cilindro de 10 cm de diámetro. ¿Qué longitud tiene el
papel?
a) 200𝜋 m.
b) 300𝜋 m.
c) 100𝜋 m.
d) 400𝜋 m.
e) 500𝜋 m.
4. En un cilindro oblicuo las bases de los círculos cuyas regiones miden 36𝜋 m2. Se
traza una sección axial que intercepta en A y B a la base superior y en C y D a la
base inferior, se traza ̅̅̅̅
𝐶𝐹 𝑝𝑒𝑟𝑝𝑒𝑛𝑑𝑖𝑐𝑢𝑙𝑎𝑟 𝑎 ̅̅̅̅
𝐴𝐷
̅̅̅̅ ). Si FA=7 y CF forman 30° con la base, entonces la longitud de la generatriz
(F∈ 𝐴𝐷
es:
a) 7
b) 9
c) 13
d) 14
e) √157
̅̅̅̅
5. Se tiene una pirámide vértice V y de base un paralelogramo ABCD. Se tiene que 𝑉𝑂
̅̅̅̅ .
̅̅̅̅ 𝑦 𝐴𝐶
es altura de la pirámide, siendo O punto de intersección de las diagonales 𝐵𝐷
Las caras AVD y BVC hacen ambas un ángulo de 53° con la base ABCD. Si la suma
del área de dichas caras es de 50 cm2, hallar el área de la base ABCD.
a) 40 cm2
b) 50 cm2
c) 60 cm2
d) 45 cm2
e) 55 cm2
6. Un tronco de pirámide de bases paralelas tiene por base mayor un cuadrado de lado
2 unidades. Si la altura del tronco es de 3 unidades y su volumen es 7 unidades
cubicas. ¿Cuánto mide el lado de la base menor?
a) ½
b) 3
c) 4
d) 3/2
e) 1
7. Se dan dos esferas tangentes exteriormente y cuyos radios miden 1 dm y 3 dm. El
volumen del cono recto circunscrito a ambas esferas, es:
a) 81 dm3
b) 18 dm3
c) 27 dm3
d) 8 dm3
e) 1 dm3
8. En un cono de 9 cm de altura y cuya base tiene 8 cm de diámetro se inscribe un
cilindro cuyo radio es mayor que 1 y cuya área lateral es 10𝜋. Hallar dicho radio.
a) 2/5
b) 5/3
c) 10/3
d) 9/5
e) 8/3
9. En un tetraedro regular cuya área total es de 384√3 m2, se inscribe una esfera de
radio r y se circunscribe otra esfera de radio R. Entonces, el volumen comprendido
entre las dos esferas, es:
𝜋
a) 4436 m3
3
𝜋
b) 2218 m3
3
𝜋
c) 6656 m3
3
𝜋
d) 19968 m3
𝜋
3
e) 4126 m3
3
10. Las bases de un tronco de pirámide de bases paralelas son cuadrados cuyos lados
miden 4 y 8 metros respectivamente. Si el sólido es circunscriptible a una esfera,
hallar el volumen del sólido.
√2
5
√3
484
2
√3
a) 448
b)
m3
c) 448
d)
2
√3
484
2
√2
e) 448
3
11. La diagonal de un paralelepípedo rectángulo es 10√2 m y los lados son
proporcionales a 3, 4 y 5. Calcular el volumen.
a) 420 m3
b) 360
c) 240√2
d) 60√2
e) 480
12. Las caras de un trozo rectangular de madera tiene 6, 8 y 12 cm2 respectivamente. El
volumen de dicho trozo es:
a) 26 cm3
b) 72
c) 24
d) 2144
e) 576
13. Por un lado de la base de un prisma triangular regular, se traza un plano bajo un
ángulo de 30° respecto al plano de la base. Hallar el área de la sección formada. Si
el lado de la base mide 6 cm.
a) 6√3 cm2
b) 12√3
c) 12
d) 18
e) 24
14. En una pirámide triangular regular, la base se encuentra inscrita en una
circunferencia cuyo radio mide 2 cm. Si el área de su superficie lateral es igual al
doble del área de su base. Calcular su volumen.
a) 5,5 cm3
b) 3,5
c) 4
d) 3
e) 4,5
15. Don José construye un hito de concreto que tiene la forma de un tronco de cono
recto. El radio de la base mayor mide 2m y el radio de la base menor mide 1m, su
altura es de 3 m ¿Cuánto cuesta la obra si por cada metro cubico del hito don José
cobro 15 soles (asumir 𝜋 = 22/7)
a) 240
b) 280
c) 180
d) 330
e) 360
16. El volumen de un cubo es V. Calcular el volumen del solido que se obtiene al unir los
centros de todas las caras.
𝑣
a)
b)
c)
d)
3
𝑣
4
𝑣
6
𝑣
5
3𝑣
e)
5
17. Calcular el volumen, en cm3, de una pirámide regular hexagonal de altura 12 cm y
lado de la base 2 cm.
a) 12
b) 24
c) 24√2
d) 24√6
e) 24√3
18. Los números que expresan el área lateral, en cm2 y el volumen, en cm3, de un cilindro
circular recto, son iguales. Calcular el área de la superficie esférica cuyo radio
equivale al diámetro de la base del cilindro en cm.
a) 16𝜋 cm2
b) 32𝜋 cm2
c) 64𝜋 cm2
d) 128𝜋 cm2
e) 256𝜋 cm2
19. Calcular el volumen del cilindro equilátero inscrito en una esfera de radio R.
Nota: el cilindro es equilátero si la generatriz mide igual que el diámetro de la base.
a) 𝜋𝑅3 √2
b)
c)
d)
e)
𝜋𝑅 3 √2
2
𝜋𝑅 3 √2
3
2𝜋𝑅 3 √2
3
3𝜋𝑅 3 √2
4