Microsoft Word - 5 EDP Eliptica

19/02/2008
Capítulo 5:
FEM-OF:
EDP Elíptica de 2° Orden
Indice:
5.1.- Operador Diferencial Elíptico
5.2.- Problema Básico
5.3.- Funciones Óptimas
5.4.- FEM-OF Steklov-Poincaré
5.5.- FEM-OF Trefftz-Herrera
5.6.- FEM-OF Petrov-Galerkin
5.7.- FEM-OF para el Caso Simétrico
99
Capítulo 5
5.1.- Operador Diferencial Elíptico
5.1.1.- Operador Diferencial
El operador diferencial elíptico general para
n variables independientes se define como:
L u ( x ) ≡ −∇ • ( a • ∇u ) + ∇ • ( bu ) + cu
donde el operador
(5.1.1)
∂ ∇ ≡ es un vector columna de tamaño n ; y los coeficientes
∂xi n
a ≡ aij ( x ) n×n , b ≡ bi ( x ) n y c ( x ) son una matriz simétrica positiva-definida de tamaño
n × n , un vector columna de tamaño n y c ( x ) ≥ 0 , respectivamente. Nótese que los
coeficientes son funciones totalmente continuas excepto posiblemente a través de
También, nótese que:
n
∂  ∂u 
 aij

∂x j 
j =1 ∂xi 
(5.1.2)
∂
( biu )
∂xi
(5.1.3)
n
−∇ • ( a • ∇u ) = −∑∑
i =1
n
∇ • ( bu ) = ∑
i =1
5.1.2.- Operador Diferencial Adjunto
El operador diferencial adjunto formal para el caso elíptico es:
L
∗
w = −∇ • ( a • ∇w ) − b • ∇w + cw
Nótese que:
100
(5.1.4)
Σ.
Capítulo 5
n
−b • ∇w = −∑ bi
i =1
También nótese que si
5.1.3.- Funcional Bilineal
subdominio
u=
L
∗
u = −∇ • ( a • ∇u ) + cu
(5.1.6)
P ( u, w )
(Ω) × D
( Ω ) → ℝ se define de manera puntual en cada
P ( u, w ) : D
1
2
Ωi , esto es, ∀ x ∈ Ωi se tiene que:
(
P ( u, w ) ≡ w L u ≡ w −∇ • ( a • ∇u ) + ∇ • ( bu ) + cu
5.1.4.- Funcional Bilineal
La funcional bilineal
subdominio
(5.1.5)
b = 0 , entonces el operador diferencial es autoadjunto, es decir:
L
La funcional bilineal
∂w
∂xi
)
(5.1.7)
Q ∗ ( u, w )
(Ω) × D
( Ω ) → ℝ se define de manera puntual en cada
Q ∗ ( u, w ) : D
1
2
Ωi , esto es, ∀ x ∈ Ωi se tiene que:
Q ∗ ( u, w ) ≡ u
5.1.5.- Funcional Bilineal
L
∗
(
w = u −∇ • ( a • ∇w ) − b • ∇w + cw
)
(5.1.8)
D ( u, w )
La funcional bilineal vectorial
(Ω) × D
( Ω ) → ℝ n se define de manera puntual en
D ( u, w ) : D
1
2
Ω , esto es, ∀ x ∈ Ω se tiene que:
D ( u, w ) ≡ a • ( u∇w − w∇u ) + ubw
Se sigue que la funcional bilineal real
(5.1.9)
(Ω) × D
( Ω ) → ℝ es:
D ( u, w ) • n : D
1
2
D ( u , w ) • n = ( a • ( u∇w − w∇u ) + ubw ) • n
101
(5.1.10)
Capítulo 5
n es un vector normal a la frontera de la región considerada, ya sea ∂Ω o ∑ . De
donde
forma equivalente se tiene que:
D ( u, w ) • n = a n • ( u∇w − w∇u ) + ubn w
(5.1.11)
an = an • n
(5.1.12)
bn = b n • n
(5.1.13)
donde:
5.1.6.- Funcionales Bilineales
Las funcionales bilineales
C ∗ ( u, w) y B ( u, w )
(Ω) × D
( Ω ) → ℝ y B ( u, w ) : D
(Ω) × D
(Ω) → ℝ
C ∗ ( u, w ) : D
1
2
1
2
se definen de manera puntual en ∂Ω , esto es,
∀ x ∈ ∂Ω se tiene que:
B ( u, w ) − C ∗ ( u, w ) ≡ D ( u, w ) • n ≡ u ( a n • ∇w ) − ( a n • ∇u ) w + ubn w
donde la funcional bilineal
(5.1.14)
B ( u, w ) contiene la información prescrita en ∂Ω (condiciones de
frontera ), mientras que la funcional bilineal C
∗
( u, w)
contiene la información no prescrita en
∂Ω .
Particularmente para un BVPJ con condiciones de frontera tipo Dirichlet, el valor de la
función
u = u∂ en ∂Ω es conocido, mientras que el valor de la derivada normal a n • ∇u es
desconocido. Entonces:
5.1.7.- Funcional Bilineal
La funcional bilineal
es,
B ( u , w ) ≡ u ( a n • ∇w )
(5.1.15)
C ∗ ( u, w ) ≡ ( a n • ∇u − bnu ) w
(5.1.16)
J ( u, w )
(Ω)× D
( Ω ) → ℝ se define de manera puntual en Σ , esto
J ( u, w ) : D
1
2
∀ x ∈ Σ se tiene que:
102
Capítulo 5
•


S J ( u, w ) + R J ( u, w ) ≡ J ( u, w ) ≡ −D  [u ] , w  • n ≡


•
•
•
≡ [ a n • ∇u ] w− [u ] ( a n • ∇w )− [u ] ( bn w )
donde la funcional bilineal
(5.1.17)
S J ( u, w ) contiene las condiciones de continuidad de Poincaré-
Steklov en Σ , mientras que la funcional bilineal R J ( u , w ) contiene otras condiciones de
continuidad en
Σ . Entonces:
•
S J ( u , w ) ≡ [ a n • ∇u ] w
(5.1.18)
•
R J ( u, w ) ≡ − [u ] ( a n • ∇w + bn w )
K
5.1.8.- Funcional Bilineal
La funcional bilineal
es,
K
∗
∗
(5.1.19)
( u, w)
(Ω) × D
(Ω) → ℝ
( u, w ) : D
1
2
se define de manera puntual en
∀ x ∈ Σ se tiene que:
S K∗ ( u, w ) + R K∗ ( u, w ) ≡ K
•
∗
( u, w ) ≡ D  u, [ w]  • n ≡
•


donde la funcional bilineal
(5.1.20)
•
•
≡ u [ a n • ∇w] + u [bn w] − ( a n • ∇u ) [ w]
(5.1.21)
S K∗ ( u, w ) contiene la información buscada de la solución en Σ ,
mientras que la funcional bilineal
en
Σ , esto
R K∗ ( u , w ) contiene la información redundante de la solución
Σ.
Particularmente para un BVPJ donde la información buscada en
Σ es el promedio de la
•
solución u , y la información redundante en Σ es el promedio de la derivada normal, se tiene
que:
•
S K∗ ( u, w ) ≡ u [ a n • ∇w + bn w]
(5.1.22)
•
R K∗ ( u, w ) ≡ − ( a n • ∇u ) [ w]
103
(5.1.23)
Capítulo 5
5.1.9.- Identidad
P − B − J = Q∗ − C ∗ − K ∗
Finalmente, se enuncia la siguiente identidad que resultará de utilidad para transformar
Σ a integrales en cada Ωi :
integrales en
( P − B − J ) u, w
≡
•
•


ud x − ∫ u ( a n • ∇w ) d x −  − ∫ [u ] ( a n • ∇w + bn w ) d x + ∫ [ a n • ∇u ] w d x  =
∂Ω
Σ
 Σ

E
≡∑∫wL
i =1 Ωi
•
•
E
•


= ∑ ∫ {∇u • a • ∇w − ub • ∇w + cuw} d x + ∫ [u ] a n • ∇w+ [ w] a n • ∇u − u [ bn w] d x
i =1 Ωi

Σ
− ∫ {ua n • ∇w + wa n • ∇u} d x =
∂Ω
E
=∑∫u
L
∗
wd x −
i =1 Ωi

∂Ω
Σ
≡ ( Q∗ − C ∗ − K ∗ ) u, w
la cual se cumple
•
•

∫ ( a n • ∇u − bnu ) wd x −  ∫ u [ a n • ∇w + bn w] d x − ∫ ( a n • ∇u ) [ w] d x  ≡
Σ

(5.1.24)
(Ω) × D
( Ω ) y se obtiene a través de integración por partes.
∀ ( u, w ) ∈ D
1
2
104
Capítulo 5
E
Pu, w ≡ ∑ ∫ w L ud x
(5.1.25)
∫ u (a
(5.1.26)
i =1 Ωi
Bu, w ≡
n
• ∇w ) d x
∂Ω
•
S J u , w ≡ ∫ [ a n • ∇u ] w d x
(5.1.27)
Σ
•
RJ u, w ≡ − ∫ [u ] ( a n • ∇w + bn w ) d x
(5.1.28)
Σ
E
Q u, w ≡ ∑ ∫ u
∗
L
∗
wd x
(5.1.29)
i =1 Ωi
∫ (a
• ∇u − bn u ) wd x
(5.1.30)
S K∗ u, w ≡ ∫ u [ a n • ∇w + bn w] d x
(5.1.31)
C ∗u , w ≡
n
∂Ω
•
Σ
•
RK∗ u, w ≡ − ∫ ( a n • ∇u ) [ w] d x
Σ
Tabla 5.1.- Funcionales bilineales para un BVPJ elíptico de 2º orden, con condiciones
de frontera tipo Dirichlet y donde la información buscada es el promedio de la solución.
105
(5.1.32)
Capítulo 5
5.2.- Problema Básico
El problema general se trasformará a uno equivalente que se llamará problema básico.
El problema general elíptico de 2º orden es el siguiente. Sea la ecuación diferencial parcial
lineal elíptica de segundo orden:
L
u ≡ −∇ • ( a • ∇u ) + ∇ • ( bu ) + cu = f Ω
en cada
Ωi
(5.2.1)
sujeta a condiciones de frontera homogéneas tipo Dirichlet y a condiciones de saltos
prescritos:
u=0
[u ] =
en ∂Ω
(5.2.2)
Σ
(5.2.3)
jΣ0
[ a n • ∇u ] =
en
jΣ1
en
Σ
(5.2.4)
También se debe especificar que la información buscada en la frontera interior
•
promedio de la solución
Σ es el
•
u , esto es, uɵ ≡ u .
La solución del problema general se puede escribir como:
u = uC + uΣ
donde la función
(5.2.5)
( Ω ) se construye convenientemente –ad hoc- de tal modo que se
uΣ ∈ D
1
anula en la frontera exterior
∂Ω , satisface las condiciones de salto en la frontera interior Σ ,
106
Capítulo 5
Σ (o sea, que no contiene la información
y su promedio es cero en la frontera interior
buscada), es decir:
uΣ = 0
[ uΣ ] =
en
jΣ0
[ a n • ∇u Σ ] =
∂Ω
(5.2.6)
Σ
(5.2.7)
en
jΣ1
en
Σ
(5.2.8)
•
uΣ = 0
Σ
en
(5.2.9)
Nótese que (5.2.7) y (5.2.9) significan:
[ uΣ ] =
jΣ0
•
& uΣ = 0 ⇒ uΣ( +) =
1
2
jΣ0
& uΣ( −) = − 12 jΣ0 , en Σ
(5.2.10)
Entonces, el problema básico asociado al problema general elíptico de 2º orden es el siguiente.
Sea la ecuación diferencial parcial lineal elíptica de segundo orden:
L
uC ≡ −∇ • ( a • ∇uC ) + ∇ • ( buC ) + cuC = f Ω −
L
uΣ
en cada
Ωi
(5.2.11)
sujeta a condiciones de frontera homogéneas tipo Dirichlet y a condiciones de saltos
prescritos nulos:
uC = 0
en ∂Ω
(5.2.12)
Σ
(5.2.13)
[uC ] = 0
en
[ a n • ∇uC ] = 0
Lo anterior implica que la función
en
Σ
(5.2.14)
uC es totalmente continua, tanto en su valor como en su
derivada normal a través de la frontera interior
Σ.
107
Capítulo 5
El BVPJ básico asociado al BVPJ general elíptico de 2º orden es:
L
uC ≡ −∇ • ( a • ∇uC ) + ∇ • ( buC ) + cuC = f Ω −
L
uΣ
en cada
Ωi
sujeto a las condiciones de frontera y a las condiciones de saltos prescritos:
uC = 0
en ∂Ω
[uC ] = 0
Σ
en
[ a n • ∇uC ] = 0
donde la función
en
Σ
uΣ , construida convenientemente -ad hoc-, satisface las
condiciones de frontera y las condiciones de saltos prescritos del BVPJ general,
además de otras condiciones:
uΣ = 0
[ uΣ ] =
en ∂Ω
jΣ0
[ a n • ∇u Σ ] =
en
jΣ1
Σ
en
Σ
•
uΣ = 0
en
Σ
finalmente, la solución del BVPJ general es:
u = uC + uΣ
Tabla 5.2.- BVPJ básico asociado al BVPJ general elíptico de 2º orden.
108
Capítulo 5
5.3- Funciones Óptimas
5.3.1.- Funciones Óptimas de Base
El espacio de funciones óptimas de base de dimensión N se define como:
OB ≡ N P ∩ N B ∩ N RJ
(5.3.1)
–aunque también para el BVPJ general
Para el BVPJ básico
elíptico de 2º orden- con
condiciones de frontera homogéneas tipo Dirichlet en ∂Ω e información buscada el promedio
de la solución en
Σ , los espacios nulos N P , N B y N RJ se conforman de la siguiente manera:
E
(Ω) ⇔
Pv = 0 ⇔ ∑ ∫ w L vd x = 0, ∀w ∈ D
2
L
v = 0, en cada Ωi
i =1 Ωi
(5.3.2)
Bv = 0 ⇔
∫ v (a
n
( Ω ) ⇔ v = 0, en ∂Ω
• ∇w )d x = 0, ∀w ∈ D
2
∂Ω
(5.3.3)
•
( Ω ) ⇔ [ v ] = 0, en Σ
RJ v = 0 ⇔ ∫ [ v ] ( a n • ∇w + bn w )d x = 0, ∀w ∈ D
2
Σ
(5.3.4)
En consecuencia, éstos se definen como:
{
(Ω)
NP ≡ v ∈ D
1
L
v = 0 en cada Ωi
{
}
( Ω ) v = 0 en ∂Ω
NB ≡ v ∈ D
1
109
}
(5.3.5)
(5.3.6)
Capítulo 5
{
}
( Ω ) [ v] = 0 en Σ
N RJ ≡ v ∈ D
1
(5.3.7)
v ∈ OB ≡ N P ∩ N B ∩ N RJ satisfacen la ecuación
De esta forma, las funciones óptimas de base
diferencial homogénea localmente en cada subdominio
Ωi de la partición Π , se anulan en la
frontera exterior ∂Ω y son continuas a través de la frontera interior
Las funciones óptimas de base
Σ.
v ∈ OB satisfacen las condiciones:
L
v=0
en cada
v=0
en
[ v] = 0
Ωi
∂Ω
en
Σ
Tabla 5.3.- Espacio de funciones óptimas de base.
5.3.2- Funciones Óptimas de Peso
El espacio de funciones óptimas de peso de dimensión N se define como:
OT ≡ N Q ∩ N C ∩ N RK
Para el BVPJ básico
(5.3.8)
–aunque también para el BVPJ general
elíptico de 2º orden- con
condiciones de frontera tipo Dirichlet en ∂Ω e información buscada el promedio de la solución
en
Σ , los espacios nulos N Q , N C y N RK se conforman de la siguiente manera:
E
Qw = 0 ⇔ ∑ ∫ u
i =1 Ωi
L wd x = 0, ∀u ∈ D ( Ω ) ⇔ L w = 0, en cada Ω
∗
∗
1
i
(5.3.9)
110
Capítulo 5
Cw = 0 ⇔
∫ (a
n
( Ω ) ⇔ w = 0, en ∂Ω
• ∇u − bn u ) wd x = 0, ∀u ∈ D
1
∂Ω
(5.3.10)
•
( Ω ) ⇔ [ w ] = 0, en Σ
RK w = 0 ⇔ ∫ ( a n • ∇u ) [ w]d x = 0, ∀v ∈ D
1
Σ
(5.3.11)
En consecuencia, éstos se definen como:
{
(Ω)
NQ ≡ w ∈ D
2
L w = 0 en cada Ω }
∗
i
{
}
( Ω ) [ w ] = 0 en Σ
≡ {w ∈ D
}
(5.3.12)
( Ω ) w = 0 en ∂Ω
NC ≡ w ∈ D
2
(5.3.13)
N RK
(5.3.14)
2
De esta forma, las funciones óptimas de prueba
w ∈ OT ≡ N Q ∩ N C ∩ N RK satisfacen la
ecuación diferencial adjunta homogénea localmente en cada subdominio
Ωi de la partición Π ,
se anula en la frontera exterior ∂Ω y son continuas a través de la frontera interior
Las funciones óptimas de peso
w ∈ OT satisfacen las condiciones:
L
∗
w=0
en cada
w=0
en
[ w] = 0
Ωi
∂Ω
en
Σ
Tabla 5.4.- Espacio de funciones óptimas de peso.
111
Σ.
Capítulo 5
5.3.3.- Función auxiliar
La función auxiliar
uP
( Ω ) se define como:
uP ∈ D
1
( P − B − RJ ) uP =
f − jR
(5.3.15)
S K∗ uP = 0
Para el BVPJ general
(5.3.16)
elíptico de 2º orden con condiciones de frontera homogéneas tipo
Dirichlet en ∂Ω e información buscada el promedio de la solución en
Σ , lo anterior significa
que:
E
E
(Ω) ⇔
PuP = f ⇔ ∑ ∫ w L uP d x = ∑ ∫ wf Ω d x, ∀w ∈ D
2
i =1 Ωi
L
uP = f Ω , en cada Ωi
i =1 Ωi
(5.3.17)
∫ u (a
BuP = 0 ⇔
P
n
( Ω ) ⇔ u = 0, en ∂Ω
• ∇w )d x = 0, ∀w ∈ D
2
P
∂Ω
(5.3.18)
•
•
( Ω ) ⇔ [u ] = j 0 , en Σ
RJ uP = jR ⇔ ∫ [u P ] ( a n • ∇w + bn w )d x = ∫ jΣ0 ( a n • ∇w + bn w )d x, ∀w ∈ D
Σ
2
P
Σ
Σ
(5.3.19)
•
•
( Ω ) ⇔ u = 0, en Σ
S K∗ uP = 0 ⇔ ∫ uP [ a n • ∇w + bn w]d x = 0, ∀w ∈ D
2
P
Ω
(5.3.20)
Nótese que (5.3.19) y (5.3.20) significan:
[u P ] =
jΣ0
•
& uP = 0 ⇒ uP( +) =
1
2
jΣ0
& uP( −) = − 12 jΣ0 , en Σ
Particularmente, para el BVPJ básico los problemas locales
L
uP = fΩ −
L
uΣ , en cada Ωi
uP = 0, en ∂Ω
112
(5.3.21)
uP cumplen con:
(5.3.22)
(5.3.23)
Capítulo 5
[uP ] = 0, en Σ
(5.3.24)
•
uP = 0, en ∂Ω
(5.3.25)
Pero (5.3.24) y (5.3.25) significan:
[uP ] = 0
•
& uP = 0 ⇒ uP = 0, en Σ
( Ω ) para el BVPJ básico satisface las condiciones:
uP ∈ D
1
La función auxiliar
L
uP = f Ω −
L
uΣ
uP = 0
Tabla 5.5.- Función auxiliar
Ωi
en
uP
Σ
para el BVPJ básico.
P − B − J = Q∗ − C ∗ − K ∗ para Funciones Óptimas
Si se considera que las funciones
L
en cada
en ∂Ω
uP = 0
5.3.4.- Identidad
(5.3.26)
v ∈ OB y w ∈ OT son funciones óptimas, esto es que tanto
v = 0 en cada Ωi , v = 0 en ∂Ω y [ v] = 0 en Σ , como
L
∗
w = 0 en cada Ωi , w = 0 en
∂Ω , [ w] = 0 en Σ , entonces la identidad (5.1.24) toma la siguiente forma:
( P − B − J ) v, w
•
= − S J v, w = − ∫ [ a n • ∇v ] w dx =
Σ
E
= ∑ ∫ {∇v • a • ∇w − vb • ∇w + cvw} dx =
i =1 Ωi
•
= − ∫ v [ a n • ∇w + bn w] dx = − S K∗ v, w = ( Q∗ − C ∗ − K ∗ ) v, w
Σ
113
(5.3.27)
Capítulo 5
la cual se cumple
∀ ( v, w ) ∈ OB × OT . Nótese que la expresión anterior relaciona integrales en
Σ con integrales en cada Ωi .
114
Capítulo 5
5.4.- FEM-OF Steklov-Poincaré
Sea el BVPJ básico elíptico descrito en la tabla 5.2. Sea el espacio de funciones óptimas de
base descrito en la tabla 5.3. Sea la función auxiliar
Sea una base
sea la función
uP descrita en la tabla 5.5.
{v , v ,..., v } del espacio de funciones óptimas de base O
1
2
N
B
de dimensión N . Y
en Σ , en términos
v ∈ OB una representación de la información buscada vɵ ∈ O
B
de una combinación lineal de la base
{v , v ,..., v } de O
1
2
N
B
, esto es:
N
vɵ ≈ v = ∑ Cβ v β
(5.4.1)
β =1
Entonces, los coeficientes
{C1 , C2 ,..., CN }
de la combinación lineal satisfacen el siguiente
sistema de ecuaciones:
 E

β
α
β
α
β α
C
d x =
∑
β  ∑ ∫ ∇v • a • ∇v − v b • ∇v + cv v
 i =1 Ω

β =1
i


N
E
(
= ∑ ∫ fΩ −
i =1 Ωi
{
L
)
}
E
{
}
uΣ vα d x − ∑ ∫ ∇uP • a • ∇ vα − uP b • ∇ vα + cuP vα d x
i =1 Ωi
para
α = 1, 2,..., N
(5.4.2)
El cual en su forma matricial es:
AC=B
115
(5.4.3)
Capítulo 5
donde los elementos del vector de incógnitas
C = Cβ de tamaño N son los coeficientes Cβ
que ponderan la combinación lineal, los elementos de la matriz de coeficientes
tamaño
A = Aαβ de
N × N son:
E
{
}
Aαβ = ∑ ∫ ∇ v β • a • ∇ vα − v β b • ∇ vα + c v β vα d x
i =1 Ωi
y los elementos del vector de términos independientes
E
(
Bα = ∑ ∫ f Ω −
i =1 Ωi
L
E
)
(5.4.4)
B = Bα de tamaño N son:
{
}
uΣ vα d x − ∑ ∫ ∇uP • a • ∇ vα − uP b • ∇ vα + cuP vα d x
i =1 Ωi
Recuérdese que la solución del BVPJ general es
(5.4.5)
u ≈ v + u P + uΣ en cada subdominio Ωi .
Finalmente, para las aplicaciones numéricas se reemplaza el espacio de funciones óptimas
≡N
∩N
∩N
.
exactas OB por el espacio de funciones óptimas aproximadas O
B
P
B
RJ
El sistema de
N ecuaciones con N incógnitas es A C = B , donde:
E
{
}
Aαβ = ∑ ∫ ∇ v β • a • ∇ vα − v β b • ∇ vα + c v β vα d x
i =1 Ωi
E
(
Bα = ∑ ∫ f Ω −
i =1 Ωi
L
)
E
{
}
uΣ vα d x − ∑ ∫ ∇uP • a • ∇ vα − uP b • ∇ vα + cuP vα d x
i =1 Ωi
N
finalmente la información buscada es
v = ∑ Cβ v β , y la solución del BVPJ general
β =1
en cada
Ωi es u ≈ v + u P + uΣ .
Tabla 5.6.- Sistema de ecuaciones para el método FEM-OF Steklov-Poincaré.
116
Capítulo 5
5.5.- FEM-OF Trefftz-Herrera
Sea el BVPJ básico elíptico descrito en la tabla 5.2. Sea el espacio de funciones óptimas de
peso descrito en la tabla 5.4. Sea la función auxiliar
Sea una base
uP descrita en la tabla 5.5.
{w , w ,..., w } del espacio de funciones óptimas de peso O
1
2
N
de dimensión N .
T
Y sea la función
, en términos de
v ∈ OT una representación de la información buscada vɵ ∈ O
T
una combinación lineal de la base
{w , w ,..., w } de O , esto es:
1
2
N
T
N
vɵ ≈ v = ∑ Cβ wβ
(5.5.1)
β =1
Entonces, los coeficientes
{C1 , C2 ,..., CN }
de la combinación lineal satisfacen el siguiente
sistema de ecuaciones:
 E

β
α
β
α
β α
C
d x =
∑
β  ∑ ∫ ∇ w • a • ∇ w − w b • ∇ w + cw w
 i =1 Ω

β =1
i


N
E
(
= ∑ ∫ fΩ −
i =1 Ωi
{
L
)
}
E
{
}
uΣ wα d x − ∑ ∫ ∇uP • a • ∇ wα − uP b • ∇ wα + cuP wα d x
i =1 Ωi
para
α = 1, 2,..., N
(5.5.2)
El cual en su forma matricial es:
AC=B
117
(5.5.3)
Capítulo 5
donde los elementos del vector de incógnitas
C = Cβ de tamaño N son los coeficientes Cβ
que ponderan la combinación lineal, los elementos de la matriz de coeficientes
tamaño
A = Aαβ de
N × N son:
E
{
}
Aαβ = ∑ ∫ ∇ wβ • a • ∇ wα − wβ b • ∇ wα + cwβ wα d x
i =1 Ωi
y los elementos del vector de términos independientes
E
(
Bα = ∑ ∫ f Ω −
i =1 Ωi
L
E
)
(5.5.4)
B = Bα de tamaño N son:
{
}
uΣ wα d x − ∑ ∫ ∇uP • a • ∇ wα − uP b • ∇ wα + cuP wα d x (5.5.5)
i =1 Ωi
Recuérdese que la solución del BVPJ general en cada subdominio
Ωi requiere del
procedimiento de interpolación óptima.
Finalmente, para las aplicaciones numéricas se reemplaza el espacio de funciones óptimas
≡N
∩N
∩N
.
exactas OT por el espacio de funciones óptimas aproximadas O
T
Q
C
RK
El sistema de
N ecuaciones con N incógnitas es A C = B , donde:
E
{
}
Aαβ = ∑ ∫ ∇ wβ • a • ∇ wα − wβ b • ∇ wα + cwβ wα d x
i =1 Ωi
E
(
Bα = ∑ ∫ f Ω −
i =1 Ωi
L
)
E
{
}
uΣ wα d x − ∑ ∫ ∇uP • a • ∇ wα − uP b • ∇ wα + cuP wα d x
i =1 Ωi
N
finalmente la información buscada es
v = ∑ Cβ wβ , y la solución del BVPJ general
β =1
en cada
Ωi requiere del procedimiento de interpolación óptima.
Tabla 5.7.- Sistema de ecuaciones para el método FEM-OF Trefftz-Herrera.
118
Capítulo 5
5.6.- FEM-OF Petrov-Galerkin
Sea el BVPJ básico elíptico descrito en la tabla 5.2. Sea el espacio de funciones óptimas de
base descrito en la tabla 5.3. Sea el espacio de funciones óptimas de peso descrito en la tabla
5.4. Sea la función auxiliar
Sea una base
uP descrita en la tabla 5.5.
{v , v ,..., v } del espacio de funciones óptimas de base O
1
2
N
B
Sea la función
de dimensión N .
, en términos de
v ∈ OB una representación de la información buscada vɵ ∈ O
B
una combinación lineal de la base
{v , v ,..., v } de O
1
2
N
B
, esto es:
N
vɵ ≈ v = ∑ Cβ v β
(5.6.1)
β =1
Y sea una base
{w , w ,..., w } del espacio de funciones óptimas de peso O
1
2
N
T
Entonces, los coeficientes
{C1 , C2 ,..., CN }
de dimensión N .
de la combinación lineal satisfacen el siguiente
sistema de ecuaciones:
 E

β
α
β
α
β α
C
∇
v
•
a
•
∇
w
−
v
b
•
∇
w
+
c
v
w
d
x

=
∑
β ∑ ∫
 i =1 Ω

β =1
i


N
E
(
= ∑ ∫ fΩ −
i =1 Ωi
{
L
)
}
E
{
}
uΣ wα d x − ∑ ∫ ∇uP • a • ∇ wα − uP b • ∇ wα + cuP wα d x
i =1 Ωi
para
El cual en su forma matricial es:
119
α = 1, 2,..., N
(5.6.2)
Capítulo 5
AC=B
donde los elementos del vector de incógnitas
(5.6.3)
C = Cβ de tamaño N son los coeficientes Cβ
que ponderan la combinación lineal, los elementos de la matriz de coeficientes
tamaño
A = Aαβ de
N × N son:
E
{
}
Aαβ = ∑ ∫ ∇ v β • a • ∇ wα − v β b • ∇ wα + c v β wα d x
i =1 Ωi
y los elementos del vector de términos independientes
E
(
Bα = ∑ ∫ f Ω −
i =1 Ωi
L
E
)
(5.6.4)
B = Bα de tamaño N son:
{
}
uΣ wα d x − ∑ ∫ ∇uP • a • ∇ wα − uP b • ∇ wα + cuP wα d x (5.6.5)
i =1 Ωi
Recuérdese que la solución del BVPJ general es
u ≈ v + u P + uΣ en cada subdominio Ωi .
Finalmente, para las aplicaciones numéricas se reemplaza los espacios de funciones óptimas
≡N
∩N
∩N
exactas OB y OT por los espacios de funciones óptimas aproximadas O
B
P
B
RJ
y
≡N
∩N
∩N
.
O
T
Q
C
RK
El sistema de
N ecuaciones con N incógnitas es A C = B , donde:
E
{
}
Aαβ = ∑ ∫ ∇ v β • a • ∇ wα − v β b • ∇ wα + c v β wα d x
i =1 Ωi
E
(
Bα = ∑ ∫ f Ω −
i =1 Ωi
L
)
E
{
}
uΣ wα d x − ∑ ∫ ∇uP • a • ∇ wα − uP b • ∇ wα + cuP wα d x
i =1 Ωi
N
finalmente la información buscada es
v = ∑ Cβ v β , y la solución del BVPJ general
β =1
en cada
Ωi es u ≈ v + u P + uΣ .
Tabla 5.8.- Sistema de ecuaciones para el método FEM-OF Petrov-Galerkin.
120
Capítulo 5
5.7.- FEM-OF para el Caso Simétrico
Para el caso simétrico se tiene el operador diferencial es autoadjunto, esto es:
L
u ≡ −∇ • ( a • ∇u ) + cu ≡
∗
L
u
(5.7.1)
y, en consecuencia, las funcionales bilineales asociadas cumplen con las siguientes igualdades:
E
Pu, w = Qu, w = ∑ ∫ w L ud x
(5.7.2)
i =1 Ωi
Bu, w = Cu, w =
∫ u (a
n
• ∇w ) d x
(5.7.3)
∂Ω
•
RJ u, w = RK u, w = − ∫ [u ] ( a n • ∇w ) d x
(5.7.4)
Σ
•
S J u , w = S K u , w = ∫ [ a n • ∇u ] w d x
(5.7.5)
Σ
Por lo tanto, el espacio de funciones óptimas de base
óptimas de peso
OB es igual al espacio de funciones
OT :
OB ≡ N P ∩ N B ∩ N RJ = N Q ∩ N C ∩ N RK ≡ OT
(5.7.6)
y una propiedad importante para el caso simétrico es que las tres versiones de FEM-OF
resultan ser las mismas.
Además se tiene que la siguiente funcional es simétrica:
( P − B − J ) v, w
E
= ∑ ∫ {∇v • a • ∇w + cvw} d x =
i =1 Ωi
121
( P − B − J ) w, v
(5.7.7)
Capítulo 5
y también es positiva definida:
E
( P − B − J ) w, w = ∑ ∫ {∇w • a • ∇w + cww} d x ≥ 0
(5.7.8)
i =1 Ωi
ya que
a es una matriz simétrica, positiva definida y c ( x ) ≥ 0 .
De esta forma, la matriz de coeficientes del sistema de ecuaciones que se deriva aplicando el
método FEM-OF es simétrica y positiva definida. Estas propiedades son de mucha relevancia,
ya que se puede aplicar el Método de Gradiente Conjugado (CGM1) para resolver el sistema
de ecuaciones.
1
Conjugate Gradient Method
122