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EL MODELO DE CALDEIRA – LEGGETT Y
EL PROBLEMA DE LA DISIPACIÓN
CUÁNTICA
Javier Sabio
SEMINARIOS DE FORMACIÓN ICMM
RESUMEN DE LA CHARLA
1. Disipación Clásica
Problema
2. Disipación Cuántica
“Tools”
3. De la Clásica a la Cuántica… de la Cuántica a la
Clásica (y el Problema de la Medida)
4. El modelo de Caldeira – Leggett
Formalismo
5. Movimiento Browniano Cuántico: una solución
exacta (Pizarra)
DISIPACIÓN CLÁSICA
Disipación = Pérdida de Energía IRREVERSIBLE
dV
= F ( q, t )
Ec. Newton: mq + mγ q +
dq
Término
disipativo
Ejemplos:
Potencial
dE
= − mγ q 2
dt
Fuerza
externa
1) F(q,t) es una fuerza constante: campo eléctrico en el
modelo de Drude de electrones en sólidos
2) F(q,t) es una fuerza estocástica: MOVIMIENTO
BROWNIANO
< F (t ) >= 0
< F (t ) F (t ') >= 2mγ kT δ (t − t ')
ECUACIONES DE LANGEVIN
Teorema de
fluctuación disipación
• Si T Æ 0… tendrían que aparecer efectos cuánticos
¿ Cómo se construye una Teoría Cuántica de
Sistemas Disipativos?
ÁMBITO DE LA DISIPACIÓN CUÁNTICA
1. Cuantización de Sistemas Clásicos Disipativos
(De la Clásica a la Cuántica…)
2. Propiedades cuánticas de modelos que en el límite
clásico recuperan comportamientos disipativos
(…de la Cuántica a la Clásica)
3. Emergencia del comportamiento clásico a partir
de modelos cuánticos microscópicos
(El Problema de la Medida)
DE LA CLÁSICA A LA CUÁNTICA
¿Para todo sistema clásico existe su análogo cuántico?
1) La teoría puede escribirse de forma que pueda emplearse
un esquema de cuantización:
• Canónica
• Integral de Camino
• Semiclásica, …
2) La teoría cuántica resultante respeta los postulados de la
Mecánica Cuántica:
• Principio de Superposición
• Relaciones de incertidumbre (no se
postulan, pero ok…)
• Operadores dinámicos son lineales
•…
Cuantización Canónica
El estado del sistema viene dado por una serie de
variables dinámicas. Ejemplo: p,q
MECÁNICA
CLÁSICA
Estructura Canónica
Transformaciones canónicas dejan invariantes los
corchetes de Poisson (relaciones canónicas)
Las variables dinámicas pasan a ser operadores lineales
en un Espacio de Hilbert Æ Autoestados Æ FDO’s
MECÁNICA
CUÁNTICA
Los corchetes de Poisson se reemplazan por relaciones de
conmutación –> Relaciones de incertidumbre
Transformaciones unitarias dejan invariantes las relaciones
de conmutación
Cuantización con Integrales de Camino
Acción clásica bien definida:
t1
MECÁNICA
CLÁSICA
S = ∫ dtL(q (t ), q (t ))
t0
L ( q, q ) = T − V =
mq = −
1 2
mq − V (q )
2
dV (q )
dq
Integral de Camino de Feynman
MECÁNICA
CUÁNTICA
D(q0 → q1 ) = C
q ( t1 ) = q1
∫
q (0) = q0
i
Dq (t )e
S ( q ( t ), q ( t ))
Cuantización Semiclásica
• Formulación de Hamilton – Jacobi de la Mecánica Clásica:
Teoría Clásica definida con Hamiltonianio H(q,p,t)
¿Transformación canónica a H = 0?
dq ' ∂H '
=
=0
∂p '
dt
∂H '
dp '
=−
=0
∂q '
dt
Ctes
movimiento
S(q,P,t) = Función Generatriz!!
∂S
⎧
⎫
= 0⎬
Q, P, H = H +
{q, p, H (q, p, t )} S (→
⎨
q , P ,t )
∂t
⎩
⎭
∂S
∂S
+ H (t , q, ) = 0
∂t
∂q
Ecuación de Hamilton - Jacobi
Cuantización Semiclásica
• Definimos “función de onda clásica” en conexión con ecuación de Schrödinger:
p2
H ( q, p, t ) =
+ V (q)
2m
ψ cl = ρ eiS /
∂ρ ∂ ρ ∂S
+
(
)=0
∂t ∂q m ∂q
∂S
1 ∂S 2
( ) +V = 0
+
∂t 2m ∂q
• Problema: esta función está multivaluada…
dS =
∂S
∂S
dt +
dq = − Hdt + pdq
∂t
∂q
∫ dS = ∫ pdq
Solución:
∫ pdq = 2π
n, n = 1, 2,...
Regla de Bohr – Sommerfeld (Problema con órbitas no
periódicas, sistemas no integrables,…)
DE LA CUÁNTICA A LA CLÁSICA
¿Para todo sistema cuántico está bien definido su límite
clásico?
→0
• El límite h Æ 0 existe
• Coincide con la Mecánica Clásica
¡NO! Sólo cuando la teoría está escrita en términos de operadores
“clásicos”: pueden expresarse en términos de p y q sin referencia
explícita a h
J z = xp y − ypx
“Clásico”
U = e − iβ J z /
No
Aunque no rigurosamente, la ecuación del movimiento de un operador “clásico”
en general se parece a la ecuación clásica correspondiente
El límite clásico de Madelung
• Escribimos función de onda en forma polar:
ψ = ρ eiS /
• Ecuación de Schrödinger:
∂ψ
=−
∇ 2ψ + Vψ
∂t
2m
2
i
∂ρ
ρ
+ ∇ ⋅ ( ∇S ) = 0
m
∂t
2
∇2 ρ
∂S
1
2
(∇S ) + V −
+
=0
2m
∂t 2m
ρ
“Potencial Cuántico”
El límite h Æ 0 está bien definido y coincide con la ecuación de Hamilton Jacobi
El límite clásico en Integrales de Camino
• Teoría Cuántica definida en términos de Integrales de Camino:
D(q0 → q1 ) = C
q ( t1 ) = q1
∫
i
Dq (t )e
S ( q ( t ), q ( t ))
q (0) = q0
• ¿Límite hÆ0?
Sólo sobreviven los caminos para los que S es mínima
δS = 0⇒
∂L d ∂L
−
=0
∂q dt ∂q
Ecuaciones de Euler – Lagrange
(Mecánica Clásica)
EL PROBLEMA DE LA MEDIDA
•
MEDIDA:
ψ = a ψa + b ψb
i
∂ψ
=H ψ
∂t
PROCESO
NO
UNITARIO
ψ a , p (a ) = a
2
ψ b , p(b) = b
2
EVOLUCIÓN UNITARIA
• ¿Es
la Mecánica Cuántica completamente probabilística?
• ¿Cuándo se “reduce” la función de onda?
¿Se pueden observar superposiciones macroscópicas de
estados? (Gatos de Schrödinger)
•
Formulación de Von Neumann
MEDIDA = Pérdida de Correlaciones Cuánticas
ψ = a ψa + b ψb
ρc = ψ ψ = a ψ a ψ a + ab * ψ a ψ b + ba * ψ b ψ a + b ψ b ψ b
2
2
ρr = ψ ψ = a ψ a ψ a + b ψ b ψ b
2
2
CUESTIONES PRECISAS:
1) ¿Qué estado “clásico” se selecciona en el output?
2) ¿En qué momento se pierden las correlaciones cuánticas?
3) ¿Por qué esta base y no otra? (BASES PREFERIDAS)
CUANTIZACIÓN DE SISTEMAS DISIPATIVOS
A. Cuantización Directa de la Teoría Clásica
mq + mγ q +
dV
= F ( q, t )
dq
• Cuantización canónica/Integral de camino/Semiclásica:
Requieren Hamiltoniano/Lagrangiano/Función generatriz dependiente
del tiempo
En general aparecen problemas con el principio de incertidumbre
Avance Reciente: Magpantay, cond-mat/0101084 (Julio 2006)
• Otras aproximaciones:
- Cuantización “Estocástica” Æ Schrödinger no lineal Æ Viola Ppo.
Superposición
-…
CUANTIZACIÓN DE SISTEMAS DISIPATIVOS
B. Cuantización de una Teoría Sistema - Baño
Baño
= “Universo”
E
Sistema
• Permite usar formalismo Hamiltoniano / Lagrangiano Æ
Energía total se conserva Æ CUANTIZACIÓN CANÓNICA
• Requiere de un modelo microscópico del baño
• Al final nos interesan las ecuaciones clásicas (efectivas) del
sistema Æ Hay que integrar “out” el baño
EL MODELO DE CALDEIRA - LEGGETT
Amir Caldeira
Tony Leggett
Construyendo el modelo…
Objetivo: Teoría Cuántica que en el límite clásico reproduzca las
ecuaciones del movimiento de una partícula con disipación
La descripción concreta del baño y del mecanismo de disipación
no es importante mientras reproduzca correctamente el límite
clásico
Mecanismo de disipación
• Baño de osciladores armónicos (Feynman – Vernon)
• Cada oscilador está debilmente perturbado por el sistema
• El sistema puede ser fuertemente perturbado por el baño
• IRREVERSIBILIDAD: Conjunto infinito de osciladores, para
evitar que la energía fluya de nuevo al sistema (recurrencias
de Poincaré)
Λ
∑
k
→∫
0
Construyendo el modelo…
2
F
1
1
j (q)
2
2
2 2
L = Mq − V (q ) + ∑ (m j x j − m jω j x j ) − ∑ Fj (q ) x j − ∑
2
ω
2
2 j
2
m
j
j
j j
Partícula cuántica
Baño
Acoplo lineal
Contratérmino
El asunto del contratérmino…
V (q, { x j }) =
∂V (q, { x j })
∂xi
1
m jω 2j x 2j + V (q ) + ∑ Fj (q ) x j
∑
2 j
j
= miωi2 xi + Fi (q ) = 0 → xi = −
Fi 2 (q )
Veff (q ) = V (q ) − ∑
miωi2
i
Fi (q )
miωi2
Renormalización del
potencial de la
partícula
Construyendo el modelo…
Fj2 (q )
1
1
2
L = Mq − V (q ) + ∑ (m j x 2j − m jω j 2 x 2j ) − ∑ Fj (q ) x j − ∑
2
ω
2
2 j
2
m
j
j
j j
Partícula cuántica
Baño
Acoplo lineal
Ligadura (disipación lineal):
(Ec’s clásicas del movimiento)
Fj (q ) = qC j
J (ω ) ≡
π
η (q) = η
C 2j
∑mω
2
j
Función espectral
Mq¨+η q +
j
Contratérmino
∂V
= F (t )
∂q
Disipación lineal en derivada
δ (ω − ω j ) = ηω
j
Caldeira and Leggett, Annals of
Physics 149, 374 (1983). Pag.447
El modelo de Caldeira - Leggett
C 2j
1
1
2
L = Mq − V (q ) + ∑ (m j x 2j − m jω 2j x 2j ) − q ∑ C j x j − q 2 ∑
2
2
2 j
j
j 2m jω j
Acoplo lineal en la posición
Baño de bosones
Contratérmino: Compensa
potencial parabólico
disipativo
J (ω ) ≡
π
C 2j
∑mω
2
j
j
δ (ω − ω j ) = ηω
j
Ligadura
La acción efectiva de Caldeira - Leggett
1) Cuantizar el modelo en términos de integrales de camino
Propagador
total
(Euclídeo)
2) Trazar (integrar out) los grados de libertad del baño
Propagador
sistema
Sistema
Traza: x = {xi}
Acoplo
Baño
La acción efectiva de Caldeira - Leggett
• Acción efectiva para la partícula cuántica
• No local: Interacciones efectivas partícula - baño - partícula
• El término no local se puede generalizar a otros modelos
• Aproximaciones típicas:
2πτ
T
Tiempos cortos: T → 0 : α (τ ) ∼ e
−
Tiempos largos: T → ∞ : α (τ ) ∼
1
τ2
Ecuaciones clásicas
Hacemos la aproximación de punto de silla (hÆ0) Æ Ecuaciones
de Euler – LagrangeÆ Ecuaciones del movimiento
∂V
Mq = −
− ∫ dτ 'α (τ − τ ')(q (τ ) − q (τ '))
∂q 0
T
∂V
=−
− ∫ dτ ' K (τ − τ ')q (τ ')
∂q 0
T
Baño Markoviano
(tiempos cortos):
Correlaciones a
tiempos distintos
K (τ − τ ') = ηδ (τ − τ ') → Mq = −
∂V
−η q
∂q
Fluctuaciones (fuerza estocástica): Aproximación Semiclásica
UNA SOLUCIÓN EXACTA
• Solución exacta del modelo de Caldeira para una partícula
libre
• Formalismo Hamiltoniano
• Análisis del resultado en términos del problema de la
medida
Interpretación
Estado fundamental:
| p >= ∫ dq < q | p >| q >= ∫ dqeiqp | q >
El baño mide la posición de la partícula:
| ψ > ⊗ | A >→| q > ⊗ | Aq >
El experimental detecta un estado del BAÑO (detector)
Resolución:
Anchura
Volviendo al Problema de la Medida…
• El efecto del baño sobre la partícula es “medir” su posición
con una cierta resolución
• El acoplo al baño es responsable:
- De destruir las correlaciones cuánticas entre estados
(decoherencia)
- De seleccionar una BASE PREFERIDA de estados
• No es, sin embargo, responsable:
- De seleccionar qué estado de la base preferida se obtendrá
como output de la medida
Seguimos necesitando una Interpretación de la
Mecánica Cuántica: Copenhague, Everett, Bohn,…
CONCLUSIONES
• El problema de la Disipación Cuántica consiste en estudiar
Sistemas Cuánticos que en el límite clásico sean disipativos
• El modelo de Caldeira – Leggett es un modelo mínimo que
permite recuperar en el límite clásico las ecuaciones
disipativas
• El problema de la Disipación Cuántica está muy relacionado
con el de la Decoherencia, y en última instancia con el
problema de la Medida